1. notiuni introductive - math.ucv.romath.ucv.ro/~gorunescu/courses/curs/introducere.pdf · 1 1....

21
1 1. Noţiuni introductive 1.1. Spaţiul metric este o pereche formată dintr-o mulţime oarecare, nevidă, X şi o aplicaţie × X X d : R + numită metrică sau distanţă, aplicaţie ce verifică următoarele axiome: ) ( 1 d X y x , avem 0 ) , ( y x d ; 0 ) , ( = y x d dacă şi numai dacă y x = ) ( 2 d X y x , avem ) , ( ) , ( x y d y x d = ) ( 3 d X z y x , , avem inegalitatea triunghiului ) , ( ) , ( ) , ( y z d z x d y x d + . Exemple: - pe R, aplicaţia d: R × R R + , y x y x d = ) , ( este o metrică; - (R 2 , d), cu d: R 2 × R 2 R + , 2 2 ) ( ) ( )) , ( ), , (( b y a x b a y x d + = este un spaţiu metric. În spaţiul metric ) , ( d X , definim bila deschisă de centru X x 0 şi rază r { } ) , ( , ) , ( 0 0 r x x d X x r x B < = Exemple: - în (R, d) bila deschisă este { = x r x B ) , ( 0 R, ) , ( } 0 0 0 r x r x r x x + = < ; - în (R 2 , d) avem: ) ), , (( r b a B = ) , {( y x R 2 , } ) ( ) ( 2 2 r b y a x < + (discul deschis de centru ) , ( b a şi rază r). Un caz particular de spaţiu metric este spaţiul liniar normat. Revedeţi noţiunea spaţiu vectorial (liniar) real, studiat în liceu (algebra, clasa a XII-a). Prezentăm în continuare un exemplu de spaţiu liniar real şi anume cel mai frecvent utilizat: - Spaţiul n-dimensional real este mulţimea R n = { i n x x x x ), ,..., , ( 2 1 R}: Adunarea a două elemente din R n : ) ,..., , ( ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 2 1 1 2 1 2 1 n n n n y x y x y x y y y x x x + + + = + Înmulţirea cu scalar a unui element din R n : ) ,..., , ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 n n x x x x x x = α α α α , α R Elementul neutru faţa de adunare este ) 0 ,..., 0 , 0 ( = θ . R n înzestrat cu cele două operaţii este un spaţiu liniar real. Revedeţi noţiunea de bază într-un spaţiu liniar real, noţiune studiată în liceu: Exemplu: - În R n , B } ,..., { 1 n e e = unde ) 0 ,..., 0 , 1 ( 1 = e , ) 0 ,..., 1 , 0 ( 2 = e …, ) 1 ,..., 0 , 0 ( = n e formează o bază, numită baza canonică. Astfel: ) 1 ,..., 0 , 0 ( ... ) 0 ,..., 1 , 0 ( ) 0 ,..., 0 , 1 ( ) ,..., , ( 2 1 2 1 + + + = n n x x x x x x . Remarcă: Un element din R 2 se notează uzual y x y x , ), , ( R, în timp ce un element din R 3 se notează z y x z y x , , ), , , ( R.

Upload: others

Post on 04-Sep-2019

50 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1

1. Noţiuni introductive 1.1. Spaţiul metric este o pereche formată dintr-o mulţime oarecare, nevidă, X şi o aplicaţie

→× XXd : R+ numită metrică sau distanţă, aplicaţie ce verifică următoarele axiome: )( 1d Xyx ∈∀ , avem 0),( ≥yxd ; 0),( =yxd dacă şi numai dacă yx = )( 2d Xyx ∈∀ , avem ),(),( xydyxd = )( 3d Xzyx ∈∀ ,, avem inegalitatea triunghiului ),(),(),( yzdzxdyxd +≤ . Exemple:

- pe R, aplicaţia d: R× R → R+ , yxyxd −=),( este o metrică;

- (R2, d), cu d: R2× R2 → R+, 22 )()()),(),,(( byaxbayxd −+−= este un spaţiu metric.

