METODA BISECTIEIELABORAT:MARINA AVRAM

CLASA A XII-A “A”

METODA BISECTIEIFIE DATA ECUATIA          F(X) = 0                        (1)VOM CONSIDERA CAZUL, CAND FUNCTIA ESTE CONTINUA PE [A,B] SI F(A)*F(B) < 0. SUPLIMENTAR VOM CONSIDERA CA PE [A,B] SEMNUL DERIVATEI 1 A FUNCTIEI ESTE CONSTANT, DECI AVEM DOAR O SINGURA SOLUTIE.

Pentru determinarea solutiei ecuatiei (1) vom detecta mijlocul segmentului [a,b],x = (a+b)/2, si vom calculavaloarea functiei in acest punct. Daca f(x) = 0, atunci x este solutia ecuatiei. In caz contrar cercetam segmentele [a, x] si [x, b].

• Pentru aproximarea urmatoare vom selecta acel segment, pentru care valoarea functiei in extremitati are semne opuse. Daca sign(f(a)) = sign(f(x)), atunci vom continua cercetarea pe segmentul [a1, b1], unde a1¬ x, b1¬b . In caz contrar extremitatile vor fi a1¬a, b1¬x.  Noul segment [a1, b1] iarasi se divizeaza, apoi se repeta cercetarea semnelor valorilor functiei in extremitati si in mijlocul segmentului. Procedura se repeta pana cand nu se obtine solutia exacta sau (in majoritatea absoluta a cazurilor!) devierea solutiei aproximative de la cea exacta nu devine suficient de mica.

• In procesul de constructie a segmentelor succesive obtinem consecutivitatea segmentelor

• [a,b], [a1, b1], [a2, b2], [a3, b3], [an, bn]

• Pentru fiecare din ele are loc relatia f(ai)*f(bi) < 0 , i=1,,n (2)

• Deoarece lungimea fiecarui segment urmator este egala cu ½ din lungimea celui precedent putem exprima lungimea oricarui segment prin cea a segmentului initial:

• bi - ai = (½ )i * (b – a)                                                                         (3)

• Din constructie si proprietatile functiei f(x), rezulta ca sirul extremitatilor stangi a, a1, a2, , an , este monoton crescator, marginit superior, iar sirul extremitatilor drepte b, b1, b2, , bn , este monoton descrescator, marginit inferior. De aici rezulta convergenta ambelor siruri si existenta limitei pentru fiecare din ele.

METODA BISECTIEI

Trecand la limita in egalitatea (3) obtinem: Trecand la limita in inegalitatea (2) din continuitatea f(x) primim ( f(x))2 £ 0. Prin urmare f(x)=0  deci x e solutia ecuatiei (1).Deoarece x e un punct din segmentul [an, bn] rezulta

0 £ x - an  £ 1/2n(b - a)

In cazul cand semnul derivatei intai alterneaza pe segmentul [a, b] , adica radacinile ecuatiei nu sunt separate, metoda permite determinarea doar a unei solutii.

           ALGORITMIZAREA METODEIDatorita simplitatii sale metoda este usor de realizat in forma algoritmica:

0. Ecuatia se aduce la forma y=f(x) (pentru o prezentare mai comoda in forma de functie in interiorul programului)

1. Se introduc valorile a, b – extremitatile segmentului si e – exactitatea cu care trebuie obtinuta solutia

2. Se calculeaza c=(a+b)/2, f(a), f(b), f(c).

3. Daca sign( f(a)) = sign( f(c)), atunci vom considera ca a trece in c. In caz contrar (sign( f(b) ) = sign( f(c) )) b va primi valoarea lui c.

4. Pentru noile valori a si b repetam pasii 2 –3 atat timp cat (b - a) ³ e

5. Afisam in calitate de solutie mijlocul ultimului segment [a,b].