mate matic a
DESCRIPTION
Matematica.pdfTRANSCRIPT
-
1
DEPARTAMENTUL DE NVMNT LA DISTAN U.S.A.M.V. BUCURETI
Prof. univ. dr. DUMITRU ENE
MATEMATIC I STATISTIC
APLICAT N AGRICULTUR
VOLUMUL I: MATEMATIC I SISTEME AGRICOLE
Ediia II revizuit
-
2
-
3
CUPRINS
PREFA .................................................................................................................... 7
CAPITOLUL 1 ALGEBR LINIAR .................................................................. 9
1.1 SPAIUL EUCLIDIAN Rn ..................................................................................................... 10
1.1.1 Operaii cu vectori i mrimi metrice n Rn ...................................................................... 10
A. Corpul numerelor reale R .................................................................................................. 10
B. Spaiul vectorial Rn ............................................................................................................ 12
C. Mrimi metrice n Rn ......................................................................................................... 13
D. Subspaii vectoriale n Rn .................................................................................................. 19
1.1.2 Matrici de numere reale .................................................................................................... 20
A. Definiii ............................................................................................................................. 20
B. Operaii cu matrici ............................................................................................................. 22
C. Indicatori numerici ai matricilor........................................................................................ 24
D. Clase de matrici ................................................................................................................. 26
1.2 BAZE DE VECTORI N Rn .................................................................................................... 27
1.2.1 Definiia bazei i dimensiunii n Rn .................................................................................. 27
1.2.2 Subspaii vectoriale i sisteme liniare omogene ............................................................... 29
1.2.3 Substituirea unui vector dintr-o baz i aplicaii. .............................................................. 31
A. Calculul determinantului unei matrici ptratice A ............................................................ 34
B. Calculul rangului unei matrici dreptunghiulare A ............................................................. 36
C. Calculul matricii inverse A-1
a unei matrici ptratice nesingulare A ................................ 39
D. Calculul inversei generalizate A+ a unei matrici dreptunghiulare A ................................... 41
E. Calculul produsului de matrici F-1
.G ................................................................................. 43
F. Calculul produsului de matriciG.F-1
.................................................................................. 44
1.3 SISTEME DE ECUAII LINIARE ......................................................................................... 46
1.3.1 Rezolvarea i discuia unui sistem de ecuaii liniare ......................................................... 46
1.3.2 Soluii generalizate ale sistemelor liniare incompatibile .................................................. 52
1.4 Mulimi convexe pe Rn ............................................................................................................ 54
1.5 Extremele unui polinom convexconcav pe o mulime convex din Rn .................................. 59
1.6 Rezumat ................................................................................................................................... 64
1.7 ntrebri .................................................................................................................................... 65
1.8 Bibliografie .............................................................................................................................. 65
-
4
CAPITOLUL 2 PROGRAMARE LINIAR I GRAFURI N AGRICULTUR ....................................................................................................... 66
2.1 Modele liniare de optimizare a produciei n agricultur ......................................................... 66
2.1.1 Modelul structurii optime a culturilor vegetale................................................................. 68
2.1.2 Modelul raiei furajere optime pentru animale domestice ................................................ 70
2.1.3 Modelul rotaiei optime a culturilor vegetale .................................................................... 73
2.2 Dualitatea modelelor liniare de optimizare .............................................................................. 75
2.3 Gsirea soluiilor optime pentru modelele liniare primal i dual cu metoda simplex ......................... 82
2.4 Modele de optimizare tip transport i de repartiie (assignment) ........................................... 100
2.5 Drumuri de lungime optim n reele ..................................................................................... 106
2.6 Ealonarea optim a activitilor unui proiect agricol prin metoda drumului critic .............. 111
2.7 Rezumat ................................................................................................................................. 118
2.8 ntrebri .................................................................................................................................. 118
2.9 Bibliografie ............................................................................................................................ 118
CAPITOLUL 3 ANALIZ MATEMATIC .................................................... 119
3.1 CALCUL DIFERENIAL PENTRU FUNCII DE O VARIABIL REAL .................... 119
3.1.1 Funcii elementare i aplicaii ......................................................................................... 119
3.1.2 Rolul derivatelor de ordinul unu i doi n studiul funciilor de o variabil real ............ 128
3.1.3 Optimele funciilor monofactoriale i aplicaii ............................................................... 133
3.1.4 Aplicaiile integralelor la funcii cumulate n timp ......................................................... 143
3.2 CALCUL DIFERENIAL PENTRU FUNCII DE n VARIABILE REALE...................... 145
3.2.1 Rolul derivatelor pariale de ordinul unu i doi n studiul funciilor de n variablile reale .................................................................................................................................................. 145
3.2.2 Extreme libere ale funciilor de n variabile reale ............................................................ 147
3.2.3 Extreme cu legturi ale funciilor de n variabile reale .................................................... 159
3.3 Rezumat ................................................................................................................................. 165
3.4 ntrebri .................................................................................................................................. 165
3.5 Bibliografie ............................................................................................................................ 166
CAPITOLUL 4 Modele neliniare de alocare optim a resurselor n agricultur ................................................................................................................................... 167
4.1 Producii, indicatori economici i aporturi ............................................................................. 167
4.1.1 Producii fizice i valorice............................................................................................... 167
4.1.2 Indicatori economici ai produciei suplimentare ............................................................. 172
4.2 Optimele produciei suplimentare i aporturile factorilor ...................................................... 174
4.2.1 Optimele produciei suplimentare ................................................................................... 174
4.2.2 Aporturile factorilor ........................................................................................................ 179
4.3 Exemple ................................................................................................................................. 182
-
5
4.3.1 Doi factori i un produs ................................................................................................... 182
4.3.2 Un factor i dou produse ............................................................................................... 189
4.4 Modele cu restricii liniare i funcie-obiectiv ptratic ........................................................ 196
4.4.1 Cazul cnd toate restriciile sunt ecuaii ......................................................................... 196
4.4.2 Cazul cnd restriciile sunt inecuaii ............................................................................... 199
4.4.3 Modele de optimizare patratic n agricultur ................................................................ 203
A. Model ptratic de alocare a resurselor n producia vegetal .......................................... 203
B. Model ptratic de maximizarea venitului din raia furajer ............................................ 204
4.5 Rezumat ................................................................................................................................. 206
4.6 ntrebri .................................................................................................................................. 206
4.7 Bibliografie ............................................................................................................................ 206
CAPITOLUL 5 SISTEME AGRICOLE ........................................................... 207
5.1 Definiia, clasificarea i proprietile sistemelor .................................................................... 207
5.1.1 Definiia sistemelor ......................................................................................................... 207
5.1.2 Clasificarea sistemelor .................................................................................................... 208
5.1.3 Proprietile sistemelor ................................................................................................... 210
5.1.4 Sisteme liniare ................................................................................................................. 211
5.2 SISTEME BIOLOGICE ........................................................................................................ 214
5.2.1 Sistemele biologice pn la nivel de organism (biosisteme) .......................................... 214
5.2.2 Sistemele biologice la nivel de populaii (biocenoze) .................................................... 217
5.2.3 Pdurile ca ecosisteme vegetale ...................................................................................... 224
5.3 PROPRIETI GENERALE ALE SISTEMELOR AGRICOLE ........................................ 225
5.3.1 Particulariti ale sistemelor agricole .............................................................................. 225
5.3.2 Intrri n sistemele agricole ............................................................................................. 227
5.3.3 Ieiri din sistemele agricole............................................................................................. 232
5.4 ANALIZA TEHNICO-ECONOMIC A SISTEMELOR AGRICOLE ............................... 236
5.4.1 Analiza tehnico-economic a sistemului produciei vegetale ......................................... 236
5.4.2 Analiza economic a sistemului produciei de lapte ....................................................... 240
5.4.3 Analiza economic a sistemului produciei de carne ...................................................... 244
5.4.4 Analiza economic a sistemului comercializrii produselor agricole ............................. 249
5.5 Balana legturilor ntre ramuri .............................................................................................. 254
5.6 Concentrarea i diversificarea produciei agricole pe ramuri ................................................ 261
5.7 Rezumat ................................................................................................................................. 265
5.8 ntrebri .................................................................................................................................. 266
5.9 Bibliografie ............................................................................................................................ 266
BIBLIOGRAFIE GENERAL ............................................................................. 267
TABEL 1 .................................................................................................................. 271
-
6
-
7
PREFA
Aceast lucrare este destinat studenilor de la Facultatea de Management, Inginerie Economic n agricultur i agroturism, curs de zi i la distan, putnd fi folosit i de studenii altor faculti cu profil Agricol.
Primele 5 capitole sunt consacrate aplicaiilor matematicii n agricultur. Matematica abstract are o dezvoltare exponenial ca numr de articole i monografii,
precum i ca valoare a acestora. Este suficient s menionm c 90% din matematicienii din toate timpurile sunt n via.
Dup al doilea rzboi mondial, odat cu apariia computerelor s-au dezvoltat exploziv aplicaii ale matematicii n tiinele naturii, n medicin, n tehnic, n economie, n agricultur etc.
n acest moment orice domeniu al activitii umane are atta valoare ct matematic conine.
Aplicaiile consistente ale matematicii sunt la fel de dificil de elaborat ca i teoriile abstracte ale acesteia. Realitatea este extrem de complex i se las modelat cu greutate: orice model trebuie validat de practic prin confruntarea permanent a rezultatelor simulrii pe model cu comportarea real a fenomenului modelat.
Semnalm i faptul c teorii extrem de abstracte din matematic i-au gsit ulterior aplicaii n situaii foarte concrete.
n Capitolul 1 se studiaz spaiul euclidian Rn, subspaiile sale i elemente de calcul matricial, noiunea de baz n spaiul Rn, metoda substituirii unui vector din baz i aplicaiile acesteia n calculul matricial, sistemele de ecuaii liniare (discuie i rezolvare),convexitatea n Rn precum i extremele unui poligon convex/concav pe o mulime convex din Rn.
n Capitolul 2 se prezint trei modele liniare de optimizare a produciei agrozootehnice: structura optim a culturilor vegetale:structura optim a raiei furajere i rotaia optim a culturilor vegetale, se studiaz dualitatea acestor modele, se prezint metoda simplex de optimizare cu calculatorul a acestor modele prin produsul informatic EXCEL precum i interpretarea economic a soluiilor optime primal i dual.
Capitolul se ncheie cu metoda drumului critic pentru optimizarea n timp a proiectelor agricole.
n Capitolul 3 se definete funcia real de o variabil real, se enumer proprietile ei, se prezint rolul derivatelor de ordinul unu i doi n studiul funciei, n special la gsirea maximelor i minimelor funciei. O aplicaie a acestor maxime o constituie stabilirea preului de vnzare a produselor agricole care s asigure vnzarea cu valoare bneasc maxim precum i nlocuirea optim a echipamentelor.
