mate dictionar ilustrat

14
corpuri unghiuri Automobil Tramvai Autobuz DICŢIONAR ILUSTRAT simetrie MATEMATICA construcţia corpurilor prisme funcţii număr mozaic peste 500 de termeni matematici explicaţi • peste 300 de ilustraţii • peste 1000 de exemple rezolvate

Upload: cornelius72

Post on 22-Oct-2015

283 views

Category:

Documents


33 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mate Dictionar Ilustrat

corpuri unghiuri

Automobil

Tramvai

Autobuz

DICŢIONAR ILUSTRAT

simetrie

MATEMATICA construcţia corpurilor

prisme

funcţii

număr mozaic

peste 500 de termeni matematici explicaţi

• peste 300 de ilustraţii

• peste 1000 de exemple rezolvate

Page 2: Mate Dictionar Ilustrat

s — e n al re d;na-

- ( NUMERE y

Multipli

: olul unui număr e rezultatul înmulţirii acelui " - cu un număr întreg. I e sx : 3 x 2 = 6 3 x 4 = 12 3 x 6 = 18 - e r e că 6, 12 şi 18 sunt multiplii lui 3.

S*_iItiplu comun -:urnăr care este multiplu pentru două sau mai

~ _ :e numere. I e ex printre multiplii lui 2 se numără

2, 4, 6, 8, 10, 12 printre multiplii lui 3 se numără 3, 6, 9, 12, 15

- ; ~ e că multiplii comuni ai lui 2 şi 3 din grupele :e ~a: sus sunt 6 şi 12.

I-e mai mic multiplu comun (CMMMC) pentru : x ă sau mai multe numere este cel mai mic • -—=- care e multiplu al tuturor acelor numere. Za ~a mic multiplu comun al lui 2 şi 3 este 6.

Divizori

. - divizor al unui număr e orice număr întreg la zare numărul se împarte exact. De exemplu, : «zori numărului 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, şi 12. O ice -umăr întreg poate fi scris ca un produs al : . zorilor săi.

I e exemplu, 12 = 2 x 6 12 = 3 x 4

Divizor comun Er.e un număr care împarte exact alte numere. I e ex.: divizorii lui 15 sunt 1, 3, 5 şi 15

divizorii lui 40 sunt 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 I . zorii comuni ai lui 15 şi 40 sunt 1 şi 5. I e mai mare divizor comun (CMMDC) a două

mai multe numere este cel mai mare număr : . zor al tuturor acelor numere. Cel mai mare ; . zor comun al lui 15 şi 40 este 5.

=actor prim E;:e un divizor care este şi număr prim*. Divizorii - ' 2 sunt 1, 2, 3, 4, 6 şi 12. Din aceste numere, ' 2 şi 3 sunt factori primi.

Număr perfect Este un număr format din suma* divizorilor săi, excluzând numărul însuşi, de ex.: 6 = 1 + 2 + 3.

Rădăcina Rădăcina pătrată a unui pătrat perfect Este un divizor al unui număr, ce poate fi ridicat la pătrat prin înmulţirea acelui divizor cu el însuşi.

Rădăcina pătrată a unui pătrat cu aria n2 este n (n este lungimea unei laturi).

De exemplu, 2x2=4, astfel că 2 este rădăcina pătrată a lui 4.

Orice număr pozitiv are două rădăcini pă-trate, una pozitivă şi una negativă. (Dacă veţi înmulţi pe -4 x -4, rezultatul va fi tot 16'.)

Rădăcina pătrată se scrie cu simbolul V~. este rădăcina pătrată pozitivă a lui 9, iar

-V9este rădăcina pătrată negativă a lui 9. Amândouă rădăcinile pătrate ale lui 9, pozitivă şi negativă, se scriu ±Vs>

Foloseşte tasta cu rădăcina pătrată aflată intre tastele calculatorului tău pentru a afla rădăcina pătrată a unui număr.

Rădăcina cubică Este un divizor al unui număr ce poate fi ridicat la cub prin înmulţirea cu el însuşi, iar apoi din nou cu el însuşi.

2 2

De ex.: 2x2x2 = 8, astfel că 2 este rădăcina cubică a lui 8.

Orice număr are doar o rădăcină cubică. Rădăcina cubică se scrie cu simbolul f .

Foloseşte tasta cu rădăcina cubică de pe calculatorul tău pentru a afla rădăcina cubică a oricărui număr.

ri

Rădăcina cubică a unui cub cu volumul n3 este n (unde n este lungimea unei laturi a cubului).

Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 11

Page 3: Mate Dictionar Ilustrat

mulţimi

Reprezentarea mulţimilor

î n t r e T T H C a r e 8 P a r ţ i n U n e l m U ' f i m i s u n t n°<ate intre acolade ş, separate între ele prin virgule De ex,: {a, e, i, o, u} Aceasta este reprezentarea prin enumerare.

