Şiruri de numere reale

Prof: Tulvan Emilia

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să definească noţiunea de şir de numere reale

• să facă diferenţa între un şir de numere reale şi o mulţime de numere reale

• să prezinte modalităţile de definire ale unui şir de numere reale, cu exemplificări

• să determine termenii unui şir în anumite condiţii date

Defiţie:

Un şir de numere reale reprezintă o succesiune de numere reale

realizată după o anumită regulă, fiecare număr ocupând un loc bine determinat.

Notaţia matematică utilizată este:

,...,...,, 321 naaaa

1nna

Numerele se numesc termenii şirului Indicele fiecărui termen al şirului arată locul pe care-l ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang.Termenul cu indicele n se numeşte termen general.

,...,...,, 321 naaaa

1nna

Exemple de şiruri:

,...5,5,5,5:)(

,...3,3,2,2,1,1:)(

,...1

)1(,...,4

1,3

1,2

1,1:)(

,...,...,3,2,1:)(

,...,...,4,3,2,1:)(2222

n

n

nn

n

n

y

xn

c

nb

na

Un şir de numere reale se numeşte şir constant dacă toţi termenii săi sunt egali:

a,a,a,a,...

Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale• Într-un şir elementele se pot repeta, pe

când într-o mulţime elementele sunt distincte

• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir este foarte importantă

Moduri de definire a unui şir de numere reale

1. Şiruri definite descriptiv (prin descriere)

Exemplu:

Acest şir se poate descrie astfel: fiecare termen al său se scrie cu ajutorul cifrei 1 şi numărul cifrelor este egal cu rangul termenului şirului.

,...1111,111,11,1:)( nd

2. Şiruri definite cu ajutorul unei formule

Un şir poate fi definit indicând o formulă ( numită formula termenului general) din care se obţine orice termen al şirului particularizând pe n (n=1, n=2, n=3,...)

Exemplu:

Fie şirul definit prin formula

Termenul

1nna 25 nan

52250210510 a

3. Şiruri definite printr-o relaţie de recurenţă

O relaţie de recurenţă este o formulă cu ajutorul căreia se exprimă orice termen al şirului, începând de la un anumit rang, în funcţie de termenii precedenţi (unul sau mai mulţi)Exemplu:Fie şirul , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă:Termenul

1nna

321 nn aa

133103522 a

Muncă independentă:

1) Să se determine primii trei termeni ai şirului cu termenul general

2) Să se determine , dacă =-1 şi

3) Să se determine formula termenului general pentru şirul definit descriptiv astfel:

53 nan4a 1a

42

11 nn aa

,...4

6,4

5,

3

4,2

3,

1

2

Exerciţiu oral:Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir:

• 1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., .....

• 2, 12, 22, 32, ......, ......., .....

• 7, 9, 11, 13, ......, ......., .....

• 19, 16, 13, 10, ......, ......., .....

• 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

Progresia aritmetică

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie aritmetică

• să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice

• să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Definiţie:

Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică.

Aşadar, progresia aritmetică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

, unde r este un număr real fixat, numit raţie.

1nna

raa nn 1

Exemple de progresii aritmetice

• 1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1

• -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5

• 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3

• 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Proprietăţile unei progresii

aritmetice

P1) Un şir este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem:

1nna

211

nnn

aaa

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 17 şi = 25.

Să se afle şi raţia r.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt:

17, 21, 25, adică r = 4.

1nna

8a 10a

9a

212

2517

2108

9

aa

a

P2) Într-o progresie aritmetică , termenul general este dat de formula:

1nna

rnaan )1(1

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 24 şi r = -5.

Să se afle

Soluţie:

1nna

1a

9a

164024)5()19(249 a

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice este dată de formula:

1nna

2

... 1321

naaaaaaS nnn

Exemplu

Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24.

Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia

r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci:

156626

2

12242

S

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică:

a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...

b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu

=10 şi = 151a 2a

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.

Muncă independentă

1) Să se determine termenii x, y, z, t ai progresiei aritmetice: x,y,-21,z,-15,t,...

2) Să se determine termenul al unei progresii aritmetice dacă

3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice dacă

10a

30,12 63 aa

50,36,12 53 naa

Progresia geometrică

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie geometrică• să poată determina orice termen al unei

progresii geometrice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media geometrică a termenilor unei progresii geometrice• să calculeze suma primilor n termeni ai

unei progresii geometrice, în diverse ipoteze

DefiniţieUn şir de numere reale al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte progresie geometrică.

Aşadar progresia geometrică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

unde q este un număr real nenul fixat, numit raţie.

qaa nn 1

1nna

Exemple de progresii geometrice

• 1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3

• 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5

• 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5

• 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1

Proprietăţile unei progresii

geometrice

P1) Un şir de termeni pozitivi este o progresie geometrică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie geometrică a vecinilor săi,

adică pentru n ≥ 2 avem:

1nna

11 nnn aaa

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 4 şi = 9.

Să se afle şi raţia q.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 4,6,9, adică q =

1nna

8a 10a

9a

6949 a

2

3

P2) Într-o progresie geometrică termenul general este dat de formula:

1nna

11

nn qaa

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 24 şi q = 2.

Să se afle

Soluţie:

1nna

1a4a

192824224 144 a

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este dată de formula:

1

1... 1

321

q

qaaaaaS

n

nn

1nna

Exemplu

Să se calculeze suma

S = 1+2+4+8+16+...+256.

Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia

q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:

511151212

12

121 99

S

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie geometrică:

a) 1, 4, 16, 64, 256, ...

b) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii geometrice cu

=10 şi = 301a 2a

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 36 formează o progresie geometrică.

Muncă independentă

1) Să se detemine primii doi termeni ai progresiei geometrice pentru care

2) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice dacă:

3) Să se verifice dacă numerele

Pot fi termeni ai unei progresii geometrice?

4,2568 qa

8,2,8 31 naa

7,5,3

4) Să se determine x real astfel încât tripletul: x-4, x+2, 2x+2, să fie în progresie aritmetică5) Să se rezolve ecuaţia:

1+4+7+...+x = 1176) Un triunghi dreptunghic au măsurile unghiurilor în progresie aritmetică. Ce măsuri au acestea?7) O tribună a unui stadion se compune din 20 rânduri şi fiecare rând următor are cu 16 locuri mai mult decât rândul precedent. În ultimul rând sunt 404 locuri. Câţi spectatori încap în tribună?8) Suma a 10 numere în progresie aritmetică este 145. Ştiind că al patrulea, al doilea şi al nouălea termen sunt în progresie geometrică, să se determine numerele.

Spor la muncĂ!!!