Tot n Capitolul 3 se definete funcia real de n variabile reale, se prezint rolul derivatelor pariale de ordinul unu i doi n studiul funciei, n special la gsirea maximelor i minimelor libere sau cu legturi ale funciei. O aplicaie a acestor maxime o constituie stocurile cu cerere constant; cu aceast ocazie am tratat i stocurile cu cerere aleatoare.
n Capitolul 4 se prezint un model neliniar de alocare optim a resurselor n agricultur cu funcii-obiectiv diferite: optim marginal, de echilibru, economic, tehnic, maxim de venit cu cheltuieli limitate, minim de cheltuieli cu venit garantat. Capitolul se ncheie cu modele de optimizare cu restricii liniare i funcie-obiectiv ptratic rezolvate cu produsul informatic EXCEL.
n Capitolul 5 se prezint pe scurt teoria sistemelor agricole care se exemplific pe patru sisteme agricole: vegetal, zootehnie (lapte i carne) i comercializare produse agricole vegetale, pentru care se dezvolt n detaliu calculul tehnico-economic. n continuare se prezint etapele de analiz i planificare a produciei agricole pe ramuri prin metoda balanei. Capitolul se ncheie cu evaluarea cantitativ i optimizarea concentrrii i diversificrii produciei agricole pe ramuri.
-
8
Capitolele 4 i 5 sunt contribuia integral a autorului acestei lucrri. La finele lucrrii se d o bibliografie cu lucrrile efectiv consultate de autor precum i un
tabel numeric.
Iunie 2010 Autorul
-
9
CAPITOLUL 1 ALGEBR LINIAR
Obiective: nsuirea de ctre studeni a operaiilor cu vectori i matrici precum i aplicaiile lor n geometria spaiului euclidian R3, a noiunii de baz de vectori i dimensiune, a metodei substituirii unui vector din baz i aplicaiile sale n calculul matricial, a metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare, a convexitii mulimii soluiilor unui sistem liniar compatibil nedeter-minat i a extremelor unui polinom convex/concav pe aceast mulime.
Coninut:
1.1 Spaiul euclidian Rn 1.1.1 Operaii cu vectori i mrimi metrice n Rn
A. Corpul numerelor reale R
B. Spaiul vectorial Rn C. Mrimi metrice n Rn D. Subspaii vectoriale n Rn
1.1.2 Matrici de numere reale
A. Definiii B. Operaii cu matrici C. Indicatori numerici ai matricilor
D. Clase de matrici
1.2 Baze de vectori n Rn 1.2.1 Definiia bazei de vectori i dimensiunii n Rn 1.2.2 Subspaii vectoriale i sisteme liniare omogene 1.2.3 Substituirea unui vector dintr-o baz i aplicaii
A. Calculul determinantului unei matrici ptratice B. Calculul rangului unei matrici dreptunghiulare
C. Calculul inversei A-1
pentru o matrice ptratic nesingular A D. Calculul inversei generalizate A
+ pentru o matrice dreptunghiular A
E. Calculul produsului de matrici F-1
.G
F. Calculul produsului de matrici G.F-1
1.3 Sisteme de ecuaii liniare 1.3.1 Rezolvarea i discuia unui sistem de ecuaii liniare 1.3.2 Soluii generalizate ale sistemelor liniare incompatibile
1.4 Mulimi convexe pe Rn
1.5 Extremele unui polinom convex/concav pe o mulime convex din Rn
1.6 Rezumat
1.7 ntrebri
1.8 Bibliografie
Cuvinte cheie: vector, norm, distan, unghi, produs scalar, produs vectorial, produs mixt, subspaii vectoriale, matrice, urm, determinant, rang, norm a matricii, baz de vectori, coordona-tele unui vector ntr-o baz, substituirea unui vector dintr-o baz, soluie general i soluie particular bazic a unui sistem liniar, soluie generalizat a unui sistem liniar incompatibil, mulimi convexe i polinoame concave/convexe, soluii bazice (extremale) i optime.
-
10
1.1 SPAIUL EUCLIDIAN Rn
1.1.1 Operaii cu vectori i mrimi metrice n Rn
A. Corpul numerelor reale R
Mulimea numerelor reale R se poate defini constructiv astfel: N Z Q R . N={0,1,,n,} este mulimea numerelor naturale, Z = {, - n ,, - 1,0,1,,n,} este
mulimea numerelor ntregi, Q = {a / b a,b Z , b 0 } este mulimea numerelor raionale (fracionare), I este mulimea numerelor iraionale (limite ale irurilor convergente de numere
raionale) iar R = Q I cu Q I = . Pentru numere reale se adopt scrierea zecimal: 1 1
1 2 1 2 1 1 1 ... . ... ( 10 ... 10 ) ( 10 ... 10 )m n
m n m m na
.
Partea ntreag Inta a a numrului real a este numrul ntreg format cu cifrele
1 m ,..., din stnga punctului zecimal, iar partea fracionar a a a a numrului real a este numrul din intervalul [0;1) format cu zecimalele 1 ,...,n din dreapta punctului zecimal.
La exprimarea zecimal a numrului raional a = r / s, (r, s Z s 0 ), numrul de zecimale din dreapta punctului zecimal poate fi finit (dac numitorul s se divide numai cu 2 sau cu 5) sau infinit dar periodic (dac numitorul s se divide i cu alte numere prime afar de 2 sau 5).
Exemple:
1) 135
16.8758
2) 25
4.1666...6
La exprimarea zecimal a unui numr iraional, numrul de zecimale din dreapta punctului zecimal este infinit i neperiodic.
Exemple:
1) 3.1412... 2) 2.718...e
3) 2 1.414... 4) ln 3 1.09861...
5) sin37 0.60182
6) tg 104 - 0.24933
7) arccos 0.4 1.159283 8) arctg 2.1 1.126377
n cazul numerelor reale cu un numr infinit de zecimale (periodic sau nu) se reine un numr finit de zecimale n raport de precizia calculului.
Exemplu:
La computere se rein 7 zecimale n simpl precizie i 16 zecimale n dubl precizie. Pentru numere reale foarte mari sau foarte mici se adopt scrierea exponenial.
Exemple:
1) 812580000 0.1258 10 0.1258E8
2) 30.000306 0.306 10 0.306E-3
-
11
Mulimea numerelor reale R admite i o definiie axiomatic:
Pe mulimea R se definesc legile de compoziie ,a b a b numit adunare i
, a b a b numit nmulire i o relaie de ordine a b fa de care sunt ndeplinite patru grupe de axiome:
I. R este corp comutativ fa de adunare i nmulire.
1) (Comutativitatea adunrii): a b b a
2) (Asociativitatea adunrii): a b c a b c 3) (Elementul neutru fa de adunare): Exist 0R astfel c 0 0a a a pentru orice
aR
4) (Elementul simetric fa de adunare): Pentru orice aR exist elementul simetric (opus)
- a R astfel c 0a a a a 5) (Comutativitatea nmulirii): a b b a
6) (Asociativitatea nmulirii): a b c a b c 7) (Elementul neutru fa de nmulire): Exist 1R astfel nct 1 1 a a a pentru
orice aR
8) (Element simetric fa de nmulire): Pentru orice aR, 0a exist elementul invers
a 1R astfel nct
1 1 1a a a a
9) (Distributivitatea nmulirii fa de adunare): a b c a b a c ;
b c a b a c a
II. R este corp comutativ ordonat fa de relaia de ordine .
10) a b ; b c a c pentru orice a,b,cR (Tranzitivitate) 11) a b ; b a a b pentru orice a,bR (Reflexivitate) 12) Pentru orice a,bR, avem sau a b sau ab (Dihotomie) 13) a b a c b c pentru orice a,b,cR 14) , 0 0a b a b
III. R este corp comutativ ordonat arhimedian
15) Pentru orice a,bR cu 0a , 0b exist numrul natural n cu b n a
IV. R este corp comutativ ordonat arhimedian continuu
16) Pentru orice iruri (an), (bn), nN, de numere din R, astfel c:
1 2 2 1... ... ...n na a a b b b exist i este unic R astfel c: i ia b
pentru orice iN.
Mulimea numerelor reale se corespunde bijectiv cu mulimea punctelor unei drepte:punctul M este imaginea numrului real a iar numrul real a este abscisa punctului M.
Modulul lui aR este: , 0
, 0
a aa
a a
Axiomele modulului:
1) 0a ; 0a dac i numai dac 0a
2) |a| = || . |a|; (, aR)
3) a b a b (Inegalitatea triunghiului)
-
12
Distana ntre numerele reale a, b este ,d a b b a
Axiomele distanei:
1) , 0d a b ; , 0d a b dac i numai dac a b 2) , ,d a b d b a 3) d(a,c) d(a,b)+ d(b,c) (Inegalitatea triunghiului)
B. Spaiul vectorial Rn
Fie R corpul numerelor reale.
Spaiul Rn este mulimea ansamblurilor ordonate de numere reale 1,..., na a a , numite vectori.
Operaii cu vectori: 1) Adunarea vectorilor:
Fie 1,..., na a a ; b=(b1,,bn); ai,biR. Suma vectorilor a, b este vectorul din Rn: 1,..., na b c c c cu 1i i ic a b i n
2) nmulirea vectorilor cu scalari
Fie 1,..., na a a Rn i R. Produsul vectorului a cu scalarul este vectorul din Rn:
1 ,..., na a a
Teorema 1.1
Rn este spaiu vectorial peste corpul R fa de adunarea vectorilor i nmulirea vectorilor cu
scalari.
Demonstraie: Se verific uor axiomele care definesc un spaiu vectorial pentru cazul lui Rn, bazndu-ne pe proprietile operaiilor din corpul scalarilor R:
I. Adunarea vectorilor este comutativ: a b b a pentru orice a,bRn
II. Adunarea vectorilor este asociativ: a b c a b c pentru orice a,b,cRn
III. Pentru adunarea vectorilor exist elementul neutru: 0 0,...,0 Rn: 0 0a a a pentru orice aRn
IV. Pentru orice vector aRn, exist vectorul simetric (opus): 1,..., na a a Rn astfel c
0a a a a V. Pentru orice aRn, avem 1 1a a a
VI. nmulirea cu scalari este distributiv fa de adunarea vectorilor: a b a b ;
a b a b VII. nmulirea cu scalari este distributiv fa de adunarea scalarilor: a a a ;
a a a VIII. nmulirea cu scalari este asociativ fa de nmulirea scalarilor: a a
Q.E.D.
-
13
0 a1
a2M( )a2a1,
x2
x1
0
a1
a3
M
x3
x2a2
x1
Dac Rn i Rm sunt spaii vectoriale peste R, produsul lor cartezian Rn X Rm este mulimea perechilor de vectori (a; b) unde a este vector din R
n iar b este vector din R
m.
