curs 4 - serii de numere reale. serii de functii. serii de...

CURS 4Serii de numere reale. Serii de functii. Serii de puteri

A. [email protected]

[email protected]

Facultatea de Informatica,Universitatea ”Alexandru Ioan Cuza” din Iasi

23 Octombrie 2017

Structura cursului

1 Serii cu termeni oarecareCriterii de convergentaConvergenta absoluta a seriilorAproximarea seriilor convergente

2 Serii de functii

3 Serii de puteri

Matematica, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iasi) 2 / 28

Structura cursului


2 Serii de functii

3 Serii de puteri


Serii cu termeni oarecare

In aceasta sectiune vom analiza serii de tipul∑n∈N

xn, unde xn nu este neaparat pozitiv.

• Daca xn · xn+1 ≤ 0, ∀n ∈ N, atunci spunem ca seria∑n∈N

xn se numeste serie alternata.

Exemplu: Seria armonica alternata∑n∈N∗

(−1)n+1 1

neste convergenta.

Fie xn = (−1)n+1 1

nsi fie n, p ∈ N∗. Atunci avem

|xn+1 + ...+ xn+p| =∣∣∣∣(−1)n+1 1

n+ 1+ ...+ (−1)n+p+1 1

n+ p

∣∣∣∣ ≤ 1

n+ 1.

Cum limn→∞

1

n+ 1= 0⇒ ∀ε > 0, ∃nε =

[1

ε

]astfel ıncat

1

n+ 1< ε, ∀n ≥ nε.

Asadar |xn+1 + ...+ xn+p| < ε, pentru orice n ≥ nε si p ∈ N∗, adica (xn)n∈N∗ este sirfundamental.Prin urmare, conform Criteriului de convergenta al lui Cauchy,

∑n∈N∗

xn (C).


Criterii de convergenta

Teorema (Criteriul lui Dirichlet)

Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale, si fie Sn := x1 + ...+ xn, n ∈ N∗. Daca:

sirul (Sn)n∈N∗ este marginit;

sirul (yn)n∈N∗ este monoton iar limn→∞

yn = 0,

atunci seria∑n∈N∗

xnyn este convergenta.

Demonstratie: Cum (Sn) este marginit ⇒ ∃M > 0 astfel ıncat |Sn| ≤M. Presupunem ca sirul(yn)n∈N∗ este descrescator si convergent la 0. Asadar avem:

∀ ε > 0,∃nε ∈ N∗ asa ıncat ∀n ∈ N∗, n ≥ nε : yn+1 <ε

2M.

Aplicand criteriul general al lui Cauchy de convergenta pentru∑n∈N∗

xnyn, obtinem ca,

∀ε > 0,∃n′ε = nε, n′ε ∈ N∗, asa ıncat, ∀n ∈ N∗, cu n ≥ n′ε si ∀ p ∈ N∗, avem:

|xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| ≤Myn+1 +M(yn+1 − yn+2) + ...+M(yn+p−1 − yn+p)

+Myn+p ≤ 2Myn+1.

Asadar, vom obtine |xn+1yn+1 + . . .+ xn+pyn+p| < ε ⇒∑n∈N∗

xnyn (C).



Exemplu: Seria∑n∈N∗

cosn√n

este convergenta.

Vom considera xn = cosn si yn =1√n

. Aratam ca Sn = cos 1+cos 2+ . . .+cosn este marginit.

Observam ca

2 sin1

2Sn = 2 sin

1

2cos 1 + 2 sin

1

2cos 2 + . . .+ 2 sin

1

2cosn = sin

(n+

1

2

)− sin

(12

)

Asadar Sn =sin

n

2· cos

n+ 1

2

sin1

2

, ∀n ∈ N∗. Deci |Sn| ≤1∣∣∣∣sin 1

2

∣∣∣∣ =1

sin 12

, ∀n ∈ N∗.

Pe de alta parte, sirul

(1√n

)n∈N∗

⊂ R∗+ este descrescator si convergent la 0.

Fiind ındeplinite conditiile criteriului lui Dirichlet, rezulta ca∑n∈N∗

(cosn ·

1√n

)(C).



Teorema (Criteriul lui Abel)

Fie (xn)n∈N∗ si (yn)n∈N∗ siruri de numere reale. Daca

seria∑n∈N∗

xn este convergenta,

sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit,

atunci seria∑n∈N∗

xnyn este convergenta.

Demonstratie: Cum sirul (yn)n∈N∗ este monoton si marginit ⇒ (yn) este convergent ın R.Fie y = lim

n→∞yn si fie zn := yn − y ⇒ (zn) este monoton, iar lim

n→∞zn = 0.

