METODA REDUCERII LA ABSURD

ABSTRACT. Articolul de fa prezint metoda reducerii la absurd ca

metod de rezolvare a unor probleme cu cteva exemple.

Lecia se adreseaz claselor a IV-a i a V-a

Data: februarie 2010

Autor: Ion Cicu, Profesor, coala nr. 96, Bucureti

S lmurim mai nti ce nseamn absurd. Dac ne uitm ntr-un

dicionar vom citi: absrd, -: care contrazice gndirea logic, legile naturii,

bunul-sim.

Pe aceast deniie se bazeaz i raionamentul "prin reducere la ab-

surd".

Orice problem de matematic are dou pri. Exis nite fapte date i

care nu pot contestate ele ind sigur adevrate (ex. un caiet cost 2 lei) i

alte fapte (cele care se cer) despre care nu avem sigurana c sunt adevrate

(ex. pentru 5 caiete s-a pltit 15 lei).

Faptele care se dau formeaz ipoteza problemei, iar faptele care se cer

formeaz concluzia.

Rezolvarea unei probleme prin metoda reducerii la absurd pornete toc-

mai de la faptul c ne putem indoi de concluzie. Din moment ce nu suntem

siguri c cerina problemei este adevrat putem presupune c ea este fals.

Construim astfel o nou armaie care se adaug la ipoteza problemei.

Acum, pe baza unui raionament, vom ajunge la o armaie care este

absurd (este n contradicie cu ceva deja acceptat c este adevrat).

S lum un mic exemplu prin care se artm cum trebuie s gndim

atunci cnd aplicm "metoda reducerii la absurd".

Problema 1: Suma a ase numere naturale nenule este 20. Artai c

cel puin dou dintre numere sunt egale.

Soluie: Ipoteza (ceea ce este sigur adevrat)

1. Am ase numere naturale diferite de 0;

2. Suma celor ase numere este 20.

Concluzia (ceea ce se cere i despre care nu suntem siguri c este

adevrat)

Printre cele ase numere sunt unele care sunt egale; dou sau mai multe.

Demonstraia(cum justicm)

1

Vom folosi metoda reducerii la absurd. Pentru aceasta vom spune: Nu

este adevrat c "Printre cele ase numere sunt unele care sunt egale".

Atunci este adevrat c "toate cele ase numere sunt diferite unul de

cellalt".

Dac lum i adunm cele mai mici ase numere naturale nenule obinem

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Dar problema spunea c Suma celor ase numere este 20, iar noi am

obinut suma 21.

Rezultatul obinut de noi este n contradicie cu ceea ce se tia din

problem. Dac la adunare nu am greit, atunci unde este greala? Greala

am fcut-o atunci cnd nu am fost de acord cu concluzia propus de problem

i anume c "Printre cele ase numere sunt unele care sunt egale".

Aadar concluzia problemei este corect; cel puin dou dintre numere

sunt egale.

S rezolvm acum i alte probleme, dar fra a mai "despica rul n

patru".

Problema 2: Ana i Barbu joac un joc cu trei cri, doi jokeri i o

carte de alt fel (s zicem un as). Fiecare ia o carte i fr a se uita la ea o

pune pe frunte. Cartea rmas nu se ntoarce. Fiecare trebuie s ghiceasc

ce carte are pe frunte.

Barbu spune: Nu tiu ce carte am pe frunte.

Atunci Ana spune: eu am un joker.

Justicai cum a aat Ana ce carte avea pe frunte.

Soluie: Ana s-a folosit de metoda reducerii la absurd.

A gndit aa:

S presupunem c pe fruntea mea s-ar aa asul. Atunci Barbu, vznd

la mine pe frunte asul i tiind c exist numai unul ar rspuns: "pe fruntea

mea se a un joker". Cum Barbu nu a putut rspunde nseamn c pe

fruntea mea nu se af asul ci un joker. i astfel a putut da rspunsul Ana.

Problema 3: Suma a dou numere naturale nenule, a i b este 169.Artai c unul dintre numere este mai mare sau egal cu 85.

Soluie: Rezolvm problema prin metoda reducerii la absurd.

S presupunem c niciunul dintre numere nu este mai mare sau egal cu

85. Atunci

a 84i

2

b 84Adunnd cele dou inegaliti obinem

a+ b 168Dar a+ b = 169 ceea ce nseamn c 169 168. Cum acest lucru esteabsurd nseamn c presupunerea fcut de noi i anume c niciulul dintre

numere nu este mai mare sau egal cu 85 este greit. Aadar,unul dintre

numere este mai mare sau egal cu 85.

Problema 4: ntr-o urn sunt bile de dou culori: albastre i roii.

Oricum am scoate 6 bile ntre ele sunt i bile albastre i bile roii. Artai c

numrul total de bile este mai mic sau egal cu 10.

Soluie: S presupunem c sunt mai mult de 10 bile. Atunci avem cel

puin 11 bile. Fiind bile numai de dou culori, atunci vor cel puin 6 bile

de aceeai culoare ( 11 sau mai mult nu se poate obine ca sum de dou

numere naturale dect dac unul dintre numere este cel puin 6). n acest

situaie vom putea scoate din urn 6 bile de o singur culoare. Dar acest

lucru contrazice ceea ce se spune n problem ( oricum am scoate 6 bile ntre

ele sunt i bile albastre i bile roii). Aadar, presupunerea fcut de noi c

n urn sunt mai mult de 10 bile este fals, deci numrul bilelor din urn este

mai mic sau egal cu 10.

3