a. mecanica 1. cinematica - · pdf filelegea lui hooke alungirea absolută ... un joule este...

Emanuel Chelariu, Lic eul Tehnologic de Mecatronica si Automatizari, Iasi – Fizica pentru BAC – Notiuni teoretice

A. MECANICA

1. CINEMATICA

1.1. Noţiuni cinematice de bază

Prin mişcarea unui corp se înţelege schimbarea poziţiei sale faţă de alte corpuri considerate „fixe”.Repausul este un caz particular al mişcării: un corp este în repaus dacă poziţia sa faţă de alte corpuri

considerate fixe nu se modifică în timp.Reperul sau corpul de referinţă este corpul fix faţă de care studiem dacă alte corpuri se află în

mişcare sau în repaus.Sistemul de referinţă (S.R.) este ansamblul format din reper, riglă şi ceas.Punctul material este un corp de dimensiuni neglijabile, dar de masă considerabilă.Mobilul este punctul material aflat în mişcare.Traiectoria este linia sau curba descrisă de un mobil.Vectorul de poziţie este vectorul care are originea în originea sistemului de coordonate şi vârful în

punctul în care se găseşte mobilul la un moment dat. - legea de mişcare

Vectorul deplasare ( ) este vectorul care uneşte poziţia iniţială a punctului material cu cea finală.

Observaţie: lungimea traiectoriei (s) diferă de vectorul deplasare:- mişcarea punctului material este rectilinie

- mişcarea punctului material este curbilinie

1.2. Viteza. Vectorul viteză

Vectorul viteză medie a punctului material este vectorul numeric egal cu raportul dintre vectorul deplasare şi intervalul de timp în care a avut loc această deplasare.

Vectorul viteză medie , fiind secant la traiectorie are direcţia şi sensul vectorului deplasare.

1


Vectorul viteză momentană sau instantanee este limita către care tinde viteza medie când

0lim

t

rvt∆ →

∆=∆

Vectorul viteză momentană sau instantanee este tangent la traiectorie şi are direcţia şi sensul mişcării. De aceea se mai numeşte şi viteză tangenţială.

[ ] [ ][ ]

SISI

SI

r mvt s

∆= =

∆

1.3. Acceleraţia. Vectorul acceleraţie

Vectorul acceleraţie medie este vectorul numeric egal cu raportul dintre variaţia vectorului viteză şi intervalul de timp în care s-a produs această variaţie.

Vectorul acceleraţie momentană sau instantanee este limita către care tinde raportul dacă .

Vectorul acceleraţie medie are direcţia şi sensul vectorului şi deci, în cazul mişcării curbilinii este orientat spre „interiorul traiectoriei”.

Vectorul acceleraţie momentană are două componente:- una tangenţială la traiectorie , care apare datorită variaţiei modului

vectorului viteză;- una perpendiculară pe traiectorie , care apare datorită variaţiei direcţiei

vectorului viteză.

Cazuri:a) viteza creşte

mişcare accelerată

b) viteza scade

mişcare încetinităc) viteza nu variază (este constantă în modul şi direcţie)

mişcare uniformă

2


2. DINAMICA

2.1. Principiile mecanicii newtoniene

Principiul inerţiei - Principiul I

Enunţ: Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă, atâta timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i modifice starea mecanică în care el se află.

Inerţia este proprietatea oricărui corp de a-şi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă în absenţa acţiunilor exterioare sau de a se opune (reacţiona) la orice acţiune exterioară care caută să-i schimbe starea mecanică în care el se află.

Masa este mărimea fizică scalară care caracterizează cantitativ inerţia corpurilor, fiind proporţională cu cantitatea de substanţă conţinută în corp. Masa este deci, o măsură a inerţiei corpurilor.

Principiul fundamental – Principiul al II-leaCorpurile acţionează unele asupra altora. Spunem că ele interacţionează.Forţa este o mărime fizică vectorială ce caracterizează interacţiunea dintre corpuri.Enunţ: Acceleraţia imprimată de către o forţă unui corp are direcţia şi sensul forţei aplicate, fiind

direct proporţională cu forţa şi invers proporţională cu masa corpului.

Adică, dacă o forţă acţionează asupra unui corp, îi va produce o variaţie a vitezei acestuia sau o variaţie a impulsului.

Impulsul punctului material este mărimea fizică vectorială numeric egală cu produsul dintre masă şi vectorul viteză.

impuls = „cantitate de mişcare”

Principiul acţiunii şi reacţiunii – Principiul al III-leaEnunţ: Dacă un corp acţionează asupra unui alt corp cu o forţă numită acţiune, atunci şi cel de-al

doilea corp va acţiona asupra primului corp cu o forţă egală în modul şi opusă ca sens, numită reacţiune.Observaţii:- cele două forţe (acţiunea şi reacţiunea) se aplică (exercită) simultan;- cele două forţe acţionează pe aceeaşi direcţie;- cele două forţe se aplică la corpuri diferite, de mase diferite, şi de aceea efectele lor sunt diferite;- principiul al III-lea se aplică atât la contactul direct dintre corpuri cât şi în cazul interacţiunii prin

intermediul unui câmp (ex: gravitaţional).

Principiul suprapunerii forţelor – Principiul al IV-leaEnunţ: Dacă asupra unui corp acţionează simultan mai multe forţe, fiecare forţă va imprima corpului

propria sa acceleraţie în mod independent de prezenţa celorlalte forţe, acceleraţia rezultantă fiind egală cu suma vectorială a acceleraţiilor individuale.

n

ii

F R=

=∑1

n

ii

R m a=

= ∑1

3


2.2. Tipuri de forţe

GreutateaGreutatea unui corp este forţa de atracţie exercitată de către Pământ asupra corpului.Punctul de aplicaţie al greutăţii este în centrul corpului şi se numeşte centru de greutate.Greutatea este orientată vertical în jos şi are direcţia razei terestre dusă până în punctul în care se află

corpul.Greutatea se manifestă indiferent de starea mecanică în care se află corpul (repaus sau mişcare).

m = masa corpuluig = 9,8 m/s2 = acceleraţia gravitaţională terestrăValoarea acceleraţiei gravitaţionale depinde de altitudine şi de latitudine.

Tensiunea din firTensiunea din fir este forţa care întinde firul. Ea apare în fir atunci când se acţionează

cu o forţă asupra lui sau se suspendă un corp de acesta.

Tensiunea din fir se poate măsura tăind firul şi intercalând un dinamometru. Nu există o formulă de calcul pentru tensiune. Aceasta se determină diferit, ţinând cont

de toate forţele care acţionează în sistem.Tensiunea din fir se introduce întotdeauna pereche, cu punctele de aplicaţie la capetele

firului, egale în modul şi de sens contrar.

Forţa de frecareForţa de frecare este forţa care acţionează între corp şi suprafaţa de contact pe care el se deplasează şi

se opune mişcării fiind orientată în sens opus vitezei corpului.

Chiar înainte de a începe alunecarea apar forţe de frecare între solide, numite forţe de frecare statică sau de aderenţă.

Forţele de frecare la alunecare sunt mai mari sau egale decât forţele de frecare statică, iar forţele de frecare la rostogolire sunt mai mici decât forţele de frecare la alunecare.

Legile frecării1. Forţa de frecare la alunecare nu depinde de mărimea suprafeţei de contact dintre corpuri ci doar de

natura acestora şi de gradul lor de prelucrare (şlefuire).2. Forţa de frecare la alunecare este proporţională cu forţa de apăsare normală exercitată pe suprafaţa

de contact.

μ = coeficient de frecare

4


μ depinde de natura corpurilor şi de gradul de prelucrare al suprafeţelor aflate în contactμ < 1μ este adimensional (nu are unitate de măsură).

Forţa elasticăForţă elastică este forţa care apare în corpurile deformate, fiind direct proporţională cu valoarea

deformaţiei şi orientată în sens opus creşterii deformaţiei.

k = coeficient de elasticitateΔl = alungire

eF F= −

FkΔl

= = coeficient de elasticitate

= alungirea absolută

Legea lui HookeAlungirea absolută este direct proporţională cu forţa deformatoare, cu lungimea iniţială şi invers

proporţională cu aria secţiunii transversale, coeficientul de proporţionalitate fiind inversul modulului lui Young.

- efort unitar

- alungire relativăε este adimensională (nu are unitate de măsură)E = modulul lui Young (modulul de elasticitate longitudinal)

- forţa deformatoare

2.3. Mişcarea pe planul înclinat

a) Coborârea pe planul înclinat cu frecare

Dacă nu există frecare

5


b) Urcarea pe planul înclinat cu frecare, în virtutea inerţiei

Dacă nu există frecare

c) Urcarea pe planul înclinat cu frecare sub acţiunea unei forţe paralelă cu suprafaţa planului înclinat

d) Urcarea pe planul înclinat cu frecare sub acţiunea unei forţe care face unghiul θ cu suprafaţa planului înclinat

6


3. LUCRUL MECANIC ENERGIA MECANICĂ

3.1. Lucrul mecanic

O forţă care acţionează asupra unui corp efectuează lucru mecanic atunci când punctul ei de aplicaţie se deplasează pe distanţa d.

Dacă o forţă efectuează lucru mecanic, ea determină modificarea stării mecanice a corpului asupra căruia acţionează. Spunem că lucrul mecanic este o mărime fizică de proces.

