curs 2 - siruri de numere reale. siruri de functii ...andreea.arusoaie/cursuri/s_curs2.pdf · curs...

CURS 2Siruri de numere reale. Siruri de functii.

Inegalitati remarcabile ın R

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

9 Octombrie 2017

Structura cursului

1 Multimea numerelor reale

2 Siruri de numere reale

3 Siruri de functii reale

4 Inegalitati cu elemente din R

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 33

Structura cursului






Multimea numerelor reale

Definitie

Se numeste sistem de numere reale o multime R ınzestrata cu doua operatii algebrice: “+”(adunarea) si “·” (ınmultirea), precum si cu o relatie de ordine, notata cu “≤“, ın raport cu caresunt ındeplinite urmatoarele trei grupe de axiome:

I. (R,+, ·) este un corp, adica au loc:

(I.1) x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀ x, y, z ∈ R;(I.2) exista un element 0 ∈ R, astfel ıncat x+ 0 = 0 + x = x, ∀ x ∈ R;(I.3) ∀ x ∈ R, ∃ (−x) ∈ R asa ıncat x+ (−x) = (−x) + x = 0;(I.4) x+ y = y + x, ∀ x, y ∈ R;(I.5) (x · y) · z = x · (y · z), ∀ x, y, z ∈ R;(I.6) ∃ 1 ∈ R, astfel ıncat x · 1 = 1 · x = x, ∀ x ∈ R;

(I.7) ∀ x ∈ R \ {0}, ∃ x−1 ∈ R asa ıncat x · x−1 = x−1 · x = 1;(I.8) x · y = y · x, ∀ x, y ∈ R;(I.9) x · (y + z) = x · y + x · z, ∀ x, y, z ∈ R;

II. (R,+, ·,≤) este un corp ordonat, adica:(II.1) ∀ x, y ∈ R avem x ≤ y sau y ≤ x;(II.2) ∀ x, y ∈ R, daca x ≤ y si y ≤ x, atunci x = y;(II.3) ∀ x, y, z ∈ R cu x ≤ y si y ≤ z =⇒ x ≤ z;(II.4) ∀ x, y ∈ R cu x ≤ y =⇒ x+ z ≤ y + z, ∀ z ∈ R;(II.5) ∀ x, y, z ∈ R cu x ≤ y si 0 ≤ z =⇒ x · z ≤ y · z;

III. (Axioma de completitudine Cantor-Dedekind) Orice submultime nevida A a lui R care estemajorata admite cel putin o margine superioara ın R. Asadar, exista sup A ∈ R.



Observatie:

1. Intre submultimile remarcabile ale lui R ( N - multimea numerelor reale, Z - multimeanumerelor ıntregi, Q - multimea numerelor rationale) avem urmatoarele relatii

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R,

unde

N := ∩{n ∈ P(R) | 0 ∈ N,n ∈ N ⇒ n+ 1 ∈ N,∀n ∈ N} = {0, 1, 1 + 1, (1 + 1) + 1, ...};

Z := N ∪ {−n | n ∈ N};

Q := {m · n−1 | m ∈ Z, n ∈ N∗}.

2. Multimea numerelor rationale Q satisface grupul de axiome I si II, dar nu satisface axioma decompletitudine. Spre exemplu multimea A = {x ∈ Q | 0 < x2 < 2} este majorata ın Q darsup(A) /∈ Q. Asadar, exista submultimi ale lui Q care, majorate fiind, nu au marginea superioaraın Q.



Teorema

Fie A o submultime nevida a lui R.(i) Un element α ∈ R este margine superioara a multimii A (supA), daca si numai daca:

(a) x ≤ α, ∀ x ∈ A si(b) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat α− ε < xε.

(ii) Un element β ∈ R este margine inferioara a multimii A (inf A), daca si numai daca:

(a) β ≤ x, ∀ x ∈ A si(b) ∀ ε > 0, ∃ xε ∈ A astfel ıncat xε < β + ε.

