Analiza 1

Licenta 2006

1.Teorema de punct fix a lui Banach (principiul contractiilor).

2. Siruri convergente, siruri Cauchy in spatii metrice.

3. Functii continue pe multimi compacte.

4. Limita unei functii intr-un punct. Definitii echivalente.

5. Teorema de caracterizare a multimilor compacte in spatii metrice.

6. Fie d : R×R → [0,∞), d(x, y) =| arctg x− arctg y |, ∀ x, y ∈ R. Sa

se arate ca (R, d) este spatiu metric.

7. Daca seria∑∞

n=1 an este convergenta si an ≥ 0, ∀ n ≥ 1 atunci seria∑∞n=1

√an

np este convergenta pentru orice p > 1. Ce se poate spune daca

p = 1?

8. Daca x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn si 1 ≤ p < ∞, definim

‖ x ‖p=( n∑

j=1

| xj |p)1/p

si ‖ x ‖∞= max1≤j≤n

| xj | .

a) Pentru n = 2 sa se precizeze si sa se deseneze sfera unitate S = {x ∈R2; ‖ x ‖p= 1} pentru p = 1, 2,∞.

b) Aratati ca limp→∞ ‖ x ‖p=‖ x ‖∞ .

9. Fie functia f : R2 → R,

f(x, y) =

xy√x2+y2

, (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

Sa se arate ca:

a) functia f este continua si are derivate partiale de ordinul intai pe R2;

b) functia f nu este diferentiabila in punctul (0, 0).

10. Sa se determine punctele de extrem ale functiei f : R2 → R, f(x, y) =

x3 + y3 − 3x− 6y + 2.

1

Analiza 2

Licenta 2006

1.Teorema de derivare a integralei cu parametru.

2. Teorema de invarianta a integralei curbilinii in raport cu drumul.

3. Fie f : [a, b] → R o functie marginita. Sa se arate ca f este integrabila

Darboux daca si numai daca f este integrabila Riemann.

4. Sa se arate ca integrala∫∞

axαe−xdx, a > 0 este convergenta pentru

orice α ∈ R.

5. Fie f : [a, b] → R, f ∈ C1[a, b].

a) Daca exista c ∈ [a, b] astfel incat f(c) = 0 atunci are loc inegalitatea

| f(x) |≤∫ b

a

| f ′(t) | dt ≤√

b− a(∫ b

a

f ′(t)2dt)1/2

(∗).

b) Daca∫ b

af(t)dt = 0 atunci inegalitate (∗) ramane adevarata.

6. Sa se calculeze integrala curbilinie de speta a doua∫

Cxdx + exdy,

unde C : x = ln(1 + t), y =√

1 + t, t ∈ [0, 1].

7. Sa se arate ca functia f : R2 → R,

f(x, y) =

{x2y

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0),

0, (x, y) = (0, 0).

este continua pe R2 si sa se calculeze∫ ∫

Df(x, y)dxdy unde D = {(x, y) ∈

R2; x2 + y2 ≤ 1, y ≤ 0}.8. Fie hn(x) = n2x2

1+n2x2 . Sa se studieze convergenta simpla si uniforma a

sirului de functii (hn)n pe intervalul [−1, 1]. Este adevarata egalitatea

limn→∞

∫ 1

−1

hn(x)dx =

∫ 1

−1

limn→∞

hn(x)dx ?

9. Sa se calculeze limn→∞ nk∫ 1

0xn−1

x+1dx, pentru k = 0 si k = 1.

10. Sa se studieze convergenta integralei∫ 1

0x[

1x

]dx.

1

FUNCTII COMPLEXE

Licenta 2006 - Matematic¼a

1. Sã se determine constantele a; b astfel încât functia urmãtoare sã �eîntreaga:

f : C! C; f(z) =cosx(ch y+ash y)+ isinx(ch y+ bsh y); unde x =Rez; y = Im z:

2. Sã se calculeze: a.R@D 1

4(0)

ez

sin z + cos zdz; b.R@D2(0)

(z�1)3e1

z�1

z dz

3. Sã se arate cã dacã D este un domeniu, f : D! C o functie olomorfãpe D si existã a 2 D astfel încât f (n)(a) = 0; (8) n 2 N; atunci f(z) = 0; (8)z 2 D:

4. Fie u; v : D � R2 ! C functii diferentiabile si f = u + iv: Ce sepoate spune despre functia f dacã existã limitã:

a: limh!0

����f(z + h)� f(z)h

���� ; b: limh!0Re f(z + h)� f(z)h?

5. Fie a; b; c 2 C; distincte. Sã se dezvolte functia f : C� fb; cg! C;f(z) = 2z�b�c

z�b in serie Laurent în jurul punctului z = a:

6. Sã se arate cã pentru orice numãr real � > 1; ecuatia ze��z = 1 areexact o solutie în discul jzj < 1 si aceasta este realã.

