Rolul derivatelor de ordinul I și II in studiul

funcțiilorGrupa: Trupa de ŞocMembrii: Bucur Ovidiu-Ruben Mărginean Horațiu Roșu Neluț Popa Petruța Pop Mihai Neag Radu

Feier Oana-Gabriela

Cuprins

Noţiuni teoretice1. Definiţii, teoreme2. Tabel-ex

Problemă din subiecte de bacalaureat - rezolvată de grupă

Problemă compusă si rezolvată de grupă

Aspecte din timpul desfăsurării proiectului

Bibliografie

Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I in studiul functiilor

Definiţie: Fie , I interval , Punctul a se numeşte punct de minim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât

Punctul a se numeşte punct de maxim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât

Punctul a, care este punct de minim relativ sau punct de maxim relativ, se numeşte punct de extrem relativ (local) .

,f x f a x I V

,f x f a x I V

RIRIf ,:

Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I in studiul functiilor

T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton

descrescătoare), atunci (respectiv ).

T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).

2. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).

0,f x x I 0,f x x I

RI RIf :

Ixxf ,0)(' 0,f x x I

0,f x x I 0,f x x I

M

m

Noţiuni teoretice Tabel-exemplu

f x

x

f x 0x

0

0f x

x

)(' xf

)(xf

0x

0 0f x

Noţiuni teoreticeRolul derivatei de ord. II în studiul

funcțiilor Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori derivabilă.

Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .

Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a

unui punct din şi dacă este continuă în , atunci se numeşte punct de inflexiune.

0,f x x I f

fII 0,f x x I

RI RIf :

f 0x I f 0x

0x

Problemă din subiecte de bacalaureat – rezolvată de grupa TRUPA DE ȘOC

Să se calculeze a) Să se verifice căb)Să se arate ca funcția f este convexă pe Rc)Să se calculeze

a) b)

xexxfRRf 2)(,:

1)0(' f

'( )lim xx

f xe

22 1

0

0

( )

( ) 2

( ) 2

(0) 2 0

(0)(0) 1

x

x

x

f x x e

f x x e

f x x e

f e

f ef

''( ) 2

''( ) 2

x

x

f x x e

f x e

f’’(x)

+ + + + + + + + + + +

f(x) convexă

''

2 (2 ) ' 2lim lim lim 1( ) '

x x x x

x x x xx x l H xl H

x e x e e ee e e e

c)

Continuare :

Problemă compusă și rezolvată de grupa “Trupa de Şoc”

Se consideră funcția: a) Să se verifice că b)Să se arate ca funcția f este strict crescatoare pe c)Să se calculeze

2: (0, ), ( ) lnf f x x x 24)1(')( efef

);0(

)('' xf

2

2 1

( ) ln1'( ) 2

1'( ) 2

f x x x

f x xx

f x xx

'')'( gfgf

a)

Continuare :

22

22

413)1(')(

1ln)(

31112)1('

)1(')(

eefef

eeeef

f

fef

b))

2

2

0

'( ) 012 0

2 1 0 '( ) 0

2 1 0

x

f x

xx

x f xxx

Nu are soluții reale

x

0

+ + + + + + + + + + + + + + +

)(' xf

( )f x

c) '' 2)

2 2

2

2 1 2

2

2

2

2 2 2

2 2 2

1 2 1''( ) 2

(2 1) ' (2 1) ( ) '

(2 ) (2 1) 1

2 (2 1) 1

2 2 1 2 2 1 1 0

x xf x xx x

x x x xx

x x xx

x x xx

x x x x xx x x

f concavă pe );0(

2

'''

ggfgf

gf

Aspecte din timpul desfășurării proiectului

Bibliografie

Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009

Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006

Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001

I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993

Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009

www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro