metoda reducerii la absurd - math.uaic.ro · metoda reducerii la absurd unicitate demonstrarea...

32
Metoda reducerii la absurd Metoda reducerii la absurd Lect. dr. Adriana-Ioana Lefter Facultatea de Matematic˘ a Universitatea ”Al.I. Cuza” Ia¸ si Seminarul informal de Didactica Matematicii 10 noiembrie 2017 Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Upload: others

Post on 21-Nov-2019

57 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd

Lect. dr. Adriana-Ioana Lefter

Facultatea de MatematicaUniversitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Seminarul informal de Didactica Matematicii

10 noiembrie 2017

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd (reductio ad absurdum)

este folosita de elevi ınca din primele clase de gimnaziu si, lacentrele de excelenta, chiar din clasele primare

ın ciuda aparentei simplitati, permite rezolvarea unor problemeinteresante si grele, din ramuri variate ale matematicii (si nunumai)

este principala metoda de demonstratie ın probleme deunicitate

ne poate ajuta sa demonstram una dintre implicatii ıntr-oconditie necesara si suficienta

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Presupunem ca vrem sa demonstram propozitia p → q.A nu se confunda metoda de demonstratie prin reducere la absurdcu demonstratia prin contrapozitie. Ambele sunt demonstratiiindirecte, dar:• demonstratia prin contrapozitie se bazeaza pe echivalentalogica p → q ≡ ¬q → ¬p si este o demonstratie directa a contrareireciprocei propozitiei respective;• demonstratia prin reducere la absurd se bazeaza peechivalenta p ∧ ¬q ≡ ¬(p → q). Ea urmareste sa arate ca dinpropozitia p ∧ ¬q rezulta o contradictie (adica o propozitie deforma r ∧ ¬r), ceea ce se poate ıntampla numai daca propozitia¬(p → q) este falsa sau, echivalent, daca propozitia p → q esteadevarata.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Exemplu

Fie a, b, c ∈ Z. Sa se arate ca daca a - bc, atunci a - b si a - c .

• Demonstratia prin contrapozitie:

Fie a, b, c ∈ Z. Sa se arate ca daca a | b sau a | c , atunci a | bc.

Presupunem ca a | b (celalalt caz se trateaza analog).Prin definitie, exista m ∈ Z astfel ıncat b = ma. Atuncibc = (ma)c = (mc)a, deci exista p = mc ∈ Z astfel ıncat bc = pa. Inconcluzie, a | bc.

• Demonstratia prin reducere la absurd:

Se dau a, b, c ∈ Z, cu a - bc. Presupunem ca a | b sau a | c .

Procedand ca mai sus, obtinem a | bc, ceea ce contrazice ipoteza a - bc.Prin urmare, presupunerea facuta este falsa. In concluzie, a - b si a - c .

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Se pare ca prima demonstratie prin reducere la absurd a fost facutaacum aproximativ 2500 de ani si apartine matematicianului sifilosofului grec Hipassus, din Scoala lui Pitagora.

Teorema

Numarul√

2 este irational.

Demonstratie. Presupunem prin reducere la absurd ca√

2 ∈ Q

⇒ ∃m, n ∈ Z, n 6= 0, (m, n) = 1 astfel ıncat√

2 =m

n

⇒ 2n2 = m2 ⇒ 2 | m2 ⇒ 2 | m⇒ ∃m1 ∈ Z astfel ıncat m = 2m1

⇒ 2n2 = 4m21 ⇒ n2 = 2m2

1 ⇒ 2 | n2 ⇒ 2 | nPrin urmare, 2 este divizor comun pentru m si n, ceea cecontrazice (m, n) = 1.In concluzie, presupunerea ca

√2 ∈ Q este falsa, deci

√2 ∈ R \Q.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Cum recunoastem o problema care s-ar putea rezolva prin metodareducerii la absurd?

probleme ın care ni se cere sa demonstram ca nu existaobiecte matematice cu anumite proprietati sau ni se cere sastabilim daca exista asemenea obiecte si banuim ca raspunsuleste negativ

probleme ın enuntul carora apare una dintre expresiile ”celmult” sau ”cel putin”, ın particular, probleme de unicitate

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Unicitate - exemple

Presupunem ca s-a demonstrat rezultatul:

Teorema

Fie o dreapta d si un punct A 6∈ d . Atunci exista o dreaptaperpendiculara pe d care trece prin punctul A.

Vrem sa aratam ca:

Teorema

Printr-un punct exterior unei drepte exista o singura dreaptaperpendiculara pe acea dreapta.

Demonstratie. Fie o dreapta d si un punct A 6∈ d . Presupunemprin reducere la absurd ca din P putem duce doua perpendicularepe d , PQ si PR, unde Q,R ∈ d , Q 6= R.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Fie S ∈ d astfel ıncat R ∈ (QS).Atunci ]PRS este unghi exterior triunghiuluiPQR si, conform teoremei unghiului exterior,]PRS are masura mai mare decat oriceunghi al triunghiului PQR neadiacent lui.In particular, m(]PRS) > m(]PQR), ceeace contrazice m(]PRS) = m(]PQR)= 90◦.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 1

Aratati ca pentru orice n ∈ N∗ ecuatia:

x + 1

2+

x + 2

3+ · · ·+ x + n

n + 1= n (1)

are o solutie unica.

Solutie. Se observa ca x = 1 este solutie a ecuatiei. Presupunem prinreducere la absurd ca ecuatia admite si o alta solutie y 6= 1. Dar dacay < 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1< n,

iar daca y > 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1> n,

contradictie. Deci x = 1 este unica solutie a ecuatiei considerate.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 1

Aratati ca pentru orice n ∈ N∗ ecuatia:

x + 1

2+

x + 2

3+ · · ·+ x + n

n + 1= n (1)

are o solutie unica.

Solutie. Se observa ca x = 1 este solutie a ecuatiei.

Presupunem prinreducere la absurd ca ecuatia admite si o alta solutie y 6= 1. Dar dacay < 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1< n,

iar daca y > 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1> n,

contradictie. Deci x = 1 este unica solutie a ecuatiei considerate.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 1

Aratati ca pentru orice n ∈ N∗ ecuatia:

x + 1

2+

x + 2

3+ · · ·+ x + n

n + 1= n (1)

are o solutie unica.

Solutie. Se observa ca x = 1 este solutie a ecuatiei. Presupunem prinreducere la absurd ca ecuatia admite si o alta solutie y 6= 1. Dar dacay < 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1< n,

iar daca y > 1, atunci

y + 1

2+

y + 2

3+ · · ·+ y + n

n + 1> n,

contradictie. Deci x = 1 este unica solutie a ecuatiei considerate.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 2

Determinati functiile f : R→ R cu proprietatea caf (a + b) ≥ f (a− b) pentru orice a, b ∈ R.

Solutie. Evident, functiile constante verifica ipotezele problemei.Presupunem prin reducere la absurd ca exista o functie f neconstanta cuproprietatea din enunt. Atunci exista x1, x2 ∈ R astfel ıncat f (x1) 6= f (x2)si presupunem fara a micsora generalitatea ca f (x1) > f (x2).

{a− b = x1

a + b = x2⇔

a =

x1 + x2

2∈ R

b =x2 − x1

2∈ R

Pentru aceste valori ale lui a, b se obtine

f (a− b) = f (x1) > f (x2) = f (a + b),

contradictie cu ipoteza.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 2

Determinati functiile f : R→ R cu proprietatea caf (a + b) ≥ f (a− b) pentru orice a, b ∈ R.

Solutie. Evident, functiile constante verifica ipotezele problemei.

Presupunem prin reducere la absurd ca exista o functie f neconstanta cuproprietatea din enunt. Atunci exista x1, x2 ∈ R astfel ıncat f (x1) 6= f (x2)si presupunem fara a micsora generalitatea ca f (x1) > f (x2).