Lucrul mecanic al unei forţe constante al cărui punct de aplicaţie se deplasează pe distanţa d este mărimea fizică scalară numeric egală cu produsul scalar dintre vectorul forţă şi vectorul deplasare.

Un joule este lucrul mecanic efectuat de o forţă constantă de un newton al cărui punct de aplicaţie se deplasează cu un metru pe direcţia şi în sensul forţei.

Observaţii:1. Dacă α = 00 → cos 00 = 1 → L=Fd2. Dacă 0 < α < 900 → cos α > 0 → L > 0 → contribuie la deplasarea corpului. Spunem că este o

forţă motoare.3. Dacă α = 900 → cos 900 = 0 → L = 04. Dacă α = 1800 → cos 1800 = -1 → L = -Fd5. Dacă 900 < α < 1800 → cos α < 0 → L < 0 → se opune deplasării corpului. Spunem că este o

forţă rezistentă.Lucrul mecanic se poate calcula şi prin metodă grafică: este aria cuprinsă între reprezentarea grafică a

forţei şi axa deplasării.

Lucrul mecanic efectuat de greutate- la coborâre

- la urcare pe verticală cu viteză constantă

Lucrul mecanic efectuat de greutate nu depinde de drumul parcurs de punctul material şi de legea mişcării acestuia, ci numai de diferenţa de nivel h dintre poziţia iniţială şi finală a punctului material.

7


Forţele al căror lucru mecanic efectuat nu depinde de drumul parcurs, ci numai de distanţa dintre poziţia iniţială şi cea finală, se numesc forţe conservative.

Ex: greutatea şi forţa elastică.

Lucrul mecanic efectuat de forţa elasticăForţa elastică este o forţă variabilă a cărei valoare creşte odată cu deformarea.( )eF k x= −

. Prin urmare în calculul lucrului mecanic se impune luarea în considerare a unei forţe medii.

Lucrul mecanic efectuat de forţa de frecare

- pentru orizontală

- pentru care face unghiul α cu orizontala

Observaţii: Forţa de frecare nu este o forţă conservativă. Ea este o forţă disipativă („consumă” din energie).

3.2. Puterea mecanică

Puterea mecanică este mărimea fizică scalară numeric egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat şi timpul necesar producerii acestui lucru mecanic.

8


3.3. Energia cinetică. Teorema variaţiei energiei cinetice.

Energia mecanică – mărime de stareEnergia este o mărime fizică scalară ce caracterizează starea mecanică a unui corp sau sistem fizic.Energia caracterizează capacitatea unui corp sau a unui sistem de corpuri de a produce lucru mecanic.

Energia cinetică este energia pe care o are un corp aflat în mişcare.Energia cinetică a unui corp de masă m care se află în mişcare de translaţie cu viteza v, în raport cu un

sistem de referinţă inerţial, este egală cu semiprodusul dintre masa corpului şi pătratul vitezei acestuia.

teorema variaţiei energiei cinetice

Enunţ: Variaţia energiei cinetice a unui punct material care se deplasează în raport cu un sistem de referinţă inerţial este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă care acţionează asupra punctului material în timpul acestei variaţii.

3.4. Energia potenţială gravitaţională şi elastică

Energia potenţială depinde de poziţiile relative ale corpurilor care formează sistemul.Variaţia energiei potenţiale a unui sistem este egală şi de semn opus lucrului mecanic efectuat de

forţele conservative care acţionează în interiorul sistemului considerat.

pE L= −∆

Considerăm un corp de masă m, aflat la înălţimea h faţă de suprafaţa Pământului.Atunci când distanţa scade de la h la h’, variaţia energiei potenţiale gravitaţionale a

sistemului este:

energia potenţială gravitaţională

9

2 22 1

2 22 1

2 22 1

2

22

2 2

v v admv v ad /

mv mv mad

ma FFd L

= +

− =

− =

= ⇒=

c

mv mv L

E L

− =

=

2 22 1

2 2∆

( ) ( )

0

p p p Gfinală iniţială

p

E E E L

E mgh' mghh'

= − = −

= −⇒

=

∆

∆pE mgh=


În cazul unui resort deformat, atunci când deformarea scade de la x1 la x2, variaţia energiei potenţiale de tip elastic este:

energia potenţială de deformare

3.5. Legea conservării energiei mecanice

Enunţ: Energia mecanică a unui sistem izolat aflat într-un câmp de forţe conservativ este constantă (se conservă).

c pE E E constantă= + =

Observaţii:- un sistem este izolat dacă rezultanta forţelor exterioare care acţionează asupra lui este nulă;- dacă sistemul nu este izolat, variaţia energiei lui mecanice totale este egală cu lucrul mecanic al forţei

externe;- forţele neconservative sunt forţa de frecare şi forţa de tracţiune. Acestea fac să nu se conserve energia

mecanică.Conservarea energiei mecanice în timpul căderii libere

= +t c pE E E

În A: 0=

⇒ ==

ct

p

EE mgh

E mgh

În B: ( )

2

22 2

= = −⇒ =

=

Bc

t

p

mv mE g h h'E mgh

E mgh'

În C:

2

22 2

0

= =⇒ =

=

cc

t

p

mv mE ghE mgh

E

Concluzie: În timpul căderii libere a unui corp în câmp gravitaţional, energia mecanică se conservă, ea păstrând aceeaşi valoare (mgh) în orice punct al traiectoriei.

10

( ) ( )2 22 1

1

2 20

ep p p Ffinală iniţială

p

E E E L

kx kxE

x

= − = −

= − ⇒=

∆

∆p

kxE =2

2

=+

sinsin cos

αηα µ α


3.6. Randamentul planului înclinat

În cazul planului înclinat, lucrul mecanic util este cel efectuat pentru ridicarea uniformă, fără frecare, a corpului.

( )= = =u tL G l mg sin l mghα

În prezenţa frecărilor, lucrul mecanic consumat pentru ridicarea corpului, la aceeaşi înălţime h, este:

( )= +cL mg sin cos lα µ α

Randamentul planului înclinat se defineşte prin raportul dintre puterea utilă şi puterea consumată:

( )

u

u u

cc c

LP Lt

LP Lt

mghmg sin cos l

hsin h l sinl

= = =

=+

⇒= ⇒ =

η

ηα µ α

α α

1<η

Cum 1

1cosctg sin c tg

= ⇒ =+

αα ηα µ α

Observaţie: Pentru un sinα dat sau calculabil = hsinl

α , se poate calcula cosα folosind formula de

aur a trigonometriei: 2 2 21 1+ = ⇒ = −sin cos cos sinα α α α

11


B. ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ

1. NOŢIUNI TERMODINAMICE DE BAZĂ

1.1. Noţiuni despre structura discretă a substanţei

Concepţia atomistă despre substanţă enunţată acum 2500 ani de către Leucip şi Democrit, a fost confirmată în secolul al XVIII-lea odată cu descoperirea unor fenomene noi precum electroliza, radioactivitatea şi emisia termoelectronică.

Conform acestei concepţii, substanţa este alcătuită din particule indivizibile şi indestructibile numite atomi.

Mărimi caracteristiceDeoarece atomii au dimensiuni extrem de mici şi, deci şi mase foarte mici, s-a introdus o unitate de

măsură specifică numită unitate atomică de masă.- Unitatea atomică de masă (u) este mărimea egală cu a 12-a pare din masa izotopului de carbon

271 1 67 10u , Kg−= ⋅

- Masa atomică relativă a unei substanţe este numărul care arată de câte ori este mai mare masa atomică a ei decât a 12-a parte din masa atomică a izotopului de carbon 12

6 C .

( ) 12112

x xr

cc

m mA xmm

= =

- Masa moleculară relativă a unei substanţe este numărul care arată de câte ori este mai mare masa unei molecule din acea substanţă decât a 12-a parte din masa atomică a izotopului de carbon 12

6 C .Observaţie:- masa atomică relativă, respectiv masa moleculară relativă, sunt mărimi adimensionale (nu au unitate

de măsură);

- Molul este cantitatea de substanţă a cărei masă exprimată în grame conţine atâtea entităţi elementare câţi atomi sunt în 0,012 Kg de 12

6 C . Molul este cantitatea de substanţă exprimată în grame, numeric egală cu masa atomică sau moleculară relativă.

[ ] SImolυ =

Molul este o unitate de măsură fundamentala in Sistem Internaţional.- Masa molară este masa unui mol.

= mµν

[ ] SIKg mol

=µ

m = masa corpuluiν = cantitatea de substanţă conţinută în corp (nr. de moli/Kmoli)

- Volumul molar este volumul ocupat de un mol de substanţă

= VVµ ν

3

SI

m Vmol

= µ

V = volumul ocupat de corp,ν = nr. de moli (Kmoli)

Experimental, se constată că volumul molar al unui gaz ideal, în condiţii normale de presiune şi temperatură (T0=273,15K, p0=101,325KPa) este:

12


0

3322 41 10 mV ,

molµ−= ⋅

- Numărul lui Avogadro reprezintă numărul de entităţi elementare conţinute într-un mol de substanţă.

=ANNν

23 16 022 10A N , mol −= ⋅

Concluzie: între mărimile fizice enumerate există relaţia:

= =A

N mN

νµ

0

V =Vµ

ν numai pentru gaze

1.2. Echilibrul termic. Temperatura. Scări de temperatură

Sistemul termodinamic este orice corp macroscopic sau ansamblu de corpuri microscopice (atomi, molecule) bine delimitat.

Corpurile exterioare, care nu fac parte din sistemul termodinamic considerat, definesc mediul exterior.

