Universitatea Politehnica din Bucuresti

Facultatea de Antreprenoriat, Ingineria si Managementul Afacerilor

PROIECT ECONOMETRIE

PEE, ANUL I

Fie urmatoarele date referitoare la dinamica veniturilor (X1t), dinamica preturilor (X2t) si evolutia cererii (Yt) pe piata unui produs (valorile sunt in procente ).

a. Estimati parametrii modelului:Yt =a0 + a1 X1t +a2 X2t + et , si interpretati rezultatele obtinute .

In acest model, X reprezinta matricea valorilor explicative, e este vectorul erorilor aleatoare.

t X₁ᵼ X₂ᵼ Yᵼ Z L1 3.90 1.6 2 9 32 2.3 3.7 0.53 1.7 1.8 1.54 2.8 1.1 35 2.9 2.1 16 1.7 4.9 07 3.4 2.1 2.18 2.8 2.9 1.89 3.9 0.8 3

10 1.7 3.7 0.711 1.9 3.5 0.512 1.5 3.4 113 2.5 1.6 1.414 2.1 3.1 1.215 1.9 3.8 0.816 3.1 2 2.317 4.4 0.3 3.518 2.9 1.1 3.819 3.3 2.3 1.820 3.7 2.1 2.621 2.5 3.3 0.822 2.2 3.9 1.223 4.4 0.9 4.224 1.9 4.1 0.825 3.9 0.6 2.5∑t ∑X1t ∑X2t ∑YT

25 69.30 60.7 44

Calculam X'*X: (=MMULT(I3:AG5,S10:U34))

25.00 69.30 60.7069.30 211.39 146.4560.70 146.45 185.77

Calculam (X'*X)˄ 1 , ‐ si vom obtine o matrice formata din 3 linii si 3 coloane. Acesta se calculeaza :

=MINVERSE(C31:E33).

2.6915 -0.6017 -0.4051-0.6017 0.1449 0.0823-0.4051 0.0823 0.0728

Calculand X'*Y vom obtine o matrice formata dintr-o coloana si 3 linii : =MMULT(I3:AG5,D2:D26)

44.00141.36

77.23 Ecuatiile lui Gauss : (X'X)Â=X'Y => Â= (X'*X)˄ 1 cu X'*Y .‐

Pentru a calcula Â, vom inmulti (X'*X)˄ 1 cu X'*Y‐ , (=MMULT(J31:L33,C37:C39))iar rezultatul obtinut este

2.08310.3731

-0.5591In acest tabel se regasesc parametrii modelului, acestia sunt â0 , â1, si â2. Â 0 reprezinta

parametrul de interceptare, iar â1, si â2 coeficientii de regresie partiali.

 0 = 2.0831, ne arata valoarea medie a evolutiei cererii care este estimata la 5.29426038 u.m, tinand cont de cele doua variabile X1t si X2t .

Â1 = 0.3731 , ne arata ca inclinatia marginala spre cerere este de 0.37 procente, daca cele doua variabile sunt constante, iar dinamica preturilor creste cu 1 u.m.

Â2 = -0.5591, ne arata ca evolutia cererii scade in medie cu aproximativ 0.5591 pentru fiecare perioada de timp analizata.

Yt = 2.0831 + 0.3731*X1t -0.5591 *X2t

b. Testati acuratetea ajustarii si interpretati rezultatele obtinute;

Acuraterea ajustarii este data de coeficientul de determinare R2, si coeficientul de determinare corectat R2 . Conform tabelului de mai sus R2 are valoarea de 0.7907, iar R2 avand o valoare de 0.7714 .

R2 ne indica proportia din variatia variabilei dependente Y explicate de variabilele indepedente,iar in tabelul de mai sus, 79.07% din variabila Y. Pentru perioada exemplului dat, de 25 unitati de timp,variatia evolutiei cererii, in proportie de 79.07% este data de cele doua variabile endogene.

c. Calculati matricea de varianta a estimatorilor;

Var(Â) = su2* ((X'*X)-1) su2 = Σ u2

n−k−1

Pentru a calcula matricea de covarianta , trebuie sa calculam Y, Ŷ, U si U2.

