2. PunctulPUNCTULPROBLEME REZOLVATE1. S se construiasc n epur, n dubla proiecie ortogonal, urmtoarele puncte i s se precizeze poziia lor n spaiu (fig. 2.12). A(4,3,3), B(3,2,-2), C(5,0,-2), D(2,3,0), E(1,0,0)

Fig. 2.12 REZOLVAREn dubla proiecie ortogonal, sistemul de referin se rezum doar la planele [H] i [V], care se intersecteaz dup axa (Ox). Punctul A(4,3,3) este situat n diedrul I al spaiului geometric descriptiv. Deoarece deprtarea i cota acestui punct sunt egale i pozitive, rezult c punctul A se afl pe planul bisector [B1]. Punctul B(3,2,-2) se gsete n diedrul IV. Deprtarea i cota punctului B sunt egale n valoare absolut, dar de semne contrare, ceea ce conduce la poziionarea punctului pe planul bisector [B2]. Punctul C(5,0,-2) se gsete n planul XOZ (adic n planul vertical de proiecie [V]), deoarece deprtarea este egal cu 0. Punctul D(2,3,0) se afl n planul XOY (planul orizontal de proiecie [H]), deoarece cota sa este egal cu 0. Punctul E(1,0,0) se afl pe axa (Ox), deoarece att deprtarea, ct i cota punctului sunt egale cu 0.

2. Se consider punctul A situat n primul diedru, la distana de 4 uniti fa de planul [H] i 6 uniti fa de planul [V]. S se construiasc n epur, n tripla proiecie ortogonal:a) punctul A (fig. 2.13a);b) punctul B, simetricul punctului A fa de planul [H] (fig. 2.13b);c) punctul C, simetricul punctului A fa de planul [V] (fig. 2.13c);d)punctul D, simetricul punctului A fa de axa (Ox) (fig. 2.13d).

Se vor preciza poziiile n spaiu ale punctelor (diedru, octant).

REZOLVARE Punctul A(ax,6,4) este situat n triedrul I (fig. 2.13a) i are deprtarea egal cu 6 i cota, cu 4 uniti. Deoarece deprtarea este mai mare dect cota punctului, rezult c acesta se afl n octantul 1.

Fig. 2.13aObservaiePentru punctul A s-a considerat o valoare arbitrar a abscisei. Punctul B, simetricul punctului A fa de planul [H](fig. 2.13b), se va gsi n triedrul IV, octantul 8. Fa de punctul A, punctul B va avea urmtoarele coordonate: B(bxax, b a, b' -a') . Deci, B(ax, 6, - 4). Punctul C, simetricul punctului A fa de planul [V](fig. 2.13c), se va gsi n triedrul II, octantul 4. Fa de punctul A, punctul C va Fig. 2.13 b avea urmtoarele coordonate:

C(cxax, c - a, c' a') . Deci, C(ax, - 6,4).

Fig. 2.13c Punctul D, simetricul punctului A fa de axa (Ox), se va gsi n triedrul III, octantul 5. Fa de punctul A, punctul D va avea urmtoarele coordonate: D(dxax, d - a, d' - a') . Deci, D(ax, - 6, - 4).

Fig. 2.13d

1. Fiind date proieciile vertical i lateral ale punctului A, s se gseasc proiecia sa orizontal, a.

REZOLVARE (fig. 2.14)Pentru ca cele trei proiecii a, a' i a'' s reprezinte punctul A, este necesar i suficient ca proieciile a i a' s se afle pe aceeai linie de ordine fa de axa (Ox), iar proieciile a' i a'' s se gseasc pe aceeai linie de ordine fa de axa (Oz). Avnd date proieciile a' i a'', vom determina mai nti punctele ax i ay1, ducnd liniile de ordine corespunztoare acestor proiecii. innd cont de rotaia planelor [H] i [L], se va gsi apoi punctul ay (folosind compasul pentru a trasa un arc de cerc de centru 0 i raz 0ay1), n sensul descris de sgeat. S-a reprezentat cu linie ntrerupt rezolvarea problemei. Fig. 2.14

PROBLEME PROPUSE 1. S se reprezinte n epur, n dubla proiecie ortogonal, urmtoarele puncte i s se precizeze poziia lor n spaiu: A(100, 40, 80), B(45, - 40, 70), C(85,- 20,- 50), D(35, 15,- 25), E(20, 0, 25), F(20, 25, 0), G(0, 10, 15), I(15, 0, 0), J(0, 10, 0), K(0, 0,- 5).

