Georgescu Dragos Cristian 18.06.2012

Clasa a X-a C

Elemente de calcul financiar

1.1 Procente

Termenul de “procent” se foloseste pentru a exprima modificaril;e survenite in evolutia unui fenomen . De exemplu , se spune ca productia unei fabrici a crescut cu 5 procente ( %) , pretul unui obiect s-a micsorat cu 15 % , dobanda acordata de o banca pentru depozityele populatiei a crescut cu 2 procente etc.

In fiecare dintre aceste afirmatii se realizeaza in fapt o comparative inter doua valori ale aceleiasi marimi .

Aceste doua valori poarta nume precum :Valoare de baza :valoarea la care se face raporttarea procentuala ;Valoare procentuala : valoarea care se compara cu valoarea de baza .

In general valoarea de baza (a) se asociaza cu 100 , iar valoarea procentuala (b) se asociaza cu un numar “P”.astfel , vom avea urmatoarea asezare a datelor :

a……………100, (*)

b……………... p

Rezulta ca b/a=p/100 sau valoarea procentuala/vakloarea de baza = p/100. (1)

Un raport de forma p/100 , p>0 se numeste raport procentual .

p/100 se noteaza p% si se citeste “p la suta “.

1/100 se numeste procentul , iar p/100 reprezinta pm procente .

Egalitatea (1) rezultata din compararea calorii de baza cu valoarea procentuala da posibiliatea aflarii uneia dintre valorile a,b,p daca se cunosc doua dintre ele dupa cum urmeaza :

Problema rezolvata

Din salariul de 7 540 000 lei , un angajat contribuie la fondul de asigurari sociale si de sanatate cu 7% . Cu ce suma contribuie salariatul ?

Solutie :

a) Se foloseste regula de trei simpla dupa modelul schemei (*) asezand datele astfel :7 540 000 ……………….. 100 b………………………………7 Rezulta ca : b = 7 540 000 7/100 = 527 800 (lei)

b) Se determina cat reprezinta 7/100 din 7 540 000 efectuand produsul 7/100 * 7 540 000 = 527 800( lei) .Pentru a determina p % dintr-un numar a se procedeaza astfel :a) Se aplica regula de trei simpla problemei : “daca a corespunde lui 100 , atunci cat este b care

corespunde numarului p ?”

Datele se aranjeaza astfel :a…………100b…………. p b= a * p/100 .

b) Se inmulteste p/100 cu numarul a si se obtine b= p/100 * a ,

Aflarea numarului cand se cunoaste p % din el

Dupa o reducere de 20% pretul unui tricou este de 360 000 lei . Care a fost pretul inainte de reducere ?Solutie

a) Fie pretul initial al tricoului . Atunci noul pret va fi 80/100 din pretul intial . Asadar , 360 000 =(80/100) * a,

Rezulta ca a = 360 000 * 100/80 = 450 000 (lei ) .

Pentru a afla numarul a cand se cunoaste p % din el este b se procedeaza astfel :a) (p/100) *a =b a = b *(100/p)b) Se aplica regula de trei simpla pentru problema : “Daca lui p ii corespunde b , atunci lui

100 cat ii corespunde ?” p………………b 100……………a ?

a= b*(100/p) .

Aflarea raportului procentual

La o expertiza a calitatii produselor , dintr-un lot de 2 425 produse au fost admise 2 328 . Cat la suta din numarul produselor excpertizate au fost admise ?

Solutie

a ) Rapotul b/a = p/100 se scrie 2 328 / 2 425 = p/ 100 . Se obtine p/100 = 0 ,96 sau p% = 96 % . b) Cu regula de trei simpla scrisa dupa schema (*) avem :2 425 ……………1002 328 …………… p

P =( 2 328 * 100) / 2 425 = 96 sau p% = 96 % .

Pentru a determina cat la suta din a reprezinta b se procedeaza prin una dinbtre modalitatile :

a ) Se scrie (p/100 ) *a = b si se calculeazxa p/100 = a /b .

b) Se afla p din proportia (b/a) = (p/100) .

c) Se aplica regula de trei simpla problemei : “Daca a corespunde lui 100 , atunci cat corespunde lui b ?”

a………………100

b………………….p ?

