semnale si metode de procesarecap 1 analiza fourier

8/13/2019 Semnale Si Metode de Procesarecap 1 Analiza Fourier

1/40

UNIVERSITATEA DUN REA DE JOS GALA # I

Gheorghe PU $CA $U Bogdan CODRE $

2004

Cursul intreg este atasat


2/40

i

CUPRINS

CAPITOLUL 1 SEMNALE ....................................................................................1

1.1. Introducere..........................................................................................................11.2. Semnale...............................................................................................................11.3. Semnale continue................................................................................................21.4. Semnale i procese aleatoare..............................................................................51.5 E antionarea i refacerea semnalelor continue...................................................7

CAPITOLUL 2 ANALIZA FOURIER ...............................................11

2.1. Analiza Fourier continu#.....................................................................................112.1.1. Seria Fourier pentru semnale continuei periodice..............................112.1.2. Spectrul densit#&ii de putere a semnalelor periodice............................132.1.3. Transformata Fourier pentru semnale continue aperiodice..................142.1.4. Spectrul densit#&ii de energie a semnalelor aperiodice.........................15

2.2. Analiza Fourier discret#......................................................................................162.2.1 Transformata Fourier standard discreta.........................162.2.2 Transformata Fourier invers# ....................................................182.2.3 Calculul transformatei Fourier a dou# secven&e de date........................182.2.4 Transformata Fourier a unor secven&e de lungime dubl# ......................192.2.5 Transformata Fourier invers# special# ...................................................212.2.6 Transformata Fourier rapid#..................................................................22

2.2.6.1 Graful de semnal al transformatei Fourier.......................................242.2.6.2 Algoritmul de calcul al transformatei Fourier rapide pentru N=2' . Algoritmul de baz# Cooley-Tukey.............................272.2.6.3 Algoritmul de calcul al transformatei Fourier rapide pentru factori arbitrari...................................................................302.2.6.4 Algoritmul Cooley-Tukey pentru N=r 1 . r 2 . . r m............................312.2.6.5 Algoritmul Sande-Tukey pentru N=r 1 . r 2 . . r m.............................332.3. Exemple..............................................................................................................34

CAPITOLUL 3 - FILTRAREA SEMNALELOR ....................................36

3.1 Aspecte generale ............................................................................363.2 Filtre analogice....................................................................................................37

3.2.1. Introducere................................................................................................37

3.2.2. Filtrul Butterworth.....................................................................................383.2.3. Filtrul Cebev..........................................................................................383.2.4. Filtrul eliptic..............................................................................................40


3/40


4/40

iii

5.1.2.3. Clasificarea......................................................................................85 5.1.3. Mul&imi primare ale claselor. Mul&imi reale transformate. Exemplific#ri...................................................................85

5.2. Metode de recunoatere decizional - teoretice ................................................88 5.2.1. Metode decizional - teoretice supervizate.............................................89

5.2.1.1. Metode decizional - teoretice supervizate parametrice deterministe.............................................................89 5.2.1.1.1. Func&ia discriminant liniar # pe por &iuni..............................90 5.2.1.1.2. Func&ia discriminant bazat# pe distan

euclidian#.............................................................................935.2.1.2. Metode decizional - teoretice supervizate

parametrice statistice....................................................................94 5.2.1.2.1. Principiul clasific#rii statistice............................................94

5.2.1.2.2. Func&ia discriminant p#tratic# a lui Bayes pentru densitate normal#.....................................................96

5.2.1.2.3.Func&ia discriminant Bayes liniar #.....................................96 5.2.1.3. Metode bazate pe algoritmi de corec&ie a func&iei

discriminant (Metoda func&iilor de poten&ial)............................97 5.2.2. Metode de clasificare nesupervizate....................................................101 5.2.2.1. Principiul metodei de clasificare

nesupervizat#..........................................................................101 5.2.2.2. Metoda minimiz#rii sumei erorilor p#tratice..........................102

BIBLIOGRAFIE .....................................................................................................105


5/40

1

CAPITOLUL 1 - SEMNALE

1.1. Introduceren multe cazuri procesarea semnalelor reprezint o etap premergtoare

analizei#i sintezei unor situa&ii legate de o anumit activitate. De regul procesareasemnalelor are o pondere mare n ceea ce prive#te ob&inerea unor performan&esuperioare. Avnd n vedere faptul c semnalul de natur : fizic , chimic , electriccon&ine informa&ii necesare comunicrii ntre diferite structuri biologice, problema proces rii semnalelor este o problem interdisciplinar .

n func&ie de domeniul n care se folosesc semnalele procesate#i demodalitatea de procesare, se disting urmtoarele abordri: analiza Fourier , necesar aplica&iilor n care se folosesc componentele spectrale

ale semnalului procesat; filtrarea semnalelor, unde se urmre#te re&inerea numai a anumitor componente

armonice care apar &in unui interval de frecven& dat; filtrarea semnalelor folosind filtrul Kalman, care se utilizeaz de regul la

filtrarea mrimilor de stare ale unui sistem. Spre deosebire de filtrarea men&ionatmai sus, filtrul Kalman elimin zgomotul prin modelarea pr &ii deterministe asistemului;

prelucrarea semnalelor 2D i 3D , n vederea extragerii informa&iilor utilizate larecunoa#terea formelor. Printre procedurile folosite n acest domeniu seeviden&iaz : binarizarea imaginilor, filtrarea imaginilor, comprimarea imaginilor,extragerea conturului, calculul ariilor;

prelucrarea semnalelor folosind re # elele neuronale . Acest mod de abordare estedin ce n ce mai mult utilizat, pentru c ofer noi interpretri n ceea ce prive#teaplica&iile n rezolvarea problemelor cu un spectru foarte larg. n unele situa&iitoate aspectele legate de filtrare#i de extragerea caracteristicilor sunt lsate nseama re&elelor neuronale.

n cele ce urmeaz se vor prezenta aspecte privind tipurile de semnale utilizaten cadrul procedurilor de procesare a datelor.

1.2. Semnale

n domeniul procesrii semnalelor#i al conducerii proceselor, se numescsemnale toate variabilele sau sursele de informa&ii care evolueaz n func&ie detimp. Dac amplitudinea semnalului este cunoscut sau poate fi determinat la oricemoment de timp, atunci semnalul se nume#te determinist. n cazul n care numai osingur informa&ie de natur statistic , cum ar fi probabilitatea ca amplitudinea saib o anumit valoare la un anumit moment de timp sau valoarea medie etc. estecunoscut, atunci semnalul se nume#te aleator.


