PIDE

LICENTA 2006

Cercetări operaţionale 1. Jocuri matriceale. Legătura cu problemele de programare liniară. 2. Dualitatea in programarea liniară. Rezolvarea simultană a unui cuplu de probleme

duale. 3. Probleme de tip transport. Metoda distributiv-modificată de obţinere a soluţiei

optime. 4. Metode de punct interior. Algoritmul de scalare afină pentru o problemă de

programare liniară. 5. Caracteristicile modelului de aşteptare cu o staţie de servire, sosiri Poisson şi timp

de servire exponenţial in cazul staţionar. 6. Se consideră problema de programare liniară:

Max (-10x1+24x2+20x3+20x4+25x5)

cu restricţiile: -x1+x2+2x3+3x4+5x5≤19 -x1+4x2+3x3+2x4+x5 ≤57 xi ≥0, i=1,5

a) Să se scrie duala problemei şi să se verifice că u1 = 4 şi u2 = 5 este soluţie admisibilă;

b) Folosind punctul a) să se obţină soluţii optime pentru ambele probleme. 7. Se consideră jocul de două persoane cu sumă nulă, cu funcţia de câştig dată de

matricea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛854167

a) Să se verifice dacă jocul are soluţii in strategii pure; b) Să se determine o soluţie optimă in strategii mixte si valoarea jocului.

8. Se consideră un fenomen de aşteptare în care intervalul dintre sosiri si timpul de servire sunt variabile aleatoare exponenţiale negative. Ştiind că timpul mediu de sosire este de 60 secunde şi timpul mediu de servire este de 45 secunde să se determine numărul mediu de clienţi aflaţi in sistem, numărul mediu de clienţi din firul de aşteptare, durata medie de aşteptare in firul de aşteptare tf şi durata medie de aşteptare in sistem ts .

9. Să se calculeze soluţia optimă a problemei de transport:

Bj Ai

B1 B2 B3 B4 Disp.

A1 19 30 50 10 7 A2 70 30 40 60 9 A3 40 8 70 20 18 Nec. 5 8 7 14 34

10. Să se rezolve cu ajutorul programării liniare, jocul de ordinul 3 x 3 dat de matricea: Probabilitati statistica I 11. Parametri de poziţie in statistica descriptivă: definiţii, proprietaţi si exemple. 12. Parametri de imprastiere in statistica descriptivă: definitii proprietati si exemple. 13. Probabilitate clasica: definitie, proprietati si exemple 14. Functia de repartitie a variabilei aleatoare (f.r. a v.a.): definitie si teorema despre

proprietatile caracteristice ale f.r. 15. Legea Numerelor Mari (formele Cebâsev şi Bernoulli) 16. Demonstrati ca probabilitatea clasica verifica axiomele din definitia probabilitatii

discrete.

17. Un juriu format din trei arbitri functioneaza in felul urmator: fecare arbitru ia decizie corecta independent de ceilalti, primii doi cu aceeasi probabilitate p, 0<p<1, iar cel de al treilea arbitru pentru luarea deciziei arunca o moneda”perfecta”. Decizia finala se ia pe baza de majoritate de voturi. Cu ce este egala probabilitatea ca in final se va lua o decizie corecta.

18. Avem un rând format din 2n scaune pe care se aseaza la intamplare 2n persoane din

care n femei si n barbati. Cu ce este egala probabilitaea ca nici un barbat nu va nimeri alaturi de barbat.

19. Demonstrati ca suma a doua v.a. independente identic repartizate Bernoulli cu

parametrul p, 0<p<1, este o variabila aleatoare Binomial repartizata cu parametrii n=2 si p.

20. Consideram v.a. Z=max(X,Y) , unde X,Y reprezinta numarul de puncte aparute la

aruncarea unui zar “perfect” de 2 ori succesiv, respectiv la prima si a doua aruncare. Calculati valoarea medie şi dispersia v.a. Z.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

564328306

Probabilitati statistica II

21. V.a. in caz general: definitie, proprietati şi exemple. 22. Functii caracteristice: definitie, proprietati şi exemple. 23. Teorema Limita Centrala (pentru v.a.i.i.r). 24. Aplicatii ale Teoremei Limite Centrale (forma Moivre-Laplace) la Modelarea

Statistica (Metoda Monte-Carlo) 25. Caracteristici de selectie (media, dispersia de selectie si functia empirica): definitie

si proprietati in calitate de estimatori ai mediei, dispersiei si functiei teoretice de repartitie.

26. Fie (x1, … , xn) ~ X : Bi(n;p), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila aleatoare X binomial repartizata cu parametrii n si p, n = 1, 2, …, p ∈(0,1). De exemplu, X poate fi interpretata ca numarul total de steme inregistrate la aruncarea unei monede de n ori. Consideram urmatoarele ipoteze:

a) H: moneda este de aur; b) H: moneda nu este perfecta; c) H: moneda nu este perfecta, n fiind cunoscut, adica n = n0; d) H: moneda este perfecta, n fiind necunoscut.

Care din ele sunt ipoteze statistice si de ce tip? Argumentati raspunsurile.

27. Fie (x1, … , xn) ~ X : N(m;σ2), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila aleatoare X ~ N(m;σ2). Presupunem ca σ2 este cunoscuta. In acest caz la testarea ipotezelor despre parametrul m este folosit faptul ca statistica:

),1,0(~ N

n

mxσ−

pentru orice m ∈ R. Demonstrati acest fapt, folosind metoda functiilor caracteristice.

28. Ce tip de erori au fost comise, daca in urma testarii ipotezelor: a) ipoteza alternativa a fost respinsa, ea fiind de fapt adevarata? b) ipoteza alternativa a fost acceptata, ea fiind de fapt falsa?

