CAPITOLUL 3

CINEMATICA MIŞCĂRII COMPUSE

A PUNCTULUI MATERIAL

În aplicaţiile concrete se întâlnesc situaţii când este necesară studierea mişcării unui corp (S) care efectuează o mişcare în raport cu un alt corp )S( ∗ , aflat la rândul său în mişcare faţă de un reper fix

.Oxyz)R( ≡ Corpul (S) căruia i se studiază mişcarea poate fi un rigid, (Fig. 3.1a), sau poate avea dimensiuni mici, caz în care corpul este asimilat cu un punct material P, (Fig. 3.1b).

În vederea studierii mişcării corpului (S), acestuia i se ataşează invariabil un sistem cartezian triortogonal drept

zyxQ)R( ′′′≡′ , iar rigidului )S( ∗ i se ataşează reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ .

a. b.

Fig. 3.1

(S )

y ′′

Qr ′′

y′

)R( ′ z′

x′)R( ′′

( ∗S )

)R(

z ′′

x ′′

Wr O

x

z

y

Q

W

Qr

)R( ′′

y ′′

( ∗S )

P

r ′′

)R(

z ′′

x ′′

O

x

z

y Wr W

r

– 149 –

Pentru studierea mişcării punctului P, se renunţă la reperul

zyxQ)R( ′′′≡′ , acesta nu mai are sens fiind vorba despre un punct material, iar rigidului )S( ∗ i se ataşează reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ .

Mişcarea relativă este mişcarea rigidului (S) sau a punctului material P, în raport cu reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ .

Mişcarea de transport este mişcarea rigidului (S), sau a punctului material P, efectuată odată cu corpul )S( ∗ , respectiv odată cu reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ ataşat invariabil corpului )S( ∗ , în raport cu reperul fix Oxyz)R( ≡ , în ipoteza suprimării mişcării lui relative.

Mişcarea absolută, este mişcarea rigidului (S), sau a punctului material P, raportată la reperul fix (R).

În aceste situaţii, se poate spune că rigidul (S), sau punctul material P, execută o mişcare compusă, adică mişcarea faţă de reperul fix Oxyz)R( ≡ rezultă din suprapunerea celor două mişcări: mişcarea relativă şi mişcarea de transport.

3.1. Mişcarea relativă a punctului Mişcarea relativă a unui corp asimilat cu un punct material P

este mişcarea remarcată de un observator invariabil legat de reperul mobil ,z" y""x W)"R( ≡ (Fig. 3.2); din acest motiv reperul )"R( este considerat fix, versorii j,i ′′′′ şi k ′′ ai axelor reperului )"R( vor fi consideraţi constanţi pentru acest tip de mişcare.

Problemele cinematicii mişcării relative sunt asemănătoare cu problemele cinematicii mişcării absolute a punctului prezentate în Capitolul 1 al lucrării, de această dată fiind vorba de determinarea traiectoriei, vitezei şi acceleraţiei punctului faţă de reperul )"R( .

Pentru studierea mişcării relative se fac următoarele precizări: – Se va folosi indicele inferior )(r pentru toate mărimile cine-

matice care se referă la această mişcare. – Operaţiile de derivare în baza }k,j,i{ ′′′′′′ folosite pentru defini-

rea diverselor mărimi cinematice, vor fi efectuate din punctul de vedere al observatorului invariabil ataşat reperului )R( ′′ , deci versorii

– 150 –

j,i ′′′′ şi k ′′ sunt constanţi; în acest caz derivatele poartă denumirea

de derivate relative şi în cazul unei funcţii vectoriale oarecare )t(v , derivata relativă a ei se va nota sub forma:

.dtvd

r⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Fig. 3.2

Parametrii de poziţie ai punctului P

Parametrii de poziţie sunt reprezentaţi prin coordonatele lui

faţă de reperul ,z" y""x W)"R( ≡ adică y,x ′′′′ şi z ′′ , care determină vectorul de poziţie

.kzjyixr ′′′′+′′′′+′′′′=′′ (3.1)

Ecuaţiile mişcării relative

Mişcarea relativă a punctului P în raport cu reperul )R( ′′ este complet determinată atunci când se cunosc parametrii de poziţie ca

– 151 –

funcţie de timp, rezultând astfel următoarele ecuaţii parametrice ale mişcării relative

