cap6 6.1.serii fourier
TRANSCRIPT
Capitolul 6
6.1. Serii Fourier
Cuprins
1. Funcţii periodice
2. Serii trigonometrice
3. Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare
4. Forma complexă a seriilor Fourier
5. Exercitii
1. Funcţii periodice
Definiţia 1. Funcţia f : R R se numeşte periodică dacă există T R , T 0 astfel încât
f(x+T) = f(x), x R .
Dacă T este perioadă pentru f, atunci şi kT, k Z, este perioadă pentru f. Cea mai mică
perioadă T > 0 este perioada principală.
În cele ce urmează, vom enumera câteva proprietăţi ale funcţiilor periodice, considerând
că T este perioada pincipală.
Propoziţia 1. Dacă f este periodică de perioadă T, atunci f(ax) este periodică de perioadă T/a,
a R*. În plus dacă f este şi integrabilă pe un interval de lungime T, atunci
TTb
b
dxxfdxxf
0
)()( , b R. (1)
Cele mai cunoscute funcţii periodice sunt funcţiile trigonometrice sin x şi cos x. Sunt
periodice de perioadă T = 2 şi în plus satisfac următoarele relaţii de ortogonalitate:
1.
nm
nmnxdxmx
,
,0sinsin
;
2.
nm
nmnxdxmx
,
,0coscos
;
3. 0cossin
nxdxmx , nm , N.
Exemple. Demonstrăm spre exemplu , condiţia de ortogonalitate 2. Aplicăm integrarea prin
părţi:
dxn
nxmxnxdxmx
'
sincoscoscos
dxn
nxmx
n
nxmx
sincos
sincos
'
nxdxmxn
msinsin
dxn
nxmx
n
m'
cossin
dxn
nxmx
n
m
n
nxmx
n
m cossin
cossin
'
nxdxmxn
mcoscos
2
2
.
0coscos12
2
nxdxmxn
m
nmmxdx
nm
nxdxmx,cos
,0
coscos2
.
Dar,
2
2sin2
2
1
2
2cos1cos
2 mxxdx
mxdxmx . Deci,
nm
nmnxdxmx
,
,0coscos
.
Tema. Arătaţi că 0cossin
nxdxmx , nm , N.
Aplicăm acum rezultatele de mai sus funcţiilor sin nx şi cos nx, R. În baza
propoziţiei 1. acestea sunt periodice de perioadă
2T , iar relaţiile de ortogonalitate sunt:
1 .
nmT
nm
xdxnxm
Ta
a,
2
,0
sinsin ;
2 .
nmT
nm
xdxnxm
Ta
a,
2
,0
coscos ;
3 . 0cossin
Ta
a
xdxnxm , nm , N.
2. Serii trigonometrice
Definiţia 2. O serie de funcţii de forma
xnbxnaa
n
n
n sincos
2 1
0
, x R (2)
se numeşte serie trigonometrică, unde a0, an, bn, n 1, sunt constante reale.
Expresia an cos nx + bn sin nx se numeşte armonică de ordinul n, iar numărul se
numeşte pulsaţie. Sumele parţiale
xkbxkaa
xSk
n
k
kn sincos
2)(
1
0
se numesc polinoame trigonometrice. Acestea sunt funcţii periodice de perioadă
2T , deci
este suficient să se studieze convergenţa seriei (2) pe un interval de lungime T, spre exemplu [a,
a + T]. Dacă seria (2) este convergentă pe intervalul [a, a + T], atunci va fi convergentă pentru
toate valorile reale ale lui x.
Teorema 1. Dacă seria (2) este
1. punctual convergentă pe [a, a + T], atunci suma ei este o funcţie S : R R periodică
de perioadă T.
2. uniform convergentă pe [a, a + T], atunci suma ei este o funcţie S : R R continuă şi
.1,sin)(2
;0,cos)(2
nxdxnxST
b
nxdxnxST
a
Ta
a
n
Ta
a
n
(3)
Demonstraţie. 1. Seria (2) fiind punctual convergentă, şirul de funcţii periodice ( )( xSn
)nN,
converge punctual către funcţia periodică S(x) având aceeaşi perioadă T.
