IRURI DE NUMERE REALE Editura Sfntul Ierarh Nicolae 2010 ISBN 978-606-577-179-6 Referenti: Prof. univ. dr. Costea Niculae, Universitatea Ovidius Constanta Prof. Ion Tiotioi, gradul I Prof. Nitu Nicolae, gradul I, Grupul Scolar de Electronica si Telecomunicatii Constanta Tehnoredactor, prof. Iulian Cioroianu, gradul I Introducere Introducereasistudiulsirurilordenumereinscoalaocupaunlocesentialininvatamantulmatematic liceal. Experienta didactica, dezvoltarea matematicii si efortul continuu de a mari eficienta actului pedagogic, au conduslaforme consacrate si aproape generalacceptate de a introduce sirurile denumere realein matematica scolara. Capitol de mare dificultate si finete capitolul Siruri de numere. Criterii de convergenta.- sta la baza introducerii notiunilor de limita unei functii, functii continue, functii derivabile, practic la baza intregii analize matematice. Este cunoscuta importanta rezolvarii de exercitii si probleme pentru buna asimilare a oricarui domeniu almatematicii, decicu atat maimult candeste vorba de un domeniu cu un caractermaiabstract, asa cum este analiza matematica. Mentionamcaintelegereasiutilizareanotiuniidelimita(delimitaaunuisir),estefundamentala pentru parcurgerea oricarui capitol din analiza matematica. Capitolul Siruri de numere pune probleme reale la clasa , iar execitiile necesare intelegerii profunde si temeinice a acesteinotiuni trebuiescindelung cautatein diferitecarti.Aceastalucrare esteinmare parte rodul unei astfel de cautari. Capitolul I contine definitii, teoreme, corolare necesare abordarii unei probleme de siruri. Capitolul II contine probleme diverse de diferite dificultati, necesare profesorului si utile elevului. Ele aufostselectatedinculegeri,gazetadematematica,unelefiinddatecasubiectelaconcursurilesi olimpiadele scolare. Capitolul III contine solutiile acestor probleme. CAPITOLUL I NOTIUNI TEORETICE. Definitia 1 Fie M omultime fixata. Prin sir infinit de elemente ale lui M vom intelege o functie f:N { } fixat. natural numaruneste kunde / N ,kk n N n Mk> e = Definitia 2 Definitia 3 Sirurile care nu au limita si cele care au limita se numesc siruri divergente. P1. Un sir convergent are o singura limita. 1). Teorema de convergenta cu . a an daca si numai daca: pentru fiecare numar0 > se poate gasi un rang < > a nna : avem sa ) n (n mare mai rang de termenii i pentru tot incatastfel2). Criteriul majorarii. Daca. a atunci 0 daca si norice pentru na a an n n s 3). Sirul modulelor. 4). Trecerea la limita in inegalitati. Daca (a )nsi (b )nsunt doua siruri convergente si daca an nb s pentru orice n . lim lim : atunci ,n nn nb a N s e5). Teorema de convergenta a sirurilor monotone. Orice sir monoton si marginit este convergent. 6). Teorema clestelui. 7).Criteriul general al lui Cauchy. Un sir de numere (a convergent esten) daca si numai daca pentru orice0 > exista un numar N( ) astfel incat oricare ar fi n> N( ) si orice p intreg (p ) 1 > sa avem:< + n p na a . 8). Teorema Dacaana a aa annn= + +> = 2 1nnlim atunci 0, a , lim . Dacaa a a a a ann nn= > = 2 1nnlim atunci 0, a , lim9). Teorema Dacaa a aaannnnn= > = + nn1lim atunci 0, a , lim . . lim ca atunci scrie Se rang. anumitunla de incepand sirului termenii toti afla se a" " punctuluia e vecinatat orice indaca a" " limita are ) ( sirul ca spune Se R. a si reale numere de sirun) (n1 1a aa a Fienn n n n=e > >. lim convergent numeste se finita ita o avand reale numere de sir Orice( )limitei. modulul cuegala este modulului. lim lim si convergent este a sirul atunci , convergent siruneste ) (an nn nLimitaa a Dacan n =doua. celelalte si ca limita aceiasi are si convergent este ) (x sirul atuncilimita, aceiasi ausi e convergent sunt) (b si ) (a sirurile daca si N n orice pentru nn ne s sn n nb x a Daca10). Teorema Stolz-Cezaro.

