serii de numere reale convergente - profs.info.uaic.rofliacob/an1/id_05-06/serii de numere...
TRANSCRIPT
I. a∈(0,1) ⇒ 2
0lim lim 01 1
n
n nn n
axa→∞ →∞
= = =+
II. a =1 12nx = şi 1lim
2nnx
→∞=
III. a > 1 ⇒ ( ) ( )2 2
2 1 1
11 1n n
n
n n na a
axa a
= =+ +
şi cum 21lim 0
n
n a→∞
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
(a >1) ⇒
( ) (21
1 ; 11 1 2lim lim lim 0 lim1 0; 0,1 1,n
n nnn n n na
ax x
a a→∞ →∞ →∞ →∞
⎧ =⎪= ⋅ = ⇒ = ⎨+ ⎪ )∈ ∪ ∞⎩
.
4. Serii de numere reale
Conceptul de “serie numerică” este o generalizare naturală a
noţiunii de “suma finită de numere reale” cu observaţia că se aplică unei
mulţimi infinite ale cărei elemente sunt termenii unui şir. Din acest mod de
determinare a unei serii numerice, vom preciza legăturile cu şirurile
numerice şi sumele finite din R.
Dacă A = {a1, ..., ap} cu ai∈R pentru 1,i = p atunci mulţimii A i se
asociază un număr real S numit sumă şi calculat, astfel:
( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 1 1 1; ;...; ... ; ...p p p pa a a a a a a a a a a S− − −+ + + + + + + + + =
folosind proprietăţile adunării din R.
Teoria seriilor numerice a fost fundamentată de G. W. Leibnitz,
I. Newton şi alţi matematicieni. Până la o fundamentare riguroasă a teoriei
convergenţei seriilor numerice au fost multe probleme neclare. De
exemplu, pentru seria 1 – 1 + 1 – 1 + ...+ (-1)n + ... s-au asociat diverse
sume, ca:
109
(1 - 1) + (1 - 1) + ...+ (1 - 1) + ... s-a atribuit suma S = 0
1 - (1 - 1) + (1 - 1) + ...+ (1 - 1) + ... s-a atribuit suma S = 1
1 – 1 + 1 – 1 + ... folosind identitatea algebrică 1– x + x2 – x3 + ... =
= 11 x−
cu x∈(-1, 1) s-a atribuit pentru x → 1 suma 12
S = .
Teoria seriilor numerice va preciza în ce condiţii unui şir
numeric (an )n∈N ⊂ R, i se poate asocia un număr real numit "sumă" şi va
fi cadrul natural pentru studiul unor probleme "de aproximare" folosind
tehnicile moderne de calcul. De asemenea, se va preciza modul de
reprezentare a unui numar real într-o bază de numeraţie q∈N – {0, 1}.
Definiţia II.7. Fie (an )n∈N ⊂ R şi "şirul sumelor parţiale"
corespunzător:
(II.19) ⊂ R cu ( ) 0n nS
≥ 0 10
n
n k nak
S a a a=
= = + + +∑ K 1 1 0n n nS S a , n+ +; = + ∀ ≥
1] Se numeşte serie numerică de termen general an şi cu şirul de
sume parţiale (Sn) perechea de şiruri:
(II.20) ((an)n≥0; (Sn)n≥0) notat 0
nn
a∞
=∑ sau n
na
∈∑
Nsau a0+a1+...+an+...
2] O serie numerică 0
nn
a∞
=∑ se numeşte serie convergentă, notat
(C), dacă şirul sumelor parţiale (S0
nn
a∞
=∑ n) este convergent în R. Numărul
real S = Slimn→∞
n se numeşte "suma seriei convergente" notat prin acelaşi
simbol:
(II.21) 0
nn
S∞
=
= a∑ sau S = nn
a∈∑
N sau S = a0+a1+...+an+....
110
O serie numerică care nu este convergentă se numeşte serie divergentă,
notată (D) (0
nn
a∞
=∑
def
⇔ (Sn) este şir divergent din R).
3] Natura unei serii numerice 0
nn
a∞
=∑ este: fie serie convergentă,
fie serie divergentă. Seriile divergente nu au sumă în R.
Observaţii:
1. În studiul seriilor numerice, rolul principal îl are şirul sumelor parţiale şi
din acest motiv se poate spune că "teoria seriilor numerice" este o
combinaţie între teoria sumelor finite din R şi teoria şirurilor numerice.
2. Nu este corect a defini o serie numerică sau suma sa ca fiind "o sumă
infinită", deoarece în R se lucrează numai cu sume finite. Seriile numerice
nu au, în general, proprietăţile sumelor finite, ca: comutativitate,
asociativitate, produs etc.
3. Dacă într-o serie numerică 0
nn
a∞
=∑ se renunţă sau se adaugă un număr
finit de termeni, seria nou obţinută 0
nn
b∞
=∑ are aceeaşi natură cu seria
iniţială; se modifică numai suma în caz de convergenţă.
4. Se va face distincţia netă între o serie convergentă 0
nn
a∞
=∑ (C), care este
un "concept matematic nou" definit ca o pereche de şiruri numerice cu
anumite proprietăţi şi suma seriei S = 0
nn
a∞
=∑ (C), care este un număr real
( S = ∈R), deşi notaţia este aceeaşi. lim nnS
→∞
111
5. Studiul seriilor numerice cuprinde două mari probleme şi anume:
precizarea naturii unei serii: convergentă sau divergentă şi evaluarea
exactă sau aproximativă a sumei seriei numerice convergentă.
Exemple:
112
)1o
(1
11n n
∞
+∑ cu ( )
1 11na , n
n n= ∀ ≥
+ ( )1
11
n
nk
Sk k=
=+∑ ⇒ =
= 1
1 11
n
k k k=
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠∑
( )1
1 11 şi lim 11 1n nS S
n n
∞
= − ∃ = ⇒n+ +∑ (C) cu S=1.
2o 1
11n n
∞
+ −∑ cu 1 1 1
1na n n , nn n
= = − − ≥ ⇒+ −
( )1 1
1 11n
k k
S kk k
∞ ∞
= =
⎛ ⎞= = − −k n⎜ ⎟+ −⎝ ⎠∑ ∑ nS= şi şir divergent în R
( Slimn→∞
n= + ∞) 1
11n n
∞
⇒+ +
∑
n
(D).
3o cu q∈R0
1nq q ... q ...∞
= + + + +∑ * seria geometrică de raţie q
1
0
1 11
1 1
nn
kn
k
q ; qS q q
n ;q
+
=
⎧ −≠⎪= = ⇒−⎨
⎪ + =⎩∑
1 ; 11
lim ; 1nx
S q→∞
<−
= ∞ ≥
∃ ; 1q
⎧⎪⎪⎪ ⇒⎨⎪ ≤ −⎪⎪⎩
∑
(C) pentru |q|<1 cu 11
Sq
=−
; 0
nq∞
∑ = 11 q−
(|q|<1) 0
nq∞
⇒
0
nq∞
⇒∑ (D) pentru |q|≥1 .
Cazuri particulare: I) 0
12 2nq
∞
= ⇒1∑ (C) cu S = 2; deci
0
1 22n
∞
=∑ .
II) ( )
0
113 3
n
nq∞ −
= − ⇒∑ (C) cu S = 43
; deci ( )
0
13
n
n
∞ −∑ = 4
3.
4o ( )0
1n
n−∑ (D) cu 0 21 2n
; n kS
; n k1= +⎧
= ⎨ =⎩ şir divergent în R ( )1 0n
na ,n= − ≥ .
Observaţii:
1. În exemplele (1o) - (4o) s-a precizat natura seriei cu ajutorul şirului
sumelor parţiale (Sn) care avea o exprimare simplă. Când nu se poate
exprima convenabil (Sn) pentru a putea calcula în R, în acest caz,
vom indica numai criterii de convergenţă care ţin seama de forma
termenului general a
lim nnS
→∞
n.
2. Se poate construi o serie convergentă cu suma dată S considerînd un şir
(bn)n≥1, b0 = 0 convergent la S ( lim nnb S
→∞= ) şi şirul 1n n na b b −= − , n ≥1,
atunci seria este convergentă cu suma S (S( 11 1
n n na b b∞ ∞
−= −∑ ∑ ) n =
= bn S). Seria cu termenul general a⎯⎯→Rn = bn - bn -1, n ≥1 şi b0 = 0 se
numeşte serie telescopică.
3. Un alt exemplu care se poate rezolva numai cu ajutorul definiţiei date
este legat de reprezentarea q – adică a numerelor reale (q ≥ 2, q∈N).
Teorema II.15. Fie q ≥ 2 un număr natural fixat numit bază de
numeraţie. Pentru orice număr real x ≥ 0 exista un m∈N şi un şir unic
(an)n≥- m de cifre în baza q, adică an∈ {0, 1, ..., q-1} astfel încât seria
să fie convergentă cu suma x ([36], [41], [42]). nn
n m
a q∞
−
≥−∑
Demonstraţie: Considerăm m∈N cel mai mic număr astfel încât
x<qm+1 şi definim şirurile (yn)n≥- m şi (an)n≥- m prin:
(I.22) y- m = x⋅ q – m; a – m = [y- m] 113
Dacă n ≥ - m şi luăm şirurile yn, an = [yn] din (II.22), atunci punem:
(I.23) yn + 1= ( yn - an)q ; an +1 = [yn + 1]
Pentru orice n ≥ - m, avem yn ≥ 0 şi an ≥ 0, prin inducţie după n deducem
că:
(I.24) yn < q; an ≤ q – 1, ∀ n ≥ - m.
Pentru n = - m avem: y- m = x⋅ q – m < q deoarece x< qm + 1 şi atunci a – m =
=[y- m] ≤ q – 1; dacă n > - m, avem yn < q şi an ≤ q – 1, de unde deducem
că: yn - an = yn – [ yn ] < 1, deci yn + 1= ( yn - an)q <1. q = q şi atunci an +1 =
=[yn + 1] ≤ q – 1. Prin inducţie după n, are loc relaţia:
(II.25) ( )11
nn k
n kk m
y q x a q− + −+
=−
= − ∑ , ∀ n ≥ - m
deoarece pentru n = - m avem de dovedit că , dar din
(II.23) se obţine
11
m mm my q x a q−
− + −= −
( ) mm m my a q x a q− − −− = − m
11
n
care este adevărată după
(II.22). Presupunem ( II.25) adevărată după n şi o testăm pentru ( n +1):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( .23)
2 1 12 1 1 1
nIIn n nm k
n n n n n k nk m
y q y a q y q a q x a q a q− + − + − + − +−+ + + + + +
=−
= − = − = − −∑
care este consecinţă directă a inducţiei şi deci .