2. Seria (2) fiind uniform convergentă, iar ( )( xSn
)nN este un şir de funcţii continue, în
baza teoremei de transfer a continuităţii din cursul de Analiză matematică, rezultă că suma seriei
este o funcţie continuă S : R R, adică
xnbxnaa
xSn
n
n sincos
2)(
1
0
, x R (4)
Mai mult, în acestă ipoteză, seria (4) poate fi integrată termen cu termen pe intervalul [a,
a + T]. Ţinând cont şi de relaţiile de ortogonalitate 1, 2 şi 3, avem:
Ta
xdxnbxdxnadxa
dxxS
Ta
a
n
n
Ta
a
n
Ta
a
Ta
a2
)sincos(2
)(0
1
0
dxxST
a
Ta
a
)(2
0
Ta
a
n
n
Ta
a
n
Ta
a
Ta
a
xdxmxnbxdxmxnaxdxma
dxxmxS )cossincoscos(cos2
cos)(
1
0
2
Ta
m 0,cos)(
2
mxdxmxST
a
Ta
a
m .
Ta
a
n
n
Ta
a
n
Ta
a
Ta
a
xdxmxnbxdxmxnaxdxma
dxxmxS )sinsinsincos(sin2
sin)(
1
0
2
Tb
m 1,sin)(
2
mxdxmxST
b
Ta
a
m .
Seriile trigonometrice se întâlnesc în studiul fenomenelor periodice (din acustică,
electrotehnică, etc.), unde se pune problema reprezentării unei funcţii periodice printr-o serie de
forma (2). De aceea, în continuare vom rezolva această problemă, adică vom determina condiţiile
în care o funcţie f : R R, periodică de perioadă T, continuă pe porţiuni pe orice interval
compact din R (cu limite laterale finite în orice punct din R) este suma seriei (2).
Cu ajutorul lui f se construiesc şirurile
,1,sin)(2
;0,cos)(2
nxdxnxfT
b
nxdxnxfT
a
Ta
a
n
Ta
a
n
(5)
unde T
2 .
Definiţia 3. Seria trigonometrică (2) în care numerele a0, an, bn, n 1, sunt date prin
integralele (5) se numeşte seria Fourier a funcţiei f, iar a0, an, bn, n 1, din (5) se numesc
coeficienţii seriei Fourier.
Aşa cum reiese de mai sus, între funcţia f şi seria ei Fourier este o legătură de asociere.
Funcţia f nu este suma seriei Fourier când aceasta este divergentă sau punctual convergentă pe
R. O clasă aparte de funcţii care se pot reprezenta în serie Fourier este clasa funcţiilor cu care
verifică condiţiile Dirichlet.
Definiţia 4. Funcţia f satisface condiţiile Dirichlet pe intervalul [a, b], dacă:
1. este mărginită şi are cel mult un număr finit de puncte de discontinuitate de speţa întâi;
2. intervalul [a, b] se poate împărţi într-un număr finit de subintervale pe care f este
monotonă.
Teorema 2. Dacă funcţia f satisface condiţiile Dirichlet pe intervalul [a, a + T], atunci
itatediscontinudepunctccfcf
tecontinuitadepunctxxf
xnbxnaa
n
n
n
,2
)0()0(
),(
sincos2 1
0
unde )(lim)0( xfcf
cx
cx
şi )(lim)0( xfcf
cx
cx
.
Deci, reprezentarea în serie Fourier a unei funcţii periodice f care satisface condiţiile
Dirichlet se reduce la calculul coeficienţilor (5).
Exemple. 1. Fie funcţia 2)( xxf , ,x . Aceasta generează o funcţie periodică
de perioadă 2T cu următoarea reprezentare grafică
Funcţia f este continuă, monotonă şi mărginită pe intervalul , , deci satisface
condiţiile Dirichlet. Cu formulele (5) calculăm coeficienţii Fourier.
