ba i - partea a 11-a eugen lozincă

B.A. I

CALCULUL SIMPLIFICAT LA S L U S.L.U. AL ELEMENTELOR NCOVOIATE

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

Catedra Construcii de Beton Armat

B.A. I

SECIUNI RECTANGULARE DUBLUARMATE

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



B.A. I

IntroducereDispunerea unor armturi n zona comprimat a seciunii este necesar: cnd solicitarea depete momentul capabil al seciunii simplu armate (MEd > MRd), iar din condiii arhitecturale (de exploatare sau de estetic), nlimea seciunii nu poate fi mrit.

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



3

B.A. I

IntroducereDispunerea unor armturi n zona comprimat a seciunii este necesar: cnd datorit diverselor combinaii de aciuni, n anumite seciuni ale grinzii apar att momente pozitive, ct i momente negative.

Combinaia de ncrcri gravitaionale cvasipermanente i fore seismice acionnd de la stnga la dreaptaIVE UN

Combinaia de ncrcri gravitaionale cvasipermanente i fore seismice acionnd de la dreapta la stnga

Diagrama NFURTOARE de momente ncovoietoare

RSITATEA TEHNI

CA



4

B.A. I1

NotaiiELEVAIE

1

Seciunea 1-1as2 h d hs as b As As2

b - limea seciunii de beton h - nlimea seciunii de beton As - aria armturilor ntinse as - acoperirea cu beton a armturii ntinse, respectiv distana de la fibra cea mai ntins a seciunii pn n centrul de greutate al armturilor ntinse As2 - aria armturilor comprimate as2 - acoperirea cu beton a armturii comprimate, respectiv distana de la fibra cea mai comprimat a seciunii pn n centrul de greutate al armturilor comprimate d = h - as - nlimea util a seciunii

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

hs = d as2 - braul de prghie dintre armtura ntins i cea comprimatef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


5

B.A. I

Condiii de conformare corectPentru ca grinda s nu fie sub-armat, astfel nct s nu cedeze odat cu fisurarea betonului ntins (precum o grind similar realizat din beton simplu) trebuie respectat condiia de non-fragilitate:= As f min = max 0.26 ctm ;0.0013 bd fyk

Pentru ca grinda s nu fie supra-armat, astfel nct armtura i s i ntins intre n curgere nainte ca betonul i b l din zona comprimat s se zdrobeasc trebuie s se respecte condiia:=IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

cu 2 x b = d cu 2 + y6



B.A. I

Efortul din armtura comprimatPentru cazul particular n care armtur comprimat intr n curgere (y=fyd/Es) concomitent cu zdrobirea betonului comprimat (cu2=3.5 ) b t l i i t( 3 5 ):xmin = cu 2 xmin as 2 y xmin =

cu 2 as 2 cu 2 y

Pt. armturi de marc PC60: Pt. armturi de marc PC52: Pt. armturi de marc OB37:

0.0035 as 2 2 as 2 0.0035 350 / 210000 0.0035 xmin = as 2 = 1.69 as 2 xmin 2 as 2 0.0035 300 / 210000 0000 0.0035 xmin = as 2 = 1.40 as 2 0.0035 210 / 210000 xmin =

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

!!! Pt. armturi BSt500:ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

xmin =

0.0035 as 2 = 2.64 as 2 xmin > 2 as 2 0.0035 435 / 2000007


B.A. I

Condiiile de echivalen staticDac x > xmin s2 = fyd (armtura comprimat intr n curgere)

x d

x

Fc

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

N = 0 = As f yd b x f cd As 2 f yd x M = b x f cd d + As 2 f yd hs 2 ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

(1) (2)8


B.A. I

Condiiile de echivalen staticDac x < xmin s2 < fyd (armtura comprimat nu intr n curgere)

x x d

s2

Fc

necunoscut

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

N = 0 = As f yd b x f cd As 2 s 2 x M = As f yd hs + b x f cd as 2 2 ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

(3) (4)9


NEGLIJABIL

B.A. I

Calculul seciunii rectangulare dublu armatea) Problema de VERIFICARESe cunosc: b, h, as, As, as2, As2, fcd, fyd Se cere: momentul capabil (MRd ) i implicit (x)1. Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Se verific condiia de non-fragilitate: 3. Se calculeaz: xmin =