Rn X R
m devine spaiu vectorial peste R fa de operaiile:
1) (a; b) + (c; d) = (a +c; b + d) unde a, c sunt vectori din Rn iar b, d sunt vectori din R
m
2) (a; b) = ( a; b) unde a este vector din Rn, b este vector din Rm, iar este scalar din R. Spaiul vectorial produs Rn X Rm este izomorf cu spaiul vectorial Rn+m De exemplu R X R
2 este izomorf cu R
3
Exemple:
I) n=2: R2 ={(a1,a2) | ai R}
Orice vector 1 2,a a a se reprezint grafic printr-un punct M n planul raportat la dou axe rectangulare: a1 se numete abscisa punctului M, a2 se numete ordonata punctului M.
Reciproc, orice punct M din plan ce
corespunde cu un vector din R2 ale crui
componente sunt coordonate ale lui M.
II) 3n : R3 ={(a1,a2,a3) | ai R}
Orice vector 1 2 3, ,a a a a se reprezint grafic printr-un punct M n spaiul raportat la trei axe rectangulare: a1 se numete abscisa lui M, a2 se numete ordonata lui M, a3 se numete cota lui M.
n geografie, abscisa se numete longitudine, ordonata latitudine iar cota
altitudine.
Originea axelor pe pmnt este la intersecia ecuatorului cu meridianul 0 (Greenwich).
n spaiile vectoriale R2 i R3 adunarea vectorilor revine la regula
paralelogramului din mecanic: a b este diagonala din originea 0 a paralelogramului cu laturile a, b iar nmulirea unui vector a cu un scalar d ca rezultat un vector a, coliniar cu vectorul a.
C. Mrimi metrice n Rn
n spaiul vectorial Rn se introduc mrimile metrice: a) Norma vectorilor
b) Distana scalar a doi vectori c) Produsul scalar a doi vectori
d) Unghiul a doi vectori
e) Aria paralelogramului construit pe doi vectori necoliniari
f) Volumul paralelipipedului construit pe trei vectori necoplanari
Teorema 1.2
a) Vectorul 1,..., na a a Rn are norma euclidian:
2 2
1 ... na a a
-
14
b) Distana euclidian ntre doi vectori 1,..., na a a i 1,..., nb b b din Rn este:
22
1 1, ... n nd a b b a b a
c) Produsul scalar al vectorilor 1,..., na a a i 1,..., nb b b din Rn este:
a * b = a1b1 + + anbn
Demonstraie: a) Norma euclidian verific axiomele normei:
1) 0;a 0 0a a
2) a a
3) a b a b (Inegalitatea triunghiului)
Axiomele 1), 2) se verific imediat. Axioma 3) se reduce la inegalitatea clasic a lui
Minkovski: 22 2 2 2 2
1 1 1 1... ... ...n n n na b a b a a b b
n spaiul euclidian Rn exist i alte norme n afar de cea euclidian:
Exemple:
a)
Spaiul vectorial Rn nzestrat cu o norm, este spaiu vectorial normat. b) Distana euclidian verific axiomele distanei:
4) , 0d a b ; , 0d a b a b 5) , ,d a b d b a 6) , , ,d a c d a b d b c (Inegalitatea triunghiului)
Axiomele 4), 5) rezult imediat. Axioma 6) devine:
, , ,d a c c a b a c b b a c b d a b d b c folosind axioma 3).
n spaiul vectorial Rn exist i alte distane n afar de cea euclidian.
Exemple:
i) 1
1 1 , ...pp p
p n nd a b b a b a
ii) 1
, max i ii n
d a b b a
Spaiul vectorial Rn nzestrat cu o distan, este spaiu metric.
c) Produsul scalar verific axiomele:
7) * 0a a ; * 0a a dac i numai dac 0a 8) * *a b b a
9) * * *a b c a c b c
p p 1/p
1 np
i
1) a = ( a + ... + a )
2) a max a
1 i n
-
15
Axiomele 7) 9) se verific imediat. Spaiul vectorial Rn nzestrat cu un produs scalar, este spaiu euclidian.
Dac avem produs scalar a* b avem i norm: *a a a
Dac avem norm: ||a|| avem i distan: d(a; b) = ||b a|| Observm c ||a|| = d(a; 0) . Q.E.D.
n afar de iruri ordonate a = (a1,,an) din Rn cu ai din R, i alte mulimi de elemente
formeaz spaiu vectorial fa de adunare i nmulire cu scalari, avnd i produs scalar (verific axiomele I-VIII i axiomele 7) 9) din teorema 1.2):
1) Mulimea polinoamelor cu coeficieni reali de grad cel mult n:
Dac P(x) = a0xn + a1x
n-1 ++ an i Q(x) = b0xn + b1x
n-1 ++ bn avem produsul scalar: P*Q = a0b0 + a1b1 ++ anbn
2) Mulimea polinoamelor trigonometrice cu coeficieni reali,cu 2n + 1 termeni:
Dac P(x) = a0 + (a1cos x + b1 sin x) ++ (an cos nx +bn sin nx) i Q(x) = c0 + ( c1cos x + d1 sin x) ++ (cn cos nx + dn sin nx), avem produsul scalar: P*Q = a0c0 + (a1c1 + b1d1) ++ (ancn + bndn)
3) Mulimea matricilor dreptunghiulare de tip m x n cu elemente reale:
Dac A = (aij), B = (bij) sunt matrici de tip mxn, avem produsul scalar:
4) Mulimea funciilor continue pe [a; b] cu valori reale: Dac f, g sunt funcii continue pe [a; b] avem produsul scalar:
Proprietatea rmne valabil pentru funcii derivabile, integrabile i mrginite pe [a; b].
Teorema 1.3
Pentru orice a,bRn avem:
1) | a*b | || a || . || b || (Inegalitatea Cauchy-Schwartz)
2) || a + b ||2 + || a b ||2 = 2 (|| a ||2 + || b ||2 ) (Regula paralelogramului)
3) Dac a*b = 0 avem || a+ b ||2 = || a ||2 + || b ||2 (Relaia Pitagora)
Demonstraie:
1) Pentru orice R avem (a + b)*(a + b) 0, adic:
|| b ||2 . 2 + 2 a b + || a ||2 0 deci = 4 ((a*b)2 - || a ||2. || b ||2) 0
adic: | a*b | || a ||.|| b ||
m n
ij ij
i 1 j 1
A B a b
b
a
f g f (x) g(x) dx
-
16
2) Avem: || a + b ||2 = || a ||2 + 2 a*b + || b ||2
|| a b ||2 = || a ||2 2 a*b + || b ||2
Prin adunare obinem: || a + b ||2 + || a b ||2 = 2 (|| a ||2 + || b ||2)
3) Dac a*b = 0 relaia || a + b ||2 = || a ||2 + 2 a*b + || b ||2 devine:
|| a + b ||2 = || a ||
2 + || b ||
2 Q.E.D.
Inegalitatea de la punctul 1) al teoremei 1.3, permite definirea unghiului a doi vectori a, b:
*cos
a b
a b
deci, cos [-1; 1].
n particular, vectorii a, b sunt perpendiculari (ortogonali) a b dac i numai dac
2
deci: cos 0 , deci: a*b = 0.
Aria paralelogramului construit pe vectorii a, b este:
2 2
S sin *a b a b a b
Produsul scalar este o arie:
Fie M a i N b imaginile vectorilor a, bR2. Fie P c imaginea vectorului c cu OP OM i c a . Fie OPQN paralelogramul construit pe ON, OP. Ducem NR OP deci unghiurile = MON i
ONR sunt egale. Rezult NR cosb i OP a aa c
cos OP NRa b a b deci produsul scalar a b este aria paralelogramului construit pe vectorii OP i ON cu lungimile a i b.
0
M( )a
Q
P( )c N( )b
R
-
17
Fie vectorii a = (a1,,an), b = (b1,,bn) din Rn.
Vectorii a, b sunt coliniari dac exist R, 0 astfel c b = .a. Notaie: a ~ b Relaia de coliniaritate a vectorilor este o relaie de echivalen:
1) a ~ a deoarece a = 1.a 2) a ~ b implic b ~ a deoarece b = .a implic a = (1/).b 3) a ~ b i b ~ c implic a ~ c deoarece b = .a i c = .b implic c = ().a cu , 0 deci . 0.
Clasa de echivalen a tuturor vectorilor b coliniari cu vectorul a se numete direcia definit de vectorul a iar a1,,an se numesc parametrii directori ai acestei direcii.
Parametrii directori ai versorului a / ||a|| adic a1 / ||a||,, an / ||a|| sunt cosinuii unghiurilor fcute de vectorul a cu versorii bazei-standard E1,, En (vezi seciunea 1.2.1 de mai jos).
cos 1 = a1 / ||a||,, cos n = an / ||a|| se numesc cosinuii directori ai direciei definite de vectorul a i definesc n mod unic aceast direcie.
Avem (cos 1)2 ++ (cos n)
2 = 1
Exemplu:
Fie n R3 vectorii 1;0;4a ; 2;3;0b 1) S se calculeze 2 3a b
2) S se calculeze a , b i ,d a b 3) S se calculeze *a b 4) S se calculeze unghiul ntre vectorii a, b 5) S se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii a, b
Soluie:
1) 2 3 2 1;0;4 3 2;3;0 2;0;8 6;9;0 4;9;8a b
2) 2 2 21 0 4 17a ; 2 2 22 3 0 13b ;
2 2 2, 2 1 3 0 0 4 34d a b 3) * 1 2 0 3 4 0 2a b
4) * 2 2
cos17 13 221
a b
a b
5) 2 2 2
S * 221 2 217 a b a b
Pentru calculul ariilor i volumelor se folosesc produsul vectorial i produsul mixt al vectorilor din R
n.
Fie E1 = (1,0,,0);,En = (0,,0,1) versorii bazei standard n Rn (vezi seciunea 1.2.1) i
fie vectorii: 2 21 2 1,..., ,..., ,...,
n n
n n nna a a a a a R
Produsul vectorial al celor 1n vectori a(2),,a(n) din Rn este vectorul din Rn definit
astfel:
1
2 21 2
1
E .........E
......... ...
.................
.........
n
n n
n nn
a aa a
a a
-
18
Dezvoltnd acest determinant dup prima linie, se vede c componentele vectorului 2
... n
a a sunt complemenii algebrici de ordin 1n ai versorilor-unitate E1,, En din determinantul precedent.
Proprieti ale produsului vectorial
1) 2
... 0n
a a dac i numai dac 2
,...,n
a a sunt liniar dependeni.
2) Produsul vectorial este funcie liniar n raport cu orice vector 2
,...,n
a a :
2 2 3 2 3 2 3 ... ... ...n n na b a a a a a b a a 3)
2 3 3 2... ...n na a a a a a deci produsul vectorial este antisimetric. 4) Pentru orice 2,...,i n avem:
2 ... 0i na a a deci produsul vectorial al vectorilor
2,...,
na a este ortogonal pe fiecare din aceti vectori.