Ordinea în care elementele sunt trecute într-o mulţime nu este importantă De exemplu (a. e, i, o, u} = { u , 0 , a, e, i} şi aşa mai departe. ; ? 5

Nu este necesar să scriem toate elementele unei mulţimi. Putem foarte bine să scriem între paran-teze proprietatea caracteristică a acelor ele-mente. De exemplu: {vocale}

De exom ^ ^ l i t e r â ™ r e . De exemplu: A = {mulţimea numerelor pare}

Unele mulţimi foarte des folosite s u n t întotdeau-na reprezentate printr-o anumită literă Acestea sunt:

2 = mulţimea numerelor întregi* N = mulţimea numerelor naturale* Q - mulţimea numerelor raţionale* R - mulţimea numerelor reale*

Element sau componentă

Simbolul T ° b i e C t U l C a r e 3 p a r ţ i n e U n e i Simbolul e înseamnă „aparţine mulţimii» în vreme ce simbolul * î n s e a mnă „nu aparţine m U . ' D e 1 este un e l e m e n t " mulţimii numerelor naturale N = {1 2 3 4 5 i Putem scrie acest lucru şi astfel: 1 e N Dar " numărul -1 n u aparţine acestei mulţimi, astfel că vom scrie -1 g N.

Acoladele pot fi folosite pentru a arata că elemntele din interiorul lor aparţin aceleiaşi mulţimi.

Mulţime finită Este mulţimea formată dintr-un număr finit de ele-mente. De exemplu, mulţimea A este mulţimea numerelor impare de la 0 la 6:

A = {1, 3, 5} A este o mulţime finită, întrucât „(A) = 3 (unde n este totalitatea elementelor unei mulţimi.

Mulţime infinită Sunt mulţimile care conţin un număr infinit de ele-mente. De exemplu, mulţimea numerelor impare* este o mulţime infinită. Puteti arăta dacă o mulţime este infinită scriind primele sale ele-mente, urmate de o înşiruire de puncte De exemplu: B = {1, 3, 5 i 7 j B este o mulţime infinită, deoarece „(B) = 00 (Unde n este numărul de elemente ale unei mulţimi iar simbolul =0 înseamnă infinit).

Mulţime vidă Este mulţimea care nu conţine nici un element De exemplu, mulţimea X = (mulţimea zilelor săp-

o Z ' i m ! T P CU l i t e r a " r } e s t e ° m u ' î i m e nu». O mulţime nula se scrie { } sau este reprezentată —r0' acest ̂ ^ scris a - { } sau X = 0 . Submulţimea Este o mulţime inclusă în altă mulţime De exemplu, dacă mulţimea A = {mulţimea con-soanelor}, ,ar mulţimea B = (t, r } , atunci B este 0 submulţime a lui A. Simbolul c înseamnă

; e s t e o s u b m u l ţ i m e a » , ia r re la ţ i a s e p o a t e s c r i e ca t i d A.

Dacă mulţimea C = (t, r, a}, atunci C nu este o submulţime a lui A. Simbolul <2 înseamnă „nu este o s u b m u ^ e a " . iar această relaţie se poate

'Numere întregi, naturale 6; numere impare, numere raţionale, numere reale 3.

Page 4: Mate Dictionar Ilustrat

V.A.

Compararea mulţimilor

Relaţia dintre două sau mai multe mulţimi poate fi cercetată prin analiza elementelor fiecărei mulţimi, de unde se vede dacă acele mulţimi au elemente comune.

Complementarea unei mulţ imi Mulţimea tuturor elementelor care nu sunt cuprinse într-o mulţime dată. De exemplu, dacă mulţimea A cuprinde toate numerele prime*, atunci A' cuprinde toate numerele ce nu sunt prime. Acest lucru se poate exprima şi astfel:

A' = C - A din moment ce simbolul C cuprinde toate numerele. Mulţimea complementară mulţimii A este A'.

Reuniunea mulţ imilor Este o nouă mulţime formată din totalitatea ele-mentelor a 2 mulţimi notată cu „u" . De exemplu, dacă mulţimea A = {2, 4, 6 } , iar mulţimea B = {1, 3, 5, 6} , atunci A u B = {1 ,2 , 3 ,4 , 5, 6}

Intersecţia mulţ imi lor Elementele comune a două sau mai multe mulţimi formează intersecţia, reprezentată prin simbolul n . De exemplu, dacă mulţimea A = {2, 4, 6 } , iar mulţimea B = {1, 2, 3, 4, 5}, atunci intersecţia celor două mulţimi va fi A n B = {2, 4 } .

Diagrame Venn-Euler

O diagramă (reprezentare) Venn arată relaţia dintre mulţimi. Elementele unei mulţimi sunt adesea reprezentate prin puncte în interiorul cercului.

O diagramă Venn-Euler

Dreptunghiul re- Cercul reprezintă mulţimea Punctele sunt prezintă mulţimea A, care este o submulţime elemente ale universală. a mulţimii universale. mulţimii A.

u h e c h i a * /

Diagrame Venn ale unor relaţii des întâlnite! ntre m u l ţ i m i ^

A B

l 1 Mulţ imea

A

A U B

A n B

Mulţimea universală (C)

B c A

( A U B ) - A n B

Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usbome-quicklinks.com 13

Page 5: Mate Dictionar Ilustrat

-( NUMERE y

14

ARITMETICA Ar i tmet ica ne învaţă să operăm cu numere. Cele patru operaţii sunt adunarea, scăderea, înmul ţ i rea şi împărţ i rea.

+ Folosiţi tasta de adunare a calculato-rului pentru a efectua operaţii de adunare.

Adunarea

Este operaţia matematică folosită pen-tru a calcula suma a două numere. Poate fi definită prin sporirea unui număr dat cu un altul. Operaţiunea de adunare se scrie de obicei a + b. De exemplu: 6 + 3 = 9.

Adunarea este operaţia opusă scăderii şi are pro-prietăţile de asociativitate şi comutativitate.

Scăderea

Folosiţi tasta Scăderea e operaţia matematică prin de scădere a Care se determină diferenţa dintre calculatorului , .. ' pentru a efec- d o u a numere. Scăderea poate fi tua operaţii de definită ca reducere a unui număr cu

un altul. Operaţia de scădere se scrie de regulă a- b. De exemplu: 1 0 - 6 = 4

înmulţirea prin descompunere Este o metodă de înmulţire a unor numere mari fără a folosi calculatorul. Se face în etape. Metoda se bazează pe faptul că orice număr poate fi scris după cum este compus, în sute, zeci, unităţi etc. De exemplu:

143 = (1 x 100) + (4 x 10) + (3 x 1)

Astfel că înmulţirea unui număr cu un altul se poate face prin înmulţirea primului număr cu sutele, zecile şi unităţile celui de-al doilea număr, şi adunarea rezultatelor acestor înmulţiri. Deex.: 736x 143

= (736 SlOO) + (736 x 40) + (736 x 3)

Cifra reprezentând cea mai mare valoare este de regulă prima care se înmulţeşte, urmată de a doua şi aşa mai departe, de la dreapta la stânga.

Un mod de a face o astfel de înmulţire e repre-zentat mai jos. Explicaţiile (date în paranteze) nu se scriu în operaţiile obişnuite.

Scăderea este operaţia opusă adunării. Nu are proprietăţile de asociativitate şi comutativitate.

X înmulţirea i

înmulţirea este operaţia matematică în care două numere sunt combinate pentru a da un produs. De exemplu: 6 x 8 = 48

Folosiţi tasta de înmulţire a calculatorului pentru a efec-tua operaţii de înmulţire.

Ca şi în exemplul de mai sus, înmulţirea se scrie cel mai adesea a X b, dar se poate scrie şi a • b sau, (dacă factorii sunt reprezentaţi prin litere) ab.

înmulţirea este adunarea repetată a unui număr. De exemplu: 3 x 4 = (4 + 4 + 4) sau (3 + 3 + 3 + 3) = 12

înmulţirea este operaţia opusă împărţirii şi are proprietăţile de asociativitate şi comutativitate.

Î F 3 & 0 O (736x100)

Z f f f O (736 *40>

X X O S ("736 x 3)

(adunarea subtotalurilor) 1 0 5 2,

Page 6: Mate Dictionar Ilustrat

-( NUMERE

"36 x 3)

împărţirea

Operaţia matematică prin care găsim de câte ori se cuprinde un număr în altul. De exemplu: 40 8 = 5

Ca în exemplul de mai sus, împărţirea se scrie adesea a b, dar se mai poate scrie a/b sau j .

De exemplu, 40 împărţit la 8 se poate scrie astfel:

4 0 - 8 sau 40/8 sau Ş

împărţirea poate fi înţeleasă ca o scădere repetată, mai precis „de câte ori un al doilea număr este cuprins în primul". De exemplu, numărul 5 este cuprins de 8 ori în numărul 40:

4 0 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 = 0

împărţirea este operaţiunea opusă înmulţirii, nu are proprietăţile de asociativitate şi comutativi-tate.

Restul Este ceea ce rămâne atunci când un număr nu se împarte exact la celălalt. De exemplu, dacă numărul 16 este împărţit la 3, vom avea rezultatul 5 si restul 1.

împărţirea numerelor mari Procesul prin care numerele mari sunt împărţite fără a folosi calculatorul. Pentru a împărţi numărul 5996 la 22, încercaţi să împărţiţi la 22 fiecare cifră a numărului mare, pornind de la stânga. Adăugaţi fiecare rest la următoarea cifră pentru a crea un nou număr care să fie împărţit.

• 0 rest 5 (cifra miilor) : 2 rest 15 (cifra sutelor) : 7 rest 5 (cifra zecilor) : 2 rest 12 (cifra unităţilor)

5 (cifra miilor) + 22

59 (cifra sutelor) - 22

159 (cifra zecilor) + 22

56 (cifra unităţilor) + 22

Astfel că răspunsul este 2 (cifra sutelor), 7 (zeci), şi 2 (unităţi), iar restul este 12, adică 272 rest 12.

Modul convenţional pentru a face calculele e prezentat aici, dar veţi putea întâlni şi alt mod de a face împărţirea.

Răspunsul se face în etape, corespunzând fiecărei părţi a calculului.

2 7 2 r d ^ u 1 Z & (rem = rest)

Scădem 44 (2 x 22) din 59 pentru a afla restul. Coborâm 9 şi îl adăugăm la rest.

Scădem 154 (7x22) din > 159, pentru a afla restul.

Coborâm pe 6 şi îl adău-găm la rest.

Scădem 44 (2 x 22) din 56 _pentru a afla restul.

Când nu au mai rămas numere la deîmpărţit, scriem restul final pentru a completa răspunsul.

Legile aritmeticii

Legea asociativităţii Este regula care arată că felul cum sunt ordonate numerele sau termenii într-un calcul nu schimbă rezultatul respectivei operaţii. Adunarea şi s c â ^ r e a sunt asociative, în vreme ce scăderea şi împărţirea nu sunt.