Rezulta : (p/100) = (b/a) .

In practica in afara de procente se mai folosesc si alte rapoarte remarcabile , cum ar fi cu numitorul 1000 . Un raport de forma p/1000 notat p ‰ se numeste promila .

Dobanda simpla

In circulatia valorilor banesti se obisnuieste ca pentru o suma de bani depusa sauu imprumutata , sa se plateasca la termenul scadent o suma majorata ca urmare a serviciului adus de aceasta suma .

Suma S depusa sau imprumutata initial se numeste capital initial .

Suma Sn restituita dupa o perioada de timp n , se numeste capital final .

Diferenta Sn-S , dintre capitalul final si cel initial es numeste dobanda .

Dobanda depinde de mai multi factori cum ar fi : marimea capitalului folosit , perioada de timp cat capitalul a fost folosit , procentul de majorare convenit la inceputul perioadei si alti factori .

Procentul de majorare sau rata dobanzii arata cati lei ( sau cate unitati monetare ) din 100 se acorda ca majorare pentru serviciile aduse de suma depusa sau imprumutata pe o perioada de un an . Aceasta se noteaza cu r % .

Daca dobanda oferita este direct proportionala cu suma initiala S si cu durata operatiunii , atunci aceasta dobanda poarta numele de dobanda simpla sau Ds.

Sa calculam dobanda simpla Ds generata de capitalul initial S intr-un an .

Pentru aceasta vom folosi regula de trei simpla pentru un enunt de forma :” Daca pentru 100 de unitati monetare ( u.m) se acorda o majorare de r u.m pe an , cate unitati monetare (u.m) se acorda pentru o suma S ?”

Avem urmatoarea asezare a datelor :100 (u.m) ................r (u.m)

S(u.m) ........................ Ds ?

Rezulta ca Ds= S *(r/100) (1) ( dobanda simpla de suma S intr-un an cu rata dobanzii r % ).

Cu ajutorul formulei ( 1) se deduce modul de calcul al dobanzii simple generate de capitalul S pe o prioada de n ani cu rata dobanzii r % .

Ds= S* (r/100) * n .

(2)

Dobanda simpla generata de un capital de 5v milioane de lei pe o durata de 2 ani cu o rata a dobanizii de 18 % este : Ds= 5 000 000 *( 18/100) * 2= 1 800 000 ( lei ) .

1. Formula dobanzii simple ( 2) contine 4 elemente : Ds , S , r si n . Cunoscand trei dintre ele se poate calcula al patrulea element .

2. Daca S este capitalul initial , Ds este dobanda simpla generata de acest capital pe durata a n ani cu rata dobanzii r% , atunci capitalul final Sn va fi :

Sn= S+Ds=S(1+r/100*n ) . (3)

3. Daca anul este impartit in k parti egale si tk este un numar de astfel de parti pentru care se calculeaza dobanda simpla , atunci formula ( 2) devine :

4. Ds= S *r/100 * tk/K ( 4) Astfel , pentru k=2 se obtine dobanda pe t 2 semestre , pentru k=3 se obtine dobanda pe t3 trimestre , pentru k=12 e obtinuta dobanda pe t12 luni , pentru k= 360 se obtine dobanda pentru t360 zile , adica :Ds=S*r/100*t2/2 ; Ds=S*r/100*t3/3 ; Ds=S*r/100*t12/12 ; Ds= S*r/100*t360/360 .

1.Un capital de 25 de milioane de lei este plasat in regim de dobanda simpla pe o perioada de 3 ani cu rata dobanzii de 20 % .a) Ce dobanda genereaza acest capital pe perioada plasamentului ?b) Cat ar trebui sa fie rata dobanzii pentru ca acest capital sa aduca in doi ani o dobanda egala cu cea obtinuta dupa 3 ani ?