).t(zz);t(yy);t(xx ′′=′′′′=′′′′=′′ (3.2)

Traiectoria relativă a punctului P

Prin eliminarea parametrului t din ecuaţiile (3.2), se obţine traiectoria relativă a punctului P, curba ( rΓ ) de intersecţie a două suprafeţe de ecuaţii

( ) { }0)"z,"y,"x(f ,0)"z,"y,"x(f: 21r ==Γ , (3.3) în cazul mişcării spaţiale şi o curbă de ecuaţie

0)y",f(x" sau )"x(f"y == , (3.4) în cazul mişcării punctului în planul Wx"y".

Viteza relativă a punctului P Viteza relativă a punctului P se obţine prin derivarea relativă în raport cu timpul a vectorului de poziţie r ′′ , dat de relaţia (3.1)

,kzjyix)r(dtrdv r

rr ′′′′+′′′′+′′′′=′′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

= &&&& (3.5)

ţinându-se seama că versorii j,i ′′′′ şi k ′′ sunt consideraţi constanţi.

Acceleraţia relativă a punctului P

Se aplică formula de definiţie a acceleraţiei unui punct şi se efectuează derivata relativă în raport cu timpul a vitezei relative rv

.kzjyix)v(dtvda rr

r

rr ′′′′+′′′′+′′′′==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= &&&&&&& (3.6)

– 152 –

În cazul punctului material, rotaţiile relative sunt foarte lente şi

ca urmare viteza unghiulară relativă rω şi acceleraţia unghiulară relativă rε se consideră egale cu zero.

3.2. Mişcarea de transport Mişcarea punctului P, efectuată odată cu reperul mobil )R( ′′ ,

faţă de reperul fix (R), în absenţa mişcării relative a punctului faţă de reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ , poartă numele de mişcare de transport. Prin urmare, se consideră că punctul P este solidar cu reperul (R"), (Fig. 3.3), situaţie în care viteza de transport şi acceleraţia de transport ale punctului P vor fi aceleaşi cu viteza şi acceleraţia punctului D din rigidul (S*), cu care punctul P coincide la un moment t. Din acest motiv, în studiul mişcării de transport se vor aplica formulele din Capitolul 2, care conţine cinematica mişcării rigidului.

Fig. 3.3

z )R( ∗

k

( ∗S )

Wa

Dr

tε

tω

Wv

DP ≡

r ′′W

tN

tn

k ′′

j ′′

j i i ′′

)R(

)R( ′′

∗zz ′′

y ′′

∗y

∗x x ′′

tθ

tϕ tψ

Wr

O

x

y

– 153 –

Se consideră situaţia în care rigidul (S*), şi împreună cu el

reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ , execută o mişcare generală. Toate mărimile care se referă la mişcarea de transport se vor nota cu indicele inferior )( t .

Parametrii de poziţie Poziţia reperului )R( ′′ faţă de reperul fix (R) este determinată

atunci când se cunosc cei şase parametri de poziţie: – coordonatele polului )z,y,x(W www faţă de reperul (R), care

determină vectorul de poziţie

;kzjyixr wwww ++= (3.7)

– unghiurile lui Euler ttt ,, θϕψ .

Ecuaţiile parametrice ale mişcării de transport

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

θ=θϕ=ϕψ=ψ===

)t();t();t()t(zz);t(yy);t(xx

tttttt

wwwwww (3.8)

Tabelul cosinusurilor directoare ale axelor reperului mobil

)R( ′′ faţă de axele reperului fix (R) este de forma:

i j k

i′ txxα txyα

txzα

j′ tyxα tyyα

tyzα

k ′ tzxα tzyα

tzzα

(3.9)

Parametrii cinematici de ordinul I au expresiile

– 154 –

,nkk

kzjyixrv

ttttt

wwwww

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ+′′ϕ+ψ=ω

++==&&&

&&&& (3.10)

în care wv este viteza de translaţie de transport, tω este viteza unghiulară de transport, iar tn reprezintă versorul liniei nodurilor corespunzătoare mişcării de transport (intersecţia dintre planul Wx"y" cu planul paralel la planul Oxy, care conţine polul W).

