18547908 siruri de numere reale progresii

50
Şiruri de numere reale Prof: Tulvan Emilia

Upload: negruzzimotan

Post on 04-Aug-2015

176 views

Category:

Documents


28 download

TRANSCRIPT

Page 1: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Şiruri de numere reale

Prof: Tulvan Emilia

Page 2: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii
Page 3: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să definească noţiunea de şir de numere reale

• să facă diferenţa între un şir de numere reale şi o mulţime de numere reale

• să prezinte modalităţile de definire ale unui şir de numere reale, cu exemplificări

• să determine termenii unui şir în anumite condiţii date

Page 4: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Defiţie:

Un şir de numere reale reprezintă o succesiune de numere reale

realizată după o anumită regulă, fiecare număr ocupând un loc bine determinat.

Notaţia matematică utilizată este:

,...,...,, 321 naaaa

( ) 1≥nna

Page 5: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Numerele se numesc termenii şirului Indicele fiecărui termen al şirului arată locul pe care-l ocupă acesta în succesiune şi se numeşte rang.Termenul cu indicele n se numeşte termen general.

,...,...,, 321 naaaa

( ) 1≥nna

Page 6: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemple de şiruri:

,...5,5,5,5:)(

,...3,3,2,2,1,1:)(

,...1

)1(,...,4

1,3

1,2

1,1:)(

,...,...,3,2,1:)(

,...,...,4,3,2,1:)(2222

n

n

nn

n

n

y

xn

c

nb

na

⋅−−−

Page 7: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Un şir de numere reale se numeşte şir constant dacă toţi termenii săi sunt egali:

a,a,a,a,...

Page 8: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Un şir de numere reale nu este o mulţime de numere reale• Într-un şir elementele se pot repeta, pe

când într-o mulţime elementele sunt distincte

• Ordinea elementelor unei mulţimi nu este esenţială, pe când pentru un şir este foarte importantă

Page 9: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Moduri de definire a unui şir de numere reale

Page 10: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

1. Şiruri definite descriptiv (prin descriere)

Exemplu:

Acest şir se poate descrie astfel: fiecare termen al său se scrie cu ajutorul cifrei 1 şi numărul cifrelor este egal cu rangul termenului şirului.

,...1111,111,11,1:)( nd

Page 11: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

2. Şiruri definite cu ajutorul unei formule

Un şir poate fi definit indicând o formulă ( numită formula termenului general) din care se obţine orice termen al şirului particularizând pe n (n=1, n=2, n=3,...)

Exemplu:

Fie şirul definit prin formula

Termenul

( ) 1≥nna 25 += nan

52250210510 =+=+⋅=a

Page 12: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

3. Şiruri definite printr-o relaţie de recurenţă

O relaţie de recurenţă este o formulă cu ajutorul căreia se exprimă orice termen al şirului, începând de la un anumit rang, în funcţie de termenii precedenţi (unul sau mai mulţi)Exemplu:Fie şirul , având primul termen 5 şi relaţia de recurenţă:Termenul

( ) 1≥nna

321 +=+ nn aa

133103522 =+=+⋅=a

Page 13: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Muncă independentă:

1) Să se determine primii trei termeni ai şirului cu termenul general

2) Să se determine , dacă =-1 şi

5) Să se determine formula termenului general pentru şirul definit descriptiv astfel:

53 += nan4a 1a

42

11 +=+ nn aa

,...4

6,4

5,

3

4,2

3,

1

2 −−−

Page 14: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţiu oral:Să se completeze cu încă 3 termeni fiecare şir:

• 1, 5, 9, 13, 17, ......, ......., .....

• 2, 12, 22, 32, ......, ......., .....• 7, 9, 11, 13, ......, ......., .....

• 19, 16, 13, 10, ......, ......., .....

• 36, 31, 26, 21, ......, ......., .....

Page 15: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii
Page 16: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Pro gre sia aritme tică

Page 17: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie aritmetică

• să poată determina orice termen al unei progresii aritmetice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media aritmetică a termenilor unei progresii aritmetice

• să calculeze suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice, în diverse ipoteze

Page 18: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Definiţie:

Un şir de numere reale în care orice termen, începând cu al doilea, se obţine din termenul precedent adunat cu acelaşi număr se numeşte progresie aritmetică.

Aşadar, progresia aritmetică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

, unde r este un număr real fixat, numit raţie.

( ) 1≥nna

raa nn +=+1

Page 19: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemple de progresii aritmetice

• 1,2,3,4,5,... cu raţia r = 1

• -10,-5,0,5,10,15,... cu raţia r = 5

• 99,96,93,90,87,84,81,..., cu raţia r = -3• 19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,..., cu raţia r = -2

Page 20: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Proprietăţile unei progresii

aritmetice

Page 21: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P1) Un şir este progresie aritmetică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie aritmetică a termenilor vecini lui, adică pentru n ≥ 2 avem:

( ) 1≥nna

211 +− +

= nnn

aaa

Page 22: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 17 şi = 25.