Sistemul termodinamic poate fi:- izolat (nu interacţionează şi nu schimbă substanţă cu mediul exterior);- închis (între sistemul termodinamic şi mediul exterior există schimb de energie dar nu şi de

substanţă);- deschis (între sistem şi mediul exterior are loc şi schimb de energie şi de substanţă).Starea sistemului termodinamic reprezintă totalitatea proprietăţilor lui la un moment dat.Parametrii de stare sunt mărimi fizice care descriu starea sistemului termodinamic la un moment dat.Parametrii de stare sunt de două tipuri:- parametrii extensivi, când el este suma parametrilor subsistemelor care alcătuiesc sistemul

termodinamic.Ex: volumul, masa, energia internă.- parametrii intensivi, când parametrii de aceeaşi natură care descriu subsistemele sunt identici.Ex: presiunea, temperatura, densitatea.Starea de echilibru termodinamic este acea stare a unui sistem termodinamic ai cărei parametri de

stare nu se modifică în timp. Două sisteme termodinamice sunt în contact termic, dacă sunt îndeplinite simultan următoarele condiţii:

- ansamblul celor două sisteme este izolat de mediul exterior;- între cele două sisteme termodinamice este posibil schimbul de căldură, dar nu şi de lucru mecanic.Două sau mai multe sisteme termodinamice sunt în echilibru termic dacă, atunci când sunt puse în

contact termic, nu schimbă căldură între ele.Principiul tranzitivităţii echilibrului termic:Dacă sistemele termodinamice A şi B sunt în echilibru termic, iar B este în echilibru termic un al

treilea sistem termodinamic C, atunci sistemele termodinamice A şi C sunt în echilibru termic.Temperatura este mărimea fizică ce caracterizează starea de echilibru termic.Temperatura este un parametru intensiv ce caracterizează gradul de încălzire al corpurilor.Toate sistemele termodinamice aflate în echilibru termic au aceeaşi temperatură. Când se aduc în

contact termic două corpuri cu temperaturi diferite, corpul care are temperatura mai mare va ceda căldură corpului cu temperatura mai mică.

Dispozitivele folosite pentru măsurarea temperaturii se numesc termometre. Orice termometru este caracterizat de o mărime termometrică. Ea poate fi: lungimea unei coloane de lichid, rezistenţa unui rezistor, volumul unui gaz la presiune constantă.

Scara de temperatură reprezintă corespondenţa între valoarea măsurată a mărimii termometrice ce caracterizează un termometru şi valoarea temperaturii indicate de termometru.

În scara Celsius, temperaturile de reper sunt 00C (temperatura de topire a gheţii) şi 1000C (temperatura de fierbere a apei) măsurate la presiune atmosferică normală.

Intervalul respectiv este împărţit în 100 părţi egale, obţinându-se gradul Celsius.[ ] 0

SIt C=13


În scara Kelvin sau scara absolută, punctul zero este limita inferioară 273,15. Temperatura absolută egală cu zero corespunde stării în care ar înceta agitaţia termică a moleculelor (practic nu poate fi atinsă).

În această scară nu există temperaturi negative.[ ] SIT K= (Kelvin)Gradul Kelvin reprezintă 1/273,15 din temperatura stării triple a apei.

( ) ( )T K t C ,= +0 273 15 - corespondenţa între valoarea numerică a temperaturii în scara Celsius şi valoarea numerică a acesteia în scara Kelvin.

Observaţie: T t∆ ∆=

2. PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII

2.1. Lucrul mecanic în termodinamică

Lucrul mecanic în termodinamică reprezintă energia pe care o schimbă sistemul termodinamic cu mediul exterior în cazul în care parametrii de poziţie se modifică.

Într-un proces izobar lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior este:( )

( ) ( )

[ ] ( )

f if i

f i f i

SI

L F d pS x xL p V V

S x x V V

L p VL J Joule

∆

= ⋅ = −⇒ = −

− = −

==

Lucrul mecanic este o mărime fizică de proces, adică o mărime fizică asociată unei transformări. Lucrul mecanic depinde nu numai de stările iniţială şi finală, ci şi de transformarea prin care sistemul termodinamic trece din starea iniţială în starea finală.

Convenţii de semn:- lucrul mecanic „cedat” de sistemul termodinamic asupra mediului exterior se consideră pozitiv:

00f iV V V

L L p V

∆

∆

> ⇒ >⇒ >

=- lucrul mecanic „primit” de sistemul termodinamic din exterior, se consideră negativ:

00f iV V V

L L p V

∆

∆

< ⇒ <⇒ <

=- dacă 0V∆ = , înseamnă că sistemul termodinamic nu face schimb de energie sub formă de lucru

mecanic cu mediul exterior 0L⇒ =

Interpretarea geometrică a lucrului mecanic

p=const. Lucrul mecanic efectuat de gaz pentru a trece din starea 1 în starea 2 este L p V∆= , adică aria cuprinsă între izobara 1,2 şi axa volumelor.

Într-o transformare izotermă lucrul mecanic efectuat de gaz este egal cu aria ABCDS de sub curba p(V).

14


2 2 2

1 1i

V V V

V V V

RT dVL pdV dV RTV V

ν ν= = =∫ ∫ ∫2

1

VL RT lnV

ν=

2.2. Energia internă a unui sistem termodinamic

Energia internă a unui sistem termodinamic este suma dintre energiile cinetice ale tuturor moleculelor din sistem, energiile potenţiale determinate de interacţiunile dintre molecule şi energiile potenţiale datorate interacţiunii moleculelor cu câmpuri de forţe exterioare (gravitaţional, electric, magnetic).

Energia internă este o mărime fizică de stare, ea fiind definită pentru stările de echilibru termodinamic.

Energia internă este o mărime aditivă, adică energia internă a unui sistem termodinamic este egală cu suma energiilor părţilor componente ale sistemului.

Energia internă este funcţie de temperatură:( )

[ ] SI

U U TU J

==

2.3. Căldura

Căldura este energia pe care o schimbă sistemul termodinamic cu mediul exterior, dependentă de diferenţa de temperatură şi de procesul termodinamic.

[ ] SIQ J=Convenţii de semn:- căldura primită de sistemul termodinamic de la mediul exterior se consideră pozitivă.

0pQ >- căldura cedată de sistemul termodinamic mediului exterior se consideră negativă.

0cQ <Căldura este o mărime fizică de proces. Căldura şi lucrul mecanic sunt forme ale schimbului de

energie între sistemul termodinamic şi mediul exterior. Ele nu sunt „forme de energie”.Căldura, ca şi lucrul mecanic, depinde nu numai de starea iniţială şi finală, ci şi de toate stările

intermediare prin care trece sistemul termodinamic considerat.În procesul adiabatic, sistemul termodinamic nu schimbă căldură cu mediul exterior (Q=0).

15


2.4. Principiul I al termodinamicii

Enunţ 1: În orice transformare de stare variaţia energiei interne depinde doar de starea iniţială şi finală a sistemului termodinamic, fiind independentă de stările intermediare prin care trece sistemul.

f iU U U= −∆Enunţ 2: Căldura primită de sistemul termodinamic este egală cu suma dintre variaţia energiei interne

a sistemului şi lucrul mecanic efectuat de către sistem.Q U L= +∆

Acest principiu este considerat legea conservării şi transformării energiei în procesele termodinamice.Observaţii:- dacă sistemul termodinamic este izolat

( )0 0 0 0f iQ ,L U U U∆= = ⇒ = ⇔ − = ⇒

f iU U const.⇒ = = , adică energia internă rămâne constantă;

- dacă sistemul termodinamic efectuează o transformare ciclică ( ) 0f iU U U∆= ⇒ = , atunci Q=L. Aceasta înseamnă că sistemul termodinamic poate efectua lucru mecanic (L>0) numai dacă primeşte căldură din exterior (Q>0) şi poate „primi” lucru mecanic de la mediul exterior numai dacă cedează căldură acestuia (Q<0).

Deci, este imposibilă construirea unui motor care să funcţioneze ciclic ( )0U∆ = fără să primească căldură de la mediul exterior (perpetuum mobile de speţa I);

- dacă nu se face schimb de căldură cu mediul exterior (sistemul termodinamic se află într-un înveliş adiabatic) atunci variaţia energiei interne va fi egală cu lucrul mecanic schimbat de sistem cu mediul exterior ( )U L∆ = − .

2.5. Coeficienţi calorici. Relaţia Robert Mayer

Coeficienţii calorici sunt mărimi fizice care stabilesc legătura între cantitatea de căldură schimbată de un corp şi variaţia temperaturii sale.

Există trei coeficienţi calorici:- Capacitatea calorică este mărimea fizică scalară egală cu căldura schimbată de un corp pentru a-şi

varia temperatura cu un grad.QCT

=∆

[ ] [ ][ ]

SISI

SI

Q J CT K

= =∆

Capacitatea calorică este o caracteristică termică a corpului respectiv.- Căldura specifică este mărimea fizică scalară egală cu căldura necesară unităţii de masă a unui corp

pentru a-şi varia temperatura cu un grad.Qc

m T=

⋅ ∆[ ] [ ]

[ ] [ ]SI

SISISI

Q J cm T Kg K

= =⋅∆

Căldura specifică este o caracteristică termică a materialului din care este alcătuit corpul.C m c= ⋅

- Căldura molară este mărimea fizică scalară egală cu căldura necesară unui mol de substanţă pentru a-şi varia temperatura cu un grad.