Solutie

a) Elementele cunoscute din formula dpbanzii simple sunt :s= 25 000 000 lei , r% = 20 % si n =3 ani . Rezulta ca dobanda simpla este Ds= S*r/100 *n = 25 000 000 * (20/100 ) *3 = 15 000 000 ( lei ) .

b) In acest caz se cunoaste S = 25 000 000 lei , n=2 ani , Ds= 15 000 000 lei . Din formula dobanzii simple se obtine procentul de dobanda :

r/100 = Ds/(s*n) = 15 000 000 / (25 000 000*2) = 15 / 50 = 30 / 100 , Asadar r % = 30% .

2.O persoana fizica imprumuta suma de 80 milioane de lei cu rata dobanzii simple de 24 % .

a ) Ce suma trebie restituita dupa 75 de zile ?

b) Cat timp poate pastra suma imprumutata , astfel incat la termenul scadent sa fie platita dobanda de 6 400 000 lei .

Solutie

a) Vom considera faptul ca anul are 360 de zile astfel incat calculele sa fie mai simple .In aceasta situatie , dobanda simpla generat de capitalul de 80 de milioane pe 75 de zile cu procentul de 24 % este :Ds=S*(r/100)*(t360/360)=80*1 000 000 * 24/100 *75/360 = 4 000 000 lei .Suma finala este Sn=S+Ds=84 000 000 lei .

b) Din formula dobanzii sinmple se deremina n = Ds/( s*r%) . Se citeste n=1/3 , adica n

=n 4 luni .

Dobanda compusa

Sa presupunem ca suma de 5 milioane de lei este depusa intr-o banca pe perioada a doui ani cu un

procent de majorare anual de 15 % . Daca pentru calculul dobanzii in al doilea an se ia in considerare

nu numai suma initiala ci si dobanda generata de ea in primul an , adica suma totala de 5 000 000 lei

+ 750 000 lei , se spune ca operatiunea bancara se desfasoara in regim de dobanda compusa .

In cazul de fata , la sfarsitul celor doi ani capitalul final va fi 5 750 000+5 750 000*15/100 = 6 612 500 (

lei ) .

Se observa ca aceasta maniera de calculare a dobanzii este mult mai avantajoasa pentru deponent

decat dobanda simpla .

Asadar , sustinem ca o suma de bani este plasata in regim de dobanda compusa atunci cand la

sfarsitul primei perioade a plasamentului , dobanda simpla generat de suma este adaugata la suma

initiala pentru a produce la randul ei dobanda in perioada urmatoare .

Intr-o astfel de operatiune se spune ca dobanda a fost capitalizata .

Pentru determinarea dobanzii compuse generata de o suma , sa analizam urmatoarea problema :

„In ce suma se transforma in timp de n ani un capital S , daca se stie ca aceasta genereaza dobanda

compusa cu rata dobanzii r % ?”

Solutie

Capitalul S produce in primul anj o dobanda egala cu S * r/100 .

In al doilea an suma generatoare de dobanda va fi :

S1= S+S*(r/100) = S * ( 1+r/100) = S * R , unde R = 1+r/100 .

Dupa inca un an , suma S , se majoreza cu dobanmda simpla S1*r/100 si devine : S2=S1+S1*(r/100)=S1(1+r/100) = S1*R=S(R ^2) .Repetand rationametul , dupa 3 ani se obtine suma S3= S(R ^3) , dupa 4 ani se obtine S4= S(R ^4) s.a.m.d

Prin inductie matematica se arata ca dupa n ani suma finala va fi Sn=S(R ^n) , unde R=1+r/100 .

Dc=Sn-S=S(R ^n) – S = S( R ^n-1) .Sumele S,S1,S2,S3,....Sn,.... formeza o progresie aritmetica cu ratia r.