7. Relatiile Cauchy - Riemann (in coordonate carteziene si polare).8. Teorema de legatura intre integrala si primitiva.9. Teorema reziduurilor.10. Formulele lui Cauchy pentru disc.

1

ALGEBRA I (structuri algebrice de baza: grup, inel corp) Licenţă 2006 - Matematică

1. Definitia notiunii de grup. Asociativitate si comutativitate generala. Reguli de

calcul in grup (reguli de calcul cu puteri, simplificare, existenta si unicitatea solutiei pentru ecuatii de tipul ax = b, xa = b).

2. Definitia subgrupului. Subgrupurile grupului aditiv al numerelor intregi.

3. Echivalente asociate unui subgrup. Teorema lui Lagrange (enunt si

demonstratie). 4. Teorema fundamentala de izomorfism pentru grupuri si aplicatii la caracterizarea

grupurilor ciclice.

5. Constructia inelului factor. Inelul claselor de resturi modulo n: constructie si elemete speciale in nZ (elemente inversabile, divizori ai lui zero, elemente nilpotente).

6. Demonstrati ca orice grup cu 6 elemente este izomorf cu grupul 6Z sau cu grupul

permutarilor de grad 3, 3S .

7. Determinati elementele inversabile, divizorii lui zero si elementele nilpotente ale inelului de clase de resturi Ζ12. Aratati ca multimea elementelor inversabile formeaza grup cu inmultirea izomorf cu grupul lui Klein.

8. Sa se arate ca nu exista nici un subinel unitar al inelului matricelor patratice de

ordinul 3, ),(3 RM izomorf cu corpul numerelor complexe.

9. Care este cel mai mare ordin al elemetelor inversabile ale inelului 40Z ? (Indicatie: Folositi Lema Chineza a Resturilor pentru a deduce izomorfismul de grupuri multiplicative )()()( 5840 ZUZUZU ×≅ .) 10. Fie grupul permutarilor de grad 9, .9S Determinati un element de ordin 20 in 9S

si demonstrati ca nu exista elemnte de ordin 18 in acest grup. (Indicatie: folositi descompunerea unei permutari in produs de cicluri disjuncte.)

ALGEBRA LINIARA Licenţă 2006 - Matematică

1) Definiti urmatoarele notiuni: spatiu si subspatiu vectorial, baza a unui spatiu vectorial, aplicatie liniara, vectori si valori proprii pentru o aplicatie liniara.

2) Matricea de trecere de la o baza la alta baza. Formula modificarii coordonatelor

unui vector la schimbarea bazei.

3) Fie WVf →: o aplicatie liniara, unde V si W sunt doua spatii vectoriale finit

dimensionale peste acelasi corp comutativ K. Sa se arate ca VfKerf KKK dimImdimdim =+ .

4) Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt. 5) A) Fie E o multime ortogonala dintr-un spatiu euclidian V formata din elemente

nenule. Sa se arate ca E este multime liniar independenta. Daca VKdim = n, atunci orice multime ortogonala care contine n elemente nenule este o baza in V .

B) Daca V este spatiu euclidian cu VKdim = n si },....,,{ 21 neeeB = este baza

ortogonala in V iar ∑=

=∈n

iiiexvVv

1

, atunci avem ca ><><

=ii

ii ee

evx

,,

. Daca B este

ortonormata atunci ., >=< ii evx

6) Fie :f Ñ3 →Ñ3 o aplicatie liniara definita intr-o baza B a lui Ñ3 prin matricea

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=

022211

211A . Sa se cerceteze daca exista o baza B1 in Ñ3 fata de care

aceasta matrice sa aiba forma diagonala. 7) a) Sa se determine daca vectorii )15,1,3(),1,0,2(),0,1,1( 321 === vvv formeaza o

baza in Ñ3. b) Sa se determine ∈λ Ñ astfel incat vectorul )2,,3( λ sa apartina subspatiului generat de 1v si 2v . c) Daca la punctul a) avem o baza, sa se determine coordonatele vectorului de la b) fata de baza de la a). 8) Folosind procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt sa se gaseasca o baza

ortonormata in Ñ3 pornind de la baza ).0,1,1(),3,1,2(),1,0,1( 321 −=−== vvv

9) Fie V1 si V2 doua subspatii vectoriale ale lui Ñ4 generate respectiv de vectorii )3,2,0,3(),1,1,1,2(),1,0,1,2( 321 =−−−−== vvv si ).5,1,2,1(),2,1,1,0(),1,2,1,1( 321 −−=−−== www Sa se gaseasca o baza a intersectiei

subspatiilor V1 si V2. 10) Fie f: Ñ5 → Ñ4 f(x1, x2, x3, x4, x5) = (2 x1 – x2 – x3 + x4 + x5, x1+ 4 x2 -2 x3 - x4 + x5, x1 – 2x2 +2 x3 + 2x4 - x5, 2 x1 +2 x2 + x4 ) o aplicatie liniara. Sa se determine nucleul si imaginea acestei aplicatii cat si dimensiunilor lor.