QCTµ ν ∆

=⋅

[ ][ ] [ ]

SISI

SISI

Q J CT mol Kµ ν ∆

= = ⋅ ⋅Căldura molară este o caracteristică termică a substanţei.C cµ µ= ⋅

16


Relaţia Robert-Mayer stabileşte legătura dintre căldurile molare sau căldurile specifice ale unui gaz ideal la presiune constantă şi la volum constant.

p vC C R= + sau p vc c R= +Observaţii:- la solide şi lichide v pC C; şi v pc c;

- la gaze p vC C> , şi respectiv p vc c>

Raportul p

v

CC

=γ este numit exponent adiabatic.

3. LEGILE GAZULUI IDEAL3.1. LEGEA TRANSFORMĂRII GENERALE (CLAPEYRON-MENDELEEV)Transformarea generală a unei cantităţi constante de gaz ideal ( )constν = este orice transformare în

care se modifică toţi parametrii de stare (p,V,T).p V p VT T

=1 1 2 2

1 2 este ecuaţia transformării generale ,unde p1, V1, T1 sunt parametrii stării iniţiale, iar p2,

V2, T2 parametrii stării finale.Ecuaţia Clapeyron-Mendeleev stabileşte o relaţie între parametrii de stare ai unei mase constante de

gaz ideal şi mai este denumită şi ecuaţia termică de stare.

pV RT= ν sau = mpV RTµ

0

5 2 3 30

0

1 01356 10 22 4 10273 15

p V , N/m , m / molRT , K

µ−⋅ ⋅ ⋅= = 8 31 JR ,

mol K=

⋅ - constantă reală a gazelor

Dependenţa densităţii de temperatură, presiune şi densitatea sa în condiţii fizice normale.

0 00

0

pmRTVpmpV RTRT

==⇒ ⇒

==

µρρ

µρµ

00

0

=pTp T

ρ ρ

3.2. Legea transformării izoterme (Boyle Mariotte)

Transformarea izotermă a unei cantităţi constante de gaz ideal este orice transformarea în care temperatura se păstrează constantă.

Enunţ: presiunea unei cantităţi constante de gaz ideal, menţinut la temperatură constantă, variază invers proporţional cu volumul gazului.pV const.= sau p V p V=1 1 2 2

Reprezentări grafice

pV=const.1→2 comprimare izotermă3→4 destindere izotermă

T=const.1→2comprimare izotermă3→4destindere izotermă

T=const.1→2 destindere izotermă3→4comprimare izotermă

17


3.3. Legea transformării izobare (Gay-Lussac)

Transformarea izobară a unei cantităţi constante de gaz ideal este orice transformare în care presiunea se păstrează constantă.

Enunţ 1: variaţia relativă a volumului unui gaz menţinut la presiunea constantă este direct proporţională cu temperatura.

0

0

−=

V V tV

α

V0 = volumul gazului la temperatura 00CV = volumul gazului la temperatura tα = coeficient de dilatare izobară (are aceeaşi valoare pentru toate gazele)

11273 15

grad,

α −=

Enunţ 2: Volumul unei cantităţi de gaz ideal menţinut la presiune constantă creşte liniar cu temperatura gazului.

( )0 1= +V V tαEnunţ 3: Într-o transformare izobară , raportul dintre volumul şi temperatura absolută a gazului este

constant.V const.T

= sau 1 2

1 2

=V VT T


p=const.1→2 destindere izobară3→4 comprimare izobară

p=const.1→2 încălzire izobară3→4 răcire izobară

( )

0 1V Vαt= +1→2 încălzire izobară3→4 răcire izobară

V const.T

=

1→2 încălzire izobară3→4 răcire izobară

18


3.4. Legea transformării izocore (Charles)

Transformarea izocoră a unei cantităţi constante de gaz ideal este orice transformare în care volumul se păstrează constant.

Enunţ 1: Variaţia relativă a presiunii unui gaz menţinut la volum constant este direct proporţională cu temperatura.

0

0

−=

p p tp

β

p0 = presiunea gazului la temperatura 00Cp = presiunea gazului la temperatura tβ = coeficient termic al presiunii (are aceeaşi valoare pentru toate gazele)

11273 15

grad,

β α−=

Enunţ 2: Presiunea unei cantităţi constante de gaz ideal menţinut la volum constant creşte liniar cu temperatura.

( )0 1= +p p tβEnunţ 3: Într-o transformare izocoră, raportul dintre presiunea şi temperatura absolută a gazului este

constant.p const.T

= sau 1 2

1 2

=p pT T


V=const.1→2 încălzire izocoră3→4 răcire izocoră

V=const.1→2 încălzire izocoră3→4 răcire izocoră

( )0 1p pβt= +1→2 încălzire izocoră3→4 răcire izocoră

P const.T

=

1→2 încălzire izocoră3→4 răcire izocoră

19


3.5. Transformarea adiabată – ecuaţia Poisson

Transformarea adiabată este transformarea în care sistemul termodinamic nu schimbă căldură cu mediul exterior.

Sistemul termodinamic trebuie să fie izolat termic de mediul exterior printr-un înveliş adiabatic.Când procesele termodinamice se produc rapid, ele pot fi considerate procese adiabate.Ecuaţia Poisson, care descrie transformarea adiabată, are trei forme:pV const.γ = sau 1 1 2 2=pV p Vγ γ

1TV const.γ − = sau 1 11 1 2 2

− −=TV T Vγ γ

1

Tp const.γ

γ−

= sau1 1

1 1 2 2

− −

=T p T pγ γ

γ γ

- panta adiabatei este mai mare decât a izotermei.

4. APLICAREA PRINCIPIULUI I AL TERMODINAMICII LA TRANSFORMĂRILE GAZULUI IDEAL

4.1. Energia internă a gazului ideal (monoatomic, biatomic, poliatomic)

( )=U U TAdică, energia internă a unui gaz ideal, depinde numai de temperatura gazului fiind independentă de

presiunea şi volumul său.= vU C Tν - ecuaţia calorică de stare a gazului ideal

Pentru gazul monoatomic:

33 5 2

32 22

v p

U R TR RC ,CU p V

∆ ν ∆

∆ ∆

== = ⇒

=

Pentru gazul biatomic:5

5 7 252 22

v p

U R TR RC ,CU p V

∆ ν ∆

∆ ∆

== = ⇒

=

20


Pentru gazul poliatomic:6

6 8 262 22

v p

U R TC R, C R

U p V

∆ ν ∆

∆ ∆

== = ⇒

=

4.2. Aplicaţii ale principiului I la transformările simple ale gazului ideal

Transformarea izocorăV=const.

0

v

LU C T

Q U∆ ν ∆

∆

==

=

Transformarea izobarăp=const.

v

p

L p V R TU C T

Q C T

∆ ν ∆∆ ν ∆

ν ∆

= ==

=

Transformarea izotermăT=const.

2 1

1 2

0UV pL RT ln RT lnV p

Q L

∆

ν ν

=

= =

=

Transformarea adiabată

0

v

QU C T

L U∆ ν ∆

∆

==

= −

Observaţie: În rezolvarea problemelor, pentru calcularea celei de-a treia mărimi (Q, L, ΔU) se va ţine cont de principiul I al termodinamicii:Q U L∆= +

5. MOTOARE TERMICE

5.1. Randamentul unui motor termic

Motorul termic este o instalaţie care transformă căldura primită, rezultată în urma arderii unui combustibil, în lucru mecanic util.

Mărimea fizică ce caracterizează un motor termic este randamentul.

p

LQ

η = sau 1p c c

p p

Q Q QQ Q

η−

= = −

Randamentul nu are unitate de măsură (este o mărime fizică adimensională).1η <

Motorul termic absoarbe căldură de la o sursă cu temperatura mai ridicată, efectuează lucru mecanic şi cedează căldură unei alte surse, aflată la o temperatură mai scăzută.

Acest tip de transformare în care sistemul termodinamic schimbă căldură cu două termostate de temperaturi diferite se numeşte transformarea bitermă.

21


5.2. Motorul Otto (motorul cu aprindere prin scânteie)

Motorul Otto foloseşte drept combustibil amestecul de vapori de benzină şi aer.Funcţionează în patru timpi:- timpul 1 (admisia)- timpul 2 (compresia)- timpul 3 (aprinderea şi detenta)- timpul 4 (evacuarea)Ciclul de funcţionare este format din două adiabate (1→2, 3→4) şi două izocore (2→3 şi 4→1).

Fluidul de răcire primeşte căldură în transformarea 2→3 şi cedează căldură în transformarea 4→1. În transformările 1→2 şi 3→4 nu face schimb de căldură deoarece acestea sunt adiabate.

Randamentul motorului Otto poate fi exprimat în funcţie de raportul de compresie.1

2

VV

ε=

( )( )

4 1 4 1 4 1

2 3 3 2 3 2

1 1 1v

v

Q C T T T TQ C T T T T

νη

ν→

→

− −= − = − = −− −

Ecuaţiile adiabatelor 1→2 şi 3→4 sunt: 1

1 1 111 1 2 2 2 1 2 1

2

VTV T V T T T TV

γγ γ γε

−− − − = ⇒ = ⇒ =

1 1

4 4 3 31 1 1

4 1 4 1 3 2 3 4

3 2

T V T VV V T V T V T TV V

γ γ

γ γ γε

− −

− − −

== ⇒ = ⇒ ==

( )4 1

14 1

1 T TT T−

−⇒ = − ⇒−γη

ε −= −0 1

11 γηε

22


5.3. Motorul Diesel (motorul cu aprindere prin compresie)

Motorul Diesel foloseşte drept combustibil motorină care este pulverizată lent cu ajutorul pompei de injecţie.