Asociativitatea adunării arată că: (a + b) + c = a + (b + c). De exemplu: (12 + 7) + 6 = 12 + (7 + 6) ^ 25

Comutativitatea Comutativitatea este regula care stabileşte că ordinea în care sunt combinate numerele, ter-menii sau simbolurile dintr-o operaţie matematică nu schimbă rezultatul acelei operaţiuni. Adunarea şi înmulţirea sunt comutative.

Comutativitatea adunării arată că: a + b = b + a De exemplu: 6 + 3 = 3 + 6

Asociativitatea înmulţirii arată că: (a x b) x c = a x (b x c). De exemplu: (5 x 2) x 4 = 5 x (2 x 4).

Comutativitatea înmuţirii arată că: a x b = b x a De exemplu: 5 x 3 = 3 x 5

— Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 15

Page 7: Mate Dictionar Ilustrat

\ NUMERE y

Operaţii de acelaşi ordin Calculele sunt adesea mult mai complexe decât un singur tip de operaţie. Există câteva reguli de urmat atunci când lucrăm cu operaţii compuse.

Dacă într-un calcul sunt de făcut doar adunări* şi scăderi*, ordinea în care se fac aceste operaţiuni nu afectează rezultatul.

De exemplu: 7 - 5 + 10 se poate scrie 7 + 1 0 - 5 sau -5 + 7 + 10

Dacă se fac mai multe operaţii decât adunare şi scădere, atunci sunt de urmat câteva reguli.

Ordinea efectuării operaţiilor Ordinea în care se fac operaţiile într-o expresie matematică este restabilită. Prima dată se efectuează operaţiile din paranteze, apoi ridicările la putere*, apoi împărţirea* şi' înmulţirea*, adunările* şi scăderile*.'

De exemplu, pentru a găsi răspunsul la expresia matematică:

6 + 40 + 20 x (3 + 1)2- 3:

Prima dată se fac operaţiile din paranteze;

6 + 40 + 20 x (3 + i y - 3 Apoi, cu noua expresie se face ridicarea la putere:

6 + 40 + 20 x (4)' - 3

Apoi se face împărţirea:

6 + 40 20 x 1 6 - 3

Apoi se face Înmulţirea:

6 + 2 x 16- 3

După care urmează adunarea:

6 + 3 2 - 3

Urmată de scădere:

38 - 3

Astfel că rezultatul este 35.

Rotunjirea

Rotunjirea este procesul aproximării unui număr prin reducerea numărului de cifre sem-nificative* din interiorul său. Cota de aproxi-maţie depinde de acuratetea dorită a număru-lui.

Numerele pot fi rotunjite către cel mai apropiat număr întreg al unităţilor, zecilor, sutelor şi aşa mai departe. Zecimalele* sunt adesea rotunjite la unu. Felul în care un număr e rotunjit depinde adesea de utilizarea lui, de unităţile de măsură pe care le exprimă. De exemplu, înălţimea unei persoane este de regulă rotun-jită către cel mai apropiat număr de centimetri, în vreme ce numărul locuitorilor unei ţări e de regulă rotunjit la mii de persoane.

Rotunjirea unui număr Stabiliţi cifra la nivelul căreia se va face rotun-jirea şi uitaţi-vă la prima cifră din dreapta acelui loc: • Dacă acea primă cifră este 5 sau mai mare

de 5, atunci cifra care va fi rotunjită va creşte cu o unitate.

• Dacă acea primă cifră este 4 sau mai puţin, atunci cifra care va fi rotunjită rămâne neschimbată.

De exemplu, numărul 276 rotunjit la cifra zecilor va da 280, pentru că 6, cifra unităţilor, e mai aproape de 10 decât de 0, iar 276 e mai aproape de 280 decât de 270. Numărul 4872 rotunjit la cifra zecilor va fi 4870, iar rotunjit la cifra sutelor va fi 4900.

Limita superioară Este cea mai mare valoare la care poate fi rotunjit un număr. De exemplu, dacă numărul de boabe de fasole dintr-un borcan e rotunjit la 550, însemnă că numărul real de boabe poate fi de la 545 boabe la 554 boabe, la ori-care din numerele cuprinse între acestea, rotunjirea va fi de 550. Numărul 554 reprezintă limita superioară, este cel mai mare din şir.

Limita inferioară Cea mai joasă valoare care poate fi rotunjită prin adaos la un anumit număr.

O

Page 8: Mate Dictionar Ilustrat

E = - —ai mare un tâ va

F R A C Ţ I I

NUMERE y~

i :e

unui ;fre sem-aproxi-

s ' jmăru-

s _ s acropiat S-tstor şi aşa

rotunjite

Atunci când un întreg e divizat în părţi egale, fiecare parte e numită o fracţ ie. O fracţie poate fi exprimată ca un număr scris deasupra celuilalt ( - ) . Numărul de jos este numit numi tor , iar numărul de deasupra e numit numărător .

Folosiţi tasta fracţiilor de pe calculator pentru a face operaţii cu fracţii.

