serii timp

Modelarea seriilor de timp

1. Au fost înregistrate valorile ratei infla iei din România în perioada ianuarie 2000 –decembrie 2007, rezultând urm toarea cronogram :

-1

0

1

2

3

4

5

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

RI

a) se comenteze aspectul cronogramei. Dac seria nu este sta ionar , s se prezinte ometod de sta ionarizare a acesteia.

b) se testeze sta ionaritatea seriei cu ajutorul testului ADF. Rezultatele furnizate desoftul Eviews în acest sens sunt:

Null Hypothesis: RI has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.85073330280719 0.35410304348556Test critical values: 1% level -3.50223802559769

5% level -2.8928793703470410% level -2.58355323500257

Valorile tabelare ADFtab sunt furnizate de soft pentru probabilit ile de 99%, 95% respectiv90%, Test critical values.

Solu ie:

a) Privind graficul se observ c rata infla iei din România în perioada 2000 -2007 a avut otendin de sc dere, cu abateri (devia ii) mai mici sau mai mari, în plus sau în minus de la aceasttendin . Acest fapt sugereaz c :

- speran a matematic a variabilei studiate nu este constant , i difer semnificativ de zero.Dac se împarte graficul în dou prin trasarea unei drepte verticale prin mijlocul acestuia, partea dinstanga a graficului va avea o medie mai mare decât partea din dreapta, fapt ce confirm ipotezaconform c reia speran a matematic a variabilei înregistreaz valori diferite în timp.

- varian a variabilei nu este constant . Acest fapt este sugerat de varia iile fa de medie aleratei infla iei, care au amplitudini diferite în timp. Se observ c în prima parte a perioadei (2000 –2003) de observa ie rata infla iei a înregistrat fluctua ii mult mai mari în plus i în minus fa detendin , comparativ cu a doua perioad , cea mai recent – (2003 – 2007).

În concluzie, seria ratei infla iei nu este sta ionar , deci ea nu va putea fi prelucrat decâtdac se va sta ionariza. O serie este sta ionar în sens larg dac ea are speran a matematic egal cu0 i varian a constant în timp, adic :

E(Y) = 0V(Y) = constant.Cea mai folosit metod de sta ionarizare este diferen ierea de ordinul 1 sau mai mare, ce

presupune realizarea de diferen e între valorile înregistrate în fiecare perioad i cea din perioadaanterioar , p când seria nou ob inut este sta ionar .

Exemplu:- diferen a de ordinul 1

- diferen a de ordinul 2

b) Testul ADF presupune estimarea prin metoda celor mai mici p trate a parametrilorecua iei:

Se spune despre o serie c nu este sta ionar dac valoarea coeficientului este egal cu 1,altfel spus, seria “are o r cin unitar “.

În acest sens se testeaz ipotezele

H0: = 1 (seria nu este sta ionar , ea are o r cin unitar ) cu alternativaH1: < 1

Pentru alegerea ipotezei corecte se determin statistica:

Valoarea calculat a statisticii, ADFcalc se compar cu cea tabelar . Regulile de decizie sunt:- Dac valoarea calculat este mai mic decât cea tabelar , se accept ipoteza nul , deci seria

de timp nu este sta ionar . Ea va trebui supus opera iei de diferen iere.- Dac valoarea calculat este mai mare decât cea tabelar , se respinge ipoteza nul , deci

seria de timp este sta ionar .

În cazul nostru valoarea ADFcalc este -1,85 iar valoarea tabelar , citit pentru probabilitateade 95% este -2,89 (Test critical value 5% - în tabelul din enun ). Se observ c DFcalc este mai

p

t t-1 j t-j tj = 1

y = y + y + + t + v

t t t-1y = y y

2t t t-1 t t-1 t-1 t-2

2t t t-1 t-2

y = y y y -y - y -y

y = y -2y +y

calc - 1ADF =

mic decât valoarea tabelar , deci seria ratei infla iei nu este sta ionar . La aceea i concluzie s-aajuns i la punctul a), analizând cronograma seriei.

2. Seria ratei infla iei din România folosit la problema 1 a fost diferen iat , determinându-se diferen ele de ordinul unu, yt = yt – yt-1.

Reprezentarea grafic a seriei diferen iate de ordinul unu este:

se comenteze aspectul cronogramei.