Exemple: 1. Daca a, b ∈ R cu a < b, atunci

sup[a, b] = sup[a, b) = sup(a, b] = sup(a, b) = b

inf[a, b] = inf[a, b) = inf(a, b] = inf(a, b) = a

2. Daca o multime A are un cel mai mare (cel mai mic) element, atunci maxA = supA(respectiv, minA = inf A).



Vom nota prin R = R ∪ {−∞,+∞} si vom numi dreapta reala extinsa. Vom extinde ordineauzuala “≤” pe R la R ın urmatorul mod

−∞ ≤ +∞;

−∞ ≤ x, x ≤ +∞,∀x ∈ RUtilizand acesta relatie de ordine extinsa, putem concluziona ca orice submultime a lui R admitesupremum si infimum. Pentru orice A ⊆ R avem ca

supA = +∞ daca si numai daca multimea A nu este marginita superior;

inf A = −∞ daca si numai daca multimea A nu este marginita inferior;



Definitie

Pentru orice numar real x, definim modulul sau valoarea absoluta a lui x (notat |x|), prin

|x| =

x, daca x ≥ 0,

−x, daca x < 0.

Propozitie

1. |x| ≥ 0 pentru orice x ∈ R;

2. |x| = 0 daca si numai daca x = 0;

3. |x · y| = |x| · |y|, pentru orice x, y ∈ R;4. |x+ y| ≤ |x|+ |y|, pentru orice x, y ∈ R.


Structura cursului






Siruri de numere reale

Definitie

Se numeste sir de elemente din R, orice functie f : N→ R. Se noteaza cu xn, valoarea functiei fın punctul n ∈ N si se numeste termenul general al sirului. Altfel scris, xn = f(n).

Multimea termenilor sirului (xn)n∈N ⊆ R se noteza, uzual, cu {xn | n ∈ N}.

Definitie

i. Un sir (xn)n∈N ⊆ R se numeste majorat (respectiv minorat) daca multimea {xn | n ∈ N}este majorata (respectiv minorata).

ii. Sirul (xn)n∈N ⊆ R se numeste marginit daca este simultan majorat si minorat, adica daca

∃α, β ∈ R, astfel ıncat α ≤ xn ≤ β, ∀n ∈ N.

Daca nu este marginit, atunci sirul (xn)n∈N ⊆ R se numeste nemarginit.

Observatie: Sirul (xn)n∈N este marginit ın R daca si numai daca exista a > 0 astfel ıncat|xn| ≤ a, ∀n ∈ N, sau, echivalent, xn ∈ [−a, a], ∀n ∈ N.

Exemple:1. Sirul xn = (−1)n este marginit deoarece |xn| ≤ 1, ∀n ∈ N.2. Sirul xn = 3n nu este majorat desi este minorat (xn > 0, ∀n ∈ N).3. Sirul xn = −n nu este minorat desi este majorat (xn < 0, ∀n ∈ N).



Definitie

Fie sirul numeric real (xn)n∈N ⊂ R. Spunem ca sirul (xn)n∈N este:

i) crescator daca xn+1 − xn ≥ 0;

ii) descrescator daca xn+1 − xn ≤ 0;

iii) monoton daca este crescator sau descrescator;

iv) strict crescator daca xn+1 − xn > 0;

v) strict descrescator daca xn+1 − xn < 0.

Definitie

Fie (xn)n∈N ⊂ R∗+ un sir cu termini strict pozitivi. Spunem ca sirul (xn)n∈N este

a) crescator (strict crescator) dacaxn+1

xn≥ 1 (daca

xn+1

xn> 1);

b) descrescator (strict descrescator) dacaxn+1

xn≤ 1 (daca

xn+1

xn< 1).



Teorema (Legatura ıntre monotonia si marginirea unui sir)

Fie (xn)n∈N un sir de numere reale.