11. Numarul e. Sirul nnna |.|

\| + =11 ,n 1 > este sir crescator si marginit . convergent sir na nlim enn= |.|

\| +11 .3 2 s s e . CAPITOLUL AL II-LEA APLICATII A. Criterii de comparatie 1.Sa se calculeze limita sirului: an=!2nn,N n e 2.Sa se calculeze limita sirului{ }naN ne, unde an=nnnC2221, N n e . 3.Sa se calculeze limita sirului: an==+ +nkk kn nk12 2cos,-e N n . 4.Sa se calculeze limita sirului: an=| | | | | |22 22nx n x x + + +,-e N n . 5.Sa se calculeze limita sirului: an==||.|

\| +nknk13321 1 ,-e N n . 6.Sa se calculeze limita sirului: a=+=nknk nk12sin , -e N n . . lim lim si exista atunci , lim Exista 2)). (b nemarginit si monotonstricteste ) (b 1): ile proprietat cureale numere de siruri doua ,n n11n0 0 n = e =e ++ ->nnnnn nn nnn nbaavem sibaRb ba aRb a Fie7.Sa se calculeze limita sirului: a13 2 1++ + + +=pp p p pnnn,p N e . 8. Sa se calculeze: nnnlnlim

9.Sa se calculeze: nnn lim 10.Sa se calculeze:nnnn!lim 11.Sa se calculeze: ( ) ( )nnnn n ! ! 1 lim1 ++ 12. Sa se calculeze: !limnnnn 13. Sa se calculeze limita sirului: ()( )nnnnna! 3! 33 3=, -e N n . 14. Sa se calculeze limita sirului: 111 41 41 31 31 21 233333333+ +++=nnan

15. Sa se calculeze limita sirului: =||.|

\|+ =nknk ka231) 1 (21 log 16. Sa se calculeze limita sirului nb : =+ ++ + =nknk kk kn a1222 31 3 , nb =[=niia1. 17. Sa se calculeze termenul general si apoi limita sirului na , unde na =2 2 2 2)] 1 2 )( 1 2 [( 35315231+ + + + +n nn 18. Sa se calculeze limitele sirurilor (na )N nesi (nb )N ne, cu termenii generali : =+ +=nknkk ka12)! 2 (1si22 3] )! 1 [(1 2+ +=kk k kbn, N n e 19.Sa se calculeze limita sirului cu termenul general: (((

|.|

\| +=1112knnna B.Relatii de recurenta. 20. Sa se calculeze limita sirului: x . 1 ,10 1=+=+xxxnnn 21. Sa se calculeze limita sirului: x . 1 ,1021=+=+xxxnnn 22. Sa se calculeze limita sirului: x . 1 ,10 1=+=+xbxaxnnnn 0 > , a>0, b 0 > . 23. Sa se calculeze limita sirului: x ( ) b xn n+ =+2121 ,x 00= , n 0 > , b ] 1 , 0 [ e . 24. Sa se calculeze limita sirului: x1 + =n nx ,x =1,0 > , n 2 > . 25. Sa se calculeze limita sirului: x||.|

\|+ =+nn nxx1211,x a =1, a>1. 26. Sa se studieze convergenta sirului: x . 1 ,11021=++ =+xxxnnn 27. Sa se calculeze limita sirului: x1 + n=x2n2 2 + nx , x a =0. 28. Sa se calculeze limita sirului: xa xaxnnn+=112,a, x R e0 . 29. Sa se studieze natura sirului (a,)N n n e definit astfel: an na =+11, a a =1,1 > n , a ) 1 , 0 ( e 30. Se da sirul cu termenul general: a.x a a an + + = ,a>0,(n radicali). b.Sa se arate ca sirul este convergent si sa i-se calculeze limita. 31. Fie sirul (xn)N ne, cu x 11= , x ( )1211++ =n nxnn,N n e , n>1.Sa se studieze natura sirului. 32.Fie a1>0 ; a211nnnnaa+=+ a.Sa se calculeze nna limb.Sa se calculeze nnna lim33.Daca x1e(0, ), xnnxarctgsin221 =+ a.Sa se calculeze nnx limb.Sa se calculeze nnx n sin lim 34.Se considera sirul de functii( )1 > n nff f f f f fn = unde f:R R si f ( )212xxx+=Sa se arate caR R g - :a.i.R x e ( ) ( ) x g x fnn= lim . 35.Fie sirurile : annn naba =+1, si b ,n111=+nnnabbcu b 11 1> > a .Sa se determine valorile lui a1 si b1, pentru care sirurile sant converg e eR ente. 36.Se considera sirul de numere reale, (a,)N n n e definit astfel: a 11 1 = + + + n n n na a a ,N n e ,Sa se stabileasca daca sirul are limita sau nu. Daca a 401976= , care este sirul?. 37.Sa se arate ca un sir periodic nu este convergent. 38.Se dasirul a ( )=+ =kii nina111 . a.Sa se arate ca sirul este periodic2 > k , k N e . b.Sa se gaseasca expresia termenului general al sirului( )N n nae, pentru k=2. C. Siruri diverse 39.40. Fie sirul cu termenul general unnnnv|.|

