Tema 2. Şiruri şi serii numerice în R. Aplicaţii

Modul 2.1 – Şiruri de numere reale

Definiţia 2.1 a) Se numeşte şir de numere reale o funcţie f : N →R, Notând f(n) cu xn şi şirul prin ( xn )n∈N , xn este numit termen general al şirului. Pentru un m ∈ N , xm este denumit termen ( element ) de rangul ( locul ) m. b) Indicată fiind mulţimea de ranguri ( numere naturale ) n0 < n1 < ...< nk < ... , şirul ( , cu ,∀k∈ N, se numeşte subşir al şirului ( x) Nkky ∈ knk xy = n )n∈N . c) ( xn )n∈N se numeşte şir constant dacă xn+1 = xn, ∀n ∈ N. d) Un şir ( xn )n∈N se numeşte periodic dacă există k∈N* \ { 1 }, astfel încât xn+k = xn, ∀ n ∈N şi x0 ∉{ x1, x2, … xk-1 }. e) Şirul ( xn )n∈N se numeşte staţionar când există n0∈N, astfel încât

0nn xx = , ∀ n ∈ N, n ≥ n0. Observaţii 1) Nu trebuie confundată noţiunea de şir numeric real, fie acesta ( xn )n∈N , cu aceea de mulţime a termenilor săi, adică cu { xn | n ∈ N }. 2) Pentru orice subşir ( )

Nknkx

∈ al unui şir ( xn )n∈N ⊂R, avem:

{0 1, ,...,

kn n nx x x , ...} ⊂ { xn | n ∈ N }. Exemple de şiruri în R

1. ( )*

1

Nn

n

n∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − este un şir ( alternat ) cu mulţimea termenilor { –1,21 ,

31

− ,41 , ... }.

2. Şirul ( xn )n∈N , în care xn = 3,∀n∈N, n ≥ 5, are elementele x0, x1, x2, x3, x4, 3, 3, ... , 3, ... , fiind staţionar ( cu n0 = 5 şi xn = 3 ,∀n ≥ n0 ).

3. Când xn = 10, ∀n ∈ N, şirul ( xn )n∈N este unul constant.

4. Şirul cu termenul general xn=( )

21

21 n−+ ,∀n∈N*, are elementele 0, 1, 0, 1, ... ,

fiind periodic.

5. Nk

k∈

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1271 este un subşir al şirului

Nnn

∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

71 .

Definiţia 2.2 a) Un şir de numere reale ( xn )n∈N se numeşte mărginit ( în R ) dacă mulţimea termenilor săi – { xn | n ∈ N} – este mărginită ( în R ), adică dacă există un interval mărginit I ⊂ R, astfel încât xn∈ I, ∀n ∈ N.

b) Un şir ( xn )n∈N ⊂ R care nu este mărginit se numeşte, firesc, nemărginit. Observaţie. Şirul ( xn )n∈N ⊂ R este mărginit ( în R ), dacă şi numai dacă există a∈ ≡ ( 0,+∞), încât | x∗

+R n | ≤ a, ∀n ∈ N , adică xn∈[-a, a] ,∀n ∈ N. Exemple de şiruri numerice reale, mărginite şi nemărginite

1. Şirul ( )*

1

Nn

n

n∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − este mărginit în R, căci xn=( )

n

n1− ∈[-1, 1], ∀n∈N*.

9

2. Şirul Nnnn

n

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 12

3

este nemărginit în R, deoarece ∀a∈ , ∃ n∗+R a ∈ N, de

pildă na =[ a ]+1, astfel încât ann

nx

aa

ana

>+−

=12

3

.

3. Întrucât |arctg( n4-3)⋅cos(nπ)| < 2π ,∀n ∈ N, şirul ( ) ( )( ) Nnnnarctg ∈⋅− πcos34

este mărginit ( în R ). 4. Şirul cu termenul general xn= -n2, n ∈ N este unul nemărginit ( în R ), pentru

că ∀a∈ , ∃ ∗+R 1][ += ana ∈ N, astfel încât | xn | > a.

5. Şirul periodic Nn

nn∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ]

3[ este mărginit ( în N ⊂ R ), existând intervalul

mărginit I = [0, 2], astfel încât ]3

[nnxn −= ∈ I, ∀n ∈ N.

6. ∀ a∈R, şirul constant a, a, ..., a, ... este mărginit ( în R ). 7. Orice şir staţionar – unde xn =

0nx , ∀n ≥ n0 , n∈N – este mărginit în R,

deoarece există a = max{| x0 |, | x1|, | x2|, ...,|0nx |} astfel încât | xn | ≤ a, ∀n∈N.

Definiţia 2.3 a) Un şir ( xn )n∈N ⊂ R se numeşte crescător dacă xn ≤ xn+1, ∀n∈N, respectiv strict crescător dacă xn< xn+1, ∀n∈N.

b) Şirul ( xn )n∈N ⊂ R se numeşte descrescător dacă xn ≥ xn+1, ∀n∈N, respectiv strict descrescător dacă xn > xn+1, ∀n∈N.

c) ( xn )n∈N ⊂ R se numeşte şir monoton ( strict monoton ) când este fie crescător, fie descrescător ( respectiv strict crescător sau strict descrescător ). Observaţie. Se poate testa şi decide monotonia unui şir ( xn )n∈N ⊂ R pe una din următoarele două căi: i) studierea semnului diferenţei xn+1 – xn, ∀n∈N, şi declararea monotoniei atunci

când xn+1 – xn are, pentru orice n∈N, semn constant ( nenegativ, în cazul în care ( xn )n∈N se dovedeşte a fi crescător; pozitiv, dacă ( xn )n∈N reiese strict crescător; nepozitiv, când ( xn )n∈N rezultă descrescător; negativ, în situţia în care ( xn )n∈N este strict descrescător );

ii) compararea cu 1, ∀n∈N, a raportului 1n

n

xx+ – numai dacă, în prealabil, acesta

se constată a fi pozitiv, pentru orice n∈N – şi stabilirea faptului că şirul ( xn )n∈N este crescător ( strict crescător ) ori descrescător ( strict descrescător ), după cum avem 1n

n

xx+ ≥ 1 ( respectiv 1n

n

xx+ > 1 ), ∀n∈N sau,

corespunzător, 1n

n

xx+ ≤ 1 ( respectiv 1n

n

xx+ < 1 ) , ∀n∈N.

Exemple de şiruri monotone / nemonotone 1. Şirul cu termenul general ( )33ln 2 +−= nnxn ,∀n∈N* este crescător, întrucât xn+1 - xn ≥ 0 , ∀n∈N ( mai precis, x2 - x1 = 0 şi xn+1 – xn > 0 , ∀n∈N* ).

10

2. Şirul Nn

n

∈

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 152 este strict crescător, deoarece 1n

n

xx+ = 5

1

15

15

1

22

2=

−

−+

n

n

> 1, ∀n∈N.

3. Când xn= nn 1+ ,∀n∈N*, şirul în cauză – ( xn )n∈N – este strict descrescător,

pentru că, prin prima procedură, avem xn+1 – xn= 0)1(

1<

+−

nn,∀n∈N*, ori,

cum 1n

n

xx+ = 2)1(

)2(++

nnn > 0, ∀n∈N*, pe a doua cale, deducem că 1n

n

xx+ < 1,∀n∈N*.

4. Dacă xn = – 4, ∀ n ∈ N, atunci şirul constant corespunzător este simultan crescător şi descrescător, diferenţa xn+1 – xn fiind egală cu 0 ( deci nenegativă şi nepozitivă, în acelaşi timp ), ∀ n ∈ N.

5. Şirul Nn

nn ∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+ 2sin

31 π nu este monoton, căci diferenţa xn+1 – xn , egală cu

( )4

1 ]2

1[

+−

+

n

n

,∀n∈N, are semn variabil în raport cu n ∈ N.

Definiţia 2.4 Fie ( xn )n∈N un şir de elemente din R. a) Un element ω ∈ R se numeşte limită a şirului ( xn )n∈N şi se notează cu

lim nnx

→∞, dacă :

( 2.1 ) ∀ V∈V (ω), ∃ nv ∈ N, astfel încât xn ∈ V , ∀ n > nv , n ∈ N. b) ( xn )n∈N se numeşte şir cu limită ( în R ), dacă există ω ∈R , în raport cu care ( xn )n∈N satisface ( 2.1 ). Spunem atunci că şirul ( xn )n∈N are limita ω , scriind lim nn

x→∞

= ω, ori că tinde la ω şi notăm acest fapt prin xn ω. ∞→

→n

c) Când ( xn )n∈N este cu limită şi lim nnx

→∞∈ R, ( xn )n∈N se numeşte şir

convergent ( în R ).Altfel, dacă nu există lim nnx

→∞ sau, când există, lim nn

x→∞

= – ∞

ori lim nnx

→∞ = +∞, atunci ( xn )n∈N este numit şir divergent.

d) Şirul ( xn )n∈N se numeşte fundamental ( şir Cauchy ), dacă : ( 2.2 ) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N, încât ∀ n ≥ nε , n ∈ N şi ∀ p ∈ N* ⇒ |xn+p – xn| < ε. Observaţii. 1. Dacă şirurile de numere reale ( xn )n∈N şi ( yn )n∈N sunt astfel încât ( 2.3 ) ∃ n0 ∈ N şi xn = yn, ∀ n ≥ n0, n ∈ N, atunci au aceeaşi natură, adică sunt, simultan, cu ( aceeaşi ) limită,

convergente ( cu aceeaşi limită ), divergente sau fundamentale. 2. Prin îndepărtarea sau adăugarea unui număr finit de elemente din R,

orice şir de numere reale ( xn )n∈N nu îşi modifică natura, rămânând cum era : divergent, cu limită, convergent sau fundamental.

3. Definiţia unui şir cu limită ( 2.4–b ) se poate exprima, echivalent, şi astfel: “Un şir ( xn )n∈N ⊂ R are limita ω ∈R , dacă, în afara oricărei vecinătăţi a elementului ω, se află cel mult un număr finit de termeni ai săi”.

11

4. Orice şir staţionar de numere reale , ( xn )n∈N , fiind caracterizat prin faptul că există n0 ∈ N, aşa încât xn=

0nx ∈ R ,∀ n ≥ n0, n ∈ N, este un şir convergent, deoarece xn , în R.

∞→→

n 0nx

5. Orice şir constant – ( xn )n∈N , cu xn = a∈ R, ∀ n ∈ N – este un şir convergent , întrucât, în R, xn a .

∞→→

n

6. Orice şir periodic ( xn )n∈N ⊂ R – pentru care există un k∈N* \ { 1 }, astfel încât xn+k = xn, ∀ n ∈N şi x0 ∉{ x1, x2, … xk-1 } – este, evident, un şir divergent.

Teorema 2.1 ( “ε – nε“, de caracterizare a şirurilor cu limită )([13],[16]) Fie ( xn )n∈N ⊂ R un şir cu limită. Atunci: i) lim nn

x→∞

= ω ∈ R , dacă şi numai dacă

( 2.4 ) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ d(xn, ω) ≡ | xn – ω | < ε ; ii) lim nn

x→∞

= + ∞ , dacă şi numai dacă

( 2.5 ) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ xn > ε ; iii) lim nn

x→∞

= - ∞ , dacă şi numai dacă

( 2.6 ) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ xn < - ε . Demonstraţia constă în interpretarea definiţiei 2.4, luând – în cadrul afirmaţiei ( 2.1 ) – V = ( ω–ε , ω+ε ) în cazul i), V = ( ε , + ∞ ) în cazul ii) şi V = ( -∞ , -ε ) în cazul iii). ◄ Observaţie. Condiţia ( 2.4 ) , care asigură faptul că şirul ( xn )n∈N este convergent şi lim nn

x→∞

= ω , echivalează cu următoarea :

( 2.4 )' ∃ ( )ω,lim nnxd

∞→ ≡ ω−

∞→ nnxlim = 0 .

Exemple cu “ε – nε“.

1) Şirul *

1

Nnnn

∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + este convergent, cu limita ω = 1, întrucât, în conformitate

cu ( 2.4 ), avem: ∀ ε > 0, ∃ nε = 1]1[ +ε

∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N* ⇒ | 1nn+ – 1| < ε.

2) Şirul ( numerelor naturale ) cu termenul general xn = n, ∀ n ∈ N, este divergent ( în R ), cu limita + ∞. Într-adevăr, are loc ( 2.5 ), căci: ∀ ε > 0, ∃ nε = 1][ +ε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ xn > ε .

3) Şirul *12

1 2

Nnnn

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

− este divergent ( în R ), cu limita - ∞, deoarece, în

concordanţă cu ( 2.6 ), avem : ∀ ε > 0, ∃ nε = 1]1[ 2 ++++ εεε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ xn < -ε . Teorema 2.2 ( Proprietăţi ale şirurilor convergente în R )

(i) Orice şir convergent ( în R ) are limită unică. (ii) Prin adăugarea sau eliminarea unui număr finit de elemente, orice

şir convergent rămâne convergent, cu aceeaşi limită.

12

(iii) Orice subşir al unui şir convergent ( în R ) este un şir convergent, cu aceeaşi limită.

(iv) Orice şir convergent ( în R ), este mărginit ( Mărginirea unui şir de numere reale este o condiţie necesară pentru convergenţa sa ).

(v) Dacă un şir ( xn )n∈N ⊂ R este convergent, atunci ( xn )n∈N este şir Cauchy ( Însuşirea de a fi şir Cauchy este o condiţie necesară pentru convergenţa unui şir de numere reale ).