Solu ie:

Privind graficul se observ c seria diferen iat a ratei infla iei din România în perioada2000 -2007 oscileaz în jurul valorii zero, iar oscila iile sunt, cu mici excep ii, de aceea i anvergur .Acest fapt sugereaz c :

- speran a matematic a variabilei studiate este constant , i este aproximativ zero. Dac seîmparte graficul în dou prin trasarea unei drepte verticale prin mijlocul acestuia, partea din stanga agraficului are aceea i medie cu partea din dreapta, fapt ce confirm ipoteza conform c reia speran amatematic este constant , i egal cu zero.

- varian a variabilei este constant . Acest fapt este sugerat de varia iile fa de medie aleseriei diferen iate a ratei infla iei, care are amplitudini constante în timp.

3. S se testeze sta ionaritatea seriei diferen elor de ordinul 1 ale seriei de la punctul 1. Esteseria sta ionar ? Softul Eviews a furnizat urm toarele rezultate:

Null Hypothesis: D(RI) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*


5% level -2.8928793703470410% level -2.58355323500257

Solu ie:

Se aplic testul ADF. Se testeaz ipotezele

H0: = 1 (seria diferen iat nu este sta ionar , ea are o r cin unitar ) cu alternativaH1: < 1

Pentru alegerea ipotezei corecte se determin statistica:

Valoarea calculat a statisticii, ADFcalc se compar cu cea tabelar . Regulile de decizie sunt:- Dac valoarea calculat este mai mic decât cea tabelar , se accept ipoteza nul , deci seria

de timp nu este sta ionar . Ea va trebui supus opera iei de diferen iere.- Dac valoarea calculat este mai mare decât cea tabelar , se respinge ipoteza nul , deci

seria de timp este sta ionar .

În cazul nostru valoarea ADFcalc este -15,3 iar valoarea tabelar , citit pentru probabilitateade 95% este -2,89 (Test critical value 5% - în tabelul din enun ). Se observ c DFcalc este maimare în modul decât valoarea tabelar , deci seria diferen iat a ratei infla iei este sta ionar . Laaceea i concluzie s-a ajuns i la punctul anterior, analizând cronograma seriei diferen iate.

4. Reprezentarea grafic a func iilor de autocorela iev FAC i autocorelatie par ial FACP pentruseria diferen iat a ratei infla iei se prezint astfel:

calc - 1ADF =

Plecând de la aspectul celor dou grafice, s se propun un model potrivit pentru seriareprezentat .

Solu ie:

Forma func iilor de corela ie i autocorela ie par ial permite identificarea modelelorpotrivite pentru a explica evolu ia în timp a unor variabile economice. Prezent m în continuareaceste dou func ii.

Func ia de autocorela ie

- Func ia de autocorela ie a variabilei Yt, notat cu k reprezint acea func ie care indicleg tura temporal existent între termenii seriei care se g sesc la un interval k de timp.

Astfel, intensitatea leg turii dintre valorile variabilei Y aflate la distan a de o perioad unelede altele (intensitatea leg turii dintre valoarea ratei infla iei din luna t fa de luna t-1) se m soarcu ajutorul func iei de autocorela ie 1. Analog, se determin 2, 3, etc.

- Cu cât k cre te este normal ca k s scad .- func ia ia valori în intervalul [-1, +1], iar semnifica ia acesteia este similar cu cea a

raportului de corela ie: cu cât valoarea este mai aporpiat de 1 sau -1, cu atât leg tura este una maiintens .

Func ia de autocorela ie par ial

- Func ia de autocorela ie par ial m soar rela ia între variabila explicat , dependent Yt+ki variabila explicativ sau independent Yt tiind c sunt luate în calcul i efectele generate de

celelalte variabile adic Yt+1, Yt+2, ... Yt+k-1.- ia valori în intervalul [-1, +1]

Aspectul reprezent rii grafice a acestor dou func ii permite identificarea tipului de modelpotrivit pentru variabila studiat .

Astfel, modelele pot fi :- de tip AR (p)

- de tip MA (q)

- de tip ARMA (p,q)

- unde p, i q sunt doi parametri, valori numerice pozitive, întregi, ce trebuie identificate.