Proprietile 1) 4) rezult din proprietile determinanilor.
Caz particular: Pentru 3n fie vectorii 2 21 22 23, ,a a a a ;
3 31 32 33, ,a a a a din R3.
Produsul vectorial al acestor vectori este:
1 2 3
2 3 22 23 21 23 21 22
21 22 23 1 2 3
32 33 31 33 31 32
31 32 33
E E E
E E Ea a a a a a
a a a a aa a a a a a
a a a
Se verific relaia 2 3 2 3
sina a a a unde este unghiul vectorilor a(2), a(3)
din R3 aa c
2 3a a este aria paralelogramului construit pe
2 3,a a .
Fie vectorii 1 211 1 21 2 1;...; , ;...; , ;...;
n n
n n n nna a a a a a a a a R
Produsul mixt al vectorilor 1 2
, ,...,n
a a a este:
11
1
1
.........
,..., ................
.......
n
n
n nn
a a
a a
a a
Proprieti ale produsului mixt
5) 1
,..., 0n
a a
dac i numai dac 1
,...,n
a a sunt vectori liniar dependeni.
6) Produsul mixt este funcie liniar n raport cu orice vector 1
,...,n
a a :
1 1 2 1 2 1 2 , ,..., , ,..., , ,...,n n n
a b a a a a a b a a
7) 1 2 2 1
, ,..., , ,...,n n
a a a a a a
deci produsul mixt este antisimetric
8) 1 2 1 2, ,..., ...n na a a a a a
Proprietile 5) 8) rezult din proprietile determinanilor.
Caz particular: Pentru 3n fie vectorii 1 11 12 13, ,a a a a ;
2 21 22 23, ,a a a a ; 3 31 32 33, ,a a a a din R
3.
-
19
Produsul mixt al acestor vectori este:
11 12 13
1 2 3
21 22 23
31 32 33
, ,
a a a
a a a a a a
a a a
i modulul acestui
produs mixt reprezint volumul paralelipipedului cu laturile 1 2 3
, ,a a a , concurente n originea 0.
Exemplu:
Fie vectorii 1 2;0;5a ; 2 0;1;4a ; 3 3;1; 1a ; 4 2;3;0a din R3
1) Se cere aria triunghiului cu vrfurile 2 3 4
, ,a a a i distana 1h de la vrful a(2)
la baza
format cu vrfurile lui a(3), a(4)
2) Se cere volumul piramidei cu vrfurile 1 2 3 4
, , ,a a a a i distana 2h de la vrful a(1)
la
baza format cu vrfurile lui 2 3 4
, ,a a a .
Soluie: 1) Aria cerut este jumtate din aria paralelogramului cu laturile n vrfurile lui
3 2 3;0; 5 a a i 4 2 2;2; 4a a deci 3 2 4 21S2
a a a a .
1 2 3
3 2 4 2
1 2 3
E E E0 5 3 5 3 0
3 0 5 E E E 10;2;62 4 2 4 2 2
2 2 4
a a a a deci
2 2 2S 10 2 6 140 . Avem 4 3 1;2;1a a deci
24 3 2 21 2 1 6a a iar
4 3
1
1S
2a a h sau 1
1140 6
2h deci
1
702
3h
2) Volumul cerut este 1
6 din volumul paralelipipedului oblic cu laturile
2 1 2;1; 1a a
; 3 1 5;1; 6a a ; 4 1 4;3; 5a a deci
2 1 3 1 4 1
2 1 116 8
, , 5 1 6 16 deci V=6 3
4 3 5
a a a a a a . Avem 21
V S3
h
i cum V = 8 / 3 i de la punctul 1) avem S 140 aa c 28 4
140 35 h
D. Subspaii vectoriale n Rn
Submulimea LRn este subspaiu vectorial al lui Rn dac este spaiu vectorial fa de operaiile din Rn:
1) a, bL a+bL
2) aL, R .aL
-
20
Axiomele I) VIII) ale spaiului vectorial, valabile n Rn, vor fi valabile i n L.
Conform punctului 2) pentru 1 , din aL rezult -aL iar conform punctului 1) din a, -aL rezult a + (-a) = 0L
O clas important de subspaii liniare sunt soluiile sistemelor liniare omogene (Teorema 1.4)
Exemple n R3 (n = 3):
1) m = 1: Mulimea vectorilor
1
3
2X
n
x
x R
x
cu a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0 este un plan care
trece prin originea 0 a axelor de coordonate. n particular planele de coordonate
1 2 1 3 2 3O , O , Ox x x x x x au ecuaiile 3 0x ; 2 0x ; 1 0x .
2) m = 2: Mulimea vectorilor
1
3
2X
n
x
x R
x
cu
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
01
2 0
a x a x a x
a x a x a x
este o dreapt care trece prin originea O a axelor de coordonate. Aceast dreapt este intersecia planelor care trec prin O i satisfac ecuaiile (1) respectiv (2).
Dac L este subspaiu vectorial n Rn i bL, mulimea b + L = {b+a aL} se numete varietate liniar paralel cu subspaiul vectorial L.
Mulimea varietilor liniare ale subspaiului vectorial LRn, formeaz un spaiu vectorial, numit spaiu vectorial-ct i notat Rn / L, fa de operaiile:
1) (b + L) + (c + L) = (b + c + L), (b, cL);
2) (b + L) = b + L, (bL, R)
Exemple:
1) Mulimea soluiilor M = (x,y,z)R3 a ecuaiei a11 x + a12 y + a13 z + a14 = 0 este un plan paralel cu planul care trece prin origine asociat ecuaiei omogene: a11 x + a12 y + a13 z = 0
2) Mulimea soluiilor M = (x,y,z)R3 a sistemului de ecuaii compatibil nedeterminat:
11 12 13 14
21 22 23 24
0
0
a x a y a z a
a x a y a z a
este o dreapt, paralel cu dreapta care trece prin origine asociat sistemului omogen:
11 12 13
21 22 23
0
0
a x a y a z
a x a y a z
1.1.2 Matrici de numere reale
A. Definiii
O matrice de numere reale, cu m linii i n coloane (de tip m n ) este un tablou dreptunghiular cu mn numere reale ija , aranjate pe m linii i n coloane:
-
21
11 1
1
A
n
m m n
a a
a a
Dac m n , matricea se numete ptratic de ordin n:
11 1
1
A
n
n n n
a a
a a
n particular, un vector linie 1,..., nb b b este o matrice de tip 1 n iar un vector
coloan
1
m
c
c
c
este o matrice de tip 1m .
O mulime de p matrici 1A ,...,A p , toate de tip m n formeaz o hipermatrice A cu m linii, n
coloane i p rame:
111 1 1 11 1
1
11 1 1 p n
,..., ,...,
A ; ... ; A
,..., ,...,
n p n p
p
m m n m m p
a a a a
a a a a
Aceste rame 1A ,...,A p pot fi aezate una n spatele celeilalte ca ramele ntr-un stup.
Transformri 1) Orice matrice se poate transforma ntr-un vector linie i reciproc.
1.1 Fie matricea de tip m n cu m n elemente:
11 1
1
A
n
m m n
a a
a a
Matricea A se transform n vectorul linie 11 1 1 A ,..., ,..., ,...,n m m na a a a deci prin
schimbarea notaiilor, avem vectorul linie cu q mn elemente: 1,..., ,..., k qb b b b unde k ijb a cu k = n ( i 1) + j, unde i = 1,, m; j = 1,, n, deci k = 1,, q.
b) Fie vectorul linie: 1,..., ,..., k qb b b b cu q elemente. Fie m un divizor al lui q i n = q / m. Vectorul linie b cu q mn elemente se transform n matricea A de tip m n :
11 1
1
A
n
m m n
a a
a a
unde ij ka b cu i = Int((k 1)/n)+1; j = k n.Int((k 1)/n)
unde k = 1,, q deci i = 1,, m; j = 1,, n.
-
22
2) Orice hipermatrice se poate transforma ntr-un vector linie i reciproc.
c) Fie hipermatricea A de tip m n p cu mnp elemente a i j h (i=1,, m; j=1,, n;h=1,, p).
Hipermatricea A se transform n vectorul linie 111 1 11 A ,..., ,..., ,..., m n p m n pa a a a
deci prin schimbarea notaiilor, avem vectorul linie cu q = m n p elemente: 1,..., ,..., k qb b b b unde k i j hb a cu k =p. n.(h 1) + n.(i 1) + j unde i= 1,, m; j = 1,, n; h = 1,, p
d) Fie vectorul linie: 1,..., ,..., k qb b b b cu q elemente. Fie m, n doi divizori ai lui q i p=q/mn
Vectorul linie b cu q mnp elemente se transform n hipermatricea A de tip m n p
cu elementele i j h ka b cu i = Int((k 1)/n p.Int(Int((k 1)/n)/p);
j = k n.Int((k 1)/n); h = Int(Int((k 1)/n)/p) + 1 unde k = 1,, q.
Dac A 1 ; 1ija i m j n este o matrice de tip m n , transpusa sa, notat AT, este
o matrice de tip n m cu TA 1 ; 1jia j n i m adic prin transpunere, liniile devin coloane i coloanele devin linii.
Transpusa unei matrici ptratice A de ordin n este tot o matrice ptratic, notat AT de
acelai ordin n. Matricea A este simetric dac coincide cu transpusa sa: AT = A deci ji ija a i
este antisimetric dac TA A deci
ji ija a
B. Operaii cu matrici
1) Adunarea i scderea matricilor:
Dac A ija i B ijb sunt matrici de tip m n , suma lor este A B ij ija b
tot de tip m n iar diferena lor este A B ij ija b tot de tip m n .
2) nmulirea matricilor:
Dac A ija 1 ; 1i m j n este matrice de tip m n i B jkb
1 ; 1j n k n este matrice de tip n p atunci produsul lor este A B Cik
1 ; 1i m k p de tip m p unde: 1
Cn
ik ij jk
j
a b
3) nmulirea matricilor cu scalari:
Dac A ija 1 ; 1i m j n este matrice de tip m n i atunci
produsul matricii A cu scalarul este A ija tot de tip m n .
-
23
4) mprirea matricilor ptratice:
Dac A ija 1 , i j n este matrice ptratic nesingular (cu det A 0 ) de
ordin n i B ijb 1 , i j n este o alt matrice ptratic de ordin n, ctul lor este:
1B B AA
i este tot matrice ptratic de ordin n.
1A este o matrice ptratic de ordin n care satisface relaiile -1 -1A A A A E (E este matricea unitate de ordin n).
1A se numete inversa matricii ptratice nesingulare A de ordin n.
Dac matricea A este ptratic de ordin n, singular det A 0 sau A este matrice dreptunghiular de tip m n , inversa
1A nu exist dar exist inversa generalizat A .