Demonstraţie. (i) Fie ( xn )n∈N ⊂ R un şir convergent, astfel încât să avem ω , ν ∈ R şi lim nn

x→∞

= ω ≠ ν = lim nnx

→∞. Cum α = d(ω,ν) > 0, prin aplicarea teoremei 1.6, ar exista

atunci V = (ω – 3α , ω +

3α )∈ V (ω) şi W = (ν –

3α , ν +

3α )∈ V (ν), aşa încât V ∩

W = ∅. Astfel, contrar definiţiei 2.4, o infinitate de elemente xn s-ar afla atât în afara lui V ( cele ce s-ar situa în W ),cât şi în afara lui W (cele ce s-ar găsi în V ). În consecinţă, contradicţia la care s-ar ajunge impune coincidenţa lui ω cu ν. (ii) Decurge în virtutea observaţiei bazate pe relaţia ( 2.3 ). (iii) Fie ( xn )n∈N ⊂ R şirul convergent , cu lim nn

x→∞

= ω ∈ R , şi ( )Nknk

x∈

un subşir

oarecare al său .Ţinând seama de ( 2.4 ), avem: ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N ⇒ | xn – ω | < ε. Atunci, prin considerarea lui kε – cel mai mic număr natural încât kn

ε ≥ nε , rezultă că , ∀ k ∈ N, k ≥ kε , avem nk ≥ kn

ε ≥ nε şi

|knx – ω | < ε . În consecinţă, şirul ( )

Nknkx

∈ este convergent şi lim

knkx

→∞= ω.

(iii) Dacă şirul ( xn )n∈N ⊂ R tinde la un ω∈ R, atunci are loc ( 2.4 ), în care putem lua ε = 1.Aşadar, ∃ n1 ∈ N, aşa încât ,∀ n ≥ n1 , n∈ N, avem | xn – ω | < 1. Altfel spus , | xn | = | xn – ω + ω | ≤ | xn – ω | + | ω | < 1 + | ω |, ∀ n ≥ n1. Luând M = max{ | x1 |, | x 2|, ... | |, 1 + | ω | } ∈ R, deducem că | x

1nx n | ≤ M, ∀ n∈ N, adică faptul că ( xn )n∈N este şir mărginit. (iv) Fie ( xn )n∈N ⊂ R şirul convergent , cu lim nn

x→∞

= ω ∈ R. Folosind ( 2.4 ), cu

2ε în locul lui ε , obţinem : ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N / ∀ n ≥ nε , n ∈ N şi ∀ p∈ N* ⇒

| xn + p– xn | = | xn + p – ω + ω – xn | ≤ | xn + p– ω | + | ω – xn | < 2ε +

2ε = ε .Atunci, în

conformitate cu ( 2.2 ), ( xn )n∈N este şir Cauchy.◄ Definiţia 2.5 Fie ( xn )n∈N un şir de numere reale. a) Un element γ∈R , pentru care există un subşir ( )

Nknkx

∈al lui ( xn )n∈N , astfel

încât γ = limknk

x→∞

, se numeşte punct limită al şirului ( xn )n∈N .

Mulţimea punctelor limită ale lui ( xn )n∈N ⊂ R se notează cu L( xn ). b) Elementele inf (L( xn )) ∈R şi sup(L( xn )) ∈R se numesc limite extreme ale lui ( xn )n∈N . inf (L( xn )) este numit limita inferioară a şirului ( xn )n∈N , iar sup(L( xn )) – limita superioară a lui ( xn )n∈N.

13

Limita inferioară a şirului ( xn )n∈N se mai notează cu nn

x∞→

lim sau prin

, în timp ce, pentru limita superioară a lui ( xnnx

∞→inflim n )n∈N , se mai folsesc

notaţiile nnx

∞→lim şi . n

nx

∞→suplim

Observaţii. 1. Dacă ( xn )n∈N ⊂ R este un şir cu limită şi lim nn

x→∞

= ω ∈R , atunci L(xn) = {ω}.

Aşadar, dacă pentru un şir ( xn )n∈N ⊂ R există lim nnx

→∞ ∈R , aceasta este unică.

2. Reciproca afirmaţiei (iii) din teorema 2.2 nu este, în general, adevărată. Dacă un şir ( xn )n∈N ⊂ R conţine subşiruri care au limită, nu rezultă în mod obligatoriu că şirul ( xn )n∈N are limită. Numai dacă toate subşirurile sale sunt convergente ( în R ) şi au aceeaşi limită, atunci şirul ( xn )n∈N este convergent.

3. Dacă un şir ( xn )n∈N ⊂ R conţine două subşiruri care au limite diferite, atunci el este divergent.

4. În general, reciproca afirmaţiei (iv) din teorema 2.2 nu este adevărată. Nu orice şir mărginit de numere reale este convergent. Există, în R, şi şiruri mărginite, care nu sunt convergente. De exemplu, şirul cu termenul general xn = (–1)n, ∀ n∈ N, satisfăcând relaţia | xn | ≤ 1, ∀ n∈ N, este mărginit, dar divergent, căci xlim

k→∞2k = 1 şi xlim

k→∞2k + 1 = –1, adică mulţimea

punctelor sale limită ( L( xn ) = {–1, 1} ) are mai mult decât un element.De

asemenea, şirul periodic Nn

nn∈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − ]

3[ , deşi mărginit, este divergent, întrucât

mulţimea punctelor sale limită, egală cu {0, 1, 2} , are cardinalul 3 ( > 1 ). Teorema 2.3 (Lema lui Cesaro) ([6], [13], [16]) Orice şir mărginit, cu elemente din R, conţine cel puţin un subşir convergent ( Altfel spus, mulţimea punctelor limită ale oricărui şir mărginit de numere reale este nevidă ). Demonstraţia se găseşte în bibliografie. Teorema 2.4(Weierstrass / teorema de convergenţă a şirurilor monotone) a) Orice şir ( xn )n∈N ⊂ R, monoton crescător şi mărginit superior, este convergent şi are limita egală cu sup{ xn | n∈N}. b) Orice şir ( xn )n∈N ⊂ R, monoton descrescător şi mărginit inferior, este convergent şi are limita egală cu inf{ xn | n∈N}. Demonstraţie. a) Fie ( xn )n∈N ⊂ R un şir crescător şi mărginit superior.Aşadar, xn ≤ xn + 1, ∀ n∈ N şi ∃ sup{xn| n∈N} = α ∈ R, adică xn ≤ α, ∀ n∈ N ( α fiind majorant ) şi ∀ε >0, ∃ ∈ N / > α – ε ( α fiind cel mai mic majorant).Ţinând seama de acestea, putem afirma că, în ipotezele din enunţ,

*ε

n *εn

x

avem: ∀ ε > 0, ∃ nε = ∈ N / ∀ n ≥ n*ε

n ε , n∈N ⇒ α – ε < ≤ x*εnx n ≤ α < α + ε.

Astfel, rezultă că are loc ( 2.4 ), cu α în rolul lui ω. Deci ( xn )n∈N este şir convergent ( în R ) şi lim nn

x→∞

= α . În mod compet similar, se face demonstraţia pentru b). ◄

14

Teorema 2.5 ( Proprietăţi ale şirurilor Cauchy ) Dacă ( xn )n∈N ⊂ R este un şir Cauchy ( fundamental ), atunci : (i) ( xn )n∈N este mărginit ; (ii) ( xn )n∈N este convergent ( în R ), ori de câte ori există un subşir al său – ( )

Nknkx

∈ – convergent ( în R ), situaţie în care lim nn

x→∞

= limknk

x→∞

.

Demonstraţie. (i) Cum ( xn )n∈N este şir Cauchy, conform definiţiei 2.4–d, are loc ( 2.2 ). Pe baza acesteia, luând ε = 1 şi p = 0, rezultă că există n1 ∈ N, astfel încât | xn –

1nx | ≤ 1, ∀ n ≥ n1. Atunci: | xn | = | xn – 1nx +

1nx | ≤ | xn – 1nx | +

|1nx | ≤ 1 + |

1nx |, ∀ n ≥ n1. Astfel, cu M = max{| x1|, | x2 |, ..., | 1nx |, 1 + |1nx |},

avem: | xn| ≤ M, ∀ n∈ N . Deci ( xn )n∈N este un şir mărginit ( în R ). (ii) Fie ( )

Nknkx

∈ un subşir convergent al lui ( xn )n∈N , cu lim

knkx

→∞= η ∈ R. Atunci,

în conformitate cu ( 2.4 ) ( teorema 2.1 ), avem: ∀ε > 0, ∃ kε ∈ N / ∀ k ≥ kε , k∈ N ⇒ |

knx – η | < 2ε . Totodată, întrucât ( xn )n∈N este şir Cauchy, avem: ∀ε > 0,

∃ nε′ ∈ N / ∀ n ≥ nε′ , n∈ N şi p = nk – n ( căci nk > n, ∀ k ∈ N) ⇒ | knx – xn| <

2ε .

Prin folosirea simultană a acestora, obţinem: ∀ε > 0, ∃ nε = max {kε, nε′ }∈ N / ∀ n ≥ nε , n∈ N ⇒ | xn – η | = | xn –

knx + knx – η | ≤ | xn –

knx | +

| knx – η | <

2ε +

2ε = ε . Astfel, prin ( 2.4 ), rezultă că ( xn )n∈N este convergent şi

lim nnx

→∞= η = lim

knkx

→∞ . ◄

Teorema 2.6 ( Cauchy / de carcaterizare a şirurilor convergente în R ) Orice şir de numere reale este convergent ( în R ), dacă şi numai dacă este şir Cauchy ( fundamental ). Demonstraţie. Fie ( xn )n∈N ⊂ R. Dacă ( xn )n∈N ⊂ R este convergent ( în R ), atunci, potrivit afirmaţiei (iv) din teorema 2.2, ( xn )n∈N este şir Cauchy. Reciproc, dacă ( xn )n∈N este şir Cauchy, atunci, conform afirmaţiei (i) din teorema 2.4, ( xn )n∈N este mărginit. Prin teorema 2.3, urmează că ( xn )n∈N are cel puţin un subşir ( )

Nknkx

∈ , convergent ( în R ). Ţinând seama de (ii) din teorema

2.5, rezultă că şirul ( xn )n∈N este convergent. ◄ Observaţii. 1. În virtutea teoremei 2.6, mulţimea şirurilor Cauchy din R coincide cu mulţimea şirurilor convergente ( în R ). 2. Testul Cauchy din ( 2.2 ) poate stabili natura unui şir ( xn )n∈N ⊂ R – convergent în R – fără a pretinde informaţii asupra valorii limitei acestuia. Teorema 2.7 ( Alte proprietăţi ale şirurilor convergente în R )([13],[16]) Fie ( xn )n∈N ⊂ R şi ( yn )n∈N ⊂ R şiruri convergente, cu lim nn

x→∞

= σ ∈ R şi

= ρ∈ R. Sunt adevărate următoarele propoziţii / proprietăţi : lim nny

→∞

(P1) Şirul ( | xn | )n∈N este convergent – adică ( xn )n∈N este absolut convergent – şi lim | |nn

x→∞

= | σ |. Reciproca nu este, în general, adevărată.

15

(P2) Şirul ( xn ± yn ) n∈N este convergent şi ( xlimn→∞

n ± yn ) = σ ± ρ.

(P3) Şirul ( xn ⋅ yn ) n∈N este convergent şi ( xlimn→∞

n ⋅ yn ) = σ ⋅ ρ.

(P4) Dacă yn ≠ 0, ∀n∈N şi ρ ≠ 0, şirul ( n

n

xy

)n∈N este convergent şi limn→∞

n

n

xy

=ρσ .

(P5) Dacă xn ≤ yn, ∀n∈N, atunci σ ≤ ρ. (P6) Dacă ρ = σ şi ( zn ) n∈N ⊂ R este astfel încât xn ≤ zn ≤ yn, ∀n∈N, atunci şirul ( zn ) n∈N converge ( în R ) şi zlim

n→∞n = σ.

(P7) Dacă ρ = 0 şi ∃ χ∈ R, astfel încât | xn – χ | ≤ yn, ∀n∈N, atunci σ = χ. Observaţii. 1. Dacă ( xn )n∈N ⊂ R este un şir mărginit, iar ( yn )n∈N ⊂ R este unul convergent,

cu ylimn→∞

n = 0, atunci ( xn ⋅ yn ) n∈N este convergent şi ( xlimn→∞

n ⋅ yn ) = 0.

2. Dacă ( xn )n∈N ⊂ R şi ( yn )n∈N ⊂ R sunt convergente, atunci, ∀α, β ∈ R, şirul (α⋅xn + β⋅yn)n∈N este convergent şi (α⋅xlim

n→∞n +β⋅yn) = α⋅xlim

n→∞n + β⋅ylim

n→∞n. În

particular, dacă ( xn )n∈N ⊂ R este un şir convergent, cu li xmn→∞

n = σ, atunci,

∀α ∈ R, şirul ( α⋅xn ) n∈N este convergent şi α⋅xlimn→∞

n = α⋅ σ. Astfel, mulţimea şirurilor de numere reale convergente ( în R ) se poate structura algebric ca spaţiu liniar real.

3. Cu anumite restricţii impuse de convenţiile din definiţia lui R , mulţimea şirurilor numerice reale, cu limită în R , are proprietatea de R*- liniaritate. Teorema 2.8 ( asupra limitelor extreme ) ([13],[16]) Pentru orice şir ( xn )n∈N ⊂ R, au loc relaţiile următoare: ( 2.8 ) n

nx

∞→lim = = { }[ ]nkxkn

≥∞→

/inflim { }[ ]nkxkNn

≥∈

/infsup ,

( 2.9 ) nnx

∞→lim = = { }[ ]nkxkn

≥∞→

/suplim { }[ ]nkxkNn≥

∈/supinf ,

(2.10) nn

x∞→

lim ≤ nnx

∞→lim ,

(2.11) nn

x∞→

lim ≤ γ ≤ nnx

∞→lim , ∀ γ ∈ L(xn).

Teorema 2.9 ([13],[16]) Fie ( xn )n∈N ⊂ R un şir mărginit. Atunci ( xn )n∈N este convergent, dacă şi numai dacă n

nx

∞→lim = nn

x∞→

lim ∈ R, caz în care avem:

lim nnx

→∞ = n

nx

∞→lim (= nn

x∞→

lim ).

Exemple.