Aspectul graficelor celor dou func ii pentru un model AR

t 0 1 t-1 2 t-2 p t-p ty = a +a y + a y +…+ a y +

t t 0 1 t-1 q t-qy = + b + b + ... + b

t 0 1 t-1 2 t-2 p t-p t 0 1 t-1 q t-q

AR(p) MA(q)

y = a + a y + a y +…+ a y + + b + b +...+ b

Compar m aspectul graficelor din enun cu cel prezentat mai sus, i observ m c :

- FAC are valori atat pozitive cât i negative, care descresc amortizat, cu tendin a deegalizare cu zero;

- FACP are dou valori semnificative, mari, negative, restul valorilor fiind mici,nesemnificative.

Aceste caracteristici sunt specifice modelelor AR de ordin p. Aceste modele au un ordin egalcu num rul de valori semnificativ diferite de zero ale func iei FACP, În cazul nostru acest num reste 2, deci modelul este unul de tip AR(2), adic :

5. Au fost estimate 4 forme posibile ale modelelor care exprim evolu ia în timp a rateiinfla iei. Rezultatele oferite de Eviews au fost:

Dependent Variable: RI_DMethod: Least SquaresDate: 01/12/09 Time: 09:39Sample (adjusted): 2000M03 2007M12Included observations: 94 after adjustmentsConvergence achieved after 13 iterationsBackcast: 2000M02

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.025124 0.009937 -2.528303 0.0132AR(1) -0.047937 0.122430 -0.391546 0.6963MA(1) -0.849684 0.071405 -11.89943 0.0000

R-squared 0.445168 Mean dependent var -0.016596Adjusted R-squared 0.432974 S.D. dependent var 0.823698S.E. of regression 0.620254 Akaike info criterion 1.914019Sum squared resid 35.00906 Schwarz criterion 1.995188Log likelihood -86.95889 F-statistic 36.50684Durbin-Watson stat 1.998093 Prob(F-statistic) 0.000000

t 0 1 t-1 2 t-2 ty = a +a y + a y +



C -0.017768 0.034215 -0.519295 0.6048AR(1) -1.008041 0.112271 -8.978654 0.0000AR(2) -0.577393 0.078429 -7.361952 0.0000MA(1) 0.428870 0.146977 2.917943 0.0045


Dependent Variable: RI_DMethod: Least SquaresDate: 01/12/09 Time: 09:41Sample (adjusted): 2000M03 2007M12Included observations: 94 after adjustmentsConvergence achieved after 11 iterationsBackcast: 2000M01 2000M02


C -0.025341 0.010297 -2.461116 0.0158AR(1) 0.123374 0.234383 0.526378 0.5999MA(1) -1.025238 0.202113 -5.072606 0.0000MA(2) 0.154147 0.169276 0.910623 0.3649




AR(1) -1.007231 0.111744 -9.013729 0.0000AR(2) -0.575743 0.078005 -7.380889 0.0000MA(1) 0.430082 0.146264 2.940448 0.0042

R-squared 0.492785 Mean dependent var -0.012473Adjusted R-squared 0.481514 S.D. dependent var 0.827187S.E. of regression 0.595624 Akaike info criterion 1.833313Sum squared resid 31.92914 Schwarz criterion 1.915010Log likelihood -82.24905 Durbin-Watson stat 2.025114

se scrie forma celor 4 modele i s se aleag acel model sau acele modele care are/auparametrii semnificativ diferi i de 0, valoarea tabelar aferent testului Student fiind, pentruprobabilitatea de 95% respectiv 95 de grade de libertate, 1,96.

Solu ie:

Vom centraliza o parte din rezultatele furnizate de softul Eviews, sub urm toarea form :

a0 a1 a2 b1 b2C AR1 AR2 MA1 MA2

ARIMA (1,1,1) -0,02(-2,52)*

-0,04(-0,39)

-0,84(-11,89)

ARIMA (2,1,1) -0,017(-0,51)

-1,008(-8,9)

-0,57(-7,36)

0,42(2,91)

ARIMA (1,1,2) -0,02(-2,46)

0,12(0,52)

-1,02(-5,07)

0,15(0,91)

ARIMA (2,1,1) -1,007(-9,01)

-0,57(-7,38)

0,43(2,94)

* - valorile din paranteze reprezint valorile testului Student (t - Statistic) pentru fiecare coeficient.

Cele patru modele se scriu astfel:

ARIMA (1,1,1) t 0 1 t-1 1 t-1 ty a + a y + b +ARIMA (2,1,1) cu constant t 0 1 t-1 1 t-2 1 t-1 ty a + a y +a y + b +ARIMA (1,1,2) t 0 1 t 1 t-1 2 t-2 ty a + a y + b + bARIMA (2,1,1) f constant t 1 t-1 1 t-2 1 t-1 ty a y +a y + b +

Vom înlocui coeficien ii cu valorile lor numerice din tabelul de mai sus.

ARIMA (1,1,1) t t-1 t-1y -0.02 - 0.04 y - 0.84ARIMA (2,1,1) cu constant t t-1 t-2 t-1y -0.017 -1.008 y - 0.57 y + 0.42ARIMA (1,1,2) t t t-1 t-2y -0.02 + 0.12 y -1.02 + 0.15ARIMA (2,1,1) f constant t t-1 t-2 t-1y -1.007 y - 0.57 y + 0.43

Semnifica ia coeficien ilor se verific cu ajutorul testului Student. Astfel:

În general, pentru un coeficient a se emit ipotezele:

H0: a = 0 cu alternativaH1: a 0

calca

at =

Regulile de decizie sunt:- dac calc tabt t , nu se poate respinge ipoteza H0, ceea ce înseamn c valoarea

coeficientului a la nivelul popula iei totale nu difer semnificativ de zero, acest lucru garantându-secu o probabilitate de 95%.

- dac calc tabt t , ipoteza H0 se respinge, ceea ce înseamn c valoarea coeficientului a lanivelul popula iei totale difer semnificativ de zero, acest lucru garantându-se cu o probabilitate de95%.

În cazul nostru valorile tcalc sunt trecute în tabelul sintetic, între paranteze. Pentru ca uncoeficient s fie semnificativ diferit de zero, valoarea trecut între paranteze trebuie s fie mai mareîn valoare absolut decât valoarea tabelar , 1,96. Parametrii nesemnificativi din punct de vederestatistic (cei cu calct 1.96 ) sunt marca i.

a0 a1 a2 b1 b2C AR1 AR2 MA1 MA2

ARIMA (1,1,1) -0,02(-2,52)*

-0,04(-0,39)

-0,84(-11,89)

ARIMA (2,1,1) -0,017(-0,51)

-1,008(-8,9)

-0,57(-7,36)

0,42(2,91)

ARIMA (1,1,2) -0,02(-2,46)

0,12(0,52)

-1,02(-5,07)

0,15(0,91)

ARIMA (2,1,1) -1,007(-9,01)

-0,57(-7,38)

0,43(2,94)

Observ m c singurul model pentru care to i coeficien ii sunt semnificativ diferi i de zeroeste ARIMA (2,1,1) f constant . Restul modelelor nu sunt valide.

6. Pentru modelul re inut la punctul 5, s se testeze ipotezele referitoare la:a) independen a erorilor – Testul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM;b) homoscedasticitatea erorilor – Testul ARCH LM;c) normalitatea erorilor – Testul Jarque Bera.

Eviews a furnizat urm toarele rezultate:

Testul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM: Valoarea tabelar este 2tab = 3,84 pentru

probabilitatea de 95%.

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

F-statistic 0.603534 Prob. F(2,88) 0.549124Obs*R-squared 0.914967 Prob. Chi-Square(2) 0.632874

Test Equation:Dependent Variable: RESIDMethod: Least Squares


AR(1) 0.009407 0.174706 0.053844 0.9572AR(2) 0.069300 0.150913 0.459205 0.6472MA(1) 0.205856 0.585359 0.351675 0.7259

RESID(-1) -0.253834 0.709330 -0.357851 0.7213RESID(-2) -0.056858 0.287534 -0.197742 0.8437

R-squared 0.009838 Mean dependent var -0.035783Adjusted R-squared -0.035169 S.D. dependent var 0.588015S.E. of regression 0.598266 Akaike info criterion 1.862700Sum squared resid 31.49711 Schwarz criterion 1.998861Log likelihood -81.61556 Durbin-Watson stat 2.007033

Testul ARCH LM. Valoarea tabelar este 2tab = 3,84 pentru probabilitatea de 95%.

