serii - departamentul de matematicăgorunescu/courses/cs/curs3.pdf · de reţinut - serie de numere...

52

Serii 2010-2011 Serii Serii 2010 2010 - - 2011 2011 Marina Gorunescu Marina Gorunescu [email protected] [email protected]

Upload: tranduong

Post on 03-Feb-2018

243 views

Category:

Documents

3 download

Report

Download

Embed Size (px):

TRANSCRIPT

Page 1: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serii2010-2011SeriiSerii20102010--20112011

Marina GorunescuMarina [email protected]@inf.ucv.ro

Page 2: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 3: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serie de numere reale

Page 4: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serie convergentă

Page 5: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 6: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 7: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 8: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Operaţii cu serii

Page 9: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul lui Cauchy

Page 10: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 11: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 12: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serie absolut convergentă

Page 13: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi

Page 14: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul de comparaţie cu inegalităţi

Page 15: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 16: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Seria armonică generalizată

Page 17: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriu de comparaţie cu trecere la limită

Page 18: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 19: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul raportului

Page 20: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 21: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 22: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 23: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Evaluarea erorii

Page 24: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemplu

Page 25: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul Raabe-Duhamel

Page 26: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 27: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 28: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul rădăcinii

Page 29: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 30: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 31: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 32: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serii alternante.Criteriul lui Leibniz

Page 33: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemplu

Page 34: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 35: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemplu

Page 36: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serie de funcţii

Page 37: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 38: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Convergenta punctuală

Page 39: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemplu

Page 40: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 41: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Criteriul lui Weierstrassde convergenţă uniformă

Page 42: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemple

Page 43: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 44: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 45: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Serie de puteri

Page 46: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Exemplu

Page 47: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Raza de convergenţă a seriei de puteri

Page 48: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 49: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 50: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Page 51: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

De reţinut- Serie de numere reale, serie convergentă- Seria geometrică, seria armonică generalizată- Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni

pozitivi- Serie alternantă, criteriul lui Leibniz- Serie de funcţii; convergenţă punctuală,

convergenţă uniformă- Serie de puteri, rază de convergenţă

Page 52: Serii - Departamentul de Matematicăgorunescu/courses/CS/curs3.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria armonică generalizată -

Temă

Serie Completa - Uswere

Pistolarul. Seria Turnul Intunecat - Stephen King. Seria...Title Pistolarul. Seria Turnul Intunecat - Stephen King Author Stephen King Keywords Pistolarul. Seria Turnul Intunecat -

Marina Gorunescu - Departamentul de Matematicămath.ucv.ro/~gorunescu/courses/CS/CScurs2.pdf · De reţinut - Serie de numere reale, serie convergentă - Seria geometrică, seria

Viața în Hristos Serie de autor „Sfântul Neofit Zăvorâtul ... · Seria de autor Sf. ... 19 În legătură cu viaţa şi opera Sfântului Teodor Studitul, a se vedea G. Fatouros,

Ghid de Aplicare - Calitatea Energiei · PDF fileModul în care sunt generate armonicile şi efectele acestora asupra asupra ... armonică a curentului electric conduce la o valoarea

Oregon Seria 700 - static.garmin.comstatic.garmin.com/pumac/Oregon_7xx_OM_RO.pdf · Oregon Seria 700 - static.garmin.com ... 7

SERIA TRANSUMAN

353-prevod - Copy) - Centrale pe Peleti · Descriere și avantale cazanului de încălzit apă pe peleti din seria „CB 35“ Cazanele din această serie, destinate valorificării

Etalonarea traductoarelor digitale de accelerație · Se folosește la etalonări pe teren, puritatea armonică a mișcării nefiind todeanuna asigurată. 1.2. Elemente de etalonarea

Seria Bazele democraţiei · Web viewSeria Fundamentele democraţiei Această serie se bazează pe ipoteza fundamentală că educaţia în ceea ce priveşte principiile şi valorile