1) Pentru xn = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=

+=−=

14,124,4,0

34,1

2sin

knkkn

knnπ , ∀ k ∈ N, avem L(xn) = {-1, 0, 1} şi deci

nn

x∞→

lim = -1, iar nnx

∞→lim = 1. Cum n

nx

∞→lim ≠ nn

x∞→

lim , şirul ( ) Nnnx ∈ , deşi mărginit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈∀≤ Nnn ,1

2sin π , este divergent.

16

2) Fie xn = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∀+=

=+ Nk

kn

knn

n

n

,12,

31

2,1 . Atunci n

nx

∞→lim 0= , întrucât şi 0lim 12 =+∞→ kk

x

nnx

∞→lim = 1, deoarece . Deci L(x1lim 2 =

∞→ kkx n) = {0, 1} şi, cum n

nx

∞→lim ≠ nn

x∞→

lim , şirul

este divergent. ( ) Nnnx ∈

3) Când xn = ( )1

12 2

+−n

nn

, avem nn

x∞→

lim = = - ∞ şi 12lim +∞→ kkx nn

x∞→

lim = = + ∞. Deci

L(x

kkx2lim

→∞

n) = { }⊂ ∞+∞− , R \ R, şirul ( ) Nnnx ∈ fiind divergent.

Aplicaţii. Şiruri numerice reale convergente şi limite ale lor remarcabile

1) Şirul cu termenul general xn = (1 + 1n

)n, n∈N* este strict crescător ( xn < xn + 1,

∀n∈N* ) şi mărginit ( 2 ≤ xn < 3, ∀ n∈N* ). Deci ( ) *Nnnx ∈ este convergent, având limita în intervalul deschis ( )3,2 . Această limită, notată cu e, constituie, alături de alte câteva elemente din R, un număr real remarcabil. Aceeaşi limită o are şi şirul ( ) Ry Nnn ⊂∈ * , cu termenul general yn = (1 + 1

n )n + 1,

∀ n ∈ N*. Astfel, folosind inegalitatea lui Bernoulli – (1 + t)n > 1 + n⋅t , ∀ t ∈ (–1, ∞) \ {0}, n∈N* – şi faptul că , vedem că este strict descrescător, deoarece avem:

*,0 Nnyn ∈∀> ( ) *Nnny ∈

( )11 21 1

21

11 2 21 1 2

nn n

n

n

ny n n n ny n n n n n n

+−+ +

+

⎡ ⎤⎡ ⎤ ++ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

12=

( )( )

21

22 2

2 11 1 1 11 12 2 2 2 2

n n nn n nn n n n n n n n

+ + ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ > + ⋅ = 1.>⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +

Deci, în conformitate cu teorema 2.4, şirul ( ) *Nnny ∈ , fiind descrescător şi mărginit inferior, este convergent. Limita sa este egală cu e, întrucât:

11 1 1 1lim lim 1 lim 1 1 lim lim 1 lim .n n

n n nn n n n n ny x

n n n n

+

→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + ⋅ + = ⋅ + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

x e

În plus, avem 0 < yn – xn = (1 + 1n

)n⋅ 1n

≤ nxn

şi

(2.12) xn = (1 + 1n

)n < e < (1 + 1n

)n+1 = yn, ∀ n∈ N*.

Prin logaritmare, de aici, deducem faptul că n⋅ln (1 + 1

n ) < 1 < (n + 1)ln(1 + 1

n ), ∀ n∈ N*,

adică: (2.13) 1

1n + < ln(n+1) – ln n < 1

n, ∀ n∈ N*.

2) Fie zn = 1 + 12

+ ... + 1n

– ln n, ∀ n∈ N*. Folosind (2.13), găsim:

17

( )1 1

1 1ln 1 ln1

n n

k k kk k

k k= =

⎡ ⎤< + − <⎣ ⎦+ 1

n

=∑ ∑ ∑ , ∀ n∈ N*.

Altfel spus, avem:

( )1 1

1 1ln 11

n n

k kn

k k= =

< + <+∑ ∑ , ∀ n∈ N*.

Rezultă de aici că 0 < ln(n+1) – ln n < 1

1n

k k=∑ – ln n = zn , ∀ n∈ N*, ceea ce ne

asigură de mărginirea inferioară a şirului ( ) *n n Nz

∈ . În plus, folosind iarăşi (2.13),

deducem că 1n nz z+ − = 11n +

– ln(n+1) + ln n < 0, ∀ n∈ N*. Deci este şi

strict descrescător. În consecinţă, potrivit teoremei 2.4, şirul este convergent, cu , întrucât

( ) *n n Nz

∈

( ) *n n Nz

∈

(lim 0,1nnz

→∞∈ ) 10 1nz z< < = , ∀ n∈ N*. Această limită,

notată cu c, poartă denumirea de constanta lui Euler, având valoarea aproximativă 0,5772166490. Câteva consecinţe ale celor deduse în legătură cu şirurile şi

sunt următoarele: ( ) ( )* *,n nn N n Nx y

∈ ∈

( ) *n n Nz

∈

(2.14) 1 11 .....2lim 1

lnn

nn→∞

+ + += ,

deoarece 1 1 1 11 ..... 1 ..... ln2 2lim lim 1 lim 1 1

ln ln lnn

n n n

n xn nn n→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞+ + + + + + −⎜ ⎟ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠n+ = ;

(2.15) { }*1 1 1lim ... ln , \ 1 ,1 2n

p p Nn n pn→∞

⎛ ⎞+ + + = ∀ ∈⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

întrucât

( )1 1 1 1 1 1 1... 1 ... ln 1 ... ln ln ln ln1 2 2 2 pn n n

pn n p z zn n pn np n →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + = + + + − − + + + − + = − + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠p p;

(2.16) ( )

2

21 2 ...lim 0,

!

n

n

nn→∞

+ + +=

pentru că ( ) ( )

2*

2 21 2 ... ,

! !

n nn n n n Nn n

+ + + ⋅< ∀ ∈ , iar şirul ( ) *n n N

t∈

, cu termenul general

( )

1

2!

n

nntn

+

= este descrescător şi mărginit inferior de 0. Prin urmare, este

convergent şi are . Într-adevăr, avem

( ) *n n Nt

∈

[ )lim 0,3nnt a

→∞= ∈

( )( )

( )2 21

2 1

1 ! 1 11 1, ,1 !

n nn n

nn

n nt x e n N nt n n n n nn

+

++

+ ⎛ ⎞= ⋅ = + = < < ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤+⎣ ⎦

( ) *0,3 ,n N∈ ∀ ∈3≥ şi t n .

În consecinţă, ţinând seama de faptul că *1

1 11 ,n

n nt tn n+⎛ ⎞= + ⋅ ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

n N , prin trecere la

limită, găsim: a = 0 ⋅ e ⋅ a = 0.

18

Astfel, cum ( )

2*

21 2 ...0 ,

!

n

nn t n N

n+ + +

< < ∀ ∈ şi lim 0nnt a

→∞= = , rezultă (2.16), prin

criteriul “cleştelui” ( teorema 2.7 – (P6) ). ◄ În esenţă, cu privire la mulţimea tuturor şirurilor cu elemente din R, pe care o notăm, aici, convenţional, cu 0M , distingem următoarele submulţimi:

1M – mulţimea şirurilor R fără limită, ( )n n Nx

∈⊂ 2M – mulţimea şirurilor

R cu limită ( în ( )n n Nx

∈⊂ R ), 3M – mulţimea şirurilor ( )n n N

x∈

⊂ R mărginite,

4M – mulţimea şirurilor R monotone (crescătoare, strict crescătoare, descrescătoare, strict descrescătoare),

( )n n Nx

∈⊂

5M – mulţimea şirurilor R convergente ( în R ),

( )n n Nx

∈⊂

6M – mulţimea şirurilor ( )n n Nx

∈⊂ R divergente, 7M –

mulţimea şirurilor ( )n n Nx

∈⊂ R nemărginite, 8M – mulţimea şirurilor

R nemonotone şi ( )n n Nx

∈⊂

9M – mulţimea şirurilor ( )n n Nx

∈⊂ R Cauchy ( fundamentale ).

Relativ la acestea, rezultatele din teoremele 2.1 ~ 2.9 se reflectă, între altele – care sunt fie evidente, fie deduse pe baza observaţiilor şi exemplelor de până aici – , în următoarele relaţii:

19

0 1 2 3 7 4 8 5 6 1 6 7 6 4 2; ; ;M M M M M M M M M M M M M M M= ∪ = ∪ = ∪ = ∪ ⊂ ⊂ ⊂

1 3M M∩ ≠

;

∅ ; 1 7M M∩ ≠∅ ; 1 8M M∩ ≠∅ ; ∅ ; ∅ ;

2 3M M∩ ≠

≠2 6M M∩ 2 7M M∩ ≠∅ ; 2 8M M∩ ≠∅ ; ∅ ; 3 6M M∩ ≠

≠(2.17) ∅ ; 3 8M M∩ 4 5M M∩ ≠∅ ; 4 6M M∩ ≠∅ ; ∅ ; 4 7M M∩ ≠

≠5 8M M∩ ∅ ; 6 8M M∩ ≠∅ ; 5 3 4M M M⊄ ∩ ; ∅ ; 5 7M M∩ ≠

= 13 7 4 8 5 6 5 7M M M M M M M M∩ = ∩ = ∩ = ∩ ∅; ( )6 2 5\M M M M= ∪ ; ∅ ( )3 4 5 9 3M M M M M≠ ∩ ⊂ = ⊂ ; 5 2 4 5 5 4; ;M M M M M M⊂ ⊄ ⊄ .

Modul 2.2 – Serii de numere reale

Conceptul de “serie numerică” în R este o generalizare naturală a noţiunii

de sumă ( finită ) de numere reale la o mulţime de numere care sunt termenii unui şir din R. Definiţia 2.6 Fie un şir ( )n n N

a∈

⊂R şi, corespunzător ( asociat ) lui, aşa-numitul şir al sumelor parţiale – ( )n n N

S∈

⊂ R – unde

, 0 10

n

n k nak

S a a a=

= = + + +∑ … n∀ ∈N ( )1 1n n nS S a , n+ += + ∀ ∈N .

a) Se numeşte serie numerică ( în R ) cu termenul general an ( şi cu

şirul de sume parţiale (Sn) ) perechea ((an)n∈N,(Sn)n∈N), notată cu , prin

sau cu a0

nn

a∞

=∑

nn

a∈∑

N0+a1+...+an+... .

b) Seria numerică se numeşte convergentă, cu suma S, dacă şirul

(sumelor parţiale (S0

nn

a∞

=∑

n)n∈N) este convergent şi lim nnS

→∞S= ∈R.

Notăm acest fapt prin (C) şi 0

nn

a∞

=∑

0n

n

S a∞

=

= ∑ .

c) O serie numerică reală 0

nn

a∞

=∑ care nu este convergentă se numeşte

divergentă, consemnându-se acest fapt prin 0

nn

a∞

=∑ (D) .( O serie divergentă nu are

sumă, căci (Sn)n∈N este divergent, în R ) d) Prin natura unei serii numerice din R înţelegem calitatea acesteiea

de a fi fie o serie convergentă, fie o serie divergentă. Observaţii. 1. Principalele chestiuni din studiul seriilor numerice sunt: stabilirea ( precizarea ) naturii unei serii şi calculul ( determinarea valorii exacte ) sau evaluarea ( aproximativă a ) sumei sale. 2. Nu este corect a declara o serie numerică (sau suma sa) drept “o sumă infinită”, deoarece, în R, se operează numai cu sume finite. În studiul seriilor numerice în R, un rol însemnat îl are şirul sumelor parţiale, teoria seriilor putând fi privită, astfel, ca o combinaţie între teoria sumelor numerice finite (din R) şi

teoria şirurilor în R. Iată de ce dacă, într-o serie numerică 0

nn

a∞

=∑ , se renunţă la

sau se adaugă un număr finit de termeni, este de aşteptat ca seria nou obţinută

să aibă aceeaşi natură cu seria iniţială. 0

nn

b∞

=∑ Exemple simple de serii în R

1o Seria( )1

11n n n

∞

= +∑ are termenul general ( )

1 1 11 1na ,

n n n nn= = − ∀

+ +∈ N* şi şirul

sumelor parţiale , cu ( ) *n n NS

∈1

1 11

n

nk

Sk k=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

111n

= −+

,∀ n∈ N*. Deoarece

există ∈ R, avem1nnlim S→∞

=( )1

11n n n

∞

= +∑ (C) şi S = 1.

2o Elementele seriei1

11n n n

∞

= + −∑ sunt 1 1

1na nn n

n ,= = − −+ −

∀ n∈ N* şi

( )1

1n

nk

S k k=

= − − =∑ n ,∀ n∈ N*.Cum nnlim S→∞

= +∞∉ R,avem1

11n n n

∞

= + −∑ (D).

3o Relativ la seria 1

1lnn

nn

∞

=

+⎛⎜⎝ ⎠

∑ ⎞⎟

)

,distingem

,∀ n∈ N*. ( ) ( )( ) (1

ln 1 ln şi ln 1 ln ln 1n

n nk

a n n S k k n=

= + − = + − = +∑Cum nn

lim S→∞

= +∞∉ R, seria este divergentă.

20

21

)4o Seria

( )(1

7 31 3n

nn n n

∞

=

++ +∑ are

( )( )7 3

1 3nna

n n n+

= =+ +

1 1 12 31 3n n n

+ −+ +

şi

1

1 1 1 7 1 3 32 31 3 2 1 2

n

nk

Sk k k n n n=

⎛ ⎞= + − = − − −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑ 3+

,∀ n∈ N*.

Atunci, deoarece 7lim2nn

S→∞

∃ = ∈ R, reiese că ( )( )1

7 31 3n

nn n n

∞

=

++ +∑ (C) şi 7

2S = .

5o Fie , cu q∈R, numită serie geometrică (de raţie q).

Avem

0

1n

n

q q ... q ...∞

=

= + + + +∑ n

1

0

1 11

1 1

nn

kn

k

q , qS q q

n , q

+

=

⎧ −≠⎪= = −⎨

⎪ + =⎩

∑ şi

1 11

1nn

, qq

lim S , q→∞

<−

= ∞

∃

≥

1, q

⎧⎪⎪⎪⎨⎪ ≤ −⎪⎪⎩

. Deci (C)

şi

0

n

n

q∞

=∑

11

Sq

=−

, atunci când | q | < 1. Altfel, 0

n

n

q∞

=∑ (D), pentru | q | ≥ 1.

6o În cazul seriei , avem ( )0

1 1 1 1 1n

n

∞

=

− = − + − +∑ … ( )1 nna , n= − ∀ ∈N şi

∈ N, ∀ n∈ N. (S( )0

0 2 11

1 2

nk

nn

, n pS

, n p=

= +⎧= − = ⎨ =⎩∑ , p

n

n)n∈N este, cu evidenţă, un şir

divergent şi, ca atare, (D). ( )0

1 n

n

∞

=

−∑ Observaţie. Fiind posibil, în exemplele 1o ~ 4o, s-a reprezentat termenul general an sub

forma bn – bn-1 , ∀ n∈ N* ( b0 = 0 ) , s-a calculat Sn şi, pentru seria 0

nn n

a∞

=∑ – cu

n0 ∈ N apriori cunoscut, s-a găsit: S =

0n nn nlim S limb b→∞ →∞

= − .

O serie cu termenul general de forma bn – bn-1 se numeşte serie telescopică. Natura acesteia concordă cu tipul şirului (bn)n∈N , seria fiind convergentă ( divergentă ) când (bn)n∈N este convergent ( respectiv divergent ). Se poate construi oricând o serie convergentă, cu sumă dată – S, considerînd

un şir convergent (bn)n∈N – cu b0 = 0, lim nnb S

→∞= – şi seria telescopică , cu

termenul general ,∀ n∈ N*. 1

nn

a∞

=∑

1n n na b b −= − Teorema 2.10 ( Condiţia necesară de convergenţă a unei serii în R )

Dacă seria numerică reală este convergentă, atunci li . 0

nn

a∞

=∑ m 0nn

a→∞

=

22

ka

Demonstraţie Seria fiind convergentă, şirul (S0

nn

a∞

=∑ n)n∈N – al sumelor

parţiale – este convergent şi, deci, există S∈R, astfel încât 0

n

nk

S=

=∑ nlim nS S→∞

= .

Cum ,∀ n∈ N, rezultă că (a1 1n nS S a+ = + n+ n)n∈N are limită şi .◄ 1 1n n n

lim lim - lim 0n n na S S S S+ +→∞ →∞ →∞= = − =

. Observaţii

1. Dacă, pentru o serie numerică reală 0

nn

a∞

=∑ , nu există sau , când există,

avem , atunci seria respectivă este divergentă, acest rezultat constituind o condiţie suficientă – aşa-zis criteriu – de divergenţă.

lim nna

→∞

lim 0nna

→∞≠

2. Mulţimea seriilor numerice convergente ( în R ) este strict inclusă în

mulţimea seriilor , pentru care există şi li0

nn

a∞

=∑ lim nn

a→∞

m 0nna

→∞= .

3. În exemplul 2o de mai sus, cel în care este menţionată seria 1

11n n n

∞

= + −∑ ,

avem 1lim lim 01nn n

an n→∞ →∞

= =+ −

şi totuşi1

11n n n

∞

= + −∑ (D). Prin urmare,

existenţa limitei şi faptul că lim nna

→∞lim 0nn

a→∞

= sunt numai necesare pentru convergenţa unei serii în R, nu şi suficiente. Teorema 2.11 ( Unele operaţii algebrice cu serii numerice convergente )

Fie (C), cu (a0

nn

a∞

=∑ n)n∈N ⊂ R şi suma S ( ∈ R ), precum şi (C), cu

(b0

nn

b∞

=∑

n)n∈N ⊂ R şi suma T ( ∈ R ). Atunci :

(i) ∀λ∈R , seria este convergentă şi are suma λ⋅S ; (0

nn

a∞

=

λ ⋅∑ )

)

)n

nS

(ii) seria este convergentă şi are suma S ± T. (0

n nn

a b∞

=

±∑

( ∀λ, μ ∈R, seria este convergentă şi are suma λ⋅S+μ⋅ T ). (0

nn

a b∞

=

λ ⋅ + μ ⋅∑

Demonstraţie (i) ∀λ∈R , avem: ( )0 0

n n

n k kk k

a a= =

σ ≡ λ ⋅ = λ ⋅ = λ ⋅∑ ∑ , ∀ n∈ N.

Atunci, deoarece lim nnS S

→∞∃ = ∈ R, reiese că lim nn

S→∞

∃ σ = λ ⋅ ∈ R. Deci

(C), suma fiind λ⋅S . (0

nn

a∞

=

λ ⋅∑ )

23

nT(ii) Fie ,∀ n∈ N. Cum ( )0 0 0

n n n

n k k n n nk k k

V a b a b S= = =

= ± = ± = ±∑ ∑ ∑ lim nnS S

→∞∃ = ∈ R

şi lim nnT T

→∞∃ = ∈ R , rezultă că lim nn

V→∞

∃ =S ± T∈ R . Deci (C), având

suma S ± T. ◄

(0

n nn

a b∞

=

±∑ )

⎤⎦

Observaţii 1) Din (i) deducem că, ∀λ∈R*, seriile şi au

aceeaşi natură, fiind simultan sau convergente sau divergente.

( )0

nn

a∞

=

λ ⋅∑0

nn

a∞

=∑

2) Ţinând seama de (i) şi (ii), putem spune că mulţimea seriilor numerice convergente în R poate fi privită ca spaţiu liniar peste R, în raport cu operaţiile algebrice de adunare a seriilor convergente şi de înmulţire a lor cu numere reale. 3) Reciproca afirmaţiei (ii) nu este, în general, adevărată. De exemplu, seria

– care este convergentă, întrucât a( ) ( ) 1

01 1n n

n

∞+

=

⎡ − + −⎣∑ n = 0, ∀ n∈ N, reprezintă

suma seriilor divergente şi ( )0

1 n

n

∞

=

−∑ ( ) 1

01 n

n

∞+

=

−∑ .

Teorema 2.12 (Cauchy / criteriul general de convergenţă a seriilor în R )

Seria numerică reală este convergentă, dacă şi numai dacă satisface

condiţia ( Cauchy ): 0

nn

a∞

=∑

(2.17) 1 20, / , şi n n n pn n n n p a a aε ε + +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ⇒ + + + < ε*N N N … +

Demonstraţie. Prin definiţia 2.6, seria0

nn

a∞

=∑ este convergentă, dacă şi numai

dacă şirul (Sn)n∈N este convergent ( în R ), deci ( potrivit teoremei 2.6 ) fundamental, adică: 0, / , şi n p nn n n n p S Sε ε +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ⇒ − < ε*N N N .

Altfel spus, 10 0 1

n p n pn

k k k n n pk k k n

a a a a a+ +

+ += = = +

− = = +∑ ∑ ∑ … < ε .Aşadar, (2.17) corespunde

într-adevăr convergenţei seriei , caracterizând-o. ◄ 0

nn

a∞

=∑

Exemple. 1# Seria 1

1 ,cu ,nn

an n

∞

=

1=∑ ∀ n∈ N*, numită serie armonică –

întrucât fiecare termen, începând cu al doilea, este media armonică a predecesorului şi succesorului său, adică 1

2

2 ,1 1n

n n

a

a a

+

+

=+

∀ n∈ N* – are şirul

sumelor parţiale (Sn)n∈N astfel încât:

21 1 1 1 ,

1 2 2n nS S nn n n n n

− = + + + > =+ + +

… 12

∀ n∈ N*.

24

SDrept urmare, (Sn)n∈N nu este şir fundamental, deci nici convergent ( Dacă am admite că (Sn)n∈N ar fi convergent, cu lim nn

S→∞

= ∈ R, atunci, pe seama relaţiei

212n nS S> + ,∀ n∈ N*, ar rezulta 1

2S S≥ + , adică absurditatea 10

2≥ ). Astfel,

seria armonică ( simplă ) 1

1n n

∞

=∑ este divergentă.

2# Pentru seria 2 21 1

1 1,cu şin

n nn k

a Sn n

∞

= =

= =∑ ∑ 2

1k

,∀ n∈ N*, avem:

( )2

1 1 1

1 1 1 1 1 101 1

n p n p n p

n p nk n k n k n

S Sk k k k k n n p n

+ + +

+= + = + = +

⎛ ⎞< − = < = − = − < <⎜ ⎟− − +⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 1

ε ,

∀ p, n∈ N* , n ≥ nε=1[ ] 1ε

+ , oricare ar fi ε > 0, prealabil ales.Deci, în acest caz,

(Sn)n∈N este un şir fundamental, ceea ce, în virtutea teoremei 2.12, înseamnă că

seria 21

1n n

∞

=∑ este convergentă.Totodată, avem:

( )2

1 2 2

1 1 1 11 1 1 21 1

n n n

nk k k

Sk k k k k= = =

⎛ ⎞< = < + = + − = − <⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ ∑ ∑ 1 2

n

S

,∀ n∈ N*.

Aşadar, ∈(1,2] ( Se poate arăta că , exact, lim nnS

→∞=

2

6S π= ).

Observaţii. Din punctul de vedere al semnului termenului său general an

(∈ R, ∀ n∈ N ),o serie poate fi una cu termeni oarecari, când are o

infinitate de termeni a0

nn

a∞

=∑

n negativi şi o infinitate de termeni an nenegativi, sau o serie cu termeni pozitivi ( negativi ), atunci când are numai o infinitate de termeni an pozitivi ( respectiv, negativi ). De regulă, dacă o serie este cu termeni

negativi ( nepozitivi ), studiul naturii seriei 0

nn

a∞

=∑ se poate face prin analizarea

seriei cu termeni pozitivi ( nenegativi ) (0

nn

a∞

=)−∑ , în baza afirmaţiei (i) din

teorema 2.11. Iată de ce, în esenţă, clasificăm seriile numai în două categorii:

serii cu termeni oarecari şi serii 0

nn

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ cu termeni pozitivi.

Criterii de convergenţă pentru serii numerice cu termeni reali oarecari

Teorema 2.13 (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria numerică , cu

termeni oarecari ( în R ).Dacă şirul sumelor parţiale corespunzător seriei

( )0

n nn

a b∞

=

⋅∑

0n

n

a∞

=∑

este mărginit şi dacă ( bn )n∈N ⊂ R *+ este un şir descrescător, cu , atunci lim 0nn

b→∞

=

25

)

)

seria este convergentă ([11], [13], [16]) . (0

n nn

a b∞

=

⋅∑ Demonstraţia se bazează pe ipoteze şi se face prin folosirea criteriului lui

Cauchy (teorema 2.12) asupra seriei (0

n nn

a b∞

=

⋅∑ , constatând – în esenţă – că,

întrucât , astfel ca 0M∃ > nS M≤ , ∀ n∈ N şi , avem: 0n nb

→∞0, nεε∀ > ∃ ∈N , aşa

încât *, şiN Nn n n pε∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ⇒

( )1 1 1 1 1 1... ... ( ) 2n n n p n p n n n n p n p n p na b a b S S b S S b Mb ε+ + + + + + + + − + ++ + = − + + − ≤ < .◄

Teorema 2.14 ( Criteriul lui Abel ) Dacă seria reală este

convergentă şi este un şir monoton şi mărginit, atunci seria

0n

n

a∞

=∑

( ) NRn n

α∈

⊂0

n nn

a∞

=

α∑

este convergentă. Demonstraţia se face direct, prin aplicarea criteriului lui Dirichlet, luând în consideraţie limn n m

b mα α→∞

= − şi înlocuind nα cu ( )lim limm n n mm mb signα α α

→∞ →∞+ ⋅ − ,

.◄ Nn∀ ∈ Teorema 2.15 ( Criteriul lui Leibniz, pentru serii alternate ) Dacă şirul

este descrescător şi astfel încât ( ) +NRn n

β∈

⊂ lim 0nn→∞β = , atunci seria

, numită serie alternată, este convergentă. ( )0

1 nn

n

∞

=

− β∑ Demonstraţie. Se aplică criteriul lui Dirichlet, cu ( )1 n

na = − , , Nn nb nβ= ∀ ∈ .

Pentru seria , avem ( )0

1 n

n

∞

=

−∑ ( )0

1, 21 ,

0, 2 1N

nk

nk

n pS p

n p=

=⎧= − = ∈⎨ = +⎩∑ şi

, NnS n n≤ ∀ ∈ . Cum şirul este descrescător şi convergent la 0,

rezultă (după teorema 2.13) că seria alternată

( ) +NRn n

β∈

⊂

( )0

1 nn

n

∞

=

− β∑ este convergentă.◄

Exemple.

1) Pentru seria ( ) (1

cos, unde 0,2

n

nxx

n

∞

=)∈ π∑ , putem lua ( )cosna n= x şi

*1 , Nnb nn

= ∀ ∈ . Avem:

( ) ( )1

cos cos cosn

nk

S kx x nx ==

= = + +∑ …

( ) ( )1sin cos

2 2sin

2

nx n x

x

+

, . *Nn∀ ∈

Deci ( )1

sin2

nS M xx

≤ = *Nn∀ ∈ ), , în fiecare punct arbitrar fixat . De

asemenea, vedem că şi că când . În consecinţă, prin

teorema 2.13, rezultă:

(0, 2x∈ π

*0, Nnb n> ∀ ∈ 0nb n →∞

( )1

cos

n

nxn

∞

=∑ (C).

2) Seria alternată ( ) 1

1

11

nn

n

nn

∞+

=

⎛− ⎜ +⎝ ⎠∑ ⎞

⎟ are 11 11

n

n nn

nn

⎛ ⎞β = =⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

, .

