o.b.m ˘si o.i - cezar lupu · 2010-10-10 · probleme preg atitoare pentru o.b.m ˘si o.i.m...

Probleme pregatitoare pentru O.B.M si O.I.M

Profesor pregatitor: Ce‡a∇Lu√u

Materia: ALGEBRA

Problema 1. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat a+ b+ c ≥ abc. Sa se arate ca

a2 + b2 + c2 ≥ abc√

3.

OBM 2001

Problema 2. Sa se arate ca, oricare ar fi numerele reale pozitive a, b, c esteadevarata inegalitatea:∑

cyc

(b+ c− a)(c+ a− b) ≤√abc(√a+√b+√c).

Baraj OIM 2000

Problema 3. Fie a1, a2, . . . , an numere ıntregi pozitive distincte. Sa searate ca

a21 + a2

2 + . . .+ a2n ≥

2n+ 13

(a1 + a2 + . . .+ an).

Problema 4. Fie a, b, c trei numere reale pozitive. Sa se arate ca

a+ b+ c

3− 3√abc ≤ max{(

√a−√b)2; (

√b−√c)2; (

√c−√a)2}.

USA TST 2000

Problema 5. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1. Sase arate ca

1a3(b+ c)

+1

b3(c+ a)+

1c3(a+ b)

≥ 32.

OIM 1995

Problema 6. Fie a1, a2, . . . , an > 0 astfel ıncat a1 + a2 + . . .+ an = 1. Sase arate ca

a1

1 + a2 + . . .+ an+ . . .+

an1 + a1 + . . .+ an−1

≥ n

2n− 1.

OBM 1984

Problema 7. Sa se arate ca oricare ar fi numerele a1, a2, . . . , a5 > 0 are locinegalitatea:

a1

a2 + a3+

a2

a3 + a4+ . . .+

a5

a1 + a2≥ 5

2.

USA TST 2001

Problema 8. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat a2 + b2 + c2 = 3. Aratati ca

a2

b+ c+

b2

c+ a+

c2

a+ b≥ 3

2.

ONM SL 2008

Problema 9. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat abc = 1. Sa se arate ca(a− 1 +

1b

)(b− 1 +

1c

)(c− 1 +

1a

)≤ 1.

OIM 2000

Problema 10. Sa se rezolve ın multimea numerelor strict pozitive ecuatia:

xy + yx = 1 + xy.

Problema 11. Sa se arate ca pentru orice numere reale strict pozitivea, b, c, are loc

a√a2 + 8bc

+b√

b2 + 8ca+

c√c2 + 8ab

≥ 1.

OIM 2001

Problema 12. Fie a, b, c numere reale pozitive. Sa se arate ca

2(a+ b)3a+ 6b+ 9c

+6(b+ c)

5a+ 2b+ 3c+

3(c+ a)2a+ 8b+ 6c

≥ 32.

Problema 13. Fie a, b, c ≥ 0 astfel ıncat a2 + b2 + c2 + abc = 4. Sa sedemonstreze ca

0 ≤ ab+ bc+ ca− abc ≤ 2.

2

USA TST 2002

Problema 14. Determinati toate functiile f : R→ R care verifica relatia:

f(x3 + y3) = xf(x2) + yf(y2), ∀x, y ∈ R.

ONM 2009

Problema 15. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn numere reale strict pozitiveastfel ıncat

(a21 + a2

2 + . . .+ a2n − 1)(b21 + b22 + . . .+ b2n − 1) > (a1b1 + . . .+ anbn)2.

Sa se arate ca

a21 + a2

2 + . . .+ a2n > 1, b21 + b22 + . . .+ b2n > 1.

USA TST 2004

Problema 16. Fie P ∈ C[X] un polinom monic avand radacinile inclusestrict ın discul unitate. Sa se arate ca exista z ∈ C cu |z| = 1 astfel ıncat|P (z)| ≥ 1.

ONM 1991

Problema 17. Sa se arate ca printre termenii sirului definit prin an =[n√

2] + [n√

3],∀n ∈ N, exista o infinitate de numere pare si o inifinitate denumere impare.

ONM 2006

Problema 18. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat x+ y + z = 3. Sa se arate ca√x+√y +√z ≥ xy + yz + zx.

Russia TST 2002

Problema 19. Sa se arate ca sirul de numere pozitive (an)n≥1 ce sartisfacerelatia an+1 =

√6− 2a2

n, ∀n ≥ 1, este constant.ONM SL 2002

Problema 20. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a2 + b2 +c2 + 2abc = 1. Sa se arate ca

ab+ bc+ ca ≤ a+ b+ c

2.