1.Se plaseaza in regim de dobanda compusa suma de 12 milioane de lei cu o rata a dobanzii de 10% . Sa se calculeze dobanda rezultat dupa 5 ani .SolutieElementele cunoscute in problema sunt : s= 12 000 000 lei , r% = 10% si n = 5 . Aplicand formula (1) , se obtine :Dc = S ( R^5-1) = S [( 1+r/100) ^5-1]=12*10^6[(1+1/10)5-1]=12*10^6*(11^5-10^5)/10^5=120*61 051 = 7 326 120 ( lei ) .Asadar , dobanda compusa este Dc = 7 326 120 lei .2.Care este rata dobanzii pentru ca o suma plasata in regim de dobanda compusa sa creasca cu 44% in 2 ani ?SolutieFie S suma initiala si S2 suma finala .\Din enunt avem ca S2=S+(44/100)S =(36/25)S.Totodata avem S2=S(1+r/100) ^2 si ca urmare se stabileste egalitatea (36/25)S = S(1+r/100) ^2 din care se obtine r/100=1/5=20% . 3.Un capital de 800 000 u.m este plasat in regim de dobanda compusa pe durata de doi ani cu procentele de dobanda de 16 % in primul an si de 18 % in al doilea an . Care este capitalul inregistrat la termenul scadent ?SolutieSuma rezultata dupa primul an este S1=SR1,R1=1+r1/100 iar suma rezultata la sfarsitul celui de-al doilea an este S2=S1*R2=S1(1+r2/100)=S(1+r1/100)*(1+r2/100) .Inlocuind cu datele problemei se obtine S2= 1 095 040 u.m .

Taxa pe valoare adaugata ( TVA )

Taxa pe valoare adaugata ( TVA ) este un impozit inditrect , exprimat in procente , stabilit si perceput de stat asupra valorii adaugate in fiecare stadiu al productiei si al distributiei bunurilor economice .Marimea taxei pe valoare adugata depinde de baza de calcul si de cotele de impozitare .Elementele care compun baza de calcul ( de impozitare ) sunt diferite , in functie de situatia data cum ar fi : preturile si tarifele negociate , preturile de piata , costurile bunurilor executate de agentii economici etc.

Cota de impozitare ( procentul TVA) este fixa si unica pe o anumita perioada stabilita de stat . De exmplu , in perioada 1992-1997 a fost 18 % , in 1998 a fost 22 % si incepand cu 1999 s-a stabilit cota de 19 % .Valoarea adaugata de agentii economici participanti la procesul de productie si de circulatie a unui produs se refera la diferenta intre pretul de vanzare si pretul de cumparare .ExempluSa determinam taxa pe valoare adugata pentru un palton . Astfel , sestie ca pentru confectionarea paltonului s-a platit furnizorilor de materii suma de 2 500 000 lei .La aceasta suma se adauga impozitul TVA = (19/100)*2 500 000 = 475 000 ( lei ) .Paltonul este dat spre vanzare la un magazin-depozit cu suma de 3 500 000 lei .Valoarea adaugata in procesul de circulatie a marfii este :3 500 000 -2 500 000 = 1 000 000 ( lei ) careia ii corespunde taxa :TVA =(19/100)*1 000 000 = 190 000 lei .

Produsul este cumparat de la magazinul-depozit de un vanzator detailist cu pretul de 3 700 000 lei . Se observa ca s-a adaugat suma 3 700 000 -3 500 000 = 200 000 ( lei ) pentru care se percepe impozitul TVA =(19/100)*200 000=38 000 ( lei ) .

Vanzatorul va vinde paltonul unui client cu pretul de 4 000 000 lei , deci adaugand la valoarea perecedenta suma de 300 000 lei pentru care se percepe taxa:

TVA =(19/100)*300 000 = 57 000 ( lein )M .

Asadar , in total ,

TVA=475 000 +190 000+ 38 000 +57 000=760 000 ( lei ) .

1.Taxa pe valoare adaugata pentru produsul „palton” a rezultat din calculul acesteia in mai multe etape .

TVA poate fi insa calculata direct aplicand procentul TVA platit de ultimul cumparator. Asadar,

TVA =(19/100). Pret produs =(19/100)*4 000 000 = 760 000 ( lei ) .