2. Se dau urmtoarele puncte situate pe planele bisectoare:A(1, 3, z), B(2, -y, 4), C(3, -4, -z), D(2, y, -5).S se precizeze valorile y i z i s se reprezinte n epur aceste puncte, n dubla proiecie ortogonal.

3. S se construiasc proieciile simetricului punctului A(4, -3, 5) fa de primul plan bisector.

4. S se reprezinte n epur, n tripla proiecie ortogonal, urmtoarele puncte i s se precizeze poziia lor n spaiu:A(55, 25,- 25), B(40, -30, -10), C(- 25, 15, 30), D(-30, 35,- 20), E(-45, -15, 20), F(- 30, -15, -25), G(-50, 15, -15), I(0, 40, 50), J(40, 0, -30), K(0, -35, 0)

5. Se consider punctul M(4, -3, -5). S se construiasc proieciile triunghiului ABC ale crui vrfuri reprezint simetricele punctului M fa de axele (Ox), (Oy), respectiv (Oz).

6. S se construiasc punctul A situat n diedrul II, punctul B situat n triedrul VII i simetricele acestor puncte fa de originea O. S se scrie coordonatele punctelor gsite.

7. Se d punctul A situat n triedrul V. S se reprezinte punctele A1, A2 i A3 simetricele lui fa de planele de proiecie. S se specifice coordonatele punctelor gsite.

8. Se dau punctele: A(50, 60,- 20) i B(60, -30, -10). S se reprezinte n epur: punctele A1, A2 i A3 simetricele lui A fa de planele de proiecie; punctul B1, simetricul lui B fa de originea O; pentru toate punctele, s se precizeze triedrele din care fac parte.

9. Se d punctul A(60,40,50). S se reprezinte: punctul A1 simetricul lui A fa de axa (Ox); punctul A2 simetricul lui A fa de planul [H]; punctul A3 simetricul lui A2 fa de planul [B1]; punctul A4 simetricul lui A3 fa de planul [V]; punctul A5 simetricul lui A4 fa de planul [B2].

10. Se d punctul A(40,60,30). S se reprezinte punctul B situat pe aceeai vertical cu A i care s fie mai apropiat de [H] cu 20 mm dect simetricul punctului A fa de [H].

DREAPTA PROBLEME REZOLVATE1. Se d dreapta (AB), unde A(-55, 50, -20) i B(40, -10, 40). S se construiasc n epur, n tripla proiecie ortogonal, proieciile dreptei i s se specifice regiunile acesteia.

REZOLVARE (fig. 3.23)

Fig. 3.23Urmele dreptei se determin conform relaiilor de la subcapitolul 4. Apoi, sub epur se traseaz o linie orizontal pe care se coboar poziia urmelor orizontal i vertical. Se constat astfel, c dreapta strbate patru triedre. Pentru a determina regiunile prin care trece dreapta, se consider un punct mobil pe dreapta (AB) i se vor analiza semnele coordonatelor descriptive ale acestuia, n fiecare din cele patru triedre. Poriunea de dreapt situat n triedrul I se consider vizibil i se traseaz cu linie continu ngroat.

2. Prin punctul M(m, m'), s se construiasc o frontal care face un unghi de 60 cu planul [H] (fig. 3.24a).

REZOLVARE (fig. 3.24b)

Fig. 3.24a Fig. 3.24b

Frontala este o dreapt paralel cu planul [V]. Proiecia sa orizontal este paralel cu axa (Ox), iar proiecia vertical, n cazul de fa, face un unghi de 60 cu planul [H]. Deoarece frontala (F)(f, f') trebuie construit prin punctul M(m, m'), rezult c proiecia (f) va trece prin m, iar (f') va trece prin m'.