Funcţionează tot în patru timpi, dar spre deosebire de motorul Otto, unde aprinderea amestecului carburant are loc datorită scânteii produse de bujie, la motorul Diesel aprinderea se produce datorită compresiei puternice (p≈50 atm) când temperatura atinge valori de ordinul 8000C.

Ciclul de funcţionare este format din două adiabate (1→2 şi 3→4), o izobară (2→3) şi o izocoră (4→1).

Fluidul de răcire primeşte căldură în transformarea 2→3 şi cedează căldură în transformarea 4→1. În transformările 1→2 şi 3→4 nu face schimb de căldură deoarece acestea sunt adiabate.

Randamentul motorului Diesel poate fi exprimat în funcţie de rapoartele de compresie:1

2 3

3 1

2

VEV VV VV

ρερ

=⇒ =

=

( )( )

4 1 4 1

2 3 3 2

1 1 v

p

Q C T TQ C T T

νη

ν→

→

−= − = −

−p

v

CC

γ =

1 1 11 1 2 2 2 1

13 323 2 3 1

2 3 2

3

2

1 2

2 3

: TV T V T TV VV: T T T T

T T VV V

γ γ γ

γ

ε

ε ρ

ρε

− − −

−

→ = ⇒ =

→ = ⇒ = ⇒ = ⋅ ⋅

=

11 13 3 4 4 3

4 314 1

11

4 1 1

3 4 : T V T V VT TV V V

T T T

γγ γ

γγ γρε ρ ρ

ε

−− −

−−

→ = ⇒ = =

= =

( )1

111

1

−

−= − ⋅−

γ

γ

ρηγ ε ρ

Observaţie: Atât la motorul Otto cât şi la motorul Diesel singurul timp în care se produce lucru mecanic util este timpul 3.

23


C. PRODUCEREA ŞI UTILIZAREA CURENTULUI CONTINUU

1. CURENTUL ELECTRIC. INTENSITATEA CURENTULUI ELECTRICCurentul electric este fenomenul fizic care constă în mişcarea dirijată a purtătorilor de sarcină

electrică sub acţiunea unui câmp electric.Purtătorii de sarcină electrică liberi sunt:

- în metale – electronii;- în electroliţi – ionii pozitivi şi cei negativi;- în semiconductoare – electronii şi golurile;- în gazele ionizate – electronii şi ionii pozitivi ce apar în urma proceselor de ionizare.Curentul electric poate fi:- staţionar, când viteza mişcării ordonate a purtătorilor de sarcină (10-5 m/s) este constantă în timp;- continuu, când viteza medie a purtătorilor de sarcină este constantă în timp;- alternativ, în caz contrar.Generatoarele electrice sunt dispozitive care produc curent electric într-un circuit.Generatorul electric nu creează purtători de sarcină electrică liberi. El transformă o formă oarecare de

energie în energie electrică.Simbolul generatorului electric:

Generatorul electric se mai numeşte şi sursă de tensiune electromotoare.Circuitul electric este ansamblul format din generator electric, conductoare de legătură şi unul sau mai

mulţi consumatori.Circuitul electric este format din:- circuitul interior sau interiorul sursei electrice;- circuitul exterior care cuprinde conductoarele de legătură şi consumatori.Sensul convenţional al curentului electric este:- în circuitul exterior, curentul circulă de la borna pozitivă a generatorului electric la cea negativă;- prin generator, curentul circulă de la borna negativă la cea pozitivă (sensul real al purtătorilor de

sarcină negativă).Intensitatea curentului electric este mărimea fizică scalară numeric egală cu raportul dintre sarcina

electrică ce străbate o secţiune transversală oarecare a conductorului şi intervalul de timp.QIΔt

=

[ ] [ ][ ]

SISI

SI

Q CI AΔt s

= = = (Amper)

Amperul este unitate de măsură fundamentală.Intensitatea curentului electric este mărime fizică fundamentală.Instrumentul cu care se măsoară intensitatea curentului electric se numeşte ampermetru. Acesta se

montează în serie cu elementul de circuit pentru care trebuie măsurată intensitatea curentului electric:

2. TENSIUNEA ELECTRICĂ. TENSIUNEA ELECTROMOTOARETensiunea electrică între două puncte A şi B ale unui circuit este mărimea fizică scalară numeric

egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului electric pentru a deplasa purtătorii de sarcină liberi între acele puncte şi sarcina electrică a acestora.

ABAB

LUq

=

24


Unitatea de măsură în Sistemul Internaţional este:

[ ] [ ][ ]

SISI

SI

L JU Vq C

= = = (Volt)

Tensiunea electromotoare (t.e.m.) a unui generator este mărimea fizică scalară, specifică acestuia, numeric egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea purtătorilor de sarcină electrică de-a lungul întregului circuit şi sarcina electrică a acestuia:

totLE

q=

tot ext intL L L= +Lext=lucrul mecanic efectuat de sursă pentru a deplasa sarcina q în circuitul exterior.Lint=lucrul mecanic efectuat de sursă pentru a deplasa sarcina q în interiorul

sursei.extLUq

= - căderea de tensiunea pe circuitul exterior sursei electrice.

intLu

q= - căderea de tensiune în interiorul sursei electrice.

E U u= + - bilanţul tensiunilorTensiunea electromotoare şi tensiunea electrică se măsoară cu voltmetrul. Acesta se montează în

paralel cu elementul de circuit la bornele căruia vrem să determinăm tensiunea.

3. REZISTENŢA ELECTRICĂ. REZISTIVITATEA ELECTRICĂSarcinile electrice, aflate în mişcare printr-un circuit, întâmpină o rezistenţă datorită faptului că unele

sunt transportate de particule electrice (de exemplu, electronii în conductorii metalici, ionii în electroliţi) care se ciocnesc de alte particule componente ale conductorului pierzând energie. Mărimea fizică care caracterizează pierderea de energie este rezistenţa electrică.

Rezistenţa electrică a unui conductor este mărimea fizică, specifică lui, numeric egală cu raportul dintre tensiunea electrică aplicată la capetele conductorului şi intensitatea curentului electric care îl străbate.

URI

= - formula de definiţie

[ ] [ ][ ]

SISI

SI

U VRΩI m

= = = (Ohm)

Elementul fizic caracterizat în principal de rezistenţa electrică se numeşte rezistor.

- simbolul rezistorului

La conductorii metalici, rezistenţa electrică depinde de structura internă şi dimensiunile conductorului:lRρS

=

ρ =rezistivitatea electricăl = lungimeaS =aria secţiunii transversale

[ ] [ ] [ ][ ]SI SI

SISI

R Sρ Ω ml

= = ⋅

Rezistivitatea ρ nu depinde de dimensiunile firului conductor, ci numai de natura materialului din care este confecţionat acesta.

25


Dependenţa rezistivităţii electrice de temperatură este liniară:

( )ρ ρ αt= +0 1

ρ =rezistivitatea electrică la temperatura t;0ρ =rezistivitatea electrică la temperatură de 00C;

α =coeficientul de temperatură al rezistivităţii; acesta are valori specifice fiecărei substanţe şi unitatea de măsură: [ ] 1

SIα grad −=Rezistenţa electrică a conductorului depinde liniar de temperatură:

( )R Rαt= +0 1

0R =rezistenţa la 00CR =rezistenţa la temperatura tα =coeficientul termic al rezistenţei

[ ] 1SIα grad −=

4. LEGILE LUI OHMLegea lui Ohm pentru o porţiune de circuit

UIR

=

Enunţ: Intensitatea curentului electric care trece printr-un rezistor este direct proporţională cu tensiunea electrică aplicată la capetele acestuia şi invers proporţională cu rezistenţa sa electrică.

⇒ intensitatea curentului electric ce străbate un rezistor este funcţie liniară de tensiunea electrică aplicată la capetele lui

Graficul I=f(U) se numeşte caracteristica curent-tensiune a rezistorului:

Legea lui Ohm pentru un circuit simpluR = rezistenţa rezistoruluir = rezistenţa internă a sursei

E U uU IRu Ir

= += ⇒

=

EIR r

=+

Enunţ: Intensitatea curentului electric dintr-un circuit simplu este egală cu raportul dintre tensiunea electromotoare a sursei şi rezistenţa totală a circuitului.

Observaţii:- dacă sursa nu este în sarcină (nu este legată la circuitul exterior), tensiunea la bornele ei este:

u E=- dacă sursa este în sarcină, tensiunea la bornele ei este:

26


U E Ir= −- dacă sursa este în scurtcircuit (R=0), atunci:

0 SCEU Ir

= ⇒ =

5. LEGILE LUI KIRCHHOFFCircuitele electrice cu mai multe ramificaţii se numesc reţele electrice.Elementele unei reţele electrice sunt:- nodul: punctul în care se întâlnesc cel puţin trei conductoare;- latura sau ramura: porţiunea de circuit cuprinsă între două noduri succesive;- ochiul de reţea: conturul poligonal închis format din succesiunea mai multor laturi.Legea I a lui Kirchhoff se referă la nodurile de reţea şi este o consecinţă a legii conservării sarcinii

electrice.intră în nod iese din nod

1 2 3 4

31 2 4

1 2 3 4

q qq q q q /:Δt

qq q qΔt Δt Δt ΔtI I I I

=+ = +

+ = +

+ = +

1 1

n m

i ,int k ,iesi k

I I= =

=∑ ∑Enunţ: suma intensităţilor curenţilor electrici care intră într-un nod este egală cu suma intensităţilor

curenţilor electrici care ies din acel nod.n

ii

I=

=∑1

0

sauSuma algebrică a intensităţilor curenţilor electrici care se întâlnesc într-un nod de reţea este zero.ConvenţieI>0 dacă sensul curentului electric intră în nod.I<0 dacă sensul curentului electric iese din nod.