6/40

2

Pentru clasificarea semnalelor se poate lua n considerare att modul deevolu&ie n timp ct#i evolu&ia n amplitudine. n func&ie de evolu&ia n timp, semnalele se clasific n semnale continue#i

semnale discrete :- semnalul este continuu dac evolu&ia n timp este dat de o func&ie continu. n

figura 1.1 este reprezentat un semnal continuu.- semnalul este discret dac valorile sale sunt cunoscute pentru momente discretede timp. Evolu&ia unui semnal discret este dat n figura 1.3.

n func&ie de valorile amplitudinii distingem semnale cuantificate continue#isemnale cuantificate discrete.

Semnalele cuantificate continue au o evolu&ie continu n timp#i sunt semnalecontinue pentru care valorile amplitudinii sunt predefinite. De exemplu valorileob&inute de la un convertor analog-numeric#i memorate pe durata perioadei de

e#antionare reprezint un semnal cuantificat continuu (figura 1.2).Semnalul pentru care valorile amplitudinii sunt cuantificate#i cunoscute lamomente discrete de timp se numesc semnale discrete cuantificate. n figura 1.4 esteilustrat un semnal cuantificat discret.

Figura 1.1Semnal continuu Figura 1.2Semnal continuu cuantificat

Figura 1.3Semnal discret Figura 1.4Semnal discret cuantificat

1.3. Semnale continue

Un semnal continuu x(t) presupune cunoa#terea valorilor lui x(t) la oricemoment de timpt , pentru t apar &innd unui interval de timp bine definit. n multecazuri, semnalul x(t) poate fi explicitat printr-o formul analitic sau expresiematematic, ca de exemplu )t sin( a )t ( x += , (1.1)sau


7/40

3

) x( sat )t ( x M x= , (1.2)

unde

>

= M M M

x x| x|daca ) x( sign x

x| x|daca x ) x( sat M . (1.3)

Dac semnalul x(t) nu este definit printr-o expresie analitic, fiind dat printr-ocurb sau tabel, se spune c semnalul este generat printr-o reprezentareneparametric.

Semnal treapt unitar la t 0

Se nume#te semnal treapt unitar la momentul t0 semnalul (t-t0) definit prin


8/40

4

Figura 1.6Semnal treapt unitar - (t-t0)

Semnalul impuls

Un semnal se nume#te semnal impuls dac durata de ac&iune a lui este mult maimic comparativ cu viteza de evolu&ie, iar integrala pe intervalul (- +) admite ovaloare finit nenul . Un exemplu de semnal impuls este descris n figura 1.7.

Figura 1.7 Semnalul impuls

Integrala semnalului din figura de mai sus este

+

= 1dt )t t ( 0 . (1.5)

Impulsul Dirac la t 0

Impulsul Dirac la momentul t0 poate fi definit ca limit pentru tinznd la 0 asemnalului (t-t0) definit n figura 1.7


9/40

5

).((lim)( 000 t t t t =

(1.6)

Semnalul impuls Dirac verific rela&ia

+

= 1dt )t t ( 0 , (1.7)

unde 00 t t ,0 )t t ( = #i . )t ( 0 =

Impulsul Dirac (figura 1.8) se mai poate defini#i ca derivata semnalului treaptunitar

dt )t t ( d )t t ( 00 = . (1.8)

Figura 1.8Impulsul Dirac la t0

Observa #ie : Semnalele discrete treapt unitar #i impuls pot fi descrise prinanalogie cu semnalele continue prezentate mai sus.

1.4. Semnale $i procese aleatoare

Semnale aleatoare

Un semnal aleator este un semnal a crei evolu&ie n func&ie de timp este osum de hazarduri#i corespunde manifestrii unei variabile aleatoare. n cele ceurmeaz se enun& cteva exemple:a) extragerea unei cr &i ntr-un joc; b) num rul de accidente ntr-o anumit perioad de timp;


10/40

6

c) abaterea n raport cu temperatura impus unei piese cu multe orificii#i care sedore#te s fie men&inut la temperatur constant;d) valorile temperaturii la fiecare minut nregistrat n ziua de 31 decembrie a fiecaruian calendaristic;e) num rul de persoane aflate ntr-o sta&ie de metrou ntre orele 1500 #i 1700 n

decursul unui an;f) pozi&ia n raport cu centrul&intei a bilei tr g torului n diferite condi&ii de tragere.

n cazurile a)#i b), avem cte o variabil aleatoare discret cu valori discrete.Cazul c) corespunde unei variabile aleatoare continue cu valori continue. Cazul e) pune n eviden& o variabil aleatoare continu cu valori discrete#i n final, cazul f)eviden&iaz o variabil aleatoare discret, de dimensiune 2, cu valori continue.

Un semnal aleator este deci o realizare a unei variabile aleatoare a creievolu&ie reprezint o sum a hazardurilor .

Pentru descrierea variabilelor aleatoare se utilizeaz urm toarele no&iuni: func # ia de reparti # ie, densitatea de probabilitate, media, momentul de ordin q,momentul centrat de ordin q .

Procese aleatoare

Se consider realiz rile ob&inute de la un termometru ce indic temperaturantr-o incint #i care se dore#te a fi constant. Se re&in nregistr rile: X1(t), X2(t), ,Xn(t) pentru intervalele: (0 T), (T 2T), (2T 3T), ,((n-1)T nT) (figura 1.9 unde n =4).

Procesul aleator este reprezentat prin simbolul X(t,) ( X1(t), X2(t), X3(t),X4(t)). Pentru un rezultat dat, nregistr rile reprezint o simpl func&ie de timp (Xk (t))iar pentru un moment de timp t it i = , X(ti,)X() reprezint o variabilaleatoare. Deci, procesul aleator reprezint o succesiune de variabile aleatoare:X(t,)=((t1), , (tn)).

Un proces aleator se nume#te processta #ionar dac : media este n ,1i.ct )]t ( [ M i == func&ia de autocorela&ie

===

N

1k j

k i

k

N ji ji )t ( X )t ( X

1lim )]t ( )t ( [ M )t ,t ( R

(1.9)

nu depinde de momentelet i , t j ci depinde numai de (t j-ti ). n concluzie se poate scrie

)( R )t ,t ( R ji = unde = ji t t .


11/40

7

Figura 1.9nregistr ri ale temperaturii n incint

Un proces aleator se nume#te procesergodic dac media realizrilor variabileialeatoare(ti) este egal cu media n timp a nregistr rilor

=

== N

1k i

k

N i N ,1k )t ( X N

1lim )]t ( [ M . (1.10)

n practic condi&iile de ergodicitate sunt greu de verificat fiind consideratedoar ipoteze de lucru n demonstrarea unor teoreme.

1.5 E $antionarea $i refacerea semnalelor continue

Conversia analog-digital a semnalelor

n multe situa&ii semnalele de interes practic, cum ar fi: semnalele vocale,semnalele biologice, semnalele seismice, semnalele radar sunt semnale analogice(continue). Pentru procesarea semnalelor analogice prin intermediul procedurilor numerice este necesar sa se converteasc semnalele continue n semnale digitale.Aceast procedur este denumit conversie analog-digital #i se realizeaz prinintermediul convertoarelor Analog-Digitale.