{a− b = x1

a + b = x2⇔

a =

x1 + x2

2∈ R

b =x2 − x1

2∈ R

Pentru aceste valori ale lui a, b se obtine

f (a− b) = f (x1) > f (x2) = f (a + b),

contradictie cu ipoteza.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 2

Determinati functiile f : R→ R cu proprietatea caf (a + b) ≥ f (a− b) pentru orice a, b ∈ R.

Solutie. Evident, functiile constante verifica ipotezele problemei.Presupunem prin reducere la absurd ca exista o functie f neconstanta cuproprietatea din enunt. Atunci exista x1, x2 ∈ R astfel ıncat f (x1) 6= f (x2)si presupunem fara a micsora generalitatea ca f (x1) > f (x2).

{a− b = x1

a + b = x2⇔

a =

x1 + x2

2∈ R

b =x2 − x1

2∈ R

Pentru aceste valori ale lui a, b se obtine

f (a− b) = f (x1) > f (x2) = f (a + b),

contradictie cu ipoteza.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Demonstrarea reciprocei unui rezultat

Teorema lui Ceva

Fie ABC un triunghi si punctele A′ ∈ BC , B ′ ∈ CA, C ′ ∈ AB. Dacadreptele AA′, BB ′ si CC ′ sunt concurente, atunci

A′B

A′C· B′C

B ′A· C′A

C ′B= 1. (2)

Demonstratie. Fie {P} = AA′ ∩ BB ′ ∩ CC ′.

4AA′B, C − P − C ′ :CB

CA′· PA

PA· C′A

C ′B= 1 (3)

4AA′C , B − P − B ′ :BA′

BC· B′C

B ′A· PAPA′

= 1 (4)

Inmultim cele doua relatii.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Reciproca teoremei lui Ceva

Fie ABC un triunghi si punctele A′ ∈ (BC ), B ′ ∈ (CA), C ′ ∈ (AB). Daca

A′B

A′C· B′C

B ′A· C′A

C ′B= 1, (5)

atunci dreptele AA′, BB ′ si CC ′ sunt concurente.

Demonstratie. Presupunem prin reducerela absurd ca dreptele nu sunt concurente. Fie{P} = BB ′ ∩ CC ′si {A′′} = PA ∩ BC ⇒ A′′ 6= A′.Aplicam teorema lui Ceva pentru 4ABCsi dreptele concurente AA′′, BB ′, CC ′ si obtinem

A′′B

A′′C· B′C

B ′A· C′A

C ′B= 1. (6)

Din relatiile (5) si (6) rezultaA′′B

A′′C=

A′B

A′C.

Deoarece A′,A′′ ∈ (BC ),are loc A′ = A′′, ceea ce contrazice A′′ 6= A′.Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 3

Sa se rezolve ın numere ıntregi sistemul{x2 + 6y2 = z2

6x2 + y2 = t2 (7)

Solutie. Se observa ca (0, 0, 0, 0) este solutie a sistemului.Presupunem prin reducere la absurd ca sistemul admite macar osolutie nebanala. Observam ca daca (x , y , z , t) este solutie, atunci(|x |, |y |, |z |, |t|) 6= (0, 0, 0, 0) este solutie cu componentelenaturale. Dintre toate solutiile (x , y , z , t) avand componentelenaturale o alegem pe cea cu suma x + y + z + t minima.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Adunand ecuatiile din sistem, gasim

7(x2 + y2) = z2 + t2, (8)

de unde 7 | (z2 + t2). Din tabelul cu resturi modulo 7 deducem ca7 | z si 7 | t. Cu alte cuvinte, exista z1, t1 ∈ N astfel ıncat z = 7z1,t = 7t1. Inlocuind ın (8), rezulta ca x2 + y2 = 7(z2