Constatăm că ( ) este şir descrescător şi are limita

*Nn∀ ∈

*N

Rn nβ +∈

⊂1lim 0nn l→∞

β = ≠ .

Reiese atunci că ( ) 1

1

11

nn

n

nn

∞+

=

⎛− ⎜ +⎝ ⎠∑ ⎞

⎟ (D).

3) În cazul seriei ( )2

1

sin

n

nxn

∞

=∑ , unde ( )0, 2x∈ π , putem considera ( )sinna n= x

şi 2

1nb

n= , . Avem *Nn∀ ∈

( ) ( )( ) ( )

1

1sin sin 12 2| sin | sin sin

sin sin2 2

n

nk

nx n x

S kx x nx x x=

+

= = + + = ≤∑ … , ,

pentru fiecare fixat arbitrar. Cum

*Nn∀ ∈

(0, 2x∈ π) 2

1 0nbn

= , când n , rezultă: →∞

( )2

1

sin

n

nxn

∞

=∑ (C).

4) Seria alternată ( )0

1 1 1 112 1 3 5 7

n

n n

∞

=

−= − + − +

+∑ … se distinge prin faptul că

1 02 1n nn →∞

β =+

. Atunci, prin aplicarea criteriului lui Leibniz (teorema 2.15),

avem: ( )0

12 1

n

n n

∞

=

−+∑ (C).

5) Fie seria 1

n

n

qn

∞

γ=∑ , unde şi ( )1,1q∈ − γ ∈ R+. Luând 1,n

n na qnγ= α = , ,

observăm că, pentru

*Nn∀ ∈

0γ > , şirul ( ) Nn nα

∈ este descrescător şi are limita 0, fiind

deci monoton şi mărginit. Când 0γ = , şirul ( ) Nn nα

∈ este constant ,

prin urmare tot monoton şi mărginit. În ceea ce priveşte seria geometrică ,

( )*1, Nn nα = ∀ ∈

1

n

n

q∞

=∑

26

ştim deja ( din exemplul 5o de după definiţia 2.6 ) că este convergentă, întrucât 1q < . Ca atare, prin aplicarea criteriului lui Abel (teorema 2.14), deducem

convergenţa seriei 1

n

n

qn

∞

γ=∑ .

6) Analizând seria 2

1

sin( 1)n

n∞

=

π +∑ , unde, aparent, nu există 2limsin( 1)n

n→∞

π + ,

observăm că , de fapt, avem: ( )2 2sin( 1) sin 1na n n n n⎡ ⎤= π + = π + − + π =⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 2cos sin 1 sin cos 1 cos sin 1n n n n n n n n n⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π π + − + π π + − = π π + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )

2 =

21 sin

1n

n n

π= −

+ +( )

21 , cu sin

1n

n nn n

π= − α α =

+ +,∀ n∈ N*.

Astfel, deoarece lim 0nnα

→∞∃ = ( implicit, lim 0nn

a→∞

∃ = ), prin criteriul lui Leibniz,

ajungem la concluzia: 2

1

sin( 1)n

n∞

=

π +∑ (C).

Definiţia 2.7

1. O serie , cu , se numeşte absolut convergentă, notându-se

acest fapt prin , dacă şi numai dacă seria

0n

n

a∞

=∑ ,Rna n∈ ∀ ∈N

)(0

nn

a AC∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (seria valorilor

absolute) este convergentă.

2. Seria numerică reală se numeşte semiconvergentă (simplu

convergentă), consemnându-se , dacă şi numai dacă seria este

convergentă, dar nu şi absolut convergentă (adică

0n

n

a∞

=∑

(0

na SC∞

∑ )0

nn

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (C) şi

0n

n

a∞

=∑ (D)).

Teorema 2.16

Orice serie care este absolut convergentă (în R), este convergentă (în R). 0

nn

a∞

=∑

Demonstraţie. Cum (AC), avem 0

nn

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (C). Potrivit teoremei 2.12,

înseamnă, prin (2.17), că: 1 20, / , şi n n n pn n n n p a a aε ε + +∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ⇒ + + + < ε*N N N … +

N

. În consecinţă, avem 0, / , şi *N Nn n n n pε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ∀ ∈ ⇒

1n n p ≤a a+ ++ +… 1 2n n n pa a a+ + ++ + + <… ε .

27

Atunci, în conformitate cu teorema 2.12, deducem că seria este

convergentă.◄ 0

nn

a∞

=∑

Observaţii. 1. Reciproca teoremei 2.16 nu este, în general, adevărată, întrucât faptul că

seria (C) nu implică întotdeauna convergenţa seriei 0

nn

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ . Astfel, de

exemplu, seria ( ) ( )1

1

1

1 1 2 1 11 12 3 4

nn

n n n

+∞+

=

−= − + − + + − +∑ … … , numită serie

armonică alternată – cu ( ) 11 n

nan

+−= ,∀ n∈ N* – este convergentă ( după

criteriul lui Leibniz – întrucât avem 1 0n nnβ

→∞= ), dar nu este absolut

convergentă, pentru că seria ( ) 1

1

1 n

n n

+∞

=

−∑ , adică seria armonică (simplă)

1

1n n

∞

=∑ ,

este, după cum am văzut deja ( exemplul 1# ), divergentă. Deci: ( ) 1

1

1 n

n n

+∞

=

−∑ (SC).

În schimb, în cazul seriei ( )2

1

1 n

n n

∞

=

−∑ , care este convergentă – potrivit

criteriului lui Leibniz, este şi absolut convergentă, deoarece ( )2

1

1 n

n n

∞

=

−∑ , adică

seria 21

1n n

∞

=∑ , este convergentă ( din exemplul 2# ).

Cât priveşte seria ( )2

1 n

nn n

∞

=

−∑ , aceasta nu este nici absolut convergentă şi nici

convergentă, nefiind îndeplinită, în ambele situaţii, condiţia necesară de convergenţă ( teorema 2.10 ).

2. Pentru o serie reală , în care , cu alte cuvinte pentru o serie

cu termeni nenegativi (pozitivi), întrucât 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n≥ ∀ ∈

, Nn na a n= ∀ ∈ , convergenţa sa coincide cu convergenţa absolută a seriei.

3. Pentru o serie în R, , cu termeni oarecare, studiul absolutei convergenţe

se face investigând seria 0

nn

a∞

=∑

0n

na

∞

=∑ , care este o serie cu termeni nenegativi (pozitivi).

Iată de ce, în continuare, sunt prezentate rezultate pentru stabilirea naturii unor

serii numerice reale , cu . 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n≥ ∀ ∈

28

Criterii de convergenţă pentru serii numerice cu termeni pozitivi

Fie, în R, o serie , în care . Relativ la aceasta, se vede

că şi . Aşadar, şirul sumelor parţiale

corespunzător unei serii numerice cu termeni nenegativi ( pozitivi ) este monoton crescător (respectiv strict crescător). Atunci, natura seriei în cauză s-ar putea preciza prin folosirea teoremei 2.4 (Weierstrass).

0n

na

∞

=∑ 0,na n≥ ∀ ∈N

00

n

n kk

S a=

= ≥∑ 1 1 , Nn n n nS S a S n+ += + ≥ ∀ ∈

Teorema 2.17 (de caracterizare a naturii unei serii cu termeni pozitivi)

O serie numerică cu termeni pozitivi - - este

convergentă, dacă şi numai dacă şirul sumelor sale parţiale este mărginit superior (majorat în R).Altfel, este divergentă.

( )0

0, Nn nn

a a n∞

=

≥ ∀ ∈∑( ) Nn nS

∈

Demonstraţie. Dacă seria cu termeni pozitivi 0

nn

a∞

=∑ este convergentă,

atunci este convergent, deci şi mărginit (superior). Reciproc, şirul , fiind mărginit superior şi strict crescător (după cum am văzut mai sus),

este convergent. Deci, (C).◄

( ) Nn nS

∈

( ) Nn nS

∈

0n

na

∞

=∑

Exemplu. Pentru seria cu termeni pozitivi ( )( )1

11 2n n n n

∞

= + +∑ , avem:

( )( ) ( ) ( )( )1 1

1 1 1 1 1 1 , .1 2 2 1 2 2 4 2 1 2

*Nn n

nk k

S nk k k k k k n n= =

⎛ ⎞= = − + = −⎜ ⎟

+ + + + + +⎝ ⎠∑ ∑ ∀ ∈

Prin urmare, 14nS < , , şirul fiind mărginit superior. Astfel, conform

teoremei 2.17, rezultă că

*Nn∀ ∈ nS

( )( )1

11 2n n n n

∞

= + +∑ (C), cu suma 14

S = .

Teorema 2.18 (Criteriul I de comparaţie, cu inegalităţi)

Fie în R seriile 0

nn

a∞

=∑ , cu şi 0, Nna n≥ ∀ ∈

0n

n

b∞

=∑ , cu . Dacă 0, Nnb n≥ ∀ ∈

(2.18) , Nn na b n≤ ∀ ∈ , atunci:

i) (C) ⇒ (C) şi ii) 0

nn

b∞

=∑

0n

n

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (D) ⇒ (D).

0n

n

b∞

=∑

Demonstraţie. Din (2.18) deducem că 0 0

, Nn n

n k n kk k

S a T b n= =

= ≤ = ∀ ∈∑ ∑ . În

virtutea acestei relaţii, pentru i), faptul că seria cu termenul general converge nb

29

implică faptul că şirul este convergent, deci mărginit (şi superior), ceea ce garantează mărginirea superioară a şirului

( ) Nn nT

∈

( ) Nn nS

∈. Cum acesta este şi

crescător, rezultă că este convergent, ceea ce înseamnă (C). ( ) Nn nS

∈0

nn

a∞

=∑

Relativ la ii), avem: (D) 0

nn

a∞

=∑ ( ) Nn n

S∈

⇒ este şir divergent. Cum ( ) Nn nS

∈

este crescător, deducem că ( ) Nn nS

∈ este nemărginit superior. Deoarece

, reiese că şi , Nn nS T n≤ ∀ ∈ ( ) Nn nT

∈ este nemărginit superior. Astfel, ( ) fiind

crescător, rezultă că este divergent. Deci

Nn nT

∈

0n

n

b∞

=∑ (D).◄

Exemple de folosire a criteriului I de comparaţie.

1o Pentru seria 0

13n

n x

∞

= +∑ , unde 0x > , avem: 1 10 ,3 3

Nn

n nna bx

⎛ ⎞ .n< = < = ∀ ∈⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

Întrucât (C) (ca serie geometrică 0

nn

b∞

=∑

0

n

nq

∞

=∑ , cu ( ) (1 0,1 1,1

3q = ∈ ⊂ − ) ), rezultă:

0

13n

n x

∞

= +∑ (C), . *Rx +∀ ∈

2o În cazul seriei 1

1n n

∞

=∑ , avem *1 1 0, Nn nb a

nnn= > = > ∀ ∈ şi, cum

1

1n n

∞

=∑ (D),

obţinem 1

1n n

∞

=∑ (D).

Teorema 2.19 (Criteriul II de comparaţie, cu inegalităţi de rapoarte)

Fie ,cu şi 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n> ∀ ∈

0n

n

b∞

=∑ , cu . Dacă 0, Nnb n> ∀ ∈

(2.19) 1 1 , Nn n

n n

a bn

a b+ +≤ ∀ ∈ ,

atunci:

j) (C) ⇒ (C) şi jj) 0

nn

b∞

=∑

0n

n

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (D) ⇒ (D)

0n

n

b∞

=∑

Demonstraţie. Folosind (2.19) pentru valorile 0,1,..., n-1 în locul lui n, avem: 1 2 1 2

0 1 1 0 1 1 0 0

, *Nn n n n

n n

a a a b b b a b na a a b b b a b− −

≤ ⇒ ≤ ∀… … ∈ .

De aici, reiese că 0

0

, Nn naa b nb

≤ ∀ ∈ . Astfel, întrucât seriile 0

nn

b∞

=∑ şi 0

0 0n

n

a bb

∞

=∑ au

aceeaşi natură (în conformitate cu observaţia 1 de după teorema 2.11), prin aplicarea teoremei 2.18, rezultă că sunt adevărate afirmaţiile j) şi jj).◄

30

Exemplu. Privitor la seria 1 !

n

nn

ne n

∞

=∑ , avem

!

n

n n

nbe n

= şi

( )( )

1*1

111 ! ,1 !

N

n

n nn

n nn

nb e n n nb e n n e

+

+

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= ⋅ = ∀+

∈ .

Mai mult, deoarece (din aplicaţia 1 de la „Şiruri numerice remarcabile”) 11 11 1

n n

en n

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, adică 11 1 1 ,1 11 1

*Nn n ne

n n

+ < < ∀ ∈⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, găsim:

1 11

1 111 1 11 ,1111

n

nn n

nn n

b n an nb n e n a

nn

+ ++

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ += + > = = =⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

cu *1 , Nn nn

= ∀ ∈a . Atunci,

întrucât 1

1n n

∞

=∑ (D), rezultă (pe seama afirmaţiei j) din teorema 2.19):

1 !

n

nn

ne n

∞

=∑ (D).

Teorema 2.20 (Criteriul de comparaţie cu limită)

Fie, în R, ,cu şi 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n> ∀ ∈

0n

n

b∞

=∑ , cu . Dacă există 0, Nnb n> ∀ ∈

(2.20) lim Rnn

n

ab→∞∈ ,

atunci:

a) când , seriile şi 0 l< < ∞0

nn

a∞

=∑

0n

n

b∞

=∑ au aceeaşi natură;

b) când l = 0, (C) ⇒ (C) şi 0

nn

b∞

=∑

0n

n

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (D) ⇒

0n

n

b∞

=∑ (D);

c) când l = ∞, (D) ⇒ (D) şi 0

nn

b∞

=∑

0n

n

a∞

=∑

0n

n

a∞

=∑ (C) ⇒

0n

n

b∞

=∑ (C).