În spaţiul metric ),( dX , definim bila deschisă de centru Xx ∈0 şi rază r { }),(,),( 00 rxxdXxrxB <∈= Exemple:

- în (R, d) bila deschisă este { ∈= xrxB ),( 0 R, ),(} 000 rxrxrxx +−=<− ;

- în (R2, d) avem: )),,(( rbaB = ∈),{( yx R2, })()( 22 rbyax <−+− (discul deschis de centru ),( ba şi rază r).

Un caz particular de spaţiu metric este spaţiul liniar normat. Revedeţi noţiunea spaţiu vectorial (liniar) real, studiat în liceu (algebra, clasa a XII-a). Prezentăm în continuare un exemplu de spaţiu liniar real şi anume cel mai frecvent utilizat:

- Spaţiul n-dimensional real este mulţimea Rn = { ∈in xxxx ),,...,,( 21 R}: • Adunarea a două elemente din Rn: ),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ • Înmulţirea cu scalar a unui element din Rn: ),...,,(),...,,( 2121 nn xxxxxx ⋅⋅⋅=⋅ αααα , ∈α R Elementul neutru faţa de adunare este )0,...,0,0(=θ . Rn înzestrat cu cele două operaţii este un spaţiu liniar real.

Revedeţi noţiunea de bază într-un spaţiu liniar real, noţiune studiată în liceu: Exemplu:

- În Rn , B },...,{ 1 nee= unde )0,...,0,1(1 =e , )0,...,1,0(2 =e …, )1,...,0,0(=ne formează o bază, numită baza canonică. Astfel: )1,...,0,0(...)0,...,1,0()0,...,0,1(),...,,( 2121 ⋅++⋅+⋅= nn xxxxxx .

Remarcă:

Un element din R2 se notează uzual ∈yxyx ,),,( R, în timp ce un element din R3 se notează ∈zyxzyx ,,),,,( R.

2

Fie E un spaţiu vectorial real. Se numeşte produs scalar pe E o aplicaţie →×EE:, R, yxyx ,),( a care satisface următoarele proprietăţi:

( 1S ) ∈∀∈∀ βα ,,,, Ezyx R avem:

zyzxzyx ,,, ⋅+⋅=⋅+⋅ βαβα şi zxyxzyx ,,, ⋅+⋅=⋅+⋅ βαβα ;

( 2S ) 0, ≥∈∀ xxEx şi Exxx θ=⇔= 0,

( 3S ) xyyxEyx ,,, =∈∀ . Exemple:

- R poate fi considerat spaţiu vectorial real, astfel produsul scalar va fi definit ca produsul uzual; - în Rn, considerând elementele oarecare ),,...,,( 21 nxxx ),...,,( 21 nyyy definim produsul

scalar euclidian ∑=

⋅=n

kkk yxyx

1

, .

Inegalitatea Cauchy – Schwarz are loc în spaţiile liniare reale E , înzestrate cu produs scalar:

Eyxyyxxyx ∈∀⋅≤ ,,,,,

Scriind inegalitatea în Rn obţinem un rezultat cunoscut din liceu:

∈==∀ ),...,(),,...,( 11 nn yyyxxx Rn ∑∑∑===

⋅≤⋅n

kk

n

kk

n

kkk yxyx

1

2

1

2

1

,

Aplicaţia definită pe un spaţiu liniar real E se numeşte normă dacă verifică următoarele axiome:

)( 1n 0≥x , Ex∈∀ ; 0=x dacă şi numai dacă Ex θ=

)( 2n xx ⋅=⋅ αα , ∈∀∈∀ α,Ex R

)( 3n yxyx +=+ , Eyx ∈∀ . . Perechea (E, ) este un spaţiu liniar normat. Exemple:

- Norma definită pe R este ∈= xxx , R;

- Pe Rn putem defini mai multe norme şi anume:

• ∑=

=n

kkxx

1

2 , unde ),...,,( 21 nxxxx = (norma euclidiană);

• ∑=

=n

kkxx

11 , ),...,,( 21 nxxxx = ;

• }1,max{ nkxx k ≤≤=∞

.

3

Un spaţiu liniar normat ( ),E este un spaţiu metric, aplicaţia →×EEd : R+ yxyxd −=),( , fiind o metrică.