Geometrie analitică Licenţa 2006 - Matematică

1. Spaţii vectoriale euclidiene: definiţia produsului scalar (exemple de produse

scalare), inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz şi consecinţe (norma euclidiană, unghiul dintre doi vectori, distanţa dintre două puncte).

2. Procedeul de ortogonalizare Gramm-Schmidt. 3. Elipsa. Proprietatea optică a elipsei. 4. Hiperbola. Proprietatea optică a hiperbolei. 5. Definiţia comună a conicelor. 6. Un bec electric atârnă sub centrul unui abajur circular, la 10 cm sub abajur şi la

o distanţă de 50 cm de perete. Raza abajurului este de 15 cm. Să se găsească conturul umbrei aruncate de abajur pe perete.

7. Să se demonstreze că dacă prin unul din focarele F al unei elipse se duce o

secantă variabilă ce întâlneşte elipsa în punctele M şi N, valoarea absolută a cantităţii

FNFM11

− este constantă.

8. Prin focarul F al unei parabole se duce o dreaptă perpendiculară ( )∆ pe axa

parabolei. Fie P proiecţia pe ( )∆ a unui punct M, mobil pe parabolă, şi N, un punct luat pe MF, astfel încât MPNM = . Să se arate că dreapta PN trece printr-un punct fix.

9. Utilizând procedeul Gramm-Schmidt, să se ortogonalizeze sistemul de vectori:

{ }321 ,, eeeS = , unde ( ) ( ) ( )0,1,1,1,0,1,1,1,0 321 === eee .

10. Să se determine α şi β astfel ca dreapta de ecuaţie 1 22 3

x y zα αβ

− + −= = să

fie situată în planul de ecuaţie 2 3 2 0x y z− − − = .

Geometrie diferentiala I Licenta 2006 - Matematică

1. Formula Gauss. Derivata covariantă. 2. Ecuaţiile Gauss şi Codazzi-Mainardi. 3. Consecinţe ale reperului Darboux asupra geodezicelor suprafeţelor. 4. Teoremele lui Lancret. 5. Reper Frenet. Relatiile lui Frenet. 6. Interpretarea geometrică a curburii Gauss. 7. Dacă d este distanţa de la origine la planul tangent la suprafaţa în punctul M şi K este curbura Gauss a suprafeţei în M, suprafeţele pentru care

4 constantKd

=

se numesc suprafeţe Ţiţeica. Arătaţi că suprafaţa având ecuaţia algebrică 1=xyz

este suprafaţă Ţiţeica. 8. Se consideră suprafaţa

( )1 2 1 2 1 2 1( , ) cos cos , cos sin , sinf x x r x x r x x r x= , ( )1 2, , 0, 22 2

x xπ π π⎛ ⎞∈ − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a) Să se calculeze coeficienţii primelor două forme fundamentale. b) Să se calculeze curbura Gauss într-un punct oarecare.

9. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei c:R→ R3 , c(t) = (2 cos t, 2 sin t, 3t). 10. Se consideră curba: ( )3: , ( ) cos , sin , .t t tc c t e t e t e→ =R R Calculati elementele

analitice ale triedrului Frenet in punctul 0 0t = .

COMPLEMENTE DE MATEMATICA SCOLARA II Licenţă 2006 - Matematică

1. Relatii de echivalenta pe o multime: definitie, exemple: echivalenta modulo n pe

Z, clase de echivalenta (definitie si proprietati), multime factor, multimea claselor de resturi modulo n, nZ .

2. Relatii de ordine pe o multime: definitie, exemple. Multime total ordonata:

definitie si exemple. 3. Multimi numarabile: definitie, exemple (cu justificare). 4. Teorema impartirii cu rest in Z. Algoritmul lui Euclid. 5. Principiul includerii si excluderii. 6. Fie A si B doua multimi cardinal echivalente. Demonstrati ca P(A) si P(B) sunt

cardinal echivalente. (P(A) semnifica multimea partilor lui A). 7. Pe multimea numerelor reale, R, se defineste relatia binara: Zyxyx ∈−⇔≈ .

Demonstrati ca relatia ≈ este de echivalenta si ca multimea factor ≈/R se poate pune in corespondenta bijectiva cu punctele unui cerc.