Dac A este matrice de tip m n , A
este matrice de tip n m care satisface relaia +A A A A . Dac A este matrice ptratic de ordin n, A este tot matrice ptratic de ordin n.
Dac A este matrice ptratic de ordin n, nesingular, avem 1A A
Dac A este o matrice dreptunghiular de tip m x n, inverse la dreapta Ad-1
este o matrice
dreptunghiular de tip n x m astfel c A. Ad-1
= Im.
Ad-1
este soluia X de tip n x m a ecuaiei matriciale A.X = Im .
Ecuaia matricial A.X = Im se reduce la m sisteme liniare de m ecuaii cu n necunoscute fiecare, de forma A.Xi = Ei; (i = 1,, m).
Aceste sisteme liniare sunt toate compatibile dac i numai dac :
Rang(A) = Rang(AE1) = = Rang(AEm)
Pentru m < n condiia este ndeplinit deci pentru m < n inversa la dreapta Ad-1
exist dar nu este unic.
Inversa la dreapta Ad-1
permite rezolvarea sistemelor matriciale X.A = B, unde A,B,X sunt
matrici, cu soluia X = B.Ad-1
.
Dac A este o matrice dreptunghiular de tip m x n, inversa la stnga As-1
este o matrice
dreptunghiular de tip n x m, astfel c As-1
. A = In.
Prin transpunere avem: AT.(As
-1)
T = In, deci (As
-1)
T = (A
T)d
-1 aa c As
-1 = ((A
T)d
-1)
T.
Pentru m > n As-1
exist dar nu este unic. Inversa la stnga As
-1 permite rezolvarea sistemelor matriciale A.X. = B, unde A,B,X sunt
matrici, cu soluia X = As-1
.B.
5) Suma direct a matricilor:
Fie A ija 1 ; 1i m j n este o matrice de tip m n iar A hka
1 ; 1h p k q este o matrice de tip p q , suma lor direct A B de tip
m p n q are forma: 0
A B=0
ij
hk
a
b
6) Produsul direct al matricilor:
1i
n m
1 m i m 1 m i
ni
x
X (X ... X ) cu X ..... R i I (E ... E ) cu E R
x
-
24
Dac A ija 1 ; 1i m j n este o matrice de tip m n i B hkb
1 ; 1h p k q este o matrice de tip p q , produsul lor direct A B de tip mp nq
are forma: A B ij hka b
C. Indicatori numerici ai matricilor
1) Urma unei matrici ptratice:
Dac A ija 1 ; i j n este o matrice ptratic, urma sa este suma elementelor de
pe diagonala principal: 11 22 Tr A ... n na a a
2) Determinantul unei matrici ptratice:
Fie A o matrice ptratic de ordin n: A ija 1 ; i j n . Orice aplicaie bijectiv a
mulimii 1,...,n pe ea nsi, o vom numi permutare i o vom nota:
1, 2, , :
1 , 2 , ,
n
n
Mulimea Sn a permutrilor fa de compunerea permutrilor ca funcii, formeaz un
grup, numit grupul simetric.
O inversiune n permutarea este o pereche de valori i j
i j
cu i j i
i j . Signatura permutrii este o funcie cu dou valori: 0 dac conine un numr par de inversiuni i 1 dac conine un numr impar de inversiuni.
Notaie: sign
Determinantul matricii ptratice A este: , S 1
det sign n
n
i ii
A a
O matrice ptratic A se numete nesingular dac det A 0 i singular dac
det A 0 .
3) Rangul unei matrici dreptunghiulare:
Dac A ija 1 ; 1i m j n este o matrice de tip m n rangul matricii A notat
rang Ar este ordinul celui mai mare minor nenul, numit minor principal. Aceasta nseamn c: a) Exist cel puin un minor de ordin r nenul (minorul principal)
b) Toi minorii de ordin 1r sunt nuli. n acest caz, toi minorii de ordin 2, 3,...,r r sunt nuli.
Avem: 0 rang A minim ,m n . O matrice A de tip m n se numete matrice de rang maxim dac rang A minim ,m n . Dac matricea de rang maxim A este ptratic atunci rang A n i det A 0 , matricea A numindu-se nesingular.
-
25
4) Norma unei matrici dreptunghiulare
Dac A ija 1 ; 1i m j n este o matrice de tip m n , norma euclidian a matricii
A este: 1
21
1 1
Am n
ij
i j
a
Aceast norm satisface axiomele:
a) A 0; A 0 A 0
b) A A
c) A B A B (inegalitatea triunghiului)
d) AB A B
Norma euclidian nu este singura norm a matricii A.
Exemplu:
1 1
Am n
ij
i j
a
satisface axiomele a) d) de mai sus, fiind deci o alt norm a matricii A.
5) Matricea Gram a unei matrici dreptunghiulare:
Fie A ija 1 ; 1i m j n o matrice de tip m n i fie TA de tip n m
transpusa sa.
Matricea Gram a matricii A, notat A , este TA A A ijg . Matricea Gram este matrice ptratic de ordin m i este simetric adic
ij jig g deci
T
A A .
6) Spectrul unei matrici ptratice
Dac A este o matrice ptratic de ordin n, fie numrul real sau complex i vectorul XRn
astfel c A.X = .X . se va numi valoare proprie a matricii A, iar X se va numi vector propriu al matricii A.
Pentru gsirea valorilor proprii i a vectorilor proprii X, trebuie s avem
A E X 0 . Acest sistem omogen are i soluii nenule X dac:
11 1P det A E ... 0n n
n np p p
P se numete polinom caracteristic al matricii A, iar rdcinile sale vor fi valori proprii pentru A.
Aceste n rdcini vor fi reale sau complexe conjugate, simple sau multiple.
Mulimea tuturor valorilor proprii ale lui A se numete spectrul matricii A i se noteaz cu (A).
A max A adic cea mai mare valoare proprie n modul, se numete raza spectral a matricii A.
Ecuaia P det A E 0 se numete ecuaia caracteristic a matricii A, i are forma desfurat:
-
26
11 12 1
21 22 2
1 2
. . . .
. . . .0
. . . .
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
De aici rezult relaiile:
1 11 22 ... Tr A ... n nna a a
1 ... det An Din ultima relaie rezult c rang A n dac i numai dac 0 nu este valoare proprie pentru A.
Proprieti ale spectrului (A)
1) (AT) = (A)
2) AB BA 3) (A) m(Am)
4) Dac det A 0 i A atunci -1(A-1) 5) 0 A dac i numai dac det A 0 adic rang A n . 6) A = matrice simetric (A = AT ) (A) conine numai valori proprii reale
7) A = matrice ortogonal (A-1 = AT) (A) conine numai valori proprii de modul 1
D. Clase de matrici
1) Matrici simetrice:
Avem ji ija a deci
TA A adic 2A A . 2) Matrici antisimetrice:
Avem ji ija a deci
TA A adic 2A A 3) Matrici ortogonale:
A E deci T -1A A i det A 1 4) Matrici normale:
Avem T TAA A A deci TA A . Matricile simetrice, antisimetrice i cele
ortogonale sunt normale.
5) Matrici nenegativ definite i pozitiv definite: Matricea simetric A este nenegativ definit dac pentru orice vector coloan X cu n
componente reale, avem TX X AX 0f . n acest caz valorile proprii ale matricii A sunt 0 . Matricea simetric A este pozitiv definit dac pentru orice vector coloan X cu n
componente reale avem TX X AX 0f . n acest caz valorile proprii ale matricii A sunt 0 .
n mod similar se definesc matricile nepozitiv definite ( TX X AX 0f ) i matricile
negativ definite ( TX X AX 0f ) 1.2 BAZE DE VECTORI N R
n
-
27
1.2.1 Definiia bazei i dimensiunii n Rn
n continuare vom conveni s scriem vectorii din Rn ca vectori-coloan cu n componente.
1) Vectorii F1,, FnRn (m n) se numesc liniar independeni dac relaia 1 1 F ... Fm m
= 0 implic 1 =... 0m adic cei m vectori nu satisfac nici o relaie de dependen liniar.
Orice submulime a unei mulimi de vectori liniar independeni este format tot din vectori liniar independeni.
Vectorii F1,, FpRn (p n) genereaz pe Rn dac pentru orice vector VRn exist scalarii
1,, pR astfel c 1 1V F ... Fp p .
Dac o submulime a unei mulimi de vectori genereaz pe Rn, atunci ntreaga mulime genereaz pe Rn.
Vectorii F1,, FnRn formeaz o baz n Rn dac ei sunt liniar independeni i genereaz pe Rn.
Fie VRn cu 1 1V F ... Fn n . Scalarii 1 ,...,n se numesc coordonatele vectorului
V n baza F i formeaz vectorul-coloan F 1V ,...,T
n .
Relaia precedent se scrie matricial unde 1F F ,...,Fn este matricea bazei 1F ,...,Fn cu vectorii-coloan 1F ,...,Fn .
Exemplu:
Baza standard este format din vectorii matricii-unitate:
Avem E 1i deci Ei se numesc versori. n plus E E 0i j , deci vectorii E , Ei j sunt
ortogonali cte doi 1 , i j n . Dac V = (V1,, Vn)
T, avem 1 1V E ... En nV V , deci coordonatele lui V n baza
standard E sunt chiar componentele V1,, Vn ale lui V ca vector din Rn.
Relaia din chenarul de mai sus devine E EV E V V .
Oricare baze din Rn au exact n vectori, n numindu-se dimensiunea spaiului vectorial R
n:
dim (Rn) = n.
Fie
11 12 1
1 2
1 2
F ; F ;...;F
n
n
n n nn
f f f
f f f
vectori-coloan din Rn care formeaz o baz
din Rn. Matricea F cu coloanele F1,..., Fn se numete matricea bazei 1 2F F ,F ,...,Fn :
FV F V
1 2E E E
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
n n n
n n n
n n
n
n
-
28
Avem det(F) 0 i rang F n . Dac det(F) > 0, baza cu matricea F are orientare pozitiv, iar dac det(F) < 0, baza cu
matricea F are orientare negativ.
Exemplu:
Fie matricea
1 2 3F F F
1 0 2F
0 5 3
2 4 0
a) S se arate c vectorii-coloan F1, F2 i F3 formeaz o baz n R3;
b) S se gseasc coordonatele vectorului-coloan n baza format cu vectorii F1, F2 i F3.
Soluie:
a) Fie relaia de dependen liniar: 1 1 2 2 3 3 F F F 0 , deci pe componente avem
1 3
2 3
1 2
2 0
5 3 0
2 4 0
, de unde rezult 1 2 3 0 .
Fie un vector-coloan oarecare V din R3, de exemplu
5
4
3
V
.
S artm c exist 1, 2, 3R, nu toi nuli astfel c 1 1 2 2 3 3V F F F .