29. Fie (x1, … , xn) ~ X : N(m;σ2), adica este dat un esantion de volum n generat de o variabila aleatoare X ~ N(m;σ2). Presupunem ca m2 este cunoscut. In acest caz la testarea ipotezelor despre dispersia σ2 este folosit faptul ca statistica:

)(~)( 2

2

2

2

2

nmxSn i ℵ

−=⋅ ∑

σσ , adica este o variabila aleatoare ℵ patrat repartizata cu n grade de libertate. Folosind metoda functiilor caracteristice si definitia variabilei aleatoare ℵ2(n), demonstrati acest fapt.

30. Experienta anterioara arata ca durabilitatea unei anvelope auto poate fi considerata o variabila aleatoare X ~ N(30000km,(800km)2). Se face o schimbare la procesul de productie. O selectie de 100 de anvelope are x = 29000km. Pe baza acestei selectii si la un prag de semnificatie α = 0.05, putem noi oare spune ca noua metoda conduce la scaderea durabilitatii anvelopelor ? Nota: Pentru α = 0.05 valoarea α-cuantilei xα = -1.64, adica Φ(-1.64) = 0.05.

Algebra liniara si geometrie analitica I 31. Sisteme liniar independente de vectori. Definiţie, exemple, proprietăţi. Condiţia

necesară şi suficientă pentru ca un sistem să fie liniar independent. 32. Operaţii cu subspaţii vectoriale Subspaţiul generat de un sistem de vectori. Teorema

dimensiunii (Grassmann) 33. Aducerea la expresia canonică a unei forme pătratice. Teorema Gauss - Lagrange.

Teorema Jacobi 34. Ortogonalitate şi ortonormalitate în spaţii vectoriale euclidiene. Procedeul de

ortogonalizare Gram – Schmidt. 35. Dreapta şi planul în spaţiul euclidian. 36. Pe R2 se consideră forma biliniară ( )'

1 1 1 2 2 1 2 2, 2g x y x y x y x y x y= + + + unde x = (x1,x2) ∈ R2, y = (y1,y2) ∈ R2.

Se cere: a) Să se arate că E2 = (R2, g’ ) este spaţiu vectorial euclidian. b) ( )1,1v = − este versor în 2E

c) Dacă ( ) ( )1 21,0 , 0,1e e= = să se determine 1 2,e e şi θ = (e12,e2) în raport de

tensorul metric 'g 37. În R4 se dau vectorii ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41,1, 2,1 , 1, 1,0,1 , 0,0, 1,1 , 1, 2, 2,0e e e e= = − = − = .

Să se arate că ei formează o bază. Să se determine coordonatele vectorului ( )1,1,1,1v = în această bază.

38. Fie T:R3→ R3 o transformare liniară descrisă într-o bază { }1 2 3, ,B v v v= a lui de relaţiile:

( )1 1 2 3T v v v v= − + −

( )2 2 32 3T v v v= +

( )3 1 2 33 2T v v v v= − + + Să se afle KerT şi mTI m , precum şi dim ,dimKerT mTI .

39. Pe R3 se consideră forma pătratică ( ) 2 2 22 2 8 2h x x y z xy xz= − + + − . Să se arate că h este nesingulară şi nedefinită.

40. Fie T:R3→ R3 o transformare liniară care are în baza canonică a lui R3 matricea 5 -6 -6

1 4 23 -6 -4

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Se cere: a) Găsiţi valorile proprii ale lui T b) Indicaţi o bază B a lui R3, în care ( )B TM este matrice diagonală.

Analiza I 41. Teorema de punct fix a lui Banach (principiul contractiilor). 42. Siruri convergente, siruri Cauchy in spatii metrice. 43. Functii continue pe multimi compacte. 44. Limita unei functii intr-un punct. Definitii echivalente. 45. Teorema de caracterizare a multimilor compacte in spatii metrice. 46. Fie

Sa se arate ca este spatiu metric.

47. Daca seria este convergenta si atunci seria

este convergenta pentru orice p > 1. Ce se poate spune daca p = 1?

48. Daca , definim .

a) Pentru sa se precizeze si sa se deseneze sfera unitate

pentru b) Aratati ca

49. Fie functia

Sa se arate ca: a) functia f este continua si are derivate partiale de ordinul intai pe ;

b) functia f nu este diferentiabila in punctul (0, 0).

50. Sa se determine punctele de extrem ale functiei

Analiza II 51. Teorema de derivare a integralei cu parametru. 52. Teorema de invarianta a integralei curbilinii in raport cu drumul. 53. Fie o functie marginita. Sa se arate ca f este integrabila

Darboux daca si numai daca f este integrabila Riemann. 54. Sa se arate ca integrala este convergenta pentru orice

55. Fie

a)Daca exista astfel incat atunci are loc inegalitatea

b) Daca atunci inegalitate (*) ramane adevarata. 56. Sa se calculeze integrala curbilinie de speta a doua unde 57. Sa se arate ca functia este continua pe si sa se calculeze unde 58. Fie Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a

sirului de functii pe intervalul [−1, 1]. Este adevarata egalitatea

59. Sa se calculeze pentru k = 0 si k = 1.

60. Sa se studieze convergenta integralei

Combinatorică şi teoria grafurilor 61. Definiti notiunile de:

a) Drum si lant intr-un graf orientat; b) Subgraful generat de o submultime de varfuri, XA ⊂ , al unui graf G = (X, U); c) Graful partial al unui graf G = (X, U) generat de o submultime de arce UV ⊂ ; d) Componente tare conexe si componente conexe ale unui graf. e) Matrice de adiacenta, matricea drumurilor si matricea distantelor directe pentru

un graf orientat. 62. Descrieti algoritmul Roy – Warshall, de determinare a matricei drumurilor intr-un

graf, definind in prealabil toate notiunile care apar. 63. Descrieti algoritmul Roy – Floyd, de determinare a drumurilor si distantelor

minime intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar. 64. Definiti oretea de transport, enuntati Teorema Ford-Fulkerson, definind toate

notiunile care apar in enunt si descrieti algoritmul Ford – Fulkerson. 65. Descrieti algoritmii lui Kruskal si Prim de determinare a arborelui minim pentru un

graf conex, definind in prealabil toate notiunile care apar.(Descriere fara demonstratie!)