PROBLEME PROPUSE 1. S se determine, n dubla proiecie ortogonal, urmele i regiunile strbtute de dreapta (D)(d, d') definit de punctele:A(60, -20, -50), B(160, 80, 20)A(80, 20, 20), B(150, 80, 100)A(120, 20, 50), B(60, -20, 20)

2. S se determine, n tripla proiecie ortogonal, urmele i regiunile strbtute de dreapta (D)(d, d', d'') definit de punctele:A(40, 100, 30), B(150, 10, -50)A(-30, -30, 60), B(80, 20, 20)A(50, -20, -50), B(100, 60, 30)3. Prin punctul M(m, m') (fig. 3.25), s se construiasc:- o orizontal care face 30 cu planul [V];- o frontal care face 45 cu planul [H].

Fig. 3.25 Fig. 3.26

4. S se verifice dac punctul M se afl pe dreapta de profil (AB) (fig. 3.26).

5. S se construiasc proiecia vertical (d') a dreptei (D)(d, d', d''), cunoscnd celelalte dou proiecii ale sale i s se specifice regiunile strbtute de dreap (fig. 3.27).

Fig. 3.276. Prin punctul M(m, m') (fig. 3.28), s se construiasc:- o dreapt paralel cu dreapta (D)(d, d');- o dreapt concurent cu dreapta (D)(d, d'); - o frontal concurent cu dreapta (D)(d, d'); - o dreapt de profil (D1)(d1, d1', d1'') concurent cu dreapta dat.

Fig. 3.287. Se dau punctele A(70, 80, 40), B(100, 40, 80), C(30, 30, 50). S se determine punctele M(50, 40, z) i N(40, y, 40), tiind c dreptele (AB) i (CM), respectiv (BN) i (CM), sunt concurente.

8. Prin punctul M(m,m'), s se construiasc orizontala (O)(o,o') concurent cu dreapta (D)(d,d') (fig. 3.29).

Fig. 3.29

9. Prin punctul M(m,m'), s se construiasc dreapta (D)(d,d') perpendicular pe orizontala (O)(o,o') (fig. 3.30).

Fig. 3.30Fig. 3.3110. S se construiasc perpendiculara comun a dreptelor (D1)(d1,d1') i (D2)(d2,d2') (fig. 3.31).

11. S se construiasc perpendiculara comun a segmentelor de dreapt (AB)(ab,a'b') i (CD)(cd,c'd') (fig. 3.32).

Fig. 3.32Atenie Fiind vorba de dou drepte de profil, rezolvarea se va face innd cont i de planul lateral [L].

PLANUL PROBLEME REZOLVATE1. Se dau punctele A(50, 15, 25), B(10, -10, 60) i C(70, -50, 40). S se determine urmele planului [P] definit de aceste puncte.

REZOLVARE innd cont de consideraiile paragrafului 2.1, pentru a determina urmele unui plan definit de trei puncte necoliniare, se unesc dou dintre puncte, problema reducndu-se la cazul plan definit de o dreapt i un punct exterior acesteia. Prin cel de-al treilea punct se construiete o dreapt concurent sau paralel cu dreapta dat, ajungndu-se la dou cazuri principale: plan determinat de dou drepte concurente (fig. 4.43a); plan determinat de dou drepte paralele (fig. 4.43b).

Fig. 4.43a

A. Plan determinat de dou drepte concurente (fig. 4.43a) Se unesc punctele A(a, a') i B(b, b'), obinnd o dreapt pentru care se determin urma orizontal h1 i urma vertical v1'. Se unesc apoi punctele A(a, a') i C(c, c'), obinnd o nou dreapt, concurent cu dreapta (AB)(ab, a'b') n punctul A(a, a'). Pentru a construi urmele planului, este suficient s se determine pentru aceast dreapt doar una din cele dou urme (n exemplul considerat, s-a determinat urma vertical v2'). Se traseaz mai nti urma vertical (Pv) a planului [P], trecnd prin urmele verticale ale dreptelor care l definesc v1' i v2'. Apoi se traseaz i urma orizontal (Ph), trecnd prin punctul Px i prin urma orizontal h1.