Pe componente avem:
1 3
2 3
1 2
2 5
5 3 4
2 4 3
, de unde rezult
1 2 3
58 23 49 ; ;
8 8 8 .
b) 1 2 358 23 49
; ; 8 8 8
sunt chiar coordonatele vectorului-coloan V n baza
1 2
11 12 1
1 2
F F F
F
n
n
n n nn
f f f
f f f
5
4
3
v
1 2 3F ,F ,F
-
29
Un sistem de m n vectori-coloan F1,..., Fm din Rn se numete ortogonal dac vectorii
F , Fi j sunt ortogonali cte doi, deci F F 0 i j .
n acest caz vectorii F1,..., Fm sunt liniar independeni.
n adevr, fie relaia de dependen liniar:
(1) 1 1 F ... F 0m m
nmulim scalar relaia (1) cu F1: 2
1 1 2 1 2 1 F F F ... F F 0m m adic 2
1 1 F 0 , deci 1 0 cci 1F 0 .
n mod analog nmulind scalar relaia (1) cu F2,..., Fm obinem 2 ... 0m .
Pentru m n sistemul 1F ,...,Fn de vectori din Rn, ortogonali cte doi, devine baz
ortogonal.
Fie n acest caz VRn cu 1 1V F ... Fn n .
Avem 2
1 1 iV F F F ... F F Fi i n n i i , deci i 2V F
1F
i
i
i n
O baz ortogonal este ortonormal dac n plus .
n acest caz matricea F este ortogonal 1 TF F i i iV F .
Exemplu:
Baza standard E este ortonormal.
1.2.2 Subspaii vectoriale i sisteme liniare omogene
Teorema 1.4
Fie o matrice A de numere reale cu m linii i n coloane. Mulimea vectorilor
1
X
n
x
x
din
Rn care satisfac sistemul liniar omogen AX 0 , este un subspaiu vectorial L al lui Rn i reciproc.
Demonstraie: Afirmaia direct:
1) din X, XL rezult AX = 0, AX = 0 de unde A(X + X) = 0 aa c X + XL
2) din XL, R rezult AX 0 deci A X 0 aa c xL.
Afirmaia reciproc:
Fie L un subspaiu vectorial r-dimensional al lui Rn cu baza 1F ,...,Fr . Fie matricea 1F= F ,...,Fr de tip n x r i rang r care are pe coloane vectorii F1,, Fr. Fie G1,, Gn - rR
n soluiile liniar independente ale sistemului liniar omogen
TF X 0 .
1G ,...,Gn r formeaz o baz a subspaiului vectorial LRn cu dim(L) = n - r
Fie matricea 1G= G ,...,Gn r de tip n x (n - r) i rang r, are pe coloane vectorii
1G ,...,Gn r .
1F ... F 1n
-
30
Soluiile liniar independente ale sistemului liniar TG X 0 sunt vectori-coloan. F1,,
FrRn care genereaz subspaiul vectorial LRn cu dim(L)=r . Q.E.D.
Din teorema 1.4 rezult c vectorii oricrei varieti liniare b + L unde vectorul b nu aparine subspaiului vectorial L, sunt soluii ale sistemului liniar neomogen GT.X = b i reciproc.
Forma parametric a soluiei X este dat n seciunea 1.3.1
Exemple:
a) Fie LR3 subspaiul vectorial cu baza
1 2F F
1 3F
2 0
1 4
deci dim(L) = 2.
Sistemul liniar omogen TF X 0 adic
1 2 3
1 2 3
2 0
3 0 4 0
x x x
x x x
are soluia
1G
-8G
7
6
care constituie o baz pentru LR3 cu dim(L ) = 3 2 = 1
Sistemul liniar omogen TG X 0 adic 1 2 38 7 6 0x x x are ca soluii liniar
independente chiar pe F1 i F2.
b) Fie LR3 subspaiul vectorial cu baza
1F
2F
3
4
deci dim(L) = 1.
Sistemul liniar omogen TF X 0 adic 1 2 32 3 4 0x x x are soluii liniar
independente pe G1, G2 cu
1 2G G
-3 2G
2 0
0 1
care constituie o baz pentru LR3 cu dim(L ) = 3 2 = 1
Sistemul liniar omogen TG X 0 adic
1 2
1 3
3 2 0
2 0
x x
x x
are ca soluie pe
1F
2F
3
4
deci chiar baza lui LR3.
-
31
1.2.3 Substituirea unui vector dintr-o baz i aplicaii.
Fie
1 2E E E
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
n
baza standard n Rn. Fie vectorii-coloan A1,, AmRn. Aceti
vectori-coloan constituie matricea de tip n x m:
1 2
11 12 1
1 2
A A A
A
m
m
n n nm
a a a
a a a
Avem relaiile:
(1)
1 11 1 1 1
1 1
1 1
A E ... E .... E
A E ... E .... E
A E ... E .... E
h h n n
k k hk h nk n
m m hm h nm n
a a a
a a a
a a a
sau sub form de tabel:
Baza A1 ------------ Ak ------------ Am
E1 a11 a1k A1m
----
----
-
----
----
-
----
----
-
----
----
-
Eh ah1 ------------ ahk ------------ ahm
----
----
-
----
----
-
----
----
-
----
----
-
En an1 ------------ ank ------------ anm
Dac 0hka , hka se va numi pivot i se ncercuiete. Putem nlocui vectorul Eh din baz
cu vectorul Ak din afara bazei standard. Avem:
-
32
(2)
1 11 1 1 1 1
1
1 1
A ' E ... ' A .... ' E
A 0 E ... 1 A .... 0 E
A ' E ... 1 A .... ' E
h n n
k k n
m m k nm n
a a a
a a
sau sub form de tabel:
Baza A1 ------------ Ak ------------ Am
E1 a11 0 A1m
----
----
-
----
----
-
----
----
-
----
----
-
Ak ah1 ------------ 1 ------------ Ahm
----
----
-
----
----
-
--
----
---
----
----
-
En an1 ------------ 0 ------------ Anm
Teorema 1.5
Prin substituirea vectorului Eh din baza standard cu vectorul Ak din afara bazei, avem
relaiile de transformare a coeficienilor:
(3) ' 1,...,hjhjhk
aa j m
a
(4)
1
' 1ikij ij hjhk
i na
a a a j ma
i h
Demonstraie: nlocuind n relaiile (2) coeficienii dai de relaiile (3) i (4) precum i expresia lui Ak din (1), obinem dup reducerea unor termeni, chiar relaiile (1):
1 11 11 1 1 1 1 1 1
11 1 1 1
11 1
A a E ... E ... E ... E ... E
E ... E ... E
A E ...
k h nkh k hk h nk n n h n
hk hk hk
h h n n
k hmm m hm
hk
a a aa a a a a a
a a a
a a a
a aa a
a
1 1
1 1
E ... E ... E ... E
E ... E ... E
nkk hk h nk n nm hm n
hk hk
m hm h nm n
aa a a a a
a a
a a a
Q.E.D.
-
33
Observm c relaiile (3) i (4) sunt n fond transformri elementare ale liniilor matricii de tip n m :
11 1
1
A
m
n nm
a a
a a
i anume: Relaia (3) specific faptul c linia h se mparte cu pivotul 0hka .
Dac m n , det A se mparte cu hka .
Relaia (4) specific faptul c din linia i se scade linia h, nmulit cu factorul ik
hk
a
a.
Dac m n , det A rmne neschimbat. Relaiile (3) i (4) se constituie n regula dreptunghiului care const n urmtoarele:
1) Linia pivotului se mparte la pivotul hka .
2) Elementele din celelalte linii, se nmulesc cu pivotul hka , din produs se scade produsul
elementelor diagonalei a doua a dreptunghiului format iar diferena se mparte la pivotul hka .
Regula 2) se bazeaz pe faptul c relaia (4) se scrie sub forma echivalent:
'
ij hk ik hj
ij
hk
a a a aa
a
Algoritmul care folosete numai relaia (4) se mai numete algoritmul Gauss iar cel care folosete relaiile (3) i (4) se mai numete algoritmul Gauss-Jordan.
Exemplu:
Fie n R3 vectorii-coloan A1, A2 cu matricea A:
1 2A A
3 2A
1 4
0 5
Fie baza standard:
1 2 3E E E
1 0 0E
0 1 0
0 0 1
Avem tabelul:
Baza A1 A2
E1 2
E2 -1 4
E3 0 5
3
-
34
Vrem s substituim pe E1 cu A1. Pivotul este 3 i se ncercuiete iar E1 i A1 se marcheaz cu sgei. Pe coloana A1 se trece
coninutul coloanei E1 adic
1
0
0
1) Linia pivotului se mparte la pivot: 2 se nlocuiete cu 2
3
2) n liniile 2 i 3 aplicm regula dreptunghiului: 4 se nlocuiete cu 4 3 2 1 14
3 3
iar
5 se nlocuiete cu 5 3 0 2
53
3) Tabelul iniial devine: Baza A1 A2
A1 1 23
E2 0 143
E3 0 5
nlocuirea poate continua substituind pe E2 cu A2.
Aplicaii ale metodei substituirii
A. Calculul determinantului unei matrici ptratice A
Fie matricea ptratic de ordin n:
11 1
1
A
n
n nn
a a
a a
Fie 1E E , ... , En baza standard i 1A , ... , An vectorii-coloan din A. Avem tabelul iniial:
Baza A1 ------ An
E1 a11 ------ a1n
------
------
------
En an1 ------ ann
Substituim succesiv pe E1 cu A1, ..., pe En cu An i scoatem de fiecare dat n factor pivotul
n faa determinantului det A . n final avem det A = Produsul celor n pivoi nmulit cu 1 (determinantul matricii-unitate).
Dac ntlnim pivoi nuli, vom permuta linii sau coloane ntre ele pentru a gsi pivoi nenuli.
Fiecare permutare de linii sau coloane are ca efect schimbarea semnului pentru det A .
-
35
Dac dup un numr de substituiri, obinem o linie nul, atunci procesul de calcul se oprete
i det A 0 .
Exemple:
1) S se calculeze prin metoda substituirii determinantul matricii:
2 1 0
A 3 4 1
5 1 5
Soluie: Avem:
Baza A1 A2 A3
E1 -1 0
E2 3 4 1
E3 -5 1 5
A1 1 1
2 0
E2 0
1
E3 0 3
2 5
A1 1 0 111
A2 0 1
2/11
E3 0 0 1158
A1 1 0 0
A2 0 1 0
A3 0 0 1
Avem 11 58
det A 2 1 582 11
.
2
211
-
36
2) S se calculeze prin metoda substituirii determinantul matricii:
5 0 1
A 2 3 4
9 6 7
Soluie:
Baza A1 A2 A3
E1 0 1
E2 2 3 -4
E3 9 6 -7
A1 1 0 1
5
E2 0
225
E3 0 6 44
5
A1 1 0 1
5
A2 0 1 22
15
E3 0 0 0
Substituirea nu mai poate continua deci det A 5 3 0 0 .
