TUCIAN DRAGOMIR

ADRIANA DRAGOMIR OVIDIU BADESCU

PROBLEME DE MATEMATICAPENTRU

CLASA a X-a

Edilia a Vl-a

Edltura Paralsla 45

Cuprins

Prefald....... ........5

Capitolul I. Numere reale.......... ...........7l.l. Puteri gi radicali.... .........................71.2.Lo9aitni.................. ...................201.3. Probleme de matematic[ aplicatii. ...................261.4. Teste de evaluare .........................31

Capitolul II. Numere complexe, .........342.1. Numere complexe sub form{ algebric[.... ......342.2. Aplicalii in geometria p1an6....... .....................432.3. Forma trigonometric[ a unui numdr complex, operalii, ecuatii ap1ica6ii.................. 4g2.4.Teste de evaluare .........................54

Capitolul III. f,'uncfii gi ecuafii.... ...,...563.1. Functii injective, surjective, bijective .............563.2. Functia putere, fi.rnctia radical, ecuafii......... ....................... 633.3. Func{ia exponenfialE, func{ia logaritrnic[, ecua{ii gi inecualii ...............663.4. Functii trigonometrice, ecuatii ........................753.5. Probleme de matematictr aplicatd. ...................823.6. Teste de evaluare .........................87

Capitolul IV. Metode de numirare ................. .....904.1. Inductie matematici, probleme simple de numlrare ..........904.2.Elemente de combinatoric6........ .....................964.3. Binomul lui Newton .................. 1014.4. Probleme de matematicl aplicati.. ................1064.5. Teste de evaluare ....................... l0g

Capitolul V. Maternatici financiare............... ..... 1105.1. Procente, dobdnzi, T.V.A. ......... I l05.2. Elemente de statistic[, probabilit5li, variabile aleatoare ...................... 1145.3. Elemente de calcul probabilistic ................... I 195.4. Probleme de matematic6 aplicati. ...............1275.5. Teste de evaluare .......................130

Capitolul VI. Geometrie .............. .....1326.1. Reper cartezian in plan, distanle, calcul vectorial .............. ..................1326.2.Eo;orlii ale dreptei, paralelism, perpendicularitate.......... ...................... 1366.3. Calcule de distanle qi arii.."........ ....................1446.4. Probleme de matematici aplicat6.. ................1476.5. Teste de evaluare ............."......... 14g

Capltotul VII. Modele de tecte .,.,'.... 150

7,L.Ltet6A serise semestriale,,.,,,,.,.. ,,,...........'..'. 150

7,2.Testc de preg6tire pentru Conousul de matematiedaplieaf[,,Adolf Haimoviei".,. 158

7,3. Teste de preg6tire pentnr Olimpiada nationalE de matematieE.,,'.,..,.,,.,,......,......"'. 153

Soluftl '...'....., 170

Capitolul I. Numere rea1e,,,,,,..... ,...., 170

Capitolul II. Numere eomplexe.... .'..180

Capitolul III. Funetii qi eeuafii .,.,,,,,.192

Capitolul IV. Metode de numlrare ......................216

Capitolul V, Matematiei furanciare ,.........,.,......,..225

Capitolul VL Geomeffie..,.............. ,...,...,.......,,....233

capitolul vII. Modele de tcste....... ..,......"....,.,,,,.,242

Bibliogratie selectivd ....'..258

CAPITOLUL I. NUMERE REALE

1.1. Puteri gi radicali

Breviar teoretic

o Ridicarea la putere naturaltr a numerelor reale

Dacd ae IR.* gi re N* , atunci qn = g. a.,,,.. 4, iar ao =ln faptoi

(chestiuni cunoscute de fapt din clasele anterioare)

o Puteri cu exponentintreg:,-' =), c€ lR*,ne N*." cn'o Puteri cu exponent rafional:

DacL a) 0,r = L,^. Z,neN* ,n) 2 , afunci o' = o# =\[o* .n

r Propriettrti ale puterilor cu exponent rafional: Dacd a,be IR**,.r,y€ Q, atunci:

1) a*'a/ =a**!

D {=ax-Y'ay

3) (a*)Y =o*to Propriettrfi ale radicalilor:

\ \[a" =az\ <l;b =<li.alt

4) ("-b)" =o'.b'

,(;).=#6) ao =1.

