cap6 modelare fuzzy

Download Cap6 Modelare Fuzzy

Post on 14-Apr-2018

245 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    1/14

    Modelarea proceselor economice 87

    Unitatea de nvare 6 MODELAREA DECIZIILOR CU MULIMI FUZZY [ANDREICA, 1998], [BOJADZIEV, 1995], [BOUCHON, 1995], [IONESCU, 1999], [MANSUR, 1995],*MOISIL, 1975+, *NEGOI, 1974+, *RAIU, 2001+, *RAIU, 2002+

    ObiectivObiectivul acestui capitol este de a defini i construi modele economicebazate pe conceptul de mulime vag ( fuzzy set, ensemble flou). Utilizareamulimilor f uzzy n modelarea economic permite tratarea unor fenomeneinsuficient precizate, mai puin rigide, deoarece pentru elementele ac estormulimi exist mai multe grade de apartenen intermediare ntreapartenena total i non -apartenena. Studiile de caz prezentatedemonstreaz multiplele posibiliti de aplicare a mulimilor fuzzy nmodelarea unor procese economice.

    Competen ele unitii de nvare Parcurgerea acestei uniti permite nelegerea conceptelor fuzzy i aplicarealor n construcia modelelor ce conduc la problema de programare liniar i lamodelarea deciziei multicriteriale.

    Durata medie de parcurgere a acestei unit i de nvare este de 6 o re.

    Conceptul de mulime vag ( fuzzy set, ensemble flou) a fost introdus n matematic deL.A. Zadeh n anul 1965. Concepetele fuzzy au aprut din necesitatea de a msuracantitativ vagul, imprecisul. Academicianul romnG. Moisil dezvolt ideea de fuzzy set,care ar putea fi neleas ca extensia unui predicat n logica cu o infinitate de valori.

    Definia mulimii fuzzy (utiliznd un limbaj vag)O mulime fuzzy este o mulime n care nu exist o tranziie brusc de la apartenena lanon-apartenena unui element la aceast mulime. Ideea fundamental este urmtoarea: dac X este o mulime clasic , n careapartenena este dichotomic, orice submulime X A poate fi identificat prin funcia

    sa caracteristic: 1,0: X A ,

    unde A x

    A x x A ,0

    ,1

    deci, mulimea prilor lui X este n coresponden bijectiv cu mulimea funciilor

    1,0: X f .

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    2/14

    88 Dorin Lix ndroiu

    Teoria clasic are ca model logica bivalent. Modelul teoriei mulimilor fuzzyeste logica continu. Submulimile fuzzyale lui X sunt ncoresponden bijectiv cu mulimea de funcii: 1,0: X f .Dac A este o submulime fuzzy ( vag ) a lui X , aplicaia ]1,0[: X f A se numete funciade apartenen a lui A.O submulime fuzzy A este definit prin: X x x f x A /, .

    Observaii . n cazul particular n care A f nu ia dect dou valori 0 sau 1, submulimea fuzzy A

    este o submulime clasic a lui X. Deci, o submulime clasic este un caz particular desubmulime fuzzy.

    Definiia mulimilor fuzzy clarific distincia dintre aleator i fuzzy : fenomenulaleator este rezultatul incertitudinii n ceea ce privete apartenena sau non-apartenena unui obiect la o clas; n cadrul unui fenomen fuzzy exist mai multegrade de apartenen intermediare ntre apartenena total i non -apartenena.

    Noiunea de mulime fuzzy permite tratarea:- categoriilor cu limite definite neclar (centrul oraului , vechi )- situaiile intermediare ntre totul i nimic ( aproape negru )- trecerea progresiv de la o proprietate la alta (de la aproape la departe )- claselor evitnd utilizarea arbitrar a limitelor rigide (este dificil s spui c o cassituat la 200 m de plaj este aproape, dar dac este la 210 m este departe) !

    Exemple de submulimi fuzzy Elementele lui X care posed o anumit proprietate constituie o submulime A a lui X, n

    sensul cunoscut al teoriei mulimilor. Se noteaz Prop(A) proprietatea asociat .1. Pentru Prop(A) = d in regiunea parisi an graficul este dat n figura 1.

    Figura 1

    2. Pentru Prop(A1) = departe i Prop(A2) = aproape o posibil reprezentare afunciilor de apartenen este dat n figura 2.

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    3/14

    Modelarea proceselor economice 89

    Figura 2

    De ce o posibil reprezentare ?Din figura 2 constatm, de exemplu, pentru Prop(A2) = aproape (graficul trasat cualbastru) c avem:

    1,1002

    m A

    , 1,2002

    m A

    , 5.0,3002

    m A

    , 0,4002

    m A

    , 0,5002

    m A

    adic, pentru distane mai mari de 400 m gradul de apartenen la proprietatea aproape este zero. Aceast reprezentare este subiectiv. Pentru o alt persoan esteposibil ca orice distan mai mic de 1 km s aib gradul de apartenen la proprietatea aproape de 1 i gradul de apartenen 0 s nceap pentru distane mai mari de 5 km.

    3. Pentru Prop(A) = e ste t nr n figura 3 avem o reprezentare subiectiv:

    Figura 3

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    4/14

    90 Dorin Lix ndroiu

    4. Pentru Prop(A) = este de vrst medie n figura 4 avem o reprezentare subiectiv:

    Figura 4

    5. Pentru Prop(A) = e ste n vrst n figura 5 avem o reprezentare subiectiv:

    Figura 5

    Op eraii cu s ubmulimi fuzzy

    Defini ia 1. Dou submulimi fuzzy A i B ale lui X sunt egale dac funciile lor deapartenen iau aceeai valoare pentru orice element din X :

    x f x f X x B A, (1)

    Definiia 2. Fiind date dou submulimi fuzzy A i B ale lui X , se spune c A este inclus nB dac funciile lor de apartenen sunt astfel nct:

    x f x f X x B A, (2)

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    5/14

    Modelarea proceselor economice 91

    Defini ia 3. Intersecia a dou submulimi fuzzy A i B ale lui X este submulimea fuzzyC ,astfel nct:

    x f x f x f X x B AC ,min, (3)min desemnnd operatorul de minimizare.