Legea a II-a a lui Kirchhoff se referă la ochiurile de reţea şi este o consecinţă a legii conservării energiei.

m n

k i ik i

E I R= =

=∑ ∑1 1

Enunţ: De-a lungul conturului unui ochi de reţea, suma algebrică a tensiunilor electromotoare este egală cu suma algebrică a produselor dintre intensitatea curentului electric şi rezistenţa totală pentru fiecare latură (căderile de tensiune).

Pentru aplicarea acestei legi este necesar să se aleagă mai întâi un sens arbitrar de parcurs pentru fiecare ochi de reţea. La scrierea ecuaţiilor se folosesc următoarele convenţii de semn:

1. t.e.m. se consideră pozitivă (E>0) dacă sensul de parcurs ales pentru ochi străbate sursa în sens direct (de la borna negativă la cea pozitivă); în caz contrar t.e.m. se ia cu semnul minus (E<0).

2. Produsul IR se consideră pozitiv (IR>0) atunci când sensul de parcurs pentru ochi coincide cu sensul ales pentru curentul electric din latura respectivă; în caz contrar IR<0.

27


6. GRUPAREA REZISTOARELORa) Gruparea în serieÎntr-o grupare serie, intensitatea curentului care trece prin rezistoare este aceeaşi.

1 2 nU U U ... U= + + +Înlocuind tensiunile din legea lui Ohm

1 2S nIR IR IR ... IR /:I⇒ = + + +n

s ii

R R=

= ∑1

Dacă rezistenţele sunt identice: 1 2 nR R ... R R= = = =

sR nR=

Observaţie:Gruparea în serie se practică atunci când dorim obţinerea unei rezistenţe echivalente mai mare decât

cele pe care le avem la dispoziţie.b) Gruparea în paralelÎntr-o grupare în paralel, tensiunea la bornele tuturor rezistenţelor este aceeaşi.

Aplicăm legea I a lui Kirchhoff:1 2 nI I I ... I= + + +

Înlocuind intensităţile din legea lui Ohm

1 2p n

U U U U... /:UR R R R

⇒ = + + +

1 2

1 1 1 1

p n

...R R R R

= + + +

n

ip iR R== ∑

1

1 1

Dacă rezistenţele sunt identice: 1 2 nR R ... R R= = = =

pRRn

=

Observaţie:Gruparea în paralel se practică atunci când dorim obţinerea unei rezistenţe echivalente mai mică decât

cele pe care le avem la dispoziţie.

28


7. GRUPAREA GENERATOARELOR ELECTRICEa) Gruparea în serieSe realizează legând borna pozitivă a unui generator cu borna negativă a generatorului următor şi, în

final, grupul de generatoare are ca pol pozitiv borna pozitivă a primului generator, iar ca pol negativ – borna negativă a ultimului generator:

Pentru o grupare serie de n generatoare identice (aceeaşi E şi r), conform legii a II-a a lui Kirchhoff şi legii lui Ohm putem scrie:

echiv echiv

nE nIr IRE Ir IR

= +⇒

= +

e

e

s

E nEr nr

nEIR nr

==

=+

b) Gruparea în paralelSe realizează legând bornele pozitive ale acestora împreună, respectiv cele negative

împreună.Pentru o grupare în paralel de n generatoare identice, conform legilor lui Kirchhoff

şi legii lui Ohm pentru circuitul echivalent putem scrie:

'

'

echiv echiv

I nI rE I RnE I r IR

E Ir R

=⇒ = +

⇒= += +

e

e

p

E Errn

EI rRn

=

=

=+

8. ŞUNTUL AMPERMETRULUI ŞI REZISTENŢA ADIŢIONALĂ A VOLTMETRULUIa) Şuntul ampermetruluiAmpermetrul montat în serie măsoară intensitatea curentului ce trece prin el, deci rezistenţa internă a

lui trebuie să fie foarte mică, pentru ca eroarea de măsurare să fie mică.Dacă AR R> , se montează în paralel cu ampermetrul o rezistenţă numită rezistenţă şunt, care are

rolul de a micşora rezistenţa internă echivalentă a aparatului şi deci, de a-i mări domeniul de măsurare.

Aplicând legile lui Kirchhoff, putem scrie:A S

A A S S

A

I I II R I RI nI

= += ⇒

=

AS

RRn

=− 1

unde A

InI

=

b) Rezistenţa adiţională a voltmetruluiVoltmetrul montat în paralel între două puncte din circuit, măsoară tensiunea electrică sau diferenţa de

potenţial dintre aceste două puncte. Rezistenţa lui internă trebuie să fie foarte mare, astfel încât curentul ce trece prin voltmetru să fie neglijabil comparativ cu intensitatea curentului care trece prin circuit între cele două puncte.

29


Dacă tensiunea de măsurat U este mai mare decât tensiunea maximă Uv pe care o poate măsura voltmetrul, adică U=nUv se leagă în serie cu acesta o rezistenţă adiţională Ra care are rolul de a creşte rezistenţa şi deci, de a-i mări domeniul de măsurare.

( )1va v

v a

a v a

v v v

U nUU n U

U U U U I R U I R

=⇒ = −

= += ⇒=

( )a vR R n= − 1

unde v

UuU

=

9. EFECTUL TERMIC AL CURENTULUI ELECTRIC. LEGEA LUI JOULEEfectul termic al curentului electric sau efectul Joule constă în încălzirea conductoarelor prin care

trece curent electric.Acest efect se explică astfel: electronii de conducţie se ciocnesc de ionii reţelei cărora le cedează o

parte din energia lor cinetică. Drept urmare, ionii îşi intensifică agitaţia termică, fapt care conduce la ridicarea temperaturii conductorului. Acesta va ceda căldură mediului înconjurător şi în felul acesta energia internă a conductorului se păstrează constantă.

Legea lui Joule:W UIΔtW QU RI

== ⇒=

UQ UIΔt Δt RI ΔtR

= = =2

2

Enunţ: Căldura degajată la trecerea curentului electric printr-un conductor este direct proporţională cu rezistenţa conductorului, cu pătratul intensităţii curentului care trece prin conductor şi cu timpul cât trece curentul electric prin conductor.

Observaţie:tot ext intW W W= + - energia furnizată de generatorul electric

22

extUW UIΔt Δt RI ΔtR

= = = - energia furnizată circuitului exterior

22

intuW uIΔt Δt rI Δtr

= = = - energia furnizată circuitului interior

[ ] SIW J= (Joule) 61 3 6 10KWh , J= ⋅

30


10. PUTEREA ELECTRICĂ. RANDAMENTUL CIRCUITULUI ELECTRICPuterea electrică este mărimea fizică scalară egală cu energia electrică dezvoltată în unitatea de timp.

WPΔt

=

[ ] SIJP Ws

= = (Watt)2

2 UP UI RIR

= = = - puterea electrică disipată pe un rezistor

totP EI= - puterea furnizată de generatorul electric2

2ext

UP UI RIR

= = = - puterea disipată în circuitul exterior

22

intuP uI rIR

= = = - puterea disipată în circuitul interior

tot ext intP P P= + - bilanţul puterilor

Randamentul circuitului electric (η) reprezintă raportul dintre puterea debitată pe circuitul exterior şi puterea pe întrec circuitul.

ext

tot

PηP

= UηE

= RηR r

=+

Pext este cea care conduce la încălzirea corpurilor. De aceea se mai numeşte putere utilă.Cazuri:- pentru rezistenţa circuitului exterior foarte mare ( ) 1Rη→ ∞ ⇒ ; - cea mai mare valoare- pentru R=r generatorul va transmite circuitului exterior puterea maximă:

( )

2 2 22

2 2

2 2

4 4 50

2

ext

tot

E rE EP RI Rr rR r η %

E EP EIR r r

= = = =+ ⇒ =

= = =+

- pentru R=0 ⇒ generator în scurtcircuit 2

totEPr

=

31


D. OPTICA

1. OPTICA GEOMETRICĂ

1.1. Consideraţii despre lumină

Lumina este o undă de natură electromagnetică caracterizată de:- perioada T: intervalul de timp în care se efectuează o oscilaţie completă[ ] SIT s=- frecvenţa de oscilaţie ν : numărul de oscilaţii efectuate în unitatea de timp

[ ] 11 1SIν ν s Hz

T s−= ⇒ = = = (Hertz)

- lungimea de undă λ : distanţa parcursă de undă în timp de o perioadă

sau Vλ vT λν

= =

Observaţii:- frecvenţa undei nu poate fi modificată de fenomenele de propagare, reflexie, refracţie, interferenţă

etc., ea fiind o caracteristică imprimată de sursa emiţătoare;- lungimea de undă a unei radiaţii luminoase este dependentă de mediul de propagare, prin viteza sa.