Rezultatele obtinute sunt prezente mai jos, dupa cum urmeaza:

Ŷ =MMULT(S10:U34,C41:C43)

U =D2-I37

U^2=POWER(L37,2)

∑ u2=¿6.2939

SU^2 0.2861

VAR(Â) 0.7700 -0.1721 -0.1159

-0.1721 0.0415 0.0236-0.1159 0.0236 0.0208

Dispersiile estimatorilor care ii gasim in Â, in tabelul de mai sus, ii regasim pe diagonala.

d. Testati semnificatia estimatorilor si interpretati rezultatele obtinute;Pentru a calcula estimatorii, folosim formula : su(â) = √σ

Ŷ u u^22.6438 -0.6438 0.41450.8727 -0.3727 0.13891.7111 -0.2111 0.04462.5129 0.4871 0.23721.9911 -0.9911 0.9824

-0.0221 0.0221 0.00052.1777 -0.0777 0.00601.5066 0.2934 0.08613.0911 -0.0911 0.00830.6488 0.0512 0.00260.8353 -0.3353 0.11240.7419 0.2581 0.06662.1214 -0.7214 0.52051.1335 0.0665 0.00440.6676 0.1324 0.01752.1217 0.1783 0.03183.5572 -0.0572 0.00332.5502 1.2498 1.56192.0286 -0.2286 0.05222.2897 0.3103 0.09631.1710 -0.3710 0.13760.7236 0.4764 0.22703.2218 0.9782 0.95690.4998 0.3002 0.09013.2029 -0.7029 0.4941

Estimator

Valoare

Std t-static p-value

ậ0 2.0831 0.8775 2.3739 0.0267

ậ1 0.3731 0.2036 1.8324 0.0804ậ2 -

0.55910.1443 -3.8732 0.0008

e. Testati autocorelarea erorilor si interpretati rezultatele obtinute;

Autocorelarea erorilor o putem realiza prin Testul Durbin Watson.

DW = (1)(2)

= U t−U t−1

u2 2.1199

In cazul de fata, testul Durbin Watson = 2.1199.

f. Testati heteroscedascititatea erorilor si interpretati rezultatele obtinute;

Ut-Ut-1 u^2

0.41450.2711 0.13890.1616 0.04460.6982 0.2372

-1.4782 0.98241.0132 0.0005

-0.0998 0.00600.3712 0.0861

-0.3845 0.00830.1423 0.0026

-0.3864 0.11240.5933 0.0666

-0.9795 0.52050.7879 0.00440.0660 0.01750.0459 0.0318

-0.2355 0.00331.3070 1.5619

-1.4784 0.05220.5389 0.0963

-0.6813 0.13760.8474 0.22700.5018 0.9569

-0.6781 0.0901-1.0031 0.4941

∑ (Ut-Ut-1)2=

13.3424∑ U2 =

6.2939

. Heteroscedasticitatea este proprietatea erorilor de a nu avea o dispersie constanta.

F=

SSRK

SSEn−k−1

Fcalc > F crit, unde Fcrit este Fα,k,n-k-1

0.4145 0.00440.1389 0.01750.0446 0.03180.2372 0.00330.9824 1.56190.0005 0.05220.0060 0.09630.0861 0.13760.0083 0.2270

0.0026 0.95690.1124 0.09010.0666 0.4941suma suma

2.1002 3.6733

Su^2 Su^20.2334 0.4081

F 1.7490

g. Pentru X1,26 = 1.0 + 0.1*L si X2,26 = 1.0 + 0.1*Z prognozatii evolutia vanzarilor cu un grad de incredere de 90%.

X1,26 =1.0+0.1*3 = 1.3

X2,26 = 1.0+0.1*9=1.9

f. Testati heteroscedascititatea erorilor si interpretati rezultatele obtinute;

Pentru datele care le avem, am aplicat testul White.

W= n*R2

W= 25*0.7907

W= 19,7675

Din tabelul cu datele tabelate pentru testul White, gasim χ cu 2 grade de libertate la valoarea de 37,65 de unde rezulta ca W=19,7675.

Din datele de mai sus reiese ca modelul este heteroscedastic.

g. Pentru X1,26 = 1.0 + 0.1*L si X2,26 = 1.0 + 0.1*Z prognozatii evolutia vanzarilor cu un grad de incredere de 90%.

X1,26 =1.0+0.1*3 = 1.3

X2,26 = 1.0+0.1*9=1.9