Cum∑n∈N∗

xn(C) iar (zn) este monoton cu limn→∞

zn = 0 ⇒∑n∈N∗

xnzn (C)

Pe de alta parte, cum y ∈ R iar∑n∈N∗

xn(C) ⇒∑n∈N∗

xny(C).

Asadar, ∑n∈N∗

xnyn =∑n∈N∗

xn(zn + y) (C) - suma de doua serii convergente



Teorema (Criteriul lui Leibniz)

Daca sirul (un)n∈N∗ de numere reale pozitive este monoton si convergent la 0, atunci seria

alternata∑n∈N∗

(−1)nun este convergenta.

Exemplu: Seria∑n∈N∗

(−1)n1

neste convergenta.


Convergenta absoluta a seriilor

Definitie

Spunem ca seria∑n∈N∗

xn este:

absolut convergenta (AC) daca∑n∈N∗

|xn| este convergenta;

semiconvergenta (SC) daca∑n∈N∗

xn este convergenta si∑n∈N∗

|xn| este divergenta.

Propozitie

Daca o seria∑n∈N∗

xn (AC), rezulta ca seria∑n∈N∗

xn (C).

Definitie

Se numeste produs Cauchy al seriilor de numere reale∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn, seria∑n∈N∗

zn, unde

zn = x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1, ∀n ∈ N∗.


Convergenta absoluta a seriilor

Teorema (Mertens)

Fie∑n∈N∗

xn si∑n∈N∗

yn doua serii de numere reale.

Daca∑n∈N∗

xn (AC) si∑n∈N∗

yn (C) atunci seria produs Cauchy a celor doua serii este convergenta.

Mai mult, iar suma ei este egala cu produsul sumelor celor doua serii.

Corolar

Seria produs Cauchy a doua serii absolut convergente este absolut convergenta.


Aproximarea seriilor convergente

Teorema (de aproximare a sumei unei serii alternate)

Fie seria∑n∈N∗

(−1)nxn, cu (xn)n∈N∗ monoton si convergent la 0. De asemenea, fie S suma

acestei serii si (Sn)n∈N∗ sirul corespunzator al sumelor partiale. Atunci:

|S − Sn| < |xn+1|,∀n ∈ N∗.

Teorema (de aproximare a sumei unei serii absolut convergente)

Fie∑n∈N∗

xn o serie absolut convergenta de numere reale, S suma sa si (Sn)n∈N∗ sirul

corespunzator al sumelor partiale. Atunci, daca exista λ ∈ (0, 1) si n0 ∈ N∗ astfel ıncat

i) n√|xn| ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| ≤

λn+1

1− λ, ∀n ≥ n0

sau

ii)

∣∣∣∣xn+1

xn

∣∣∣∣ ≤ λ, ∀n ≥ n0, avem: |S − Sn| <|xn+1|1− λ

, ∀n ≥ n0.


Structura cursului


2 Serii de functii

3 Serii de puteri


Serii de functii

Fie A ⊆ R, A 6= ∅ si fie (fn)n∈N∗ un sir de functii, unde fn : A→ R, n ∈ N∗.Vom nota o serie de functii de termen general fn prin

∞∑n=1

fn sau∑n∈N∗

fn.

Vom nota cu (Sn)n∈N∗ , Sn : A→ R, sirul sumelor partiale corespunzator seriei∑n∈N∗

fn, definit

prinSn(x) = f1(x) + f2(x) + ...+ fn(x), x ∈ A.

Definitie

Fie∞∑

n=1

fn o serie de functii definite pe multimea nevida A ⊂ R.

Spunem ca x0 ∈ A este un punct de convergenta al seriei de functii∞∑

n=1

fn, daca∞∑

n=1

fn(x0)(C).

Multimea tuturor punctelor de convergenta ale seriei∞∑

n=1

fn se numeste multimea de

convergenta.


Serii de functii

Definitie

Fie A ⊂ R o multime nevida, fn : A→ R un sir de functii, si fie (Sn)n∈N∗ sirul sumelor partiale

atasat seriei∞∑

n=1

fn.

i) Spunem ca seria∞∑

n=1

fn converge punctual pe A daca∞∑

n=1

fn(x) este convergenta, ∀x ∈ A,

adica daca exista S : A→ R astfel ıncat Snp/A−→ S. In acest caz, vom nota S =

∞∑n=1

fn pe A.

ii) Spunem ca seria∞∑

n=1

fn este uniform convergenta pe multimea A, daca exista o functie

S : A→ R astfel ıncat Snu/a−→ S.

iii) Spunem ca∞∑

n=1

fn este absolut convergenta, daca seria∞∑

n=1

|fn| este convergenta punctual.