3

ONM SL 2002

Problema 21. Determinati n ∈ N∗ astfel ıncat sa existe x1, x2, . . . , xn ∈[0,∞) cu proprietatea

(1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn)(x1 + x2 + . . .+ xn) = 2n2x1x2 . . . xn.

ONM SL 2002

Problema 22. Sirul (an)n≥1 este definit prin a1 = 1, a2 = 3 si

an+2 = (n+ 3)an+1 − (n+ 2)an,∀n ≥ 1.

Gasiti valorile lui n pentru care an se divide prin 11.OBM 1990

Problema 23. Sa se determine toate functiile f : R→ R pentru care

f(xf(x) + f(y)) = (f(x))2 + y,∀x, y ∈ R.

OBM 1997, 2000

Problema 24. Fie sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 20, a2 = 30 si an+1 =3an − an−1,∀n ≥ 2. Sa se gaseasca valorile lui n pentru care numarul1 + 5anan+1 este patrat perfect.

OBM 2002

Problema 25. Sirul (xn)n≥1 este definit prin x1 = 3, x2 = 2 iar

xn−1xn+1 = x2n + 5, ∀n ≥ 2.

Aratati ca toti termenii sirului sunt numere ıntregi pozitive.

Problema 26. Gasiti functiile f : R→ [0,∞) pentru care

f(x2 + y2) = f(x2 − y2) + f(2xy), ∀x, y ∈ R.

Baraj OIM 1997

Problema 27. Fie n ≥ 3 numar natural, iar x este un numar real astfelıncat numerele x, x2 si xn au aceeasi parte fractionara. Sa se arate ca x estenumar ıntreg.

ONM 1997

4

Problema 28. Fie xi ≥ 1, i = 1, 2, . . . , n, numere reale. Sa se arate ca

11 + x1

+1

1 + x2+ . . .+

11 + xn

≥ n

1 + n√x1x2 . . . xn

.

OIM SL 1997

Problema 29*. Sa se arate ca pentru orice a1, a2, . . . , an numere reale, areloc inegalitatea:

n∑i,j=1

ij

i+ j − 1aiaj ≥

(n∑i=1

ai

)2

.

AMM 1991

Problema 30. Fie x, y, z ≥ 0 astfel ıncat x+ y + z + xyz = 4. Sa se arateca

x+ y + z ≥ xy + yz + zx.

Olimpiada India 1997

Problema 31. Sa se arate ca, pentru orice numar real x si orice n natural,are loc inegalitatea:

[nx] ≥ [x]1

+[2x]

2+ . . .+

[nx]n,

unde [x] este partea ıntreaga a numarului real x.Putnam 1983

Problema 32*. Aratati ca, pentru orice numere reale strict pozitive a, b, c,are loc inegalitatea:(

1 +1a

)b(1 +

1b

)c(1 +

1c

)a≥ 1 +

1ab+ bc+ ca

.

rev. Arhimede 2002

Problema 33. Aratati ca oricare ar fi numere reale strict pozitive, are locinegalitatea

2a+ b+ c)2

2a2 + (b+ c)2+

(2b+ c+ a)2

2b2 + (c+ a)2+

(2c+ a+ b)2

2c2 + (a+ b)2≤ 8.

USAMO 2003

5

Problema 34. Fie a, b, c. Sa se gaseasca toate tripletele (x, y, z) de numerereale pozitive astfel ıncat x+y+z = a+b+c si a2x+b2y+c2z+abc = 4xyz.

OIM SL 1995

Problema 35. Aratati ca numarul√10012 + 1 +

√10022 + 1 + . . .+

√20002 + 1

este irational.China TST 2005

Problema 36. Aratati ca pentru orice numere reale strict pozitive a, b, c,avem

b+ c− a)2

(b+ c)2 + a2+

(c+ a− b)2

(c+ a)2 + b2+

(a+ b− c)2

(a+ b)2 + c2≥ 3

5.

Olimpiada Japonia 1997

Problema 37. Fie p un polinom cu coeficienti reali pozitivi. Aratati ca,

daca inegalitatea p(

1x

)≥ 1p(x)

este adevarata pentru x = 1, atunci ea este

adevarata pentru orice x > 0.RMT ’80

Problema 38. Sa se determine functiile f : N∗ → N∗ pentru care

xf(x) + yf(y) = (x+ y)f(x2 + y2), ∀x, y ∈ N∗.

Canada TST 2002

Problema 39. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn numere reale pozitive. Sa sedemonstreze ca

(a1a2 . . . an)1/n) + (b1b2 . . . bn)1/n ≤ ((a1 + b1)(a2 + b2) . . . (an + bn))1/n.