=

As f min = max 0.26 ctm ;0.0013 bd fyk

cu 2 a cu 2 y s 2x=

4. Pentru a evalua dac armtura comprimat intr n curgere se presupune c x > xmin , astfel nct s2 = fyd. Din ec. (1) rezult:

( As As 2 ) f yd bw f cd

5.1. 5 1 Dac: x > xmin i

x ec. (2 ) M Rd = b x f cd d + As 2 f yd hs d d 2 M Rd = As f yd hsec. (4 )

5.2. Dac: x < xminIVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



10

B.A. I

Calculul seciunii rectangulare dublu armateb) Problema de DIMENSIONARE (doar As)Se cunosc: b, h, as, as2, As2, fcd, fyd, MEd Se cere: aria necesar de armtur (Asrqd ) i implicit (x)1. Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Se calculeaz: xmin =

cu 2 as 2 cu 2 y

3. Pentru a evalua dac armtura comprimat intr n curgere se 3 P l d i i 2 M Ed As 2 f yd hs presupune c x > xmin , astfel nct s2 = fyd. Din ec. (2) rezult: x = d 1 1 b d 2 f cd 4.1. Dac:

[

]

x > xmin

ec . (4 )

ec . (1)

rqd As d =

b x f cd d +A s2 f yd

4.2. 4 2 Dac:

x < xmin

rqd As q =

M Ed f yd hsrqd min As As = min b d

5. Se verific condiia de non-fragilitate: gIVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



11

B.A. I

Calculul seciunii rectangulare dublu armatec) Problema de DIMENSIONARE (As i As2)Se cunosc: b, h, as, as2, fcd, fyd, MEd Se cere: ariile necesare de armtur (Asrqd ), (As2rqd ) i (x)1. Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Deoarece exist trei necunoscute i doar dou ecuaii, trebuie adugat o a treia ecuaie, care rezult din condiia de economicitate, ce implic utilizarea la maximum a seciunii de beton i a armturilor ntinse. n consecin se consider x = xb . ntinse

x M Ed b xb f cd d b 2 rqd 3. Din ecuaia (2): As 2d = f yd hsrqd As =

4. Din ecuaia (1):

b x f cd rqd + As 2d f yd

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

rqd min 5. Se verific condiia de non-fragilitate: As As = min b def lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


12

B.A. I

CALCULUL SIMPLIFICAT LA S.L.U. AL ELEMENTELOR SOLICITATE LA NCOVOIERE CU FOR AXIAL

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



B.A. I

IntroducereCele mai frecvente cazuri de elemente structurale supuse la ncovoiere cu for axial sunt stlpii i pereii structurali din beton armat. La cadrele cu noduri rigide, momente ncovoietoare negative i forele tietoare de la capetele grinzilor sunt transmise stlpilor, care sunt astfel solicitai la aciunea combinat a forei axiale de compresiune i a momentului ncovoietor.

MIVE UN

V

N

RSITATEA TEHNI

CA



14

B.A. I

IntroducereDac la ncrcrile gravitaionale se adaug solicitrile generate de aciuni orizontale (seism sau vnt), unul din stlpi poate s fie solicitat la ntindere i ncovoiere.

+

=

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



15

B.A. I

IntroducereAciunea combinat (M+N) poate fi echivalat cu aciunea forei N aplicat cu o excentricitate (e0=M/N) fat de axa elementului structural ce trece prin centrul seciunii de beton nefisurate. Astfel elementul de beton armat este solicitat la compresiune excentric sau ntindere excentric.