Serii de functii

Exemplu: Fie seria de functii∞∑

n=0

1

(x+ n)(x+ n+ 1). Aratam ca seria este convergenta

uniform pe (0,∞). Intr-adevar

Sn =n∑

k=0

1

(x+ n)(x+ n+ 1)=

n∑k=0

(1

x+ k−

1

x+ k + 1

)=

1

x−

1

x+ n+ 1.

Observam ca limn→∞

Sn = limn→∞

(1

x−

1

x+ n+ 1

)=

1

x, pentru orice x ∈ (0,∞).

Asadar, seria de functii reale∞∑

n=0

1

(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta punctual la functia

f : (0,∞)→ R, f(x) =1

x.

Pe de alta parte, pentru orice x ∈ (0,∞), avem

|Sn(x)− f(x)| =∣∣∣∣ 1x − 1

x+ n+ 1−

1

x

∣∣∣∣ = 1

x+ n+ 1≤

1

n+ 1.

Prin urmare, seria∞∑

n=0

1

(x+ n)(x+ n+ 1)este convergenta uniform pe (0,∞).


Serii de functii

Teorema lui Cauchy de convergenta uniforma

Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii.

Seria de functii∞∑

n=0

fn converge uniform pe multimea A daca si numai daca

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, a. ı. ∀n ≥ nε, ∀p ∈ N∗ : |fn+1 + fn+1 + ...+ fn+p| < ε, ∀x ∈ A.

Demonstratie: Fie (Sn)n∈N sirul sumelor partiale asociat seriei∞∑

n=0

fn. Cum (Sn) este

convergent uniform pe A daca si numai daca (Sn) este sir uniform Cauchy, vom avea ca pentruorice ε > 0, ∃nε ∈ N, astfel ıncat ∀n ≥ nε si orice p ∈ N avem

|Sn(x)− Sn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,

sau, echivalent,|fn+1(x) + ...+ fn+p(x)| < ε, ∀x ∈ A,

asadar teorema este demonstrata.


Serii de functii

Teorema (Criteriul lui Weierstrass)

Fie A ⊂ R o multime nevida si fn : A→ R un sir de functii. Daca exista un sir de numere reale

pozitive (αn)n∈N astfel ıncat∞∑

n=0

αn este convergenta si

|fn(x)| ≤ αn, pentru orice n ∈ N si x ∈ A,

atunci seria de functii∞∑

n=0

fn este uniform si absolut convergenta pe A.

Exemplu: Fie seria∞∑

n=1

cosnx

n2 + x2, pentru orice x ∈ R.

∣∣∣∣ cosnx

n2 + x2

∣∣∣∣ ≤ | cosnx|n2≤

1

n2, pentru orice n ∈ N si orice x ∈ R,

iar seria numerica∞∑

n=1

1

n2, este convergenta. Asadar, aplicand criteriul lui Weierstrass, rezulta ca

seria∞∑

n=1

cosnx

n2 + x2, este uniform si absolut convergenta pe R.


Serii de functii

In continuare, vom stabili doua criterii de convergenta uniforma (nu si absoluta) pentru serii de

functii de forma∑n∈N∗

fngn.

Teorema (Criteriul lui Abel pentru serii de functii reale)

Fie A ⊂ R o multime nevida si fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗

fn este

uniform convergenta pe A iar sirul (gn(x))n∈N∗ este uniform marginit si monoton pentru orice

x ∈ A, atunci seria∑n∈N∗

fngn este uniform convergenta.


Serii de functii

Teorema (Criteriul lui Dirichlet pentru serii de functii reale)

Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn, gn : A→ R doua siruri de functii. Daca seria∑n∈N∗

fn are

sirul sumelor partiale uniform marginit, iar sirul (gn)n∈N∗ este monoton descrescator si

convergent uniform la 0, atunci seria∑n∈N∗

fngn este uniform convergenta.

Teorema (Criteriul lui Leibniz pentru serii de functii reale)

Fie A ⊂ R o multime nevida si fie fn : A→ R un sir de functii.Daca (fn)n∈N∗ este un sir descrescator (pentru orice x ∈ A) si uniform convergent la 0, atunci

seria∑n∈N∗

(−1)nfn este uniform convergenta pe A.


Structura cursului


2 Serii de functii

3 Serii de puteri


Serii de puteri

Definitie

Fie A ⊂ R, o multime nevida, (an)n∈N un sir de numere reale si x0 ∈ R.