    Defini ia 4. Reuniunea a dou submulimi fuzzy A i B ale lui X este submulimea fuzzyD,astfel nct:

    x f x f x f X x B AC ,max, (4)max desemnnd operatorul de maximizare.

    Modelarea deciziei managerialeFie:

    D - o decizie fuzzyreprezentat de funcia de apartenen D(x)

    O - un obiectiv fuzzycu funcia de apartenen O(x) R - o restricie fuzzycu funcia de apartenen R(x)

    x - un element al mulimii de alternative A

    Decizia vag este dat de: ROD (figura 6)

    A x x x x ROD ,,min

    iar x x x x x RO x

    Dopt

    ,minmaxmax| (5)

    Figura 6

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    6/14

    92 Dorin Lix ndroiu

    STUDIUL DE CAZ Nr. 1 Selectarea personalului [1] Dorim selectarea unor persoane bine pregtite profesional i care s aib o stare bun de sntate .

    Notm :

    A - mulimea persoanelor bine pregtite profesional B - mulimea persoanelor avnd o stare bun de sntate T - durata total (maxim) necesar pregtirii profe sionalePmax - punctajul maxim

    Pentru proprietatea A - bine pregtite profesional calculm urmtoarea funcie deapartenen:

    maxP

    p

    T

    t x f i i i A

    unde:

    t i - durata pregtirii lui x i p i - punctajul obinut de x i

    Pentru proprietatea B - stare bun de sntate apartenena persoanei x i poate fistabilit prin analize, teste medicale pentru fiecare subsistem: nervos, circulator,digestiv, visual, auditiv etc. Calculm urmtoarea funcie de apartenen:

    maxmax2

    2max

    1

    1 ....s

    isi i i B

    P

    p

    P

    p

    P

    p x f

    n final, calculm pentru fiecare persoan funcia de apartenen la proprietatea A i B:

    i Bi Ai B A x f x f x f ,min

    Ordonarea descresctoare a valorilor funciei de apartenen (3) va permite selectareapersoanelor care ndeplinesc cele dou proprieti: bine p regtite profesional i starebun de sntate .

    STUDIUL DE CAZ Nr. 2 Selectarea personalului [2] [BOJADZIEV, 1995]

    Pentru a ocupa un post ntr-o organizaie se prezint 5 candidai x i , i=1,2,,5. Acetiaformeaz mulimea de alternative A. Comitetul de selecie vrea s aleag candidatulcare satisface n cel mai mare grad obiectivele:

    O1 - experien, O2 - cunotine de utilizare a calculatorului, O3 - vrsta (ct mai tnr).

    Comitetul de selecie are o restricie: R - salariul acordat i acceptat s fie ct mai mic.

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    7/14

    Modelarea proceselor economice 93

    Dup analiza CV-urilor, scrisorilor de recomandare i desfurarea interviurilor aurezultat urmtoarele mulimi vagi definite pe mulimea alternativelor:

    O1 = {( x1,0.8), ( x2,0.6), ( x3,0.3), ( x4,0.7), ( x5,0.5)}O2 = {( x1,0.7), ( x2,0.6), ( x3,0.8), ( x4,0.2), ( x5,0.3)}

    O3 = {( x1,0.7), ( x2,0.8), ( x3,0.5), ( x4,0.5), ( x5,0.4)}R = {( x1,0.4), ( x2,0.7), ( x3,0.6), ( x4,0.8), ( x5,0.9)}

    Decizia va fi dat de: ROOOD 321

    iar funcia de apartenen D(x) este:D(x)= {( x1,0.4), ( x2,0.6), ( x3,0.3), ( x4,0.2), ( x5,0.3)}

    Rezulatatul final: xopt = x2 Candidatul x2 are gradul de apartenen cel mai mare la cele 3 obiective i la restricia

    impus de comitetul de selecie.

    STUDIUL DE CAZ Nr. 3 Optimizarea stru cturii de producie *RAIU, 2002+

    O firm este singurul productor intern al produsului P, care se realizeaz n 3 variante:P1, P2, P3. Stabilii pentru perioada urmtoare structura de producie care maximizeazgradul de satisfacere simultan a obiecti velor:

    A. Obinerea unui venit ct mai mare sau ct mai aproape posibil de 3000 u.m. ,dar nu mai mic de 2800 u.m. B. Suplimentarea cu cantiti ct mai reduse a disponibilului de resurse. C. Realizarea produciei la nivelul cererii sau ct mai aproape de de nivelulcererii.

    Ipoteze:I1. Cererea i preul au fost determinate prin studii de marketing. I2. Resursele pot fi suplimentate cu maximum de 300 uniti fizice fiecare. I3. Cererea nesatisfcut trebuie s fie mai mic de 50 uniti fizice din fiecare variant aprodusului.

    Informaiile legate de consumurile unitare, resursele disponibile, cererea i preul unitar

    sunt date n tabelul de mai jos:

    P1 P2 P3Resurse

    disponibileResursa R1 3 1 3 900Resursa R2 1 2 4 800Cererea 200 200 150Pre ul unitar 6 5 8

  • 7/30/2019 Cap6 Modelare Fuzzy

    8/