Parametrii cinematici de ordinul II sunt de forma

,)0sau0(kji

)0sau0(kzjyixva

zyx ttttt

wwwWw

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠′′ω′′+′′ω′′+′′ω ′′=ω=ε

=≠++==

&&&&

&&&&&&& (3.11)

unde, wa este acceleraţia de translaţie de transport iar tε este acceleraţia unghiulară de transport. Determinarea traiectoriei de transport

Traiectoria la momentul t, a punctului P va fi reprezentată

chiar prin traiectoria punctului D din reperul )R( ′′ cu care coincide în acel moment punctul P. Conform Fig. 3.3, se poate scrie următoarea ecuaţie vectorială a traiectoriei de transport la momentul t

.kzjyixrrrr ww ′′′′+′′′′+′′′′+=′′+= (3.12)

Vectorul de poziţie r ′′ din relaţia(3.12) reprezintă valoarea funcţiei vectoriale )t(r ′′ corespunzătoare momentului t în care s-a definit mişcarea de transport, deci coordonatele y,x ′′′′ şi z ′′ vor fi considerate constante, având valorile care corespund momentului t. Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei de transport a punctului P se obţin din ecuaţia vectorială (3.12), prin înmulţirea scalară a ei, pe rând cu versorii j,i şi k , rezultând următoarea formă a lor:

– 155 –

.

zyxzz

zyxyy

zyxxx

:P

ttt

ttt

ttt

zzyzxzw

zyyyxyw

zxyxxxw

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

α′′+α′′+α′′+=

α′′+α′′+α′′+=

α′′+α′′+α′′+=

(3.13)

Viteza de transport a punctului P

Viteza de transport a punctului P, notată tv , la momentul t,

reprezintă viteza punctului D al reperului )R( ′′ cu care coincide în acel moment punctul P, deci se va putea scrie următoarea relaţie

.rvrrrv twwDt ′′×ω+=′′+== &&& (3.14)

Acceleraţia de transport a punctului P Acceleraţia de transport a punctului P, notată ta , la momentul

t, este egală cu acceleraţia punctului D al reperului )R( ′′ , deoarece la momentul t punctul P coincide cu punctul D. În baza relaţiei (3.14), se obţine următoarea formă pentru acceleraţia de transport

.)r(rava tttwtt ′′×ω×ω+′′×ε+== & (3.15)

Observaţie: Atât în relaţia (3.13), cât şi în relaţia (3.14), com-ponentele vectorului r ′′ , adică mărimile z,y,x ′′′′′′ au valorile cores-punzătoare momentului t.

3.3. Mişcarea absolută a punctului P Mişcarea absolută a punctului P este mişcarea lui remarcată de

un observator invariabil legat de reperul fix (R). Cunoscând ecuaţiile parametrice (3.2) ale mişcării relative a

punctului şi ecuaţiile parametrice (3.8) ale mişcării de transport, se pot rezolva cele trei probleme fundamentale ale cinematicii mişcării absolute a punctului P aflat în mişcare compusă şi anume:

– determinarea traiectoriei absolute a punctului P;

– 156 –

– determinarea vitezei absolute a punctului P; – determinarea acceleraţiei absolute a punctului P.

Traiectoria absolută a punctului

Ecuaţia vectorială a traiectoriei absolute a punctului P este

,rrr W ′′+= (3.16)

cu forma analitică

.kzjyixkzjyixkzjyix www ′′′′+′′′′+′′′′+++=++ Ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare (3.9), prin proiectarea pe axele reperului fix a ecuaţiei anterioare, se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei absolute a punctului P:

,

)t(zzyxzz

)t(yzyxyy

)t(xzyxxx

:P

ttt

ttt

ttt

zzyzxzw

zyyyxyw

zxyxxxw

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=α′′+α′′+α′′+=

=α′′+α′′+α′′+=

=α′′+α′′+α′′+=

(3.17)

în care y,x ′′′′ şi z ′′ sunt funcţii de timp.