ARCH Test:


Test Equation:Dependent Variable: RESID^2Method: Least Squares


C 0.284859 0.059480 4.789193 0.0000RESID^2(-1) 0.139199 0.102076 1.363684 0.1761

R-squared 0.020244 Mean dependent var 0.332978Adjusted R-squared 0.009358 S.D. dependent var 0.461433S.E. of regression 0.459269 Akaike info criterion 1.303139Sum squared resid 18.98354 Schwarz criterion 1.357961Log likelihood -57.94441 F-statistic 1.859635Durbin-Watson stat 1.963888 Prob(F-statistic) 0.176068

Testul Jarque Bera. Valoarea tabelar este 2tab = 5,99 pentru probabilitatea de 95%.

0

2

4

6

8

10

12

14

-1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5

Series: ResidualsSample 2000M04 2007M12Observations 93

Mean -0.035783Median -0.138162Maximum 1.435825Minimum -1.378530Std. Dev. 0.588015Skewness 0.346999Kurtosis 2.934907

Jarque-Bera 1.882744Probability 0.390092

Solu ie:

Analiza independen ei erorilor - Testul Breusch-Godfrey (Testul LM)

Un model econometric este valid dac are erorile independente. Testul Breusch-Godfrey (TestulLM) este destinat identific rii dependen ei sau independen ei erorilor, i el implic verificareaexisten ei unei leg turi între valorile t , yt-1, yt-2, 1t , 2t de forma:

- dac între variabilele men ionate mai sus exist leg tur , atunci erorile sunt dependente,iar modelul nu este valid;

- dac între variabilele men ionate mai sus nu exist leg tur , atunci erorile suntindependente, iar modelul este valid;

Existen a leg turii poate fi analizat , de exemplu, studiind semnifica ia coeficien ilor 1, 2,1, 2 ai modelului. Când coeficien ii nu sunt semnificativ diferi i de zero, între variabilele

men ionate mai sus nu exist leg tur , deci erorile sunt independente, iar modelul este valid. Se emitipotezele:

H0: 1 = 2 =… 1= 2=0 erorile sunt independenteH1: 1 2 … 1 2 0 erorile sunt dependente

Pentru identificarea ipotezei corecte se determin valoarea

LMcalc = T R2

Regulile de decizie sunt urm toarele:- dac LMcalc < 2

tab = 3,84, ipoteza H0 nu se poate respinge, iar erorile sunt independente,modelul este valid;

- în caz contrar, LMcalc > 2tab = 3,84, ipoteza H0 se respinge, iar H1 se accept ca fiind

adev rat , cu probabilitatea de 95%, deci erorile sunt dependente, modelul fiind invalid.

t t-1 t-20 1 t-1 2 t-2 1 2 t = + + + + + y y

În cazul nostru observ m c valoarea LMcalc = T R2 este Obs*R-squared 0,9149 < 3.84deci ipoteza H0 nu se poate respinge, iar erorile sunt independente, modelul este valid.

Acest lucru putea fi stabilit urm rind i valoarea raportului de corela ie R-squared =0.009838, valoare foarte apropiat de zero, respectiv valorile t - statistic, care sunt toate mai mici învaloare absolut decât 1,96 (testul Student), to i coeficien ii fiind egali din punct de vedere statisticcu zero.



Test Equation:Dependent Variable: RESID


AR(1) 0.009407 0.174706 0.053844 0.9572AR(2) 0.069300 0.150913 0.459205 0.6472MA(1) 0.205856 0.585359 0.351675 0.7259

RESID(-1) -0.253834 0.709330 -0.357851 0.7213RESID(-2) -0.056858 0.287534 -0.197742 0.8437


Analiza homoscedasticit ii erorilor modelului. Testul ARCH LM

Un model econometric este valid dac are erorile homoscedastice. Se spune despre erorileunui model, t , c sunt homoscedastice, dac ele verific rela iile E( ) = 0 i V( ) = constant.