Putnam 2002

Problema 40. Fie a1, a2, . . . , an numere reale strict pozitive astfel ıncata1 + a2 + . . .+ an < 1. Sa se arate ca

a1a2 . . . an(1− (a1 + a2 + . . .+ an))(a1 + a2 + . . .+ an)(1− a1)(1− a2) . . . (1− an))

≤ 1nn+1

.

6

OIM SL 1997

Problema 41. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat a+ b+ c = 1. Sa se arate ca

0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 727.

OIM 1983

Problema 42. Fie sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 1, a2 = −1 si an =−(an−1 + 2an−2),∀n ≥ 3. Sa se demonstreze ca numarul 2n+1 − 7a2

n−1 estepatrat perfect.

OIM SL ’80

Problema 43. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat xyz = 1. Sa se arate ca

x3

(1 + y)(1 + z)+

y3

(1 + z)(1 + x)+

z3

(1 + x)(1 + y)≥ 3

4.

OIM SL 1997

Problema 44. Sa se arate ca daca P,Q sunt polinoame cu coeficienti com-plecsi astfel ıncat P (P (X)) = Q(Q(X)) atunci P = Q.

Baraj OIM 2000

Problema 45. Fie n ≥ 1 un numar ıntreg pozitiv si x1, x2, . . . , xn numerereale astfel ıncat |xk+1 − xk| ≤ 1, ∀k ≥ 1, 2, . . . , n− 1. Sa se arate ca

n∑k=1

|xk| −

∣∣∣∣∣n∑k=1

xk

∣∣∣∣∣ ≤ n2 − 14

.

Baraj OIM 2000

Problema 46*. Sa se arate ca nu exista functie f : (0,∞)→ (0,∞) astfelıncat

f(x+ y) ≥ f(x) + yf(f(x)),∀x, y ∈ (0,∞).

Baraj OIM 2001

Problema 47. Gasiti toate polinoamele cu coeficienti reali P (x) astfel ıncat

P (x)P (2x2 − 1) = P (x2)P (2x− 1), ∀x ∈ R.

7

Baraj OIM 1997

Problema 48. Fie P (X), Q(X) doua polinoame monice si ireductibile ıninelul Q[X]. Presupunem ca polinoamele P (X) si Q(X) au radacinile α siβ, iar α + β este numar rational.Sa se arate ca polinomul P 2(X) − Q2(X)are o radacina rationala.

Baraj OIM 1997

Problema 49. Aratati ca pentru orice numar ıntreg pozitiv n, polinomul

f(X) = (X2 +X)2n

+ 1

este ireductibil ın Z[X].Baraj OIM 1998

Problema 50. Sa se arate ca pentru orice numere reale pozitive astfel ıncatx1x2 . . . xn = 1, are loc inegalitatea:

1n− 1 + x1

+1

n− 1 + x2+ . . .+

1n− 1 + xn

≤ 1.

Baraj OIM 1999

Problema 51. Fie a un numar real pozitiv si (xn)n≥1 este un sir de numerereale astfel ıncat x1 = a si

xn+1 ≥ (n+ 2)xn −n∑k=1

kxk,∀n ≥ 1.

Sa se arate ca exista un numar ıntreg pozitiv n astfel ıncat xn > 1999!.

Baraj OIM 1999

Problema 52. Fie a, n numere naturale, iar p este un numar prim astfelıncat p > |a| + 1. Sa se arate ca polinomul f(X) = Xn + aX + p esteireductibil ın Z[X].

Olimpiada India 1997

Problema 53. Sa se arate ca polinomul

P (X) = (X2 + 12)(X2 + 22) . . . (X2 + n2) + 1

este ireductibil ın Z[X].

8

Olimpiada Japonia 1999


P (X) = Xp−1 +Xp−2 + . . .+X + 1

este ireductibil ın Z[X].clasica


P (X) = (X2 + 1)2n

+X2n+1

este ireductibil ın Z[X].

Problema 56. Sa se detmine toate polinoamele P ∈ C[X] pentru care

P 2(x)− P 2(y) = P (x− y)P (x+ y), ∀x, y ∈ C.

clasica

Problema 57. Sa se gaseasca polinoamele P ∈ R[X] pentru care

P (X)P (X + 1) = P (X2).

clasica

Problema 58. Sa se arate ca polinomul f ∈ Z[X] definit prin

f(X) = Xn + 5Xn−1 + 3

este ireductibil ın Z[X].OIM 1993

Problema 59. Sa se arate ca polinomul f ∈ Z[X] definit prin

f(X) = (X2 + 2)n + 5(X2n−1 + 10Xn + 5)

este ireductibil ın Z[X].clasica

Problema 60. Fie P,Q doua polinoame de grad p respectiv q avandcoeficinetii 1 si 2002. Daca P divide Q atunci p+ 1 divide q + 1.