4) <l;=ws) +[G ="+l;

q <l; <\f b e a<b

Dacd a,be IR., iar n,ke (2N + 1) sau a,be (0,+"") si k,ne N , atunci:

, fb=ffl*oExercilii gi probleme de consolidare

1. Stabildi, in fiecare dintre cazurile urmltoare, care dintre numerele a, b qi c este celmai mic gi care este cel mai mare.

a) a=85,b = 410,c=320 ; d) a=920,b=260,c=540 ;

b) a=(*)',,=(*)',"=*; e, "=(-1)' r=(-+)',"=(-1;',

c) a=3r0,b=220,c=84 .96; f) a=36,b=L64,c=5r2 .

7

2. Pentru orice mullime finiti A se noteazd cu m(A)gi M(A) cel mai mic, respectiv cel

mai mare element al mullimii l. Determinali m(A)gi M(A) pentru fiecare dintre

mullimile de mai jos:

a1 l={t2,tu',ool1; d) A={3.s2,4.12,s.f};

a1 ,a={za,t',to'} ; e1 l={t3,ze ,zu};

c\ A={( +)-,[+),,(-i)']' f) A={(;)',[+)',(;)']

3. Determinaii, in fiecare dintre urmitoarele canui,num6rul intreg ft pentru care a:2k:

a) a=32; Ul a=j; c) a=0,25; d) a=0,125; ")

o=fi; f) a=0,0625.

4. Determinati, in fiecare dintre urmitoarele caizt.,i,numirul intregm pentru care b: 5*:

a)b=125; c)b=625; e)b=r;,

U) D=l; d) b=0,008; f b=3125.' 25'

5. DacI x gi y sunt numere ralionale nenule, atunci, pentru un num[r intreg n, se noteazl

4$,y)= x' '!*n. Stabildi care dintre urmltoarele numere sunt inffegi:

a) 4(3,3); c) 4Q,4); e,^(;,*),, t\ur.{ +.i : d) 4p3); f) 4(s,4).,.. L)

6. Pentm orice multime frrttri H se noteazd cu m(II)Si M(H) cel mai mic, respectiv

cel mai mare element al mullimii 1L Determinali m(H) Si AII(H) pentru fiecare

dintre mullimile de mai jos:

a) H={i,;,;,,ij: d) H={ri,*i,-rtr,.\\,b) H ={(-s1' ,{-+)',t-r)',(-l)'} ; e) H ={210,46,e3,87};

c)H={-i,+,-+, ,.#}; fr ,=Ii,-;';, -#}8

7.

8.

Determina{i numerele intregi a qi b pentru care 2o .3b =+.144

Determinafi cea mai mare gi cea mai mic5 valoare a expresiei:

E(m,n)=(-7)* +2.(-l)"+r +3.(-t)'+', unde lz,n e N.

Determinafi numerele reale x gi y pentru care urmdtoarele expresii au valoare minimigi indicafi, in fiecare caz, aceastd valoare extremS:

10. Alex trebuie sd studieze care dintre elementele mullimii:r--l

e = lJ

z8, Vsu, ti+'u, {-}, {/o oo r,1l zt' |'urt

rarionale.

b) x = l+!r*) qi y =1[4s ;

c)x=L:a}=1!2 $iy=[Jzorz];

a) E=*2 +y2 -4x*6y+14;b) E = x2 +2y2 +2x+ 4y +5 ;

c) E= "t.'+6r+13*rffi;

d) E =2' +3Y +2-* +3-Y;

e) E=(1+x)(1+y),dac6 x,!>0 $i xy=4;

f) E=*2 +y2,dacd xay=).

R[zvan trebuie sd fac[ acelagi efort pentru mullimea:(

- -ln =

{Js6,trl sn,tl z",{-},fi"o,,il a+'z

l.Putefi sd ii ajutafi?

11. Determinafi, in fiecare caz, mullimea valorilor reale ale lui r pentnr care au sens

(sunt bine definite) umtltoarele expresii:

a) J2x-1;b\ Ji-2x+0lao-s;

Jr{ +1lr-z+11-t-*;

12. Alex qi R6zvan participb la un duel matematic (de genul celor din epoca Renagterii).Fiecare are de rezolvat urmitoarele 6 probleme, toate cu acelagi enunf: Comparafinumerele x qi y in fiecare caz (lal inseamn[ partea intreag[ a numIrului real a).Evident, c6gtig[ cel care rezolvd corect mai multe probleme. Voi sunteti juriul (pentru

asta trebuie si rezolva(i gi voi problemele...).

a) x=[J^ ] $i.y=[Vffi], d) x=.6 si y=8;

e) x=tJ"] $i.y=[..6m]'

e)

0

c)

d)

I

{/tr; +llxa;x2 +2x-: +.,,6+r.