2.TVA este platita la bugetul statului dfe unitatile economice care paqrticipa la circyulatia bunurilor materiale sau presteza servicii si este suportata de cumparator deoarece intra in pretul de vanzare .

Asadar ,

Pret vanzare= Pret productie +TVA ,

Unde

TVA = ( p/100) * Pret productie , p/100 = cota de impozitare

Care este pretul de vanzare al unei marfi care costa 445 000 lei fara TVA , cand procentul TVA este 19 % ?

Solutie

Pret vanzare= Pret produs+TVA = 445 000 +( 19/100)*445 000 = 529 550 (lei ) .

Amortizari de investitii

In procesul de productie , prin capital fix sau mijloace fixe intelegem masini , utilaje , instalatii mijloace de transport , cladiri etc. In timp , aceste mijloace fixe sunt supuse procesului de uzura fizica si morala .

Amortizarea capitalului fix reprezinta procesul de recuperare , treptata a valorii capitalului fix .

Termenul necesar recuperarii integrale a valorii vcapitalului fix se numeste termen de armotizare .

Partea din vaoarea capitalului fix recuperata intr-un an se numeste amortizare anuala .

Notand cu A armotizarea anula , cu V valoarea capitalului fix si cu T termenul de armotizare rezulta ca : A=V/T .

Raportul procentual intre armotizarea anuala ( A) si valoarea capitalui fix ( V ) se numeste rata anuala de armotizare , notata rA.

Asadar , rA=(A/V)*100(%).

Sa urmarim armotizarea unui capital fix cu valoarea V , termenul de armotizare n ani , efectuata in transe anuale egale pe toata durata termenului de armotizare .

Anul Armotizarea anuala (A)

Rata anulaa de armotizare ( rA)

Valoarea armotizata

Procentul de armotizare

Valoarea ramasa de armotizat

1 V/N (100/n)% V/n (100/n)% V-(V/n)=[(n-1)V]/n2 V/N (100/n)% (2V)/n (200/n)% [(n-2)V]/n...k V/N (100/n)% (kV)/n (100k/n)% [(n-k)V]/n...n V/N (100/n)% V 100% 0

Valoarea unui utilaj este de 5 600 u . m , iar armotizarea anuala este de 700 u . m . Sa se determine

teremenul de armotizare si rata anuala a armotizarii .

Solutie

Armotizarea anuala a utilajului este A= V/T , relatie din care se obtine T=V/A . Inlocuind V = 5 600

u.m , A = 700 u.m se obtine timpul de armotizare T = 8 ani .

Rata anuala a armotizarii este rA= (A/V)*100 = (700/5 600 ) *100= 12,5 ( % ) .

Profitul. Rata profitului

Profitul sau beneficiul reprezinta castigul realizat din executarea unein activitati .

Profitul este caracterizat de urmatorii indicatori : masa profitului ai rata profitului .

Masa profitului ( P) reprezsinta diferenta pozitiva dintre veniturile totale ( Vt) si cheltuielile totale ( Ct) .

Asadar , P= Vt- Ct.

Rata profitului ( rp) se calculeza fie ca raportul procentual dintre masa profitului ( P) si cheltuielile

totakle ( Ct ) , fie caraportul procentual dintre masa profitului si veniturile totale ( Vt) .

Asadar , rp= (P/Ct)*100( %) ,sau rp=(P/Vt)*100(%)

Cu cat rp este mai mare , cu atat eficienta activitatii este mai mare .

Un atelier de croitorie a incasat 41 000 u.m pentru obiectele lucrate . Stiind ca s-au investit 25 000 u.m

pentru materii prime , 3 000 u.nm pentru salarii , 700 u.m pentru intretinerea utilajelor si 400 u.m

pentru armotizari , sa se determine :

a) Profitul si rata profitului;

b) Profitul net , daca impozitul pe profit este de 16 % .

Solutie

a) Avem relatia P=Vt-Ct = 41 000 –(25 000 +3 000 +700+400) = 11 900 u.m

rp=(P/Ct)*100=(11 900/29 100 )*100= 40,89 %.

b) Profitul net = profitul-brut-impozitul = 11 900 – 11 900 *( 16/100)= 9 996 (u.m).