Demonstraţia (detaliată în [13] şi [16]) se bazează pe interpretarea existenţei limitei l în limbajul “ nεε − ” (teorema 2.1) şi pe aplicarea teoremei 2.18. Exemple.

1o Seria 1

1 sinn n n

∞

=∑ 1 are *1 1sin 0, Nna

n n= > ∀ ∈n . Considerând *

2

1 , Nnb nn

= ∀ ∈ ,

vedem că există (1sin

lim lim 1 0,1

n

n nn

a nb

n→∞ →∞

= = ∈ )+∞ . Atunci, deoarece 21

1n n

∞

=∑ (C),

rezultă: 1

1 sinn n n

∞

=∑ 1 (C). Acelaşi rezultat se poate obţine

31

observând că *2

1 1 1 1 1sin , Nnan n n n n

= ≤ = ∀ ∈n şi aplicând teorema 2.18.

2o Pentru seria 21

5 12 1n

nn

∞

=

++∑ , cu *

22

22

1 15 55 1 1 ,112 1 22

Nn

nn n na n

nn nnn

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠= = = ∀ ∈+ ⎛ ⎞ ++⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

luăm 1nb

n= şi avem: (5lim lim 0,

1 2n n

n nn

a ab

n→∞ →∞

= = ∈ )∞ . Întrucât 1

1n n

∞

=∑ (D), folosind

teorema 2.20-a), obţinem 21

5 12 1n

nn

∞

=

++∑ (D).

3o În legătură cu seria 2

1lnn n

∞

=∑ , cu 1 ,

lnnan

2n= ∀ ≥ , luăm 1 , 2nb nn

= ∀ ≥ şi

avem:

1lnlim lim lim1 ln

n

n n nn

a nnb n

n→∞ →∞ →∞

= = = ∞ . Atunci, deoarece 2

1n n

∞

=∑ (D), aplicarea

teoremei 2.20-c) ne conduce la concluzia 2

1lnn n

∞

=∑ (D).

4o În cazul seriei 2

1lnn

n n

∞

=∑ , cu 1 ,

lnn nb

n2n= ≥ , dacă luăm 1

nan

= , găsim:

11lim lim lim 0

ln lnn

n nn n nn

a nb n n n→∞ →∞ →∞

= = = . Astfel, cum 1

1n n

∞

=∑ (D), pe baza teoremei

2.20-b), rezultă 2

1lnn

n n

∞

=∑ (D).◄

Teoremele 2.18 şi 2.19 au următoarele consecinţe:

Consecinţa 2.1. Fie şi 0

nn

a∞

=∑

0n

nb

∞

=∑ serii numerice în R cu termeni oarecari.

Dacă , Nn na b n≤ ∀ ∈ şi , atunci . (0

nn

b AC∞

=∑ ) ( )

0n

na AC

∞

=∑

Consecinţa 2.2. Fie în R seria 0

nn

a∞

=∑ , cu . Dacă există

(respectiv ), astfel încât

0, Nna n> ∀ ∈

(0,1q∈ ) 1q ≥ 1n

n

a qa+ ≤ (respectiv 1n

n

a qa+ ≥ ), ,

atunci (C) (respectiv (D)).

Nn∀ ∈

0n

na

∞

=∑

0n

na

∞

=∑

32

Teorema 2.21 (Criteriul simplu de condensare / Cauchy) ([13], [16])

33

)

Fie seria numerică reală , cu ,. Dacă este un şir

descrescător, atunci seriile şi au aceeaşi natură.

1n

na

∞

=∑ 0, *Nna n> ∀ ∈ ( ) *Nn n

a∈

1n

na

∞

=∑ ( 2

1

2 nn

na

∞

=

⋅∑ Demonstraţia se bazează pe faptul că, întrucât, *Nn∀ ∈ , Nk∃ ∈ , astfel încât

, iar este descrescător, avem: 12 2k kn +≤ < ( ) *Nn na

∈

12 2 1

2 21 1 1 1 1

1 1 (2 ) (2 )2 2

k k

j j

k n kj j

k i i n ij i i i j

T a a a S a a+ −

= = = = =

= ⋅ ≤ ≤ = ≤ ≤ ⋅∑ ∑ ∑ ∑ ∑ kT= .

Se aplică apoi teorema 2.17. ◄ Exemple.

1* Fie 1

1 , cu Rn n

∞

α=

α∈∑ , numită serie armonică generalizată.

Constatăm că, pentru , avem 0α ≤ lim 0nna

→∞≠ şi deci

1

1n n

∞

α=∑ (D).

Dacă , aplicând criteriul de condensare al lui Cauchy (teorema 2.21),avem: 0α >

( ) 12

1 1 1

2 1222

n

nnn n

nn n n na q

∞ ∞ ∞ ∞

α α−= = =

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑1=

, unde 1

1 02

q α−= > .

Astfel,când q < 1,adică , seria 1α >1

n

nq

∞

=∑ este convergentă.Cu alte cuvinte,

(C) şi deci 2

1

2 nn

na

∞

=∑

1

1n n

∞

α=∑ (C). Când 0 1< α ≤ , avem q ≥ 1 şi (D).Drept

urmare, (D) şi deci

1

n

nq

∞

=∑

21

2 nn

na

∞

=∑

1

1n n

∞

α=∑ (D).

În concluzie, seria armonică generalizată 1

1n n

∞

α=∑ este convergentă pentru

şi divergentă pentru . 1α > 1α ≤

2* Pentru ( ) ( )1

11 ln 1n n n

∞

= + +∑ , avem: ( ) ( )21 1

12 22 1 ln 2 1

nn n

n nn n

a∞ ∞

= =

≡+ +∑ ∑ .

Întrucât ( ) ( ) ( )

*1 1 1 ,1 ln 2ln 2 1 ln 2 2

Nn n n

nn

> = ∀++ +

∈ , putem conta pe relaţia:

( ) ( ) ( )( )*2 2 ,

2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1N

n n

n n n nb

n= > =

+ + ⋅ + + nc n∀ ∈ . Pe baza acesteia, observând

că ( )lim ln 2 0,11

nn

c

n→∞

= ∈ ∞

+

şi ştiind că 1

11n n

∞

= +∑ (D), deducem divergenţa seriei

, adică a seriei . Aşadar: 1

nn

b∞

=∑ 2

1

2 nn

na

∞

=∑ ( ) ( )1

11 ln 1n n n

∞

= + +∑ (D).

Consecinţa 2.3 (a exemplului 1* şi a teoremei 2.20)

Fie, în R, , cu . Au loc următoarele afirmaţii: 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n≥ ∀ ∈

(i) Dacă, pentru un α > 1, există ( )lim 0nnl n aα

→∞= ≥ şi l < +∞ , atunci (C).

0n

na

∞

=∑

(ii) Dacă, pentru un α ≤ 1, există ( )lim 0nnl n aα

→∞= > , atunci

0n

na

∞

=∑ (D).

Demonstraţia este imediată, prin aplicarea teoremei 2.20, luând 1 , Nnb nnα= ∀ ∈ şi folosind concluzia din exemplul 1* (relativ la seria armonică

generalizată).◄ Teorema 2.22 (Criteriul raportului / D’Alembert)

Fie seria , cu , astfel încât există 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n> ∀ ∈ 1lim Rn

nn

ala+

+→∞

= ∈ . Atunci:

1) când ,avem ; 2) când avem ; 1l <0

( )nn

a C∞

=∑ 1,l >

0

( )nn

a D∞

=∑

3) pentru l = 1, nu putem preciza natura seriei cu acest criteriu (suntem într-un aşa-zis caz de dubiu) Demonstraţie. Faptul că 1lim Rn

nn

ala+

+→∞∃ = ∈ înseamnă ( relaţia “ε - nε” (2.4)):

1,0, astfel încât ,N N n

n

an n n n la+

ε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ⇒ − ε < < + εl .

1) Când l < 1, putem lua (0,1 )lε ∈ − , încât 0 q l 1< = + ε < .Astfel, avem

1 , , Nn

n

a q n n na+

ε< ∀ ≥ ∈ şi, prin consecinţa 2.2, obţinem: . 0

( )nn

a C∞

=∑

2) Când , putem lua (1,l∈ ∞) (0,1 )lε ∈ − , încât 1q l= − ε > . Atunci, avem

1 , , Nn

n

a q n n na+

ε> ∀ ≥ ∈ şi, tot prin consecinţa 2.2, obţinem: . 0

( )nn

a D∞

=∑

Pentru l , luând = ∞ 1,1, există astfel încât, ,N N n

n

an n n na+

ε ε qε > ∈ ∀ ≥ ∈ ⇒ > ε = .

Prin urmare, pe baza aceluiaşi rezultat (consecinţa 2.2), găsim: . 0

( )nn

a D∞

=∑

3) Pentru , nu putem acţiona, pe baza relaţiei “ε - n1l = ε”, nici ca în cazul 1) şi nici ca în cazul 2), ceea ce înseamnă ineficienţa criteriului în acest caz. ◄ 34

Consecinţa 2.4 ( a criteriului raportului )

Fie o serie cu termeni oarecari. Dacă 0

Rnn

a∞

=

⊂∑ 1lim Rn

nn

aa+

+→∞

∃λ = ∈ , atunci:

J) când , avem şi, implicit, ; 1λ < (0

nn

a AC∞

=∑ ) ( )

0n

na C

∞

=∑

JJ) când , avem1λ > ( )0

nn

a D∞

=∑ şi, implicit, ; ( )

0n

na D

∞

=∑

JJJ) când , avem caz de dubiu. 1λ =

Exemple. 1o În privinţa seriei 0

1!n n

∞

=∑ , avem 1 ,

!Nna n

n= ∀ ∈ şi găsim

( )1 ! 1lim lim lim 0 1

1 ! 1n

n n nn

a nla n n+

→∞ →∞ →∞= = = =

+ +< , ceea ce, potrivit teoremei 2.22,

înseamnă :0

1!n n

∞

=∑ (C).

2o Aplicând criteriul raportului seriei cu termenul general ,!

Nn

nna nn

= ∈ ,avem:

( )( )

11 1 ! 1 1lim lim lim lim 1 1

1 !

n n nn

nn n n nn

n na n ea n n n n

+

+

→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦> .Deci

35

( )1 !

n

n

nn

∞

=∑ D .

3o Prin consecinţa 2.4, pentru seria ( )1

12

nn

n

n∞

=

−∑ , cu ( )1 ,2

*Nnn n

na n= − ∈ , avem

11

1 2 1 1lim lim lim 12 2

nn

nn n nn

a n na n n+

+→∞ →∞ →∞

⎛ ⎞+ +λ = = ⋅ = = <⎜ ⎟

⎝ ⎠ 2şi conchidem: ( ) ( )

1

1 .2

nn

n

n AC∞

=

−∑

Teorema 2.23 (Criteriul rădăcinii / Cauchy)

Fie seria , cu . Dacă 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n≥ ∀ ∈ lim Rn

nnl a +

→∞∃ = ∈ , atunci:

i) ; ii) ; iii) l = 1⇒ caz de dubiu. ( )0

1 nn

l a∞

=

< ⇒∑ C D( )0

1 nn

l a∞

=

> ⇒∑ Demonstraţie. Folosind (2.4) atunci când lim Rn

nnl a +→∞

∃ = ∈ ,avem:

,0, astfel încât ,N N nnn n n n lε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ⇒ − ε < < + εa l .De aici, în cazul

i), când l < 1, alegând ε ( )0,1 l∈ − > 0, contăm pe faptul că , , Nn n nε∀ ≥ ∈ ,

1nna q l< = + ε < ,adică .Cum , deducem: .În cazul ii), n

na q< ( )n

n nq C

ε

∞

=∑ ( )

0n

na C

∞

=∑

când ( )1,l∈ ∞ , alegând (0, 1l )ε ∈ − , avem 1nna q l> = − ε > , adică ,

.Dar cum, de astă dată, , obţinem: .Când l

nna q>

, Nn n nε∀ ≥ ∈ ( )n

n nq D

ε

∞

=∑ ( )

0n

na D

∞

=∑ =∞ ,

folosind (2.5), avem 1, / ,N N nnn n n n aε ε∀ε > ∃ ∈ ∀ ≥ ∈ ⇒ > ε = q , adică iarăşi

nna q> , cu , .Drept urmare, aceeaşi concluzie: .În

cazul iii), ca şi la teorema 2.22, relaţia “ε - n

1q > , Nn n nε∀ ≥ ∈ ( )0

nn

a D∞

=∑

ε” de tip (2.4) este ineficientă. ◄ Consecinţa 2.5 ( a criteriului rădăcinii )

Fie o serie cu termeni oarecari. Dacă 0

Rnn

a∞

=

⊂∑ lim Rnnn

a +→∞

∃λ = ∈ , atunci:

I) când , avem şi, implicit, ; 1λ < (0

nn

a AC∞

=∑ ) ( )

0n

na C

∞

=∑

II) când , avem1λ > ( )0

nn

a D∞

=∑ şi, implicit, ; ( )

0n

na D

∞

=∑

III) când , avem caz de dubiu. 1λ =

Exemple. 1o Seria1 2n

n

nα∞

=∑ , cu α ∈R şi 0,

2*Nn n

na nα

= > ∀ ∈ , se află în situaţia

în care: ( ) 1lim lim 12 2

nn

nn n

nl aα

→∞ →∞∃ = = = < .Rezultă atunci că ( )

1

,2

Rnn

n Cα∞

=

∀α∈∑ .

.

2o Cu privire la seria 1

n

n

xn

∞

=∑ ,în care x este un parametru real nenegativ, iar

termenul general este , *Nn

nxa nn

= ∀ ∈ , sesizăm mai întâi că, pentru x = 0, avem

an = 0, şi deci *Nn∀ ∈ ( )1

n

n

x Cn

∞

=∑ .

Apoi, pentru x > 0, vedem că lim limn

n nnn n

xl an→∞ →∞

∃ = = = x .Astfel, în conformitate

cu teorema 2.23, când 1x < ,rezultă ( )1

n

n

x Cn

∞

=∑ , iar când 1x > ,reiese ( )

1

n

n

x Cn

∞

=∑ .