Exemple: Folosind acest rezultat putem defini următoarele metrici pe Rn:

- ∑=

−=n

kkk yxyxd

1

2)(),( (distanţa euclidiană);

- ∑=

−=n

kkk yxyxd

11 ||),( (distanţa Manhattan);

- ||max),(1

kknk

yxyxd −=≤≤

∞ (distanţa Cebâşev).

Exerciţii propuse

1. Calculaţi produsul scalar euclidian în următoarele cazuri: - pentru vectorii )3,1,2( −=u şi )2,2,0( −=v ; - pentru vectorii )0,2(=u şi ),0( ev = .

2. Calculaţi norma euclidiană a vectorilor )3,2( 4=u , respectiv ),2,1( π−=v . 3. Calculaţi distanţa euclidiană, distanţa Manhattan, distanţa Cebâşev, dintre vectorii u şi v în

următoarele cazuri: - )3,1,2( −=u şi )2.0,2,1(=v ; - )1,( −= eu şi )2,.1( −=v ;

- )2,7,5,1,1( −−−=u şi )10,451,1,,1( −−= πv ;

În MATLAB, operaţiile aritmetice de bază sunt “ + , - , * , \, ^ ” şi sunt folosite împreună cu parantezele ( ). Ordinea operaţiilor este cea cunoscută din aritmetica elementară. Veţi scrie în fereastra de comandă după simbolul “»” :

» 3*4-6/3+2^3 ans = 18

Putem atribui nume pentru a stoca numerele: »x = 1-5^2 x= -24

» y=x/2 y= -12 şi astfel x are valoarea –24 şi y=-12, care pot fi folosite în calcule ulterioare. În cazul în care nu dorim afişarea rezultatelor intermediare, la sfârşitul expresiei sau atribuirii, scriem punct şi virgulă:

4

»x =(-3)^3+25; y=x*3^2; z=y+20

z= 2

Funcţiile elementare din MATLAB sunt: abs = valoarea absolută sqrt = radical sin = funcţia sin cos = funcţia cos tan = funcţia tg asin = funcţia arcsin acos = funcţia arccos atan = funcţia arctg exp = funcţia exponeţială log = funcţia logaritm natural

Vectorii linie sunt liste de numere, separate între ele de virgulă sau spaţiu liber. Un element din Rn este un vector linie de dimensiune n; componentele vectorului le vom scrie între paranteze drepte: »x=[1 -2 1]

x = 1 -2 1

Operaţiile cu vectori sunt cele cunoscute din Rn: adunarea şi înmulţirea cu scalari. »x=[-1 2 -1 5];y =[0 3 -2 -3];x+y

ans = -1 5 -1 2 » 3*x ans = -3 6 -3 15 » y-x ans = 1 1 -3 -8

Prin instrucţiunea a:b:c unde a < c, b > 0 obţinem un vector de forma:

a a+b a+2b a+3b …a+mb

unde a+mb este cel mai mare număr de acest tip, mai mic sau egal cu c. » -1:3:9

ans = -1 2 5 8

Vectorii coloană se definesc similar cu vectorii linie, elementele fiind separate de punct şi virgulă sau fiind scrise pe linii diferite

»x=[-1;2;10] x =

-1 2 10

sau

5

»x=[-1 2

10] x =

-1 2

10 Putem transforma un vector linie într-un vector coloană printr-un procedeu numit transpunere, notat „ ’ ”: »x=[0,-5,2]; x'

ans = 0 -5 2 Produsul scalar este produsul dintre un vector linie şi un vector coloană, de aceeaşi dimensiune:

»x=[-1,3,6];y=[-2;3;-5];x*y ans = -19

Dacă avem de calculat produsul scalar a doi vectori linie sau vectori coloană, folosim vectorul transpus:

»x=[1,-3,6];y=[2,-3,-1];x*y' ans =

5 Pentru normele pe Rn: x , 1x ,

∞x unde ),...,( 21 nxxxx = , definite anterior, folosim instrucţiunile:

norm(x) = x ; norm(x,1) = 1x ; norm(x,inf) =

∞x

» u=[1,-3,6]; »norm(u) ans = 6.7823

» norm(u,1) ans = 10

»norm(u,inf) ans = 6

Pentru a calcula distanţele definite anterior folosim un rezultat teoretic prezentat deja: yxyxd −=),( ; calculăm distanţele definite anterior, între doi vectori tridimensionali:

» u=[-2,1,5];v=[-3,4,-1]; » norm(u-v) ans = 6.7823 »norm(u-v,1) ans = 10

6

»norm(u-v,inf) ans = 6

Definim aşa numitul dot product (.*), pentru ),...,,( 21 nxxxx = şi ),...,,( 21 nyyyy = ,

),...,,(*. 2211 nn yxyxyxyx = :

»u1=[-3,2,4];u2=[0,5,-3]; »u1.*u2 ans = 0 10 -12 » u1.^2 ans =

9 4 16 În MATLAB operaţia /)(. este definită ca fiind împărţirea element la element; pentru ),...,,( 21 nxxxx = şi

),...,,( 21 nyyyy =

)/,...,/,/(/. 2211 nn yxyxyxyx =

»u1=[-3,2,4];u2=[0,5,-3]; u2./u1 ans = 0 2.5000 -0.7500

Vectorii linie, respectiv coloană sunt cazuri particulare de matrice. Pentru a scrie o matrice în MATLAB avem două variante:

- scriem fiecare linie a matricei, folosind sintaxa utilizată la vectori:

»M=[3 -2 5 1 4 -2 2 3 1]

M = 3 -2 5 1 4 -2 2 3 1

- fiecare linie a matricei este despărţită de punct şi virgulă:

» M1=[1 3 -2 ;5 2 -1] M1 =

1 3 -2 5 2 -1

Calculul matricei inverse se face cu funcţia inv(.)

» inv(M) ans =

0.6667 1.1333 -1.0667 -0.3333 -0.4667 0.7333 -0.3333 -0.8667 0.9333

7

1.2. Revedeţi noţiunea de funcţie, bine cunoscută din liceu.

Prezentăm câteva exemple de funcţii cu care ne vom întâlni pe parcursul acestui curs:

- funcţii reale de variabilă reală: →Af : R, unde ⊂A R, funcţii studiate în liceu; - funcţii reale de mai multe variabile reale: →Af : R, unde ⊂A Rn:

• 229),( yxyxf −−= funcţie definită pe ∈= ),{( yxA R2, }922 ≤+ yx ;

• 222

1

),,( zyxexzyxf ++⋅= funcţie definită pe

∈= ),,{( zyxA R3, }0222 ≠++ zyx = R3 \{(0,0,0)}.

- funcţii vectoriale de variabilă reală: →Af : Rm, unde ⊂A R, date de:

Axxfxfxfxf m ∈= )),(),...,(),(()( 21 , →Af k : R, mk ≤≤1 : • →]10,0[: πf R3 definită prin ),sin,(cos)( ttttf = ; • →]2,0[: πf R2 definită prin )sin,(cos)( tttf = ;

- funcţii vectoriale de mai multe variabile reale: →Af : Rm, unde ⊂A Rn, date de

Axxfxfxfxf m ∈= )),(),...,(),(()( 21 , →Af k : R, mk ≤≤1 :

• ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+= 2,,1),( 22

22yxyx

yxyxf este o funcţie ce ia valori în R3 şi al cărei domeniu

de definiţie este ∈= ),{( yxA R2, }022 ≠+ yx = R2 \{(0,0)}.

- Un şir de elemente într-o mulţime E este o funcţie :f N E→ ; definim )(nfan = :

• 2,1≥= n

na

nn (şir de numere reale)

• 1,3

1),13(),(2

≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−⋅= nnnnyx

nn

nn (şir de elemente din R2)

- A şi B fiind două mulţimi fixate, notând cu ),( BAHom familia tuturor funcţiilor BAf →: , orice

aplicaţie :f N ),( BAHom→ , adică nfnf =)( se numeşte şir de funcţii. În liceu se lucrează cu şiruri de funcţii, fără a fi definită noţiunea:

• =−= BA ),3,3( R, 1,3

)( ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nxxf

n

n ;

• == BA R, 1,2

4)(22

2≥

++

−= n

xexexg

nx

nx

n .