Să se afle şi raţia r.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt:

17, 21, 25, adică r = 4.

( ) 1≥nna

8a 10a

9a

212

2517

2108

9 =+=+

=aa

a

Page 23: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P2) Într-o progresie aritmetică , termenul general este dat de formula:

( ) 1≥nna

rnaan ⋅−+= )1(1

Page 24: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Fie o progresie aritmetică pentru care avem = 24 şi r = -5.

Să se afle

Soluţie:

( ) 1≥nna

1a

9a

164024)5()19(249 −=−=−⋅−+=a

Page 25: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice este dată de formula:

( ) 1≥nna

( )2

... 1321

naaaaaaS nnn

⋅+=++++=

Page 26: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Să se calculeze suma S = 2+4+6+8+...+24.

Soluţie: Avem o progresie aritmetică cu raţia

r = 2 şi cu numărul de termeni n = 12. Atunci:

( )156626

2

12242 =⋅=⋅+=S

Page 27: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie aritmetică:

a) 7, 5, 3, 1, -1, -3, ...

b) 2, 3, 5, 6, 8, 9, ...

Page 28: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii aritmetice cu

=10 şi = 151a 2a

Page 29: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 12 formează o progresie aritmetică.

Page 30: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii
Page 31: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Muncă independentă

1) Să se determine termenii x, y, z, t ai progresiei aritmetice: x,y,-21,z,-15,t,...

2) Să se determine termenul al unei progresii aritmetice dacă

3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice dacă

10a

30,12 63 == aa

50,36,12 53 ==−= naa

Page 32: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Progresia geometrică

Page 33: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie geometrică• să poată determina orice termen al unei

progresii geometrice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media geometrică a termenilor unei progresii geometrice• să calculeze suma primilor n termeni ai

unei progresii geometrice, în diverse ipoteze

Page 34: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

DefiniţieUn şir de numere reale al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte progresie geometrică.

Aşadar progresia geometrică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

unde q este un număr real nenul fixat, numit raţie.

qaa nn ⋅=+1

( ) 1≥nna

Page 35: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemple de progresii geometrice

• 1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3

• 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5

• 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5• 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1

Page 36: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Proprietăţile unei progresii

geometrice

Page 37: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P1) Un şir de termeni pozitivi este o progresie geometrică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie geometrică a vecinilor săi,

adică pentru n ≥ 2 avem:

( ) 1≥nna

11 +− ⋅= nnn aaa

Page 38: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 4 şi = 9.

Să se afle şi raţia q.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 4,6,9, adică q =

( ) 1≥nna

8a 10a

9a

6949 =⋅=a

2

3

Page 39: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P2) Într-o progresie geometrică termenul general este dat de formula:

( ) 1≥nna

11

−⋅= nn qaa

Page 40: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 24 şi q = 2.

Să se afle

Soluţie:

( ) 1≥nna

1a4a

192824224 144 =⋅=⋅= −a

Page 41: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este dată de formula:

( )1

1... 1

321 −−⋅

=++++=q

qaaaaaS

n

nn

( ) 1≥nna

Page 42: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exemplu

Să se calculeze suma

S = 1+2+4+8+16+...+256.

Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia

q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:

( )511151212

12

121 99

=−=−=−

−⋅=S

Page 43: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie geometrică:

a) 1, 4, 16, 64, 256, ...

b) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Page 44: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii geometrice cu

=10 şi = 301a 2a

Page 45: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 36 formează o progresie geometrică.

Page 46: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii
Page 47: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Muncă independentă

1) Să se detemine primii doi termeni ai progresiei geometrice pentru care

3) Să se determine suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice dacă:

5) Să se verifice dacă numerele

Pot fi termeni ai unei progresii geometrice?

4,2568 == qa

8,2,8 31 === naa

7,5,3

Page 48: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

4) Să se determine x real astfel încât tripletul: x-4, x+2, 2x+2, să fie în progresie aritmetică5) Să se rezolve ecuaţia:

1+4+7+...+x = 1176) Un triunghi dreptunghic au măsurile unghiurilor în progresie aritmetică. Ce măsuri au acestea?7) O tribună a unui stadion se compune din 20 rânduri şi fiecare rând următor are cu 16 locuri mai mult decât rândul precedent. În ultimul rând sunt 404 locuri. Câţi spectatori încap în tribună?8) Suma a 10 numere în progresie aritmetică este 145. Ştiind că al patrulea, al doilea şi al nouălea termen sunt în progresie geometrică, să se determine numerele.

Page 49: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii

Spor la muncĂ!!!

Page 50: 18547908 Siruri de Numere Reale Progresii