9

Baraj OIM 2002

Problema 61*. Fie n ∈ N, n ≥ 2 si ai, bi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n astfel ıncat

n∑i=1

a2i =

n∑i=1

b2i = 1,n∑i=1

aibi = 0.

Sa se demonstreze ca (n∑i=1

ai

)2

+

(n∑i=1

bi

)2

≤ n.

Baraj OIM 2007

Problema 62*. Aratati ca orice functie f : Q→ R cu proprietatea ca

|f(x)− f(y)| ≤ (x− y)2,∀x, y ∈ Q,

este constanta.

Baraj OIM 2007

Problema 63. Sa se determine termenul general al sirului (an)n≥0 definitprin a0 = a1 = 2 si an+2 = (−1)n+12an+1 − an,∀n ≥ 1.

Gazeta Matematica 2001

Problema 64. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel ıncat abc =1. Sa se arate ca

1a3(b+ c)

+1

b3(c+ a)+

1c3(a+ b)

+4(ab+ bc+ ca)

(a+ b)(b+ c)(c+ a)≥ ab+ bc+ ca.

Mathematical Reflections 2007

Problema 65*. Sa se arate ca numarul 2007√

2 + 2007√

3 + . . . + 2007√

10 esteirational.

RMT 2006

Problema 66. Sa se gaseasca toate tripletele de numere ıntregi pozitive(m,n, p) astfel ıncat m+ n+ p = 2002 si sistemul de ecuatii

x

y+y

x= m,

y

z+z

y= n,

z

x+x

z= p

10

are cel putin o solutie ın multimea numerelor reale nenule.OIM SL 2002

Problema 67. Fie p un numar prim. Sa se arate ca polinomul

P (X) = Xp−1 + 2Xp−2 + 3Xp−3 . . .+ (p− 1)X + p

este ireductibil ın Z[X].Mathematics Magazine 2003

Problema 68. Fie x1, x2, . . . , xn numere reale strict pozitive. Aratati ca

x1

1 + x21

+x2

1 + x21 + x2

2

+ . . .+xn

1 + x21 + x2

2 + . . .+ x2n

<√n.

American Mathematical Monthly 2009

Problema 69. Sa se gaseasca toate functiile f : R→ R care satisfac

f(x2 − y2) = (x− y)(f(x) + f(y)), ∀x, y ∈ R.

Putnam & Beyond

Problema 70. Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Sa se arate ca

a2 + bc

(b+ c)2+b2 + ca

(c+ a)2+c2 + ab

(a+ b)2≥ a

b+ c+

b

c+ a+

c

a+ b.

La Gaceta 2007

Problema 71. Fie x, y numere reale strict pozitive astfel ıncat

xy + y = yx + x.

Sa se arate ca x+ y ≤ 1 + xy.Mathematical Reflections 2007

Problema 72. Sa se arate ca exista o functie f : N → N astfel ıncat(f ◦ f)(n) = n2,∀n ∈ N.

Baraj OIM 1982

Problema 73. Sa se determine o functie f : N → N care ındeplinesteconditiile:

i) f(p) = p daca p este prim;

11

ii) f(mn) = f(m)f(n), ∀m,n ∈ N.clasica

Problema 74. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ıncat a + b + c = 3.Sa se arate ca

1a2

+1b2

+1c2≥ a2 + b2 + c2.

Baraj OIM 2006

Problema 75. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a2 + b2 +c2 = 3. Sa se arate ca

1a3

+1b3

+1c3≥ a3 + b3 + c3.

Problema 76. Sa se arate ca, daca x, y, z sunt numere reale strict pozitive,atunci are loc

1(x+ y)2

+1

(y + z)2+

1(z + x)2

≥ 94(xy + yz + zx)

.

Olimpiada Iran 1996

Problema 77. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel ıncatab+ bc+ ca+ 2abc = 1. Sa se arate ca a+ b+ c ≥ ab+ bc+ ca.

Problema 78*. Fie a1, a2, . . . , an numere reale strict pozitive. Sa se arateca

n∑i=1

aii

∑1≤i,j≤n

aiaji+ j

≤∑

1≤i,j,k≤n

aiajaki+ j + k

.


Problema 79. Sa se arate ca, daca f : N → N verifica f(n + 1) >f(f(n)), ∀n ∈ N, atunci f(n) = n,∀n ∈ N.