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



16

B.A. I

IntroducerePentru o seciune simetric dintr-un material elastic supus la ncovoiere cu fora axial relaia de verificare la SLU este: N M=A W R

Reprezentnd grafic combinaiile de eforturi secionale (M+N) care conduc la cedarea seciunii se obine CURBA LIMIT DE INTERACIUNE M N M-N.N (compresiune) N (compresiune)

M M

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

Rc = Rtef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

Rc > Rt17


B.A. I

IntroducereDac combinaia de eforturi (M,N) ce solicit seciunea se gsete la interiorul curbei, atunci relaia de verificare este satisfcut. n cazul n care combinaia de eforturi (M,N) se g ( , ) gsete la exteriorul curbei, atunci seciunea cedeaz. Comportarea unei seciuni de beton armat se apropie de cea a materialului elastic avnd rezistena la compresiune superioar celei la ntindere, ns, din cauza comportrii neliniare, suprapunerea d efecte nu t ii li i de f t mai este posibil ( N + M).

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



18

B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MN M

As

As2=As

b as2 d h hs as

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

Dac reprezentm curba de interaciune pentru o seciune rectangular armat simetric se pot identifica urmtoarele puncte caracteristice: l i ief lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


19

B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul A: compresiune centric Seciunea este integral comprimatA

Seciunea cedeaz prin zdrobirea betonului atunci cnd deformaia specific devine egal cu deformaia ultim a betonului comprimat centric.M

NAB

c2=2

Q CIVE UN

N A = As f yd + As 2 f yd + Ac f cd

RSITATEA TEHNI

CA

Def lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


20

B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul MA

n fibra extrem comprimat se atinge deformaia ultim a betonului comprimat (cu2=3,5) n timp ce n fibra extrem ntins deformaia este 0.

M

NM MMB

xMcu2=3,5

Q CIVE UN

xM = h

RSITATEA TEHNI

CA



21

B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul B: (de BALANS)A

n fibra extrem comprimat se atinge deformaia ultim a betonului comprimat (cu2=3,5) concomitent cu intrarea n curgere a armturii ntinse.

M

NB MBB

sy

xBcu2=3,5

Q CIVE UN

xB =

cu 2 d cu 2 + sy

RSITATEA TEHNI

CA



sy = f yd / Es

22

B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul QA

n fibra extrem comprimat se atinge deformaia ultim a betonului comprimat (cu2=3,5) concomitent cu atingerea deformaiei ultime a armturii ntinse (su).M

NQ MQB

su

xQcu2=3,5

Q CIVE UN

xQ =

RSITATEA TEHNI

CA


cu 2 d cu 2 + su cu223


B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul CA

n armtura ntins se atinge deformaia ultim a oelului (su) iar n armtura ), din zona comprimat deformaia specific este nul (s2=0).

M

NC MCB

su s2= 0

xC

Q CIVE UN

xC = as 2 N C As f yd24

RSITATEA TEHNI

CA



B.A. I

Punctele caracteristice ale curbei N-MPunctul D: ntindere centric Seciunea este integral ntins.A

Seciunea cedeaz prin ruperea tuturor armturilor.

M

ND

B

su

Q CIVE UN

N D = As f yd + As 2 f yd

RSITATEA TEHNI

CA



25

B.A. I

Modurile caracteristice de cedare

A

Cedarea prin zdrobirea betonului comprimat (2c,lim3,5) Pe seciune NU EXIST zon ntins M

B

Cedarea prin zdrobirea betonului comprimat (cu2=3,5) Pe seciune EXIST zon ntins

Q C DRSITATEA TEHNI IVE CA UN

Cedarea prin ruperea la ntindere a armturilor



26

B.A. I

Modurile caracteristice de cedare

A

Compresiune excentric - Cazul IIMCedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat fr ca armturile ntinse s intre n curgere (CEDARE FRAGIL)

B

Compresiune excentric - Cazul ICedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat dup ce armturile ntinse au intrat n curgere (CEDARE DUCTIL)

ntindere excentric cu excentricitate mareQ C DIVE UN

Cedarea se produce fie prin zdrobirea betonului comprimat, fie prin ruperea armturilor ntinse

ntindere excentric cu excentricitate micToat seciunea este ntins, iar cedarea se produce prin ruperea celor mai ntinse armturi.

