numere reale
DESCRIPTION
Numere reale. INTERVALE. Rădulescu Andreea Iancu Narcisa Măriuța Cosmin Stroe Elvis Budulan Georgiana. Cât de bogată este mulțimea numerelor reale? Ce sunt intervalele?. Teoremă: Oricărui numĂr real îi corespunde un punct de pe o dreaptă (axa numerelor ). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Cât de bogată este mulțimea numerelor reale?Ce sunt intervalele?
Rădulescu Andreea Iancu Narcisa Măriuța CosminStroe Elvis Budulan Georgiana
INTERVALE
Numerelor reale -3; 2; ;5,3 li se asociază
u0 25‒3 5,32
A B C D
52punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa numerelor.
0 0,5
uu
Concluzie: Teorema si reciproca ne demostrează faptul că în R există atâtea numere câte puncte geometrice are o dreapta. De aici rezultă bogația numerelor aflate în R.
M
1
Obs!!! Între două puncte de pe o dreaptă (oricât de apropiate ar fi) există numere REALE!
Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile cunoscute, de exemplu media aritmetică:Dacă 𝑎 < 𝑏 sunt cele două numere se știe că:
2
ba
Aplicație: Scrieți două numere reale între 6
1
5
1
O altă soluție:
90
15
30
5
6
1
5) 3)
90
18
30
6
5
1
6) 3) ⇒ 1
6< 1
690
; 1790
< 1
5
și𝑎 < < 𝑏
Intervale
Dacă a și b sunt abscisele punctelor A, respectiv B, atunci intervalului închis [a,b] îi corespunde pe axă mulțimea punctelor segmentului [AB]
𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] ⇔ M ∈ [AB] A M B
��
��
x
Numerele a și b se numesc capetele intervalului [a;b] și se află în interval.
Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea [𝑎 ; 𝑏] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} se numește interval închis de capete 𝑎 și 𝑏
1) Intervalele mărginite:
][
Definiția 1:
A BM
��
x ��
Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea (𝑎 ; 𝑏) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} se numește interval deschis de capete 𝑎 și 𝑏.
Definiția 2:Analog, interpretarea geometrică a intervalului deschis este un segment deschis.
𝑥 ∈ (𝑎 ; 𝑏) ⇔ M ∈ (AB)Obs: 1. Capetele intervalului deschis nu se află în interval 𝑎, ∉ ( ; ) deoarece propozițiile < < și 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏< <𝑎 𝑏 𝑏
sunt false. 2. ( ; ) 𝑎 𝑏 ∪ { ;𝑎 𝑏} = [ ;𝑎 𝑏]
( )
Folosind diferite semne de inegalitate în definiția intervalului obținem și altfel de intervale mărginite:
Definiția 2: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea [𝑎 ; 𝑏) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} se numește interval închis la stânga și deschis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏Definiția 3: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea (𝑎 ; 𝑏] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} se numește interval deschis la stânga și închis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏
[��
��
]��
��
2) Intervalele nemărginite:
- ∞
𝑎
Fie 𝑎 un număr real, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimile (‒∞ ; 𝑎] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ 𝑎};(‒∞ ; 𝑎) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 𝑎}(𝑎 ; ∞] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 𝑎} ; (𝑎 ; ∞) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 𝑎}se numesc intervale nemărginite
Definiția 3:Interpretarea geometrică:
un astfel de interval este o semidreaptă
∞(‒∞ ; 𝑎 ] (𝑎 ; ∞]
Obs: Cu ajutorul noțiunii introduse se poate scrie ℝ sub formă de interval: ℝ = (‒∞ ; ∞
)