Testul ARCH LM este destinat identific rii homoscedasticit ii erorilor, i el implic

verificarea existen ei unei leg turi între valorile2

t ,2

t-1 de forma:

2 2t t-10 1 t = + +

- dac între variabilele men ionate mai sus,2

t ,2

t-1 exist leg tur , atunci erorile suntheteroscedastice, iar modelul nu este valid;

- dac între variabilele men ionate mai sus,2

t ,2

t-1 nu exist leg tur , atunci erorile sunthomoscedastice, iar modelul este valid;

Existen a leg turii poate fi analizat , de exemplu, studiind coeficientul 1, al modelului.Când coeficientul nu este semnificativ diferit de zero, între variabilele men ionate mai sus nu existleg tur , deci erorile sunt homoscedastice, iar modelul este valid. Se emit ipotezele:

H0: 1 = 0 erorile sunt homoscedastice, modelul este validH1: 1 0 erorile sunt heteroscedastice, modelul nu este validPentru identificarea ipotezei corecte se determin valoarea

LMcalc = T R2

Regulile de decizie sunt urm toarele:- dac LMcalc < 2

tab = 3,84, ipoteza H0 nu se poate respinge, iar erorile sunthomoscedastice, modelul este valid;

- în caz contrar, LMcalc > 2tab = 3,84, ipoteza H0 se respinge, iar H1 se accept ca fiind

adev rat , cu probabilitatea de 95%, deci erorile sunt heteroscedastice, modelul fiindinvalid.

În cazul nostru observ m c valoarea LMcalc = T R2 este Obs*R-squared 1,86 < 3.84 deciipoteza H0 nu se poate respinge, iar erorile sunt homoscedastice, modelul este valid.

Acest lucru putea fi stabilit urm rind i valoarea raportului de corela ie R-squared = 0.0202,

valoare foarte apropiat de zero, respectiv valoarea t – statistic aferent lui2

t-1 , RESID^2(-1) , careeste 1,36, i este mai mic în valoare absolut decât 1,96 (testul Student), deci coeficientul 1 nudifer semnifictiv de zero.

ARCH Test:




C 0.284859 0.059480 4.789193 0.0000RESID^2(-1) 0.139199 0.102076 1.363684 0.1761


Analiza normalit ii erorilor modelului. Testul Jarque Bera

Un model econometric este valid dac între distribu ia erorilor aferente acestuia i distribu ianormal centrat i redus N(0,1) nu exist diferen e semnifictive din punct de vedere statistic.

Verificarea ipotezei de normalitate a erorilor presupune compararea histogramei erorilor cuClopotul lui Gauss (care caracterizeaz distribu ia normal centrat i redus N(0,1) ). Se tie cacesta este caracterizat prin doi parametri – coeficientul de asimetrie, = 0 respectiv coeficientul deboltire, = 3. Se spune despre erorile unui model econometric c sunt distribuite normal dac între

valorile i ce caracterizeaz histograma erorilor i valorile standard ale Clopotului lui Gauss,=0 i respectiv =3, nu exist diferen e semnificative din punct de vedere statistic.

Coeficientul de asimetrie al erorilor modelului, Skewness, este = 0,34 respectivcoeficientul de boltire, Kurtosis, este = 2,93. Dup cum se observ :

- histograma erorilor nu este simetric , deoarece valoarea coeficientului de asimetrie estediferit de zero, dar aceast asimetrie este relativ redus , întrucât valoarea 0,34 estedestul de apropiat de 0 ( =0 este valoarea coeficientului de asimetrie pentru o serieperfect simetric )

- legat de boltire, histograma erorilor u or este mai plat decât Clopotul lui Gauss, întrucât < 3 ( =3 este valoarea coeficientului de boltire pentru o serie normal distribuit ),

histograma erorilor este platicurtic .Problema care se pune în acest moment este aceea de a verifica dac diferen ele între =

0,34 i valoarea standard =0 respectiv =2,93 respectiv valoarea standard =3, sunt semnificativedin punct de vedere statistic sau nu.

Testul Jarque Bera se folose te pentru a stabili dac diferen ele între parametrii i aicelor dou distribu ii sunt semnificative din punct de vedere statistic sau nu . Se emit ipotezele:

H0: t N(0, 1) adic erorile modelului sunt distribuite normal

H1: t N(0, 1) adic erorile modelului sunt nu distribuite normal

Pentru alegerea ipotezei corecte, se determin valoarea22

calc

- 3JB = T +

6 24, care în cazul

nostru este deja calculat : JB calc = 1,88.

0

2

4

6

8

10

12

14

-1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5


Mean -0.035783Median -0.138162Maximum 1.435825Minimum -1.378530Std. Dev. 0.588015Skewness 0.346999Kurtosis 2.934907


Regulile de decizie sunt:- dac 2

calc tabJB < , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este acceptat .- dac 2

calc tabJB > , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respins .