8. Fie ),( ≤X o multime partial ordonata. Sa se arate ca urmatoarele afirmatii sunt

echivalente: (a) Orice submultime nevida a lui X are un element maximal (respectiv

minimal). (b) Orice sir crescator (respectiv descrescator) de elemente din X este

stationar.

9. Determinati numarul partitiilor cu doua blocuri ale unei multimi finite cu n elemente.

10. Rezolvati ecuatia diofantica .1345 =+ yx

Ecuatii diferentiale 1

Licenta 2006

1.Teorema de existenta si unicitate locala a lui Picard.

2. Sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordinul intai omogene. Struc-

tura spatiului solutiilor, matrice fundamentala.

3.Teorema de caracterizare a solutiilor prelungibile la dreapta.

4. Teorema de caracterizare a solutiilor saturate la dreapta.

5. Stabilitatea sistemelor diferentiale liniare.

6. Sa se arate ca orice solutie a ecuatiei diferentiale x′′ + 3x′ + 2x = 1t+1

converge la 0 cand t→∞.

7. Sa se determine solutia problemei Cauchy{∂u∂t

+ (2et − x)∂u∂x

= 0,

u(0, x) = x.

8. Sa se determine µ ∈ C2(R) astfel incat ecuatia

(3t2 − µ′(x))dt + (3x2 − t(µ(x) + cos x))dx = 0

sa fie diferentiala totala exacta si sa se rezolve.

9. Sa se arate ca problema Cauchy{x′ = ex + (1 + x2)t, t ≥ 0,

x(0) = x0

admite solutie unica definita pe un interval marginit.

10. Fie a, f : R→ R doua functii continue de perioada T.

a) Sa se arate ca ecuatia omogena x′ + a(t)x = 0 are o solutie periodica,

de perioada T , neidentic zero daca si numai daca∫ T

0a(s)ds = 0.

b) Daca∫ T

0a(s)ds 6= 0 atunci ecuatia neomogena x′ + a(t)x = f(t) are

o unica solutie periodica de perioada T .

1

MATEMATICI DISCRETE Licenţă 2006 - Matematică

1) Definiti notiunile de: a) Drum si lant intr-un graf orientat; b) Subgraful generat de o submultime de varfuri, XA ⊂ , al unui graf G = (X, U); c) Graful partial al unui graf G = (X, U) generat de o submultime de arce UV ⊂ ; d) Componente tare conexe si componente conexe ale unui graf. e) Matrice de adiacenta, matricea drumurilor si matricea distantelor directe pentru un

graf orientat.

2) Descrieti algoritmul Roy – Warshall, de determinare a matricei drumurilor intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar.

3) Descrieti algoritmul Roy – Floyd, de determinare a drumurilor si distantelor

minime intr-un graf, definind in prealabil toate notiunile care apar.

4) Definiti o retea de transport, enuntati Teorema Ford-Fulkerson, definind toate

notiunile care apar in enunt si descrieti algoritmul Ford – Fulkerson. 5) Descrieti algoritmii lui Kruskal si Prim, de determinare a arborelui minim pentru

un graf conex, definind in prealabil toate notiunile care apar.(Descriere fara demonstratie!)

6) Sa se determine matricea drumurilor si componentele tare conexe pentru graful

care are matricea de adiacenta:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1 1 01 1 0 1 0 0 1 01 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0

7) Pentru ca o persoana ce are locuinta in punctul 1 sa mearga la biblioteca aflata in

punctul 9, ea poate folosi mai multe mijloace de transport . Datele cuprinzand punctele

intermediare prin care trece precum si timpul mediu calculat pentru a ajunge ditr-un

punct in altul sunt date in matricea distantelor directe, data mai jos. Se cere sa se

determine toate drumurile care realizeaza timpul minim cat si valoarea acestuia.

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 4 ∞ ∞ ∞∞ 0 2 5 8 ∞∞ ∞ 0 2 5 ∞∞ ∞ ∞ 0 3 5∞ ∞ ∞ ∞ 0 1∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

8) Sa se determine lungimea maxima si toate drumurile pe care se

realizeaza aceasta pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 1 3 5 ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 2 ∞ ∞ ∞ 13 ∞∞ ∞ 0 ∞ 5 11 14 ∞∞ ∞ 2 0 6 8 ∞ 15∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 ∞ 9∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 2 6∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 4∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

9) In portul 1 se gasesc 35 vapoare care trebuie sa se deplaseze in portul 10. Deplasarea lor se face in etape astfel incat in prima etapa sa ajunga cat mai multe dintre ele in portul 10. In drumul lor, vapoarele trebuie sa mai faca cate o escala in alte porturi intermediare, notate 2,3,...,9. Conditiile de primire, aprovizionare etc. fac sa existe o limitare a rutelor folosite. Capacitatile corespunzatoare sunt date in matricea de mai jos:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 12 3 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞ 0 ∞ ∞ ∞ 6 5 ∞ ∞ ∞∞ ∞ 0 ∞ 4 4 ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ 0 5 ∞ ∞ ∞ 10 ∞∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 5 3 ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 3 ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ 13∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ 10∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 12∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0