Când 1x = , seria coincide cu cea armonică simplă, fiind deci divergentă.În concluzie, este convergentă pentru [ )0,1x∀ ∈ şi divergentă pentru . [ )1,x∀ ∈ ∞

3o În cazul seriei ( )2

1

1

11

n

nn

n

n

∞

=

−

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , avem ( )2

1,

11

*Nn

n n

na

n

−n= ∀ ∈

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

şi vedem că

1lim lim 111

nn

n nn n

nae

n

→∞ →∞∃λ = = = <

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

.Deci: ( ) ( )2

1

111

n

nn

n AC

n

∞

=

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

36

Teorema 2.24 (Criteriul Raabe-Duhamel)

Fie seria , cu . Dacă0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n> ∀ ∈

1

lim 1 Rnn

n

ana→∞

+

⎛ ⎞∃μ = − ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, atunci:

1o ; 2( )0

1 nn

a C∞

=

μ > ⇒∑ o ; 3( )0

1 nn

a D∞

=

μ < ⇒∑ o 1μ = caz de dubiu. ⇒

Demonstraţia se poate vedea în bibliografie ([11], [13], [17]) Consecinţa 2.6

Fie o serie numerică reală, cu termeni oarecari. Dacă 0

nn

a∞

=∑

1

lim 1 Rn

nn

an

a+

→∞+

⎛ ⎞∃γ = − ∈⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠, atunci: 1o şi 2(

1

1 nn

a AC∞

=

γ > ⇒∑ ) o . ( )1

1 nn

a D∞

=

γ < ⇒∑ Teorema 2.25 ( Criteriul lui Gauss )

Fie seria , cu . Dacă există 0

nn

a∞

=∑ 0, Nna n> ∀ ∈ , Rλ μ∈ , şi şirul

mărginit , astfel încât

*+Rα∈

( ) N Rn nx ∈ ⊂1

n

n

aa +

se poate reprezenta sub forma

(2.21) 11

n n

n

a xμa n n

37

+α+

= λ + + Nn, ∀ ∈ ,

atunci:

1o ; 2( )0

1 nn

a C∞

=

λ > ⇒∑ o ; 3( )0

1 nn

a D∞

=

λ < ⇒∑ o ; ( )0

1şi 1 nn

a C∞

=

λ = μ > ⇒∑

4o . ( )0

1şi 1 na D∞

λ = μ ≤ ⇒∑ Demonstraţie. 1o şi 2o rezultă aplicând criteriul raportului (teorema

2.22).Astfel, din (2.21),avem 1

1

1lim limn nn n

n n

a a la a

+

→∞ →∞+

∃ = λ⇒ ∃ = =λ

şi deci, când

, adică , rezultă , iar când , adică 1l < 1λ > ( )0

nn

a C∞

=∑ 1l > 1λ < , reiese . ( )

0n

n

a D∞

=∑

Dacă ,adică ,aplicăm criteriul Raabe-Duhamel (teorema 2.24) şi găsim: 1l = 1λ =

1

lim 1 limnn n

n

ana nα→∞ →∞

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∃ − = μ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

nx= μ . Aşadar, avem şi ( )

0

1şi 1 nn

a C∞

=

λ = μ > ⇒∑

( )0

1şi 1 nn

a D∞

=

λ = μ < ⇒∑ .Cazul 1λ = μ = se tratează prin folosirea criteriului lui

Bertrand ([13]). ◄ Observaţii. 1 . Criteriul rădăcinii este mai “tare” decât criteriul raportului,

întrucât, dacă există 1lim nn

n

aa+

→∞, atunci există şi lim n

nna

→∞. Reciproca nu este, în

general, adevărată.De exemplu, în cazul seriei 0

nn

a∞

=∑ , unde

1 , 23 , ,1 , 2 15

N Nn

n

n

n ka k

n k

⎧ =⎪⎪= ∈⎨⎪ = +⎪⎩

,n∀ ∈

obţinem: 22

1lim 13

kkk

a→∞

∃ = < şi 2 12 1

1lim 15

kkk

a++→∞

∃ = < .Aceasta înseamnă că, prin

criteriul rădăcinii, avem (C) şi, totodată, 20

kk

a∞

=∑ 2 1

0k

k

a∞

+=∑ (C).Aşadar: (C).

0n

n

a∞

=∑

În acelasi timp, cu intenţia de a aplica şi criteriul raportului, găsim:

2 1

22

2 1

5lim lim3

kk

kk kk

aa

−

→∞ →∞+

= = +∞ şi 2 1

2 1

22

15lim lim 012

kk

k kk

k

aa

++

→∞ →∞. = =

Deci 1lim 0 1n

n n

aa+

→∞= < şi 1lim 1n

nn

aa+

→∞= ∞ > , neputându-se stabili natura seriei ,

cu acest criteriu. 0

nn

a∞

=∑

. Dacă atât prin criteriul raportului, cât şi prin criteriul rădăcinii, obţinem λ = 1, atunci se trece la aplicarea criteriului Raabe-Duhamel.

2

3 . Dacă prin criteriul Raabe-Duhamel găsim μ = 1, atunci se aplică în continuare criteriul lui Gauss. Exemple.

1o Fie ( ) ( )1

!1n

nx x n

∞

= + +∑ ,cu .Avem: *+Rx∈

( ) ( )! 0,

1*Nn

na nx x n

= > ∀ ∈+ +

,

1 1lim lim 11

nn n

n

a na n x+

→∞ →∞

+λ = = =

+ + şi

1

1lim 1 lim 11

nn n

n

a n xn na n→∞ →∞

+

⎛ ⎞ + +⎛ ⎞ xμ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠= .

Atunci, conform teoremei 2.24, reiese că, 1x∀ > ,seria converge, pe când, 1x∀ < ,

ea este divergentă.Pentru 1x = ,vedem că 11na

n=

+, *Nn∀ ∈ .Deci seria este tot

divergentă.

2o Seria ( )( )1

2 1 !2 2 !n

nn

∞

=

−+∑

!! are ( )

( )( )( )

2 1 !! 1 3 5 2 10,

2 2 !! 2 4 6 2 2 2*Nn

n na n

n n n− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= = > ∀+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

……

∈ .

Cum 1

1

2 1 2 4 3lim lim 1, lim 1 lim 1 12 4 2 1 2

n nn n n n

n n

a n a nn na n a n+

→∞ →∞ →∞ →∞+

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞λ = = = μ = − = − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠,

rezultă că seria este convergentă. 38

3o Fie 1 1 11

2

n

n

y

n

∞

= + + +∑

…,cu şi *

+Ry∈ 0,1 112

*Nn n

nn

y ya n

n

= = > ∀ ∈σ+ + +…

,unde

112n n

σ = + + +… 1 este termenul general al şirului sumelor parţiale pentru 1

1n n

∞

=∑ .

Cumli ,obţinemm nn→∞σ = +∞

11

1

lim lim( ) lim 11

nn n

nn n nn n

n

a y y ya y

n

++

→∞ →∞ →∞+

σ ⋅σλ = = ⋅ = =

σ σ ++

n

1

.Deci,

dacă , atunci , iar dacă , atunci .Dacă 0 y< < ( )1

nn

a C∞

=∑ 1y > ( )

1n

n

a D∞

=∑ 1y = ,

atunci 1n

n

a =σ

şi găsim că seria este divergentă, întrucât:

1

lim 1nn

n

ana→∞

+

⎛ ⎞μ = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

111lim 1 lim 0 1

1

n

n nn n

nnnn→∞ →∞

⎛ ⎞σ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞+ − = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ + σ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

< .

4o În privinţa seriei ( ) ( )1

11

!n

t t t nn

∞

=

1+ − ++∑ , unde t∈R\ , avem Z 0 1a = şi

( ) ( )1 1,

!*Rn

t t t na n

n+ − +

= ∈ *N∀ ∈ .Vedem că 1lim lim 11

n

n nn

a n ta n+

→∞ →∞

−∃λ = = =

+ şi

( )1

11 1lim 1 lim 1 lim 1 lim 1.n

n n n nn

a n tn nn n na n t n t n t→∞ →∞ →∞ →∞

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⎛ ⎞+ ⎧ + ⎫⎛ ⎞μ = − = − = − = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − − −⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠t

A∞

=

> ⇒μ = + >⇒ +∑Rezultă atunci că şi ( )1

0 1 (1 )nn

t t a C ( )1

0 (1 )nn

D∞

=

< ⇒ +∑t a .

Întrucât t = 0 ∉R \ Z, cazul μ= 1 nu are loc. Făcând în continuare studiul seriei

pentru t∈ R - \ Z, considerăm ( )( ) ( )1 10,

!*Nn

t t n tn

n− − − −

α = > ∀ ∈

n

şi avem

. Astfel, constatăm că, pentru ( )1 , *Nnn na α= − ⋅ ∀ ∈ ( )1,0t∈ − , se poate aplica

criteriul lui Leibniz, întrucât 10 1,1

*Nn

n

n t nn

+α −< = < ∀ ∈

α +. Prin urmare, când

, şirul ( 1,0t∈ − ) ( ) *Nn nα

∈ este strict descrescător şi, cum , rezultă

că

0, *Nn nα > ∀ ∈

lim 0nnα

→∞∃ = ) ). Deci, , adică . Pentru

, avem şi

( ) (1

1 1 nn

nSC

∞

=

⎛ ⎞+ − α⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (

1

1 nn

a SC∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1t = − 1, *Nn nα = ∀ ∈ lim 1 0nnα

→∞= ≠ . Deci ( ) (

1

1 1 nn

n)D

∞

=

⎛ ⎞+ − α⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , adică

. În fine, pentru ( )1

1 nn

a D∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ( ), 1 \ Zt∈ −∞ − , avem iarăşi lim 1 0nnα

→∞= ≠ , de

39

40

)unde rezultă ( ) (1

1 1 nn

n

D∞

=

⎛+ − α⎜

⎝ ⎠∑ ⎞

⎟ . Concluzionând, putem afirma că seria

( ) ( )1

1 11

!n

t t t nn

∞

=

+ − ++∑ , unde t∈R\ , este absolut convergentă (deci şi

convergentă) pentru , semiconvergentă pentru

Z

* \R Zt +∈ ( )1,0t∈ − şi divergentă în rest, când ( ), 1 \ Zt∈ −∞ − .

5o Privitor la ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

1 1 11

! 1 1n

n nn n

∞

=

α α + α + − β β + β + −+

γ γ + γ + −∑1

, cu *, , R+α β γ∈ ,

menţionăm că se numeşte serie hipergeometrică cu termenul general ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1

0,! 1 1

*Nn

n na n

n nα α + α + − β β + β + −

= > ∀ ∈γ γ + γ + −

*, , Rα β γ, +∀ ∈ .

Avem: ( )( )( )( )

1 şi lim 11

n

nn n

n na aa n n a+

→∞

+ α +β=

+ + γ1n+ = λ = . Vedem că putem scrie

( )( )( )( )

( )( )

( )2

2 21

1 1 11n n

n

n n n na xa n n n n n+

+ + γ + γ + + γ γ + − α +β= = = +

+ α +β + α +β + αβ n+ , unde

( )1, 1λ = μ = γ + − α + β şi

( )( )( )( )

( )( )( )

3 21 1, *Nn

n nx n

n n n n n nγ − αβ − α +β γ + − α −β⎡ ⎤ αβ γ + − α −β⎣ ⎦= +

+ α +β + α +β∀ ∈ . Întrucât

( )( )( )( ) ( )(

3 1lim 1n

nn n n

γ αβ α β γ α β)γ αβ α β γ α β

α β→∞

− − + + − −⎡ ⎤⎣ ⎦∃ = − −+ +

+ + − − ,

( ) *Nn nx

∈ este convergent, deci mărginit. Aşadar, în conformitate cu teorema

2.25, atunci când , avem , iar când , avem

.

γ > α +β ( )1

1 nn

a C∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ γ ≤ α +β

( )1

1 nn

a D∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

6o În ceea ce priveşte seria ( ) ln

3

1ln ln

nn n

∞

= ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ , sesizăm că şirul ( ) { }\ 1,2*Nn na

∈, cu

( ) ln1

ln lnn na

n=⎡ ⎤⎣ ⎦

, este descrescător şi putem aplica criteriul de condensare al lui

Cauchy (teorema 2.21). Astfel, avem:

( ) ( )2 ln 2

1 12 2ln 2 ln ln 2ln ln 2

n nn n

na

n n= =

+⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦( )

1 2 1 1ln 2 ln ln 2 ln 2

n

nbn n

= ⋅ ⋅ = ⋅+

.

Cum 1lim nn

n

bb+

→∞λ = =

( )( )1 ln ln 22 1lim 2 1

1 ln ln 2 2

n

nn

n nn n

+

→∞

+= >

+ +, rezultă ,

adică , ceea ce înseamnă (potrivit teoremei 2.21): .