66. Sa se determine matricea drumurilor si componentele tare conexe pentru graful care are matricea de adiacenta:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0

67. Pentru ca o persoana ce are locuinta in punctul 1 sa mearga la biblioteca aflata in

punctul 9, ea poate folosi mai multe mijloace de transport . Datele cuprinzand punctele intermediare prin care trece precum si timpul mediu calculat pentru a ajunge ditr-un punct in altul sun date in matricea distantelor directe data mai jos. Se cere sa se determine toate drumurile care realizeaza timpul minim cat si valoarea acestuia.

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 4 ∞ ∞ ∞∞ 0 2 5 8 ∞∞ ∞ 0 2 5 ∞∞ ∞ ∞ 0 3 5∞ ∞ ∞ ∞ 0 1∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

68. Sa se determine lungimea maxima si toate drumurile pe care se realizeaza aceasta

pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 3 5 ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 2 ∞ ∞ ∞ 13 ∞∞ ∞ 0 ∞ 5 11 14 ∞∞ ∞ 2 0 6 8 ∞ 15∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 ∞ 9∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 2 6∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

69. In portul 1 se gasesc 35 vapoare care trbuie sa se deplaseze in portul 10. Deplasarea lor se face in etape astfel incat in prima etapa sa ajunga cat mai multe dintre ele in portul 10. In drumul lor vapoarele trebuie sa mai faca cate o escala in alte porturi intermediare, notate 2,3,...,9. Conditiile de primire, aprovizionare etc. Fac sa existe o limitare a rutelor folosite. Capacitatile corespunzatoare sunt date in matricea de mai jos:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 12 3 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 ∞ ∞ ∞ 6 5 ∞ ∞ ∞∞ ∞ 0 ∞ 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ 0 5 ∞ ∞ ∞ 10 ∞∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 5 3 ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 3 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 13∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

Pozitiile notate cu infinit indica aici ca nu avem arc intre varfurile respective. Sa se determine un plan optim de transport, astfel incat, in aceasta etapa sa poata pleca cat mai multe vapoare spre portul 10.

70. Sa se determine arborele minim pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 6 4 11 5 10 9 136 0 4 5 7 5 8 104 4 0 6 3 3 4 6

11 5 6 0 9 2 7 65 7 3 9 0 12 2 3

10 5 3 2 12 0 11 79 8 4 7 2 11 0 3

13 10 6 6 3 7 3 0

Matematici financiare 71. Model matematic pentru dobanda simpla. 72. Model matematic pentru dobanda compusa. 73. Dobanda anuala unitara – definitie si formula de calcul. 74. Durata de plasare, sau scadenta, in regim de dobanda compusa – definitie si formula

de calcul. 75. Anuitate si valoarea anuitatii – definitii si formula de calcul. 76. Fie 0 40.000S = u.m. suma plasata timp de 75 zile cu procentul anual de 9%. Sa se

determine: a) valoarea finala (suma revenita) si b) dobanda simpla 77. Se plaseaza suma 0 100.000S = u.m. pe o durata de 5 ani, in regim de dobanda

compusa cu procentele anuale: 7, 8, 9, 10 si 11. Sa se determine valoarea de care vom dispune dupa cei cinci ani, precum si dobanda aferenta. Daca plasamentul se prelungeste cu inca trei luni, cu procentul anual de 12% din al saselea an, sa se determine dobanda aferenta.

78. In urma cu cinci ani a fost plasata in regim de dobanda compusa suma 0 100.000S = u.m. si azi dispunem, ca urmare a acestui plasament, de un fond final,

sau acumulat, 161.051S = u.m. Cu ce procent annual s-a facut plasamentul? 79. Pe ce durata de timp ar trebui plasata suma 0 100.000S = u.m. cu un procent anual

de 10%, in regim de dobanda compusa, pentru a dispune de suma de 214.358,88 u.m. ? (se stie ca 1,16 ≅ 1,77 si 1,17 ≅1,94 si 1,18 ≅ 2,14 si 1,19 ≅ 2,35)

80. Sa se determine valoarea initiala si valoarea finala a unei anuitati posticipate pentru care rata anuala este 10.000 u.m., procentul este 6%, iar numarul perioadelor este 12 (se stie ca 1,0611 ≅ 1,89 si 1,0612 ≅ 2,01 si 1,0613 ≅ 2,13 si 1,0614 ≅ 2,26)

Compilatoare 81. Analiza lexicala. Utilizarea expresiilor regulate pentru descrierea atomilor lexicali. 82. Analiza lexicala. Pasii de proiectare a unui analizor lexical. 83. Analiza sintactica predictiva. Construirea si implementarea in Java a unui analizor

sintactic predictiv recursiv. 84. Analiza sintactica predictiva nerecursiva. Gramatici LL(1). 85. Analiza sintactica LR. Cea mai eficienta metoda de construire a unui analizor LR. 86. Sa se scrie o specificatie JLex care rezolva numerele reale, operatorii aritmetici si

relationali, cuvintele cheie: if, else, while, until si parantezele. 87. Presupunem ca avem un limbaj de programare cu urmatoarea gramatica:

S → if E then S else S | begin SL | print E L → end | ; SL E → num = num

a) Construiti un analizor predictiv recursiv pentru acest limbaj. b) Implementati in Java analizorul obtinut la pasul anterior.

88. Fie G=(N, Σ, P, S) gramatica numerelor binare zecimale:

S → L.L | L L → LB | B B → 0 | 1

a) Calculati valorile functiilor PRIM si URM pentru fiecare neterminal al gramaticii.

b) Construiti tabela de analiza a unui analizor predictiv nerecursiv pentru G si verificati daca gramatica G este LL(1).