12/40

8

Etapele necesare conversiei unui semnal analogic ntr-un semnal digitalsunt urmtoarele:

- e#antionarea semnalului analogic;- cuantizarea semnalului e#antionat;- codarea semnalului cuantificat.

Modul de conversie a unui semnal analogic este ilustrat n figura urmtoare.

Figura 1.10 Modul de conversie al unui semnal analogic

n urma acestor opera&ii la un moment de timp bine determinat, semnaluluianalogic i corespunde un cod numeric care resprezint o aproxima&ie a valorii

semnalului analogic. Cu ct diferen&a ntre dou cuante este mai mic, cu attaproximarea valorii analogice este mai bun. n prezent convertoarele analog-numerice furnizeaz cod numerice pn la 16 bi&i pentru un semnal analogic cuprinsntre 0V#i 1V. Diferen&a minim ntre dou cuante n acest caz este de

21601 V V ,

ceea ce reprezint o valoare foarte mic.

E $antionarea semnalelor analogice

n cele ce urmeaz limit m expunerea la e#antionarea uniform (intervalede timp egale) a semnalelor analogice.


13/40

9

Modul de e#antionare a semnalelor este ilustrat in figura urmtoare.

Figura 1.11 Modul de e#antionare a unui semnal

Semnalul achizi&ionat se noteaz cu x(n)#i reprezint valoarea semnaluluixa(t) la momentul t = nT, deci x(n) = xa(nT).

Timpul dintre dou e#antioane succesive notat cu T este numit perioad dee#antionare sau interval de e#antionare.

Inversul lui T, notat cu T F e1

= , reprezint frecven&a de e#antionare.Cu aceste nota&ii momentul t se poate exprima sub forma:

S F n

T nt == .

Ca o consecin& a rela&iei anterioare exist o rela&ie ntre variabila defrecven& F (sau ' ) a semnalului analogic#i variabila de frecven& f (sau ( ) asemnalului discret.

Pentru a stabili aceast rela&ie se consider un semnal sinusoidal analog, deforma:

)2cos()( += Ft At xa

+=+=

S a F

nF AnT F Ant x

2cos)2cos()( (1.11)

Avnd n vedere c:

)2cos()( += nf An x (1.12)

rezult din (1.11) + (1.12) c S F

F f = , dar

2

= f ;2

= F ;T

F S 1= , deci:

=T


14/40

10

Teorema e $antion rii

Fiind dat un semnal analogic se pune problema stabilirii perioadei dee#antionare astfel nct s se poat reface semnalul continuu pornind de la semnalule#antionat.

Pentru a rezolva aceast problem sunt necesare anumite informa&ii privindfrecven&ele continue ale semnalului analogic.De exmplu semnalul audio (voce uman) con&ine frecven&e de pn la

maxim 3000Hz, iar semnalul video de pn la 5MHz.Dac se cunoa#te frecven&a maxim con&inut n semnalul analogic, atunci

se poate specifica perioada de e#antionare necesar conversiei semnalului analogic nsemnal digital f r a pierde informa&ii con&inute n semnalul analogic.

n multe situa&ii un semnal analogic poate fi reprezentat printr-o sum desemnale sinusoidale de amplitudine diferit

=

+= N

iiiia t F At x

1)2cos()( ,

unde N reprezint num rul componentelor frecven&iale.

Teorema e antion #r i i : Dac frecven&a maxim con&inut ntr-un semnalanalogic xa(t) este Fmax = B #i semnalul este e#antionat cu o rat de e#antionare(frecven& de e#antionare) FS > 2Fmax ) 2B, atunci xa(t) poate fi ref cut exact din

valorile e#antionate utiliznd urmtoarea func&ie de interpolare:

t F

t F t g

max

max

22sin)(

= .

Astfel xa(t) poate fi calculat cu rela&ia:

=

=

n S S aa F

nt g

F n

xt x )( ,

unde ( ) ( )n xT n x F n x a

S a ==

, sunt e#antioane ale semnalului xa(t).

Exemplu: Fie xa(t) = 3cos50*t + 10sin300*t cos100*t, un semnalanalogic. Frecven&ele con&inute n semnalul dat sunt: F1 = 25Hz, F2 = 150Hz, F3 =50Hz. Pentru a putea reface semnalul, frecven&a de e#antionare trebuie s fie: FS >2Fmax = 300Hz.


15/40

11

CAPITOLUL 2 - ANALIZA FOURIER

2.1 Analiza Fourier continu

Motivaia utiliz! rii instrumentelor corespunz! toare analizei frecveniale are la baz! necesitatea extrapol! rii anumitor frecvene coninute ntr-un semnal dat,frecvene utilizate ulterior n obinerea unor informaii din semnal.

Analiza Fourier este util! n cazul cnd raportul semnal zgomot este relativmare, fiind n acela$i timp$i o metod! direct! folosit! la determinarea funciilor deconvoluie $i corelaie.

2.1.1. Seria Fourier pentru semnale continue #i periodice

Reprezentarea matematic! de baz! a semnalelor periodice este seria Fourier,care este de fapt o sum! ponderat! de sinusoide sau exponeniale complexe.

Matematicianul francez, Jean Babtiste Joseph Fourier (1768 1830) utilizeaz!seria trigonometric! n conducia c! ldurii $i a distibuiei c! ldurii prin corp.

Preocup! rile n ceea ce prive$te reprezentarea matematic! a semnalelor s-au extins$in alte domenii.Fie dat semnalul periodic x(t) de perioada T p. Semnalul x(t) se poate reprezenta

printr-o serie de forma:

=

=

k

t F k 2 jk

0eC )t ( x (1)

numit! serie Fourier, unde frecvena fundamental! F 0 reprezint! inversul perioadei p

T

( p

0 T 1

F = ).

Pentru a determina expresia coeficientilor {Ck } se nmule$te relaia (1) cuexpresia t l F 2 j 0e , $i se integreaz! pe o singur ! perioad! (t 0 , t 0+T p ):

+

=

+

= p00

00 p0

0

0 T t t

k

t k F 2 jk

t l F 2 jT t t

t l F 2 j dt eC edt e )t ( x

Pnetru nceput se evalueaz! membrul drept$i rezult! :


16/40

12

p0

0

0

p0

00 p0

000

T t

t k 0

t )l k ( F 2 j

k

k

T t t

t )l k ( F 2 jk

T t t

k

t k F 2 jk

t l F 2 j

)l k ( F 2 j

eC

dt eC dt eC e

+

=

=

+ +

=

=

==

Pentru k l : 0 )l k ( F 2 je

p0

0

0T t

t 0

t )l k ( F 2 j

=

+

, deoarece )(2 0 l k F je este o funcie

periodic! , de perioad! T p.Pentruk=l : p

T t

t

T t t T t dt

p0

0

p0

0== ++ .

n consecin! = +

pl

T t

t t l F 2 j

T C dt e )t ( x p0

00

+ = p00 0T t

t t l F 2 j

pl dt e )t ( xT

1C (2)

Formula (2) reprezint! formula de calcul pentru coeficienii seriei Fourier. O problem! n aceast! abordare o reprezint! convergena seriei Fourier c! tre valorile luix(t) pentru orice valoare a lui t.