Din relaţiile (II.24) şi (II.25), avem:
( )22
nn k
n kk m
y q x a q− + −+
=−
= − ∑
( ) ( )1 11 10
nn nk n
k n nk m
x a q y q y q q− + − +− −+ +
=−
≤ − = = ≤∑ de unde pentru n → ∞
rezultă limn
kkn k m
x a q−
→∞=−
= ∑ , deci kk
k m
x a q∞
−
=−
= ∑ ([36]; [41]; [42]).
Observaţii:
1. În cazul q = 10 se regăseşte "scrierea zecimală" uzuală a numerelor
reale. Exemplu: x = 34, 527 ... este suma seriei 3 ⋅ 10 1 + 4 ⋅ 10 0 + 5⋅ 10 –1
+ 2 ⋅ 10 –2 + 7 ⋅ 10 –3 + ... 114
2. Pentru cazul q = 2 se regăseşte "scrierea binară sau diadică" a
numerelor reale folosită la calculatoare. Exemplu: x = π = 3,14159... ⇒
⇒π =1 ⋅ 21 + 1 ⋅ 20 + 0 ⋅ 2 -1 + 0 ⋅ 2-2 + 1 ⋅ 2-3 + 0 ⋅ 2-4 + 0 ⋅ 2-5 + 1 ⋅ 2-6 + ...,
adică (π)2 = 11, 001001 ...
3. Se poate cu ajutorul teoremei precedente obţine pentru orice x real fixat
şi ∀ ε > 0 un alt număr real x% a. î. |x - x%| < ε şi atunci " x% este o ε -
aproximare a lui x" notat cu x ≅ x% cu aproximaţie mai mică decât ε.
În formula aproximativă x ≅ x% eroarea absolută este Ea = | x - x%| < ε şi
eroarea relativă rx xE
x−
=%
cu x ≠ 0. În unele cazuri este comod să
înlocuim x prin x% fără a ţine seama de eroare, dar rezultatele sunt incorecte
mai ales în calculele lungi unde apare fenomenul de propagare a erorilor
([42]).
4. În cazul calculelor folosind calculatorul, se va considera trunchierea
datelor numerice şi apoi evaluarea erorilor rezultate. Teorema II.15 permite
reprezentarea unui număr real x > 0 cu "virgulă fixă" şi cu "virgulă
mobilă" dat prin 0 1 2... , ... cu 0 1; 2nn m n
n m
x a q a a a a a q q−−
≥−
= = ≤ ≤∑ − ≥
printr-o ε - aproximare a sa x% (care este de fapt o trunchiere lui x).
Teorema II.16. (Criteriul necesar de convergenţă)
Fie o serie de numere reale, au loc afirmaţiile: 0
na∞
∑
(i) Dacă seria 0
na∞
∑ este convergentă, atunci lim 0nna
→∞= . Reciproca
este falsă.
115
(ii) Dacă lim an nu există sau lim an ≠ 0, atunci seria este
divergentă.
0na
∞
∑
Demonstraţie:
116
ka n(i) Fie după (II.19) avem: 0
n
nk
S=
= ∑ 1 1 1 1n n n n nS S a a S S+ + + += + ⇔ = − şi
(C) ⇔ 0
na∞
∑ lim nnS S
→∞∃ = ∈R şi ( )1 1lim lim 0n n nn n
a S S+ +→∞ →∞= − = . Reciproca
este falsă.
Considerăm exemplul:
( )0
11 cu 11n
n
n n a n nn n
∞
=
+ − = + − =+ +
∑ deci :
lim 0nna
→∞= ,
0
1n
n kk
S a n=
= = +∑ şi = + ∞ ⇒ (Slim nnS
→∞n) divergent şi
( )0
1n
n n∞
=
+ −∑ (D) cu lim 0nna
→∞= .(ii) Demonstraţia se face prin reducere
la absurd: ( (C)) ⇒ ( li0
na∞
∑ m 0nna
→∞= ) şi cum (p ⇒ q)⇔ ((⎤p)⇒(⎤q))
obţinem ( lim 0nna
→∞≠ ) ⇒ (
0na
∞
∑ (D)).
Observaţie: Condiţia (ii) este un criteriu pentru divergenţa unei
serii numerice.
Teorema II.17 (Operaţii algebrice cu serii convergente)
Fie şirurile de numere reale (an)n ≥0⊂ R, (bn)n ≥ 0⊂ R, seriile numerice
cu şirul sumelor parţiale (S0
na∞
∑ n) şi 0
nb∞
∑ cu şirul sumelor parţiale (σn),
atunci au loc afirmaţiile:
(I) Pentru ∀λ∈R* seria 0
na∞
λ∑ are aceeaşi natură cu seria . 0
na∞
∑
(II) Dacă 0
na∞
∑ (C) cu suma S şi 0
nb∞
∑ (C) cu suma σ, atunci
seriile şi sunt convergente cu suma S + σ şi
respectiv S - σ.
( )0
n na b∞
+∑ (0
n na b∞
−∑ )
Demonstraţie: (I) Seria 0
na∞
λ∑ are şirul sumelor parţiale
Tn = =λ S0
na∞
λ∑ n care are aceeaşi natură cu şirul (Sn).
(II) Şirurile Tn = Sn + σn şi Vn = Sn - σn, după ipoteză, au limitele S + σ şi
respectiv S - σ, deci seriile (C) şi (C). (0
n na b∞
+∑ ) ( )0
n na b∞
−∑
Teorema II.18 (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii)
Seria de numere reale 0
na∞
∑ este convergentă, dacă şi numai dacă, satisface
condiţia lui Cauchy:
( )1 2
0, a.î. şi 1.26
n n n p
n n n pII
a a aε ε
+ + +
∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒⎧⎪⎨⇒ + + + < ε⎪⎩
N
K
Demonstraţie: Avem Sn =0
n
kk
a=∑ , Sn+ p =
0
n p
kk
a+
=∑ şi atunci Sn+p -Sn =
.În aceste condiţii au loc şirul de echivalenţe logice: 11
...n p
k n nk n
a a a+
+= +
= + +∑ p+
117
118
n( ) ( )0
na C S∞
⇔∑ convergent în R şir fundamental ( )T. Cauchy pt. şiruri
nS⇔
def0, a.î. ş.i. 1 n p nn n n p S Sε ε +⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ − < εN ⇔ (II.26)
Exemple: 1o 1
1 cu nan n
∞ 1=∑ , n≥ 1 şi lim an = 0 are
1
1n
nk
Sk=
= ∑ şi
( )2
1 1 1 1 1 11 2 2 2n n
p nS S n n
n n n n n=− = + + + > = ∀ ≥
+ + +K ⇒ (Sn) nu este şir
fundamental. Avem: 212n nS S> + şi dacă presupunem că ∃
⇒
lim nnS S
→∞= ∈R
12
S S≥ + absurd ⇒1
1n
∞
∑ (D) cu li = m nnS
→∞ + ∞ . Seria
1
1n
∞
∑ divergentă
se numeşte seria armonică, deoarece avem:
1 1
2 , 21 1n
n n
a n
a a− +
= ∀ ≥+
.
2o 2 2
1 1
1 1cu , 1şin
n na n Sn n
∞
= ≥ =∑ ∑ 2
1k este convergentă:
21 1
1
1 1 1 1 1 11
n p n p
n p n n nk n k np
S Sk k k n n p n ε
+ +
+ ∀ >= + = +
∀ ≥
⎛ ⎞− = < − = − < < ε⎜ ⎟− +⎝ ⎠∑ ∑
cu 1 1nε⎡ ⎤= +⎢ ⎥ε⎣ ⎦
şi (Sn) este şir fundamental. Avem, în plus
2 2 2
1 1 1 1 111 1
n n n
nk k
Sk k k k n= =
⎛ ⎞< − < + − = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 2 2< , ∀ n≥ 1 şi deci
= S ≤ 2 ((Slim nnS
→∞n) este un şir crescător şi majorat, deci convergent în R).
3o ( ) ( )1 1
1
1 1cu , 1
n n
nan n
+ +∞ − −n= ≥∑ este seria armonică alternată.
Avem: ( ) ( )
11
1
1 1 2 1 11 12 3 4
nn
n n
+∞+−
= − + − + + − +∑ K K
Şirul ( ) 1
1
1 kn
nk
Sk
+
=
−=∑ este un şir fundamental:
( ) ( ) ( )1 1
1 1 1
1 1 1k kn p n pn
n p nk k k n
S Sk k k
+ ++ +
+= = = +
− − −− = − = =∑ ∑ ∑
( )
1k+
( ) 12 11 1 11
1 2 3
pn
n n n n p
−+ ⎛ ⎞−
= − − + + + <⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
K
1 1 2 , 11 1
pn n p n
< + < < ∀ ≥+ + +
ε dacă: 2 1n nε
− ε⎡ ⎤
119
∀ ≥ = +⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⇒
⇒( ) 1
1
1 n
n
+∞ −∑ (C).
Teorema II.19. (Criteriul Dirichlet).Fie seria 0
na∞
∑ cu şirul
sumelor parţiale 0
n
nk
S=
= ka∑ mărginit în R şi (αn)n ≥ 0 ⊂ R un şir
descrescător cu lim nnα
→∞= 0, atunci seria
0n na
∞
α∑ este convergentă.
Demonstraţie Conform ipotezelor din teoremă avem: (Sn) mărginit
⇔∃ M ≥ 0 a. î. |Sn| ≤ M, ∀n∈N αn descrescător şi
1 0, şi 0 pentru
lim 0, a.î. ,
2M 2M
n n
nnn
n
n n
+
→∞
− ≤ ∀ ∈ ∀ >⎧⎪= ⇔ ⎨
∃ ≤ ∀ ≥⎪⎩
N
ε ε
α α εα ε εα n
.
Aplicăm seriei 0
n na∞
α∑ criteriul general al lui Cauchy:
( ) ( )1
1 1 11 1 1
n p n p n p
k k k k k n n k k k n p n pk n k n k n
a S S S S S+ + + −
− + − += + = + = +
α = − α = −α + α −α +α ≤∑ ∑ ∑ +
1 1
1 1 1 11 1
Mn p n p
n n k k k n p n p n k k n pk n k n
S S S+ − + −
+ + + + + += + = +
⎛ ⎞≤ + − + ≤ + − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑α α α α α α α α + =
( )1 1 11
2M 0, 2M 2M2M
n p
n k k k k nk n
k a εα α α α α ε+
+ + += +
= − ≥ ∀ ∈ ⇒ ≤ <∑N = ,
∀ n ≥ nε ⇒ 0
n na∞
α∑ (C) după Criteriul Cauchy.