89. Fie G=(N, Σ, P, E) gramatica cu urmatoarele productii:

E → E or E | E and E | not E | id ≥ id | true | false a) Aratati ca G este ambigua. b) Construiti colectia canonica de elemente LR(0) pentru aceasta gramatica. c) Verificati daca G este o gramatica SLR. Altfel, elimintati conflictele luand

deciziile cele mai bune din punct de vedere semantic.

90. Fie G=(N, Σ, P, E) gramatica cu urmatoarele productii: E → while E do E | id:=E | E+E | id

Construiti un analizor LR(1) folosind metoda LALR. Verificati daca G este o gramatica LALR. In caz negativ, eliminati conflictele luand deciziile cele mai bune din punct de vedere semantic. Verificati functionarea analizorului pentru sirul de la intrare while id do id:=id+id. Ce se obtine pe banda de iesire?

Proiectare asistata de calculator 91. Elemente de bază ale desenului. Crearea şi accesarea fişierelor desen. Utilizarea

comenzilor de vizualizare şi controlul afişării. Lucrul cu sisteme de coordonate WCS şi UCS. Introducerea coordonatelor absolute şi relative.

92. Metode de editare şi seturi de selecţie. Setul de selecţie. Editarea unui singur obiect. Editarea unui grup de obiecte. Funcţionarea ferestrei de selecţie (fereastră implicită şi fereastră de intersecţie, opţiuni de selecţie). Editarea cu ajutorul manipulatoarelor.

93. Crearea unui nou desen. Configurarea mediului de desenare. Standardizarea layer-elor. Atribuirea de proprietăţi obiectelor nou create (culoare, tip de linie, grosimea liniei, stil de plotare). Încarcarea tipurilor de linie. Vizibilitatea layer-elor. Blocarea layer-elor. Utilizarea filtrelor de layer-e.

94. Desenarea şi editarea. Crearea obiectelor elementare (linii, arce, cercuri, poligoane, elipse). Crearea poliliniilor şi a curbelor spline. Tipuri de polilinii şi editarea lor. Controlul curbelor spline. Tehnici simple de editare a obiectelor (redimensionarea, retezarea, extinderea, întreruperea, repoziţionarea, multiplicarea şi crearea matricelor de obiecte). Teşirea şi racordarea colţurilor. Tehnici avansate

de editare a obiectelor (modificarea proprietăţilor, crearea şi editarea grupurilor, explodarea obiectelor compuse).

95. Modele de haşuri şi adnotări. Trasarea modelelor de haşurare. Tipuri de haşuri. Utilizarea unui model de haşură. Haşuri asociative. Stiluri de haşurare. Editarea modelelor de haşurare. Adnotările desenului: introducerea textelor de o singură linie (aspectul textului, mod de aliniere, stil de text). Introducerea paragrafelor de text.

96. Tipuri de date si predicate fundamentale in AutoLisp. 97. Functii matematice, de prelucrare a sirurilor de caracter in AutoLisp. 98. Variabile locale si globale in AutoLisp. Construirea listelor, accesarea elementelor

listelor. 99. Scrierea functiilor recursiva si expresii lambda in AutoLisp.

100. Operatii de intrare iesire in AutoLisp. Grafica pe calculator

101. Notiunea de spatiu virtual. Definitii. 102. Sisteme de coordonate si transformari 3D 103. Primitive grafice. Metode de combinare 104. Sisteme de reprezentarea a culorii 105. Animatia obiectelor 3D 106. Utilizandu-se oricare din primitivele geometrice ale limbajului VRML, scrieti codul

VRML necesar construirii unui automobil (rudimentar) si deplasarii sale pe o distanta de 10 unitati de masura pe axa Ox. Sugestie (figura 1):

Figura 1.

141. Utilizandu-se oricare din primitivele geometrice ale limbajului VRML, scrieti

codul VRML necesar animarii unui peste (rudimentar). Sugestie (figura 2):

Figura 2.

142. Utilizandu-se oricare din primitivele geometrice ale limbajului VRML, scrieti codul VRML corespunzator implementarii unui mini-sistem solar format din Soare, Terra si Luna care evolueaza “conform” realitatii. Soarele va avea culoare rosie, Terra va fi albastra iar Luna va fi o sfera gri. Sugestie (figura 3):

Figura 3.

143. Utilizandu-se oricare din primitivele geometrice ale limbajului VRML, scrieti

codul VRML necesar modelarii si animarii unui fluture. Fluturele va da din aripioare si se va deplasa pe o traiectorie ce-i va permite vizitatea a trei flori reprezentate simplu si plasate in planul xOz. Sugestie (figura 4):

Figura 4

144. Utilizandu-se oricare din primitivele geometrice ale limbajului VRML, scrieti

codul VRML necesar modelarii si animarii formarii moleculei de apa (H2O). Sugestie (figura 5):

Figura 5.

Tehnici avansate de programare I/II 145. Moştenirea în Java. Exemple reprezentative. 146. Conceptul de interfaţă în Java. 147. Polimorfismul în Java: definiţie şi efecte. 148. Fie următorul cod Java: public class Average { public static void main(String[] args) { if (args.length == 0) { System.out.println(“Usage: Average <list>”); System.exit(1);} double sum = 0; for (int j = 0; j<args.length; j++) sum + = Integer.parseInt(args[j]); System.out.println(“Avg:”+sum/args.length);} }

Modificaţi programul astfel încât ultimul parametru din linia de comandă să nu fie adunat la sumă ci să reprezinte o valoare cu care se va compara suma celorlalţi parametri. Se va afişa suma şi mesajul corespunzător rezultatului acestei comparaţii.

149. Creaţi o clasă SiteWeb. Aceasta are o variabilă instanţă de tip URL care conţine

URL-ul curent al site-ului şi o variabilă de tip întreg care conţine numărul de accese la site. Veţi utiliza clasa URL disponibilă în biblioteca java.io clasă care are constructorul:

public URL(String url)throws MalformedException

şi metoda:

public void openConnection(URL) throws IOException

Clasa SiteWeb va avea metodele tipice getURL() şi setURL(String url) şi o metodă accesSite(). Metoda setURL(String url) trebuie să permită odificarea URL-ului cu o valoare specificată sub formă de String care trebuie să fie bie format conform regulilor de formare pentru URL-uri. Metoda accesSite() aruncă, la fiecare 100 accese la site, o excepţie definită de programator: HundredTimesAccessException. (Indicaţie: Veţi defini în prealabil acest tip de excepţie.).