Seria de functii∑n∈N

fn, ın care fn(x) = an(x− x0)n, ∀x ∈ A ,∀n ∈ N∗, se numeste serie de

puteri (sau serie ıntreaga), ın variabila x, centrata ın x0 si cu coeficientii an.Numarul real an se numeste coeficientul termenului de rang n din seria de puteri.

Observatii:

a) Toate rezultatele stabilite pentru serii de functii oarecari sunt aplicabile, desigur, si ın cazulparticular al seriilor de puteri.

b) O chestiune de baza din studiul seriilor de puteri este determinarea multimilor deconvergenta punctuala, absoluta si uniforma.

c) Vom nota cu Acp multimea de convergenta punctuala a unei serii de puteri∑n∈N

an(x− x0)n.

Este usor de aratat ca Acp 6= ∅.

d) In continuare, vom considera cazul ın care x0 = 0, adica asupra seriei∑n∈N

anxn.


Serii de puteri

Teorema lui Abel

Pentru orice serie de puteri∑n∈N

anxnexista un element r ∈ [0,+∞], numit raza de convergenta a

seriei ın cauza, astfel ıncat:

i) daca r = 0, seria∑n∈N

anxneste convergenta numai pentru x = 0, adica Acp = {0};

ii) daca r > 0, atunci seria∑n∈N

anxneste absolut convergenta pe intervalul (−r, r);

iii) daca 0 < r < +∞, atunci seria∑n∈N

anxneste divergenta pe (−∞,−r) ∪ (r,+∞);

iv) daca r = +∞, atunci seria∑n∈N

anxneste convergenta pe R;

v) daca r > 0 si ρ ∈ (0, r), atunci seria∑n∈N

anxneste uniform convergenta pe orice interval

[α, β] ⊆ [−ρ, ρ].


Serii de puteri

Propozitie

Fie∑n∈N

anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.

Daca exista ρ = limn→∞

n√|an|, atunci raza de convergenta a seriei este data de

r =

0, cand ρ = +∞1

ρ, cand 0 < ρ < +∞

∞, cand ρ = 0

.

Daca nu exista limn→∞

n√|an|, vom calcula r similar, doar ca de data asta, ρ = lim sup

n→∞n√|an|.


Propozitie

Fie∑n∈N

anxno serie de puteri si r raza ei de convergenta.

Daca exista n0 ∈ N asa ıncat an 6= 0, ∀n ≥ n0, n ∈ N si exista ` = limn→∞

|an+1||an|

∈ R, atunci:

r =

0, cand ` = +∞1

`, cand 0 < ` < +∞

∞, cand ` = 0

.


Serii de puteri

Observatii:

1. Pentru orice serie de puteri∑n∈N

anxn, avem:

(−r, r) ⊆ Acp ⊆ [−r, r].

2. Pentru gasirea multimii Acp, se determina raza de convergenta r si apoi se stabileste dacax = −r si x = r sunt sau nu puncte de convergenta ale seriei ın cauza.


Serii de puteri

Exemple de serii de puteri de forma∑n∈N

anxn:

Seria nula: an = 0, n ∈ N. Avem r = +∞, Acp = R;Seria geometrica: cand an = 1. Avem r = 1, Acp = (−1, 1);

Seria∑n∈N

n!xn. Avem r = 0, Acp = {0};

Seria exponentiala,∑n∈N

1

n!xn. Avem r = +∞, Acp = R. Mai mult,

∞∑n=0

xn

n!= ex, x ∈ R.


Serii de puteri

Observatie: Daca f : A ⊆ R→ R este o functie derivabila de orice ordin ın x0 ∈ A, atunci vom

numi serie Taylor asociata functiei f , ın punctul x0, seria de puteri∑n∈N

f (n)(x0)

n!(x− x0)n,

adica seria de puteri pentru care an =f (n)(x0)

n!.

Pentru x0 = 0 vom numi serie MacLaurin atasata functiei f , ın punctul x0 = 0, seria de puteri∑n∈N

f (n)(x0)

n!(x− x0)n.


Bibliografie

Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iasi, 1998.

V. Postolica - Eficienta prin matematica aplicata. Analiza matematica (Cap. 10, 11 si 12),Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

Emil Popescu - Analiza matematica. Calcul diferential, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006.

E. Macovei, F. Iacob - Matematica pentru anul I), Editura Universitatii ”Al. I. Cuza”, Iasi,2005.

W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of CongressCataloging-in-Publication Data, 2010.

M. Postolache - Analiza matematica ( teorie si aplicatii ), Editura ”Fair Partners”,Bucuresti, 2011.

Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department ofMathematics, Los Angeles, 2015.

M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), ImperialCollege London, Department of Computing, 2016.


curs 4 - serii de numere reale. serii de functii. serii de...

Documents