Condiiile lui Dirichlet garanteaz! convergena seriei pentru orice valoare alui t, exceptnd valorile lui t pentru care x(t) este discontinuu.

Aceste condiii sunt:1) x(t) trebuie s! aib! un num! r finit de discontinuit! i n intervalul [t0, t0+T p],

oricare ar fi t0 dinR .2) x(t) conine pe o perioad! un num! r finit de maxime$i minime locale.

3) x(t) este integrabil absolut pe orice perioad! :


17/40

13

k 0k 0k 0 sin )t kF 2 sin( cos )t kF 2cos( )t kF 2cos( =+$i rezult!

( ) += )t kF 2 sin( b )t kF 2cos( aa )t ( x 0k 0k 0 ,

unde, . sin|C |2b ;!

cos||C 2a ;C a k k k k k k 00 ===

2.1.2. Spectrul densit &ii de putere a semnalelor periodice

Un semnal periodic are o energie infinit! $i o putere medie finit! care este

dat! prin relaia: = pT 2

p x dt )t ( xT

1 P .

Dar )t ( x )t ( x| )t ( x| *2 = .

Se exprim! x*(t) print-o relaie de forma:

=

=

k

t kF 2 j*k

* 0eC )t ( x .

Cu aceste notaii relaia de calcul a puterii devine:

Parseval luirelatia- |C |dt | )t ( x|T 1

P

|C |C C

dt e )t ( xT 1

C dt eC )t ( xT 1

P

k

2k T

2

p x

k

2

k k k

*

k

k T

t F k 2 j

p

*k T

k

t kF 2 j*k

p

p

p0

p0

=

=

=

=

=

==

==

===

Pentru a demonstra semnificaia fizic! a relaiei anterioare se consider ! x(t)ca fiind o simpl! exponenial! : t kF 2 jk 0eC )t ( x = . n acest caz toi coeficieniiseriei Fourier corespunz! toare lui x(t) sunt nuli, exceptnd Ck . n concluzie,

2

k x|C | P

= .Funcia care pune n eviden! spectrul densit! ii de putere a unui semnal x(t)

este ilustrat! n figura urm! toare:


18/40

14

2.1.3. Transformata Fourier pentru semnale continue aperiodice

n paragraful anterior s-a prezentat seria Fourier corespunz! toare unuisemnal periodic. Pentru a ilustra trecerea de la seria Fourier la transformata Fourier se

consider ! un semnal aperiodic x(t) de durat! finit! , reprezentat n figura urm! toare:

Pentru acest semnal aperiodic se poate lua un semnal peridic x p(t), de perioad! T p, ilstrat n figura de mai jos:

Dac! pT , atunci se poate spune c!

==

)t ( xlim )t ( x ),t ( x )t ( x p

T p

p.

Seria Fourier asociat! semnalului periodic x p(t) este:

== ,T 1

F ;eC )t ( x p

0t kF 2 j

k p0

unde,

=

2

T

2

T

t kF 2 j p

pk

p

p

0 dt e )t ( xT 1

C .

Deoarece x p(t) = x(t) pentru -T p / 2 " t " T p / 2 , coeficienii se pot scrie subforma:


19/40

15

=

2

T

2

T

t kF 2 j p

pk

p

p

0 dt e )t ( xT 1

C .

pentru pT , coeficienii devin:

= dt et xT C t kF j

pk

02)(1 .

Se noteaz! cu F = kF 0 $i se define$te funcia X(F) numit! transformataFourier a lui x(t) sub urm! toarea form! :

= dt e )t ( x ) F ( X t F 2 j

Obs: Coeficienii Ck pot fi exprimai sub forma: ) F k ( X T 1

C 0 p

k = .

Pornind de la seria Fourier$i de la expresia lui Ck n funcie de de X(kF 0 ), se poate defini$i transformata Fourier invers! , printr-o relaie de forma:

+= dF e ) F ( X )t ( x t F 2 j .Deoarece

2 2 == d dF F , iar relaiile anterioare devin:

=

=

dt et x X

d e X t x

t j

t j

)()(

)(21)(

2.1.4. Spectrul densit &ii de energie a semnalelor aperiodice

Fie x(t) un semnal de energie finit! , iar X(F) transformata Fourier asemnalului x(t). Energia lui x(t) se define$te prin relaia: = dt | )t ( x| E 2 x , care poate fi exprimat! sub forma:

[ ]

======

dF | ) F ( X |dF ) F ( X ) F ( X dF dt e )t ( x ) F ( X

dt dF e ) F ( X )t ( xdt )t ( x )t ( x E

2*t F 2 j*

t F 2 j** x

Deci se poate scrie:

== dF F X dt t x E x 22 |)(||)(| .

Relaia de mai sus se nume$te relaia lui Parseval pentru semnaleaperiodice, finit energetice$i care pune n eviden! conservarea energiei exprimat!att n domeniul timp ct$i n domeniul frecven!.


20/40

16

2.2. Analiza Fourier discret

2.2.1. Transformata Fourier standard discret

Dup! cum se$tie transformata Fourier standard a unui semnal continuu x(t) sedefine$te prin relaia urm! toare

) ,( f , f 2 ,dt e )t ( x ) f ( X t j ==

. (2.1)

Dac! x(t) este o variabil! aleatoare atunci existena transformatei Fourier necesit! un cadru matematic mult mai complex. Deoarece se lucreaz! cu secvene dedate de lungime$i amplitudine finite, transformata Fourier reprezint! o secven ! denumere complexe determinabile.

Dac! se consider ! o secven ! complex! z(i) unde 1,0 = N i , atuncitransformata Fourier discret! este dat! de relaia

1 N ,0k ;ik N 2

jexp )i( z T )k ( Z 1 N

0i=

=

=

. (2.2)

n relaia (2.2) s-a notat cu min f k k =

, NT

f 1

min = , T ii =

, unde T este

perioada de e$antionare a semnalului.Pentru justificarea relaiei (2.2) se utilizeaz! transformata Fourier dat! de

rela ia (2.1). Calculul integralei se face aplicnd metoda dreptunghiului pentru care seob ine

dt e )t ( z ) f ( Z t j =

=

=

1 N

0i

T i je )iT ( z T . (2.3)

Se noteaz! cu NT

k 2 f 2

== (

T

1k f

=), iar relaia anterioar ! devine

)T iT N

1k 2 j( exp )iT ( z T )

NT 1

k ( Z 1 N

0i//=

= (2.4)

sau, dac! se utilizeaz! notaiile de mai sus, se obine urm! toarea expresie pentrutransformata Fourier discret!