RSITATEA TEHNI

CA



27

B.A. I

Efectul imperfeciunilor geometriceDatorit imperfeciunilor geometrice ale seciunii cazurile de compresiune pur i de ntindere pur nu exist n practic. Pentru a ine cont de aceste imperfeciuni EN 1992-1-1 introduce o excentricitate accidental:ea = h 20 mm 30

Astfel, pentru dimensionare se impune considerarea unei solicitari de ncovoiere mai mari:M Ed = M Sd + N Sd ea = N Sd e0c ; e0c = e0 + ea ; e0 = M Sd / N Sd

Pentru verificare trebuie considerat o capacitate portant micorat:IVE UN

RSITATEA TEHNI

M Rd ,eff = M Rd N Sd eaCA



28

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricSe caracterizeaz prin faptul c armturile ntinse ajung la curgere nainte de cedarea seciunii prin zdrobirea betonului din zona comprimat. n consecin aceasta presupune ca: nlimea zonei comprimate a seciunii s nu depeasc valoarea corespunztoare punctului de balans ( xb) b l (x ); fora axial de compresiune s fie inferioar sau cel mult egal cu cea corespunztoare punctului de balans (0 < N Nb); Pentru P t metoda simplificat d calcul se adopt o t d i lifi t de l l d t distribuie uniform a eforturilor de compresiune n beton (blocul rectangular de compresiuni) compresiuni).

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



29

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricPentru un element de beton armat avnd o seciune de form oarecare, condiiile de echivalen static sunt: Ecuaia de for axial:Ts Cc C s2

N = Cc + Cs 2 Ts

Ecuaia de moment fa de armtura ntins:M + N (h2 as ) = Cc z + Cs 2 hs

fa de armtura comprimat: x M N (h1 as 2 ) = Ts hs Cc as 2 2

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



30

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricPentru un element de beton armat avnd o seciune de form oarecare, condiiile de echivalen static sunt:e0 Cc C s2

Ecuaia de for axial:N = Cc + Cs 2 Tse2

Ts

e

Ecuaia de moment fa de armtura ntins:M + N (h2 as ) = Cc z + Cs 2 hs

fa de armtura comprimat: x M N (h1 as 2 ) = Ts hs Cc as 2 fa de poziia excentric a lui N:IVE UN

2

RSITATEA TEHNI

CA

0 = Ts e Cc (e z ) Cs 2 e2ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


31

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricCalculul simplificat al seciunilor rectangulare Dac x > xmin s2 = fyd ( (armtura comprimat p intr n curgere) N = b x f cd + As 2 f yd As f yd h x M + N s = b x f cd d + As 2 f yd hs 2 2 As As2

Ts

Cc C s2

(1) (2) ( )

as as 2b

; xmin =

cu 2 as 2 cu 2 y

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

as

d h



32

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricCalculul simplificat al seciunilor rectangulare Dac x < xmin s2 < fyd ( (armtura comprimat NU p intr n curgere)necunoscut

Ts

Cs2 Cc

As

As2

N = b x f cd + As 2 s 2 As f yd h x M N s = As f yd hs + b x f cd as 2 2 2 NEGLIJABIL

(3) (4)

b

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

as

d h



33

B.A. I

Cazul I de compresiune excentrica) Problema de VERIFICARESe cunosc: b, h, as, As, as2, As2, fcd, fyd, NEd Se cere: momentul capabil (MRd ) i implicit (x)1. Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Se verific coeficientul de armare: = 3. Se calculeaz: xmin =

As min bd

cu 2 a cu 2 y s 2x= N Ed + ( As As 2 ) f yd

4. Pentru a evalua dac armtura comprimat intr n curgere se presupune c x > xmin , astfel nct s2 = fyd. Din ec. (1) rezult:

bw f cd

5.1. 5 1 Dac: x > xmin i

h x ec. (2 ) M Rd = b x f cd d + As 2 f yd hs N Ed s d d 2 2

5.2. Dac: x < xminIVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

h ec. (4 ) M Rd = As f yd hs + N Ed s 234



B.A. I

Cazul I de compresiune excentricb) Problema de DIMENSIONARE (doar As)Se cunosc: b, h, as, as2, As2, fcd, fyd, NEd, MEd Se cere: aria necesar de armtur (Asrqd ) i implicit (x)1. Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Se calculeaz: xmin =

