APLICAȚIILE DERIVATELOR LA CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

1. VITEZA MOMENTANĂ (INSTANTANEE)

În mecanică se lucrează cu 2 concepte de viteză:

- Viteza medie(𝒗𝒎) - Viteza momentană (v)

a) VITEZA MEDIE Prin definiţie viteza medie reprezintă deplasarea punctului material în unitatea de timp.

𝒗𝒎 = 𝚫𝒙𝚫𝒕 = 𝒅𝒕 = 𝒅𝒆𝒑𝒍𝒂𝒔𝒂𝒓𝒆𝒅𝒖𝒓𝒂𝒕ă

< 𝒗𝒎 >𝑺.𝑰= 𝒎𝒔

b) VITEZA MOMENTANĂ (INSTANTANEE) Prin definiţie viteza pe care o are punctul material la un moment dat se numeşte viteză momentană.

𝒗= 𝚫𝒙𝚫𝒕 , 𝚫𝒕→𝟎

𝒗= 𝐝𝒙𝐝𝒕 𝒔𝒂𝒖 𝒗= ሺ𝒙ሻ′ < 𝒗>𝑺.𝑰= 𝒎𝒔

Obs: 𝐝𝒙𝐝𝒕 se citeşte „ derivata coordonatei x a punctului material în raport cu timpul.

c) APLICATII

1.Legea mișcării unui punct material este X=4t+3.Aflați viteza momentană.

𝒗= 𝒅𝒙𝒅𝒕 = ሺ𝒙ሻ’ 𝒗= (𝟒𝒕 + 𝟑)’ 𝒗= (𝟒𝒕) + 𝟑 𝒗= 𝟒∗𝟏 + 𝟎 𝒗= 𝟒 𝒎𝒔 2.Calculaţi viteza la un moment dat t,a unui punct material caracterizat prin legea de mişcare 𝒙= 𝟐− 𝟒𝒕+ 𝟐𝒕𝟐 𝒗= 𝒅𝒙𝒅𝒕 = (𝒙) 𝒗= (𝟐− 𝟒𝒕+ 𝟐𝒕𝟐) = 𝟐− (𝟒𝒕)+ (𝟐𝒕𝟐) 𝒗= 𝟎− 𝟒⋅ 𝟏 + 𝟐⋅ 𝟐⋅ 𝒕 𝒗= 𝟒𝒕− 𝟒 𝒗= 𝟒(𝒕− 𝟏)

2. Legea de mișcare a unui punct material este 𝒙= 𝟑𝒕𝟐 − 𝟐𝒕+ 𝟏𝟓. Aflati viteza omentana si acceleratia momentana a punctului material.

𝒗= 𝒅𝒙𝒅𝒕 = ሺ𝒙ሻ′ ⟹𝒗= ൫𝟑𝒕𝟐 − 𝟐𝒕+ 𝟏𝟓൯= ൫𝟑𝒕𝟐൯′ −ሺ𝟐𝒕ሻ′ + 𝟏𝟓′ ⟹𝒗= 𝟑⋅ 𝟐𝒕− 𝟐⋅ 𝟏 + 𝟎⟹𝒗= 𝟔𝒕− 𝟐 ⟹𝒗= 𝟐ሺ𝟑𝒕− 𝟏ሻ 𝒂 = 𝒅𝒗𝒅𝒕 = ሺ𝒗ሻ′ ⟹𝒂 = ሺ𝟔𝒕− 𝟐ሻ′ ⟹𝒂 = ሺ𝟔𝒕ሻ′ − 𝟐′ ⟹𝒂 = 𝟔⋅ 𝟏 − 𝟎

⟹𝒂 = 𝟔𝒎𝒔𝟐

OBS: Accelerația momentana reprezintă derivate de ordin I a vitezei in raport cu timpul sau derivate de ordin II a coordonatei in raport cu timpul

𝒂 = 𝒅𝒗𝒅𝒕 = 𝒅𝟐𝒙𝒅𝒕𝟐 𝒔𝒂𝒖 𝒂 = ሺ𝒗ሻ′ = (𝒙)′′