0,=[V.r] $i y=[{m]

13. Nicoleta gi Laura se confrunti (gi ele) cu probleme (ugoare) de matematic[. Ele au destabilit care dintre urm[toarele numere este mai mare:

g A=?li' b) 8=16; c) f,o.Aceeagi intrebare: dac[ o fi cumva cazul, putefi s6 le ajuta{i? (Oricum, Alex gi

prietenul s6u sunt pe fazil.)

14. Cu aceeagi probleml se confrunt[ qi CristinalLarisa: care dintre urmdtoarele numereeste mai mare:

g A={i; b) 8=111; Q C=114.

15. (O noul lncercare.) Pentru to[i prietenii: Stabilili, justificflnd evident rlspunsul, care

este cel mai mare element al mulfimii M ={Ji,{4,{6}.

f6. Stabilili care dintre urmItoarele numere sunt rafionale;

a)ffi; o;'(6et' ;

ur#ilF;,)(E*;

i{ffi;0(ffi

17. Stabilifi gi care dintre urmltoarele nunere sunt rafionaler

-td) t/3,J81 ;.l ({i)';

'['m'j",[./(r'J',

d,,lJzssoabt6 , a,bee;

DW, a,beQ,

lt. Scriefi unntrtoarele numore eub fotrna u,dF sau d, 4m, ou aG Z,nel\,n22 gi

p,q numer€ pnmcr

10

a)6; u)F; 0 W; il 41fi; e) ffi[; 0 VA8,

19. Acelagi enunt ca gi la exerciliul anterior:

a) .ffi-; b) .6; c) XBa; d) XEo; i {162; D *1240.

20. C6'te numere rafionale confin mu[imile:

t = {"h, Ji, Jr,..., Jm} * a = {{ t,{r,{r,...,{ zon} t

21. Ra{ionaliza{i numitorii frac[iilor:

' I .r-l: e)-=Lta) *T; ' 2,13-i; et 7;7V;' d'r--:L. fl =l :0 ,u1V' ./ r*E) L) N;ffi'

22. Determinali neN pentru "u" ft+ft* .# =2012.

23. Rafionalizali numitorii fractiilor:

,)#; u)#; ,r#; d)#, ,#;o#.24. Soriefi urm6toarele numere sub forma o.d p sau 4 . llp q , cu ae Z,ne ll,n) 2 gi

p, q numere prime:

,)W; d,%3tr,

e) \68'+J56 -Jtu+Jfr; 0 W-etffi+{836,

25. Stabiliti oare dinto urmtrtoarele numere sunt rafionale:

a)JB ,,lffi,W; o)(r,)*.(r,)-i,(r,)3, ,[r*l [r*l [UUJ*

b)rm,ffi Js,-#, ar.,ffi ffi; D[,*i ['

*J*,,-*,

11

26. Stabilifi gi care dintre urmltoarele numere sunt rationale:

a) {r.tli)?[F; d) {6.S.tF'ay 1[z.,li JM Ji {g; et llzJz Jffi .J1 {q;

t21 338

, [,3]' [,*J' [,*)'; r,

[,*J' [,,J' [,,]'27. Comparali numerele a Si b, gtiind c6:

uy(z+Ji)':(z-..6)-'; d)(Ji-r\,.[#)',a1 (t-zJi)'=(, *zJi)-u ; el (t+{i+{+),.[#)',

,(*)'=(;l; Dt#l .[#)'zs. Seconsiderdexpresia E(x)=C {G tlG.llG,x>0. calcula[i E(32).

29. Dacd F(x)= *.15P 4, x)0, calcula{i F(a),pentru o=tW.

30. seconsidereexpresia G(t!=tr[iT, ,l;fi .,1i, t>0.

Calculafi G(r), unde ,=1[4.

l4

3r. Se consider,expresia E(x,y)=# [#l F]

. carcurari E(4,16).

32. Se considera expresia E(a,b) -( '1+ t!-z't')- i

. aur",r, ali E(3,r).Ir'* b' +Zab )

12

33. Calcula{i F(a) in fiecare dintre cazurile urmltoare:

a) F(x)=*4 -4x3 +8x, a=l+.6; d) r(/) =tj -6t2 +12t, a=2+111;

b) F(r) =10x2 -x4, a=Ji+Ji; e) F'(s)=r3-6, , o=?,[i.*V+;

c) r(.r) =4x3 -8x2 +2x+3, a="*, 0 F(u)=8u3 -12u2 +6u, a='y

34. Se consideri numerele reale strict pozitive aqi b pentru "*" o2 =2 $i b6 =!!.Not[m m = min{a,b} qi u = max{a,b}. Determinafi multimea:

s ={*.Zlm <1li . u}. (Teza leeo)

^r ( , ilr,)i , ,

35. Se consider' expresia E(a,b)=#l#* ] i-j

carcura;i r(r,*)

(t )r1 )(r )(r )36. se considerr expresia E(x)=[ru -,,J[,' .t,J[" -t.,J[,' +t,J(:+t).