OIM SL ’80

Problema 80. Sa se gaseasca toate functiile injective f : N → N astfelıncat pentru orice n ∈ N avem

f(f(n)) ≤ n+ f(n)2

.

12

Baraj OIM 2004

Problema 81. Fie a1, a2, a3, a4 lungimile laturilor unui patrulater, iar seste semiperimetrul sau. Aratati ca

4∑i=1

1s+ ai

≤ 29

∑1≤i<j≤4

1√(s− ai)(s− aj)

.

Baraj OIM 2004

Problema 82. Sa se afle toate numerele reale x > 1 astfel ıncat n√

[xn] estenumar ıntreg pentru orice numar ıntreg pozitiv n ≥ 2.

Problema 83. Fie a, b, c numere reale poztive astfel ıncat a+ b+ c = 3. Sase arate ca

(3− 2a)(3− 2b)(3− 2c) ≤ a2b2c2.

Baraj OBMJ 2005

Problema 84*. Fie (an)n≥1 un sir de numere reale pozitive astfel ıncatan+1 = a2

n − 2,∀n ≥ 1. Sa se arate ca an ≥ 2, ∀n ≥ 1.


Problema 85. Sa se arate ca, daca a, b, c sunt numere reale pozitive, atunciare loc inegalitatea:

(ab+ bc+ ca)3 ≤ 3(a2b+ b2c+ c2a)(ab2 + bc2 + ca2).


Problema 86. Fie x, y, z numere reale pozitive. Sa se arate ca

x4(y + z) + y4(z + x) + z4(x+ y) ≤ 112

(x+ y + z)5.


Problema 87. Sa se arate ca sirul (an)n≥1 definit prin an = 3n−2n, ∀n ≥ 1nu contine trei termeni ın progresie geometrica.

Baraj OIM 1994

13

Problema 88. Sa se determine toate polinoamele P (x) pentru care

2P (2x2 − 1) = P 2(x)− 2,∀x ∈ R.

Baraj OIM 1990

Problema 89. Fie x1, x2, . . . , xn numere reale pozitive care satisfac

n∑i=1

xi =n∑i=1

1xi.

Sa se arate can∑i=1

1n− 1 + xi

≤ 1.


Problema 90. Fie f : N∗ → N∗ o functie care verifica f(n+1) > f(n), ∀n ≥1 si f(f(n)) = 3n,∀n ≥ 1. Sa se determine f(1992).

Baraj OIM 1992

Problema 91*. Sa se gaseasca cea mai mica constanta c > 0 astfel ıncatpentru orice n ≥ 1 si a1, a2, . . . , an > 0 are loc inegalitatea

n∑k=1

k∑kj=1 1/aj

≤ cn∑k=1

ak.


Problema 92. Fiind dat un numar ıntreg pozitiv n, gasiti minimul expresiei

E(x1, x2, . . . , xn) =x3

1 + x32 + . . .+ x3

n

x1 + x2 + . . .+ xn,

unde x1, x2, . . . , xn sunt numere ıntregi distincte si pozitive.


Problema 93. Fie (an)n≥1 si (bn)n≥1 doua siruri de numere naturale astfelıncat an+1 = nan + 1 si bn+1 = nbn − 1 pentru orice n ∈ N∗. Sa se arate cacele douasiruri pot avea numai un numar finit de termeni ın comun.

OIM SL 1984

14

Problema 94. Daca x1, x2, . . . , xn ∈ R si a ∈ [0, π/2] astfel ıncat

n∑k=1

sinxk ≥ n sin a,

atuncin∑k=1

sin(xk − a) ≥ 0.

Baraj OIM 1983

Problema 95. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a+b+c =1. Sa se arate ca

ab

c+ 1+

bc

a+ 1+

ca

b+ 1≤ 1

4.

RMT 1983

Problema 96. Fie P un polinom cu coieficienti reali astfel ıncat P (sin t) =P (cos t),∀t ∈ R. Sa se demonstreze ca exista un polinom Q cu coeficientireali astfel ıncat P (X) = Q(X4 −X2).

Baraj OIM 1983

Problema 97. Fie n ≥ 4 un numar ıntreg si a1, a2, . . . , an numere realestrict pozitive astfel ıncat a2

1 + a22 + . . .+ a− n2 = 1. Sa se arate ca

a1

a22 + 1

+a2

a23 + 1

+ . . .+an

a21 + 1

≥ 45

(a1√a1 + a2

√a2 + . . .+ an

√an)2.

Baraj OIM 2002

Problema 98. Sa se determine toate functiile f : R→ R care verifica

f(x+ y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R.

clasica

Problema 99. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel ıncat

1a+ b+ 1

+1

b+ c+ 1+

1c+ a+ 1

≥ 1.