1 + t21 ), deci

7 | (x2 + y2). Prin urmare, 7 | x si 7 | y , adica exista x1, y1 ∈ Nastfel ıncat x = 7x1, y = 7y1.Se constata ca (x1, y1, z1, t1) este o noua solutie nebanala, avandcomponentele naturale, a sistemului initial. In plus,

x1 + y1 + z1 + t1 < x + y + z + t,

ceea ce contrazice minimalitatea alegerii de mai sus.In concluzie, (0, 0, 0, 0) este singura solutie a sistemului dinproblema.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 4

In sistemul solar Tau Cetus se gaseste o planeta (sferica) pe careuscatul acopera mai mult de jumatate din suprafata. Sa se arateca locuitorii ar putea - daca ar dori - sa construiasca un tunel dreptprin centrul planetei, care sa aiba ambele capete pe uscat.

Solutie. Coloram cu rosu uscatul si fiecarepunct opus unui punct aflat pe uscat cu verde.Daca am presupune prin reducere la absurdca nu exista niciun punct care sa fi fost coloratsi cu rosu, si cu verde, atunci ar rezulta ca celmult jumatate din suprafata planetei e acoperitade uscat, contradictie cu ipoteza problemei. Inconcluzie, exista macar un punct colorat cu rosusi verde... si din el ar trebui ınceput tunelul.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

(Tot) o problema de colorare

Problema 5

O camera dreptunghiulara are dimensiunile 10 m x 7 m. In celepatru colturi ale camerei se afla cate o soba, fiecare ocupand osuprafata patrata cu latura de 1 m. Pentru pardosirea camerei sefolosesc 22 de placi dreptunghiulare cu dimensiunile 3 m x 1 m.Este posibil ca toate placile sa fie folosite fara a fi taiate?

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Solutie. Impartim cameraın patrate cu latura de 1 m (70 depatrate). Coloram toate patratele,cu exceptia celor ocupate de sobe,cu 3 culori, ca ın figura. Colorareaa fost facuta ın asa fel ıncat,oricum pozitionam un dreptunghi3x1 pe figura, el acopera exactcate un patrat din fiecare culoare.Prin urmare, daca presupunemprin reducere la absurd ca putempardosi ıncaperea fara a taia nicioplaca, numarul patratelor colorate cu fiecare culoare trebuie sa fieacelasi. Dar figura contine 23 patrate galbene, 23 verzi si 20 albe,contradictie !Deci presupunerea facuta este falsa.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 6

La plecarea ın vacanta, 9 elevi stabilesc ca fiecare dintre ei vatrimite cate un mesaj la exact 5 colegi din grup.

a) Este posibil ca fiecare dintre cei 9 elevi sa primeasca mesajenumai de la acei copii carora le-a scris un mesaj? Justificatiraspunsul.

b) Aratati ca exista cel putin doi elevi care ısi trimit mesaje unulaltuia.

Concursul National de Matematica ”Euclid”,

etapa finala, clasa a II-a

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Generalizare

a) La plecarea ın vacanta, 2k + 1 elevi stabilesc ca fiecare dintre eiva trimite cate un mesaj la exact 2p + 1 colegi din grup(k , p ∈ N∗, p < k). Este posibil ca fiecare elev sa primeascamesaje numai de la acei copii carora le-a scris un mesaj?

Solutie. Raspunsul este nu. Presupunand prin reducere laabsurd ca fiecare dintre cei 2k + 1 elevi primeste mesaje numai dela cei 2p + 1 copii carora le-a scris, rezulta ca putem ımpartimesajele ın perechi, punand ıntr-o pereche mesajele pe care leschimba ıntre ei doi copii. Prin urmare, numarul total de mesajeeste par. Pe de alta parte, numarul total de mesaje este, evident,(2k + 1)(2p + 1), adica un numar impar. Contradictia la care amajuns arata ca presupunerea facuta initial este falsa.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Generalizare

a) La plecarea ın vacanta, 2k + 1 elevi stabilesc ca fiecare dintre eiva trimite cate un mesaj la exact 2p + 1 colegi din grup(k , p ∈ N∗, p < k). Este posibil ca fiecare elev sa primeascamesaje numai de la acei copii carora le-a scris un mesaj?