Consecinţa II.12.(Criteriul lui Abel) Fie seria 0
na∞
∑ (C) şi (αn)n≥0
⊂ R un şir monoton şi mărginit, atunci seria 0
n na∞
α∑ este convergentă.
Demonstraţia rezultă direct din criteriul Dirichlet.
Teorema II.20. (Criteriul lui Leibniz) Dacă şirul (αn)n≥0 ⊂ R+
este descrescător cu lim 0nn→∞α = , atunci seria alternată ( )
0
1 nn
∞
− α∑ este
convergentă.
Demonstraţie. Fie an = (-1)n şi seria ( )0
1n
n−∑ are :
un şir mărginit şi împreună cu ipoteza asupra lui (α1; 20 ; 2 1n
n kS
n k=⎧
= ⎨ = +⎩n)
după criteriul Dirichlet: ( )0
1 nn
∞
− α∑ (C).
120
Exemple: 1o (1
cos , 0, 2nx xn
∞
)∈ π∑ ; cu cosna nx= şi 1n n
α = satisface
condiţiile criteriului Dirichlet: 1 0n nα = ] şi avem:
( )
1
1sin cos
2 2cos cos cossin
2
n
nn
n xnx
S kx x nx x=
+
= = + + =∑ K cu
( )00
1 Msin
2
nS xx
≤ = pentru ∀ ( )0 0,2x ∈ π fixat1
cos nxn
∞
⇒∑ (C).
2o 21
sin nxn
∞
∑ , ( )0,2x∈ π cu sinna nx= şi 2
1n n
α = satisface condiţiile
criteriului Dirichlet: 2
1 0n nα = ] şi:
( )1sin sin
2 2sin sinsin
2
n
n xnx
S x nx x
+
= + + =K cu ( )00
1 Msin
2
nS xx
≤ =
fixat (0 0,2x ∈ π) 21
sin nxn
∞
⇒∑ (C)
3o ( ) 1
1
11
nn n
n
∞+ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ (D) pentru că 111
n n
n
α =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
este descrescător cu
. lim 0nn→∞α ≠
4o ( )
0
1 1 1 112 1 3 5 7
n
n
∞ −= − + − +
+∑ K cu ( )
0
11 02 1 2 1
n
n n n
∞ −α = ⇒
+ +∑] (C).
121
5o 1
nqn
∞
α∑ cu q∈R, α∈R şi luăm 1,nn na q
nα= α = . Şirul αn = 1nα este
descrescător pentru α > 0 cu lim 0nα = ⇒(αn) este convergent în R ⇒ (αn)
monoton şi mărginit pentru α > 0. Seria 1
nq∞
∑ este convergentă pentru
|q|<1. Conform cu criteriul lui Abel de mai sus, avem 1
nqn
∞
α∑ (C) pentru
α>0 şi |q|<1.
Definiţia II.8.
1] O serie cu (a0
na∞
∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte absolut convergentă, notat
, dacă şi numai dacă, seria modulelor (0
na AC∞
∑ )0
na∞
∑ (C).
2] O serie cu (a0
na∞
∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte semiconvergentă sau simplu
convergentă, notată , dacă şi numai dacă, este
convergentă şi nu este absolu convergentă
(0
na SC∞
∑ )0
na∞
∑
0
def
na∞
⇔∑ (C) şi 0
na∞
∑ (D).
3] O serie cu (a0
na∞
∑ n)n≥0 ⊂ R se numeşte necondiţionat convergentă
sau comutativ convergentă, dacă şi numai dacă, ∀σ∈σ(N) o premutare a
lui N (orice bijecţie σ : N→ N se numeşte permutare a lui N) seria
numerică este convergentă.(Avem: (C) pentru
a
( )0
nn
aσ≥∑ ( )
1 1n n
n n
a aσ∞ ∞
= =
=∑ ∑
n ≥0 ∀n∈N).
122
Teorema II.21.
(i) Orice serie de numere reale 0
na∞
∑ absolut convergentă este serie
convergentă.
(ii) Orice serie de numere reale 0
na∞
∑ absolut convergentă este
necondiţionat (comutativ) convergentă şi pentru orice permutare σ∈σ(N)
avem: ( )0 0
n nn n
a aσ∞ ∞
= =
=∑ ∑ .
(iii) (Teorema lui Riemann) Pentru orice serie de numere reale
semiconvergentă există permutări ale lui N, σ0
na∞
∑ 1, σ2∈σ(N) astfel încât
să obţinem: (D), fie (C) cu suma un număr real dat. ( )10
nn
aσ∞
=∑ ( )2
0n
n
aσ∞
=∑
Demonstraţie:
(i)0
na∞
∑ (C) T.Cauchy
1
0, a.î şi 1
n n p
n n n
a aε ε
+ +
p∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥⎧⎪⇔ ⎨⇒ + + < ε⎪⎩
N
K⇒
10, a.î şi 1 n nn n n p a aε ε +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ≥ ⇒ + + ≤N K p+
T.Cauchy
1 20
n n n pa a a∞
+ + +≤ + + + < ε ⇒ na∑K (C).
Demonstraţiile pentru afirmaţiile (ii) şi (iii) (Teorema lui Riemann) se pot
consulta din bibliografie ([30]; [36] pag. 98-100; [41]).
Exemple: 1o ( ) 1
1
1 n
n
+∞ −∑ (SC) dar nu este absolut convergentă
deoarece ( ) 1
1 1
1 1n
n n
+∞ ∞−=∑ ∑ (D).
123
2o ( ) (2
1
1 n
)ACn
∞ −∑ deoarece ( )
2 21 1
1 1n
n n
∞ ∞−=∑ ∑ (C) şi
( )1
1 n
n
∞ −∑ este
comutativ convergentă.
3o ( )
1
1 n
n n
∞ −∑ (D) ( )lim 1 0nn→∞
α = ≠ şi ( )1 1
1 1n
n n n
∞ ∞−=
n∑ ∑ (D)
1lim lim 0n nn na
n→∞ →∞
⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
.
4o 2 2
1
sin 1cu sin 1nn a n∞
π + = π +∑ şi nu există 2lim limsin 1nn na n
→∞ →∞= π + .
Dacă scriem an sub formă echivalentă, vom putea preciza natura seriei
date. Avem:
( )2 2sin 1 sin 1na n n n n⎡ ⎤= π + = π + − + π ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2cos sin 1na n n n⎡ ⎤= π π + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )2
1 sin 11
n nnb
n nπ
− =+ +
−
2sin 1
1nb n
n nπ
= ∀ ≥+ +
şir descrescător cu lim 0 lim 0n nn nb a
→∞ →∞= ⇒ = şi
( )2
21 1
sin 1 1 sin1
nnn n
∞ ∞ ππ + = −
+ +∑ ∑ este convergentă după criteriul
Leibniz ⇒ (SC) 1
na∞
∑
5o ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 1 11cun n n
n n
n na b
n n n n
∞ + − + − −nc= = + = +∑ unde:
1 1
1nb
n
∞ ∞
=∑ ∑ (D) şi ( )
1 1
1 n
ncn
∞ ∞ −=∑ ∑ (SC)
1na
∞
⇒∑ (D)
( )1
1 1 n nn
∞ + −⇒∑ (D).
124
Observaţii:
1. Criteriul general al lui Cauchy, criteriul Dirichlet, criteriul Abel şi
criteriul Leibniz sunt teste de convergenţă pentru serii numerice cu termeni
oarecare şi anume pentru semiconvergenţă.
2. Dacă avem (an)n≥0⊂ R+, atunci seria 0
na∞
∑ este o serie cu termeni
pozitivi şi cum na an= ≥ 0, în acest caz convergenţa coincide cu
convergenţa absolută.
3. Vom preciza mai departe teste de convergenţă pentru serii cu termeni
pozitivi, adică criterii suficiente pentru a decide natura seriei respective.
Pentru cu avem: 0
na∞
∑ 0,na ≥0
0n
n kk
S a=
= ≥∑ şi, în plus, 1 1n n nS S a+ += + ⇒
1 ,n nS S n+⇒ ≥ ∀ ∈N .
5. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi
Fie cu şi 0
na∞
∑ 0,na n≥ ∀ ∈N0
0n
n kk
S a=
= ≥∑ de unde 1 1n n nS S a+ += + ⇒
deci (S1 ,n nS S n+⇒ ≥ ∀ ∈N n) este un şir de numere pozitive crescător şi
convergenţa este dată prin teorema lui Weierstrass.
Teorema II.22. O serie numerică cu termeni pozitivi, este
convergentă, dacă şi numai dacă, şirul sumelor parţiale este mărginit.
Demonstraţie: 0
na∞
∑ (C)( )( )
( ). .convergent
mărginit.şi crescăctor
def T Wnn
n
SS
S
⎧⎪⇔ ⇒⎨⎪⎩
(Sn) mărginit şi crescător (S. .T W⇒ n) convergent în R
0
def
na∞
⇔∑ (C).
125
126
)Exemplu:
( )(1
11 2n n n
∞
+ +∑ cu ( )( )
1 0, 11 2na n
n n n= > ∀ ≥
+ +;
1 1 1 1 12 1 2 2na
n n n= ⋅ − + ⋅
+ + ( )( );
1
11 2
n
nk
Sk k k=
= =+ +∑
( )( )1 1 14 2 1 2n n
= − ⋅+ +
şi (Sn) mărginit prin 10 ,4nS n 1< < ∀ ≥ ⇒
)
( )(1
11 2n n n
∞
+ +∑ (C) cu 1 1lim4 4nn
S S S→∞
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
= .
Teorema II.23. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi de specia
a I-a). Fie cu şi 0
na∞
∑ 0na ≥0
nb∞
∑ cu . Dacă avem: 0nb ≥
(II.27) ,n na b n≤ ∀ ∈N (sau ∃n0 a. î.∀ n ≥ n0: n na b≤ )
atunci au loc afirmaţiile:
1] (C) ⇒ 0
nb∞
∑0
na∞
∑ (C) 2] (D) ⇒ 0
na∞
∑0
nb∞
∑ (D)
Demonstraţie: Presupunem (II.27) adevărată ∀n∈N⇒
(II.27') 0 0
,n n
n k n kk k
S a T b n= =
= ≤ = ∀ ∈∑ ∑ N .
1] Fie (C) 0
n
nb∑( ) mărginit
,n
n n
TS T n⎧⎪⇒ ⎨
≤ ∀ ∈⎪⎩ N( )( )
mărginit
crescătorn
n
S
S
⎧⎪⇒ ⎨⎪⎩
convergent în R ⇒
( )nS⇒
0na
∞
∑ (C).