Sa se arate caa+ b+ c ≥ ab+ bc+ ca.

15

Baraj OBMJ 2007

Problema 100. Pentru n ≥ 2 numar natural si xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . n, sa sedetermine

maxn∏i=1

(1− xi),

dacan∑i=1

x2i = 1.

American Mathematical Monthly ’90, Baraj OIM 2007

Problema 101. Fie a, b, c numere reale strict pozitive, astfel ıncat ab+bc+

ca =13

. Sa se arate ca

a

a2 − bc+ 1+

b

b2 − ca+ 1+

c

c2 − ab+ 1≥ 1a+ b+ c

.

Gazeta Matematica 2001, Test OIM China 2006

Problema 102. Fie n ∈ N∗ si numerele x1, x2, . . . , xn numere reale pozitivesi y1, y2, . . . , yn numere reale strict pozitive, iar p ≥ 0. Sa se arate ca

xp+11

yp1+xp+1

2

yp2+ . . .+

xp+1n

ypn≥ (x1 + x2 + . . .+ xn)p+1

(y1 + y2 + . . .+ yn)p.

inegalitatea lui Radon


(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8(a2b2 + b2c2 + c2a2)2.

Problema 104. Fie numerele pozitive α si β si x1, x2, . . . , xn ≥ 0 astfelıncat x1 + x2 + . . .+ xn = 1. Sa se arate ca

x31

αx1 + βx2+

x32

αx2 + βx3+ . . .+

x3n

αxn + βx1≥ 1n(α+ β)

.

Test de Selectie OIM Moldova, 2002

16

Problema 105. Sa se arate ca ın orice triunghi de laturi a, b, c au loc ine-galitatile:

a) (b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) + (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 9abc;

b)b+ c

a+c+ a

b+a+ b

c+

(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c)abc

≥ 7;

c) (a+ b)(b+ c)(c+ a)(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) ≤ 8a2b2c2.

Mathematical Reflections 2007 & 2009

Problema 106. Fie x1, x2, ..., xn numere reale pozitive. Sa se arate ca

11 + x1

+1

1 + x1 + x2+ ...+

11 + x1 + ...+ xn

<

√1x1

+1x2

+ ...+1xn.

ONM 2005

Problema 107. Se considera ecutia {x{x}} = α, unde α ∈ (0, 1).

(a)Sa se arate ca ecutia are solutii rationale daca si numai daca ∃m, p, q ∈

Z, 0 < p < q, unde p si q sunt coprime, astfel ıncat α =(p

q

)2

+m

q.

(b)Sa se gaseasca o solutie a ecuatiei pentru α = 200420052 .

ONM 2005

Problema 108. Sa se gaseasca toate functiile f : R → R cu proprietateaca exista a ∈ R∗ (fix) astfel ıncat f(a+ x) = f(x)− x oricare ar fi x ∈ R.

Baraj OIM 2005

Problema 109. Sirul (an)n se numeste modular daca a0 = a, a1 = b, cua, b > 0 numere reale distincte si an = an+1 − an+2 oricare ar fi n ≥ 0. Sase arate printr-o demonstratie daca sirul modular este marginit.

IMO SL 2004

Problema 110. Sa se gaseasca cel mai mic m(n) ∈ R astfel ıncat oricare

ar fi xi > 0, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2, cun∏i=1

xi = 1, inegalitatean∑i=1

1xi≤

n∑i=1

xri este

adevarata oricare ar fi r ≥ m(n).

17

Baraj OIM 2005

Problema 111. Sa se gaseasca toate functiile f : N∗ → N astfel ıncatoricare ar fi m,n numere ıntregi pozitive, numarul (m2 + n)2 este divizibilcu f2(m) + f(n).

Baraj OIM 2005

Problema 112. Fie f(X) = Xn+an−1Xn−1+. . .+a1X+a0 un polinom de

grad n ≥ 3 cu coeficienti ıntregi, ak+an−k par, pentru orice k = 1, 2, . . . , n−1si a0 este de asemenea numar par. Daca f = gh, unde g si h sunt polinoamecu coeficienti ıntregi , gradul lui g este cel mult gradul lui h si toti coeficientiilui h sunt impari, atunci aratati ca f are cel putin o radacina ıntreaga.

Baraj OIM 2007

Problema 113. Fie F multimea tuturor functiilor f : P(S) → R cuproprietatea ca, oricare ar fi X,Y ⊆ S, avem f(X ∩ Y ) = min(f(X), f(Y )),unde S este un o multime finita. Sa se determine

maxf∈F|Im(f)| .