1.2. Indicele de refracţie

Este definit de proprietăţile electrice şi magnetice ale mediului în care se propagă lumina.

r rnε μ=Indicele de refracţie al unui mediu reprezintă raportul dintre viteza de propagare a luminii în vid şi

viteza de propagare a luminii în mediul respectiv.cnv

=

Este adimensional (nu are unitate de măsură)

Ex: - pentru apă: ( )4 1 333

n ,= =

- pentru diamant: n=2,42Pentru două medii diferite, se poate defini indicele de refracţie relativ al mediului 2 faţă de mediul 1.

221

1 121 1

2122

nnn vn λnvcn λ

v λ vT

=⇒ =

⇒ ==

=

32


1.3. Reflexia şi refracţia luminii

Reflexia luminii este fenomenul optic care constă în întoarcerea parţială a razei de lumină în mediul din care a venit atunci când întâlneşte suprafaţa de separaţie dintre două medii optice diferite.

Legile reflexiei:1. Raza incidentă (SI), raza reflectată (IR) şi normala dusă în punctul de incidenţă (NI) sunt coplanare.2. Unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie.

'i i=Precizare:- i este unghiul format de raza incidentă cu normala dusă în punctul de incidenţă;- i’ este unghiul format de raza reflectată cu normala dusă în punctul de incidenţă.Observaţie: la incidenţa normală ( )0 0'i i= ⇒ = , adică raza de lumină se întoarce pe acelaşi drum.

Refracţia luminii este fenomenul optic care constă în schimbarea bruscă a direcţiei de propagare a razei de lumină atunci când aceasta traversează suprafaţa de separaţie dintre două medii optice diferite.

r este unghiul format de raza refractată cu normala dusă în punctul de incidenţă.

Legile refracţiei:1. Raza incidentă (SI), raza refractată (IR’) şi normala dusă la suprafaţă în punctul de incidenţă (N’I)

sunt coplanare.2. Raportul dintre sinusul unghiului de incidenţă şi sinusul unghiului de refracţie este egal cu o

constantă caracteristică celor două medii numită indice de refracţie relativ al mediului doi faţă de primul mediu.

221

1

nsin i nsinr n

= = sau n sin i n sin r=1 2

33


Cazuri:- la incidenţă normală 0 0i r= ⇒ = , adică raza de lumină trece prin suprafaţa de separaţie nedeviată;

- atunci când lumina trece într-un mediu mai refringent ( )2 1n n> , raza de lumină se apropie de normală ( )r i< ;

- atunci când lumina trece într-un mediu mai puţin refringent ( )2 1n n< , raza refractată se depărtează de normală ( )r i> .

Reflexia şi refracţia luminii sunt două fenomene care se produc simultan: o parte din energia transportată de unda incidentă se întoarce în primul mediu, iar cealaltă parte pătrunde în mediul al doilea.

Excepţie face reflexia totală când lumina nu mai pătrunde în cel de-al doilea mediu.

Pentru i l≤ , sunt posibile ambele fenomene.

34


Pentru i l> , singurul fenomen posibil este reflexia totală.Unghiul limită (l) este unghiul minim de incidenţă în mediul mai dens, corespunzător căruia apare

fenomenul de reflexie totală.

2

1

12 2π πr sin

nsinisin r ni l

= ⇒ =

= ⇒

→

nsin ln

= 2

1

În cazul în care lumina trece din sticlă ( )1 1 5n ,= în aer ( )2 1n = , 01 0 66 41 501 5

'sin l , l,

= = ⇒ =

1.4. Punctele conjugate

Raza de lumină este direcţia de-a lungul căreia se propagă lumina.Fasciculul de lumină este un ansamblu de raze de lumină.Fasciculele de lumină pot fi:- paralele

- convergente

- divergente

Punctul obiect este vârful fasciculului conic de intrare în sistemul optic.Punctul imagine este vârful fasciculului conic de ieşire din sistemul optic.Imaginea unui obiect reprezintă mulţimea punctelor imagine corespunzătoare punctelor obiect.Funcţia ideală a unui sistem optic sau a instrumentelor optice care formează imagini este ca fiecărui

punct obiect I să-i corespundă un singur punct imagine I’.Punctele I şi I’ se numesc puncte conjugate ale sistemului optic considerat.

1.5. Fascicule paraxiale

Fasciculele paraxiale sunt fascicule înguste, învecinate axului optic şi foarte puţin înclinate faţă de acesta. ( )06α < .

Datorită acestor restricţii, fasciculele incidente pot fi confundate cu axul optic şi de aceea se mai numesc paraxiale.

1.6. Imagini reale. Imagini virtuale.

Imaginea reală se formează la intersecţia razelor reale de lumină.Imaginile reale pot fi „prinse” pe un ecran, deoarece energia luminoasă trece de fapt prin punctul

imagine.Imaginea virtuală se formează la intersecţia prelungirilor razelor reale de lumină.

35


Imaginile virtuale nu pot fi „prinse” pe ecran, deoarece nu constau dintr-o „acumulare” efectivă de energie luminoasă.

De asemenea, se consideră imaginea din dreapta – imagine reală (spaţiul imagine) şi imaginea virtuală în stânga (spaţiul obiect).

1.7. Lentila optică

Suprafaţa de separare dintre două medii optice transparente, cu indicii de refracţie diferiţi, se numeşte dioptru.

Lentila este un mediu transparent, limitat de doi dioptri sferici sau de un dioptru sferic şi unul plan.Lentila este considerată subţire atunci când:- are grosimea mult mai mică decât razele de curbură ale

suprafeţelor sale şi vârfurile celor doi dioptri practic coincid cu centrul optic al lentilei (0).

Tipuri de lentile:Există două tipuri de lentile:- lentile convergente, care transformă un fascicul de raze paralele într-un fascicul convergent. Ele sunt

mai groase la mijloc decât la margini.

- lentile divergente, care transformă un fascicul de raze paralele într-un fascicul divergent. Ele sunt mai subţiri la mijloc decât la margini.

Observaţie:Plasate într-un mediu cu indicele de refracţie mai mare decât al materialului lentilei ( )M Ln n> ,

lentilele cu margini subţiri/groase sunt divergente, respectiv convergente.Focarele lentilei

36


- Focarul imagine F2 este punctul în care se strâng razele paralele cu axa optică principală după ce au fost refractate de lentilă.

- Focarul obiect F1 este punctul de pe axa optică a cărui imagine se formează la infinit.

În cazul lentilelor convergente, focarele sunt reale deoarece se găsesc la intersecţia razelor reale de lumină, iar în cazul lentilelor divergente focarele sunt virtuale deoarece se găsesc la intersecţia prelungirilor razelor reale de lumină.

Formula fundamentală a lentilelor subţiri

( )nx x R R

− = − − 2 1 1 2

1 1 1 11

x1 – coordonata obiectului, originea fiind pe lentilăx1<0 în cazul obiectelor reale, deoarece sensul pozitiv al axelor de coordonate este sensul de propagare

a luminiix2 – coordonata imaginii.

L

M

nnn

=

nL – indicele de refracţie al materialului din care este confecţionată lentila.nM – indicele de refracţie al mediului în care este plasată lentila.R1, R2 – coordonatele centrilor de curbură ale celor doi dioptrii, valoarea lor absolută fiind razele de

curbură.

Pentru dioptrul plan 1 0RR

→ ∞ → →

Focarul obiect şi focarul imagine sunt situate simetric, de o parte şi de alta a lentilei.

( )nf R R

= − − 1 2

1 1 11

Folosind această relaţie, formula fundamentală a lentilelor subţiri poate fi scrisă sub forma:

x x f− =

2 1

1 1 1

37


Lentila biconvexă ale cărei feţe au aceeaşi rază de curbură R (lentila simetrică):

( )nf R

= −1 21

Lentila plan-convexă:

( )nf R

= −1 11

Lentila biconcavă:

( )nf R

= − − 1 21

Lentila plan-concavă:

( )nf R

= − − 1 11

Convergenţa lentilei:

Cf

= 1

[ ][ ]

[ ] 11 1SI SI

SI

C C mδf m

−= ⇒ = = = (dioptrie)

Observaţii:- pentru lentilele convergente: 0 0f C> ⇒ >- pentru lentilele divergente: 0 0f C< ⇒ <Mărirea liniară transversală:

y xβy x

= =2 2

1 1

y1 – dimensiunea liniară a obiectuluiy2 – dimensiunea liniară a imaginiiImaginile formate de lentile pot fi:- imagini reale, se formează de cealaltă parte a lentilei (x2>0 şi x1<0) şi sunt răsturnateβ < 0- imagini virtuale, se formează de aceeaşi parte cu obiectul (x2<0 şi x1<0) şi sunt drepteβ < 0

1.8. Sisteme de lentile

Sunt asociaţii de lentile cu ax optic comun. Imaginea formată de prima lentilă devine obiect pentru lentila următoare şi aşa mai departe până la ultima lentilă care formează imaginea finală.

Cel mai utilizat sistem este sistemul lentilelor alipite (alocate), când distanţa dintre lentilele componente este practic nulă (d=0) iar centrele lor optice sunt practic confundate.

Pentru un sistem format din K lentile:

K

...F f f f

= + + +1 2

1 1 1 1

KC C C ... C= + + +1 2

Adică, suma convergenţelor lentilelor care alcătuiesc sistemul este egală cu convergenţa sistemului.Kβ β β ... β= ⋅ ⋅ ⋅1 2

Adică, mărirea liniară transversală a sistemului este egală cu produsul măririlor transversale ale componentelor.