:e -irtăţi le te Hxemplu, -=g- â rotun-re raitimetri, LT-e ~ăv. e de

e "ace rotun-33apta

Numărătorul Se află deasupra liniei de fracţie. Numărătorul reprezintă numărul de Dărţi luate în calcul. De exemplu, cesenul de mai jos ne arată trei dintre cele 4 aărţi ale unei portocale, sau 4 • astfel că numă-"ătorul fracţiei este 3.

Numărător

mm şmSWi mMiSl

Numitorul Se află sub linia de fracţie. Numitorul reprezintă numărul total de părţi egale. De exemplu, desenul din stânga ne prezintă 3 din cele 4 felii ale unei portocale, sau astfel că numitorul este 4.

Numitor

E£_ ~5 puţin,

te _r"ăţilor, a r 276 e mai I u 4872 sr — - jnj i t la

£ ies ;:s fi acz - -mărul r a -otunjit De ;c abe =ace. a ori-ac as: sa.

£— "r prezintă Pr : • n sir.

Fracţii echivalente Fracţii care reprezintă aceeaşi parte dintr-un "treg, dar care sunt scrise în forme diferite.

Cercurile de mai jos au fost împărţite fiecare într-j n număr diferit de părţi egale. Secţiunea cercului colorată în roşu e formată din următoarele fracţii:

i r v

-- j i tă

1 2 3 2 4 6

Numărul fracţiilor echivalente este infinit. Modul în care fracţiile sunt exprimate sau scrise depinde de numărul de părţi egale în care a fost împărţit un întreg. Dacă întregul arătat mai sus ar fi împărţit în 20 de părţi egale, atunci jumătate din acel întreg s-ar scrie —. a 20

Fracţiile echivalente pot fi calculate prin înmulţirea sau împărţirea numărătorului şi numi-torului cu acelaşi număr.

De exemplu i 2 2 4

4 _ 4

5 8 ' 4

Când numărătorul şi numitorul sunt amândouă împărţite cu acelaşi număr, fracţia rezultată are numărătorul şi numitorul mai mici decât fracţia iniţială. Operaţia se numeşte simplificarea fracţiei. Când numărătorul şi numitorul unei fracţii sunt reduşi până la cele mai mici numere întregi şi nu se mai poate simplifica, o numim fracţia ireductibilă.

Un mod uşor în care putem să comparăm 2 fracţii este prin găsirea celui mai mic numitor comun al lor, adică cel mai mic multiplu* al celor doi numitori. De exemplu, cel mai mic numitor comun al fracţi i lor-şi - este 6,

2 6 ^ astfel că fracţiile pot fi scrise ca - şi

Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 17

Page 9: Mate Dictionar Ilustrat

Fracţii ordinare O fracţie care are numere întregi atât la numărător*, cât şi la numitor* se numeşte fracţie ordinară. Este cel mai des întâlnit tip de fracţie. De exemplu: 1 1

2 3

Fracţii suprapuse Sunt fracţiile care au tot o fracţie fie la numărător* fie la numitor*.

A I De exemplu: 2 2 3 2 1

5 8

Inversul unui număr Inversul unui număr se găseşte prin împărţirea lui 1 la acel număr. De exemplu, inversul lui 3 es te i .

Pentru a afla inversul unei fracţii, trebuie doar să inversaţi fracţia, să puneţi numitorul la numărător şi invers. De exemplu, inversul lui | este întrucât:

1 ^ 3 1 ^ 3 1 4 4

' ' 4 ~ T ' 4 T X 3 3

: . \ Folosiţi tasta din imagine a calculatorului ' I • pentru a afla inversul unui număr.

N I Siste zece* nu~â dece: sa_ "

Fracţie subunitară Sunt fracţiile a căror valoare e mai mică decât un întreg. Orice fracţie al cărei numărător* e mai mic decât numitorul* e o fracţie subunitară. De exemplu: 4 40 sau - sau —

5 71

Fracţie supraunitară Sunt fracţiile a căror valoare e mai mare decât un întreg. Orice fracţie al cărei numărător* e mai mare decât numitorul* e o fracţie supraunitară. De exemplu: ~ sau 412

4

Numere compuse Sunt numerele formate din suma dintre un întreg şi o fracţie. De exemplu, este un număr compus.

Fracţii şi procente

Fracţiile pot fi scrise şi sub formă de procente*, adică parte procentuală dintr-un întreg, sau un număr de părţi din 100. De exemplu, 25% înseamnă -25

' 1 0 0 '

Orice fracţie poate fi scrisă sub formă procentuală prin înmulţirea fracţiei cu 100 De exemplu: \ B(~; x 100)% = 50%

| = ( : | x 100)% = 75%

De asemenea, un procent se poate scrie sub forma unei fracţii prin împărţirea cu 100 şi reducerea* fracţiei la forma simplificată. De exemplu: 25%

L o c l

Nuna

l l l l '

Operaţii cu fracţii

Adunarea fracţiilor Se găseşte cel mai mic numitor comun* al fracţiilor de adunat şi se adună numărătorii*.

De exemplu: 2 + I _ 4 + 3 _ 7 _ 3 2 6 6 6 6

înmulţirea fracţiilor Se înmulţesc numărătorii* şi apoi numitorii*

N u m e

De exemplu: Iv i= 3 x 1 - 3 4 2 4 x 2 8

Pentru a înmulţi numere compuse, ele trebuie mai întâi scrise sub formă de fracţii. - raci 1

Scăderea fracţiilor Se găseşte cel mai mic numitor comun* al fracţiilor şi se scad numărătorii*.

