1

Probleme propuse pentru examenul de ANALIZA MATEMATICA 1 1. Mulţimi şi funcţii 1) a) Să se arate că mulţimile }5,4,3,2,1{=A şi }32,16,8,4,2{=B sunt echipotente; b) Să se arate că intervalul (0, 1) este o mulţime echipotentă cu intervalul ),1( ∞ 2) Mulţimea Z a numerelor întregi, este numărabilă 3) Fie numerele reale dcba << , . Să se arate că [ ] [ ]dcba ,~, , ( ) ( )dcba ,~, , [ ) [ )dcba ,~, , ( ) ( )∞∞ ,~, ca , [ ) [ )∞∞ ,~, ca , ( ) ( )ca ,~, ∞−∞− 4) Intervalul (0,1) nu este o mulţime numărabilă. 5) R este nenumărabilă (are puterea continuului). 6) Mulţimea numerelor raţionale este numărabilă. 7) Orice interval (a,b)⊂R este o mulţime nenumărabilă. 8) Mulţimea numerelor iraţionale este nenumărabilă. 2. Şiruri de numere reale 1) Folosind criteriul general al lui Cauchy pentru şiruri, să se studieze convergenţa şirurilor:

a) =na +2

cos x+22

2cos x++ ...

23cos

3

xn

nx2

cos , Rx∈

b) =nb +1x

++3

1x++

+ ...5

2x .1,12

>++ x

nnx

2) Utilizând criteriul lui Cauchy, să se studieze convergenţa şirurilor:

a) =na +⋅ 21

!1sin++

⋅...

32!2sin ;1,

)1(!sin

≥+⋅

nnn

n

b) =nb 1+ +221

++ ...31

2 ;1,12 ≥n

n

c) =nc 1+ +2

1++ ...

31 .1,1

≥nn

3. Serii numerice. Serii de puteri 1) Să se studieze convergenţa următoarelor serii şi, în cazul convergenţei, să se stabilească suma lor:

a) ∑∞

= +++

1;

)2)(1(32

n nnnn b)∑

∞

= −

−−+

12

;14

1212n n

nn

c) ∑∞

=

+

1;11ln

n n d)∑

∞

= ++1;

11

n nn

2

2) Folosind condiţii necesare şi suficiente de convergenţă, să se studieze convergenţa următoarelor serii:

a)∑∞

= ++

1;

121

n nn b)∑

∞

=

−

1;11ln

n nn c) ∑

∞

=α ≥α

1.2,1

n n

3) Utilizând criteriile de convergenţă pentru seriile cu termeni pozitivi, să se stabilească natura seriilor:

a) ∑∞

= +12

3

;)1(n nn

n b) ∑∞

= ++−

13 ;

11

n nnn c). ∑

∞

=

+++

1;

1...211

n nn

d) ∑∞

=1;1

nn nn

e) ( )∑∞

=

−

1;

2

12n

n

n f) ∑∞

= −⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

1;

)13(...852)34(...951

n nn

g) ∑∞

=

−+

1;

121

n

n

nn h) ∑

∞

=

>1

;0,n

n ana i) ∑∞

= +−1;

)13)(23(1

n nn

j) ∑∞

=

>1

ln 0,n

n aa ; k)∑∞

=1

1arcsinn n

l) ∑∞

=

+

12

2 1lnn n

n .

4) Studiaţi convergenţa următoarelor serii alternate:

a) ∑∞

=

+

−−

1

1

;12

)1(n

n

n b) ∑

∞

=

+−1

31 .ln)1(

n

n

nn

5) Să se studieze convergenţa următoarelor serii şi să se determine suma lor (în cazul în care sunt convergente):

a)∑∞

=

+

1;

1243

nn

nn

b) ∑∞

= +1;

)2(1

n nn

c)∑∞

=

−

22 ;11ln

n n d) ( )∑

∞

=

∈1

.1,0,n

n aan .

6) Utilizând criteriul general al lui Cauchy, să se precizeze natura seriilor:

a) ;5

cos1∑∞

=nn

nx b) ∑∞

= ++

1.