2] Fie: (D) 0
na∞
∑( ) divergent
crescăctor
defn
n
SS⎧⎪⇒⎨⎪⎩
⇒ nemărginit superior
,n
n n
SS T n⎧
⇒⎨ ≤ ∈⎩ N
( )( )
nemărginit superior
crescătorn
n
T
T
⎧⎪⇒ ⎨⎪⎩
( )0
divergent n nT b∞
⇒ ⇒∑ (D).
Exemple:
1o 0
13n a
∞
+∑ cu ( ) 0
0
1 13 30
1C 13
n
n nn
n
n
a baa a
b q
∞
∞
⎧ ⎛ ⎞= < =⎪ ⎜ ⎟+⎪ ⎝ ⎠> ⇒ ⇒⎨⎛ ⎞⎪ = <⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
∑∑
(C)
2o 1
1n
∞
∑ cu ( )
( )1
1 1
1 1
D1 D
n n
n
n
b ann b
an
∞
∞ ∞
⎧ = > =⎪⎪ ⇒⎨⎪ =⎪⎩
∑∑ ∑
Teorema II.24 (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi de specia
a II-a) Fie cu şi 0
na∞
∑ 0na >0
nb∞
∑ cu . Dacă avem: 0nb >
(II.28) 1 1 ,n n
n n
a b na b+ +≤ ∀ ∈N (sau ∃n0 a. î. 1 1 ,n n
n n
a ba b+ +≤ ∀ n ≥ n0),
atunci:
1o] (C) ⇒ 0
nb∞
∑0
na∞
∑ (C) 2o] 0
na∞
∑ (D) ⇒ 0
nb∞
∑ (D)
Demonstraţie: Presupunem (II.28) adevărată pentru n∈N şi
înmulţim şirul de inegalităţi cu termeni pozitivi obţinut pentru n = 0, 1, ...,
n-1:
1 1
0 001 2 1 2
0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 1
n n n nn n
n nn n
n n
a ba b
a b a ba a b b a ba a a b b b a b b
a ba b
− −
− −
⎧ ≤⎪⎪⎪ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤⎨⎪⎪ ≤⎪⎩
K K K K K a
0
0
0, ,n na a b nb
⇔ λ = > ≤ λ ∀ ∈N (II.28')
127
Fie (C) ⇒ 0
nb∞
∑ 0
( )
, (II.28')
ICn
n n
b C
a b n
∞⎧ λ⎪ ⇒⎨⎪ ≤ λ ∀ ∈⎩
∑N 0
na∞
∑ (C) .
Fie 0 0 0
( ) ( ) ( ).
,
IC
n n
n n
a D b D b D
a b n
∞ ∞ ∞⎧ ⇒ λ ⇒⎪⎨⎪ ≤ λ ∀ ∈⎩
∑ ∑ ∑N
n
Exemplu: 1 !
n
n
ne n
∞
∑ cu ( )( )
11
1
1:
! 1 !
nn nn
n n nn
nan nae n a e n e n
+
++
+!n= ⇒ =
+⇒
1
11n
n
n
a na e+
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠⇒ = .
Avem: ( )1
1
1 1 11 11 1 1 11 11
n nn nee
n n n nn n
++
⎧ < < ∗⎧⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ < < +⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⇒⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪∀ ≥⎩ ⎪∀ ≥⎩ N
şi
înlocuind în raportul 1 ,n
n
aa+ avem:
( )
( ) ( )1 1
1
1 1
1 1
1 111 1 11 1111
!1
n
nn n
n nn n
n n
n
a bnn na n e n b na D Dn e nn
b Dn
+ ++ ∞ ∞
∞ ∞
⎧ ⎛ ⎞+⎪ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ +⎪ = + > = = =⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⇒ ⇒+⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪
⎪=⎪
⎩
∑ ∑
∑ ∑
Teorema II.25. (Criteriul de comparaţie cu limită). Fie 0
na∞
∑ cu
şi cu . Dacă există limita:
0na >
0nb
∞
∑ 0nb >
128
(II.29) lim ,n
nn
a l lb→∞
= ∈R ,
atunci avem:
1] pentru , seriile 0 l< < ∞0
na∞
∑ şi 0
nb∞
∑ au aceiaşi natură.
2] pentru l = 0 şi 0
nb∞
∑ (C) ⇒ 0
na∞
∑ (C)
3] pentru l = ∞ şi 0
nb∞
∑ (D) ⇒ 0
na∞
∑ (D)
Demonstraţie: 1] Din (II.29) lim 0, N n
nn
a l nb ε→∞
= ⇔ ∀ε > ∃ ∈
( ) ( )a.î. n n nn n b l a b lε∀ ≥ ⇒ −ε < < + ε (II.29'). Presupunem 0
nb∞
∑ (C) şi
avem: . Presupunem ( )
( )0
0
( )( )
;
ICn
n
n n
b l Ca C
a b l n n
∞∞
ε
⎧ + ε⎪ ⇒⎨⎪ < + ε ∀ ≥⎩
∑ ∑0
nb∞
∑ (D) şi
avem: . Presupunem ( )
( )0
0
( )( )
;
ICn
n
n n
b l Da D
b l a n n
∞∞
ε
⎧− ε⎪ ⇒⎨
⎪ − ε < ∀ ≥⎩
∑ ∑0
na∞
∑ (C) şi avem:
( ) ( )0
( )IC
n nn
b l ab l C
n n
∞
ε
− ε <⎧⎪ ⇒ −ε⎨∀ ≥⎪⎩
∑ , l - ε >0 prin alegerea convenabilă
a lui ε > 0 ⇒ 0
nb∞
∑ (C) . Presupunem 0
na∞
∑ (D) şi avem:
( ) ( )0
( )IC
n nn
a b lb l D
n n
∞
ε
< + ε⎧⎪ ⇒ + ε⎨∀ ≥⎪⎩
∑ ⇒ 0
nb∞
∑ (D) .
129
130
n2] Pentru l = 0 din (II.29) avem:, 0
n nb a bn nε
−ε < < ε⎧⎨∀ ≥ ∀ε >⎩
. Dacă 0
nb∞
∑ (C)⇒
. Se observă că, dacă considerăm l = 0 şi
(D) ⇒
00
( )( )
;
ICn
n
n n
b Ca C
a b n n
∞∞
ε
⎧ ε⎪ ⇒⎨⎪ < ε ∀ ≥⎩
∑ ∑
0na
∞
∑0
( )IC
nb D∞
⇒ ε∑0
nb∞
∑ (D) .
3] Pentru l = ∞ = lim n
nn
ab→∞
⇔ lim 0
,
n
nn
n n n
ba
a b a n n
→∞
ε
⎧ =⎪⎨⎪−ε < < ε ∀ ≥⎩
şi 0
nb∞
∑ (D) ⇒
(D) ⇒ 0
na∞
ε∑0
na∞
∑ (D). Se observă că, dacă presupunem 0
na∞
∑ (C) ⇒
0
( )
,
n
n n
a C
b a n n
∞
ε
⎧ ε⎪⎨⎪ < ε ∀ ≥⎩
∑ ⇒ 0
nb∞
∑ (C) .
Exemple: 1o 1
1 sinn n
∞
∑ 1 cu 1 sinnan n
=1 , n ≥1 şi luăm 2
1nb
n= şi
21
1 ( )Cn
∞
∑ . Avem: 2
1 1 1sinIC
n nban n n
= ≤ = ⇒1
1 sinn n
∞
∑ 1 (C).
Altă metodă:
1sinlim lim 11
n
n nn
a nlb
n→∞ →∞
= = = şi 21
1n
∞
∑ (C) IC
⇒1
1 sinn n
∞
∑ 1 (C).
2o 21
5 12 1
nn
∞ ++∑ cu 2
5 12 1n
nan+
=+
, n ≥ 0 şi 1
1 1, 1 cu (nb nn n
∞
= ≥ ∑ )D avem:
( )2
1
5 15 12 1lim lim şi 1 2
lCn
n nn
na n Db n
n
∞
→∞ →∞
++= = ⇒∑ 2
1
5 12 1
nn
∞ ++∑ (D).
3o 2
1ln n
∞
∑ cu 1 , 2lnna n
n= ≥ şi 1
nbn
= cu 1
1n
∞
∑ (D) ⇒
( )2
11lnlim lim lim şi 1 ln
lCn
n n nn
a nn Db n n
⇒
n
∞
→∞ →∞ →∞= = = ∞ ∑
2
1ln n
∞
∑ (D).
4o 2
1lnn n
∞
∑ cu 1 ,lnn n
an
= şi 1n n
bn
= cu 2
1n n
∞
∑ (D) ( )lim 0nnb
→∞≠ ⇒
( )2
1 1 1 şi ln ln
IC
n nn n nb a
n n n
∞
⇒ = < = ∑ D .
Consecinţa II.13. Fie 0
na∞
∑ cu (an)n ≥ 0⊂R şi 0
nb∞
∑ cu (bn)n ≥ 0⊂R.
Dacă avem: ,n na b n≤ ∈N şi atunci . (1
nb AC∞
∑ ) ( )1
na AC∞
∑
Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu inegalităţi
de specia a I-a.
Consecinţa II.14. Fie 0
na∞
∑ cu an>0 şi 0
nb∞
∑ cu bn >0, atunci au loc
afirmaţiile:
(i) Dacă 0 lim limn n
nn n n
a ab b→∞→∞
< ≤ < +∞ atunci 0
na∞
∑ şi au
aceeaşi natură.
0nb
∞
∑
(ii) Dacă lim n
nn
ab→∞
< +∞ şi 0
nb∞
∑ (C) ⇒ 0
na∞
∑ (C).
(iii) Dacă lim 0n
n n
ab→∞
> şi 0
nb∞
∑ (D) ⇒ 0
na∞
∑ (D).
131
Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu limită,
folosind definiţia limitelor extreme ale unui şir şi legăturile acestora cu
limita şirului dacă există.
Consecinţa II.15. Fie 0
na∞
∑ cu . Dacă există q cu 0 < q < 1
şi respectiv q ≥ 1 astfel încât
0na >
1 , Nn
n
a q na+ ≤ ∀ ∈ , respectiv 1 , Nn
n
a q na+ ≥ ∀ ∈ ,
sau pentru n ≥ n0, n0∈N, atunci seria 0
na∞
∑ este convergentă, respectiv
divergentă.
Demonstraţie: Se aplică criteriul de comparaţie de specia a II-a cu
bn = qn, q∈R* şi 0
nb∞
∑ = 0
nq∞
∑ (C) pentru 0 < q< 1 şi 0
nb∞
∑ = (D)
pentru q ≥1.