Pozitiile notate cu infinit indica aici ca nu avem arc intre varfurile respective. Sa se determine un plan optim de transport, astfel incat, in aceasta etapa sa poata pleca cat mai multe vapoare spre portul 10. 10) Sa se determine arborele minim pentru graful care are matricea distantelor directe:

:= a

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 6 4 11 5 10 9 136 0 4 5 7 5 8 104 4 0 6 3 3 4 6

11 5 6 0 9 2 7 65 7 3 9 0 12 2 3

10 5 3 2 12 0 11 79 8 4 7 2 11 0 3

13 10 6 6 3 7 3 0

Probabilit¼ati, Statistic¼aLicenta 2006 - Matematica

1. Legea Numerelor Mari (forma Cebâsev).

2. Legea Numerelor Mari (forma Bernoulli).

3. Teorema Limit¼a Central¼a (pentru v.a.i.i.r).

4. Teorema Limit¼a Central¼a (forma Moivre-Laplace).

5. Aplicatii ale Teoremei Limite Centrale la Modelarea Statistic¼a (MetodaMonte-Carlo).

6. Fie (x1; :::; xn) � X : Bi (n; p), adic¼a este dat un esantion de volum n

generat de o variabil¼a aleatoare X binomial repartizat¼a cu parametrii n si p, n = 1; 2; :::; si respectiv p 2 (0; 1). De exemplu, X poate � interpretat¼a canum¼arul total de steme înregistrate la aruncarea unei monede de n ori.Consider¼am urm¼atoarele ipoteze:a) H : moneda este de aur;b) H : moneda nu este perfect¼a;c) H : moneda este perfect¼a, n �ind cunoscut, adic¼a n = no;d) H : moneda este perfect¼a, n �ind necunoscut.Care din ele sunt ipoteze statistice si de ce tip ? Argumentati r¼aspunsurile.

7. Fie (x1; :::; xn) � X : N (m;�2), adic¼a este dat un esantion de volumn generat de o variabil¼a aleatoare X � N (m;�2). Presupunem c¼a �2 estecunoscut¼a. În acest caz la testarea ipotezelor despre parametrulm este folositfaptul c¼a statistica:

x�m�pn

� N (0; 1) ;

pentru orice m 2 R:Demonstrati acest fapt, folosind metoda functiilor caracteristice.

8. Ce tip de erori au fost comise, dac¼a în urma test¼arii ipotezelor:

1

a) ipoteza alternativ¼a a fost respins¼a, ea �ind de fapt adev¼arat¼a?b) ipoteza alternativ¼a a fost acceptat¼a, ea �ind de fapt fals¼a?

9. Fie (x1; :::; xn) � X : N (m;�2), adic¼a este dat un esantion de volumn generat de o variabil¼a aleatoare X � N (m;�2). Presupunem c¼a m2 estecunoscut. În acest caz la testarea ipotezelor despre dispersia �2 este folositfaptul c¼a statistica:

n � S2�2

=

P(xi �m)2

�2� �2 (n) ;

adic¼a este o variabil¼a aleatoare � p¼atrat repartizat¼a cu n grade de libertate.Folosind metoda functiilor caracteristice si de�nitia variabilei aleatoare

�2 (n), demonstrati acest fapt.

10. Experienta anterioar¼a arat¼a c¼a durabilitatea unei anvelope auto poate� considerat¼a o variabil¼a aleatoare X s N

�30000km; (800km)2

�. Se face

o schimbare la procesul de productie. O selectie de 100 de anvelope aremedia de selectie x = 29000km. Pe baza acestei selectii si la un prag desemni�catie � = 0:05 putem noi oare spune c¼a noua metod¼a conduce lasc¼aderea durabilit¼atii anvelopelor ?Nota: Pentru � = 0:05 valoarea ��cuantilei x� = �1:64; adica

�(�1:64) = 0:05:

Bibliogra�e*M. IOSIFESCU, Gh. MIHOC, si a. Teoria probabilitatilor si Statistica

matematica. Edit. didact. si pedagogica,1965.* A. LEAHU, Probabilitati, Edit. OVIDIUS University Press, Constanta,

2000*CHARLES M. GRINSTEAD SNELL J. Laurie Introduction to Proba-

bility.www.books-on-line.com/bol/BookDisplay.cfm?BookNum=9625

2

Calcul numeric Licenţă 2006 - Matematică

1. Teorema de aproximare pentru polinoame Bernstein. 2. Metoda Newton de aproximare a soluţiilor ecuaţiilor neliniare pe R –

teorema de convergenţă.