Revedeţi câteva noţiuni studiate în liceu: funcţia compusă, funcţia surjectivă, funcţia injectivă,

funcţia bijectivă, inversa unei funcţii.

8

Graficul funcţiei BAf →: este mulţimea BAAxxfxG f ×⊂∈= }))(,{( .

Fie BAf →: ; oricare ar fi submulţimea AA ⊂1 , submulţimea lui B

11 {)( AxByAf ∈∃∈= astfel încât )(xfy = }

se numeşte imaginea directă a lui 1A prin f .

- Pentru a calcula )),3(( +∞−f , respectiv ))3,1(( −f în cazul funcţiei :f R→ R, definită prin

23)( 3 +−= xxxf vom construi tabelul de variaţie al funcţiei date, pe intervalul ),3( +∞− :

+∞=+−∞→

)23(lim 3 xxx

; 16)23(lim 3

3−=+−

−→xx

x

33)( 2 −=′ xxf ; 10)( ±=⇒=′ xxf

x -3 -1 1 3 +∞ )(xf ′ + 0 - 0 + +

)(xf -16 4 0 20 +∞ Aşadar:

),16()),3(( ∞−=+∞−f şi )20,0[))3,1(( =−f ;

- Să determinam (f R) în cazul funcţiei :f R→ R definită prin1

32)(2 +

−=

x

xxf :

211

32lim

11

32lim

1

32lim

22

2=

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=+

−−∞→∞→∞→

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

211

32lim

11

32lim

1

32lim

22

2−=

+⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=

+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=+

−−∞→−∞→−∞→

xx

xx

xx

xx

x

xxxx

1)1(

321

1)32(12

)(222

2

2

+⋅+

+=

++

−−+⋅

=′xx

xx

x

xxx

xf .

x −∞ -2/3 +∞

)(xf ′ - - 0 + + )(xf -2 - 13 2

Se observă că (f R) = )2,13[−

- Să determinăm )],0(( 3ef pentru funcţia →∞),0(:f R definită prin xxxf ln)( = .

Avem:

9

−∞=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞−=

+→ 0lnlim

0 xx

x

22ln1ln1

)(x

xx

xxxxf −

=−⋅

=′ , din 0)( =′ xf obţinem ex = ;

pentru a determina semnul derivatei folosim faptul că f este continuă pe domeniul de definiţie şi 01)1( >=′f

x 0 e 3e

)(xf ′ + + 0 - - )(xf

−∞ e1

33

e

Astfel ]1,()],0(( 3

eef −∞=

Fie BAf →: , vom defini pentru oricare submulţime BB ⊂1 imaginea inversă (reciprocă) a lui 1B prin f , ca fiind submulţimea lui A

})({)( 11

1 BxfAxBf ∈∈=− .

Subliniem că funcţia f este o funcţie oarecare, nu este necesar să fie bijectivă.

- Pentru funcţia 4)( 2 −= xxf , să calculăm )]5,0((1−f :

ştiind că ∈=− xf {)]5,0((1 R }]5,0()4( 2 ∈−x , rezolvăm inecuaţia 540 2 ≤−< x ,

adică ]3,2()2,3[]3,3[)},2()2,{( ∪−−=−∩∞∪−−∞∈x şi astfel ]3,2()2,3[)]5,0((1 ∪−−=−f . - Pentru a calcula )]2,0([1−f în cazul funcţiei 0,ln)( >= xxxf , avem de rezolvat o inegalitate

simplă: ],1[}2ln0),0({)]2,0([ 21 exxf =≤≤∞∈=−

Exerciţii propuse

1. Determinaţi domeniile de definiţie în următoarele cazuri:

- 31

1ln)(x

xxf−+

= ;

- 224),( yxyxf −−= ;

- 4 222

2221

9

1),,( −+++−−−

= zyxzyx

zyxf ;

- )1

2arcsin),1(ln()(2

2

ttttf

+−= ;

- ),1,(),(22 x

yyx

yxarctgxyyxf +

+= .