1. Daca (xn)n∈N este crescator, atunci el este marginit inferior.

2. Daca (xn)n∈N este descrescator, atunci el este marginit superior.

Exemple:

1. Sirul xn = 1−1

n, n ∈ N este strict crescator.

2. Sirul xn = −n, n ∈ N este sir strict descrescator.

3. Sirul xn = 1 +(−1)n

n, n ∈ N∗ nu este monoton.

4. Sirul xn = c, n ∈ N, unde c este o constanta reala, este simultan crescator si descrescator.



Definitie

i) Spunem ca sirul (xn)n∈N ⊂ R are limita x ∈ R, daca pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N,astfel ıncat ∀n ≥ nε avem

|xn − x| < ε.

Vom nota limn→∞

xn = x sau xn −→n→∞

x.

ii) Spunem ca sirul (xn)n∈N ⊂ R are limita +∞, daca pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N astfelıncat ∀n ≥ nε, avem xn > ε.

iii) Spunem ca sirul (xn)n∈N ⊂ R are limita −∞, daca pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N astfelıncat ∀n ≥ nε, avem xn < −ε.



Teorema

Daca un sir de numere reale are limita, atunci aceasta este unica.

Demonstratie: Presupunem ca (xn)n∈N ⊂ R converge la doua elemente, x si y din R. Asadar,

∀ε > 0, ∃nε, n′ε ∈ N astfel ıncat |xn − x| < ε, ∀n ≥ nε si |xn − y| < ε, ∀n ≥ n′ε.

Prin urmare, ∀ε > 0, ∃n′′ε = max{nε, n′ε} ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ n′′ε , avem

|x− y| = |x− xn + xn − y| ≤ |xn − x|+ |xn − y| < ε+ ε = 2ε.

Daca vom considera ε = 12|x− y| > 0, rezulta ca

|x− y| < 2ε < |x− y|.

Asadar, presupunerea facuta este falsa.



Exemple:

1. Sirul xn = 1n, n ∈ N∗ este convergent la 0, ıntrucat

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, nε =[1ε

]+ 1 astfel ıncat

∣∣∣∣ 1n − 0

∣∣∣∣ < ε, ∀n ≥ nε.

2. Sirul xn = 2n+5n+2

este convergent la 2. Fie ε > 0 arbitrar. Au loc

|xn − 2| =1

n+ 2< ε

cu conditia1

n+ 2< ε⇔ n >

1

ε− 2.

Atunci exista nε =[1ε− 2]+ 1 =

[1ε

]− 1, astfel ıncat, pentru orice n ≥ nε sa avem

|xn − 2| < ε.



Definitie

Fie (xn)n∈N ⊆ R si (nk)k∈N ⊆ N un sir strict crescator de numere naturale. Sirul (xnk )k∈N ⊆ Rse numeste subsir al sirului (xn)n∈N.

Teorema

Orice subsir al unui sir convergent este convergent la aceeasi limita.

Demonstratie:Fie xn → x. Atunci ∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat, ∀n ≥ nε avem |xn − x| < ε.Pe de alta parte, cum sirul (nk)k∈N este strict crescator, rezulta ca exista kε ∈ N astfel ıncat

nk ≤ nkε , ∀k ≥ kε.

Asadar,|xnk − x| < ε, ∀k ≥ kε.

Lema lui Cesaro

Orice sir marginit de numere reale are cel putin un subsir convergent.



Observatie: Daca un sir contine doua subsiruri convergente cu limite diferite, atunci sirul estedivergent.

Spre exemplu:a) sirul xn = (−1)n este divergent; b) sirul xn = sin nπ

2, n ∈ N, nu are limita.

Teorema

Orice sir convergent este marginit.