( )3

nn

b D∞

=∑

( )232 n

n

na D

∞

=∑ ( )

3n

na D

∞

=∑

7o Pentru seria 1

12

n

n

xnn

∞

=

+⎛⎜ +⎝ ⎠

∑ ⎞⎟ , unde *Rx +∈ , avem 1 0,

2*N

n

nxna nn+⎛ ⎞= > ∀ ∈⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Prin aplicarea teoremei 2.23, găsim: 1lim lim 02

nnn n

xna xn→∞ →∞

+λ = = =

+> . Astfel,

dacă 1x < , atunci , iar dacă ( )1

nn

a C∞

=∑ 1x > , atunci . Când ( )

1n

na D

∞

=∑ 1x = ,

1 ,2

*Nn

nna nn+⎛ ⎞= ∀⎜ ⎟+⎝ ⎠

∈ şi 1lim 0nna

e→∞= ≠ . Deci, . ( )

1n

na D

∞

=∑

8o Fie ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1

1

2 sin 2 sin1 , cu şi 1

1 1R

n nn nn n

nn

x xx a

n n

∞+ +

=

− ∈ = −+ +∑ . Luând

1n

na

∞

=∑ , găsim ( )1 2 1lim lim sin 2 2sin

2n

n nn

a nl xa n+

→∞ →∞

+= = ⋅ =

+2 x . Aşadar, pentru

22sin 1x < , adică pentru , ,4 4

Zx k k kπ π⎛ ⎞∈ π − π + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

, rezultă ( )1

nn

a C∞

=∑ . Deci

. Pentru (1

nn

a AC∞

=∑ ) 22sin 1x > , adică pentru 3, ,

4 4Zx k k kπ π⎛ ⎞∈ π + π + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, avem

( )1

nn

a D∞

=∑ . Cum lim 0nn

a→∞

≠ ,reiese că lim 0nna

→∞≠ şi deci . Pentru ( )

1n

na D

∞

=∑

,4

Zx k kπ= π ± ∈ , avem 22sin 1x = , ceea ce implică ( ) 11

,1

*Nn

na nn

+−= ∀ ∈

+.

Atunci, după criteriul lui Leibniz, avem ( ) ( )1

1

111

n

nC

n

∞+

=

−+∑ , ceea ce înseamnă

( ) ( )21

1

2 sin1

1

nnn

n

xn

∞+

=

−+∑ (SC),în acest caz.

Definiţia 2.7. Fie ( ) ( )şi

N NR Rn nn n

a b∈ ∈

⊂ ⊂ . a) Şirul ( ) N

Rn nc

∈⊂ , cu termenul general dat de relaţia

(2.22) , 0

, Nn

n k n kk

c a b n−=

= ∀∑ ∈

41

se numeşte produs convolutiv al şirurilor ( ) ( )şi

N Nn nn na b

∈ ∈.

b) Seria , cu dat de (2.22) şi notată prin 0

nn

c∞

=∑ nc

0 0n

n na

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛∗⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝nb ⎞⎟⎠

∑ ∑ , se numeşte

serie produs - după Cauchy - al seriilor 0 0

şin nn n

a b∞ ∞

= =∑ ∑ .

Observaţie. În general, seria produs (după Cauchy) nu este întotdeauna

convergentă, chiar dacă şi . De exemplu, considerând ( )0

nn

a C∞

=∑ ( )

0n

nb C

∞

=∑

( )1,

1N

n

n na b nn−

= = ∀ ∈+

,seria ( )1

11

n

n n

∞

=

−

+∑ este – din teorema 2.15 – convergentă,

dar produsul ei – după Cauchy – cu ea însăşi, adică seria cu termenul general ( ) ( ) ( )

( )( )0 0 0

1 1 11 ,1 1 1 1

Nk n kn n n

nn k n k

k k kc a b n

k n k k n k

−

−= = =

⎛ ⎞− −= = ⋅ = − ⋅ ∀⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + + − +⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∈ ,

nu este convergentă.Într-adevăr, deoarece ( )( )2

1 1 12nn k k ⎛ ⎞− + + ≤ +⎜ ⎟

⎝ ⎠,adică

( )( ) 21 1 , ,1 1

12

Nk nn k k n

≥ ∀− + + ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

∈ , avem ( )0

2 12 ,2 2

Nn

nk

nc n

n n=

+> = ∀

+ +∑ ∈ .

De aici , cum ( )2 1lim 2 0

2n

nn→∞

+= ≠

+ şi deci ( ) ( )

0

2 12n

nD

n

∞

=

++∑ , rezultă că lim | | 0nn

c→∞

≠ ,

adică .Astfel, avem: . lim 0nnc

→∞≠ ( )

0n

nc D

∞

=∑

Aşadar, pentru convergenţa seriei produs – după Cauchy – nu este suficient ca seriile “factori” să fie doar convergente, ci se impune cu necesitate o condiţie suplimentară ( de exemplu, condiţia ca una, cel puţin, dintre cele două serii să fie o serie absolut convergentă ). Teorema 2.26 ( Mertens-Cauchy )

Dacă seriile numerice reale 0

nn

a∞

=∑ şi

0n

nb

∞

=∑ sunt absolut convergente, cu

suma S şi respectiv T, atunci seria produs – după Cauchy – este absolut

convergentă, cu suma S⋅T. 0

nn

c∞

=∑

Demonstraţia se află în bibliografie ([13], [16]).

42

Exemplu. Pentru 1a < , seria geometrică 2

11n

na a a

∞

=

= + + +∑ este

absolut convergentă, cu suma 11

Sa

=−

.Atunci, în virtutea teoremei 2.26, seria

produs – după Cauchy – 2 1

0 01 2 3n n n

n na a a a na

∞ ∞−

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∗ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ … … este,

în acest caz ( când 1a < ),convergentă, având suma egală cu ( )2

11 a−

.

De aici, între altele, rezultă că, pentru 1x > , seria 0

nn

nx

∞

=∑ este absolut

convergentă , cu suma ( )21

xSx

=−

. Într-adevăr, luând 1xa

= , avem:

( )( ) ( )

1 22 2

1 1 1

11 2 3 , | | 1.1 1

nn n

nn n n

n xna a na a a a a xx a x

∞ ∞−

= = =

≡ = = + + + = = ∀− −

∑ ∑ ∑ … >

Calculul aproximativ al sumei unei serii numerice reale convergente

Fie, în R, seria 0

nn

a∞

=∑ (C), cu suma lim ,Rnn

S S→∞

= ∈ unde .

Pentru calculul lui S, putem acţiona pe una din următoarele două căi: 0

, Nn

n kk

S a n=

= ∀ ∈∑

Dacă S^1 n are, ca funcţie de n, o expresie care permite să se calculeze

simplu şi direct limita sa, atunci preferăm relaţia lim nnS S

→∞= .

Altfel, aproximăm S printr-o sumă parţială S^2 n ( nS S≅ ), cu Nn∈

convenabil ales şi evaluăm eroarea absolută n nE S S= − , în raport cu cerinţele contextului.

Teorema 2.27 (Calculul aproximativ al sumei pentru , ) ( )0

nn

a C∞

=∑ 0 cu na ≥

Fie cu şi suma ( )0

nn

a C∞

=∑ 0, Nna n≥ ∀ ∈ ( RS )∈ . Dacă există şi 0 Nn ∈

( )0,1q∈ , astfel încât 1 0, , Nn na q a n n n+ ≤ ⋅ ∀ ≥ ∈ , atunci:

(2.23) 0, ,1

Nn n nqE S S a n n n

q= − ≤ ∀ ≥ ∈

−.

Demonstraţie. Din faptul că 1 , , Nn na q a n n n+ 0≤ ⋅ ∀ ≥ ∈ , deducem:

( )21 2 0

1| | ,1

Nn n n n n nE S S a a a q q a q n n nq+ += − = + + ≤ + + = ∀ ≥ ∈

−… … , ,

adică tocmai (2.23). ◄ 43

Teorema 2.28 (Aproximarea sumei unei serii alternate convergentă)

Fie seria alternată , unde ( ) 1

11 n

nn

∞+

=

− α∑ ( ) **+N

Rn nα

∈⊂ este un şir monoton

descrescător şi astfel încât lim 0nn→∞α = .Atunci :

(2.24) 1 , *Nn n nE S S n+= − ≤ α ∀ ∈ . Demonstraţia se poate găsi în bibliografie ([14], [16]).

Exemple. 1o Seriei numerice 31

2!n

nn n

∞

=

1+⋅∑ , care este convergentă – întrucât

3

2 1 0,!

*Nnna n

n n+

= > ∀ ∈⋅

şi 1lim 0 1nn

n

aa+

→∞= < , ne propunem să-i calculăm suma S ,

cu aproximaţia .Sesizând că 310−ε =( )

( ) ( )

31

04

2 3 1 , 421 2 1

n

n

n na n na nn n+ += ≤ ∀ ≥ =

++ +,

deducem că (1 0,16

q∃ = ∈ ) , astfel încât 11 ,6n na a n n+ 0 4≤ ∀ ≥ = .Atunci, folosind

formula (2.23), obţinem:

3 3 3

12 1 2 1 16 , ,11 ! 5 ! 101

6

Nn n nq n nE S S a n n

q n n n n+ +

= − ≤ = ⋅ = < ∀ ∈ ≥− ⋅ ⋅−

5.

Deci 5

5 31

2 1 3,362!n

nS Sn n=

+≅ =∑ şi, mai exact, avem:

3 3

1 13,361 3,362 3,362 3,36310 10

S= − < < + = .

2o Pentru seria alternată convergentă ( )( )4 4 4

0

1 1 113 52 1

n

n n

∞

=

−= − +

+∑ , să calculăm S

cu aproximaţia . După teorema 2.28, avem 410−ε =( )4

1 ,2 1

Nn nn

α = ∀+

∈ şi

alegem ,minim,pentru care *Nn∈ 1 4

110n+α < ,adică

( )4 4

1102 3n

≤+

1 .Găsim n = 4.

Atunci, pe baza formulei (2.24),putem spune că ( )( )

4

4 41

10,98883

2 1

n

nS S

n=

−≅ =

+∑

sau, mai bine :

4 4

1 10,98882 0,98883 0,98883 0,9888410 10

S= − < < + = .

44

3o Relativ la seria ( )0

1!n

Cn

∞

=∑ , a cărei sumă este S = e, calculăm S cu aproximaţia

, după cum urmează. Avem: 710−ε =1 1

( 1)! ( 2)!n nS S e Sn n

− = − = + + =+ +

1 1 1 1 1 11 ,1( 1)! 2 ( 2)( 3) ( 1)! !11

*Nnn n n n n n n

n

⎡ ⎤= + + + < ⋅ = ∀ ∈⎢ ⎥+ + + + +⎣ ⎦ −

.

+

Deci 07

1 1 , 10,! 10

*Nn nE S S n n nn n

= − ≤ < ∀ ≥ = ∈ şi putem spune că: 10

100

1 2,718083!n

S e Sn=

= ≅ =∑ … , 7 7

1 12,718083 2,71808310 10

S e− < = < +… … .

4o Seriei alternate ( )0

( 1)!(3 1)

n

nn

Cn

∞

=

−+∑ , îi calculăm suma S ( a cărei valoare exactă

este 1e

) cu aproximaţia 310−ε = . Potrivit teoremei 2.28, avem:

1 3

1 1( 1)!(3 1) 10n n nE S Sn += − ≤ <+ +

, dacă ( )1( 1)! 3 1 10nn ++ + > 3 , adică pentru

orice . Astfel, găsim: 0 3n n≥ = 31 1 11 0,7904004

1! 4 2! 10 3! 28S S≅ = − + −

⋅ ⋅ ⋅.

Altfel spus, obţinem:

3 3

1 10,7894004 0,7904004 0,7904004 0,791400410 10

S= − < < + = .

5o Pentru 11

1 ( )3n

nC

n

∞

−= ⋅∑ , calculăm S cu aproximaţia 310−ε = . Avem:

0

1 2

*0 01 3

1 30

1 1 1 1 1 11( 1)3 ( 2)3 1 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 , , , cu , mini11 3 1 3 2 1013

astfel încât 2( 1)3 10 .

*N N

n n n n n

n n

n

E S Sn n n

n n n nn n

n

+

−

−

⎛ ⎞= − = + + < ⋅ ⋅ + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ < ∀ ∈ ≥ ∈+ +−

+ >

m,

Astfel, rezultă 6

6 1 31

1 11,21608 1,216083 10n

n

S S Sn −

=

≅ = = − < < +⋅∑ 3

110

.

6o În cazul seriei 0

( 1) ( )!

n

n

Cn

∞

=

−∑ , calculăm S cu o aproximaţie de . 310−ε =

45

Avem ( ) 31 03

1 1 1 ! 10 , , 6( 1)! 10

Nn n nE S S n n n nn+= − ≤ α = < ⇔ + > ∀ ∈ ≥ =+

.

Atunci 6

60

( 1) 0,3666!

n

n

S Sn=

−≅ = =∑ … şi 3 3

1 10,3666 0,366610 10

S− < < +… … .

Prin urmare, 1 0,3666Se

= = … .

7o Relativ la seria 1

1 ( )2n

n

Cn

∞

=∑ , calculăm S cu aproximaţia de . Avem: 310−ε =

( ) ( ) ( )1 2 1 2

01 3

1 1 1 1 111 2 2 2 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 , , 7.11 2 1 2 1012

*N

n n n n n

n n

E S Sn n n

n n nn n

+ + +

+

⎛ ⎞= − = + + < + + + =⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ = ⋅ < ∀ ∈ ≥ =+ +−

Deci 7

71

1 0,692242n

n

S Sn=

≅ = =∑ sau 3 3

1 10,69224 0,6922410 10

S− < < + .

8o Pentru 0

( 1) ( )!(2 1)

n

n

Cn n

∞

=

−+∑ , calculăm S cu aproximaţia 310−ε = . Avem:

03

4

4 3 30

1 1 pentru 5;!(2 1) 10

( 1) 1 10,7475; 0,7475 0,7475 .!(2 1) 10 10

n n n

n

n

E S S n nn n

S S Sn n=

= − ≤ α = < ≥ =+

−≅ = = − < < +

+∑

9o În cazul seriei 1

2 ( )( 1)!

n

n

Cn

∞

= +∑ , calculând S cu aproximaţia 310−ε = , avem:

10

1

1 2 2

1 9

931

2 1 , 4 şi deci 2 3

1 1 2 1 1 2 , 413 3 ( 1)! 3 ( 1)!13

2 1 2Atunci , 9. Astfel, rezultă .( 1)! 10 ( 1)!

nn n n

n

n n

n n n

n n

nn

a q n n E S S S Sa n

a a a nn n

E n S Sn n

+

−

+ +

−

=

= < = ∀ ≥ = = − = − =+

⎛ ⎞+ + < + + = ⋅ ⋅ = ∀ ≥⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ −

< < ∀ ≥ ≅ =+ +∑

.

46