0
nq∞
∑
Teorema II.26 (Criteriul de condensare al lui Cauchy).
Fie (an)n ≥ 0 ⊂ un şir monoton descrescător, atunci seriile şi
au aceeaşi natură.
*+R
0na
∞
∑
20
2 nn a
∞
∑
Demonstraţie: Seria 0
na∞
∑ are aceeaşi natură cu seria obţinută
printr-o grupare convenabilă (care este o permutare σ : N→ N) a
termenilor: ( ) ( ) ( )1 1 2 11 1 1.... ... ... ... ...n n nk k k k k ka a a a a a a
++ ++ + + + + + + + + + +
unde k1 < k2< ....< kn < ... este un şir de numere naturale divergent
( lim nnk
→∞= +∞ ). Notăm 12 1 2 2 2
...n nnb a a a n++ += + + + şi cum (an) este
descrecător obţinem: (II.30) ( ) ( )11 1
2 22 2 2 2n n
n n n nna b a+
+ +− ≤ ≤ − ⇔
132
(II.30') 11
2
1 22 n
nna b a+
+ ≤ ≤2
2 nn şi după criteriul de comparaţie cu inegalităţi
de specia a I-a rezultă că seriile 0
na∞
∑ şi au aceeaşi natură ([30];
[36]; [41]).
20
2 nn a
∞
∑
Exemple: 1o 1
1 cun
∞
α α∈∑ R , seria armonică generalizată.
1
1n
∞
α∑ (D) pentru 0α ≤ , deoarece lim 0nna
→∞≠ . Pentru 0α > aplicăm
criteriul de condensare al lui Cauchy şi fie:
( ) 121 1 1 1
1 12 222
n
nn n n
na q
∞ ∞ ∞ ∞
α α−
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑ cu 1
12
q >0. α−=
Dacă 1 21 1
10 1 12 n
n nq q 2∞ ∞
α−< = < ⇔ α > ⇒ =∑ ∑ a (C)⇒1
1n
∞
α∑ (C) pentru
α>1.
Dacă ( ) ( )1 21 1 1
1 11 1 22 n
n nq q a Dn
∞ ∞ ∞
α− α= ≥ ⇔ α ≤ ⇒ = ⇒∑ ∑ ∑ D pentru
α≤1.
2o
( ) ( ) ( )11 1
12 1 11 1 1
1 1şi 2 21 ln 1 2 1 ln 2
nn n
nn na b
n n +
∞ ∞ ∞+ +
++ +1
∞
= = =+ + +
∑ ∑ ∑ ∑
( )( ) ( )1
11
1 2ln 2 1 2 1
n
nD
n
+∞
+= ⇒
+ +∑ ( ) ( ) ( ) 1
1
1 lim 111 ln 11
n
n
bDn n
n
∞+
→∞
⎛ ⎞⎜ ⎟
=⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ .
Consecinţa II.16. Fie 0
na∞
∑ cu , atunci au loc afirmaţiile: 0na >
133
(i) Dacă există α > 1 a.î. lim nnn a lα
→∞= finit, atunci
0na
∞
∑ (C).
(ii) Dacă există α ≤ 1 a.î. lim nn
n a lα
→∞= nenul, atunci
0na
∞
∑ (D).
Demonstraţia este directă din criteriul de comparaţie cu limită cu
1nb
nα= şi consecinţa II.14 condiţiile (ii) şi (iii).
TeoremaII.27 (Criteriul raportului al lui D’Alembert). Fie
cu , dacă există limita: 0
na∞
∑ 0na >
(II.31) (1lim n
nn
a l la+
→∞= ∈R )
( )C D
atunci avem:
I pentru II pentru 0
1 nl a∞
< ⇒∑ ( )0
1 nl a∞
> ⇒∑
III pentru l = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.
Demonstraţie:
Relaţia (II.31) ⇔ (II.31') 1
0, a.î.
n
n
n nal la
nε ε
+
∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩
N
I Pentru l < 1 alegem ε > 0 a. î. 0 q l 1< = + ε < şi din (II.31') avem:
11 1
nn n
nn n
a bqqa q
++ +< = =
b cu ( ) ( )
. .
1 1
C IIn
nq C a C∞ ∞
⇒∑ ∑
II Pentru l > 1 alegem ε > 0 a. î. 1q l= − ε > şi din (II.31') avem:
11 1+
nn n
nn n
a bqqa q b
++ > = = ( )
1
nq D∞
cu ∑ pentru q > 1 . ( ). .
1
C II
na D∞
⇒∑
Consecinţa II.17. Fie 0
na∞
∑ cu an > 0, dacă nu există 1lim n
nn
aa+
→∞, dar
există α = 1lim n
n n
aa+
→∞ şi β = 1lim n
nn
aa+
→∞ atunci, avem:
134
I') pentru β < 1 ⇒ 0
na∞
∑ (C).
II') pentru α > 1 ⇒ 0
na∞
∑ (D).
Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme ale
unui şir numeric şi relaţia lor cu limita şirului.
Consecinţa II.18. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare
. 0
na∞
∑
I) Dacă există (1lim n
nn
aa+
→∞= λ λ∈R ) atunci avem:
a) pentru ( )1
1 na AC∞
λ < ⇒∑
b) pentru ( )1
1 na D∞
λ > ⇒∑ .
II) Dacă nu există 1lim n
nn
aa+
→∞, dar există α1 = 1lim n
n n
aa+
→∞ şi β1 =
1lim n
nn
aa+
→∞ atunci avem:
a') pentru ( )11
1 na AC∞
β < ⇒∑
b') pentru ( )11
1 na D∞
α > ⇒∑ .
Demonstraţia este directă din consecinţa precedentă, definiţia
seriilor absolut convergente şi criteriul raportului.
Exemple: 1o 0
1!n
∞
∑ cu ( )
11 !, 0! 1
nn
n
a na nn a n
+= ≥ ⇒ = =1
! 1n+ + cu
135
( )1
0
1lim 0 1!
n
nn
a l Ca n
∞+
→∞= = < ⇒∑
2o 1 !
nnn
∞
∑ cu ( )( )
11 1 ! 1, 1
! ! 1 !
n nnn
nn
nan na nn a n n n n
+
+ + +⎛ ⎞n= ≥ ⇒ = = ⇒⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
( )1
1
1lim lim 1 1!
n nn
n nn
a ne Da n n
∞+
→∞ →∞
⎛ ⎞⇒ = + = > ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
3o ( )1
12
nn
n∞
−∑ cu ( ) 11
1 21 , 12 2
nn n
n n nn
an na na n+
+
+= − ≥ ⇒ = ⇒
( ) ( )1
1
1 1lim lim 1 12 2 2
nnnn n
n
a n n ACa n
∞+
→∞ →∞
+⇒ = = = λ < ⇒ −∑
Teorema II.28.(Criteriul rădăcinii al lui Cauchy). Fie cu
, daca există limita:
0na
∞
∑
0na ≥
(II.32) ( )lim Rnnn
a l l→∞
= ∈ atunci avem:
I) pentru II) pentru ( )1
1 nl a∞
< ⇒∑ C D( )1
1 nl a∞
> ⇒∑
III) pentru l = 1 nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu.
Demonstraţie: Egalitatea (II.32)⇔(II.32') 0, a.î.
nn
n n
l a l
nε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩
N
I) Pentru l < 1 alegem ε > 0 a.î. q = l + ε <1 şi din (II.32') avem:
( )( )
. .
11
pentru 0 < < 1
nnn C I
nnn
a qa q l
a Cq C qn n
∞∞
ε
⎧ <⎧ < = + ε⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≥⎪ ⎪⎩ ⎩
∑∑.
II) Pentru l > 1 alegem ε > 0 a.î. q = l - ε >1 şi din (II.32') avem:
136
( )( )
. .
11
1
pentru > 1
nnn C I
nnn
a qa q
a Dq D qn n
∞∞
ε
⎧ >⎧ > >⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≥⎪ ⎪⎩ ⎩
∑∑.
Consecinţa II.19. Fie 0
na∞
∑ cu an > 0, dacă nu există lim nnn
a→∞
, dar
există α2 = lim nn
na
→∞ şi β2 = lim n
nna
→∞ atunci, avem:
I') pentru β2 < 1 ⇒ 0
na∞
∑ (C).
II') pentru α2 > 1 ⇒ 0
na∞
∑ (D).
Demonstraţia: se obţine folosind definiţia limitelor extreme ale
unui şir şi legătura lor cu limita şirului.
Consecinţa II.20. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare
. 0
na∞
∑
(I') Dacă există: ( )lim nnn
a→∞
= λ λ∈R atunci avem:
a) pentru b) pentru . ( )0
1 na AC∞
λ < ⇒∑ ( )0
1 na D∞
λ > ⇒∑
(II') Dacă nu există lim nnn
a→∞
dar există α' = lim nn
na
→∞ şi β'= lim n
nna
→∞
atunci avem:
a') pentru b') pentru . (0
1 na AC∞
′β < ⇒∑ ) ( )0
1 na D∞
′α > ⇒∑
Demonstraţia este directă din consecinţa precedentă, definiţia
seriilor absolut convergente şi criteriul rădăcinii.
137
Exemple 1o 1 2n
nα∞
∑ cu α ≥ 0 şi 0, 1 lim2
nn nn n
na nα
→∞a= > ∀ ≥ ⇒ =
( ) ( )21
1lim 1 02 2 2
nn
nn
nl Cα∞
→∞
α= = = < ⇒ α∑ ≥ .
2o ( )2
1
1
11
n
n
n
n
∞ −
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ cu ( ) ( )2 2
1 1, 1
1 11 1
n n
n nn n
n na n
n n
− −= ≥ ⇒ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11
n
n
n
n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒
( ) ( )2
1
1lim 1 111
nnn nn
na Ae
n
∞
→∞= λ = < ⇒ −
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ C .
3o ( )1
1 cu , 1şin n
na aa a n an n
∞
≥ = ≥∑ 1≥ ⇒ lim lim 1n
n nnn n
al a an→∞ →∞
= = = >
⇒ (1
1na a
n
∞
>∑ ) (D) şi pentru a = 1⇒ 1na
n= şi ( )
1
1 Dn
∞
∑ .
Criteriul lui Krummer.
Fie (an), (αn) două şiruri strict pozitive astfel încât există
11
lim nn nn
n
aa
α α +→∞+
⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠ρ atunci:
a) dacă ρ > 0 ⇒ 1
na∞
∑ (C)
b) dacă ρ < 0 şi 1
1
nα
∞
∑ (D) ⇒ 1
na∞
∑ (D).