3. Principiul contracţiilor pe ).2( ≥nRn

4. Descompunere Choleski pentru matrice simetrice şi pozitiv definite – teorema de existenţă.

5. Condiţii suficiente ca o matrice să admită descompunere LU – demostraţi

una din teoreme.

6. Folosind principiul contracţiilor, aproximaţi 23 cu o eroare mai mică decât 10-4.

7. Folosind regula trapezelor, aproximaţi 1

2

0

ln( 1)x dx+∫ cu o eroare mai mică

decât 1/2400. 8. Aproximaţi soluţia următoarei probleme cu valori iniţiale, folosind metoda

Taylor de ordinul 2, pentru 1.0=h şi ].2.1,1[∈t

.1)1(

'2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

yty

tyy

9. Pentru matricea 1 4 0 02 1 3 si 62 0 1 2

A b⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, rezolvaţi sistemul Ax=b,

găsind mai întâi o descompunere LU pentru A a) direct b) folosind eliminarea Gauss.

10. Pentru matricea

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−−

=

21001210

01210012

A , determinaţi A-1 folosind

metoda Gauss-Jordan.

Ecuatii cu derivate partiale Licenta 2006 - Matematica

1. Gasiti o forma normala pentru ecuatia: 0xy yy x yu yu xu yu xyu− + + + = , 0y ≠ . 2. Fie ecuatia 2 2 0xx xy yyx u xyu y u+ + = in { }2( , ) | 0, 0 .x y x yω = ∈ > >

Determinati o forma normala si precizati transformarea.

3. Determinati solutia analitica a problemei Cauchy: t xu t x u u= + + + , (0, ) 0.u x = 4. Determinati solutia analitica a problemei Cauchy: 21t xu u= + , (0, ) 2u x x= .

5. Aduceti la forma standard si determinati termenii de ordin 3≤ ai problemei

Cauchy:(0, ) (0, ) (0, ) 0

tt tx xx x

t x t

t

u t u u vv u v u u

u x u x v x

= + + +⎧⎪ = + + +⎨⎪ = = =⎩

.

6. Ecuatia lui Tricomi 0xx yyyu u− = , .y∈ Clasificare.

7. Solutia lui D’Alembert pentru coarda vibranta.

8. Principii de maxim pentru ecuatii eliptice. Consecinte.

9. Principiul de maxim pentru ecuatia omogena a caldurii. Consecinte.

10. Enuntati principiul lui Huygens.

MECANICĂ

Licenţa 2006 - Matematică

1. Proprietăţi ale torsorului.

2. Expresiile vitezei şi acceleraţiei în coordonate polare şi intrinseci.

3. Se dă cubul (cu latura l ) din figură acţionat în E de forţa PEB = 3P şi în B de forţa

PBF = 2P . Se cere reducerea acestor forţe în O şi A.

4. Se dă bara AB = l şi greutatea G aşezată fără frecare într-un cilindru de raza R. Se cere

poziţia de echilibru.

5. Se dă bara AB de lungime 2l şi greutate G rezemată cu frecare pe un perete şi podea cu coeficienţii de frecare 21 , µµ . Se cer ecuaţiile de echilibru.

6. Cablul unui funicular, omogen şi de lungime 2s este suspendat în două puncte A şi B,

care nu se află pe aceeaşi orizontală. Unghiurile dintre tangentele la fir, duse în aceste puncte şi verticală sunt egale cu α şi β . Să se afle diferenţa de înalţime a punctelor A şi B.

7. Manivela OA se roteşte uniform în jurul unui punct fix O cu viteza unghiulara ω

constantă şi, prin intermediul bielei AM = b, pune în mişcare culisa M. Să se determine viteza şi acceleraţia culisei şi expresiile aproximative ale vitezei şi

acceleraţiei dacă raportul rb

este mic.

8. Se cere ecuaţia traiectoriei, viteza şi acceleraţia unui punct ale cărui ecuaţii

parametrice în coordonate polare sunt:

;tr e btα θ= = .

9. Un punct material se mişcă după legea: cos ; sinx A t y B tω ω= = . Se cer traiectoria, viteza şi acceleraţia.

10. Se consideră un fir omogen de lungime L şi greutate p pe unitatea de lungime,

suspendat în punctele A şi B, a căror diferenţa de nivel h este necunoscută. Se cunosc unghiurile α şi β dintre orizontalele respective cu tangentele în A şi B la curba funiculară. Să se determine: tensiunile AT , BT şi H; diferenţa de nivel h; diferenţa de nivel dintre punctul A şi punctul A0 cel mai de jos al curbei funiculare, lungimea de fir

0AAl .