)ki N 2

j( exp )i( z T )k ( Z 1 N

0i

=

= . (2.5)


21/40

17

Se observ! c! discretizarea n timp a lui z(t) duce la discretizarea n frecven! alui Z(f). Valorile lui Z(f) pot fi reconstituite$i ntre momentele e$antion! rii utiliznd ometod! de interpolare.

Deoarece realizarea 1 N ,0i{z(i)} = este cunoscut! pentru 1,0 = N i , atuncitransformata Fourier Z(k) este o funcie periodic! ce verific! rela ia Z(N+k)=Z(k) .

Observa &ia 1: n cazurile practice de analiz! a datelor se lucreaz! doar cu valorireale, astfel c! transformata Fourier va fi evaluat! doar pentru jum! tate din cele Nvalori, deoarece aceasta verific! rela ia

)k ( X )k N ( X = , unde X* - conjugatul lui X(k). (2.6)

Fie x(i) valoarea real! cu 1,0 = N i $i transformata Fourier direct! dat! de relaia

1 N ,0k ),ki N 2

j( exp )i( xT )k ( X 1 N

0i==

=

. (2.7)

Evaluarea transformatei Fourier X(k) se va face pentru urm! toarele valori ale lui k

=

=

impar N daca )2

1 N ,0( k

par N daca )2

N ,0( k

. (2.8)

n cele ce urmeaz! se va demonstra egalitatea )k ( X )k N ( X = , utilizndu-se transformata Fourier dat! prin relaia urm! toare

=

+=1 N

0i

)ik N 2

jexp(

))ik N 2

sin( j )ik N 2

(cos( )i( xT )k ( X 44444 344444 21

. (2.9)

Avnd n vedere c!

=

=

=

=

)ki N 2

( sin )i( xT ))k ( X Im(

)ki N 2

cos( )i( xT ))k ( X Re(

1 N

0i

1 N

0i

, (2.10)

iar funcia cos este par ! $i sin este impar ! , rezult! c! rela ia (2.6) este evident! .


22/40

18

Observa &ia 2: Avnd n vedere relaiile (2.10), transformata Fourier poate fiexprimat! $i prin intermediul coordonatelor polare

=

+=

Re Im

arctg )k (

Im Re )k ( X 22

. (2.11)

2.2.2. Transformata Fourier invers

Dac! X(k) este transformata Fourier a lui x(i), cu 1 N ,0i = $i 1 N ,0k = ,atunci transformata Fourier invers! este dat! de relaia urm! toare:

1 N ,0i ),ik N 2

jexp( )k ( X NT

1 )i( x

1 N

0k ==

=

, (2.12)

undeT

1 reprezint! incrementul de frecven!.

Deoarece X(k) sa definit pentru 2 N sau 2 )1 N ( , calculul secvenei reale{ x(i)}, 1 N ,0i = necesit! $i evaluarea lui X(N-k). O procedur ! de calcul care evit!folosire celei de-a doua jum! t! i a transformatei Fourier se va prezenta n cadrul paragrafului 2.2.5

2.2.3. Calculul transformatei Fourier a dou secven &e de date

Fie x(i), y(i), i= 1 N ,0 , dou! secvene de date cu ajutorul c! rora seconstruie$te secvena de date complex! z(i)=x(i)+jy(i) , 1 N ,0i = .Transformata Fourier a secvenei z(i) , 1 N ,0i = este

Z(k) = T

=

1 N

0iik

N 2

jexp )i( z

, 1 N ,0k = . (2.13)

Dac! se are n vedere relaia z(i)=x(i)+jy(i), 1 N ,0i = , atunci transformata

Fourier se poate scrie sub forma Z(k) = X(k) + jY(k). (2.14)


23/40

19

Se fac urm! toarele calcule

Z(k) Z *(N-k) = X(k) + jY(k) ( X *(N-k) jY *(N-k)), (2.15)

unde

==

)k N ( Y )k ( Y

)k N ( X )k ( X *

*

, (2.16)

$i rezult!

=

+=

j2 )k N ( Z )k ( Z

)k ( Y 2

)k N ( Z )k ( Z )k ( X

*

*

,unde

=

impar N daca2

1 N ,0

par N daca2 / N ,0

k . (2.17)

2.2.4. Transformata Fourier a unor secven &e de lungime dubl

Fie dat! secvena de date complex! z(i), 1 N 2 ,0i = care este o secven! dedate dubl! (de lungime2N ). n cele ce urmeaz! se va prezenta o procedur ! de calcula transformatei Fourier care necesit! un timp de calcul mai mic.Se definesc urm! toarele secvene de date

+=

= )1i2( z )i( b

)i2( z )i( a , 1 N ,0i = . (2.18)

Se aplic! transformata Fourier discret! secvenelor menionate mai sus $i seob ine


24/40

20

=

=

=

=

1 N

0i

1 N

0i

ik N 2

jexp )i( bT )k ( B

ik N 2

jexp )i( aT )k ( A

1 N ,0k = . (2.19)

Se face urm! toarea notaie

=

= k

N jexpk

N 22

jexpW K N 2 . (2.20)

Cu aceste notaii transformata Fourier a secvenei de lungime dubl! se poatescrie sub forma

k N 2

k N 2

W ) K ( B )k ( A )k N ( Z

W )k ( B )k ( A )k ( Z

=+

+= 1 N ,0k = . (2.21)

Demonstraie:

=

=1 N 2

0i

ik N 2

2 jexp )i( z T )k ( Z

, 1 N 2 ,0k =

=

+++

=

=

= N 2k )1i2(

2 jexp )1i2( z T N 2ik 2

2 jexp )i2( z T 1 N

0i

1 N

0i

=

+

=

=

= N 2k

2 jexp N ik

2 jexp )i( bT N ik

2 jexp )i( aT 1 N

0i

1 N

0i

+=

N k

jexp )k ( B )k ( A .

Avnd n vedere faptul c! A(k) $i B(k) sunt periodice ( A(N+k)=A(k) , B(N+k)=B(k) ), relaia anterioar ! se poate scrie sub forma

+=

N ' k

jexp )' k ( B )' k ( A )' k ( Z

++++=+ N

' k N jexp )' k N ( B )' k N ( A )' k N ( Z ,


25/40

21

sau sub forma

k N 2

k N 2

W )' k ( B )' k ( A )' k N ( Z

W )' k ( B )' k ( A )' k ( Z

=+

+= , (2.22)

unde 1 N ,0' k = .