Pretul de cost al unui produs

Costul de productie (Cp) al unui produs reprezinta totalitatea cheltuielilor facute pentru

producerea acestuia .Exista mai multe tipuri de costuri .

Costul fix (Cf) este determinat de consumurile fixe si reprezinta acele cheltuieli care pe termen

scurt ra man neschimbate(chirii, asigurari,amortizari de capital fix ,intretinere etc )

Costul variabil (Cv) este determinat de consumurile variabile (materii prime ,combustibil,

salariile lucratorilor etc. )

Costul total de productie (Cp) este determinat de consumurile variabile ( materii prime ,

combustibil , salariile lucratorilor etc. |)

Costul tottal de productie ( Cp) este determinat de consumurile legate de intreaga productie si

reprezinta suma dintre costul fix si costul variabil .

Asadar , Cp=Cf+Cv

Costurile totale ( Ct) se obtin din suma dintre costul de productie si costul de distributie(Cd) .

Asadar , Ct=Cp+Cdf.

Costul mediu (unitar) reprezinta costul pe unitatea de produs realizat . Acesta este de mai

multe feluri : fix ( Cfm ) , variabil ( Cvm) ,si total ( C tm ).

Aceste feluri de cost mediu se obvtin ca raport dintre costurile globale ( fixe,variabiloe,totale)

si cantitatea de produse realizate ( Q) .

Asadar , Cfm=(Cf/Q) ; Cvm=(Cv/Q) ; Ctm=(Ct/Q).

O societate de prestari servicii realizeaza intr-om luna consumuri fixe de 6 000 u.m ,

consumuri varaibile reprezentand 5/2 din consumurile fixe , iar costurile de sitributie valoreza

420 u.m., Sa se determine :

a) Costul de productie si costul total;

b) Costurile medii Cfm,Cvm,Ctm stiind ca Q =1500.

Solutie

a) Avem : Cp=Cf+Cv=6 000+(5/2)*6 000= 21 000(u.m.)

b) Ct=Cp+Cd=21 000+420 = 21 420(u.m.)

c) Se obtine Cfm=4 u.m.,Cvm- 10 u.m., Ctm= 14,28 u.m. .

Tipurile de credite

Prin credit se intelege o operatie prin care o persoana fizica sau juridica numita

debitor obtine fonduri sau bunuri de la o alta persoana fizica sau juridica , numita

creditor asumandu-si obligatia sa le restituie sau sa le plateasca la termen .

Restituirea fondurilior se numeste rambursare . In generla , rambursarea este insotita

de dobanda .

Termenul pana la care fondurile sunt rambursate se numeste scadenta .

In ceea ce priveste cauza care determina creditul , acesta poate fi credit de finantare

sau credit de refinantare .

La nivelul unei intreprinderi finantarea se poate realiza prin autofinantare , pe baza

propriilor resurse ( profit, rezerve) sau prin finantare extrena care se efctueaza pe

baza creditelor rambursabile sau nerambursabile .

Buget personal . Buget familial

Bugetul personal si cel familial reprezinta sisteme de evidenta , de inregistrare

sistematica si cronologica a veniturilor si cheltuielilor unei persoane , respectiv unei

familii pe o perioada de timp ( de obicei 1 an ).

Venituri Cheltuieli

-salarii:2*900 u.m. , lunar; -consum alimentar : 8 040 u.m.;

-locatii:2*25 u.m., lunar;

-dobanzi bancare : 50u.m., lunar;

-credit bancar : 1 000 u.m. , lunar.

-intretinere locuinta : 2 260 u.m.;

-imbracaminte/incaltaminte : 2 900 u.m.;

-servicii( telefon , TV, reparatii ) : 680 u.m.;

-asistenta medicala : 500 u.m.;

-concediu : 2 500 u.m.;

-alte cheltuieli : 600 u.m.;

-impozite,rambursare credit : x

Total : 23 800 u.m. Total: y

Elemente de statistica

Statistica este disciplinaq care se ocupa cu culegerea , inregistrarea , gruparea,analiza si

interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum si cu formularea unor previziuni

privind comportarea viitoare a acestuia .