Baraj OIM 2007

Problema 114. Sa se arate ca pentru n, p numere pozitive ıntregi, n ≥ 4si p ≥ 4, propozitia P(n, p) de mai jos este falsa

n∑i=1

1xpi≥

n∑i=1

xpi

pentru xi ∈ R, xi > 0, i = 1, . . . , n,n∑i=1

xi = n.

Baraj OIM 2007

Problema 115. Sa se arate ca functia f : N → Z definita mai jos esteinjectiva

f(n) = n2007 − n!.

OBM SL 2007

Problema 116. i) Sa se determine toate sirurile aritmetice infinite denumere pozitive ıntregi cu proprietatea ca exista N ∈ N astfel ıncat daca p

18

este prim, p > N , atunci termenul cu numarul p al sirului este de asemeneaprim.

ii) Sa se determine toate polinoamele f(X) ∈ Z[X], cu proprietatea caexista N ∈ N astfel ıncat pentru orice p > N , |f(p)| este de asemenea prim.

OBM SL 2007

Problema 117. Se considera sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 2 si

an+1 =2 + an1− 2an

.

Sa se arate ca toti termenii acestui sir sunt nenuli.Olimpiada Suceava

Problema 118. Sa se determine numerele complexe x = 1+λi1−λi , cu λ ∈ Q,

care sunt radacini ale unitatii.Gazeta Matematica 1987

Problema 119. Fie x un numar complex astfel ıncat exista n ∈ N∗ cuproprietatea ca numerele xn, xn+1 ∈ Z, atunci x este numar ıntreg.

Gazeta Matematica 1994

Problema 120. Fie x ∈ C, x 6= 1. Definim sirul de numere complexe

(an)n≥1 prin an =xn − 1x− 1

. Daca trei termeni consecutivi ai sirului (an)n≥1

sunt numere ıntregi, atunci toti termenii acestui sir sunt numere ıntregi.

Problema 121. Fie x, y ∈ C, x 6= y. Definim sirul de numere complexe

an =xn − yn

x− y.

Daca patru termeni consecutivi din acest sir sunt numere ıntregi, atunci totitermenii sirului sunt numere ıntregi.

AMM 1993

Problema 122. Fie a, b, c, d numere reale cu suma lor egala cu 0. Sa searate ca

(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)2 + 12 ≥ 6(abc+ abd+ acd+ bcd).

19

concurs international Kazakhstan 2006


(ab)5/4 + (bc)5/4 + (ca)5/4 <14.

ONM SL 2002

Problema 124. Fie a, b, c, d numere reale strict pozitive. Sa se arate ca

a

b+ 2c+ 3d+

b

c+ 2d+ 3a+

c

d+ 2a+ 3b+

d

a+ 2b+ 3c≥ 3

2.

OIM SL 1993

Problema 125. Fie a, b, c, d > 0 astfel ıncat ab + bc + cd + da = 1. Sa searate ca

a3

b+ c+ d+

b3

c+ d+ a+

c3

d+ a+ b+

d3

a+ b+ c≥ 1

3.

OIM SL 1990

Problema 126. Sa se demonstreze ca pentru orice numere reale a, b, c areloc inegalitatea ∏

cyc

(b+ c− a)2 ≥∏cyc

(b2 + c2 − a2).

Olimpiada Polonia 1992

Problema 127. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Sa se arate ca (

a− 1 +1b

)(b− 1 +

1c

)(c− 1 +

1a

)≤ 1.

OIM 2000

Problema 128. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Aratati ca

ab

a5 + b5 + ab+

bc

b5 + c5 + bc+

ca

c5 + a5 + ca≤ 1.

OIM SL 1996

20

Problema 129. Let n ≥ 2. Determinati cea mai buna constanta C astfelıncat este adevarata inegalitatea

∑1≤i<j≤n

xixj(x2i + x2

j ) ≤ C

∑1≤i≤n

xi

4

.

OIM 1999

Problema 130. Fie a, b, c, d numere reale pozitive astfel ıncat

11 + a4

+1

b4 + 1+

1c4 + 1

+1

d4 + 1= 1.

Sa se arate ca abcd ≥ 3.Olimpiada Letonia 2002

Problema 131. Sa se arate ca pentru orice numere reale pozitive cu x +y + z = 3, are loc inegalitatea

(1− x)2

1− x4+

(1− y)2

1− y4+

(1− z)2

1− z4≥ 0.

Olimpiada Rusia ’80

Problema 132. Sa se arate capentru orice numere reale pozitive a1, a2, . . . , anavem

1a1

+2

a1 + a2+ . . .+

n

a1 + a2 + . . .+ an< 4

(1a1

+1a2

+ . . .+1an

).