B. Plan determinat de dou drepte paralele (fig. 4.43b) Se unesc punctele A(a, a') i B(b, b'), obinnd o dreapt pentru care se determin urma orizontal h1 i urma vertical v1'. Prin punctul C(c, c'), se duce paralela la (AB)(ab, a'b'), obinnd dreapta (D)(d,d'). Pentru a construi urmele planului, este suficient s se determine pentru aceast dreapt doar una din cele dou urme (n exemplul considerat, s-a determinat urma orizontal h2). Se traseaz mai nti urma orizontal (Ph) a planului [P], trecnd prin urmele orizontale h1 i h2; apoi se traseaz i urma vertical (Pv), trecnd prin punctul Px i prin urma vertical v1'.

Fig. 4.43b

2. S se determine urmele planului [P] definit de punctele Px(120,0,0), A(50, 0, 70) i B(40, 80, 0). REZOLVARE (fig. 4.44)Pentru a obine urma orizontal (Ph) a planului [P], se unete Px cu bB, iar pentru a obine urma vertical (Pv), se unete Px cu a'A.

Fig. 4.443. S se determine urmele planului [P] definit de punctele Px(150,0,0) i de orizontala (AB), unde A(90, 20, 30) i B(60, 50, z).

REZOLVARE (fig. 4.45)Se determin urma vV a orizontalei (AB)(ab, ab). Pentru a obine urma orizontal (Ph) a planului [P], din Px se duce o paralel la proiecia orizontal a dreptei. Unind Px cu vV, se obine urma (Pv).

Fig. 4.454. S se determine urmele planului [P] avnd dreapta (AB) linie de cea mai mare pant fa de planul [V]. Se dau: A(30, 55, -15) i B(100, 15, 30).

REZOLVARE (fig. 4.46)Se determin urmele dreptei (AB)(ab, ab). Urma vertical (Pv) a planului [P] se traseaz prin urma vertical v'V a dreptei, perpendicular pe proiecia vertical (a'b'). La intersecia urmei (Pv) cu axa (Ox) se afl punctul Px. Urma orizontal (Ph) trece prin Px i hH urma orizontal a dreptei.

Fig. 4.465. Prin punctul A(50, 30, 25) s se construiasc un plan de capt care face un unghi de 30 cu planul [H].

REZOLVARE (fig. 4.47)Punctul A(a, a') se afl n planul de capt [P]. n epur, proiecia a' se va afla pe urma vertical (Pv) a planului, care face 30 cu axa (Ox). Planul [P] fiind un plan de capt, va avea urma (Ph) (Ox).

Fig. 4.476. S se determine dreapta (D)(d , d') de intersecie a urmtoarelor plane [P] i [Q] (fig. 4.48).

Fig. 4.48a Fig. 4.48b

REZOLVARE Deoarece planele [P] i [Q] (fig. 4.48a) sunt plane proiectante pe planul orizontal de proiecie, rezult c i dreapta de intersecie a acestora va fi o dreapt perpendicular pe planul [H], deci o vertical; proiecia orizontal a acesteia este un punct (d), care coincide cu intersecia urmelor orizontale ale celor dou plane. Deci: (Ph) (Qh) h H (d), iar (d')(Ox). Deoarece planele [P] i [Q] (fig. 4.48b) au urmele orizontale paralele ntre ele, rezult c i dreapta de intersecie a planelor trebuie s fie paralel cu (Ph) i (Qh), deci cu planul [H]. Planele cu urmele orizontale paralele ntre ele se intersecteaz dup o dreapt care este o orizontal a acestor plane. Intersecia urmelor verticale ale planelor determin urma vertical a orizontalei: (Pv) (Qv) v' V. Se traseaz (d') (Ox) i (d) (Ph) (Qh).

7. S se gseasc proiecia vertical (d') a dreptei (D)(d, d'), tiind c aceasta aparine planului [P] (fig. 4.49a).

REZOLVARE (fig. 4.49b)O dreapt aparine unui plan dac are urmele situate pe urmele de acelai nume ale planului. Se prelungete proiecia orizontal (d) pn ce intersecteaz axa (Ox) n v, iar urma orizontal a planului, n hH. Cu linii de ordine, se determin apoi proiecia vertical a urmei orizontale h' i urma vertical a dreptei v'V. Se traseaz proiecia vertical (d') a dreptei unind h' cu v'.

