Lucrare scrisă semestrială

semestrul I, clasa a XII-a - 4.XII.2014 MATEMATICĂ

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare item va fi evaluat cu un punctaj cuprins între

1 și 10 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.

La toate subiectele se cer rezolvări complete.

10p. I.Fie 1,G , a∈ℝ şi xyyxayx , Gyx , .

1.Să se determine a, astfel ca „” să fie lege de compoziţie asociativă pe G.

10p.

10p.

10p.

Pentru cazul a=1:

2.Să se demonstreze că ;G este grup abelian;

3.Să se demonstreze că funcţia f:(ℝ;+)→(G; ), xexf 1 defineşte un izomorfism

de grupuri, (ℝ;+) fiind grupul aditiv uzual al numerelor reale;

4.În grupul (G; ), să se determine elementul (-1) (-2) (-3) … (-n), unde n∈*.

10p.

10p.

10p.

II. Să se calculeze:

1. 2

1

0 2 1

xdx

x ;

2. 2

arccos

1

xdx

x , 1,1 ;x

3. sin

1 cos

xdx

x ,

2,0

x .

10p.

10p.

4. Fie funcţia f:ℝ→ℝ, 𝑓(𝑥) = {ln(𝑥2 + 𝑎2), 𝑥 < 0;

1 − √1 − 𝑥3

, 𝑥 ≥ 0.

Să se determine a∈ℝ, astfel ca f să admită primitive pe ℝ.

5. În cazul a=1, să se determine primitiva funcției f al cărui grafic conține originea

sistemului de coordonate de reper xOy.