1.6. PROBLEME DE CONCURENT¸ A˘

28 TEOREMA LUI GERGONNE

Fie un triunghi ABC , D∈ (BC ), E∈ (AC ), F∈ (AB). Daca˘ AD, BE s¸i C Fsunt concurente ˆın punctul M atunci:

DM EM F M+ +

AD BE C F= 1.

Demonstra¸tie. Nota˘m cu ha distan¸ta de la punctul A la BC ; cu da distan¸ta de la punctul M la BC ; ABM C aria triunghiului BM C s¸i cu AABC aria triunghiului ABC .

A

E F M

B C D

Figura 1: Teorema lui Gergonne

Se observa˘ ca˘

ABM C

AABC=

da (au aceeas¸i baza˘).

ha

Se construiesc ˆına˘l¸timile AG pentru triunghiul ABC s¸i M I pentru triunghiul

BM C . Se formeaza˘ astfel triunghiurile asemenea AGD s¸i M I D, pentru care putem scrie:

Se ob¸tine:

da M D= .

ha AD

ABM C =

M D

AABC AD

Prin procedee analoage se pot ob¸tine:

(1)

AAM B

AABC

M F= ; (2)

C F

AAM C =

M E

AABC BE(3)

CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETICA˘

PLANA˘29

adunaˆnd rela¸tiile (1),(2) şi (3) vom ob¸tine:

1 = ABM C

AABC

+ AAM C

AABC

+ AAM B

AABC

DM EM F M= + +

AD BE CFq.e.d.

Problema 1.

Se dă triunghiul ABC, , , astfel încât . Fie şi Dacă demonstraţi că .

Demonstraţie:

A

R Q

M

B P C

Din teorema lui Gergone rezultă imediat că .

Dar , . Rezultă imediat că Deci .q.e.d.