231

n nn

7) Folosind condiţia necesară de convergenţă, să se arate că următoarele serii sunt divergente:

a) ∑∞

=

>>+1

;0,1n

n

n

bab

a b) ∑∞

=

+1;

133

n

n

nn c) ∑

∞

= +−

12

2

.1

)1(n

n

nn

8) Studiaţi convergenţa următoarelor serii cu termeni pozitivi:

a) ∑∞

=

−+

12

33

;1n n

nn b) ∑∞

=1;

5cos3

nn

n a c) ∑∞

= +1;

351

n n

d) ∑∞

=

≥+1

;0,1n

n ana

e) ∑∞

=

>+++1

2

;0,))...(2)(1(

!n

anaaa

nn f)∑∞

=

−

1

1

;2n

n

n

n

g) ∑∞

=

−

−1

12

;13n

n

nn h) ∑

∞

=2;

)(ln1

nnn

i) ∑∞

=

++++

12

2

;154143

n

nn

nnnna

3

j) ∑∞

=

+++>

1

1...211

;0,n

n aa k) ∑∞

= +⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

1;

121

2...42)12(...31

n nnn l) ∑

∞

=+

11 .!

nn

n

nen

m) ∑≥

1

2

1cosn

n

n; n) ∑

∞

=

+

1

11lnn n

; o) ∑∞

= +12 1

1n nn

tg .

9) Să se stabilească natura seriilor alternate:

a) ( )∑∞

=

+

++−

1

1

)2)(1(11

n

n

nnn b) ( )∑

∞

= ⋅−

1 311

nn

n

n;

c) ( )∑∞

=

−1 5

11n

nn d) ( )∑

∞

= −−

22 1

1n

n

nn .

10) Să se arate că seria ∑≥

−−1

1)1(n

knk

kC

este divergentă.

11) Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor serii de puteri:

a) ( ) ;11

1 nxnn

n

+∞

=∑ − b) ( ) ( )

ℜ∈α+−α⋅⋅−αα

+∑∞

+

,!

1...111n

nxn

n .

12) Să se determine mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii de puteri:

a) ∑∞

= +1 32nnn

nx ; b) ( )( )

n

nx

nn∑

∞

= −⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

1 14...7334....51

c) ( )

nn

nn

n

xn

n

π

+∑∞

= 4sin

12

1

d) ( )( )∑

∞

= −++++++

1222

222

12...312...42

n

nxn

n .

13) Să se determine mulţimea de convergenţă şi suma următoarelor serii de puteri:

a) ( ) ;12

112

1 +−

+∞

=∑ n

x nn

n b) ( ) ( )∑

∞

=

+−0

211n

nn xn ;

c) ( )( )( )∑∞

=

+++0

321n

nxnnn ; d) ∑∞

=0

3

n

nxn ;

e) ;141

14

∑∞

=

+

+n

n

nx f) ( )∑

∞

=1

4

!4n

n

nx .

14) Să se determine mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii de puteri:

a) ( ) n

nx

nn∑

∞

=

−+

1 !!!121 ; b) ∑

∞

=1!

n

nn xn ;

c) ;1∑∞

=

n

n

nx d) ∑

∞

=1 !n

nn

xnn ;

e) ( ) ( )∑∞

=

+

−−

1

1

11n

nn

xn

; f) ∑∞

=

+

+

1

2

11n

nnn

xn

;

g) ∑∞

=

+++

1

1...211

n

nxn

; h) ( )( ) ( ) ;0,

...1...)1(

1bax

nbbbnaaa n

n<<

+⋅⋅++⋅⋅+∑

∞

=

i) ( ) 0,!

ln1

>∑∞

=

axna

n

nn

; j) ( )∑

∞

=12!n

nn

xnn .

4

4. Limite de funcţii 1) Să se studieze existenţa următoarelor limite :

a) ( )( )yxeeyx

ln1lim2,),(

+→

; b) ( )

x

yx xy

+

π∞→

sin1lim2

,,,;

c) ( ) ( )

( )xy

yxyx

1sinlim 22

0,0,+

→; d)

( ) ( ) yxyx

yx ++

→

22

0,0,lim ;

e) ( ) ( ) x

xyarctgyx 2,0,lim→

; f) ( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yxyx

yx +−

→.

2) Cercetaţi existenţa limitelor iterate şi a limitei globale în origine pentru funcţiile :

a) 0,,),( 24

2

≠+

= yxyxyxyxf ; b) 0,,

)(),( 422

3

≠−+

= yxyxyx

yxyxf ;

c) ( ) 0,,22

≠++

++−= yx

yxyxyxyxf ; d) 0,,1sin1sin)(),( ≠+= yx

yxyxyxf .

3) Să se calculeze :

a) ( ) ( )

( )3 22

22

0,0,

sin)(limyx

yxyxyx +

++→

b) ( ) ( ) 22

22

0,0,lim

yxyx

yx +→

c) ( ) ( )

3)1(

3,1,

11lim−

+

→

−+

xyx

yx yx d)

( ) ( ) 22,,lim

yxyx

yx ++

∞∞→.

e) ( )22

33

)0,0(),(lim

yxyxtg

yx ++

→ f)

)arcsin(164

lim)0,0,0(),,( zyx

zyxzyx ++

−−−−→

.

4) Să se demonstreze că următoarele funcţii nu au limită în origine :

a) ( )33

33

,yxyx

yxf+

−= b)

33

22),(yxyxyxf

+= .

5) Să se studieze existenţa limitelor iterate şi a limitei globale în origine pentru funcţiile de mai jos

a) 44

22

),(yx

yxyxf+

= b) yx

yx

xyxf

+

+=

1sin),(

5. Funcţii continue 1) Să se studieze continuitatea în origine a următoarelor funcţii :

a) ( )

==>+= +

0sau 0,10,.,1),(

1

yxyxyxyxf yx b) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+

−−−=

0,0,,0

0,0,,11

),( 22

22

yx

yxyx

yxyxf

2) Să se studieze continuitatea uniformă a următoarelor funcţii :

a)

∈= ee

xxxf ,1,ln)( b) ],0(,ln)( exxxf ∈=

5

c) ( )∞∈−+

= ,1,11)( x

xxarctgxf d) ( )∞∈= ,0,1cos)( 2 x

xxxf .

3) Să se arate că funcţia ( ) ( )

( )

=

≠+

++=

)0,0(,,0

0,0,,)ln(),( 22

2

yx

yxyx

yxyxyxyxf

este continuă parţial în origine în raport cu fiecare dintre variabile dar nu este continuă (în raport cu ambele variabile). 4) Să se studieze uniform continuitatea următoarelor funcţii :

a) [ ]1,0,21)( ∈−= xxxf b) ( )∞∈+

+= ,0,2

3)( xx

xxxf

c) ( )∞−∈++

= ,3,23

)( xxx

xxf d) Rxxxxf ∈= ,sin)( 22 .

e) Rxxxf ∈= ,sin)( 2 f) ]1,0[,2

1)( 2 ∈−−

= xxx

xf .

5) Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii :

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

≠<+++

=

0,0,,0

0,0,,1,ln),(

2222

22

yx

yxyxyx

yxyxf

b) ( )

( ) ( )( ) ( )0,0,0,,,

0,0,0,,,0

cos1),,( 222

222

≠

=++

++−= zyx

zyxzyx

zyxzyxf

c)

=

≠−−

=

yxex

yxyxee

yxfx

yx

,2

,),(

2

22

d)

=

≠−−

=yxx

yxyx

yxyxf

,cos

,sinsin),( ;

e)

=++

≠++⋅++=

++−

0,0

0,1),,(

222

2221

444

222

zyx

zyxezyxzyxf

zyx

.

6) Discutaţi în funcţie de valorile parametrului 0>α continuitatea următoarelor funcţii :

a)

=+

≠++=→

α

0,0

0,),(,:

22

22222

yx

yxyxyx

yxfRRf ;

b) ( )

=

≠+=→

α+

)0,0(),(,0

)0,0(),(,sin),(,: 44

22

2

yx

yxyxyx

yxfRRf

6

7) Care dintre următoarele funcţii se poate prelungi prin continuitate ?

a) ( )22

222 1ln)(,)}0,0{(:

yxyxxfRRf

++

=→− ;

b) 22

222 )(,)}0,0{(:

yxyyxxxfRRf

+++

=→− .