2.2.5. Transformata Fourier invers special

Se d! o secven ! de date reale {x(i)} 1 N ,0i = . Dup! cum se $tie,transformata Fourier se calculeaz! n

2

N sau respectiv n2

1 N puncte.

Se cere ca, pornind de la 2 N M = , respectiv 2

)1 N ( M = valori aletransformatei Fourier, s! se determine seria iniial! de timp{x(i)} 1 N ,0i = .

Fie X(k) valoarea transformatei Fourier pentru M ,0k = . Pornind de la faptul c! )k N ( X )k ( X * = , se va construi seria:

( ) ( ) 2k

M ** W )k M ( X )k ( X j )k M ( X )k ( X )k ( U

++= , (2.23)

unde M ,0k = ,

iar

=

=

M k

jexp M

2k

2 jexpW 2k

M

. (2.24)

Transformarea invers! a secvenei U(k) este

=

=

1 M

0 K

F

M ik

2 jexp )k ( U MT

1 )i( u )k ( U

1 . (2.25)

Valoarea secvenei de date {x(j)} 1 N ,0 j = se define$te prin relaiile urm! toare

x(2i)=Real(u(i)) x(2i+1)=Imag(u(i)), 1 M ,0i = (2.26)


26/40

22

2.2.6. Transformata Fourier rapid

Transformata Fourier rapid se aplic pentru secven#e de date de lungime 2=Nsau, ntr-un caz mai general, pentru secven#e de date a cror lungime se poate exprimasub forma N= .532 pmn Dac lungimea secven#ei de date nu este egal cu unul dintrenumerele de mai sus, atunci se completeaz cu 0 pn se ob#ine o lungime a secven#eiegal cu 2 sau )532( pmn .

Pentru a exemplica modul de calcul al transformatei Fourier rapide se consider cazul )2( 24 N 2 === .

Transformata Fourier a unei secven#e de date {x(k)} 1 N ,0k = este

=

=

1 N

0k

nk N 2

je )k ( x )n( X

1 N ,0n = . (2.27)

n rela#ia anterioar s-a considerat perioada T=1.

Dac se noteaz cu

N 2

jeW

= , (2.28)

atunci rela#ia (2.27) pentru N=4 se expliciteaz sub forma

+++=+++=+++=+++=

90

6 0

30

00

6 0

40

20

00

30

20

10

00

00

00

00

00

W )3( xW )2( xW )1( xW )0( x )3( X

W )3( xW )2( xW )1( xW )0( x )2( X

W )3( xW )2( xW )1( xW )0( x )1( X

W )3( xW )2( xW )1( xW )0( x )0( X

(2.29)

sau sub forma

=

)3( x

)2( x

)1( x

)0( x

W W W W

W W W W

W W W W

W W W W

)3( X

)2( X

)1( X

)0( X

0

0

0

0

96 30

6 420

3210

0000

. (2.30)

Avnd n vedere faptul c


27/40

23

;1W 0 =

;W 1eeW 02 j4

42

j4 ====

;W eeW 22

42 j6

42 j6 ===

1142 j9

42 j9 WeeW ===

,

sistemul de ecua#ii (2.30) devine

=

)3( x

)2( x

)1( x )0( x

W W W 1

W 1W 1

W W W 11111

)3( X

)2( X

)1( X )0( X

0

0

0

0

123

22

321

. (2.31)

Utiliznd anumite proceduri de factorizare, ecua#ia matriceal (2.30) se poatescrie$i sub urmtoarea form

=

)3( x

)2( x

)1( x

)0( x

W 010

0W 01

W 010

0W 01

W 100

W 100

00W 1

00W 1

)3( X

)1( X

)2( X

)0( X

0

0

0

0

2

2

0

0

3

1

2

1

.(2.32)

Pentru a realiza anumite conexiuni, ntre aspectele teoretice privind prezentareatransformatei Fourier rapide, se fac urmatoarele nota#ii

=

)3( x

)2( x

)1( x

)0( x

W 010

0W 01

W 010

0W 01

)3( X

)2( X

)1( X

)0( X

0

0

0

0

2

2

0

0

1

1

1

1

, (2.33)


28/40

24

=

)3( X

)2( X

)1( X

)0( X

W 100

W 100

00W 1

00W 1

)3( X

)1( X

)2( X

)0( X

1

1

1

1

3

1

2

1

. (2.34)

Vectorul final X, care reprezint transformata Fourier, se ob#ine prin ordonareaindicilor vectorului X din ecua#ia matriceal (2.34).

Analiznd rela#ia (2.29) rezult c vectorul X se calculeaz dup 16 nmul#iri $i12 adunri, iar n cazul rela#iilor (2.33)$i (2.34) vectorul X se calculeaz dup 4nmul#iri $i 8 adun ri.

2.2.6.1. Graful de semnal al transformatei Fourier

Ecua#ia matriceal (2.31) se poate ilustra$i sub forma unui graf de semnal,reprezentat n figura 2.1.

Figura 2.1Graful de semnal pentru N=4

Graful de semnal se caracterizeaz prin:

n fiecare nod al unei coloane ajung 2 ci de transmisie de la nodurile coloanelor anterioare;

informa#ia ob#inut de la o cale de transmisie este nmul#it cu 3 ,1l ,W l = , iar rezultatul este transmis unui nod care apar #ine coloanei urmtoare;

informa#ia care ajunge la un nod se nsumeaz; pentru 2= N graful de semnal con#ine coloane.

Pentru a pune n eviden# toate aspectele care intervin n cadrul unui graf desemnal asociat transformatei Fourier rapide se consider cazul )4( 216 N 4 === .Graful de semnal care con#ine, n acest caz, patru coloane este dat n figura urmtoare.


29/40

25

Figura 2.2Graful de semnal pentru N=16

n cadrul grafului de semnal, pentru fiecare coloan, se define$te no#iunea denoduri duale, ca fiind noduri care primesc informa#ii de la acelea$i noduri ale coloanei


30/40

26

anterioare. Perechile de noduri duale sunt separate prin l 2 N k = pozi#ii, iar calculul

informa#iei asociate unei perechi de noduri duale necesit o singur nmul#irecomplex.

n acest context, pentru calculul informa#iei asociate coloanei l, se utilizeaz

rela#iile urmtoare:

)2

N k ( xW )k ( x )k ( x 1l

p1l l ++= , (2.35)

)k ( xW )2

N k ( x )

2 N

k ( x 1l p

1l l +=+ , (2.36)

unde2

N ,0k = iar ,1l = .

Valoarea indicelui p se calculeaz parcurgnd urmatoarele etape:

se scrie k sub form binar utiliznd bi#i; se deplaseaz la dreapta numrul binar rezultat cu )l ( bi#i; se completeaz bi#ii din stnga cu 0; se inverseaz ordinea bi#ilor iar numrul rezultat este p.