12
T
1,sin1
1,cos1
3
21
2
2
2
2
0
nnxdxxb
nnxdxxa
dxxa
n
n
.
Coeficienţii n
a şi n
b , 1n , îi calculăm simultan, calculând nn
iba . Integrând de
două ori prin părţi avem,
nn
iba
dxin
exdxexdxnxinxx
inx
inx
'
222 11)sin(cos
1
dxxein
dxin
ex
in
ex
inx
inxinx21 '22
2
'
)(
)1(2222
in
e
inindx
in
e
in
ex
indx
in
ex
in
inxninxinxinx
2
)1(4
n
n
2
)1(4
na
n
n
şi 0
nb , 1n .
Deci, seria Fourier a funcţiei 2
)( xxf , ,x este
1
2
2
2cos
)1(4
3 n
n
nxn
x
.
Mai mult,
2 3 - -2 -3 x
y
x
1
2
2
2cos
)1(4
3 n
n
nn
6
12
1
2
n n.
0x
1
2
2)1(4
30
n
n
n
12
)1(2
1
2
1
n
n
n.
2. Fie funcţia
,0(,
02
0,,0
)(
x
x
x
xf . Funcţia periodică de perioadă ( 2T )
generată de aceasta are reprezentarea grafică
Funcţia are discontinuităţi de speţa întâi în punctele x = - şi x = , este monotonă
şi mărginită pe intervalul , , deci satisface condiţiile Dirichlet.
12
T
1,)1(1cos
sinsin01
1,0coscos01
01
00
0
0
0
0
0
0
nnn
nxnxdxnxdxb
nnxdxnxdxa
dxdxa
n
n
n
Deci,
1
sin)1(1
2 n
n
nxn
...5sin
5
13sin
3
1sin
2
2xxx
),0(,
,0,,2
0,,0
x
x
x
.
3. Dezvoltăm în serie Fourier funcţia periodică de perioadă 2T ,
x
xxf
cos45
sin2)(
pe intervalul 2,0 .
2 3 - -2 -3
/2
y
x
12
T
1,sincos45
sin21
0,coscos45
sin21
2
0
2
2
0
nnxdxx
xb
nnxdxx
xa
n
n
.
Calculăm simultan coeficienţii n
a şi n
b :
nn
iba .cos45
sin21)sin(cos
cos45
sin212
0
2
0
dxe
x
xdxnxinx
x
x inx
Prin schimbarea de variabilă ixez , integrala de mai sus se transformă într-o
integrală complexă pe care o calculăm utilizând teorema reziduurilor. Într-adevăr,
ixez
iz
dzdx
iz
zx
z
zx
2
1sin
2
1cos
2
2
nn
iba
2
0cos45
sin21dxe
x
x inxdz
zz
zz
z
n
1
2
21
252
)1(1
.
Rezolvând ecuaţia 2522
zz = 0 găsim polii simplii 21z şi
2
12z . Dar, doar
2
12z este în interiorul cercului (C): 1z . Avem,
nn
iba dzzz
zz
z
n
1
2
21
252
)1(1
=
12i rezf(
2
1)
2
1
'2
21
252
)1(2
z
n
zz
zzi
=n
z
ni
z
zzi
254
)1(2
2
1
21
1,2
1
0,0
nb
na
nn
n
.
Deci seria Fourier a funcţiei date este
x
x
cos45
sin2
1 2
sin
n
n
nx.
Tema. Dezvoltaţi în serie Fourier funcţia periodică de perioadă 2T , xe
eexf
)( ,
,x şi calculaţi
1
21
)1(
n
n
n.
3. Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare
Toate aceste considerente ne permit să găsim o formă simplificată a seriei Fourier a
funcţiilor f periodice de perioadă T, pare respectiv impare pe
2,
2
TT. Într-adevăr, dacă f este
pară pe
2,
2
TT atunci xnxf cos)( este pară, iar xnxf sin)( este impară, iar formulele
integrale (III.1.5) devin
.1,0sin)(2
;0,cos)(4
cos)(2
2
2
2
0
2
2
nxdxnxfT
b
nxdxnxfT
xdxnxfT
a
T
T
n
TT
T
n
(6)
Acum, dacă presupunem că f este impară pe
2,
2
TT atunci xnxf cos)( este impară, iar
xnxf sin)( este pară. Cu această ipoteză, (5) are forma
.1,sin)(4
sin)(2
;0,0cos)(2
2
0
2
2
2
2
nxdxxfT
xdxnxfT
b
nxdxnxfT
a
TT
T
n
T
T
n
(7)
Relaţiile (6), (7) si teorema 2. ne conduc la:
Corolarul 1. Dacă funcţia pară f satisface condiţiile Dirichlet pe intervalul
2,
2
TT, atunci
seria Fourier este o serie de cosinusuri,
itatediscontinudepunctccfcf
tecontinuitadepunctxxf
xnaa
n
n
,2
)0()0(
),(
cos2 1
0 ,
unde 0,cos)(4
2
0
nxdxnxfT
a
T
n .
Corolarul 2. Dacă funcţia impară f satisface condiţiile Dirichlet pe intervalul
2,
2
TT, atunci
seria Fourier este o serie de sinusuri,
itatediscontinudepunctccfcf
tecontinuitadepunctxxf
xnba
n
n
,2
)0()0(
),(
sin2 1
0 ,
unde 1,sin)(4
2
0
nxdxnxfT
a
T
n .
Exemple. Exemple
Fie funcţia
,0(,1
0,,1)(
x
xxf . Funcţia periodică de perioadă ( 2T )
generată de f are reprezentarea grafică
Funcţia are discontinuităţi de speţa întâi în punctele x = -, 0, , este monotonă
şi mărginită pe intervalul , , deci satisface condiţiile Dirichlet. În plus f este
o funcţie impară, deci dezvoltarea Fourier este o serie numai de sinusuri.
12
T
1,
)1(12cos2sin1
2
00
nnn
nxnxdxb
n
n
Deci,
1
sin)1(12
n
n
nxn
...5sin
5
13sin
3
1sin
4xxx
,0,,02
11
),0(,1
0,,1
x
x
x
.
Tema. Dezvoltaţi în serie Fourier funcţia pară x
xfcos54
1)(
, periodică de perioadă
2T .
4. Forma complexă a seriilor Fourier
Dacă înlocuim termenul general
xnbxnann
sincos
al seriei Fourier complexe cu expresiile complexe ale funcţiilor trigonometrice xncos şi
xnsin obţinem:
.2222
sincosxinnnxinnn
xinxin
n
xinxin
nnne
ibae
iba
i
eeb
eeaxnbxna
În continuare pentru a explicita termenii 2
nniba
şi 2
nniba
folosim formulele (5):
2 3 - -2 -3
4 -4
1
-1
x
y
2
nniba
=n
Ta
a
xin
Ta
a
cdxexfT
dxxnixnxfT
:)(1
)sin(cos)(1
2
nniba
=n
Ta
a
xin
Ta
a
cdxexfT
dxxnixnxfT
:)(1
)sin(cos)(1
, iar
2
0a
=0
:)(1
cdxxfT
Ta
a
Deci, seria Fourier devine:
n
xin
n
xin
n
n
xin
nn
n
necececcxnbxna
a )(sincos
2 1
0
1
0 ,
unde
Ta
a
xin
ndxexf
Tc
)(
1: ,
şi se numeşte forma complexă a seriei Fourier.
Tema. Determinaţi forma complexa a seriei Fourier pentru functia periodica
l
xxf
2
1)( , Rlf ,0: .
5. Exercitii
Dezvoltaţi în serie Fourier funcţiile periodice:
1. xxf )( , ,x ;
2.
2,(,0
,0,sin)(
x
xxxf , 2T ;
3. x
xfsin35
1)(
.
Dezvoltaţi în serie Fourier complexa funcţia periodică de perioadă 2T ,
xe
eexf
)( , ,x .