cu 2 as 2 cu 2 y

3. Pentru 3 P t a evalua dac armtura comprimat l d t i t intr n curgere se presupune c x > xmin , astfel nct s2 = fyd. Din ec. (2) rezult:ec . (1)

h 2 M Ed + N Ed s As 2 f yd hs d 2 x = d 1 1 b d 2 f cd

4.1. Dac: x > xmin

rqd As =

b x f cd + As 2 f yd N Ed f yd

4.2. Dac: x < xmin

h M Ed N Ed s ec. (4 ) rqd 2 As = f yd hs

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA

rqd min 5. Se verific dac: As As = min b def lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


35

B.A. I

Cazul I de compresiune excentricc) Seciunile rectangulare armate simetric (As = As2)1. 1 Se calculeaz nlimea util a seciunii: d = h as 2. Se calculeaz: xmin =

cu 2 as 2 cu 2 y

3. Dac se presupune c x > xlim , astfel nct s2 = fyd, di ec. (1):

x=

N b f cd

n problema de verificare: p4.1. Dac: x > xmin 4.2. Dac: x < xmin

h x ec. (2 ) M Rd = b x f cd d + As 2 f yd hs N Ed s 2 2

h ec. (4 ) M Rd = As f yd hs + N Ed s 2h M Ed + N Ed s b x f cd rqd rqd 2 As 2 = As = f yd hs h M Ed N Ed s rqd rqd 2 As = As 2 = f yd hs36

n problema de dimensionare:4.1. Dac: x > xmin

ec . (4 )

ec . (2 )

RSITATEA TEHNI IVE CA UN

4.2. Dac: x < xmimef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc


B.A. I

Celelalte cazuri de ncovoiere cu for axialCazul II de compresiune excentric Armturile ntinse nu ajung la curgere nainte de j g g cedarea betonului comprimat. n consecin aceasta presupune ca nlimea zonei comprimate a seciunii s depeasc valoarea corespunztoare punctului de balans (x > xb) sau fora axial d compresiune s fi superioar celei i l de i fie i l i corespunztoare punctului de balans (N > Nb). Pentru calcul trebuie s fie introdus condiia de compatibilitate a deformaiilor specifice pe baza ipotezei seciunilor p e. po e e sec u o plane. ntruct calculul manual este dificil este de preferat g p s se utilizeze metoda general de calcul prin intermediul unui program de calcul automat.ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA


37

B.A. I

Celelalte cazuri de ncovoiere cu for axialntinderea excentric cu excentricitate mare Se caracterizeaz prin faptul c fora axial se g p p gsete la exteriorul armturilor, astfel nct o parte din seciune este comprimat. n consecin aceasta presupune ca |N| < Asfyd. Dac cedarea seciunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat, ecuaiile de echivalen sunt b t l i i t iil d hi l t aceleai ca n cazul I de compresiune excentric, n care fora axial de ntindere este introdus cu semnul (-) ( ). Dac cedarea intervine prin ruperea armturii ntinse ( e v u d (intervalul dintre pu c e e caracteristice Q C), pe u e punctele c c e s ce i pentru calcul trebuie folosit i condiia de compatibilitate a deformaiilor specifice pe baza ipotezei seciunilor plane.ef lucrri dr.ing. Eugen Lozinc

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA


38

B.A. I

Celelalte cazuri de ncovoiere cu for axialntinderea excentric cu excentricitate mic Se caracterizeaz prin faptul c ntreaga seciune este p p g ntins, astfel nct fora axial se gsete ntre armturile de pe cele dou fee opuse ale seciunii. n consecin aceasta presupune ca |N| > Asfyd. n acest caz armtura As nu poate echilibra dect o parte di ti d t din ntinderea N, i dif N iar diferena este echilibrat d t hilib t de armtura As2, care este de asemenea ntins. Cedarea se produce prin ruperea celei mai ntinse dintre armturi. Pentru calcul trebuie folosit i condiia de compatibilitate a deformaiilor specifice pe baza ipotezei seciunilor plane. p p

IVE UN

RSITATEA TEHNI

CA



39

ba i - partea a 11-a eugen lozincă

Documents