Solutie. Raspunsul este nu. Presupunand prin reducere laabsurd ca fiecare dintre cei 2k + 1 elevi primeste mesaje numai dela cei 2p + 1 copii carora le-a scris, rezulta ca putem ımpartimesajele ın perechi, punand ıntr-o pereche mesajele pe care leschimba ıntre ei doi copii. Prin urmare, numarul total de mesajeeste par. Pe de alta parte, numarul total de mesaje este, evident,(2k + 1)(2p + 1), adica un numar impar. Contradictia la care amajuns arata ca presupunerea facuta initial este falsa.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

b) Daca fiecare dintre cei 2k + 1 elevi trimite cate un mesaj lamacar k + 1 colegi, aratati ca exista cel putin doi elevi care ısitrimit mesaje unul altuia.

Presupunem prin reducere la absurd ca nu exista doi elevi care ısitrimit mesaje unul altuia, adica, mai precis, ca oricum am alege opereche de elevi, ıntre acestia nu s-au schimbat exact doua mesaje.In conditiile problemei, aceasta ınseamna ca oricarei perechi deelevi ıi corespunde cel mult un mesaj. Prin urmare, numarul totalde mesaje poate fi cel mult egal cu numarul de perechi de elevi,adica (2k + 1)2k : 2 = k(2k + 1). Dar numarul total de mesajeeste cel putin (k + 1)(2k + 1), iar (k + 1)(2k + 1) > k(2k + 1),contradictie.Deci presupunerea facuta este falsa. In concluzie, exista cel putin opereche de elevi care schimba ıntre ei mesaje.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

b) Daca fiecare dintre cei 2k + 1 elevi trimite cate un mesaj lamacar k + 1 colegi, aratati ca exista cel putin doi elevi care ısitrimit mesaje unul altuia.

Presupunem prin reducere la absurd ca nu exista doi elevi care ısitrimit mesaje unul altuia, adica, mai precis, ca oricum am alege opereche de elevi, ıntre acestia nu s-au schimbat exact doua mesaje.In conditiile problemei, aceasta ınseamna ca oricarei perechi deelevi ıi corespunde cel mult un mesaj. Prin urmare, numarul totalde mesaje poate fi cel mult egal cu numarul de perechi de elevi,adica (2k + 1)2k : 2 = k(2k + 1). Dar numarul total de mesajeeste cel putin (k + 1)(2k + 1), iar (k + 1)(2k + 1) > k(2k + 1),contradictie.Deci presupunerea facuta este falsa. In concluzie, exista cel putin opereche de elevi care schimba ıntre ei mesaje.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 7

Aratati ca 1 +1

22+ · · ·+ 1

n2≤ 2− 1

n, pentru orice n ∈ N∗.

Solutie. Pentru n = 1 relatia este adevarata (cu egalitate).Presupunem prin reducere la absurd ca exista n ∈ N, n ≥ 2 pentru carerelatia este falsa. Fie m ∈ N, m ≥ 2 cel mai mic numar pentru carerelatia este falsa. Atunci:

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2+

1

m2> 2− 1

m(9)

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2≤ 2− 1

m − 1, (10)

de unde rezulta ca 2− 1

m< 2− 1

m − 1+

1

m2sau, echivalent,

1

m(m − 1)<

1

m2, contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa si,

prin urmare, inegalitatea este adevarata pentru orice n ∈ N∗.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 7

Aratati ca 1 +1

22+ · · ·+ 1

n2≤ 2− 1

n, pentru orice n ∈ N∗.

Solutie. Pentru n = 1 relatia este adevarata (cu egalitate).