împărţirea fracţiilor Se face prin înmulţirea fracţiei cu inversul celei de-a doua fracţii.

De exemplu: 9__ ±_ j>_ 12 12 12 n p p x - J - ~ - = -Lv—= = J1 =l3- — 1—

2 8 2 8 2 x 3 6 's

Pentru a împărţi numere compuse, ele trebuie mai întâi scrise sub formă de fracţii.

_ sa

16 18 *Baza zece 6 (sistem de numeraţie); reducere 17; (fracţi i echivalente); numărător 17; întregi 6;

cel mai mic numitor comun 17; fracţii echivalente, cei mai mic i termeni 17; fracţii echivalente, multipli 11; numără-tor 17; procent 21; Pi 66; ordinul cifrei 6; putere 21.

Page 10: Mate Dictionar Ilustrat

\ NUMERE >

Bl fer

' ipăr ţ i rea lui lui 3 este ; .

î c j i e doar să ia numărător

u - este-

NUMERE ZECIMALE Sis temul zecimal e un sistem de numeraţie care foloseşte baza zece*. Un număr scris în baza zece, în sistemul zecimal, e numit număr zecimal. Adică acele numere în care orice parte mai mică decât un întreg e scrisă după virgulă, de exemplu 1,2 sau 59,635 sau 0,0091.

E ^CUS&RjIui Diagrama de mai jos arată ordinul* fiecărei cifre în numărul zecimal 6539,023.

= â dintr-un 100.

Drma i cu 100

; : scrie sub Ba ou 100 şi

~cată.

- „rnitorii*.

eie trebuie fracţii.

• .ersul celei

— - n = = e;e trebuie

Mii

6

sute

5 zeci unităti zeci

0 sute

z mu

virgulă zecimală

Fiecare poziţie înspre stânga creşte cu o putere* a lui 10 (de 10 ori) faţă de precedenta. Fiecare poz-iţie spre dreapta descreşte de 10 ori faţă de precedenta.

Locul unei zecimale Este poziţia unui număr aflat la dreapta virgulei. Prima poziţie la dreapta virgulei este o zecime, următoarea poziţie e o sutime şi aşa mai departe.

Număr zecimal subunitar Este orice număr mai mic decât 1 exprimat sub formă zecimală. De exemplu, 0,375 este o fracţie zecimală care se poate scrie:

0 + 10 100

5 1000

Numere compuse Sunt numere formate dintr-un număr întreg* şi o fracţie zecimală. De exemplu 15,76 este o fracţie zecimală care se poate scrie: 15 + — + — . 1 1 n inn

Fracţie zecimală finită Este un număr zecimal cu un număr finit de zeci-male. De exemplu: j = 0,5 scris ca număr zecimal

sau 17 625

0,0272 scris ca număr zecimal

Reţineţi că aceste fracţii au la numitori* multipli* de 2 sau de 5. Această proprietate e comună tuturor numerelor cu zecimale finite scrise sub forma unor fracţii.

Virgulă zecimală Este virgula ce separă unităţile de zecimale. Virgula se scrie jos, între cifre (de exemplu 1,2). Unele ţări folosesc punctul, iar altele virgula.

Zecimale infinite Sunt numerele zecimale care nu au un număr finit de zecimale. Există două feluri de zecimale infinite: periodice şi neperiodice.

Zecimale neperioclice Sunt zecimalele infinite în care şirul de puncte de după virgulă nu se repetă. De exemplu forma zecimală a numărului Pi*, care începe astfel: 3,141592653...

Zecimale periodice Sunt zecimalele infinite în care cifrele de după virgulă se repetă la infinit.

De exemplu: 3,333333.... 0,125125125...

Zecimalele periodice se scriu cu paranteze rotunde care încadrează tranşa de cifre care se repetă. în exemplul de mai sus, la 0,125 se scrie 0,(125).

— Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 19

Page 11: Mate Dictionar Ilustrat

Operaţii cu zecimale

Adunarea şi scăderea cu zecimale Este mai uşor să adunaţi sau să scădeţi numere cu zecimale* dacă le scrieţi în coloană, aliniate în dreptul virgulelor*.

De exemplu: 11,45 + 17 + 2,5 se scrie:

Virgulele sunt pe aceeaşi coloană.

1 1 t 4

f

1 1 ~T t 0 0

mi»!"»1 2, s 0

"1 hj 0 9 s

Ca şi la adunarea numerelor întregi, porniţi cu adunarea din partea dreaptă şi continuaţi spre stânga.

De exemplu: 50,19 - 36,2 se scrie:

Virgulele sunt aliniate pe aceeaşi coloană.

9 o 5

3 £ / ji»- 0

1 3 Ca şi la scăderea numerelor întregi, porniţi cu scăderea din partea dreaptă şi continuaţi spre stânga.

împărţirea cu zecimale Mutaţi virgula* de la dreapta spre stânga la ambele numere peste acelaşi număr de cifre, astfel ca împărţitorul să devină număr întreg.

De exemplu: 3,20 •*• 0,4

x 10

înmulţirea cu zecimale Faceţi abstracţie de virgulă* şi înmulţiţi ca la numere întregi. Apoi înmulţiţi numerele, iar la rezultat puneţi atâtea zecimale* câte au împreună cele 2 numere.