150. Scrieţi un program Java simplu care utilizează clasa System pentru a scrie într-un

fişier un text dat ca argument de intrare în linia de comandă.

151. Definiţi un tip care să reprezinte obiecte Student şi un tip pentru obiecte Curs. Definiţi şi o clasă Curriculum care va conţine un array unidimensional cu 5 elemente de tip Curs. Creaţi apoi o nouă clasă care extinde clasa Student astfel încât să conţină informaţii despre Curriculum acestuia.

152. Fie următorul cod Java

import java.util.*; import java.awt.*; import java.awt.event; import java.applet.Applet; public class Mesaj extends Applet implements ActionListener { private String str1, str2; boolean ce; Label lb = new Label(“”); Button b = new Button(“Apasa!”); public void init() { str1 = “Servus”; str2 = “La revedere”; LayoutManager lyM = new BorderLayout(); this.setLayout(lyM); lb.setText(str1); this.add(“Center”,lb); this.add(“South”, b); b.addActionListener(this);} public void actionPerformed(ActionEvent ev) { if(ev.getSource() instanceof Button) { if(ev.getActionCommand().equals.(“Apasa!”)) { if(ce) lb.setText(str2); else lb.setText(str1); ce = !ce;}}} }

Desenaţi interfaţa grafică a acestei aplicaţii reprezentând controalele GUI şi poziţia lor în fereastră. Utilizaţi GridLayout pentru a obţine aceeaşi poziţionare a controalelor. Ce se întâmplă pa prima, la a doua şi la a treia apăsare pe buton? Explicaţi.

153. Fie urmatorul cod Java

import java.util.*; import java.awt.*; import java.awt.event; import java.applet.Applet; public class Mesaj extends Applet implements ActionListener { private String str1, str2; boolean ce; Label lb = new Label(“”); Button b = new Button(“Apasa!”); public void init() { str1 = “Servus”; str2 = “La revedere”; LayoutManager lyM = new BorderLayout(); this.setLayout(lyM); lb.setText(str1); this.add(“Center”,lb); this.add(“South”, b); b.addActionListener(this);} public void actionPerformed(ActionEvent ev) { if(ev.getSource() instanceof Button) { if(ev.getActionCommand().equals.(“Apasa!”)) { if(ce) lb.setText(str2); else lb.setText(str1); ce = !ce;}}} }

Extindeţi aplicaţia astfel ca utilizatorul să poată solicita afişarea orei curente.

154. Definiţi un tip care să reprezinte obiecte Student şi care oferă doar metodele de tip set şi get corespunzătoare variabilelor sale instanţă. Presupunând că st1 este o referinţă la un obiect de tip Student, ce va afişa următoarea linie de cod:

System.out.println(st1.toString());

Explicaţi de ce puteţi utiliza acestă metodă. Suprascrieţi-o astfel încât să se afişeze numele studentului. De asemenea, interziceţi suprascrierea acestei metode de către subclaselele clasei Student.

Reţele de calculatoare 155. Rutare dinamica: Algoritmul Dijkstra – pseudocod + exemplificare numerica 156. Rutare dinamica: Algoritmul Bellman-Ford - pseudocod + exemplificare

numerica 157. Nivelul legǎtura de date: protocoalele Ethernet - IEEE 802.3; 158. Subalocarea unei adrese de retea date (Subnetting) : algoritm si exemplificare 159. Utilizarea mastilor de retea de lungime variabila (VLSM) : algoritm si

exemplificare 160. Aplicatie subnetting:

O nouă reţea este proiectată pentru companie. Folosind un IP de reţea de Clasă C, ce mască de subreţea va pune la dispoziţie câte o subreţea utilizabilă pentru fiecare departament, în timp ce se permit suficiente adrese de host utilizabile pentru fiecare department specificat în figură? Sa se scrie adresele IP pentru toate gazdele din figura, organizate pe departamente, specificand totodata adresele de subretea si de broadcast pentru fiecare departament.

161. Aplicatie VLSM:

O nouă reţea este proiectată pentru companie. Folosind un IP de reţea de Clasă C, ce masti de subreţea vor pune la dispoziţie câte o subreţea utilizabilă pentru fiecare departament, în timp ce se permit suficiente adrese de host utilizabile pentru fiecare department specificat în figură? Sa se scrie adresele IP pentru toate gazdele din figura, organizate pe departamente, specificand totodata adresele de subretea si de broadcast pentru fiecare departament.

162. Considerând reteaua din figurã, în care etichetele reprezenta distanta, se cere

determinarea tabelei de rutare pentru nodurile 1 si 4, folosind algoritmul Dijkstra

163. Considerând reteaua din figurã, în care etichetele reprezenta distanta, se cere

determinarea tabela de rute completa, folosind algoritmul Bellman Ford

164. Comunicare TCP la client – Aplicatie Java Sisteme de operare

131. Stările proceselor în sistemele cu multiprogramare şi mecanismele, bazate pe întreruperi, pentru modificarea stării unui proces.

132. Problematica comunicării între procese prin memorie comună şi soluţia de principiu.

133. Memoria virtuală: definiţie şi modele. Tabela de pagini văzută ca funcţie şi mecanismul de obţinere a adresei fizice din adresa virtuală.

134. Structurile de date utilizate de sistemul de operare pentru implementarea gestiunii fişierelor cu index-noduri.

135. Justificaţi necesitatea apelului sistem open (deschidere fişier). Cum sunt utilizate rezultatele produse de executarea sa?