8) Să se arate că funcţia ( ) ( )

( )

=

≠+=

)0,0(,,0

0,0,,),( 42

2

yx

yxyx

yxyxf

este continuă parţial în origine în raport cu fiecare dintre variabile dar nu este continuă (în raport cu ambele variabile). 6. Teoria diferenţială a funcţiilor

1) Să se arate că funcţia ( )xx

xfln1

1++

= verifică egalitatea ( )1ln)()()(' −⋅=⋅ xxfxfxfx .

2) Să se calculeze derivatele de ordin n ( *Nn∈ ) în cazul următoarelor funcţii : a) 0,,),ln()( ≠∈+= aRbabaxxf ; b) ( ) xexxf −−= 1)( ; c) ( ) *2 ,sin Raaxxf ∈= d) xxxf cos)( 2= . 3) Pornind de la definiţie, să se calculeze : a) )0,1('

xf şi )0,1('yf , dacă ( ) 22 ,ln),( yxyxxyxf >−= ;

b) )2,0(),2,0( ''''2 yxx ff şi )2,0(''

2yf , dacă ( ) *22 ,,, Ryxyxyxf ∈+= ;

)2,1,4('''zyxf , dacă 0,0,),,( ≠>= zxxzyxf z

y

.

4) Demonstraţi că funcţia xy

exyxyxf +=),( verifică egalitatea

),(),(),( yxfxyyxyf

yyxxf

x +=∂∂

+∂∂

5) Arătaţi că :

a)

+

ϕ⋅

−=→× 22

2* ),(,:

yxxa

xyarctgyxfRRRf yx verifică ecuaţia:

1,0,ln2 22

2

≠>

+

ϕ−=∂∂

+∂∂ aaa

yxxayx

yfy

xfx yx ;

b) ( )2223 ,),,(,: zyxyxzyxfRRf −+ϕ=→ verifică ecuaţia:

( ) 022 =∂∂

−+∂∂

−∂∂

zfyx

yfzy

xfzx .

6) Calculaţi diferenţiala funcţiei ( ) .0,3,ln)( 2 >ϕ= xxxxxf

7

7) Calculaţi diferenţialele următoarelor funcţii :

a) 22

22

),(yxyxyxf

+−

= ; b) 2

),,(z

yxarctgzyxf = .

8) Fie funcţia zcybxaezyxfRRf ++=→ ),,(,: 3 . Să se determine fd n .

9) Arătaţi că funcţia ( ) ( )

( ) ( )

=

≠+=→

0,0,,0

0,0,,2

),(,: 222

yx

yxyxyx

yxfRRf , are derivate parţiale în origine

cu toate că nu este continuă în acest punct. 10) Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul al doilea pentru următoarele funcţii :

a) yxtgyxf ln),( = ; b)

yxyxyxf

+−

=),(

c) yxeyxf sin),( = ; d) ( )22ln),( yxxyxf ++=

e) 532),,( 23 ++−+= zyxzyxzyxf ; f) ( )zyxzyxf =),,(

g) 222

),,(zyx

zyxzyxf++

= ; h) xzy zyxzyxf 2),,( −+= .

11) Demonstraţi că :

a) 2=∂∂

+∂∂

yz

yxz

x , pentru ( )22ln yxyxz ++= ;

b) zyy

zyx

zx

⋅=∂∂

+∂∂

2

411 , pentru 22

4

yxyz−

= ;

c) 1=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

, pentru zyyxxu

−−

+= .

d) 0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zuz

yuy

xux , pentru Rcba

zyxzcybzau ∈

++

++= ,,,

222.

12) Calculaţi :

a) )1,1(df , dacă ( ) 2,yxyxf = ; b) )5,4,3(df , dacă

22),,(

yxzzyxf+

= .

13) Calculaţi diferenţialele de ordinul întâi ale următoarelor funcţii:

a) yxyxf arcsin),( = b)

xyarctg

yxarctgyxf +=),(

c) )2cos(),,( zyxzyxf +−= d) ( )423ln),,( zyxzyxf ++= . 7. Aplicaţii ale calculului diferenţial 1) Să se determine punctele de extrem local în cazul următoarelor funcţii:

a) 233)(,: 23 ++−=→ xxxxfRRf b) ( )2416)(,}2,0,2{:

xxxfRRf

−=→−−

c) { }3 2 4

)(,2,2:−

=→−−x

xxfRRf d) xexxfRRf −=→ 2)(,: .