\| + = 1 , unde v=+ =nknk k1) 1 2 )( 1 2 (1, a.Sa se calculeze limita sirului un b.Sa se calculeze: nnnuu1lim+ 41. Fie sirurile: a1122211+ + +||.|

\|+ + =nn nnnnk n,b =n nna lim . Sa se calculeze limita sirului( )n n nce, unde ==nkk nb c1. 42. Se considera sirul cu termenul general: ( )( )( ) ). 2 ( lim Calculati c).marginit. este I sirul ca Aratati b).crescator. este I sirul ca Aratati )..1 2I , I sirul Fien1 n1 n1n 1 nnnnnnnI nadxxx= >>+> }( )1221) 2 )( 1 (3 3++ ++ +=nnn n nnaSe considera apoi sirurile: . c si2n1nnnkk nb a b = == Sa se calculeze limita celor trei siruri. 43.Fie sirul( )N n nae convergent, definit astfel: a a =1,a211nnnaa+=+. a.Sa se calculeze limita sirului( )N n nae

b.Sa se studieze natura sirului definit astfel: b ( ) + =nn na n21,R e , . 44.Sa se calculeze limita sirului: annnn33133|.|

\| +=45.Sa se calculeze termenul general al sirului: a2468753121 2nnn+++++=,N n e 46.Sa se gaseasca termenul general al sirului dat de relatia: 1111111=++nnnna a, a 21= . 47.Sa se demonstreze ca sirul: a2 21211nn+ + + = este convergent. 48.Sa se arate ca sirul( )N n nxe, cu x=+=nkknk ka1) 1 (coseste convergent,( )N k kae fiind un sir de numere reale. 49.Fie sirul( )N n nxe cu x) 1 (! cos3 2! 2 cos2 1! 1 cos++ ++=n nnn. Sa se arate ca sirul xneste convergent. D. Calculul limitelor unui sir cu ajutorul integralei definite. 50.Sa se calculeze limita sirului cu termenul general: ann3== +nkk nn1) 1 ( 3. 51.Sa se calculeze limita sirului cu termenul general: ann1==+nknk11 . 52.Sa se calculeze limita sirului cu termenul general: ann==nknk1) 1 (sin 53.Sa se calculeze limita sirului cu termenul general: a=+=nknk nn12) (1. 54.Sa se calculeze limitele sirurilor cu termenii generali: ann1==nknknke12cos ;bnkenknkn21sin== . 55.Sa se arate ca: |||||.|

\|+ + + n nn211 214131211 lim =ln2 CAPITOLUL AL III-LEA REZOLVARI 1. 011111 6) 1 2 )( 1 (3232n nnn nan9118211111 6) 1 2 )( 1 (lim3232= =||.|

\|+ + + ++ + n nnn nn1 12 2+< = |.|

\| += ++= + + ennnnnnaannnnnnnndin criteriul raportului) ca = nna lim13Fie14.

111 41 41 31 31 21 233333333+ +++=nnan = ) 1 () 1 (32) 1 )( 2 () 1 )( 1 () 3 3 () 1 )( 2 (13 513 23 37 1) 1 ))( 1 () 1 )( 1 (1122222222233++ + ==+ ++ + + + =+ ++ + =+[ [= =n nn nn n nn n nn n nn n nk k kk k kkknknk

.!lim ennnn= ( ) | |( )( )( );! 1lim!1lim!! 1lim!)! 1 (lim ) ( lim11111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna=+=+=||.|

\|+= + ++ + ,!lim ennnn= ( )( )( ) | | ( ). 1 lim12727) 3 3 )( 2 3 )( 1 3 () 1 ( 3lim) ! ( 3! 3)! 3 3 (! 1 3lim lim ;! 3! 33 33 33 3 313 3= = =+ + ++= ++= = + + nnnnnnnnnnnnan n nnnnnnaanna32lim = nna15. 16. 17.na =2 2 2 2)] 1 2 )( 1 2 [( 35315231+ + + + +n nn=( )( ) | |81) 1 2 ( 2lim lim) 1 2 ( 2 ) 1 2 (1) 1 2 (1811 2 1 2222212 212=++= ++=((

+=+ = = nn nann nk k k kknnnnknk 18. =+ +=nknkk ka12)! 2 (1=( ) ( ) ( ) ++ =((

+++=! 2121! 21! 11nnkkkknk21lim = nna

22 31] )! 1 [(1 2+ +==kk k kbnkn=( ) | | ( ) | |0 lim! 1 ! 1 ) ! (1212 2= + =)`+ = nnnkbnnkkkk 19. (((

|.|

\| +=1112knnna=(((

+ + |.|

\| + + |.|

\| + 1111122 1 k kn n =nnna lim 2 lim(((

+ + |.|

\| + + |.|

\| + 1111112 1 k kn n=k2 20.x 01 121n(se demonstreaza prin inductie completa) xn n nx x