În cazul nostru JBcalc = 1,88 < 2tab = 5,99, deci erorile sunt distribuite normal. În consecin ,

modelul este valid, deci el poate fi folosit la realizarea de previziuni.

Probleme propuse

1. Au fost înregistrate valorile omajului din România în perioada ianuarie 2000 – decembrie2007, rezultând urm toarea cronogram :

2

4

6

8

10

12

14

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

RS

a. se comenteze aspectul cronogramei. Dac seria nu este sta ionar , s se prezinte ometod de sta ionarizare a acesteia.

b. se testeze sta ionaritatea seriei cu ajutorul testului ADF. Rezultatele furnizate desoftul Eviews în acest sens sunt:

Null Hypothesis: RS has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*


5% level -2.89323010% level -2.583740

Valorile tabelare ADFtab sunt furnizate de soft pentru probabilit ile de 99%, 95% respectiv90%, Test critical values.

2. Seria ratei omajului din România folosit la problema 1 a fost diferen iat ,determinându-se diferen ele de ordinul unu, yt = yt – yt-1.

Reprezentarea grafic a seriei diferen iate de ordinul unu este:

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

DRS

se comenteze aspectul cronogramei.

3. S se testeze sta ionaritatea seriei diferen elor de ordinul 1 ale seriei de la punctul 1. Esteseria sta ionar ? Softul Eviews a furnizat urm toarele rezultate:

Null Hypothesis: D(RS) has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 3 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)

t-Statistic Prob.*


5% level -2.89358910% level -2.583931

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

4. Reprezentarea grafic a func iilor de autocorela ie FAC i autocorelatie par ial FACP pentruseria diferen iat a ratei omajului se prezint astfel:

Plecând de la aspectul celor dou grafice, s se propun un model potrivit pentru seriareprezentat .

5. Au fost estimate 2 forme posibile ale modelelor care exprim evolu ia în timp a rateiomajului. Rezultatele oferite de Eviews au fost:

Dependent Variable: RS_DMethod: Least SquaresDate: 01/12/09 Time: 09:39Sample (adjusted): 2000M03 2007M12Included observations: 94 after adjustmentsConvergence achieved after 13 iterationsBackcast: 2000M02


C -0.123424 0.009937 -12.42065 0.0000AR(1) -0.047937 0.082430 -0.58154 0.5663


Dependent Variable: RS_DMethod: Least SquaresDate: 01/12/09 Time: 09:40Sample (adjusted): 2000M04 2007M12Included observations: 93 after adjustmentsConvergence achieved after 13 iterationsBackcast: 2000M03


AR(1) -0.078041 0.012271 -6,35979 0.0000


se scrie forma celor 2 modele i s se aleag acel model sau acele modele care are/auparametrii semnificativ diferi i de 0, valoarea tabelar aferent testului Student fiind, pentruprobabilitatea de 95% respectiv 95 de grade de libertate, 1,96.

6. Pentru modelul re inut la punctul 5, s se testeze:a) independen a erorilor – Testul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM;b) homoscedasticitatea erorilor – Testul ARCH LM;c) normalitatea erorilor – Testul Jarque Bera.

Eviews a furnizat urm toarele rezultate:

Testul Breusch-Godfrey Serial Correlation LM: Valoarea tabelar este 2tab = 3,84 pentru

probabilitatea de 95%.



Test Equation:Dependent Variable: RESIDMethod: Least Squares


AR(1) 0,005407 0,174706 0,030949 0.9572AR(2) 0,120693 0,112913 1,068903 0.6472MA(1) 0,133856 0,128535 1,041397 0.7259

RESID(-1) 1,253834 1,270933 0,986546 0.6513RESID(-2) 1,156858 2,125534 0,544267 0.8437


Testul ARCH LM. Valoarea tabelar este 2tab = 3,84 pentru probabilitatea de 95%.

ARCH Test:




C 0,1428486 0,25948 0,550519 0.0000RESID^2(-1) 0,159199 0,1632076 0,975439 0.0000


Testul Jarque Bera. Valoarea tabelar este 2tab = 5,99 pentru probabilitatea de 95%.

0

4

8

12

16

20

-2 0 2 4 6


Mean -8.88e-16Median -0.270795Maximum 7.253815Minimum -3.365568Std. Dev. 1.815221Skewness 1.096698Kurtosis 5.439567


serii timp

Documents