Cazuri particulare:
I. pentru nα = 1 ⇒ criteriul raportului;
II. pentru nα = n ⇒ criteriul Raabe – Duhamel;
138
III. pentru nα = n ln n ⇒ criteriul Bertrand.
Teorema II.29. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie 0
na∞
∑ cu
şi dacă există limita:
0na >
(II.33) (1
lim 1n
nn
ana→∞
+
⎛ ⎞− = µ µ∈⎜ ⎟
⎝ ⎠R) atunci avem:
1o pentru 2( )1
1 na C∞
µ > ⇒∑ o pentru ( )1
1 na D∞
µ < ⇒∑
3o pentru nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu. 1µ =
Demonstraţie: 1) dacă µ >1 (µ poate fi şi + ∞) atunci există L >1
şi nL∈ N a. î. 1
1n
n
ana +
⎛ ⎞−⎜
⎝ ⎠⎟
L
> L, ∀ n≥ nL (dacă µ ∈ R atunci L = µ - ε0 cu
ε0 > 0 şi a. î. L>1) care este echivalentă cu:
(II.33') 1 1. ,n n nL a na na n n+ +< − ∀ ≥ .
Presupunem că (II.33') are loc pentru n∈N şi obţinem şirul de
inegalităţi:
( ) ( )
2 1 2
3 2 3
1
LL 2.....................L 1 1n n
a a aa a a
a n a n a−
< −⎧⎪ < −⎪⎨⎪⎪ < − − −⎩ n
care prin adunare membru cu membru conduce la:
( ) ( )2 3 2 3 1L ... ... 1n na a a a a a n an
−+ + + < + + + − −⎧⎪ n ⇔⎨∈⎪⎩ N
139
( )1LNn n n nS a S na S
n− < − <⎧⎪ ⇔⎨
∈⎪⎩
1LL 1
N
naS
n
⎧ <⎪−⎨
⎪ ∈⎩
⇔ (Sn) este mărginit şi an>0 ⇒
(C). 0
na∞
∑
2) Dacă 1
lim 1n
nn
ana→∞
+
⎛ ⎞−⎜
⎝ ⎠⎟ = µ < 1 (µ poate fi - ∞), atunci există q< 1
şi nq ∈ N a. î. 1
1n
n
ana +
⎛ ⎞−⎜
⎝ ⎠⎟
1+
< q, ∀ n≥ nq (dacă µ ∈ R se ia q = µ + ε0 <1,
ε0>0).
⇔ 1 1
, 1n n n n
q
na na qa an n q
+ +− < <⎧⎪⎨∀ ≥ <⎪⎩
( ) 11n n
q
na n an n
+⎧ < +⎪⎨
≥⎪⎩ ⇔
⇔
( )
1 1. .
1
11
1
1 şi
n nC II
n n
0na
∞
q
a bna b
n
n n Dn
+ +
∞
⎧⎪ +> =⎪⎪ ⇒⎨⎪⎪ ≥⎪⎩
∑
∑ (D).
Consecinţa II.21. Fie 0
na∞
∑ cu an > 0, dacă nu există
1
lim 1n
nn
ana→∞
+
⎛ ⎞−⎜
⎝ ⎠⎟ , dar există α* =
1
lim 1n
n n
ana→∞ +
⎛ ⎞−⎜
⎝ ⎠⎟ şi β* =
1
lim 1n
nn
ana→∞
+
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
atunci, avem:
1) pentru β* >1 ⇒ 0
na∞
∑ (C).
2) pentru α* < 1 ⇒ 0
na∞
∑ (D).
140
Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme ale
unui şir numeric.
Consecinţa II.22. Fie (an)n≥ 0⊂ R* şi seria cu termeni oarecare
. Dacă există limita 0
na∞
∑ (1 11
lim 1 Rn
nn
an
a→∞+
⎛ ⎞− = µ µ ∈⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠)
)
atunci avem:
1o pentru 2(11
1 na AC∞
µ > ⇒∑ o pentru ( )11
1 na D∞
µ < ⇒∑
Demonstraţia este consecinţă direcă din criteriul Raabe –
Duhamel şi definiţia seriilor absolut convergente.
Teorema II.30. (Criteriul lui Bertrand). Fie 0
na∞
∑ cu .
Dacă există limita:
0na >
(II.34) 1
lim ln ( 1) ln( 1)n
nn
an n n na→∞
+
⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥
⎣ ⎦ρ
atunci avem:
1) pentru ρ > 0 ⇒ 0
na∞
∑ (C).
2) pentru ρ< 0 ⇒ 0
na∞
∑ (D).
Demonstraţia acestui criteriu din bibliografie ([36] pag. 85)
Consecinţa II.23. Fie 0
na∞
∑ cu an > 0, dacă nu există limita (II.34),
dar există α=1
lim ln ( 1) ln( 1)n
n n
an n n na→∞ +
⎡ ⎤− + +⎢ ⎥
⎣ ⎦ şi
β = 1
lim ln ( 1) ln( 1)n
nn
an n n na→∞
+
⎡ ⎤− + +⎢ ⎥
⎣ ⎦ atunci, avem:
141
1) pentru α <0 ⇒ 0
na∞
∑ (D).
2) pentru β >0 ⇒ 0
na∞
∑ (C).
Demonstraţia: este directă folosind definiţia limitelor extreme şi
criteriul lui Bertrand.
Teorema II.31. (Criteriul lui Gauss). Fie 0
na∞
∑ cu . Dacă
raportul
0na >
1
n
n
aa +
se reprezintă sub forma:
(II.35) 11
, ; 0;cu
şir mărginit în n n
nn
a xxa n n +α
+
λ µ∈ α >⎧µ= λ + + ⎨
⎩
RR
atunci avem:
I) Pentru II) Pentru ( )0
1 na C∞
λ > ⇒∑ ( )0
1 na D∞
λ < ⇒∑
III) Pentru ( )0
1şi 1 na C∞
λ = µ > ⇒∑
IV) Pentru ( )0
1şi 1 na D∞
λ = µ ≤ ⇒∑
Demonstraţie: I) şi II). Aplicînd criteriul raportului obţinem:
1 1lim n
nn
a la+
→∞= =λ
şi:
I) pentru ( )1
1 1 1 nl a∞
= > ⇔ λ < ⇒λ ∑ D
II) pentru 1 1 1l = < ⇔ λ > ⇒λ
. ( )0
na C∞
∑
142
Dacă 1 1l = = ⇔ λ =1λ
, aplicăm criteriul Raabe-Duhamel
1
lim 1 limn n
n nn
a xna nα→∞ →∞
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = µ + = µ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
şi avem:
III) pentru , ( )0
1şi 1 na C∞
λ = µ > ⇒∑
IV) a) pentru . ( )0
1şi 1 na D∞
λ = µ < ⇒∑
b) pentru şi µ = 1, avem: 1λ = 11
11n
n
aa n n
nx+α
+
= + + şi aplicăm criteriul lui
Bertrand:
11
1ln ( 1) ln( 1) ln 1 ( 1) ln( 1)n nn
n
a xB n n n n n n n na n n +α
+
⎛ ⎞= − + + = + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
ln( 1) ln1 n
nn xn n
nα= + +
+ şi vom calcula lim nn
B→∞
ρ = . Cum (xn) este şir
mărginit şi 2 2
2
ln 2ln 2 2 1 ln0 l nn
n n n nxn n n nn
α α
αα α α α→∞im 0< = < = ⋅ ⇒ ⋅
α α α= ; termenul
( 1) ln1
nnn
++
are limită: 11lim( 1) ln lim ln 1
1
n
n n
nnn n
+
→∞ →∞
⎛ ⎞+ = − + =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
= . În aceste condiţii obţinem: ln 1e− = − lim nnB
→∞ρ = = -1 + 0 = -1 < 0 ⇒
([36]; [41]; [42]). ( )0
na D∞
∑
143
Observaţii:
1. Criteriul rădăcinii este mai tare decât criteriul raportului deoarece dacă
există 1lim n
nn
aa+
→∞λ = , atunci există şi lim n
nna
→∞= λ . Reciproca nu este în
general adevărată.
2. Există cazuri când putem preciza natura seriei cu criteriul rădăcinii, dar
nu şi cu criteriul raportului.
Exemplu:1.0
1 ; 23cu1 ; 25
n
n n
n
n ka a
n k
∞⎧ =⎪⎪= ⎨⎪ 1= +⎪⎩
∑ există :
( )1
1lim 13
nnn
a∞
→∞= < ⇒∑ na C . Aplicând criteriul raportului, avem:
2 11 2
22 1
2 11 2 1
22
5lim lim lim ; 131
5lim lim lim 0; 112
kn k
kn k kn k
kn k
kkn n kk
a aa a
a aa a
−+
→∞ →∞ →∞+
++ +
→∞→∞→∞
⎧β = = = = +∞ β >⎪⎪⎪⎨⎪α = = = α <⎪⎪⎩
şi nu putem preciza natura
seriei . 0
na∞
∑
3. Dacă criteriul rădăcinii al lui Cauchy nu dă informaţii asupra naturii unei
serii, atunci nici criteriul raportului nu poate preciza natura seriei
respective.
4. Dacă în criteriul raportului şi în criteriul rădăcinii avem l = 1, se aplică
criteriul Raabe-Duhamel.
5. Dacă în criteriul Raabe-Duhamel se obţine µ = 1, se aplică: criteriul
Bertrand şi în final criteriul lui Gauss care rezolvă toate cazurile.
144
Exemple:1o
( ) ( ) ( )1
! 01
n aa a n
∞
>+ +∑ L
⇒
1 1lim lim 11
n
n nn
a nla n a+
→∞ →∞
+= = =
+ +,
1
lim 1n
nn
ana→∞
+
⎛ ⎞µ = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
1lim 1 ( )1n
n an an→∞
+ +⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠R D−
( )
( )
( ) ( )
1
1
1
1 Pentru 1
2 Pentru 1
! 1 13 Pentru 11 ! 1 1
on
on
on
a a C
a a D
na an n n
∞
∞
∞
⎧µ = > ⇒⎪
⎪⎪⎪ µ = < ⇒⎨⎪⎪
µ = = ⇒ = = ⇒⎪+ + +⎪⎩
∑
∑
∑ D
2o ( )( )1
2 1 !!2 2 !!
nn
∞ −+∑ , ( )
( )( )( )
.2 1 !! 1 3 5 2 12 2 !! 2 4 6 2 2 2
rap
n
n nn n n− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
= = ⇒+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
KK
a
1
1
2 1 2 4 3lim lim 1; lim 1 lim 1 12 4 2 1 2
n n
n n n nn n
a an nl n na n a n+
→∞ →∞ →∞ →∞+
⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= = = µ = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
( )1
na C∞
∑
>
(R - D).