10

2. Determinaţi f(R\{-2}) în cazul funcţiei →∞−∪−−∞ ),2()2,(:f R, 212)(

+−

=xxxf .

3. Determinaţi )),0(( ∞f pentru funcţia :f R→ R definită prin 14

2)(2 +

−=

x

xxf .

4. Pentru →∞),0(:f R, definită de xxxf ln)( = , determinaţi )),1[( ∞f .

5. Determinaţi ])2,1((1−f în cazul funcţiei →∞−∪−−∞ ),1()1,(:f R, 11)(

+−

=xxxf .

6. Determinaţi ])1,1((1 −−f pentru funcţia :f R ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−→

2,

2ππ , arctgxxf =)( .

Cu ajutorul celor învăţate anterior despre operaţii cu vectori în MATLAB, vom scrie sub forma de

tabel, valorile unei anumite funcţii în puncte date:

- Să scriem, sub formă de tabel, valorile funcţiei arctgxxxf ⋅+= )1()( în punctele 0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1 » x=[0:.2:1]';y=(x+1).*atan(x) y =

0 0.2369 0.5327 0.8647 1.2145 1.5708

- Să scriem, sub formă de tabel, valorile funcţieixxxf ln)( = în punctele

0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1;1.2.

»x=[.2:.2:1.2]';y=(log(x))./sqrt(x) y =

-3.5988 -1.4488 -0.6595 -0.2495 0 0.1664

În continuare vom desena grafice de funcţii în MATLAB:

Pentru a desena graficul unei funcţii →],[: baf R generăm doi vectori:

),)1(,...,2,,( bhnahahaax −+++= ))(),)1((),...,2(),(),(( bfhnafhafhafafy −+++= ;

perechile ( 10)),(,( −≤≤++ niihafiha vor fi unite prin segmente de dreaptă în urma aplicării funcţiei plot(x,y)

» x=a:h:b » y=f(x) » plot(x,y)

11

- Să desenăm graficul funcţiei →]2,0[: πf R, definită prin xxf cos)( = » x=0:.5:2*pi x =

Columns 1 through 6 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 Columns 7 through 12 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 Column 13 6.0000

» y=cos(x) y =

Columns 1 through 6 1.0000 0.8776 0.5403 0.0707 -0.4161 -0.8011 Columns 7 through 12 -0.9900 -0.9365 -0.6536 -0.2108 0.2837 0.7087 Column 13 0.9602

»plot(x,y)

Pentru a nu mai fi afişate valorile vectorilor x respectiv y vom scrie punct şi virgulă după fiecare

instrucţiune; desenăm graficul aceleiaşi funcţii luând pasul 1.0=h . Observaţi calitatea desenului! » x=0:.1:2*pi;y=cos(x);plot(x,y)

12

Pentru a scrie pe figură un titlu, respectiv pentru a eticheta axele selectăm din Insert (apare la

Figure) x-label, y-label, title şi în ferestrele ce se deschid înscriem axa Ox , axa Oy , respectiv titlul.

În mod obişnuit, graficul este desenat printr-o linie continuă de culoare albastră; dacă dorim altă culoare, sau alt stil de linie facem precizarea în plot şi anume:

y galben r roşu g verde b albastru k negru . punctat - linie continuă : punctat * steluţă -. linie-punct

- Să desenăm graficul funcţiei cos pe intervalul ]2,0[ π , în culoarea roşie punctat, luând pasul

01.=h . Vom scrie cele două opţiuni în cadrul funcţiei plot, încadrate de apostrof, fără virgulă între ele

» x=0:.01:2*pi;y=cos(x);plot(x,y,'r:')

13

Stabilirea corectă a domeniului de definiţie este importantă, cu toate că în unele cazuri, soft-ul ne

ajută, informându-ne ce greşeli facem.

- Să desenăm graficul funcţiei 216)( xxf −= , scriind pentru început corect domeniul de definiţie, şi apoi lucrând cu un domeniu greşit determinat:

» x=-4:.1:4;y=sqrt(16-x.^2);plot(x,y)

» x=-8:.1:8;y=sqrt(16-x.^2);plot(x,y,'k*') Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.