Observatie:

1. Nu orice sir marginit este convergent. ( (xn)n∈N : xn = (−1)n)

2. Nu orice sir convergent este monoton. ( (xn)n∈N : xn =(−1)n

n)

3. Nu orice sir monoton este marginit. ( (xn)n∈N : xn = 2n+ 1)



Propozitie (Proprietati algebrice ale sirurilor convergente ın R)

Fie (xn)n∈N, (yn)n∈N doua siruri de numere reale astfel ıncat xn → x si yn → y pentru n→∞.Atunci au loc afirmatiile:

(P1) Sirul |xn| este convergent ın R cu limn→∞

|xn| = |x|;

(P2) Sirul (xn ± yn) este convergent ın R cu limn→∞

(xn ± yn) = x± y;

(P3) Sirul (xn · yn) este convergent ın R cu limn→∞

(xn · yn) = x · y;

(P4) Daca yn 6= 0, n ∈ N∗ si y 6= 0, sirul

(xn

yn

)este convergent ın R cu lim

n→∞

xn

yn=x

y;

(P5) Daca xn ≤ yn, n ∈ N, atunci x ≤ y;(P6) (Teorema “clestelui”) Daca lim

n→∞xn = lim

n→∞yn = x si avem xn ≤ zn ≤ yn,∀n ∈ N∗, atunci

sirul (zn) este convergent ın R si limn→∞

zn = x;

(P7) (Criteriul majorarii) Fie (zn)n∈N ⊂ R si fie z ∈ R. Daca exista un sir de numere pozitive(αn)n∈N convergent la zero, astfel ıncat |zn − z| ≤ αn, ∀n ∈ N, atunci zn este convergentsi limn→∞

zn = z.



Teorema de convergenta a sirurilor monotone (Weierstrass)


i) Daca (xn)n∈N este crescator si majorat, atunci acesta converge la sup{xn}n∈N ∈ R;

ii) Daca (xn)n∈N este descrescator si minorat, atunci acesta converge la inf{xn}n∈N ∈ R.

Demonstratie: i) Fie (xn) un sir cres cator. Cum (xn) este majorat, rezulta ca exista α := sup{xn}.Asadar, avem:

xn ≤ α, ∀n ∈ N, (1)

si∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat xnε > α− ε (2)

Cum (xn) este crescator, rezulta ca ∀n ≥ nε ⇒ xn ≥ xnε

(1)> α− ε. Asadar, ∀ε > 0 avem

|xn − α| = α− xn < ε, ∀n ≥ nε,

adica limn→∞

xn = α.

Punctul ii) se demonstreaza analog. Cum (xn) este descrescator, rezulta ca (−xn) este crescator. Utilizandpunctul i) rezulta ca (−xn) este convergent la sup(−xn) = − inf(xn), de unde concluzia.



Definitie

Un sir (xn)n∈N ⊂ R se numeste sir Cauchy sau sir fundamental daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, astfel ıncat ∀n,m ≥ nε avem |xn − xm| < ε.

Un sir (xn)n∈N ⊂ R se numeste sir Cauchy sau sir fundamental daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε si ∀p ∈ N, avem |xn+p − xn| < ε.

Propozitie (Proprietati ale sirurilor Cauchy)

Fie (xn)n∈N ⊂ R un sir Cauchy. Atunci au loc urmatoarele afirmatii:

i) (xn)n∈N este un sir marginit;

ii) Daca (xn)n∈N contine un subsir (xnk )k∈N convergent ın R si limk→∞

xnk = x, atunci

(xn)n∈N este convergent si limn→∞

xn = x.



Teorema lui Cauchy

Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir fundamental.

Demonstratie: “⇒”: Fie (xn)n∈N un sir de numere reale convergent la x ∈ R. Asadar, vom avea

∀ε ∈ R∗+, ∃nε ∈ N astfel ıncat |xn − x| <ε

2, ∀n ∈ N, n ≥ nε.