De exemplu: 3,5 x 2,36 3,5 are o zecimală, iar 2,36 are 2 zecimale

înmulţiţi numerele întregi formate: 35 x 236

2 1 0 (35x6)

1 0 •-s 0 (35 x 30)

0 0 (35 x 200)

6 Q (adunaţi apoi totalurile; rezultă 8260, la care

x 10

se pune virgula după 3 zecimale)

Astfel că rezultatul va fi : 3,5 x 2,36 = 8,260 1 zecimală cu 2 zecimale = 3 zecimale

Pentru rotunjirea numerelor cu zeci-male Când lucraţi cu zecimale*, adesea este necesar să aproximaţi numerele prin rotunjirea* lor prin lipsă sau adaos. Faceţi la fel ca la rotunjirea numerelor întregi*, dar rotunjiţi la zecimale, în funcţie de câte zecimale* sau cifre semnificative* obţinute prin rotunjirea la întreg vreţi să aveţi. De exemplu, numărul 63,5378 poate fi rotunjit în numeroase feluri:

63,538 (3 zecimale) 63,54 (2 zecimale) 64 (2 cifre semnificative)

Marja de eroare Este gradul de aproximare dat de rotunjirea* unui număr. De exemplu, dacă numărul 0,69473 este rotunjit la 0,69, atunci marja de eroare este de 0,69473 - 0,69, adică 0,00473. în general, e bine să aproximaţi rezultatul final al unui calcul. Dacă faceţi rotunjiri la fiecare pas al calculelor, atunci rezultatul va fi mai puţin precis.

•Ridicarea la cub 8, zecimală, ordin, virgulă 19; fracţie 17: întreg 6; invers 18; rotun-jire 16; cifră semnificativă 9; ridicare la pătrat 8: formă standard 23.

Page 12: Mate Dictionar Ilustrat

\ NUMERE >

EXPONENŢI Şl PUTERI . e : - coate fi dificil să faci operaţii aritmetice şi calcule

" ^ ~s"e foarte mari sau foarte mici. Exponenţ i i şi put-- eT - e oermit scrierea acestor numere într-un mod rî-"â~s, accesibil.

n t -umărul care arată de câte ori se -n număr cu el însuşi (de câte ori

; -3::or). Se scrie în dreapta numărului _ c decât acesta.

; = a x a = a • a x a, unde a poate fi orice număr.

Puteri Puterea reprezintă valoarea unui număr ridicat la o putere. Ex.: 42 = 4 x 4 = 1 6

Deci, spunem că 16 este puterea a doua a lui 4.

r sdq Txalurile; iCST s care î itcus după

zac -nale

i zeci-

42 = 4 x 4 5 - = 6 x 6 x 6 x 6

negativ indică exponentul pozitiv al ii" numărului. a-~ , unde n poate fi orice număr.

Li.z-olent de tip fracţie ordinară : = : ~33:ie* diferită de un număr întreg, de

: : = "-iseamnă Vs (vezi Reguli de calcul cu usrr zag. 22).

Termenul „putere" e folosit adesea în locul terme-nilor indice sau exponent. De exemplu, când avem 42, spunem că numărul 4 a fost ridicat la puterea a doua.

Când un număr este ridicat la puterea a doua, se spune că a fost ridicat la pătrat*. Când un număr este ridicat la puterea a treia, spunem că a fost ridicat la cub.

Folosiţi tastele de ridicare la pătrat sau la altă putere ale calculatorului, pentru a ridica un număr la pătrat (x2) sau la altă putere (xy).

: -ecesar ar prin

nprea -ae. în - - - native* I aveţi. De

: în

- -ea* unui i r -~3 este Î este de «ral . e r u calcul, a culelor,

Expresia matematică de mai jos ocupă un spaţiu însemnat când este scrisă in întregime. Prin folosirea exponenţilor puteţi scrie aceeaşi expresie ca fiind B12. o expresie mult mai scurtă şi mai uşor de priceput dintr-o singură privire.

— Link-uri pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 21

Page 13: Mate Dictionar Ilustrat

Reguli de calcul cu puteri

Regulile care se aplică atunci când se lucrează cu exponenţi* se numesc reguli de calcul cu puteri.

1. Pentru a înmulţi un număr la o putere* cu acelaşi număr la o putere diferită, trebuie să adunaţi exponenţii.

a" x am = am+n

unde a, n şi m pot fi orice numere. De exemplu: 42 x 44 = 42+4 = 46 deoarece 42 x 44 = (4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4) = 46

Această metodă nu poate fi folosită pentru a înmulţi numere diferite la o anumită putere.

2. Pentru a împărţi un număr aflat la o putere* cu acelaşi număr la putere diferită, trebuie să scădem cei doi exponenţi.

an H- gm = gn-m

unde a, n şi m pot fi orice numere. De exemplu: 36 * 32 = 36-2 = 34 deoarece 36 h- 32

= ( 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 ) - ( 3 x 3 ) = 34

însă regula nu se aplică pentru împărţirea puterilor unor numere diferite.