Activitatea de culegere si inregistrare a datelor referitoare la un fenomen face obiectul

statisticii descriptive sau statisticii formale .

Activitatea de grupare , de analiza si de interpretare a datelor precum si formularea unor

previziuni privind comportarea viitoare a unui fenomen reprezibta obiectul statisticii

matematice .

Elemente de limbaj in statistica . Date statistice

Multimea pe care se realizeaza un studiu statistic se numeste populatie statistica .

Elementele componente ale unei populatii statistice se numesc unitati statistice sau indivizi .

Numarul total de unitati statistice se numeste efectivul total al populatiei statistice.

O parte a populatiei statistice aleasa special pentru a fi studiata se numeste esantion .

Proprietatea sau indicatorul in functie de care se cerceteaza o populatie statistica se numeste

caracteristica sau variabila statistica .

O caracteristica se numeste caracterisica calitativa daca nu poate fi masurata ( valoarea ei nu

se exprima numeric ).

O carcteristica se numeste cantitativa daca se poate exprima numeric .

O caracteristica cantitativa se numeste discontinua sau discreta dacanu poate lua decat valori

numerice izolate .

O caracteristica cantitativa care poate lua orice valoare dintr-un interval de lungime finita sau

infinita se numeste caracteristica cantitativa continua .

Intervalele in care o caracteristica ia valori se numesc grupe sau clase de valori .

Culegerea , inregistrarea si clasificarea datelor statistice

Valoarea absoluta a diferentei extremitatilor unei clase de valori se numeste amplitudinea

clasei .

Serii statistice . Frecvente

Multimea tuturor perechilor (xi,ni),1<i<p formeaza o serie statistica cu o singura variabila .

Numarul ni de unitati statistice corespunzatoare valorii xi a caracteristicii sau a unei clase de

valori a caracteristicii se numeste frecventa absoluta a valorii x , respectiv frecventa absoluta

a clasei de valori considerabile . Rezulta ca n1+n2+n3+........+np=N.

Se spune ca aceste tabele definesc distributia sau repartitia statistica a variabilei statistice .

Frecventa absoluta cumulata crescatoare a valorii xi a variabilei statistice este suma tuturor

frecventelor absolute ale valorulor variabilei care apar pana la xi , inclusiv .

Graficul unei serii statistice se numeste diagrama structurala .

Daca dreptunghiurile sunt asezate vertical , reprezentarea grafica se numeste diagrama prin

coloane , iar daca sunt benzi asezate orizontal reprezentarea grafica se numeste diagrama

prin benzi .

Graficul seriei statistice cu variabila cantitativa continua se numeste histograma .

Interpretarea datelor statistice prin parametri de pozitie

O astfel de marime se numeste indicator sau parametru de pozitie deoarece arata pozitia

elementelor principale ale seriei in cadrul acesteia .

Mediana seriei statistice

Mediana unei serii statistice ordonate este valoarea Me care imparte sirul ordonat al valorilor

variabilei in doua parti , fiecare parte continand acelasi numar de valori .

Clasa de valorim din seria frecventelor absolute cumulate careia ii corespunde cel putinn

jumatate din efectivul total al populatiei se numeste clasa mediana .

Modulul unei serii statistice

Modulul sau dominanta unei serii statistice (xi,ni),1<i<p,reprezinta valoarea sau clasa de valori

a variabilei care corespunde celui mai mare efectiv si se noteaza Mo.

Dispersia.Abaterea medie patratica

Pentru a masura gradul de imprastiere a datelor unei serii statistice fata de medie se folosesc

urmatorii parametri de pozitie : dispersia si abaterea medie patratica .

Fiind data seria statistica ( xi,ni),1<i<p,dispersia valorilor x1,x2,...,xp este media aritmetica

ponderata a patratelor abaterilor de la medie ale valorilor variabilei .