Dar, pentru orice n,m ∈ N, cu n,m ≥ nε, avem

|xn − xm| ≤ |xn − x|+ |x− xm| <ε

2+ε

2= ε,

asadar, sirul este fundamental.“⇐”: Sa presupunem ca (xn) este un sir fundamental. Aratam ca exista x ∈ R astfel ıncat xn → x. Conformpropozitiei anterioare, rezulta ca (xn) este sir marginit. Utilizand acum Lema lui Cesaro, rezulta ca sirulmarginit (xn) contine un subsir convergent. Fie x ∈ R limita sa. Aratam ca lim

n→∞xn = x. Cum xnk

→ x,

rezulta ca

∀ε ∈ R∗+, ∃k′ ∈ N astfel ıncat |xnk

− x| <ε

2, ∀k ∈ N, k ≥ k′.

Pe de alta parte, cum (xn) este sir fundamental, avem

∀ε ∈ R∗+, ∃nε ∈ N astfel ıncat |xnk− xn| <

ε

2, ∀n ∈ N, n ≥ nε(deoarece nk < n, ∀k ∈ N).

Asadar, pentru ε > 0, ∃n′ε ∈ N cu n′ε = max{nε, k′}, astfel ıncat, pentru orice n ≥ n′ε, rezulta

|xn − x| ≤ |xn − xnk|+ |xnk

− x| <ε

2+ε

2= ε.

Prin urmare, sirul (xn) este convergent, si are limita x.



Exemple: Sa se studieze convergenta urmatoarelor siruri:

1) xn =cosx

2+

cos 2x

22+ ...+

cosnx

2n, ∀n ∈ N∗;

2) xn =a1

1p+a2

2p+ ...+

an

np,∀n ∈ N∗, ∀p ≥ 2,

unde (an) este un sir marginit de numere reale.

3) xn = 1−1

2+

1

3+ ...+ (−1)n+1 1

n,∀n ∈ N∗.


Puncte limita. Limite extreme ale unui sir de numere reale

Definitie


a) Spunem ca x ∈ R este punct limita al sirului xn, daca exista (xnk )k∈N astfel ıncat xnk → x.

b) Multimea punctelor limita corespunzatoare sirului (xn)n∈N se noteaza cu L(xn).

Definitie

i) Se numeste limita inferioara a sirului (xn)n∈N ⊂ R marginea inferioara a multimii L(xn)( se noteaza cu lim inf

n→∞xn sau cu lim

n→∞xn);

ii) Se numeste limita superioara a sirului (xn)n∈N ⊂ R marginea superioara a multimii L(xn)( se noteaza cu lim sup

n→∞xn sau cu lim

n→∞xn) .

Observatii:

1) Pentru orice sir (xn)n∈N ⊂ R, avem: lim infn→∞

xn ≤ lim supn→∞

xn.

2) Daca (xn)n∈N → x, x ∈ R, atunci L(xn) = {x} si avem: limn→∞

xn = limn→∞

xn = x.


Structura cursului






Siruri de functii reale

Fie A ⊂ R, A 6= ∅ si fie fn : A→ R. Sirul (fn)n∈N se numeste sir de functii. Daca x0 ∈ A,atunci valorile functiilor (fn(x0))n∈N, formeaza un sir numeric.Spunem ca x0 ∈ A este un punct de convergenta al sirului de functii (fn)n∈N daca sirul numeric(fn(x0))n∈N este convergent. Multimea tuturor punctelor de convergenta ale sirului de functii(fn)n∈N se va numi multime de convergenta.

Definitie

Fie A ⊂ R, A 6= ∅ si fie (fn)n∈N un sir de functii definite pe multimea A.

i) Spunem ca (fn)n∈N converge simplu sau converge punctual pe A la functia f : A→ Rdaca sirul numeric (fn(x))n∈N converge la f(x) pentru fiecare x ∈ A. Vom nota aceasta

prin limn→∞

fn(x) = f(x), x ∈ A sau fnp/A→ f .

ii) Spunem ca (fn)n∈N converge simplu sau converge punctual pe A la functia f : A→ Rdaca pentru orice x ∈ A si orice ε > 0 exista un rang n0 = n0(x, ε) astfel ıncat

|fn(x)− f(x)| < ε pentru orice n ≥ n0.