ASTRONOMIE Licenţa 2006 - Matematică

1. Enunţaţi şi verificaţi legile lui Kepler.

2. Teorema lui Newton privind atracţia unei sfere omogene goale.

3. Determinaţi ecuaţia diferenţială a mişcării pentru problema celor două corpuri.

4. Soluţia analitică a problemei celor două corpuri.

5. Enunţaţi şi demonstraţi formula cosinusului în trigonometria sferică.

6. Arătaţi că într-un triunghi sferic ABC sunt valabile relaţiile:

2 2

sin sin cos cos cos sin sin cos cos cossin (1 cos cos cos ) sin (1 cos cos cos ).

b c b c A B C B C aa A B C A a b c

+ = −

+ = −

7. Dacă D este un punct situat pe latura BC a unui triunghi sferic oarecare ABC,

să se demonstreze că:

cos sin cos sin cos sinAD BC AB CD AC BD= + .

8. Demonstraţi că relaţia

(1 cos )tg (1 cos )tgb C c B− = − .

aparţine sau unui triunghi sferic isoscel sau unui triunghi sferic în care

A = B + C.

9. Să se arate că în orice triunghi sferic dreptunghic (A = 90o) avem relaţia:

2 2 2 2 2sin sin cos cos sin2 2 2 2 2a b c b c= + .

10. Să se arate că într-un triunghi sferic ABC echilateral avem:

2cos sin 12 2a A

= .

1

ANALIZ¼A FUNCTIONAL¼ALICENT¼A 2006 - Matematic¼a

1. Spatii normate si spatii Banach. De�nitii. Operatori liniari si continuiintre doua spatii normate. Norma unui operator liniar si continuu intre douaspatii normate.

2. Teorema categoriei a lui Baire. Enunt si demonstratie.

3. Principiul marginirii uniforme. Enunt si demonstratie.

4. Teorema aplicatiei deschise si teorema gra�cului inchis. Enunt sidemonstratie.

5. Teorema Hahn-Banach, cazul real. Enunt si demonstratie.

6. S¼a se arate c¼a operatorul U : C[0; 1]! C[0; 1],

(Uf)(x) =1R0

extf(t)dt, f 2 C [0; 1], x 2 [0; 1]

este corect de�nit, este liniar si continuu si kUk = e� 1.

7. Determinati sirurile de numere reale (xn)n2N � R care au proprietatea:un sir (an)n2N � R este convergent c¼atre zero daca si numai seria

1Pn=1

anxn

este convergent¼a.

8. S¼a se arate c¼a multimea� 1Pn=0

anxn j

1Pn=0

janj <1�� C [0; 1]

este de prima categorie Baire în C [0; 1], nu este rar¼a si nici nu estedeschis¼a în C [0; 1].

9. Fie 1 � p <1, a = (an)n2N un sir de numere reale cu proprietatea

8x = (xn)n2N 2 lp, rezult¼a (anxn)n2N 2 lp

si Ma : lp ! lp operatorul de multiplicare,

2

Ma((xn)n2N) = (anxn)n2N.

S¼a se arate c¼a:i) Ma este corect de�nit, este liniar si continuu si ca a 2 l1:ii) kMak = kak1 = sup

n2Njanj :

10. În spatiul normat R2 inzestrat cu norma euclidiana, consider¼amsubspatiul liniar

G = f(x; y) 2 R2 j 2x� y = 0g

si functionala liniar¼a f : G! R,

f(x; y) = x.

Ar¼atati c¼a exist¼a o unic¼a prelungire a lui f la R2 cu p¼astrarea normei sig¼asiti aceast¼a prelungire.

1

Aritmetică şi teoria numerelor Licentă 2006 - Matematică

1. Numere naturale prime (multimea numerelor naturale prime este infinita; divergenţa

seriei 1p P p∈∑ ).

2. Funcţii aritmetice. 3. Congruenţe (proprietăţi, T.Euler, T. Fermat). 4. Simbolul lui Legendre. 5. Ecuaţia lui Pell. 6. Fie şirul (Fn)nєN* , Fn = 2^{2ⁿ} (numerele lui Fermat). a) Să se arate că Fn - 2= F0F1...Fn-1. b) Să se arate că pentru orice m,n є N, m≠ n, are loc: (Fm, Fn)=1. c) Să se arate ca mulţimea numerelor naturale prime este infinită. 7. Să se afle exponentul la care apare 6 în descompunerea în factori a lui 253! 8. Să se arate că, dacă a є Z, (a;505)=1, atunci a100 ≡ 1 (mod 12625). 9. Fie (Fn)nєN* şirul numerelor Fermat. Să se arate că dacă Fn= p este număr prim, atunci <3 > = (Z*p; •). 10. Să se arate că nici un număr natural de forma 8k+7, cu k є N, nu poate fi scris ca sumă de 3 pătrate de numere întrgi.