SERIA Seria 15 - Relee electronice pas cu pas s 15 · (modalitate de curent pasiv) SERIA Seria 15 - Relee electronice pas cu pas si Dimmer 15 transformatoare electromagnetice toroidale

MECANICA CONSTRUCŢIILOR - ct.upt.ro · PDF fileDe exemplu, în cazul mişcării punctului pe cerc, ... mişcare rectilinie oscilatorie armonică: (22) (23) Title: Slide 1 Author:

GHID DE SELECȚIE Temporizatoare · 2020. 10. 8. · SERIA 80 SERIA 81 SERIA 83 SERIA 84 SERIA 85 SERIA 86 SERIA 88 SERIA 93 LE Intermitenţă asimetrică - început ON cu semnal

Coduri echipe examene restante 24 august- 4 septembrie ... · Statica I - E seria A. seria B Rezistența materialelor II - E seria A. seria B Beton armat si precomprimat I - E seria

Motocultor Serie 300

2. OSCILAŢII · 2016-08-24 · 2.2 – Mişcarea oscilatorie armonică ideală 21 2. OSCILAŢII 2.1. Noţiuni generale Se numeşte oscilaţie fenomenul fizic în decursul căruia

Seria RS 46_BT.pdf

Anul XL. Arad, 28 februarie (12 martie) 1916Nr. 9. . şi ...documente.bcucluj.ro/web/bibdigit/periodice/bis... · Cum s'a ajuns la aceasta armonică conlu ... cuvântarea sa întreagă

Criminali in Serie

CENTRALIZATOR - Academia Română · Web viewStudii şi Cercetări de Istoria Artei. Seria Artă Plastică, serie nouă, în 2012 - tom 2 (46) Studii şi Cercetări de Istoria Artei

COLECIA – serie nou

TEZE DE DOCTORAT 2007 · 3 Serie analitică ARGUMENT Seria Teze de doctorat este parte componentă a Bibliogra- ﬁ ei Naţionale a Moldovei şi constituie o viziune de ansamblu asupra

Seria Leucocitara Final

R.N.S. - F.C.P.R. 2014 · sigilare, pornire şi desigilare ceasuri; ... îmbarcați și cu stikerele puse și îi vor trece într-un proces verbal – serie porumbel + seria de deasupra

Seria Evita V/seria Babylog VN...4 Instrucţiuni de reprocesare | Seria Evita V/seria Babylog VN Informaţii cu privire la acest document 1.5 Mărci înregistrate 1.5.1 Mărci înregistrate

Sfidarea. Seria Jocurile foamei. Vol.2 -. Seria... · 2019-09-26 · Title: Sfidarea. Seria Jocurile foamei. Vol.2 - Author: Suzanne Collins Keywords: Sfidarea. Seria Jocurile foamei

Criminalul in Serie

Serie n Serie nouă nr. 15, octombrie 2008 Secretar de redacţie

Mio serie 200, serie 300download.mio.com/Support/Downloads/images/Mio Spirit...Mio serie 200, serie 300 Author Español - Europa/Australia/Nueva Zelanda Created Date 5/29/2016 7:22:12

Revolta. Seria Jocurile foamei. Vol.3 -. Seria... · 2019-09-26 · Title: Revolta. Seria Jocurile foamei. Vol.3 - Author: Suzanne Collins Keywords: Revolta. Seria Jocurile foamei

ANALELE · 2016. 6. 17. · Analele Universităţii Creştine „Dimitrie Cantemir”, Seria Istorie–Serie nouă este o revistă ştiinţifică a Facultăţii de Istorie a Universităţii

istorie - ANALELEistorie.ucdc.ro/revcad/1_2_2014.pdfAnalele Universităţii Creştine „Dimitrie Cantemir”, Seria Istorie–Serie nouă este o revistă ştiinţifică a Facultăţii

Serie 2011-2014