În ultimul caz, apar în desen ramuri ale graficului care nu există, pe )4,8( −− , respectiv pe )8,4( .

În cazul unei funcţii definite pe o submulţime nemărginită a axei reale, problema constă în

alegerea mulţimii la care restricţionăm funcţia, pentru a obţine cel mai bun desen. Prezentăm în continuare mai multe cazuri, desenând toate graficele în acelaşi ecran. În acest scop vom construi nişte “ferestre”, în

14

care vom desena graficele, ferestre situate într-o nm× matrice. Fiecare element al matricei este constituit dintr-o asemenea fereastră, iar numerotarea acestora este de la 1 la nm ⋅ , începând cu colţul stânga sus. Funcţia folosită este subplot.

- Pentru a obţine cea mai bună variantă a graficului funcţiei 4

12)(2 +

−=

x

xxf , vom desena în

acelaşi ecran mai multe variante şi anume restricţia la

[-1000,1000], [-100,100], [-20,20], [-10,10]

şi vom alege desenul ce ne convine. Cum alegem acest desen? Calculăm eventualele puncte de extrem, decidem asupra cazului în care punctul respectiv este corect reprezentat.

În cazul acestui exemplu, am calculat anterior că 32

min −=x

» subplot(411);x=-1000:.1:1000;y=(2*x-3)./sqrt(x.^2+1);plot(x,y) » subplot(412);x=-100:.1:100;y=(2*x-3)./sqrt(x.^2+1);plot(x,y) » subplot(413);x=-20:.1:20;y=(2*x-3)./sqrt(x.^2+1);plot(x,y) » subplot(414);x=-10:.1:10;y=(2*x-3)./sqrt(x.^2+1);plot(x,y)

În aceste condiţii, credem că figura 3 pare cea mai aproape de adevăr (în figurile 1 şi 2 minimul pare a fi zero, iar în figura 4 funcţia pare a nu avea minim).

Pentru a desena graficele a două funcţii în acelaşi sistem de coordonate (multiplot) vom scrie:

»x=a:h:b;y1=f(x);y2=g(x);plot(x,y1,x,y2)

- Să desenăm în acelaşi sistem de axe parabolele 12 −= xy şi 23 xy −=

»x=-2:.1:2;y1=x.^2-1;y2=3-x.^2;plot(x,y1,x,y2)

15

Pentru a desena graficul unei funcţii definite pe cbdcba <∪ ],,[],[ vom scrie: » x1=a:h:b;y1=f(x1);x2=c:h:d,y2=f(x2);plot(x1,y1,x2,y2) În mod obişnuit, cele două ramuri ale graficului vor avea culori diferite, aşa că este necesar să cerem ca y1 şi y2 să fie desenate în aceeaşi culoare

- Să desenăm graficul funcţiei →∞∪−−∞ ),2[)2,(:f R, 22)(

+−

=xxxf

» x1=-10:.1:-2.1;y1=sqrt((x1-2)./(2+x1));x2=2:.1:10;y2=sqrt((x2-2)./(2+x2)); plot(x1,y1,'k',x2,y2,'k')

16

În cazul →× ],[],[: dcbaf R, vom crea o matrice ale cărei elemente sunt vârfurile unei reţele de pătrate de latură h, din dreptunghiul ],[],[ dcba × :

» [x,y] = meshgrid(a:h:b,c:h:d); creăm un vector ale cărui elemente sunt valorile funcţiei f în punctele reţelei. »z=f(x,y); .

Funcţia »surf(x,y,z)

construieşte graficul funcţiei cu ajutorul informaţiilor anterioare.

- Să desenăm graficul funcţiei →−× ]1,1[]2,0[:f R, definită prin:

22)1(),( yxyxf −−= (funcţia şa). » [x,y]=meshgrid(0:.1:2,-1:.1:1);z=(x-1).^2-y.^2;surf(x,y,z)

Pentru a schimba culoarea figurii selectăm Light de la Insert şi apoi alegem culoarea dorită, în cazul nostru verde. Pentru a scrie pe figură un titlu, respectiv pentru a eticheta axele selectăm din Insert (apare la Figure) x-label, y-label, z-label, title şi în ferestrele ce se deschid înscriem ceea ce dorim.