Informatica II Licenţa 2006 - Matematică

1. Structura unui program, tipuri de variabile, operatori si expresii (in Java). 2. Declararea si utilizarea tablourilor de date (in Java). 3. Utilizarea intrarilor si iesirilor – tastatura, ecran si fisiere (in Java). 4. Instructiuni de decizie si repetitive (in Java). 5. Subprograme si recursivitate – declarare si utilizare (in Java).

6. Scrieti un program pentru determinarea numarului combinarilor de 1234 elemente luate cate 567 (atentie: rezultatul are 369 cifre!).

7. Se considera functia 7 3( ) ( 1) xf x x x e= + + . Derivata de ordin 8 a functiei ( )f x

este 7 67 6 1 0( ) ( ... ) xg x a x a x a x a e= + + + + . Scrieti un program care sa determine

cel mai mare numar prim care apare in descompunerile coeficientilor polinomului din functia ( )g x .

8. Scrieti un program pentru determinarea tuturor radacinilor rationale ale unei

ecuatii cu coeficienti intregi. 9. Scrieti un program pentru descompunerea unui numar natural ca suma de cat mai

putini termeni din sirul Fibonacci ( 0 1 1 20, 1, , 2k k kF F F F F k− −= = = + ≥ ). 10. Fie 1x si 2x radacinile ecuatiei 2 3 2 0x x− + = si 1 2

n nnS x x= + . Sa se scrie un

program care determina numarul divizorilor lui 50S .

Fundamentele matematicii Licenţa 2006 – Matematică

1. Enunţaţi axiomele de continuitate şi arătaţi că oricărui segment i se poate ataşa un număr real pozitiv ce nu depinde de unitatea aleasă. 2. Teorema Legendre. 3. Definiţi noţiunea de defect al unui triunghi şi arătaţi că dacă există un triunghi dreptunghic cu defectul zero, atunci toate triunghiurile dreptunghice au defectul zero. 4. Consecinţe ale axiomelor de incidenţă. 5. Unghiuri suplementare. Unghiuri drepte. Existenţa dreptelor perpendiculare. 6. Drepte nesecante în planul absolute. 7. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă şi de ordine demonstraţi următorul rezultat: Fie A, B, C, D patru puncte pe o dreapta. Atunci din ordonările ABC si BCD rezultă ordonările ACD şi ABD . 8. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă, de ordine şi de egalitate arătaţi că egalitatea segmentelor este o relaţie de echivalenţă. 9. În cadrul axiomatic creat de grupele de axiome de incidenţă, de ordine şi de egalitate demonstraţi cazul de congruenţă LLL a două tringhiuri. 10. În cadrul geometriei absolute arătaţi că dacă avem un triunghi ABC şi punctele

[ ]M AB∈ şi [ ]N AC∈ atunci ( ) ( )D AMN D ABC∆ ≤ ∆ , unde prin ( )D ABC∆ se inţelege defectul triunghiului ABC.

Cercetări Operaţionale Licenţa 2006 - Matematică

1. Condiţii de optimalitate in programarea neliniară în cazul funcţiilor nediferenţiabile. Soluţia optimă şi punctul şa al lagrangeanului. 2. Condiţii de optimalitate in programarea neliniară în cazul funcţiilor diferenţiabile (Kuhn-Tucker). 3. Dualitatea in programarea neliniară. Duala în sens Wolfe. 4. Teorema directă de dualitate. 5. Metoda direcţiilor admisibile pentru programarea convexă cu restricţii liniare:

testul de optimalitate si îmbunătăţirea soluţiei.

6. Se consideră problema de programare neliniară: Inf (x1

2+x22-4x1-2x2+5)

cu restricţia: x1

2+0.25x22-1≤0

a. Să se scrie funcţia Lagrange asociată; b. Să se scrie condiţiile de optimalitate Kuhn-Tucker; c. Să se calculeze soluţia optimă.

7. Să se determine punctele de extrem ale funcţiei f: R2→R, f(x,y)= x3+y3+3xy. 8. Să se rezolve: Inf (x1

3+x23-12x1-3x2)

cu restricţiile: x2 ≥ x1+1 x1 ≥ 0 9. Se consideră jocul de două persoane cu sumă nulă, cu funcţia de câştig dată de

matricea:

a. Să se verifice dacă jocul are soluţii in strategii pure; b. Să se determine o soluţie optimă in strategii mixte si valoarea jocului.

10. Să se rezolve cu metoda multiplicatorilor Lagrange: Max (-3x1

2+3x1x2 -4x22+2x2x3-1.5x3

2) cu restricţiile:

x1+2x2-x3 = 2 x1-x2+3x3 = 3

7 6 1 4 5 8