Sistemul telescopic este un sistem afocal, adică fasciculul de ieşire, provenit dintr-un fascicul paralel, este paralel.

În cazul sistemului format din două lentile, focarul imagine al primei lentile coincide cu focarul obiect al cele de-a doua lentilă.

38


Distanţa dintre lentile este 1 2d f f= + . telescopicfβf

= − 2

1

Nu poate avea în componenţă doar lentile divergente, iar imaginea este răsturnată numai atunci când are în componenţă doar lentile convergente.

2. ELEMENTE DE FIZICĂ CUANTICĂ

2.1. Efectul fotoelectric extern

Efectul fotoelectric extern este fenomenul care constă în emisia de electroni de către unele metale aflate sub acţiunea radiaţiilor electromagnetice de anumite frecvenţe.

Efectul fotoelectric a fost descoperit experimental de către H. Hertz în anul 1887 şi se produce cu respectarea a patru legi:

Legea I: Intensitatea curentului fotoelectric de saturaţie este direct proporţională cu fluxul radiaţiilor electromagnetice incidente, când frecvenţa se păstrează constantă.

Legea II: Energia cinetică a fotoelectronilor emişi creşte liniar cu frecvenţa radiaţiilor electromagnetice şi nu depinde de fluxul acestora.

Ilustrarea primei legi a efectului fotoelectric extern:

3 2 1 3 2 1S S SΦ Φ Φ I I I> > ⇒ > >

Dependenţa liniară a energiei cinetică a electronilor de frecvenţa radiaţiei incidente

Legea a III-a: Efectul fotoelectric extern se produce numai dacă frecvenţa radiaţiei incidente este mai mare sau cel puţin egală cu o valoare minimă 0ν , numită frecvenţă de prag (pragul roşul al efectului fotoelectric), specifică fiecărei substanţe.

39


Legea a IV-a: Efectul fotoelectric extern se produce practic instantaneu. (t<10-9s)

2.2. Ipoteza lui Planck. Ipoteza lui Einstein. Ecuaţia lui Einstein.

În anul 1900, M. Planck a emis următoarea ipoteză cu privire la atomii care emit sau absorb radiaţii: emisia sau absorbţia de energie nu este continuă, ci se face sub formă de pachete (cuante) de energie.

Energia unui atom sau a unei molecule poate să crească în cazul absorbţiei sau să scadă în cazul emisie numai cu cantitatea.

k iε hν E E= = −346 626 10h , J s−= ⋅ ⋅ - constanta lui Planck

(constantă universală)ν - frecvenţa fotonului emis sau absorbit

k iE ,E - energiile stărilor între care are loc tranziţia oscilatoruluiÎn anul 1905, A. Einstein aplica teoria lui Planck şi în cazul luminii, considerând că lumina poate fi

emisă sau absorbită numai în cantităţi bine determinate numite cuante de energie. Particula care posedă energia unei cuante a primit numele de foton. Fotonul are următoarele mărimi caracteristice:

- energia: ε hν=- masa de repaus: 0 0m =

- masa de mişcare: 2

hνmc

=

- viteza: v c=

- impulsul: hν hpcλ

= =

- sarcina electrică: 0q =Aplicând legea conservării energiei, în cazul efectului fotoelectric putem scrie:

foton extracţie c maxE E E= +Această ecuaţie se mai numeşte ecuaţia lui Einstein.hν - energia absorbită de electron de la foton

2

2mv - energia cinetică a fotoelectronului extras

L - lucrul mecanic de extracţie, adică lucrul mecanic minim necesar extragerii electronului din metal.

2.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern

Teoria cuantelor permite explicarea legilor efectului fotoelectric extern.Legea I: Fiecare foton extrage un electron din metal, deci numărul de fotoelectroni emişi de metal este

proporţional cu numărul de fotoni, deci cu fluxul radiaţiilor.Legea a II-a: Viteza electronilor emişi depinde de energia fotonilor şi nu de numărul acestora.Legea a III-a: Cu cât energia comunicată electronului de către foton este mai mare, cu atât viteza

maximă, şi deci şi energia cinetică maximă a lui, va fi mai mare.Pentru 0ν (frecvenţă de prag) energia fotoelectronului este nulă, iar pentru 0ν ν< nu apare efectul

fotoelectric extern.Legea a IV-a: Interacţiunea foton-electron fiind foarte scurtă, efectul fotoelectric extern se produce

practic instantaneu.

40


CUPRINSA. MECANICA..........................................................................................................................................................................11. CINEMATICA................................................................................................................................................................1

1.1. Noţiuni cinematice de bază.......................................................................................................................................11.2. Viteza. Vectorul viteză...............................................................................................................................................11.3. Acceleraţia. Vectorul acceleraţie..............................................................................................................................2

2. DINAMICA.............................................................................................................................................................................32.1. Principiile mecanicii newtoniene..............................................................................................................................3Principiul inerţiei - Principiul I.......................................................................................................................................32.2. Tipuri de forţe............................................................................................................................................................42.3. Mişcarea pe planul înclinat.......................................................................................................................................5

3. LUCRUL MECANIC ENERGIA MECANICĂ.....................................................................................................................................73.1. Lucrul mecanic..........................................................................................................................................................73.2. Puterea mecanică......................................................................................................................................................83.3. Energia cinetică. Teorema variaţiei energiei cinetice..............................................................................................93.4. Energia potenţială gravitaţională şi elastică............................................................................................................93.5. Legea conservării energiei mecanice......................................................................................................................103.6. Randamentul planului înclinat................................................................................................................................11

1. NOŢIUNI TERMODINAMICE DE BAZĂ................................................................................................................121.1. Noţiuni despre structura discretă a substanţei........................................................................................................121.2. Echilibrul termic. Temperatura. Scări de temperatură...........................................................................................13

2. PRINCIPIUL I AL TERMODINAMICII.........................................................................................................................................142.1. Lucrul mecanic în termodinamică...........................................................................................................................142.2. Energia internă a unui sistem termodinamic..........................................................................................................152.3. Căldura....................................................................................................................................................................152.4. Principiul I al termodinamicii.................................................................................................................................162.5. Coeficienţi calorici. Relaţia Robert Mayer.............................................................................................................16

3. LEGILE GAZULUI IDEAL3.1. LEGEA TRANSFORMĂRII GENERALE (CLAPEYRON-MENDELEEV)......................................................173.2. Legea transformării izoterme (Boyle Mariotte)......................................................................................................17Transformarea izotermă a unei cantităţi constante de gaz ideal este orice transformarea în care temperatura se

păstrează constantă...................................................................................................................................................................173.3. Legea transformării izobare (Gay-Lussac).............................................................................................................183.4. Legea transformării izocore (Charles)....................................................................................................................19........................................................................................................................................................................................193.5. Transformarea adiabată – ecuaţia Poisson............................................................................................................20

4. APLICAREA PRINCIPIULUI I AL TERMODINAMICII LA TRANSFORMĂRILE GAZULUI IDEAL................................................................204.1. Energia internă a gazului ideal (monoatomic, biatomic, poliatomic)....................................................................204.2. Aplicaţii ale principiului I la transformările simple ale gazului ideal....................................................................21

5. MOTOARE TERMICE.............................................................................................................................................................215.1. Randamentul unui motor termic..............................................................................................................................215.2. Motorul Otto (motorul cu aprindere prin scânteie)................................................................................................225.3. Motorul Diesel (motorul cu aprindere prin compresie)..........................................................................................23

1. CURENTUL ELECTRIC. INTENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC...........................................................242. TENSIUNEA ELECTRICĂ. TENSIUNEA ELECTROMOTOARE...........................................................................................................243. REZISTENŢA ELECTRICĂ. REZISTIVITATEA ELECTRICĂ..............................................................................................................254. LEGILE LUI OHM...............................................................................................................................................................265. LEGILE LUI KIRCHHOFF........................................................................................................................................................276. GRUPAREA REZISTOARELOR..................................................................................................................................................287. GRUPAREA GENERATOARELOR ELECTRICE..............................................................................................................................298. ŞUNTUL AMPERMETRULUI ŞI REZISTENŢA ADIŢIONALĂ A VOLTMETRULUI...................................................................................299. EFECTUL TERMIC AL CURENTULUI ELECTRIC. LEGEA LUI JOULE................................................................................................3010. PUTEREA ELECTRICĂ. RANDAMENTUL CIRCUITULUI ELECTRIC.................................................................................................311. OPTICA GEOMETRICĂ...........................................................................................................................................................32

1.1. Consideraţii despre lumină.....................................................................................................................................321.2. Indicele de refracţie.................................................................................................................................................321.3. Reflexia şi refracţia luminii.....................................................................................................................................331.4. Punctele conjugate..................................................................................................................................................351.5. Fascicule paraxiale.................................................................................................................................................351.6. Imagini reale. Imagini virtuale................................................................................................................................351.7. Lentila optică...........................................................................................................................................................361.8. Sisteme de lentile.....................................................................................................................................................38

2. ELEMENTE DE FIZICĂ CUANTICĂ...........................................................................................................................................392.1. Efectul fotoelectric extern........................................................................................................................................392.2. Ipoteza lui Planck. Ipoteza lui Einstein. Ecuaţia lui Einstein.................................................................................40

41


2.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric extern.......................................................................................................40

42

a. mecanica 1. cinematica - · pdf filelegea lui hooke alungirea absolută ... un joule este...

Documents