Viteza absolută a punctului P

Pentru a obţine expresia vitezei absolute a punctului P, notată av , se va deriva în raport cu timpul relaţia (3.16), cu observaţia că

pentru observatorul legat solidar cu reperul fix, versorii j,i ′′′′ şi k ′′ sunt consideraţi variabili în timp

)t(kk);t(jj);t(ii ′′=′′′′=′′′′=′′ . (3.18)

În baza formulelor lui Poisson, se pot scrie relaţiile

.kk;jj;ii ttt ′′×ω=′′′′×ω=′′′′×ω=′′ &&& (3.19)

– 157 –

Viteza absolută a punctului P, ţinând seama de (3.16), este

,rvrrv wwa ′′+=′′+= &&& (3.20)

în care r ′′& reprezintă derivata absolută a funcţiei vectoriale )t(r ′′ , pentru care se poate stabili următoarea expresie:

.kzjyixkzjyix

)kzjyix(dtd

)r(dtd

r

&&&&&&

&

′′′′+′′′′+′′′′+′′′′+′′′′+′′′′=

=′′′′+′′′′+′′′′=′′=′′ (3.21)

Prin considerarea relaţiilor (3.1) şi (3.5), expresia anterioară se poate scrie sub forma finală

,rv)kzjyix(vr trtr ′′×ω+=′′′′+′′′′+′′′′×ω+=′′& (3.22)

din care rezultă că derivata absolută a funcţiei vectoriale )t(r ′′ este egală cu derivata relativă a funcţiei, adunată cu derivata de transport, reprezentată prin produsul vectorial .rt ′′×ω Înlocuind relaţia (3.22) în (3.20), ţinând seama şi de relaţia (3.14), se obţine expresia vitezei absolute a punctului P

.vvrvvv trtwra +=′′×ω++= (3.23)

Calculul vitezei absolute a punctului P în aplicaţii se poate face cu ajutorul proiecţiilor ei pe axele reperului )R( ′′ . Mai întâi, se scrie sub formă analitică expresia vectorială (3.23)

,zyx

kjikzjyixkzjyixv

zyx tttwwwa

′′′′′′ω ′′ω′′ω′′′′′′′′

++++′′′′+′′′′+′′′′= &&&&&& (3.24)

după care se proiectează pe axele reperului )R( ′′ , multiplicând-o pe rând, scalar, cu versorii j,i ′′′′ şi k ′′ . Se obţin, astfel, următoarele valori ale proiecţiilor vitezei abso- lute a punctului P pe axele reperului )R( ′′ :

– 158 –

.

xyzyxzv

zxzyxyv

yzzyxxv

:v

yxtttz

xzttty

zytttx

ttzzwzywzxwa

ttyzwyywyxwa

ttxzwxywxxwa

a

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ω′′′′−ω′′′′+α+α+α+′′=′′

ω′′′′−ω′′′′+α+α+α+′′=′′

ω′′′′−ω′′′′+α+α+α+′′=′′

&&&&

&&&&

&&&&

(3.25)

Determinarea acceleraţiei absolute Expresia acceleraţiei absolute a punctului P, notată aa , se

obţine prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei (3.23), efectuată din punctul de vedere al observatorului legat solidar cu reperul fix, pentru care versorii j,i ′′′′ şi k ′′ sunt variabili, deci se va putea scrie expresia

,rrvv)rvv(dtd

a ttwrtwra ′′×ω+′′×ω++=′′×ω++= &&&& (3.26)

în care

( )

,va)kzjyix(a

)k(z)j(y)i(xakzjyixkzjyix

)kzjyix(dtd

vdtd

v

,rvr,,av

rtrtr

tttr

rr

trttWw

×ω+=′′′′+′′′′+′′′′×ω+=

=′′×ω′′+′′×ω′′+′′×ω′′+=

=′′′′+′′′′+′′′′+′′′′+′′′′+′′=

=′′′′+′′′′+′′′′==

′′×ω+=′′ε=ω=

&&&

&&&

&&&&&&&&&&&&

&&&&

&&&

(3.27)

ultima expresie fiind scrisă prin considerarea relaţiilor (3.5), (3.6) şi (3.19).