3o 1 11
2
na
n
∞
+ + +∑
K 1 , a>0; ( )1
1
1 11 divergent şi crescător cu2
1lim
11
n
nn
n n
Sn
S Dn
S Sn
∞
→∞
+
⎧ = + + +⎪⎪
⎛ ⎞⎪ = +∞⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪
⎪= +⎪
+⎩
∑
K
cu 1 112
n n
nn
a aaS
n
= =+ + +K
; 1
( )lim lim 1
1
n n n
rap n nn
n
a a Sl aa S
n
+
→∞ →∞= = =
++
I Dacă II Dacă ( )1
1 nl a a C∞
= < ⇒∑ ( )1
1 nl a a D∞
= > ⇒∑ 145
III Dacă 1
11 lim nn n
n n
al a a nS a→∞
+
⎛ ⎞= = ⇒ = ⇒µ = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠1
( )1
111lim 1 lim 0 1
1
n
nn nn n
S nnn aS n S
∞
→∞ →∞
⎛ ⎞+⎜ ⎟+ − = ⋅ = < ⇒⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ D
4o ( ) ( )1
1 11 c
!a a a n
an
∞ − − ++ ∈∑ R Z
Lu − , avem
( ) ( )0
1
11 1
!n n
aa a a n
an≥
=⎧⎪⎨ − − +
=⎪⎩L 1
( )lim lim 1
1n
rap n nn
a n aa n+
→∞ →∞
−; λ = = =
+ cu:
;;
0; ;
n a n an a a n n a
n a
− >⎧⎪− = − <⎨⎪ =⎩
1
1lim 1 lim 1n
n nn
a nn na n a→∞ →∞
+
⎛ ⎞ ⎛ + ⎞µ = − =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝
− =⎟⎟⎠
( )11lim 1 lim 1( )n n
n ann an a n a→∞ →∞
+⎛ ⎞+⎛ ⎞= − = = +⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠R D−
(Axioma Arhimede: , a. R, Nn a n a a n n aî.− = − ∀ ∈ ∃ ∈ > )
I Dacă ( )1
1 1 0 1 na a a∞
µ = + > ⇔ > ⇒ +∑ AC
ACII Dacă µ = a + 1 = 1 ⇒a = 0 ∉R – Z şi ( )1
0 1n na a∞
= ⇒ +∑
III Dacă ( )1
1 1 0 1 na a a∞
µ = + < ⇔ < ⇒ +∑ D şi -a > 0 avem:
( )( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 11 1
!n n
n
a a n an
∞ ∞− − − ++ − =∑ ∑
L1 1+ − α cu
( )( ) ( )1 10
!n
a a n an
− − − +α = >
L. Aplicăm criteriul lui Leibniz:
146
1 1 1 11
n
n
n a n a n a an
+α −= ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −
α +1
Pentru ( )1,0a∈ − şirul αn este descrescător şi cum αn > 0,
( ) ( )1
lim 0 1 1 nn nn S
∞
∀ ∈ ⇒ ∃ α = ⇒ + − α∑N C .
Pentru 1 21 1!n
nan
⋅ ⋅= − ⇒ α = =
K )m 0 1 1 nn n D
∞
α ≠ ⇒ + − α∑ şi li ( ) (1
Pentru ( ]1 , 1≤ − ⇔ ∈ −∞ − )lim 0 1 1 nn n D
∞
α ≠ ⇒ + − α∑a a avem . ( ) (1
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1
1 1 11
! 1 1Seria hipergeomtrica
nn n
∞⎧ α α + α + − 1nβ β+ β+ −+⎪ γ γ + γ + −⎨
⎪⎩
∑L L
L
( )( )( )( ) ( )1 1şi lim 1
1n n
nn n
n na a l rapa n n a+ +
→∞
+ α +β= =
+ + γ=
cu α,β,γ∈R *+
5o
Criteriul lui Gauss:
( )( )( )( )
( )( )
2
21
1 1n
n
n n n naa n n n n+
+ + γ + γ + + γ= =
+α +β + α +β +αβ⇒
( )2
1
11n n
n
a xa n+
γ + − α +β= + +
n
cu
( )( )( )
( )( )( )( )( )
( )
3 2
1; 1; 1
1 1
convergent în şir mărginitR
n
n n
n nx
n n n n n n
x x
λ = α = µ = γ + − α +β⎧⎪
γ −αβ− α +β γ + −α −β⎡ ⎤ αβ γ + −α −β⎪⎨
⎣ ⎦= −+ α +β +α +β⎪
⎪ ⇒⎩
)
(III) ( ) (1
1şi 1 1 1şi 1 na C∞
λ = µ = γ + − α +β > ⇔ λ = γ > α +β⇒ +∑
147
148
)(IV) . ( ) (1
1şi 1 1 1şi 1 na D∞
λ = µ = γ + − α +β ≤ ⇔ λ = γ ≤ α +β⇒ +∑
6o ( ) ( )ln ln
3
1 culn ln ln ln
nnn
an n
∞
=
=⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ 1n şir descrescător pentru n ≥ 3.
Criteriul de condensare al lui Cauchy: are aceeaşi natură cu seria: 3
na∞
∑
( ) ( )2 ln 23 3 3
1 12 2ln 2 ln ln 2ln ln 2
n nn n
nn n n
an n
∞ ∞ ∞
= = =
= =+
=⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∑ ∑ ∑
( ) ( )1
3 3
1 2 1 1 2 1cu = şi limln 2 ln ln 2 ln 2 ln ln 2
n nn
n n nn n n
bb b ln n n n b
∞ ∞+
→∞= =
= = =+ +∑ ∑
( )3
2 1 nn
b D∞
=
= > ⇒ ⇒∑ ( ) ( )23 3
2 nn
nn n
a D a D∞ ∞
= =
⇒∑ ∑
=
.
7o ( )1
1 10 lim lim2 2
n
nn
an ana l an n
∞ + +⎛ ⎞ > ⇒ = = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ a
C D
I II ( )1
1 na a∞
λ = < ⇒∑ ( )1
1 na a∞
λ = > ⇒∑
III ( )1
1 11 şi lim 02
n
n nna a a an e
∞+⎛ ⎞λ = = ⇒ = = ≠ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ n D
Produsul seriilor numerice convergente
Definiţia II.9.
1] Fie ( ) ( )0şiRn nn n
a b≥ ≥⊂
0R⊂ . Se numeşte convoluţie sau produs
convolutiv al celor două şiruri (an) şi (bn), şirul numeric (cn) definit prin:
( ) 0 0 0 1 0 1 1 00
II.36 , , , ,n
n k n kk
c a b c a b a b c a b −=
= = + =∑K K
2] Se numeşte serie produs după Cauchy al seriilor 0 0
şin na b∞ ∞
∑ ∑
149
nb ⎞⎟⎠
seria notată: 0
nc∞
∑0 0 0
n nc a∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎛= ⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠⎝∑ ∑ ∑ .
Observaţii:
1. Dacă şi , în general, seria produs Cauchy nu
este totdeauna convergentă.
( )0
na C∞
∑ ( )0
nb C∞
∑0
nc∞
∑
2. Exemplu: ( ) ( )
1
11
n
Cn
∞ −
+∑ după criteriul Leibniz şi luând:
( )11
n
n na bn−
= =+
, ∀n∈N, obţinem: ( ) ( )
0 0
1 11 1
k n kn n
n k n kk k
c a bk n k
−
−= =
− −= = =
+ − +∑ ∑
( )( )( )0
1
1 1
nn
k k n k=
−=
+ − +∑ .
Avem: ( )( ) ( )( )
2
21 11 1 1
2 1 11
2
nn k kn k k n
⎛ ⎞− + + ≤ + ⇔ ≥⎜ ⎟ − + +⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
şi
atunci ( )0
2 122 2
n
nk
nc
n n=
+> =
+ +∑ cu ( ) ( ) ( )0
2 1lim 2 0
2 n
nD a
n
∞ += ≠ ⇒
+∑
( ) ( )lim 00 0
lim 0 şin
n ncc D c c D
∞ ∞
≠
⇒ ⇒ ≠∑ ∑ n
3o În consecinţă, pentru convergenţa seriei produs Cauchy se impune
condiţia ca cel puţin una dintre cele două serii sa fie o serie absolut
convergentă.
Teorema II.32. (Teorema Mertens-Cauchy).Dacă seriile
şi sunt absolut convergente cu suma S şi respectiv T,
atunci seria produs Cauchy
( )0
na C∞
∑ ( )0
nb C∞
∑
0nc
∞
∑ este absolut convergentă cu suma ST.
Demonstraţia în bibliografie ([36] pag. 101 - 103).
Exemple 1o Seria 2
11nx x x
∞
= + + +∑ L este absolut convergentă
pentru 1x < cu suma 0
11
nSx
∞
= =−
x∑ atunci seria produs Cauchy:
( )20 0
11n na b
x
∞ ∞⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ unde:
( )2
21 1 2 3
1x x
x= + + +
−K .
( )1... cu 1,1nnx x−+ + ∈ −K este absolut convergentă.
2o Seria ( )0
n
n Cx
∞
∑ cu suma ( )2 pentru 11
xS xx
= >−
; notăm 1 ax= şi
(1)1
1 1 1
1 1, avem n
n nn
nx a na a nax
∞ ∞−> ⇔ < = = =∑ ∑ ∑ ( )2
11
aa−
cu |a| <1.
6. Calculul aproximativ al sumei unei serii convergente.
Fie o serie numerică convergentă cu suma S, 0
na∞
∑ lim ,nnS S
→∞= ∈R
. Pentru determinarea sumei S ∈ R a seriei 0
n
nk
S=
= ∑ ka0
na∞
∑ (C) avem două
posibilităţi:
150
I Calculăm lim , RnnS S S
→∞= ∈ dacă Sn are o exprimare care permite să se
calculeze direct . lim nnS
→∞
II Aproximăm RS∈ printr-o sumă parţială cu NnS n∈ convenabil ales;
şi evaluăm eroarea absolută nS S≅ nE S S= − n
)
respectând cerinţele
problemei date.
Vom indica două teoreme pentru calculul aproximativ al sumei unei
serii convergente.
Teorema II.33. Fie cu (0
na AC∞
∑ RS∈ . Dacă există n0∈N şi
astfel încât: (0,1q∈ )
( ) 10.37 ,n
n
aII q
a+ ≤ ∀ ≥n n atunci avem: ( ).38
1n n nqII E S S a
q= − ≤
−
Demonstraţie:
Relaţia (II.37) ⇔ ( )' 1 0.37 , , 0n n nII a q a n n a+ ≤ ∀ ≥ ≠ şi obţinem:
de unde: 1 2n n nS S a a+ +− = + +K
( ) ( )2 21 2 ... 1n n n n n nE S S a a a q q a q q q+ += − ≤ + + ≤ + + = + + + =K K
11na q
q=
− deci (II.38).