Exemplu: Fie (fn)n∈N∗ , fn : [0, 1]→ R, fn(x) =nx

nx+ 1.

Cumlimn→∞

fn(x) = limn→∞

nx

1 + nx= 1, pentru x ∈ (0, 1],

limn→∞

fn(x) = limn→∞

0 = 0, pentru x = 0,

obtinem ca multimea de convergenta a sirului de functii (fn)n∈N este [0, 1], iar functia sa limitaeste

f : [0, 1]→ R, f(x) ={

1, x ∈ (0, 1],0, x = 0.



Definitie

Fie A ⊂ R, A 6= ∅ si fie fn : A→ R un sir de functii.Spunem ca sirul (fn)n∈N converge uniform pe multimea A la functia f daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ∈ N, n ≥ nε avem |fn(x)− f(x)| < ε, ∀x ∈ A.

Vom nota fnu−→ f pentru n→∞ sau fn

u/A−→n→∞

f .

9-4 CHAPTER 9. SEQUENCES OF FUNCTIONS

The examples given above show that continuity, integrability and differen-tiability are not preserved in the pointwise limit of a sequence of functions. Tohave any hope of preserving these properties, a stronger form of convergence isneeded.

2. Uniform Convergence

DEFINITION 9.2. The sequence fn : S ! R converges uniformly to f : S ! R

on S, if for each "> 0 there is an N 2N so that whenever n ∏ N and x 2 S, then| fn(x)° f (x)| < ".

In this case, we write fnS‚ f , or simply fn ‚ f , if the set S is clear from the

context.

a b

f(x)

f(x) + ε

f(x ε

fn(x)

FIGURE 5. | fn(x)° f (x)| < " on [a,b], as in Definition 9.2.

The difference between pointwise and uniform convergence is that withpointwise convergence, the convergence of fn to f can vary in speed at eachpoint of S. With uniform convergence, the speed of convergence is roughly thesame all across S. Uniform convergence is a stronger condition to place on thesequence fn than pointwise convergence in the sense of the following theorem.

THEOREM 9.3. If fnS‚ f , then fn

S°! f .

PROOF. Let x0 2 S and "> 0. There is an N 2N such that when n ∏ N , then| f (x)° fn(x)| < " for all x 2 S. In particular, | f (x0)° fn(x0)| < " when n ∏ N . Thisshows fn(x0) ! f (x0). Since x0 2 S is arbitrary, it follows that fn ! f . ⇤

The first three examples given above show the converse to Theorem 9.3is false. There is, however, one interesting and useful case in which a partialconverse is true.

DEFINITION 9.4. If fnS°! f and fn(x) " f (x) for all x 2 S, then fn increases to f

on S. If fnS°! f and fn(x) # f (x) for all x 2 S, then fn decreases to f on S. In either

case, fn is said to converge to f monotonically.

July 13, 2016 http://math.louisville.edu/ªlee/ira

Figura 1. |fn(x) − f(x)| < ε pe intervalul [a, b]



Teorema

Fie A ⊂ R, (fn)n∈N un sir de functii definite pe multimea A si fie functia f : A→ R. Atunci

fnu/A−→ f ⇐⇒ lim

n→∞

[supx∈A|fn(x)− f(x)|

]= 0.

Observatie: Daca fnu/A−→ f atunci fn

p/A→ f . Implicatia inversa nu este adevarata.

Spre exemplu, sirul (fn)n∈N, definit prin

f : [0, 1]→ R, fn(x) = xn, n ∈ N∗.

(fn)n∈N converge punctual atunci cand n→∞ la functia

f : [0, 1]→ R, f(x) ={

0, x ∈ [0, 1)1, x = 1.

Pe de alta parte,sup

x∈[0,1]|fn(x)− f(x)| = sup

x∈[0,1)xn = 1.

Asadar, fn nu converge uniform la f .