Prin înlocuirea în relaţia (3.26) a mărimilor (3.27), se obţine pentru acceleraţia absolută a punctului P, expresia finală

.v2)r(raa)rv(ravaa

rttttwr

trttWrtra

+ω+′′×ω×ω+′′×ε++=

=′′×ω+×ω+′′×ε++×ω+= (3.28)

Ultimul termen din relaţia (3.28) poartă numele de acceleraţie Coriolis sau acceleraţie complementară notată

– 159 –

.v2a rtC ×ω= (3.29)

Ţinând seama de expresia (3.15) a acceleraţiei de transport

ta , acceleraţia absolută (3.28) a punctului P se va putea scrie astfel

.aaaa Ctra ++= (3.30) Relaţia (3.30) exprimă teorema lui Coriolis, căreia i se poate formula următorul enunţ:

Acceleraţia absolută a unui punct în mişcare compusă este egală cu suma geometrică a celor trei componente ale ei: acceleraţia relativă, acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriolis. Calculul, în aplicaţii, al acceleraţiei absolute a punctului P se face, cel mai adesea, cu ajutorul proiecţiilor ei pe axele reperului

)R( ′′ . Pentru aceasta, se scrie relaţia (3.28) analitic, sub forma

,zyx

kji2

xyzxyz

kji

zyx

kjikzjyixkzjyixa

zyx

yxxzzy

zyx

zyx

ttt

tttttt

ttt

tttwwwa

&&&

&&

&&

&&&&&&&&&&&&

′′′′′′ω ′′ω ′′ω ′′′′′′′′

+

+ω′′′′−ω′′′′ω ′′′′−ω′′′′ω ′′′′−ω′′′′

ω ′′ω ′′ω ′′′′′′′′

+

+′′′′′′

ε ′′ε ′′ε ′′′′′′′′

++++′′′′+′′′′+′′′′=

(3.31)

după care se înmulţeşte pe rând, scalar, cu versorii k,j,i ′′′′′′ şi rezultă expresiile proiecţiilor acceleraţiei absolute pe axele reperului )R( ′′ :

– 160 –

.

).xy(2

)yz()zx(

xyzyxza

);zx(2

)xy()yz(

zxzyxya

);yz(2

)zx()xy(

yzzyxxa

:a

yx

zyyxzx

yxtttz

xz

yxxxyz

xzttty

zy

xzzyxy

zytttx

tt

tttttt

ttzzwzywzxwa

tt

tttttt

ttyzwyywyxwa

tt

tttttt

ttxzwxywxxwa

a

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

ω′′′′−ω′′′′+

+ω′′′′−ω′′′′ω ′′−ω′′′′−ω′′′′ω ′′+

+ε ′′′′−ε ′′′′+α+α+α+′′=′′

ω ′′′′−ω′′′′+

+ω′′′′−ω′′′′ω ′′−ω′′′′−ω′′′′ω ′′+

+ε ′′′′−ε ′′′′+α+α+α+′′=′′

ω ′′′′−ω′′′′+

+ω′′′′−ω′′′′ω ′′−ω′′′′−ω′′′′ω ′′+

+ε ′′′′−ε ′′′′+α+α+α+′′=′′

&&

&&&&&&&&

&&

&&&&&&&&

&&

&&&&&&&&

(3.32)

CAZURI PARTICULARE

I. Cinematica mişcării compuse a punctului material în cazul când mişcarea de transport este o mişcare plan paralelă

Mişcarea relativă

Parametrii de poziţie ai punctului P sunt reprezentaţi prin coordonatele lui faţă de reperul , y""x W)"R( ≡ adică x ′′ şi y ′′ , care determină vectorul de poziţie

.jyixr ′′′′+′′′′=′′ (3.33)

Ecuaţiile mişcării relative

Mişcarea relativă a punctului P în raport cu reperul )R( ′′ este complet determinată atunci când se cunosc parametrii de poziţie ca

– 161 –

funcţie de timp, rezultând astfel următoarele ecuaţii parametrice ale mişcării relative

).t(yy);t(xx ′′=′′′′=′′ (3.34)

Traiectoria relativă a punctului P

Prin eliminarea parametrului t din ecuaţiile (3.34), se obţine traiectoria relativă a punctului P, adica se obţine o curbă de ecuaţie

0)y,x(f =′′′′ (3.35)

Viteza relativă a punctului P Viteza relativă a punctului P se obţine prin derivarea relativă în raport cu timpul a vectorului de poziţie r ′′

,jyix)r(dtrdv r

rr ′′′′+′′′′=′′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′

= &&& (3.36)

ţinându-se seama că versorii i ′′ şi j ′′ sunt consideraţi constanţi.