136. Creaţi un fişier de comenzi Linux (script) care se va lansa cu un parametru (nume reprezentând ID-ul unui utilizator) şi va executa, succesiv, următoarele operaţii: - crearea structurii:

/home/myname DD1 DD2

DD3 DD4 DD5

DD6

- transferul controlului către utilizator pentru a-i permite editarea cu vi a unui text

ce va fi salvat în fisierul exercitiu în directorul DD4, - copierea fişierului exercitiu in DD6, - afişarea listei utilizatorilor conectaţi şi redirectarea ei către fişierul cine din

DD3, - căutarea în acest fişier a utilizatorului cu numele dat ca parametru de intrare în

script şi afişarea liniei corespunzătoare acestuia, dacă e conectat, sau afişarea mesajului “ nume doarme “ dacă nu e conectat.

137. Într-un sistem cu multiprogramare, fie procesele p1, p2 şi p3 care produc ieşiri sub

formă de caractere utilizând rutina “putc”. Ele se sincronizează folosind două semafoare: “L” şi “R”. a. Precizaţi numărul de caractere „D” ce vor fi afişate la executarea acestui set de

procese. Explicaţi. b. Demonstraţi că secvenţa de caractere CABABDDCABCABD nu este o ieşire

posibilă a acestei execuţii.

semaphore L=3, R=0 /*definire şi iniţializare semafoare*/ /*cod P1*/ /*cod P2*/ /*cod P3*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

138. Într-un sistem cu multiprogramare, fie procesele p1, p2 şi p3 care produc ieşiri sub formă de caractere utilizând rutina “putc”. Ele se sincronizează folosind două semafoare: “L” şi “R”.

a. Indicaţi numărul minim de caractere „A” ce se pot afişa. Explicaţi. b. Demonstraţi că secvenţa de caractere CABACDBCABDD este o ieşire posibilă

a acestei execuţii. 139. Fie un sistem de operare ce execută gestiunea memoriei virtuale cu tabele de

pagini pe un singur nivel. Memoria fizică este de 1 Goct. iar adresele în cadrul programelor sunt reprezentate pe 32 biţi (adresarea făcându-se la nivel de octet). Dacă tabela de pagini are 220 intrări, calculaţi dimesiunea paginii şi numărul de biţi pe care este reprezentat numărul cadrului de pagină.

140. Câte operaţii cu discul sunt necesare pentru a aduce în memorie i-nodul

fişierului /home/studenti/cursSO/subiecte.txt ? Presupuneţi că i-nodul directorului rădăcină este deja în memorie, dar nimic altceva pe parcursul căii de mai sus nu este adus în memorie. De asemenea, se presupune că fiecare director ocupă doar un bloc de pe disc. Explicaţi.

Sisteme informatice 141. Descrieţi pe scurt etapele şi fazele principale ale procesului de elaborare a

produselor de program. 142. Metodica Rational Unified Process de determinare a necesarului de forţă de

muncă pentru elaborarea şi implementarea unui produs de program. 143. Diagrama variantelor de utilizare: descrierea elementelor principale, scopul

elaborării, reguli euristice pentru elaborare, documentarea variantelor de utilizare.

144. Prezentarea şablonului de proiectare Singleton. Exemple. 145. Stereotipurile folosite în diagramele de clase şi specificarea lor la nivel de cod. 146. Prezentaţi un exemplu de diagramă de clase, care respectă şablonul de

proiectare Modell-View-Controller. Explicaţi-l.

semaphore L=3, R=0 /*definire şi iniţializare semafoare*/ /*cod P1*/ /*cod P2*/ /*cod P3*/ L1: L2: L2: DOWN(L); DOWN(R); DOWN(R); putc(‘C’); putc(‘A’); putc(‘D’); UP(R); putc(‘B’); UP(R); goto L1; goto L2; goto L3;

147. Indicaţi principiul de proiectare OO, care este încălcat în următoarea diagrama de clase (Figura 1). Prezentaţi o diagramă de clase nouă, care să respecte principiul determinat mai sus. Aduceţi explicaţiile necesare.

Figura 1 148. Consideraţi automatul bancar. Contruiţi o diagramă a variantelor de utilizare a lui.

(De exemplu, automatul bancar de la BRD). 149. Fie avem următoarea diagramă de clase (Figura 2). Presupunem că vrem sa testăm

clasa Employee, dar nu vrem ca în rezultatul testării să scriem ceva în baza de date. Cum ar trebui să modificăm diagrama de clase dată pentru a atinge acest scop? Explicaţi.

Figura 2

150. Fie avem codul Java (instanceSpooler.java, vezi Figura 3) al nor clase Java. Ce

şablon de proiectare OO este implementat? Explicaţi.

/* * Fisierul instanceSpooler.java */ public class instanceSpooler { static public void main(String argv[]) { iSpooler pr1, pr2; //open a printer--this should always work System.out.println("Opening one spooler"); pr1 = iSpooler.Instance(); if(pr1 != null) System.out.println("got 1 spooler"); //try to open another printer --should fail System.out.println("Opening two spoolers");

pr2 = iSpooler.Instance(); if(pr2 == null) System.out.println("no instance available"); } class iSpooler { static boolean instance_flag = false; private iSpooler() {} static public iSpooler Instance() { if (! instance_flag) { instance_flag = true; return new iSpooler(); } else return null; } public void finalize() { instance_flag = false; } } }

Figura 3. Fisierul instanceSpooler.java Informatica II

151. Elemente de baza ale programarii in Java. Tipuri de date. Notiunea de variabila. Metode. Supraincarcarea metodelor. Transferul parametrilor

152. Recursivitate. Conceptul de recursivitate. Functii matematice recursive. Implementarea recursivitatii in Java.

153. Structuri statice de date. Tablouri de date uni- si multidimensionale in Java. 154. Structuri dinamice de date: liste, stive, cozi, arbori binari. Implementarea

structurilor dinamice de date in Java. 155. Programarea intrarilor si iesirilor in Java.