Olimpiada Sovietica 1986

Problema 133. Fie p ≥ 5 un numar prim. Sa se gaseasca numarul poli-noamelor ireductibile din Z[X] care sunt de forma

xp + pxk + pxl + 1, k > l, k, l ∈ {1, 2, . . . , p− 1}.

Baraj OIM 2006

Problema 134. Fie p, q doua numere ıntregi, q ≥ p ≥ 0. Consideram n ≥ 2un numar natural si definim sirul de numere reale (an)n≥0 prin a0 = 0, a1 ≥0, an = 1 astfel ıncat

ak ≤ak−1 + ak+1

2, k = 1, 2, . . . , n− 1.

21

Sa se arate ca

(p+ 1)n∑k=1

apk ≥ (q + 1)n∑k=1

aqk.

Baraj OIM 2006

Problema 135. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Sa se arate ca

a

b+b

c+c

a+ 3 ≥ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca.

Crux Mathematicorum 2008

Problema 136. Sa se arate ca pentru orice m,n ≥ 2,m 6= n numerenaturale, numarul m

√2− n√

2 nu poate fi rational.clasica

Problema 137. Fie (an)n≥1 un sir convex si crescator. Sa se arate ca acestsir nu contine nicio progresie artimetica infinita.

Baraj OIM 1993

Problema 138. Fie (cn)n≥1 un sir de numere reale si an este un sir definitastfel:

an =n∑k=1

(n− k + 1)ck,∀n ≥ 1.

Sa se arate ca sirul an este convex daca si numai daca cn ≥ 0.clasica

Problema 139. Fie (an)n≥1 un sir convex. Sa se arate ca

a1 + a3 + . . .+ a2n+1

n+ 1≥ a2 + a4 + . . .+ a2n

n.

inegalitatea lui Nanson

Problema 140. Sa se arate ca un sir neconstant de numere naturale nenulean este o progresie aritmetica daca si numai daca exista a > 0 astfel ıncat

an+1 = an +[an

n+ a

],∀n ∈ N.

Olimpiada ’90

22

Problema 141. Fie p ≥ 2 numar natural. Sa se arate ca pentru orice k ∈ Nexista n ∈ N astfel ıncat

[ p√n]− [ p+1

√n] = k.

Baraj OIM ’80

Problema 142. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel ıncat1x

+1y

+

1z

= 1. Sa se arate ca

∑cyc

√x+ yz ≥ √xyz +

∑cyc

√x.

Concurs ”77 ture”

Problema 143. Sa se gaseasca toate functiile f : N→ N pentru care

f(m+ f(n)) = n+ f(m+ 2005),∀m,n ∈ N∗.

Problema 144. Sa se arate ca, daca un polinom f de grad n are radacinilereale, coeficietii pozitivi, iar primul si ultimul coeficient al lui f este 1, atuncif(2) ≥ 3n.

Problema 145. Fie a1, a2, . . . , an numere reale, iar S este o submultime alui {1, 2, . . . , n}. Sa se arate ca(∑

i∈Sai

)2

≤∑

1≤i≤j≤n(a1 + a2 + . . .+ ai)2.

Baraj OIM 2004

Problema 146. Fie a1, a2, . . . , an > 0 astfel ıncat a1 + a2 + . . . + an = 1.Sa se arate ca

n∑i=1

ai1 + a1 + . . .+ ai

<1√2.

Teste de pregatire OIM 2008

23

Problema 147. Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Sa se arate ca

a2

b+b2

c+c2

a≥ a+ b+ c+

4(a− b)2

a+ b+ c.

OBM 2005

Problema 148. Sa se arate ca nu exista functie bijectiva f : N→ N astfelıncat

f(mn) = f(m) + f(n) + 3f(m)f(n),∀m,n ∈ N.

OBM 1991

Problema 149. Fie a, b, c, d ∈[−π

2,π

2

]numere reale astfel ıncat

sin a+ sin b+ sin c+ sin d = 1

si

cos 2a+ cos 2b+ cos 2c+ cos 2d ≥ 103.

Sa se arate ca a, b, c, d ∈[0,π

6

]OBM 1985

Problema 150. Sa se determine toate functiile f : N→ N astfel ıncat

2n+ 2001 ≤ f(f(n)) + f(n) ≤ 2n+ 2002, ∀n ≥ 0.

OBM 2002

Mult SUCCES ın rezolvarea problemelor!

24

o.b.m ˘si o.i - cezar lupu · 2010-10-10 · probleme preg atitoare pentru o.b.m ˘si o.i.m...

Documents