B. Calculul rangului unei matrici dreptunghiulare A
Fie matricea de tip m n :
11 1
1
A
n
m mn
a a
a a
n seciunea 1.1.2 C, a fost definit rangul matricii A ca fiind ordinul celui mai mare minor nenul,
numit minor principal: Arang r dac exist un minor de ordin r, nenul (minorul principal) i toi minorii de ordin 1r sunt nuli). Avem:
1 rang A minim , r m n
5
3
-
37
rang A r este numrul maxim de linii liniar independente ca vectori din Rn i este numrul maxim de coloane liniar independente ca vectori din R
m. Cu alte cuvinte, rang A este
dimensiunea subspaiului vectorial al lui Rn, generat de cei m vectori-linie din A i este dimensiunea subspaiului vectorial al lui Rm, generat de cei n vectori-coloan din A. Fie cazul m n.
Fie rang A minim , r m n i fie submatricea principal de ordin r:
11 1
1
F
r
r rr
a a
a a
cu determinantul principal det F 0 .
Dac det F 0 atunci prin permutarea ntre ele a liniilor i/sau permutarea coloanelor, vom aduce minorul principal pe primele r linii i pe primele r coloane.
Permutarea ntre ele a liniilor respectiv coloanelor nu schimb rangul matricii A. Matricea A are forma iniial:
unde submatricile au tipurile: Fr r ; Gr n r ; H m r r ; K m r n r .
Se substituie E1 cu A1, ..., Er cu Ar i matricea capt forma:
Baza A1 ------ Ar Ar+1 ------ An
A1 1 ------ 0 1, 1' ra ------ 1' na
------
------
------
------
------
Ar 0 ------ 1 , 1'r ra ------ 'rna
Er+1 0 ------ 0 0 ------ 0
------
------
------
------
------
Em 0 ------ 0 0 ------ 0
adic:
A = F G
H K
E Fr-1G
O OA =
-
38
Notm F
UH
de tip m r care conine toate liniile i numai cele r coloane principale
din forma iniial a matricii A i notm 1V E F Gr
de tip r n , care conine toate coloanele
i primele r linii principale din forma final a matricii A dup substituire.
Se verific relaia A U V unde rang A rang U rang V r . Aceast relaie se numete descompunerea bazic a matricii A.
n adevr, primele r coloane 1A ,...,Ar ale matricii A sunt liniar independente i constituie
matricea U iar celelalte n r coloane 1A ,...,Ar n sunt liniar dependente de 1A ,...,Ar ,
coeficienii de dependen liniar fiind cele n r coloane ale submatricii 1F G de tip r n r ,
11 1A ,...,A A ,...,A F Gr n r
.
n cazul m n , se lucreaz cu TA de acelai rang cu A.
Exemplu:
S se afle rangul matricii de tip 3 4 :
2 3 1 5
A 0 1 4 7
2 4 3 12
Soluie:
Baza A1 A2 A3 A4
E1 3 -1 5
E2 0 1 4 7
E3 2 4 3 12
A1 1 3
2 1
2 5
2
E2 0 4 7
E3 0 1 4 7
A1 1 0 13
2 -8
A2 0 1 4 7
A3 0 0 0 0
2
1
-
39
Avem
2 3
U 0 1
2 4
; 1 0 13/ 2 8
V0 1 4 7
cu
rang A rang U rang V 2r
Avem 3 4 1 213/ 2 8
A A A A4 7
adic
3 1 2
4 1 2
13A A 4A
2
A 8A 7A
C. Calculul matricii inverse A-1 a unei matrici ptratice nesingulare
de ordin n (cu det A 0 )
Tabelul iniial are forma:
Baza A1 ------ An E1 ------ En
E1 A11 ------ a1n 1 ------ 0
------
------
------
------
------
En an1 ------ ann 0 ------ 1
Substituim pe E1 cu 1A ,...,En cu An i obinem tabelul final:
Baza A1 ------ An E1 ------ En
A1 1 ------ 0 11'a ------ 1' na
------
------
------
------
------
An 0 ------ 1 1'na ------ 'nna
Exemplu:
S se inverseze matricea ptratic nesingular
3 1 0
A 1 0 1
0 2 7
cu det A 1 0
A E
E A-1
-
40
Soluie:
Baza A1 A2 A3 E1 E2 E3
E1 1 0 1 0 0
E2 -1 0 1 0 1 0
E3 0 2 7 0 0 1
A1 1 1
3 0 1
3 0 0
E2 0
1 13
1 0
E3 0 2 7 0 0 1
A1 1 0 -1 0 -1 0
A2 0 1 3 1 3 0
E3 0 0 -2 -6 1
A1 1 0 0 -2 -7 1
A2 0 1 0 7 21 -3
A3 0 0 1 -2 -6 1
Avem: 1
2 7 1
A 7 21 3
2 6 1
. Se verific relaiile 1 1A A A A E
Pentru un sistem de n ecuaii cu n necunoscute de forma:
11 1 1 1
1 1
...
...
n n
n nn n n
a x a x b
a x a x b
sau
matricial AX b cu rang A n (sau det A 0 ), soluia unic a acestui sistem liniar are
forma matricial 1X A b unde
1A se calculeaz ca mai sus.
Exemplu:
S se rezolve sistemul liniar:
1 2
1 3
2 3
3 2
4
2 7 3
x x
x x
x x
prin metoda matricii inverse.
3
13
1
-
41
Soluie:
Avem rang A 3 , det A 1 0
1
2 7 1 2 35
X A 7 21 3 4 107
2 6 1 3 31
b
deci 1 35x ; 2 107x ; 3 31x
D. Calculul inversei generalizate A+ a unei matrici dreptunghiulare A
Dac matricea A este dreptunghiular de tip m n inversa obinuit 1A nu exist, dar
exist inversa generalizat de tip n m notat A+ care a fost definit n seciunea 1.1.2 punctul B)
prin relaia +AA A A analoag relaiei 1AA A A .
Matricea A+ se poate calcula i dac matricea A este ptratic ( m n ) dar singular
( det A 0 ). Fie cazul m n
Fie 1 rang A minim , r m n n seciunea 1.2.3,punctul B) de mai sus, la calculul lui rang A s-a prezentat
descompunerea bazic a matricii A: A U V cu U de tip m r , V de tip r n i
rang A rang U rang V r . Inversa generalizat a lui A, notat A+ este de tip n m i are forma:
(1) 1
T T T TA V U U V V U
n particular dac matricea A este de rang maxim, n presupunerea m n , avem rang A m .
Avem A F G cu F de tip m m , nesingular i G de tip m n m .
Dup pivotare avem 1
mA E F G
deci avem U F de tip m m i 1mV E F G
de
tip m n .
Din formula (1) rezult c pentru m n i rang A m , avem:
(2) 1
T TA A AA
n cazul m n se lucreaz cu TA de tip n m cu n m deci se afl
TTA A
.
Dac rang A n , prin aplicarea relaiei (2) pentru TA , rezult: 1
T TA A A A
i cum
T
TA A
rezult prin transpunere:
(3) 1
T TA A A A
Exemple:
1) Se d matricea de tip 3 4 :
1 1 2 0
A 1 2 3 1
0 1 1 1
Se cere inversa generalizat A+
-
42
Soluie: Calculm ca la punctul 1.2.3 B. rangul matricii A:
Baza A1 A2 A3 A4
E1 -1 2 O
E2 -1 2 -3 1
E3 0 1 -1 1
A1 1 -1 2 0
E2 0 -1 1
E3 0 1 -1 1
A1 1 0 1 1
A2 0 1 -1 1
E3 0 0 0 0
Avem rang A 2 . Liniile 1, 2 sunt principale i coloanele 1, 2 sunt principale.
Avem
1 1
U 1 2
0 1
cu toate cele trei linii i coloanele principale 1, 2 din matricea A iniial.
Avem 1 0 1 1
V0 1 1 1
cu toate cele patru coloane i liniile principale 1, 2 din matricea A
final (dup substituire).
Rezult T
2 3U U
3 6
;
T3 0
VV0 3
deci T T
6 9U UVV
9 18
de unde:
1
T T
6 39 9
U UVV3 2
9 9
Rezult
1 0 3 0 36 3
0 1 1 1 0 1 1 219 9A
1 1 3 1 2 1 2 1 1929 9
1 1 4 1 5
1
1
-
43
2) Se d matricea de rang maxim de tip 2 3 : 3 1 2
A0 1 4
Se cere inversa generalizat A+
Soluie:
Avem rang A 2 deci conform relaiei (2) avem 1
T TA A AA
unde:
T14 7
AA7 17
deci 1
T
17 7
189 189AA
7 14
189 189
deci
3 0 51 21 17 117 71 1 1
A 1 1 24 21 8 17 14189 189 3
2 4 6 42 2 2
E. Calculul produsului F-1G unde F este matrice ptratic de ordin n nesingular (det (F) 0) iar G este matrice dreptunghiular de tip n x p
Tabelul iniial are forma:
Baza F1 ------ Fn G1 ------ Gp
E1 f11 ------ f1n g11 ------ g1p
------
------
------
------
------
En fn1 ------ fnn gn1 ------ gnp
Se substituie pe rnd E1 cu 1F ,...,En cu Fn .
Tabloul final are forma:
Baza F1 ------ Fn G1 ------ Gp
F1 1 ------ 0 11'g ------ 1' pg
------
------
------
------
------
Fn 0 ------ 1 1'ng ------ 'npg
F G
E F G-1
-
44
Exemplu:
Se dau matricile
1 0 2
F 0 8 5
1 0 3
; det F 1 0 i 2 1 0
G 1 0 1
0 3 5
. Se cere 1F G
Soluie:
Baza F1 F2 F3 G1 G2 G3
E1 0 2 -2 1 0
E2 0 8 5 1 0 1
E3 -1 3 0 0 3 5
F1 1 0 2 -2 1 0
E2 0 5 1 0 1
E3 0 3 2 -2 4 5
F1 1 0 2 -2 1 0
F2 0 1 5
8 1
8 0 1
8
E3 0 0
198
4 378
F1 1 0 0 36 -63 -74
F2 0 1 0 12 -20 -23
F3 0 0 1 -19 32 37
Avem: 1
36 63 74
F G= 12 20 23
19 32 37
F. Calculul produsului GF-1 unde F este matrice ptratic de ordin n nesingular (det (F) 0) iar G este matrice dreptunghiular de tip m x n.
Avem T 1
1 T TGF F G
deci aplicm cazul 1.2.3, punctul E) pentru matricile FT, GT.