Presupunem prin reducere la absurd ca exista n ∈ N, n ≥ 2 pentru carerelatia este falsa. Fie m ∈ N, m ≥ 2 cel mai mic numar pentru carerelatia este falsa. Atunci:

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2+

1

m2> 2− 1

m(9)

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2≤ 2− 1

m − 1, (10)

de unde rezulta ca 2− 1

m< 2− 1

m − 1+

1

m2sau, echivalent,

1

m(m − 1)<

1

m2, contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa si,

prin urmare, inegalitatea este adevarata pentru orice n ∈ N∗.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 7

Aratati ca 1 +1

22+ · · ·+ 1

n2≤ 2− 1

n, pentru orice n ∈ N∗.

Solutie. Pentru n = 1 relatia este adevarata (cu egalitate).Presupunem prin reducere la absurd ca exista n ∈ N, n ≥ 2 pentru carerelatia este falsa.

Fie m ∈ N, m ≥ 2 cel mai mic numar pentru carerelatia este falsa. Atunci:

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2+

1

m2> 2− 1

m(9)

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2≤ 2− 1

m − 1, (10)

de unde rezulta ca 2− 1

m< 2− 1

m − 1+

1

m2sau, echivalent,

1

m(m − 1)<

1

m2, contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa si,

prin urmare, inegalitatea este adevarata pentru orice n ∈ N∗.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 7

Aratati ca 1 +1

22+ · · ·+ 1

n2≤ 2− 1

n, pentru orice n ∈ N∗.

Solutie. Pentru n = 1 relatia este adevarata (cu egalitate).Presupunem prin reducere la absurd ca exista n ∈ N, n ≥ 2 pentru carerelatia este falsa. Fie m ∈ N, m ≥ 2 cel mai mic numar pentru carerelatia este falsa.

Atunci:

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2+

1

m2> 2− 1

m(9)

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2≤ 2− 1

m − 1, (10)

de unde rezulta ca 2− 1

m< 2− 1

m − 1+

1

m2sau, echivalent,

1

m(m − 1)<

1

m2, contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa si,

prin urmare, inegalitatea este adevarata pentru orice n ∈ N∗.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Problema 7

Aratati ca 1 +1

22+ · · ·+ 1

n2≤ 2− 1

n, pentru orice n ∈ N∗.

Solutie. Pentru n = 1 relatia este adevarata (cu egalitate).Presupunem prin reducere la absurd ca exista n ∈ N, n ≥ 2 pentru carerelatia este falsa. Fie m ∈ N, m ≥ 2 cel mai mic numar pentru carerelatia este falsa. Atunci:

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2+

1

m2> 2− 1

m(9)

1 +1

22+ · · ·+ 1

(m − 1)2≤ 2− 1

m − 1, (10)

de unde rezulta ca 2− 1

m< 2− 1

m − 1+

1

m2sau, echivalent,

1

m(m − 1)<

1

m2, contradictie. Deci presupunerea facuta este falsa si,

prin urmare, inegalitatea este adevarata pentru orice n ∈ N∗.Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurdUnicitateDemonstrarea reciprocei unui rezultatCateva probleme

Bibliografie (selectiva)

D. Fomin, S. Genkin, I. Itenberg, Mathematical circles (Russianexperience), Universities Press, 2003.

M. Lint, D. Lint s.a., Matematica de excelenta pentru concursuri,olimpiade si centre de execelenta, clasa a V-a, Editura Paralela 45,Pitesti, 2013.

Liliana Niculescu, Metoda reducerii la absurd, Editura GIL, Zalau,2007.

L. Niculescu, V. Boskoff, Probleme practice de geometrie, EdituraTehnica, Bucuresti, 1990.

M. Perianu, Principiul extremal, ViitoriOlimpici.ro.

C. Volf, I.I. Vrabie, Logica si teoria multimilor, note de curs pentruanul I, Facultatea de Matematica, Universitatea “Al. I. Cuza” dinIasi.

Adriana-Ioana Lefter Metoda reducerii la absurd