8

2) Să se determine punctele de extrem pentru următoarele funcţii reale de mai multe variabile reale : a) Ryxyxyxxyxf ∈−−+= ,,12153),( 23 ;

b) ( ) 0,,,24

,,22

>+++= zyxzy

zx

yxzyxf ;

c) 0,,3ln2),( 22 >+++−= yxxyarctgyxyxyxf ;

d) ),0(,,),sin(sinsinsin),,( π∈++−++= zyxzyxzyxzyxf . 3) Să se determine punctele de extrem ale următoarelor funcţii : a) 51232)(,: 23 +−+=→ xxxxfRRf ;

b) 8

4)(,:2 +

=→x

xfRRf

c) )1ln()(,),1(: xxxfRf +−=→∞− ;

d) x

exfRRfx

=→ )(,: *

e) yxyxyxyxfRRf −−++=→ 2),(,: 222 ;

f) 22

2

1

1),(,:yx

yxyxfRRf++

−+=→ ;

g) 22442 242),(,: yyxxyxyxfRRf −+−+=→ ;

h) ( ) ( ) ( )22222 ,,: yxeyxyxfRRf +−⋅+=→ ; i) ( ) zxyxzyxzyxfRRf 2,,,: 2223 −+−++=→ ;

j) { }( )16

1),,(,0: 3 zzy

yx

xzyxfRRf +++=→− ;

k) ( ) ( ) ( )[ ]∑=

−+−+−=→n

kkkk czbyaxzyxfRRf

1

2223 ),,(,: , unde nkRcba kkk ,1,,, =∈ .

8. Derivate şi diferenţiale ale funcţiilor compuse.

1) Fiind dată funcţia ( ) ( ) 0,1,ln 3 >++=ϕ xxxxfx , să se calculeze ( )x'ϕ şi ( )xd ϕ . 2) Să se calculeze ϕd , ştiind că ( ) ( ) ( ) 3222 ,,,,, Rzyxzyxzyxfyx ∈++++=ϕ .

3) Calculaţi ϕ2d în cazul funcţiei ( ) ( ) 0,,,,, 2 ≠∈

=ϕ yRyxyx

yxfyx .

4) Să se arate că funcţia ( ) ( )22, yxfyyx −⋅=ϕ este soluţie a ecuaţiei ϕ⋅=ϕ⋅+ϕ⋅ 2'' 111

yyx yx .

5) Determinaţi derivatele următoarelor funcţii de o variabilă reală: a) ( ) ( ))(),(),( xwxvxufx =ϕ , unde ,3)(,)(,),,( 3 xxxvxctgxuwvuwvuf +==+= şi ( )3ln)( 2+= xxw ;

b) ( ) ( ) ( )( )xvxufx ,=ϕ , unde f este o funcţie diferenţiabilă iar 2

)( xexu = şi 1)( 2−= xxv ;

9

c)

=

yxtu sinln)( , unde 1,3 22 +== tytx .

6) Calculaţi xz

∂∂ şi

yz

∂∂

dacă )(ufz = şi ( )xyyxyxu +=, .

7) Să se calculeze derivatele parţiale de primul ordin ale funcţiei ( ) ( )( )),(,,, yxvyxufyx =ϕ dacă

( ) yxvyxuvuarctgvuf cos,sin,, === .

8) Să se arate că funcţia

ϕ⋅=

2

2

2 yx

y eyez verifică ecuaţia :

( ) zyxyzyx

xzyx =

∂∂

+∂∂⋅− 22 .

NOTA Urmatoarele probleme reprezinta cerinte minimale pentru obtinerea notei 5:

- cap. 1 – ex. 1, 2, 5, 8 - cap. 2 ex. 1 - cap. 3 – ex. 1,2, 3, 4, 11, 12 - cap. 4 – ex. 1, 3,4 - cap. 5 – ex. 1, 3, 7 - cap. 6 – ex. 1, 2, 3, 4, 7, 10, 12, 13 - cap. 7 – ex. 2 - cap. 8 – ex. 1. 4