156. Un medicament se caracterizeaza prin denumire, compoziţie, indicaţii, contraindicaţii şi mod de administrare. Sa se scrie o clasă Medicament care implementeaza caracteristicile medicamentelor si furnizează metode publice prin care se pot obtine informatii despre un anumit medicament. Informatiile despre medicamente vor fi preluate din fisierul “dateMedicamente.txt” cu urmatorul continut:

neo-angin | amilmetacrezol, alcool, levomentol | tratatementul bolilor inflamatorii | copii sub 6 ani | la 2-3 ore famotidină | 20 mg de famotidină | ulcer gastric şi duodenal | hipersensibilitate la substanţa activă | o singură doză/zi flamexin | ciclodextrin, glicolat de sodiu | antiinflamatori, antireumatic | alergie la piroxicam | un comprimat pe zi

Sa se foloseasca clasa Medicament, precum si o structura de date (la alegere) pentru a scrie o clasa numita AgendaMedicala care furnizeaza metode ce implementeaza urmatoarele operaţii:

- afisarea denumirii medicamentelor în ordine alfabetică, - cautare după denumirea unui medicament, - afişarea informaţiilor unui anumit medicament, şttindu-se numele acestuia.

157. Un abonat telefonic se caracterizeaza prin nume, prenume, adresa şi numar de telefon. Sa se scrie o clasa Abonat care implementeaza caracteristicile unui abonat si furnizează metode publice prin care se pot obtine informatii despre un anumit abonat. Informatiile despre abonati vor fi preluate din fisierul “date.txt” cu urmatorul continut:

Ionescu Pop Aleea rozelor 457789 Popescu Ion Strada Sperantei 789064 Marinescu Marin Strada Stejarului 675643

Sa se foloseasca clasa Abonat, precum si o structura de date (la alegere) pentru a scrie o clasa numita AgendaTelefonica care furnizeaza metode ce implementeaza urmatoarele operaţii:

- afisarea abonaţilor în ordine alfabetică după numele acestora, - cautare după numele unui abonat, - cautare după numărul de telefon, - adaugarea unui abonat, - stergere a unui abonat.

In plus, clasa AgendaTelefonica are o metoda care descarca elementele structurii de date în fisierul “date.txt” astfel încat acesta să conţină agenda curentă de abonaţi telefonici.

158. Un magazin de jucarii isi stabileste preturile in functie de tipul jucariei: papusi, masinute, jocuri electronice si roboti, ale caror preturi sunt: 1000, 1500, 2000, 3000 lei. Tipurile de jucarii si preturile lor sunt memorate in fisierul “jucarii.txt”. Sa se scrie clasa Jucarie care implementează, cu ajutorul variabilelor, elementele prin care diferentiem un tip de jucarie de celelalte tipuri: descriere tip si pret. Să se scrie un program care, cu ajutorul unei liste sau cozi sa se creeze o lista (coada) de jucării şi sa conţina o metodă care afişează tipurile de jucării în ordine descrescătoare a preţului lor. Această metodă ar trebui să fie apelată, în cazul în care utilizatorul raspunde cu “da” la intrebarea: “Vreti sa vedeti tipurile de jucarii pe care avem in magazin?” Dacă utilizatorul răspunde cu “nu”, atunci programul ar trebui să afişeze următorul mesaj: “Introduceti un tip de jucarie:” impreuna cu toate tipurile de jucării din magazin. Utilizatorul tastează numele unui tip de jucărie şi programul afişează preţul ei.

159. Sa se scrie un program care realizeaza operatiile asupra conturilor ale unei agenţii CEC. Programul actualizeaza conturile existente, adauga conturi noi şi afişarea sumei dintr-un anumit cont. Un cont se caracterizeaza prin numar cont, numele unui depunător şi suma curentă pe care acesta o are în cont. Să se creeze o clasa Cont care implementează informatiile despre conturile dintr-o agenţie CEC şi furnizează metode de accesare a acestor informaţii. Folosind aceasta clasă şi o structură de date oarecare (care doriti) să se scrie o clasă care furnizează metode ce implementează operaţiile ce pot fi executate asupra conturilor dintr-o agenţie CEC:

- crearea unui cont. Pentru aceasta programul are nevoie de numele depunătorului şi suma cu care deschide contul (aceasta trebuie sa fie >=100 000). Cu aceste

informatii, programul va crea un cont nou , generând un numar de cont nou, şi-l va adauga la structura de date folosită.

- actualizarea unui cont. Programul are nevoie de numărul contului (a cărui validitate este verificată de program ) şi de suma pe care o adauga sau scoate din suma curentă.

- afişarea sumei pe care o are în cont un anumit depunător. Pentru aceasta, programul are nevoie de numărul contului şi va afişa numele depunătorului şi suma curentă din cont. Dacă numărul de cont este invalid, atunci se va afişa un mesaj de eroare.

160. Evaluarea unor expresii în notatie postfixata. Presupunem că în fişierul “expresii.dat” din directorul curent sunt memorate câteva expresii aritmetice în notatie postfixata, corecte din punct de vedere sintactic. Fiecare expresie aritmetică este memorată pe câte o linie a fişierului şi este formată din numere (cifre) şi operatorii aritmetici: +, -, *, /, div şi mod. Să se scrie un program care citeşte operatorii şi operanzii fiecărei expresii din fişier şi îi introduce într-o lista sau coada. Apoi evaluează expresia respectivă folosind o lista sau stivă (de operanzi) şi implementând următorul algoritm:

atâta timp cât coada nu este vida: - extrage un element din coadă pe care îl notăm cu E - daca E este operand atunci pune E în stiva - daca E este operator atunci: - extrage OP2 şi OP1 din stiva - calculeaza R = OP1 E OP2 - pune R în stiva - scoate elementul din stivă şi îl afişează.