Fiind data seria statistica (xi,ni),11<i<p, se numeste abatere medie patratica a valorilor

variabilei .

Elemente de calculul probabilitatilor

Astfel de fenomene care depind de diversi factori intamplatori se numesc fenomene

aleatoare . Stiinta care isi pfropune sa modeleze si sa studieze marimile si fenomenele

aleatoare este calculul probabilitatilor .

Experimente si evenimente aleatoare

Un experiment aleatorsau experienta aleatoare este o actiitate ale carei rezultate nu pot fi

anticipate cu certitudine .

Fiecer repetare a unui experiment aleator se numeste proba .

Multimea tuturor rezultatelor posibile alu unui experiment aleator se numeste multimea

cazurilor posibile sau domeniul de posibilitati . Se va nota cu E .

Se numeste evniment aleator sau evniment orice situatie determinate de unul sau mai multe

rezultate posibile ale experimentului .

Se observa ca evenimentele sunt submultimi ale domeniului de posibilitati .

Asadar , fiecarui eveniment ii corespunde o multime de cazuri favorabile .

Spunem ca un eveniment s-a realizat daca rezultatul experimentului este un element in

multimea care-l defineste .

Operatii cu evenimente

1.Reuniunea

Reuniunea elementelor A si B este evenimetul “A sau B “, a carui realizare consta in

realizarea a cel putin unuia dintre evenimente A,B .

2.Intersectia

Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul “A si B “ , a carui realizare consta in

realizarea simultana a celor doua evenimente .

3.Negatia

Negatia evenimentului A este evenimentul “non A “ , a carui realizare consta in nerealizarea

evenimentului A . Evenimentul “non A “ se numeste evenimentul contrar evenimentului A .

4.Implicatia

Spunem ca A implica B daca realizarea evenimentului A atrage realizarea evenimentului B . A

implica B ( multimea cazurilor favorabile lui A este inclusa in aceea a lui B ) .

Evenimentele A si B se numesc echivalente .

Probabilitatea unui eveniment

Evenimentele elementare { e1} , {e2} ,{e3},…… { ei} se numesc egal probabile

( echiprobabile ) daca au aceeasi sansa de realizare inbtr-o proba .

Numarul evenimentelor elementare care compun evenimentul sigur reprezinta nuamrul de

cazuri posibile ale experientei .

Numarul cazurilor favorabile producerii unui eveniment A este nA al evenimentelor

elementare care il compun .

Se numeste probabilitatea evenimentului aleator A . notata P(A) , raportul dintre nuamrul

cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile

P(A)= numaraul cazurilor favorabile / numarul cazurilor posibile = nA/n .

Probabilitati conditionate

Se numeste probabilitatea evenimentului A conditionata de evenimentul B PB(A) = P(A reunit

cu B )/P(B) .

Evenimente independente

O urna contine 6 bile albe si 8 bile negre , iar alta urna contine 8 bile albe si 10 bile negre . Din

fiecare urna se extrage cate o bila . Sa se determine probabilitatea ca bila extrasa din prima

urnasa fie alba iar cealalta sa fie neagra .

Solutie

A:”Bila extrasa din prima urna este alba .”

B: Bila extrasa din a doua urna este neagra .

Se obeserva ca se probabilitatea evenimentului “A si B “. Deoarece evenimentle A , B Bsunt

independente rezulta ca

P(A reunit cu B ) = P( A ) * P ( B ) = (6/10)* (10/18)= 5/21

Schema lui Poisson

Fie A1 , A2,…,An n evenimentele independente ale unui experiment , pi+ P( ai) si qi=1-pi .

Probabilitatea realizarii unui numar de k evenimente din cele n evenimente , este egala cu coeficientul

lui x de k ori din dezvoltarea expresiei algebrice ( p1x+q1)*(p2x+q2)* ……*(pnx+qn) .

Schema lui Bernoulli

Fie A1, A2 , …. , An n evenimente independente echiprobabile , P(Ai) = p .