17

Graficul obţinut este graficul unei porţiuni de suprafaţă. Să desenăm graficele următoarelor porţiuni de suprafaţă:

- →−×− ]2,2[]2,2[:f R definită prin 22),( yxyxf += ( paraboloid)

»[X,Y]=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);Z= X.^2+Y.^2;surf(X,Y,Z)

- →−×− ]2,2[]2,2[:f R definită prin 22),( yxyxf += (con)

18

»[X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= sqrt(X.^2+Y.^2); surf(X,Y,Z)

- Să desenăm graficul funcţiei →−×− ]2,2[]2,2[:f R, 22

),( yxexyxf −−⋅=

» [X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);surf(X,Y,Z)

Mulţimea }),(),{(})({1 cyxfyxcfM c === − , unde c este o constantă reală se numeşte curbă de nivel constant c . Această mulţime este proiecţia în R2 a secţiunii graficului lui f cu planul cz = .

Pentru a desena aceste curbe de nivel folosim funcţiile contour, pentru desenul în R2 şi contour3 pentru desenul în R3, funcţii ce se apelează astfel: » [X,Y]=meshgrid(a:h:b,c:h:d); f=f(X,Y); contour(X,Y,f,n) » [X,Y]=meshgrid(a:h:b,c:h:d); f=f(X,Y); contour3(X,Y,f,n) unde n reprezintă numărul de curbe de nivel ce vor fi desenate.

19

- Să desenăm curbele de nivel în R2 respectiv în R3, ale funcţiei →−×− ]3,3[]3,3[:f R definită

prin )( 22),( yxxeyxf +−=

» [X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);contour(X,Y,Z)

» [X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);contour3(X,Y,Z)

Pentru a desena în acelaşi sistem de axe, atât suprafaţa, cât şi curbele sale de nivel în R2, folosim funcţia surfc.

» [X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);surfc(X,Y,Z)

20

- Să desenăm pe acelaşi ecran porţiunea de suprafaţă definită prin →−×− ]3,3[]3,3[:f R )( 22

),( yxxeyxf +−= , curbele ei de nivel în R2 şi în R3 şi atât suprafaţa, cât şi curbele sale de nivel în R2

» subplot(221);[X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);surf(X,Y,Z) » subplot(222);[X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);contour(X,Y,Z) » subplot(223);[X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);contour3(X,Y,Z) » subplot(224);[X,Y]=meshgrid(-2:.3:2,-2:.3:2);Z= X.*exp(-X.^2-Y.^2);surfc(X,Y,Z)

21

Exerciţii propuse

1. Desenaţi graficele funcţiilor, folosind eventual diferite culori:

21

4

1)(x

xxf−

−= ; xxf 2arcsin)(2 = ; 3 3

3 23)( +−= xxxf ;

1

32)(2

4+−

+=

xx

xxf ; 25

ln)(x

xxf = ;

107

2)(2

6+−

−=

xx

xxf ; 32ln)(7 +

−=

xxxf .

2. Desenaţi în acelaşi sistem de axe graficele funcţiilor 4)( += xxf şi xxg −= 1)( .

3. Desenaţi următoarea porţiune de suprafaţă →−×− ]2,2[]2,2[:f R, 221),( yxyxf +−= . 4. Desenaţi pe acelaşi ecran porţiunea de suprafaţă definită prin →−×− ]3,3[]3,3[:f R,

)(2 22),( yxxyeyxf +−−= , curbele ei de nivel în R2 şi în R3 şi atât suprafaţa, cât şi curbele sale de

nivel în R2 5. Desenaţi pe acelaşi ecran porţiunea de suprafaţă definită prin →−×− ]4,4[]4,4[:g R,

222

2222

)1(),(

++

⋅++=

yxyxyx

yxg , curbele ei de nivel în R2 şi în R3 şi atât suprafaţa, cât şi curbele sale

de nivel în R2