Exemplu de calcul

Fie situa#ia: 8k 4 == $i l=3 . n conformitate cu algoritmul men#ionat se parcurgurm toarele etape:

se scrie k sub form binar utilizndu-se 4= bi#i: 21000k = ;

se deplaseaz num rul rezultat la dreapta cu )l ( =4-3=1 pozi#ii $i rezultnum rul binar: 20100

dup inversarea ordinii bi#ilor rezult num rul 20010 , deci p=2 .

Pentru calculul transformatei Fourier rapide utilizndu-se graful de semnal trebuies se ordoneze vectorul de pe ultima coloan, ordonare care reprezint ultima etap aalgoritmului transformatei Fourier rapide. Procedura const n inversarea ordinii bi#ilor

corespunztori pozi#iei vectorului, pozi#ie reprezentat printr-un numr n baza 2,conform urmtoarei diagrame:


31/40

27

Figura 2.3Diagrama care ilustreaz modul de ordonare al vectorului de pe ultima coloan

2.2.6.2. Algoritmul de calcul al transformatei Fourier rapide pentru N=2 # .Algoritmul de baz Cooley-Tukey

Se consider seria de date reale{ } )k ( x0 1 N ,0k = , unde 2 N = .Dac se noteaza cu

N 2

jeW

= , (2.37)

atunci transformata Fourier a seriei de date este

=

= 1 N

0k

k nW )k ( x )n( X , unde 1 N ,0n = , 1 N ,0k = . (2.38)

Se exprim indiciin $i k n baza doi sub forma

011

22

11 nn2n2n2n ++++= K , (2.39)

unde{ } { }1;0n 1 ,0ii = ,

011

22

11 k k 2k 2k 2k ++++= K , (2.40)


32/40

28

unde { } { }1;0k 1 ,0ii = .

Cu aceste nota#ii rela#ia (2.38) devine

p1

0k

1

0k

1

0k k

01210

n

0121 W )k ,k , ,k ,k ( x )n ,n , ,n ,n( X 0 1 1

= = = =

444 3444 21 K K

444 3444 21 K ,

(2.41)

unde indicele p este dat prin rela#ia urm toare

)k k 2k 2k 2(

)nn2n2n2( k n p

011

22

11

011

22

11

++++

++++==

K

K

. (2.42)

n cele ce urmeaz se vor face anumite artificii de calcul, cu scopul de a reduce puterile luiW din rela#ia (2.41). Aceste artificii se bazeaz pe faptul c W este ofunc#ie periodic (W (N+k) =W k ) . Avnd n vedere nota#iile anterioare, se dezvolt puterea luiW $i se ob#ine

)k ( n )k 2( n )k 2( n )k 2( n

)k k 2k 2k 2( n p

011

22

11

011

22

11

W W W W

W W

++++

==

K

K

(2.43)

n rela#ia anterioar se reduce puterea primului factor dup cum urmeaz

.W

W 111

W W W W

W W

)k n2(

)k n2( )k n( )k n2( )k n2(

)k n2( )k n2( )k n22( )k n22(

)k 2( )nn2n2n2( )k 2( n

101

101

12123

122

101

12123

122

11

011

22

11

11

++++

=

=

==

==

K

K

K

Aceast reducere este posibil deoreceW verific rela#ia

1eeW W 2 j N N

2 j N 2 ====

.

Utiliznd acela$i artificiu de calcul, ca n cazul anterior, factorii din rela#ia (2.43)se scriu sub forma


33/40

29

=

=

=

++++

+

0011

22

11

0

22

0122

101

11

k )nn2n2n2( k n

)k 2 )( nn2( )k 2( n

)k n2( )k 2( n

W W

W W

W W

K

L

. (2.44)

Cu aceste reduceri rela#ia (2.41) devine

].W

W W

)k ,k , ,k ,k ( x[ )n ,n , ,n ,n( X

0011

22

11

22

01101

0 1 1

k )nn2n2n2(

)k 2 )( nn2( )k n2(

1

0k

1

0k

1

0k k

01210

n

0121

++++

+

= = =

=

K

K

444 3444 21 K K

444 3444 21 K

(2.45)

Suma multipl dat de rela#ia anterioar se poate descompune nm= rela#ii:

)k n2(

1

0k k

0121001201

101

1

W

)k ,k , ,k ,k ( x )k ,k , ,k ,n( X

= =

444 3444 21 K L

, (2.46)

)k 2 )( nn2(

1

0k 01201012 ,102

22

01

2

W

)k ,k , ,k ,n( X )k ,k , ,k n ,n( X

+

=

=

LL

,

.

.

.

0011

22

11

0

k )nn2n2n2(

1

0k 1 ,1011 ,10

W

)n ,n ,n( X )n ,n ,n( X

++++

=

= K

LL

.

n concluzie, transformata Fourier a secven#ei de date reale este dat de rela#iaurm toare

)n ,n ,n( X )n ,n , ,n ,n( X 1 ,100121 = LK . (2.47)

Acest set de ecua#ii reprezint forma original a algoritmului Cooley Tukey pentru calculul transformatei Fourier rapide n cazul 2 N = . Acest algoritm reducesubstan#ial volumul de calcul al transformatei Fourier, motiv pentru care analiza


34/40

30

spectral se utilizeaz $i n cazul aplica#iilor reale, unde timpul de calcul se impune sfie ct mai mic.

n paralel cu algoritmii rapizi de calcul ai transformatei Fourier s-au dezvoltat$istructuri hard de calcul care utilizeaz DSP-uri (Digital Signal Processor) ce dispun deinstrumente de calcul paralel$i o unitate de calcul n virgul mobil , cu posibilit#i de a

realiza calcule n simpl, dubl precizie sau precizie extins.

2.2.6.3. Algoritmul de calcul al tranformatei Fourier rapide pentru factoriarbitrari

n cadrul acestei abordri lungimea secven#ei de date pentru care se calculeaztransformata Fourier este N=r 1. r 2, under 1 si r 2 sunt valori ntregi.

Se vor expriman $i k din rela#ia urm toare

( )

=

= N nk

2 jexpk x )n( X 1 N

0k 0 , (2.48)

sub forman=n 1. r 1 +n 0 ,

(2.49)k=k 1. r 2 +k 0 ,

unde 1r ,01n ,1r ,0n 210 == ,1r ,0k ,1r ,0k 1120 == .

Aceast metod de scriere a luin si k permite o reprezentare unic pentrufiecare ntreg zecimal.

Cu aceste nota#ii ecua#ia (2.48) se scrie sub forma urmtoare

( ) ( ) 02

0

1

1

21 nk 1r

0k

1r

0k

r nk 01001 W W k ,k xn ,n X =

=

=, (2.50)

unde

=

N 2

jexpW .