3. Orice număr la puterea* unu este egal cu el însuşi.

a1 = a unde a poate fi orice număr. De exemplu: 31 = 3

4. Numărul 1 ridicat la orice putere* este întotdeauna 1.

1 " = 1

unde n poate fi orice număr. De exemplu: 16 = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1

5. Orice număr nenul la puterea* 0 este egal cu 1. în unele situaţii, aceasta poartă numele de regula exponentului zero.

a° = 1 unde a poate fi orice număr nenul. De exemplu: 2° = 1 deoarece (folosind a doua regulă de mai sus)

6. Pentru a ridica o putere* la o altă putere, trebuie să înmulţiţi cei doi exponenţi.

(an)m = a n x m

unde a, n şi m pot fi orice numere. De exemplu: (52)3 = 52 x 3 = 56 deoarece (52)3 = 52 x 52 x 52

= 52 + 2 + 2 = 56

7. Pentru a ridica la o putere* înmulţirea a două numere, ridicaţi fiecare factor al expresiei la acea putere.

(a x b)n = a" x bn

unde a, b şi n pot fi orice numere. De exemplu: (5 x 3)2 =52 x 32

deoarece (5 x 3)2 = 152 = 225 şi 52 x 32 = 25 x 9 = 225

8. Pentru a ridica la putere* o expresie matematică în care un număr se împarte la alt număr, ridicaţi fiecare factor al expresiei la acea putere.

l î>m = F unde a, b şi m pot fi orice numere.

(1)3 = li 4 43

deoarece - x - x - = — 4 4 4 64

3 27 iar — = — 4 64

9. Exponenţii fracţionali* pot fi înmulţiţi şi împărţiţi la fel ca oricare alţi exponenţi.

De ex: 6 ' x 6 ' = 61 = 6

De asemenea, dacă 6 : x 6J = 6, atunci 6' este rădăcina pătrată* a lui 6. Regula se poate scrie astfel :

a= = 4a

Regula se aplică şi unui număr la puterea*^.

De ex.: 5 ^ x 5 - ' x 5 ' = 5 51 = 5 ]

Astfel că 5> este rădăcina cubică* a lui 5. Regula poate fi scrisă astfel:

a '-> = \[a

Regula generală este că numitorul fracţiei dă ordinul rădăcinii.

u . . u — = 1 şi — = am-r

a a

de unde rezultă că a° = 1

ao a " = şi a» '4a™

*Rădăcină cubică 11; virgulă 19; exponent 21; exponent fracţional, exponent 21; masă 72; putere 21; cifră semnificativă 9; rădăcină pătrată 7.'

Page 14: Mate Dictionar Ilustrat

i i ş rn.

BC 7 3 S t e

gces scrie

Ll=r== - .

r — 2 standard e folositoare pentru a compara • j~ene foarte mici şi numere foarte mari. De i f ~ : j . numărul 97 430 000 000 scris în formă ssrdară va fi 9,743 i l O i o , iar 785 300 000 va fi ~ : : : • 108. Prin compararea celor doi exponenţi* a: .edea că 108 este mai mic decât 1010 şi veţi .-=s estima mărimea acelor numere.

De ex.: 1,4567 Sau 5.856"'" Sau 32,259

înseamnă 1,4567 x 1012 înseamnă 5,856 x 10"6

înseamnă 32,25 x 109

Folosiţi tasta EXP a calculatorului p Y D pentru a înmulţi un număr la

o putere* a lui '10.

a scrie un număr în forma stan-zsrz - jneţ i o virgulă zecimală* între

a ş a doua cifră semnificativă*. Veţi î ee astfel un număr între 1 şi 10. Apoi, 2 s : smerea* corespunzătoare a lui 10, - j—arând câte cifre sunt de la virgulă în

-orme standard

s ala 5 cifre distanţă spre dreapta.

r< d ' o ' & o S t . S4 z x f o"5

«. A

-rrfre .-'gutei în Poziţia virgulei în nŞal noul număr

Masa * Lunii este un număr cu 23 de cifre, exprimând greutatea Lunii în kilograme. Se poate scrie în forma standard astfel: 7,37 x 10& kg.

Calculatoarele şi forma standard Calculatoarele folosesc adesea forma stan-dard pentru a afişa rezultatele calculelor ce dau numere mai mari decât pot fi afişate. Calculatoarele au diferite moduri de a afişa rezultatul după forma standard. De exemplu, unele folosesc „E", „EE", „EX", sau „EXP" pentru a indica „10 la puterea*...".

Altele dau răspunsul în formă standard.

—a standard e o metodă de a scrie numere în ~a a x 10", unde a este mai mare sau egal cu —a; mic decât 10.

ex 63 000 = 6,3 x 104

ssstă formă standard e numită şi are exponenţială sau ştiinţifică.

Zacă nc^l număr este mai mic decât cel -ic £ puterea lui 10 va fi pozitivă. Asta : să numărul va trebui să crească

a reveni la forma iniţială. Dacă noul - j—e- obţinut este mai mare decât cel iniţial, 3i_ - : puterea Iui 10 este negativă.

I e exemplu, 683 000 000 scris în forma

. 'rgiia e la 8 cifre spre stânga.

o . r r d v s v o d x i o s

t -sz$3 wrgulei in Poziţia virgulei în a u ~jmar numărul iniţial

ttjraănJ 0,00005842 scris în forma standard va fi:

— Link-ur i pe internet Pentru a găsi site-uri utile despre numere, accesaţi www.usborne-quicklinks.com 23