Informatica I

161. Arhitectura unui sistem de calcul 162. Prezentare generala a sistemelor de operare din familia Windows 163. Prezentare generala a pachetului de programe Microsoft Office 164. Prezentare generala a programului Word 165. Prezentare generala a programului Excel 166. Sa se descrie structura unei foi de calcul Excel pentru repartizarea pe apartamente a

cheltuielilor unei asociatii de locatari. Se vor prevedea totaluri. 167. Sa se descrie structura unei foi de calcul Excel pentru reprezentarea vanzarilor unui

magazin pe perioada unui an calendaristic, pe tipuri de produse. Se vor prevedea totaluri.

168. Sa se descrie schema unei baze de date Access pentru evidenta facultatilor, specializarilor, studentilor si a profesorilor dintr-o universitate.

169. Se da schema unei baze de date Access:

Produse(DenP, Um, PretVanzare) Stoc(Denp, Cantitate)

Sa se descrie cererea prin care obtinem denumirea produselor din stoc (DenP) Cantitatea, unitatea de masura (Um) si pretul de vanzare (PretVanzare) pentru cele la care cantitatea este mai mica de 10.

170. Se da schema unei baze de date Access:

Produse(DenP, Um, PretVanzare) Stoc(Denp, Cantitate)

Sa se descrie cererea prin care obtinem cantitatea unui produs din stoc a carui

denumire se solicita de la tastatura. Baze de Date I

171. Modelul relational pentru baze de date. 172. Calculul relational. 173. Limbajul de cereri QBE. 174. Limbajul de cereri SQL. 175. Fome normale pentru baze de date relationale.

176. Se da diagrama entitate-corelatie pentru o baza de date:

Sa se descrie schema bazei de date.

177. Se da schema unei baze de date: Student(CodNP, NumeSt, Localitate ) Specializari(DenSp, DenF, AniSt) Inscris(DenSp, CodNP, AnSt)

Sa se descrie in limbajul QBE urmatoarele cereri:

a) Numele studentilor si denumirea specializarii, din anul 1 de la facultatea de Matematica si Informatica.

E1

A2

C1 E2

B3

1 n

C2 E2n

n

D3

b) Denumirea facultatii, denumirea specializarii, anul de studiu si numarul s tudentilor inscrisi.

178. Se dau urmatoarele dependente functionale pentru relatia DocLine(CodDoc, Nrc, CodProdus, Um, CotaTva, Pret, Cantitate) 1. (CodDoc, Nrc) → Denp 2. (CodDoc, Nrc) → Cantitate 3. Denp → Um 4. Denp → CotaTva 5. Denp → Pret

Sa se descompuna relatia DocLine in relatii avand forma normala 3.

179. Se da schema unei baze de date: Student(CodNP, NumeSt, Localitate ) Inscris(DenSp, CodNP, AnSt)

Sa se descrie in algebra relationala urmatoarea cerere: numele studentilor si anul de studiu pentru studentii din Constanta de la specializarea CI.

180. Se da schema unei baze de date: Furnizori(DenF, Localitate ) Oferta(DenF, DenProdus, Um, Pret)

Sa se descrie in limbajul SQL urmatoarea cerere: numele furnizorilor din Bucuresti ce ofera produsul zahar, unitatea de masura si pretul acestuia . Logică computaţională

181. Prezentarea operatorilor calculului propozitional si a semanticii acestora 182. Prezentarea proprietatilor algebrice ale calculului propozitional 183. Prezentarea algoritmului de normalizare a unei formule din calculul propozitional 184. Prezentarea sintaxei calculului predicatelor de ordinul intai 185. Prezentarea generala a limbajului Prolog. 186. Sa se demenstreze ca formula

(p ⊃ (q ⊃ r)) ≡ ((p ∧ q) ⊃ r)

este valida

187. Sa se aduca la forma conjunctiv normală formula ( p ⊃ (q ⊃ r)) ⊃ ((p ∧ s) ⊃ r)

Sa se determine apoi interpretarile pentru care formula data ia valoarea fals.

188. Să se aplice algoritmul pentru verificarea inconsistenţei mulţimii de clauze Horn:

S = { p ∨ ¬ r ∨ ¬ t, q, r, t ∨ ¬ p ∨ ¬ r, t ∨ ¬ q, ¬ p ∨ ¬ q ∨ ¬ r}

189. Sa se exprime in calculul predicatelor precum si in limbajul Prolog, rationamentul:

Orice om este muritor ; Socrate este om; deci Socrate este muritor.

190. Se considera o baza de cunostinte continand legaturile directe pe cale ferata dintre

orasele din Romania si distanta dintre ele. Descrieti structura predicatelor ce ar fi utilizate in baza de cunostinte si tipul de date al argumentelor acestora. Definiti un predicat care confirma ca doua orase, date ca parametrii sunt conectate prin cale ferata.

Contabilitate assistata de calculator

191. Limbajul SQL de definire a interogarilor. Reprezentarea lor duala QBE. Studiu de caz în ACCESS 2000. Societatea de intermediere a tranzacţiilor imobiliare.

192. Legăturile dinamice între tabelele ACCESS XP. Integritatea referenţială. Tipurile de asocieri. Exemple.

193. Formularele unei baze de date ACCESS XP. Exemple cu butoane de comandă asociate macrocomenzilor.

194. Rapoartele unei baze de date ACCESS XP. Exemple cu gruparea înregistrărilor, totaluri parţiale şi generale.

195. Limbajul SQL de definire a interogărilor în ACCESS XP. Studiu de caz preliminar: “Gestiunea stocurilor”. Declanşarea macrocomenzii de actualizare a stocurilor dintr-un formular cu control de tip “COMMAND”.

196. EXCEL XP: Statul de plată al salariilor. Editarea legăturilor cu tabela “Personal”. 197. EXCEL XP: Foaia de calcul şi de control a balanţei de verificare lunară. 198. EXCEL XP: Definirea legăturilor între agendele de lucru: Nomenclator, Nir, Stoc,

Bon de consum 199. EXCEL XP: Agenda de lucru pentru repartizarea candidaţilor după medie şi

opţiuni. 200. EXCEL XP: Sortarea descrescătoare a opţiunilor în funcţie de medie. Formule

matriciale.