Acceleraţia relativă a punctului P

Acceleraţia relativă se obţine efectuând derivata relativă în raport cu timpul a vitezei relative rv

.jyix)v(dtvda rr

r

rr ′′′′+′′′′==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= &&&&& (3.37)

Mişcarea de transport Ecuaţiile parametrice ale mişcării

Mişcarea de transport reprezintă mişcarea reperului mobil

yxW)R( ′′′′≡′′ faţă de reperul fix Oxy)R( ≡ , Fig. 3.4. Poziţia reperului )R( ′′ faţă de reperul fix (R) este determinată

atunci când se cunosc trei parametri de poziţie şi anume:

– 162 –

tcosϕ

tcosϕ

0

tsinϕ−

k ′′

i ′′

k

j ′′

j i

tsinϕ

0

0

0

1

– coordonatele wx şi wy ale polului W faţă de reperul fix (R), care determină vectorul de poziţie

;jyixr www += (3.38)

– unghiul de rotaţie de transport tϕ .

Fig. 3.4

Ecuaţiile parametrice ale mişcării de transport sunt:

).t();t(yy);t(xx ttwwww ϕ=ϕ== (3.39) Tabelul cosinusurilor directoare ale axelor reperului )R( ′′

faţă de axele reperului (R) are forma simplificată de mai jos

(3.40)

WvWy

Wx Wa

Drr =

tε

tω DP ≡

r ′′

W

)R( )R( ′′ y ′′

∗y

∗x

x ′′

tϕ

Wr O x

y

– 163 –

Parametrii cinematici de ordinul I

.k

jyixrv

tt

WWWW

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′′ϕ=ω

+==

&

&&& (3.41)

Parametrii cinematici de ordinul II

.)0sau0(,k

)0sau0(,jyixva

ttt

WWWW

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠′′ϕ=ω=ε

=≠+==

&&&

&&&&& (3.42)

În Fig. 3.4 sunt reprezentaţi vectorii wv şi wa în planul Oxy, iar vectorii tω şi tε au direcţia perpendiculară pe planul Oxy (s-a recurs la convenţia de reprezentare a lor pentru cazul plan).

Determinarea traiectoriei de transport a punctului P Precizările făcute cu prilejul studiului cinematic al mişcării de

transport în cazul punctului aflat în mişcare compusă generală, îşi păstrează valabilitatea şi în acest caz, deci traiectoria de transport, viteza de transport şi acceleraţia de transport la momentul t, a unui punct P vor reprezenta chiar traiectoria, viteza şi acceleraţia punctu-lui D din reperul )R( ′′ cu care coincide în acel moment punctul P.

Ecuaţia vectorială a traiectoriei de transport este de forma

,jyixrrrr ww ′′′′+′′′′+=′′+= (3.43)

căreia îi corespund următoarele ecuaţii parametrice

,cosysinxyysinycosxxx

:Pttw

ttw

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ϕ′′+ϕ′′+=

ϕ′′−ϕ′′+= (3.44)

în care coordonatele x ′′ şi y ′′ vor fi considerate constante, ele având valorile corespunzătoare momentului t.

– 164 –

Determinarea vitezei de transport

Viteza de transport a punctului P, la momentul t, reprezintă viteza punctului D al reperului )R( ′′ cu care coincide punctul P în acel moment şi, ca urmare, expresia vitezei de transport are tot forma

rvv twt ′′×ω+= dar cu wv şi tω daţi de relaţiile (3.41) iar jyixr ′′′′+′′′′=′′ .

Determinarea acceleraţiei de transport La momentul t considerat, DP ≡ , acceleraţia de transport a punctului P este egală cu acceleraţia punctului D şi expresia ei este tot de forma (3.15) care, în cazul mişcării plan paralele, devine:

.rra

r)r(ra

)r(raa

2ttW

2ttttw

tttwt

′′ω−′′×ε+=

=′′ω−ω′′⋅ω+′′×ε+=

=′′×ω×ω+′′×ε+=

(3.45)

Mişcarea absolută a punctului P

Determinarea traiectoriei absolute Ecuaţia vectorială a traiectoriei absolute a punctului P, este tot

de forma rrr w ′′+= , cu )t(rjyixr ′′=′′′′+′′′′=′′ , componentele x ′′ şi y ′′ fiind funcţii de timp. Prin proiectarea pe axele reperului fix a acestei relaţii vectoriale, ţinând seama de tabelul cosinusurilor directoare (3.40), se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei

.)t(y)t(cos)t(ysin)t(x)t(yy)t(x)t(sin)t(ycos)t(x)t(xx

:Pttw

ttw

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=ϕ′′+ϕ′′+=

=ϕ′′−ϕ′′+= (3.46)

Determinarea vitezei absolute Viteza absolută a punctului P este dată tot de relaţia

.vvv tra +=

– 165 –

În cazul mişcării compuse plan paralele, jyixvr ′′′′+′′′′= && şi

rvv twt ′′×ω+= , deci se va putea scrie această relaţie sub forma

0yx00

kjijyixjyixv twwa

′′′′ϕ

′′′′′′

+++′′′′+′′′′= &&&&& (3.47)

Prin proiectarea relaţiei (3.47) pe axele reperului mobil se

obţin proiecţiile vitezei absolute a punctului P pe axele acestui reper:

.xcosysinxyjvv

ysinycosxxivvv

ttwtwaa

ttwtwaaa

y

x

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′′ϕ+ϕ+ϕ−′′=′′⋅=′′

′′ϕ−ϕ+ϕ+′′=′′⋅=′′=

&&&&

&&&& (3.48)

Determinarea acceleraţiei absolute Acceleraţia absolută a punctului P se calculeză cu ajutorul

relaţiei (3.28), care pentru mişcarea compusă plan paralelă devine:

.v2rraaaaaa rt2ttwrCtra ×ω+′′ω−′′×ε++=++= (3.49)

Calculul acceleraţiei absolute se face cu ajutorul proiecţiilor ei

pe axele reperului )R( ′′ ; se scrie relaţia (3.49) sub forma

,0yx

00kji

2)jyix(

0yx00

kjijyixjyixa

t2t

twwa

&&

&&

&&&&&&&&&&

′′′′ϕ

′′′′′′

+′′′′+′′′′ϕ−

−′′′′

ϕ

′′′′′′

+++′′′′+′′′′=

(3.50)

după care se înmulţeşte pe rând, scalar, cu versorii i ′′ şi j ′′ , rezul-tând proiecţiile acceleraţiei absolute a punctului P pe axele mobile:

– 166 –

.

x2yxcosysinxya

y2xysinycosxxa

:a

t2tttwtwa

t2tttwtwa

a

y

x

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′ϕ+′′ϕ−′′ϕ+ϕ+ϕ−′′=′′

′′ϕ−′′ϕ−′′ϕ−ϕ+ϕ+′′=′′

&&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&

(3.51)

II. Cinematica mişcării compuse a punctului material în cazul când mişcarea de transport este o mişcare de translaţie

În acest caz rigidul )S( ∗ şi odată cu el şi reperul zyxW)R( ′′′′′′≡′′ , efectuează o mişcare de translaţie în raport cu

reperul fix (R), Fig. 3.5.

Fig. 3.5

– 167 –

În mişcarea de translaţie fiind satisfăcută condiţia 0t =ϕ , cu

consecinţele

,0v2a;0a

;0a;0v;0;0

rtCax

rotrottt

t

tt

=×ω==

===ε=ω (3.52)

viteza absolută şi acceleraţia absolută a punctului P au formele

,vvvvv wrtra +=+= (3.53) respectiv,

.aaaaa wrtra +=+= (3.54)

III. Cinematica mişcării compuse a punctului material în cazul când mişcarea de transport este o mişcare de rotaţie uniformă în jurul unei axe fixe În Fig. 3.6 se prezintă acest caz de mişcare compusă.

Fig. 3.6

– 168 –

Aceată mişcare se efectuează în condiţiile

,0;.const;WOdeoarece,0r tttW =ω=ε=ω≡= & (3.51)

cu consecinţele

.0ra;0a;0v

trot

ww

=′′×ε===

(3.52)

În aceste condiţii, relaţia (3.12), care exprimă ecuaţia

vectorială a traiectoriei absolute, ia forma simplificată

,rr ′′= (3.53)

iar expresiile vitezei şi acceleraţiei absolute ale punctului P devin

.rvv tra ′′×ω+= (3.54)

.v2)r(aa rtttra ×ω+′′×ω×ω+= (3.55)