Determinali cel mai mic num6r natural z pentru care E(n) >2012 -

37. Cileste partea fractionard a numlrului .F t

38. Calculafi partea intreagi a fiec[ruia dintre urmitoarele numere:

a) L-Ji; d) ffi5;D Jl + J1; e) 1+ {6;

.l i-; A -=I=-' Jj-t' 'Js-Jg

39. Calculati partea intreagi a numirului 201?f 2Ol2 "

40. Stabiliti care dinffe urmltoarele afirmafii este adev[rat[:

a) x,yeR.\Q+(x+y)e R\Q; d) xye Q+xe Q sau ye Q;

b) xe Q,.ye IR\Q=+(x+y)e R\Q; e) .ffie Q+{6'e Qsau Se Q.

c) (x+y)e Q+rye Q; 0 (ffi*tF). Q+.,6'e Qsau .[e Q.

13

59. Se considera expresia ,o =(G)'ou

mlrul natural /r pentru cate Eo = s.

60. Se consideri expresia ro =(J;)t'-o

mdrul nafural /r pentru care Fo = q4 .

[#)-,&=ffi,

unde a > 0. Determina(i nu-

unde a > 0. Determinafi nu-

Matematicd de excelenld

61. Determina{i a,be(0,*) pentru care urmltoarele expresii au valoare minimi(desigur, indicati valoarea respectivi):

a) F= az +b2 -3a-5b+15; d) F = o2b2 -2ab +3 ;

e) F=[,*1)(.,*1).au.a a5 +b5 =2:' \. a)\ b)'

JFuu.*; 0 F=5(a2+b2)-2ab-4a-4b+2.

62. Se consider[ num6ru1 1=(t+ox' -rJr).a) Determinali ae Q pentru care le Q.b) Aritati cE existl o infinitate de valori ale lui ae R. \Q pentru care le Q .

63, Precizali care dintre numerele urmltoare sunt rafionale:

,--d) D=Jo-S +Jn-,t24 +Jo+ {a-J-n-Ju;e) E=J;;4$ *]-s-+Ji;r) F =ltt *s{z *1!ffi2c)c=imfiTt;

64. Dacd 0 < a < 2, b >0,c > 0 Si Jabc >2, ardtay cd

6s. Dacd Al+#-Jffi;GT ei B= G#-fr;D+../ilffi , ardtati

7

10

b) F =lza-rl+lzu-zl;

c) F = ,,1o2 -4a+8 +

a') A=rln+aJz;

b) B={[o*oG;

abc+4

--4a

16

cd A2 + 82 este un numlr rafional.

iT- re-66. Se consider[ expresia E(x,y)=\*"'tly'tlyJ*, x,!20. Determina{i ze N,z)2

pentru care E1+,L1=!.' "16' 2

67. Se considera E(i=W=,x*O. Calculali E(z),unde u=!, "ula+x -ia-x l+bz '

a>0,b>1.

68. Aretati c[ numerele Jr,Ji,Jl nu pot fi t€rmeni ai unei progresii aritmetice.

69. Considerlm urmltorul tabel, tn care linia n conline n numere:

Cete linii ale tabelului au primul element un numlr ra{ional?

70. Ar[ta1i c[, pentru oice x,y>0,x* y, valoareaexpresiei:

J.6 ..6

Ji Ji JiT

E(x, y) - * - *J L+ yfi - v ---L-- este constantti.v, -,./y Ji - J*v *,t,

71. Determina{i, in fiecare dintre urmltoarele cazttri, numIrul rational x pentru care are

loc egalitatea respectiv[:

a)!ffiT=vfffi;b) # =a-4llJ;.) 6-21ffi

=z*-414!{--a.

72. Dacd a =l+ 2x - y2,b - I + 2y - 22,c =l+ 2z * x2, ardtali cI existl un singur triplet

(a,b,c)de numere naturale pentru care tire sens expresi ^ \W .

73. Arflta{i cd,dacl- a,be Q* si (G+.6)e a, atunci G. Q 9i r6'e Q.

Este adevirati qi afirmafiai ,,d,bea, (ffi+{6)e Q+'{6e Q 9i {6e Q"?

d)

e)

f)

a-al2u1=*-{zt --1zal*12 =a-{li;r-=z,+1/r r+d1- 2x)3* =t*-11ffi. .

17