Fig. 4.49a Fig. 4.49b

8. S se gseasc proiecia m' a punctului M(m, m'), tiind c acesta se afl n planul [P] (fig. 4.50a).

REZOLVARE (fig. 4.50b)Un punct aparine unui plan dac se gsete pe o dreapt coninut n acel plan. Pentru a gsi poziia proieciei verticale m' a punctului M(m, m'), se consider c acest punct se afl pe o dreapt de poziie particular frontala (F)(f, f') a planului [P]. Prin m se traseaz proiecia orizontal a frontalei (f)(Ox), se determin urma sa orizontal hH, apoi se traseaz i proiecia vertical a frontalei (f')(Pv). Proiecia m' se va gsi, cu linie de ordine, pe proiecia vertical (f') a frontalei.

Fig. 4.50a Fig. 4.50b

9. S se gseasc punctul de intersecie I(i, i') a dreptei (D)(d, d') cu planul [P] (fig. 4.51a).

Fig. 4.51a Fig. 4.51b

REZOLVARE (fig. 4.51b)Pentru a gsi punctul de intersecie dreapt plan, prin dreapta dat se va construi planul de capt [Q]. Proiecia vertical a dreptei (d'), va coincide cu urma vertical a planului (Qv). Se determin apoi dreapta ()(, ') de intersecie a celor dou plane, [P] i [Q]. Proieciile orizontale (d) i () se intersecteaz n i. Cu linie de ordine, se determin proiecia sa vertical i'.

10. S se construiasc prin punctul M(m, m') un plan paralel cu planul [P] care trece prin dreapta (AB)(ab, a'b') (fig. 4.52a).

Fig. 4.52a REZOLVARE (fig. 4.52b)Dac planul [Q] trece prin M, rezult c acest punct se va afla pe o dreapt oarecare a planului. Planul [Q] fiind paralel cu planul [P], fiecare dreapt din planul [Q] va fi paralel cu planul [P]. Deci, prin punctul M se va trasa o dreapt oarecare, paralel cu dreapta (AB)(ab, a'b'), i se vor determina urmele h i v', prin care se vor construi apoi urmele planului [Q]: (Qh)(Ph) i (Qv)(Pv).

Fig. 4.52b

11. Se dau punctele:A(105, 30, 15), B(30, y, 65), C(40, 0, 80), D(50, 25, 0), E(70, 0, 70), M(170, 30, 50) i N(115, 0, 0)a) s se determine urmele planului [P] definit de frontala (AB) i punctul C;b) s se determine urmele planului [Q] avnd dreapta (DE) linie de cea mai mare pant fa de planul [H];c) s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i[Q];d) s se gseasc punctul I(i, i') de intersecie a dreptei (MN)(mn, m'n') cu planul [P].

REZOLVARE (fig. 4.53)a) Se construiesc proieciile dreptei (AB), apoi se determin urma sa orizontal h1. Deoarece frontala determin planul [P], urma vertical (Pv) a planului va fi paralel cu proiecia vertical a frontalei (a'b') i va trece prin punctul c'C. Urma orizontal a planului (Ph) va trece prin punctul Px i prin urma orizontal a frontalei h1.b) Se construiesc proieciile dreptei (DE). Se constat c urma orizontal coincide cu punctul dD i urma vertical cu e'E . Urma orizontal (Qh) a planului [Q] se traseaz prin urma orizontal dD a dreptei, perpendicular pe proiecia orizontal a acesteia (de). La intersecia urmei (Qh) cu axa (Ox) se afl punctul Qx. Urma vertical (Qv) trece prin Qx i e'E.

Fig. 4.53 c) Cele dou plane concurente [P] i [Q] se intersecteaz dup dreapta ('), care are urmele situate la intersecia urmelor de acelai nume ale planelor: (Ph) (Qh) h H i (Pv) (Qv) v' V. Se determin apoi proieciile acestor urme h' i v, situate pe axa (Ox). Unind proieciile de acelai nume ale urmelor, se determin proieciile dreptei de intersecie a planelor: )(hv) i ') (h'v').d) Pentru a gsi punctul I de intersecie a dreptei (MN) cu planul [P], prin dreapta dat se construiete planul de capt [R]. Urma vertical a acestui plan coincide cu proiecia vertical a dreptei (m'n'). Se dermin dreapta de intersecie ('1) a celor dou plane [P] i [R] (fig. 4.54). n proiecie orizontal, dreptele i mn) se intersecteaz n i. Cu linie de ordine, se gsete proiecia vertical i' a punctului de intersecie a dreptei (MN) cu planul [P].