Avnd n vedere rela#ia (2.49) termenul din interiorul sumei se poate scrie subforma

( )

( ) 210210112121011212101121 r k nr k n

k nr r r k nk r r nr k nr nr nk

w1wwwwww ==== +

Rela#ia (2.50) se descompune n dou sume$i rezult


35/40

31

( ) ( )

==

1r

0k

r k n010001

1

2

210wk ,k xk ,n X , (2.51)

( ) ( ) ( )

=+=

1r

0k

k nk n001102

2

2

0011wk ,n X n ,n X . (2.52)

Transformata Fourier a secven#ei de date este

( ) ( )102 n ,n X n X = . (2.53)

2.2.6.4. Algoritmul Cooley-Tukey pentru N=r 1 . r 2 . . r m

Se consider cazul cnd lungimea secven#ei de date reale N se poate scrie ca un produs de numere naturale N=r 1 . r 2 . . r m . Ca $i n cazul anterior se vor expriman $ik sub forma:

( ) ( ) 0112m212m1m211m nr n...n...r ,r nr ...r ,r nn ++++= , (2.54)

( ) ( ) 0m1m432mm321m k r k ...r ...r ,r k r ...r ,r k k ++++= , (2.55)

undem ,1i1r ,0n i1i =

1m ,0i1r ,0k imi = .

Cu aceste nota#ii rela#ia

( ) ( )

=

=1 N

0k 0 N

k n2 jexpk xn X , (2.56)

devine

( ) ( )

=0 1 1mk k k

nk 02m1m0012m1m W k ,...,k ,k x...n ,n...n ,n X ,(2.57)

unde ik

reprezint

=

im

i

r

0k , iar

= N 1

2 jexpW .

Avnd n vedere nota#iile f cute rezult


36/40

32

( )[ ] ( ) 0m321m0m321m nk r ...r r nk k ...r ...r r k nnk W ...W W W == ++ , (2.58)

unde primul factor se poate exprima sub forma

( ) ( )[ ] ( )

[ ] ( ) ( )m321m011m21mm21m321m0111m211mm321m

r ...r r k nn...r ,...,r nr ...r r

r ...r r k nr n...r ...r r nr ...r r k n

W W

W W ++

+++

== . (2.59)

Deoarece 1W m21 r ...r r = , rela#ia anterioar devine

( ) ( )m321m0m321m r ...r r k nr ...r r k n W W = .

La fel se procedaz $i pentru ceilal#i factori ai rela#iei (2.58) $i se ob#ineurm toarea expresie pentru calculul transformatei Fourier (2.57)

( ) ( ) ( )

( )[ ]0m32m0 1 2m 1m

m21m0

k ...r ...r k n

k k k k

r ...r k n01m0012m1m

W

W k ,...,k x...n ,n ,...,n ,n X

++

=

Se noteaz cu ( ) ( ) ( )

= 1m

m21mo

k

r ...r k n02m1m002m01 W k ,...,k ,k xk ,...,k ,n X , (2.60)

iar rela#ia anterioar devine

( ) ( ) ( )[ ]

++ =

0 1 2m

0m32m

k k k

k ...r ...r k n02m0101m W k ,...,k ,n X ...n ,n ,...,n X .

(2.61)

Utiliznd acela$i artificiu de calcul ca n cazul rela#iei (2.59) se ob#ine:

( )[ ] ( ) ( )m432m010m32m r ...r r k nnr k ...r ...r k n W W +++ = .

Se noteaz cu

( ) ( ) ( ) ( )

+ =

2

m432mo11

k

r ...r r k mr n02m0103m102 W k ,...,k ,n X k ,...,k ,n ,n X ,

(2.62)iar rela#ia (2.61) devine:

( ) ( ) ( )( )

= 0 1 3m0m1m43m

k k k

k r k ...r ...r k n

03m1o2011m W k ,...,k ,n ,n X ...n ,n ,...,n X .(2.63)


37/40


38/40

34

( ) ( )1m0' n01m n...n X n ,...,n X = .

2.3. Exemple

Pentru o mai bun fixare a no#iunilor prezentate n acest capitol se ilustreazdou situa#ii de calcul ale transformatei Fourier directe$i ale transformatei Fourier inverse.

n figura 2.4 a) se reprezint o secven# de date reale, iar n figura 2.4 b) sereprezint transformata Fourier a secven#ei de date din figura 2.4 a). Deoarecesecven#a de date reale con#ine dou semnale sinusoidale, atunci$i spectrul defrecven# (transformata Fourier) con#ine dou componente armonice.

n figura 2.4 c) se reprezint spectrul de frecven#a din figura 2.4 b) ob#inut prinanularea unei componente armonice. n figura 2.4 d) se reprezint semnalulreconstituit, utiliznd transformata Fourier invers aplicat secven#ei spectralereprezentat n figura 2.4 c). Se poate observa c realizarea n timp ob#inut n figura2.4 d) reprezint fundamentala secven#ei de date reale din figura 2.4 a).

Figura 2.4


39/40

35

n figura 2.5 se reprezint acelea$i rezultate ca cele din figura 2.4, numai csecven#a de date reale corespunde unui semnal dreptunghiular$i este reprezentat nfigura 2.5 a). Spectrul de frecven# corespunztor semnalului dreptunghiular estereprezentat n figura 2.5 b), iar n figura 2.5 c) se reprezint spectrul de frecven#ob#inut prin anularea unor componente armonice ale spectrului din figura 2.5 b). n

figura 2.5 d) se reprezint semnalul reconstituit utiliznd transformata Fourier inversaplicat secven#ei spectrale reprezentat n figura 2.5 c).

Figura 2.5


40/40

CAPITOLUL 3 - FILTRAREA SEMNALELOR

3.1. Aspecte generale

Prin filtrarea semnalelor se nelege eliminarea unor armonici a c! ror frecvenese situeaz! ntr-un interval predefinit. Elementele hard$i soft care realizeaz! aceast!operaie se numesc filtre. Operaia de filtrare a semnalelor este posibil! datorit! propriet! ilor sistemelor dinamice de a opri anumite realiz! ri aplicate la intrareaacestora. Cel mai elocvent exemplu este resortul elastic care reine mi$carea de du-te/vino pe axa longitudinal! , dac! aceasta se face cu o frecven! care s! dep!$easc!frecvena proprie a resortului elastic.

n figura 3.1 se ilustreaz! modul de filtrare al unui semnal. Se poate observa

faptul c! semnalul la intrarea filtrului conine trei armonici, iar semnalul de frecvenacea mai mare este filtrat (reinut). La ie$irea filtrului se obine semnalul filtrat careeste compus din primele dou! armonici.

Figura 3.1Efectul unui filtru asupra unui semnal

semnale si metode de procesarecap 1 analiza fourier

Documents