Observaţie: Dacă se cere să calculăm S cu aproximaţie ε cu ε > 0
dat, atunci se determină m∈N cu m ≥ n0 a. î. 11na q
q≤ ε
− pentru ∀n≥m şi
avem:
(II.39) . 0 00 1 1 ...m n nS S a a a a a+≅ = + + + + +K m
151
Teorema II.34. Fie seria alternată ( ) 1
11 n
n
∞+− α∑ cu (αn)n≥1 ⊂ R+ un
şir monoton descrescător şi lim 0nn→∞α = , atunci seria ( ) 1
11 n
n
∞+− α∑ (C) şi
suma sa S poate fi aproximată de suma parţială Sn cu o eroare mai mică
decât modulul primului termen neglijat, prin lipsă dacă n este par şi prin
adaos dacă n este impar, deci:
( ) 1II.40 n nE S S n+= − ≤ α .
Demonstraţie: Pentru orice n ≥ 1, avem: 2 2n nS S S −1≤ ≤ ⇒
şi 2 0nS S− ≥ 2 1 0, 1nS S n− − ≥ ∀ ≥ . Cum (αn) este monoton descrecător
avem:
( ) ( )( ) ( )
2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2
2 1 2 2 2 2 3 2 3 2 4 2
...
...n n n n n n
n n n n n n
S S
S S1n
n
+ + + + +
− + + + +
− = α − α −α − α −α ≤ α⎧⎪⎨
− = α − α −α − α −α ≤ α⎪⎩
+
0n n
n n
S S nS S
+
−
de unde rezultă: 2 2 1
2 1 2
0 , 1≤ − ≤ α ∀ ≥⎧⎨ ≤ − ≤ α⎩
1 1n n n nE S S + += − ≤ α = α ⇒
( )1 0, 1n n+α ≥ ∀ ≥ .
Exemple 1o ( )31
2 1!
n Cn n
∞ +∑ cu suma S. Să calculăm S cu aproximaţia de
. Avem: 310−ε =
( )( ) ( )
31
4
2 3 121 2 1
n
n
n naa nn n+ += ≤
++ + pentru avem: 04 şin n≥ =
( )13
11 2 60,1 16 1 1
6
nn n n
n
a q nq E S S aa q+ +≤ = ∈ ⇒ = − ≤ = =
− −
1!n n
152
3 3
2 1 1 1 pentru 5! 5 10
n nn n+
= < ≥ ⇒5
5 31
2 1 3,362!n
nS Sn n=
+≅ = =∑
2o ( )( )
( )4 4 40
1 1 113 52 1
n
Cn
∞ −= − +
+∑ L .Să calculăm S cu o aproximaţie de
. 410−ε =
Avem ( )4
12 1
nn
α =+
şi alegem minim a. î. 1n ≥
( )
( )4 41 44 4
1 1 1 2 3 1010 102 3
n nn
+α < ⇔ ≤ ⇔ + ≥+
pentru n0 = 4 ⇒
( )( )
4
4 40
10,98883
2 14
n
n
S Sn
n=
⎧ −≅ = =⎪
+⎨⎪
≥⎩
∑
3o ( )0
1!
Cn
∞
∑ cu S = e şi să calculăm S cu aproximaţia . Avem: 710−ε =
1 1( 1)! ( 2)!ne Sn n
− = + + =+ +
L 1 1 11( 1)! 2 ( 2)( 3)n n n n
⎡ ⎤+ + + <⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦
L
2
1 1 1 1 1 11 1( 1)! 1 ( 1) ( 1)! !11
n n n n n nn
⎡ ⎤< + + + = =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ −
+
L ⇒
7
1 1! 10n n nE S S e S
n n⇒ = − = − ≤ < pentru 0 10n n≥ = ⇒
10
100
1 2,718083!n
e Sn=
≅ = =∑ K
153
4o ( )0
( 1)!(3 1)
n
Cn n
∞ −+∑ şi să calculăm S cu o aproximaţie de . 310−ε =
( )11 1 3
1 1 ( 1)! 3 1 10( 1)!(3 1) 10
nn n n nE S S n
n+
+ += − ≤ α = < ⇔ + + >+ +
3 pentru
0 31 1 13 1 0,7904004
1!4 2!10 3!28n n S S≥ = ⇒ ≅ = − + − = ⇒
0,7904004S⇒ ≅ K
5o 11
1 ( )3n C
n
∞
−⋅∑ calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = . Avem:
1 2
1 301 3
6
6 11
1 1 1 1 1 11( 1)3 ( 2)3 1 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 2( 1)3 10 pentru şi11 3 1 3 2 1013
1 1,216083
n n n n n n
nn n
nn
E S S S Sn n n
n n nn n
S Sn
+
−−
−=
⎛ ⎞= − = − = + + < + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠
= = < ⇔ + > ≥+ +−
≅ = =⋅∑
L L
6o 0
( 1) ( )!
n
Cn
∞ −∑ calculăm S cu două zecimale exacte.
1n nE S S n+= − ≤ α cu 1!n n
α = şi ( ) 31 3
1 1 1 ! 10( 1)! 10n nn+α = < ⇔ + >+
0 5 51 1 16 = 0,3666 < 0,014 deci 0,3666n n S Se e e
≥ = ⇒ − − ≅ = K
7o 1
1 ( )2n C
n
∞
∑ cu suma S şi calculăm S cu o aproximaţie de . 310−ε =
154
( ) ( ) ( )1 2 1 2
301 3
7
71
1 1 1 1 111 2 2 2 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 ( 1) 10 pentru 711 2 1 2 1012
1 0,692242
n n n n n n
nn n
nn
E S S S Sn n n
n n nn n
S Sn
+ + +
+
=
⎛ ⎞= − = − = + + < + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠
= = < ⇔ + > ≥ = ⇒+ +−
≅ = =∑
L L
8o 0
( 1) ( )!(2 1)
n
Cn n
∞ −+∑ calculăm S cu o aproximaţie de 310−ε = .
1 03
1 1 pentru 5!(2 1) 10n nS S n n
n n−− ≤ α ≡ < ≥ =+
⇔
4
40
( 1) 0,7475!(2 1)
n
n
S Sn n=
−≅ = =
+∑
9o 1
2 ( )( 1)!
n
Cn
∞
+∑ calculăm S cu trei zecimale exacte. Avem:
10 1 2
1
02 3
9
91
2 1 pentru 4;2 3
1 1 2 1 1 2 1 pentru 913 3 ( 1)! 3 ( 1)! 1013
2( 1)!
nn n n
n
n n
n
n
a n n S S a aa n
a nn n
S Sn
++ +
−
= < ≥ = − = + + <+
⎛ ⎞< + + = = < ∀ ≥ =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ −
≅ =+∑
L
L n ⇒
Să se precizeze natura următoarelor serii numerice:
1. cu a ≥ 0, a ≠ 1⇒ ln
1
na∞
∑1ln 01lim lim 1
nn n
n nn
a a aa
++
→∞ →∞= = = Criteriul Raabe –
Duhamel:
1ln1ln1 1lim 1 lim 1 lim ln1ln
1
nn n
n nn n n
n
a a nn n a nna nn
++
+
→∞ →∞ →∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ −µ = − = − = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+
155
1 1ln lim ln ln ln ln ln1
n
n
na a en a
−
→∞
⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+⎝ ⎠a = .
I. Dacă µ = 1lna
>1= ln e ⇔ 1
1na a
e
∞
< ⇒∑ (C)
II. Dacă µ = 1lna
<1 ⇔ 1
1na a
e
∞
> ⇒∑ (D).
III. Dacă µ = 1lna
=1 ⇔ 1lnln1 1n na e e
e n−= = = = şi
1 1
1( )na Dn
∞ ∞
=∑ ∑ . Deci: ln
1
1( ) pentru 0,
1( ) pentru ,
n
C ae
aD a
e
∞
⎧ ⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎡ ⎞⎪ ∈ +∞⎟⎢⎪ ⎣ ⎠⎩
∑ .
2. 1
nan
∞
∑ cu a ∈ R; 1
şi n
n n
aa a
n
∞
= ∑ avem:
11lim lim
1
nn
nn nn
a a nl aa n a
++
→∞ →∞= = ⋅
+= .
I. l = |a| < 1 ⇔ a∈(-1, 1) avem 1
na∞
∑ (C) şi 1
na∞
∑ (AC).
II. l = |a| > 1 ⇔ a∈(- ∞, -1) ∪(1, + ∞) avem 1
na∞
∑ (D) şi lim nna
→∞≠0
⇒ ≠ 0 şi lim nna
→∞ 1na
∞
∑ (D).
III. l = |a| = 1 ( ) ( )
1
1
1 11 şi ( )
1 11 şi ( )
n
n n
n
a a Dn n
a a Sn n
∞
∞
⎧= ⇒ =⎪
⎪⎨
− −⎪ = − ⇒ =⎪⎩
∑
∑ C⇒
1
nan
∞
∑ este:
i) (AC) pentru a∈[-1, 1) şi ii) (D) pentru a∈(- ∞, -1) ∪[1, + ∞).
156
3. 1 !
nan
∞
∑ cu a ∈ R; 1
şi !
n
n n
aa a
n
∞
= ∑ avem:
11 !lim lim 0,
!( 1) 1R
nn
nn nn
a a anl aa n n na
++
→∞ →∞= = ⋅ = = ∀
+ +∈ ⇒ pentru l < 1⇒
1na
∞
∑ (C), ∀a∈R şi 1
na∞
∑ (AC), ∀a∈R.
4. ( )1
1 cu 1,n an a
∞
∈ − ∞+∑ .
I. Pentru a >1 ⇒ 1
1 1
1 11 10 şi ( )
1 ( )
n nn n
nn n n
n
a bn a a
a Cn a n a
b Ca
∞
∞ ∞
⎧ = < =⎪ +⎪= > ⇒⎨+ +⎛ ⎞⎪ = ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
∑∑ ∑
.
II. Pentru a∈(-1, 1] avem:
1 1
0; 1 1 1lim lim 1 şi ( ) ( )11; 1nn
nn n
a aa D
a nn
∞ ∞
→∞ →∞
− < <⎧= ⇒ = ⇒⎨ =⎩
∑ ∑a D pentru
a∈(-1, 1] ( a = 1 ⇒ 1
1 1cu ( )1 1na D
n n
∞
=+ +∑ ).
157