Fig. 4.54

PROBLEME PROPUSE 1. Se dau punctele:A(145, 50, 70), B(160, 105, 30) i C(70, 50, 0);A(85, 20, 50), B(50, 25, 10) i C(90, 10, 30); A(25, 40, 20), B(60, 20, 20) i C(70, 0, 35);A(90, 30, 20), B(50, 30, 60) i C(60, 60, 20);A(90, 15, 25), B(30, 70, 25) i C(50, 30, 55);A(70, 60, 30), B(80, 20, 60) i C(100, 20, 30).S se determine urmele planului [P] definit de aceste puncte.

2. Se dau punctele:Px(150, 0, 0), A(50, 10, 70) i B(50, 50, 20).Px (70, 0, 0), A(145, 50, 50) i B(160, 80, 30).Px (50, 0, 0), A(130, 40, 25) i B(145, 60, 0).Px (40, 0, 0), A(145, 65, 0) i B(100, 0, 80).Px (20, 0, 0), A(70, 40, 30) i B(90, 20, 60).S se determine urmele planului [P] definit de aceste puncte.3. S se construiasc urmele planului [P] definit de punctele A, B i C (fig. 4.55).

Fig. 4.55 Fig. 4.56

4. Prin punctul A, s se construiasc un plan paralel cu planul dat [P] (fig. 4.56).

5. S se determine urmele planului [P] avnd dreapta (AB) linie de cea mai mare pant fa de planul [H]. A(60, 40, 10) i B(95, 15, 30); A(100, 30, 15) i B(80, 10, 30).

6. S se determine urmele planului [P] avnd dreapta (AB) linie de cea mai mare panta fa de planul [V]. A(70, 50, 40) i B(40, 80, 10); A(50, 50, 10) i B(95, 15, 30).

7. Planul [P] este determinat de punctele Px(150, 0, 0), A(50, 10, 70) i B(50, 90, 10). S se gseasc proiecia vertical a punctului M(120, 50, z) situat n planul [P], folosind: o dreapt oarecare a planului [P]; o orizontal a planului [P]; o frontal a planului [P].

8. S se determine proiecia orizontal a dreptei definit de punctele: A(60, yA, 10) i B(50, yB, 35), tiind c aceasta aparine planului [P] determinat de: Px(50, 0, 0), M(10, -5, 30) i N(80, 30, -15).

9. S se determine proiecia vertical a dreptei definit de punctele: A(60, 40, zA) i B(90, 20, zB), tiind c aceasta aparine planului [P] determinat de: Px(20, 0, 0), H(70, 30, 0) i V(80, 0, 30).

10. S se construiasc proieciile unei perpendiculare pe planul vertical [P]. Ce fel de dreapt este aceast perpendicular ?

11. S se construiasc din punctul A(a,a') o perpendicular pe planul de capt [P]. Ce fel de dreapt este aceasta ?

12. S se determine proiecia orizontal a punctului A(30,yA,-10) tiind c acesta aparine planului [P], determinat de punctele Px(70, 0, 0), H(80, 10, 0) i V(50, 0, 10).

13. S se determine proiecia orizontal a punctului A(40,yA,40) tiind c acesta aparine planului [P], plan concurent cu axa (Ox). Unghiul planului cu axa (Ox) este de 60.

14. S se determine proiecia orizontal a punctului A(40,yA,10) tiind c acesta aparine planului [P], plan paralel cu axa (Ox). Se dau distanele urmelor planului fa de axa (Ox): deprtarea este 40, iar cota este 30.

15. S se determine proiecia vertical a punctului A(40,20,zA) tiind c acesta aparine planului [P], plan paralel cu axa (Ox). Se dau distanele urmelor planului fa de axa (Ox): deprtarea este 60, iar cota este - 30.