Definitie

Fie A ⊂ R si fie fn : A→ R, n ∈ N∗. Sirul (fn) se numeste uniform fundamental pe A, daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N∗ astfel ıncat , ∀m,n ∈ N∗,m, n ≥ nε are loc: |fn(x)− fm(x)| < ε, ∀x ∈ A,

sau, echivalent, daca

∀ε > 0,∃nε ∈ N∗ astfel ıncat , ∀n ∈ N∗, n ≥ nε si ∀p ∈ N∗ are loc: |fn+p(x)−fn(x)| < ε, ∀x ∈ A.

Teorema (Criteriul lui Cauchy)

Fie A ⊂ R si fie fn : A→ R. Atunci sirul de functii (fn)n∈N este uniform convergent pe A dacasi numai daca acesta este uniform Cauchy pe A.

Observatie: Uniforma convergenta pastreaza la limita o serie de proprietati ale functiilor sirului,cum ar fi: marginirea, continuitatea, diferentiabilitatea, integrabilitatea, etc.


Structura cursului






Inegalitati cu elemente din R

Propozitie (Inegalitatea lui Holder, cu ponderi)

Fie n ∈ N, λ0, λ1, ..., λn, a0, a1, ..., an, b0, b1, ..., bn ∈ R+ = {x ∈ R | x ≥ 0} si fie

p, q ∈ R∗+ = R+ \ {0}, astfel ıncat1

p+

1

q= 1. Atunci, avem:

n∑i=0

λiaibi ≤( n∑i=0

λiapi

) 1p ·( n∑i=0

λibqi

) 1q. (3)

Atunci cand λ1 = λ2 = ... = λn ∈ R∗+, inegalitatea (3) se numeste inegalitatea lui Holder faraponderi.Daca p = q = 2 si λ1 = λ2 = ... = λn ∈ R∗+, atunci inegalitatea (3) devine:

n∑i=0

aibi ≤( n∑i=0

a2i

) 12 ·( n∑i=0

b2i

) 12. (4)

Inegalitatea (4) este cunoscuta sub denumirea de inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz.


Inegalitati cu elemente din R

Propozitie (Inegalitatea lui Minkowski, cu ponderi)

Pentru a ∈ R, p ≥ 1, n ∈ N si λ0, λ1, ..., λn, a0, a1, ..., an, b0, b1, ..., bn ∈ R∗+, are loc

( n∑i=0

λi(ai + bi)p) 1

p ≤( n∑i=0

λiapi

) 1p+( n∑i=0

λibpi

) 1p. (5)

Daca 0 < p < 1, inegalitatea (5) are loc cu semnul schimbat, iar egalitatea are loc daca si numaidaca n-uplele (a0, a1, ..., an) si (b0, b1, ..., bn) sunt proportionale.

Propozitie (Inegalitatea lui Carleman)

Pentru orice n ∈ N si a1, a2, ..., an ∈ R+ are loc inegalitatea

n∑i=1

(a1a2 · ... · ai)1i ≤ e

n∑i=1

ai. (6)

Egalitatea are loc doar cand a1 = a2 = ... = an = 0.


Bibliografie

F. Iacob, Curs Matematica pentru anul I(https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2016-2017 )

A. Precupanu, Bazele analizei matematice, Editura Universitatii “Al. I. Cuza”, Iasi, 1993.

G. Paltineanu, Analiza matematica, Editura Universitaria, Craiova, 2002,

E. Popescu, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

M. Postolache, Analiza matematica (teorie si aplicatii), Editura Fair Partners, Bucuresti,2011.

R. Luca-Tudorache, Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Tehnopress, Iasi, 2015.

C.G. Denlinger, Elements of Real Analysis, International Series in Mathematics, Jones andBartlett Publishers International, London, 2012.

M. O. Drambe, Inegalitati. Idei si metode., Editura GIL, Zalau, 2003.


https://profs.info.uaic.ro/~fliacob/An1/2016-2017

curs 2 - siruri de numere reale. siruri de functii ...andreea.arusoaie/cursuri/s_curs2.pdf · curs...

Documents