16. S se determine proiecia vertical a dreptei definit de punctele: A(60, 10, zA) i B(90, 40, zB), tiind c aceasta aparine planului de capt [P] determinat de: Px(20, 0, 0) i V(80, 0, 30).

17. S se determine proiecia orizontal a dreptei definit de punctele: A(70, yA, 25) i B(70, yB, 50), tiind c aceasta aparine planului de front [F], situat la distana de 30 fa de planul vertical de proiecie.

18. S se determine punctul I(i, i') de intersecie a dreptei (AB) cu planul [P] definit de punctele Px, H i V. Se dau : A(145, 50, 70), B(160, 105, 30), Px(170, 0, 0), H(50, 80, 0), V(110, 0, 110).

19. S se determine dreapta de intersecie a urmtoarelor plane (fig. 4.57):

Fig. 4.57a Fig. 4.57b

20. Se dau punctele:A(95, 0, 105), B(160, 70, 0), M(65, 40, 65), N(135, 40, 0), T(50, 95, 25), Qx(40, 0, 0). s se construiasc orizontala (O) care trece prin punctul T i este concurent cu dreapta (MN); s se determine urmele planului [P] definit de dreptele (MN) i (O); s se determine urmele planului [Q] definit de punctele Qx, A i B; s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i[Q].

21. Se dau punctele:A(90, 20, 10), B(10, 0, 45), C(15, 10, 10), M(50, 25, 5), N(65, 0, 40), Px(90, 0, 0), Qx(40, 0, 0), Tx(80, 0, 0). s se determine urmele planului [P] definit de punctele Px, A i B; s se determine urmele planului [Q] definit de punctele Qx, M i N; s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i [Q]; prin Tx s se construiasc planul [T] perpendicular pe dreapta ()(, '); s se gseac punctul I(i, i) de intersecie a dreptei () cu planul [T]; prin C s se construiasc planul [R] paralel cu planul [T].

22. Se dau punctele:A(100, 30, 70), B(120, 100, 40), Qx(150, 0, 0), H(50, 80, 0), V(90, 0, 80). s se construiasc orizontala (D) care trece prin punctul B i este concurent cu dreapta (AH); s se determine urmele planului [P] definit de dreptele (D) i (AH); s se determine urmele planului [Q] definit de punctele Qx, H i V; s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i [Q]; s se gseac punctul I(i, i) de intersecie a dreptei (AB) cu planul [Q].

23. Se dau punctele:A(60, 40, z), B(75, 30, 35), C(115, y, 15), N(125, 70, 10), M(55, 10, 40), T(150, y, 60), Rx(20, 0, 0). s se construiasc orizontala (AB) concurent cu frontala (BC); s se determine urmele planului [P] definit de cele dou drepte; s se determine urmele planului [Q] paralel cu axa (Ox) care are urmele la deprtarea 60 i cota 100; s se determine urmele planului [R] definit de punctele Rx, M i N; s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [R] i [Q]; s se gseasc proiecia t, tiind c T se afl n planul [Q].

24. Se dau punctele:A(90, 20, 45), B(75, yB, 65), C(150, 30, 15), M(55, 80, 20), N(25, 15, 60) i T(170,10,-15). s se construiasc frontala (AB); s se determine urmele planului [P] definit de frontala (AB) i punctul C; s se determine urmele planului [Q] pentru care (MN) este l.c.m.m.p. fa de [H]; s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i [Q]; s se construiasc urmele planului [R][Q], tiind c [R]T.

25. Se dau punctele:A(90, 20, 40), B(130, 60, 10), C(70, 0, 80), M(170, 30, z), N(140, 10, 30). s se determine urmele planului [P] avnd dreapta (AB) linie de cea mai mare pant fa de planul [V]; s se construiasc orizontala (D) care trece prin punctul N i este concurent cu dreapta (AB); s se determine urmele planului [Q] definit de punctul C i dreapta (D); s se construiasc dreapta ()(, ') de intersecie a planelor [P] i [Q]; s se construiasc proiecia m' a punctului M, tiind c acesta este situat n planul [Q].

22GEOMETRIE DESCRIPTIV