Tabelul iniial are forma:
1
8
18
-
45
Baza F1T ------ Fn
T G1
T ------ Gm
T
E1 f11 ------ fn1 g11 ------ gm1
------
------
------
------
------
En f1n ------ fnn g1n ------ gmn
Se substituie E1 cu 1 , ... , E cu .T T
n nF F Tabelul final are forma:
Baza F1T ------ Fn
T G1
T ------ Gm
T
F1 1 ------ 0 11'g ------ 1'mg
------
------
------
------
------
Fn 0 ------ 1 1' ng ------ 'mng
La urm avem T
T1 1GF GF
Exemplu:
Fie matricile:
1 0 2
F 0 8 5
1 3 0
; det F 1 0 i 2 1 0
G 1 0 1
0 3 5
. Se cere 1GF
Soluie:
Baza F1T F2
T F3
T G1
T G2
T G3
T
E1 0 -1 -2 1 0
E2 0 8 3 1 0 3
E3 0 5 0 0 1 5
F1T 1 0 -1 -2 1 0
E2 0 3 1 0 3
E3 0 5 2 4 -1 5
E ( )T
1GF-
1
8
-
46
F1T 1 0 -1 -2 1 0
F2T 0 1 3
8 1
8 0 3
8
E3 0 0
278
-1 258
F1T 1 0 0 25 -7 25
F2T 0 1 0 -10 3 -9
F3T 0 0 1 27 -8 25
Avem dup transpunere: 1
25 10 27
GF 7 3 8
25 9 25
1.3 SISTEME DE ECUAII LINIARE
1.3.1 Rezolvarea i discuia unui sistem liniar
Fie sistemul liniar de m ecuaii cu n necunoscute, de forma:
11 1 1 1
1 1 1
n n
m mn n m
a x a x b
a x a x b
. Cu notaiile:
11 1 1 1
1
A ; ; X
n
m mn m n
a a b x
b
a a b x
avem forma matricial a sistemului: AX=b
Fie rang A min ,r m n . Presupunem c minorul principal ocup primele r linii i primele r coloane.
Fie F submatricea minorului principal:
11 1
1
F
r
r rr
a a
a a
cu det F 0
Avem
unde G este submatrice de tip r n r , H este submatrice de
tip m r r iar K este submatrice de tip m r n r .
Fie matricea extins de tip 1m n :
unde
1
;
p
r
b
b
b
18
A = F G
H K
A/ = bF G bp
H K bs
-
47
1
r
S
m
b
b
b
. Dup pivotare n matricea extins A/b , aceasta capt forma:
unde
1
1
'
F
'
p
r
b
b
b
i
1
1
'
H F / E
'
r
m r
m
b
b
b
.
Conform teoremei Kronecker-Capelli, sistemul liniar este compatibil dac i numai dac
rang A rang A/r b .
CAZURI:
I) rang Ar m
Matricea A/b este de tip 1m n deci rang A/ minim , 1b m n i cum rang A rang A/b rezult rang A/b m deci sistemul este compatibil. Dac rang A n , sistemul este compatibil determinat iar dac rang A n , sistemul este
compatibil nedeterminat.
II) rang Ar m Subcazul a)
1
1
'
H F / E 0
'
r
m r
m
b
b
b
adic b este ortogonal pe Ker(AT) deci 1' ' 0r mb b . Rezult rang A rang A/r b deci sistemul este compatibil (determinat pentru rang Ar n i nedeterminat pentru
rang Ar n ). n acest caz ultimele m r linii secundare din matricea extins A/b se arunc fiind dependente
de primele r linii principale. Avem:
1
1
1 1
1
E F G Fr
r
r
r
n
x
bx
xb
x
adic
1 1 1
1 1F G F
r
r n r
x x b
x x b
de unde:
1 1 1
1 1F G +F
r
r n r
x x b
x x b
i completnd
cu necunoscutele secundare 1,...,r nx x , obinem:
E F r p-1G bF
-1
O [-H( - )m r r O F /E ]( - ) ( - ) -m r m r m r -1
b
-
48
(1)
1 1
1 1
1
F G F
X ,...,
E O
r p
r n
n n r n n r
x x b
x x R
x x
Matricea
1F GU
En r
este de tip n n r i rang U n r . Coloanele sale
Ur+1,, UnRn sunt soluii liniar independente ale sistemului omogen A X 0 . Aceste coloane
formeaz o baz n subspaiul Ker(A)Rn cu dim Ker A rang An .
Coloana
1
B
FX
O
np
n r
bR este o soluie particular bazic (vezi seciunea 5.2) a
sistemului liniar neomogen A X b . Ea se obine din soluia general a sistemului neomogen pentru componentele nebazice nule 1 ... 0r nx x . Cu notaiile precedente, soluia general
din relaia (1) are forma:
(2) S BX U X X unde
1
SX
r
n r
n
x
R
x
Soluia general X(0) = U.XS a sistemului omogen AX=0 reprezint ecuaiile parametrice ale subspaiului vectorial L ataat sistemului omogen AX = 0 (vezi teorema 2.1), XS fiind vectorul celor n r parametri reali xr+1,, xn.
Soluia general X = U.XS + XB a sistemului neomogen AX = b reprezint ecuaiile
parametrice ale varietii liniare b + L (bL) depinznd de aceiai parametri reali xr+1,, xn.
Exemple:
1) Ecuaia planului n R3 are forma general a11x + a12y + a13z + a14 = 0.
Dac a11 0 ecuaia planului are forma parametric: x = (-a12 / a11)y + (-a13 / a11)z + (-a14 / a11); y = y; z = z cu parametrii reali y i z.
2) Ecuaiile dreptei n R3 au forma general: a11x + a12y + a13z + a14 = 0
a21x + a22y + a23z + a24 = 0
Dac = a11a22 a12a21 0, din aceste ecuaii aflm pe x i y n funcie de z:
x = 1z + 1; y = 2z + 2; z = z adic ecuaiile parametrice ale dreptei cu parametrul z.
Exist o soluie particular unic XNRn sistemului liniar A X b cu
2
NX minim ,
numit soluie normal. Ea are proprietatea c este ortogonal pe subspaiul liniar Ker A adic T
NU X 0 deci XNIm(AT).
Conform relaiei (2) avem: T T T
S BU X U U X U X 0 deci:
T T
S BU U X U X aa c: 1
T T
S BX U U U X
. Rezult din relaia (2):
1
T T
B BX U U U U X X
deci soluia normal are forma:
-
49
(3) 1
T T
N BX E U U U U X
Subcazul b)
1
1
'
H F E 0
'
r
m r
m
b
b
b
.
n acest caz cel puin o component a vectorului-coloan:
1
1
'
H F E
'
r
m r
m
b
b
b
cu m r componente, este nenul.
Fie de exemplu prima component 1' 0rb . n acest caz sistemul liniar este incompatibil
deoarece rang A rang A 1r b r cu minorul nenul de ordin 1r :
Discuia sistemului liniar este terminat.
Spre deosebire de sistemul liniar A X b care este compatibil dac i numai dac
rang A rang A b sau TKer Ab , sistemul T TA A X A b este totdeauna compatibil i soluia sa X se numete soluie generalizat a sistemului AX b . Ea are proprietile:
i) AX+ - b este ortogonal pe Im(A); ii)
+AX minim b
Dac c este proiecia vectorului b pe subspaiul Im(A) atunci X este soluie a sistemului compatibil AX c .
Exemplu:
Se d sistemul liniar:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 7
4 3 5 13
5 9 8 11
7 6 7 7
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
S se discute sistemul dup , i dac este compatibil s se rezolve sistemul.
Soluie: Baza A1 A2 A3 A4 b
E1 3 1 2 1 7
E2 1 4 3 5 13
E3 5 9 8 11 E4 7 6 7 7
A1 1 13
23
13
73
- 1
'
1 r+1
F .0
0 b
r p
r
E b
-
50
E2 0 113
73
143
323
E3 0 223
143
283
3 353
E4 0 113
73
143
3 493
A1 1 0 511
111
1511
A2 0 1 711
1411
3211
E3 0 0 0 0 3 3 E4 0 0 0 0 27
Discuie:
Pentru 33 sau 27 sistemul este incompatibil. Pentru =33 i =27 sistemul este
compatibil (nedeterminat cci rang A 2 4r n ). Ecuaiile secundare a treia i a patra se arunc. Ecuaiile principale a ntia i a doua se scriu:
Soluia general a sistemului neomogen este:
(4)
1
2
3 4
3
2
5/11 1/11 15/11
7 /11 14/11 32/11X
1 0 0
0 1 0
x
xx x
x
x
Primii doi termeni din membrul doi reprezint soluia general a sistemului omogen
A X 0 iar al treilea termen este o soluie particular bazic a sistemului neomogen (obinut din soluia general a sistemului neomogen pentru 3 4 0x x ).
Coloanele principale 1 2A , A din matricea A se numesc bazice iar celelalte coloane
secundare 3 4A , A ca i termenul liber b al sistemului se exprim cu ajutorul coloanelor bazice
1 2A , A :
1 3 4
2 3 4
3 4 31
4 42
5 1 15
11 11 11
7 14 32
11 11 11
7 14
11 11
14
11
x
x x x
x x x
x x
x
x
x x
+ =
+ + =
=
=
+
+
+Adugm:
-
51
3 1 2
4 1 2
1 2
5 1A A A
11 11
7 14A A A
11 11
15 32A A
11 11b
Din forma general a soluiei X dat de relaia (2) rezult:
5/11 1/11
7 /11 14/11U
1 0
0 1
i B
15/11
32/11X
0
0
Conform relaiei (3) rezult soluia normal N
584
147
3209
147X
151
147
156
147
cu 2
N
3561958X minim
49 .
Relaia (4) se scrie i sub forma:
3 4
3 4
3
4
5 1 15
11 11 11
7 14 32X
11 11 11
x x
x x
x
x
deci
2 2
2
3 4 3 4 3 4 3 4
5 1 15 7 14 32X , minim
11 11 11 11 11 11x x x x x x f x x
Trebuie s avem:
3 4 3 4 3
3
3 4 3 4 4
4
5 1 15 5 7 14 32 72 2 2 0
11 11 11 11 11 11 11 11
5 1 15 1 7 14 32 142 2 2 0
11 11 11 11 11 11 11 11
fx x x x x
x
fx x x x x
x
-
52
de unde rezult 3151
147x ; 4
156
147x deci soluia normal: N
584/147
3209/147X
151/147
156/147
obinut i mai
sus cu relaia (3).
1.3.2 Soluii generalizate ale sistemelor liniare incompatibile
Fie un sistem liniar AX b cu matricea A de tip m n , X = vector-coloan cu n componente i b = vector-coloan cu m componente. n plus presupunem c
rang A rang A/ 1r b r deci sistemul liniar este incompatibil deci nu exist nici un vector-coloan X astfel c A X b .
Prin analogie cu soluia clasic a sistemelor compatibile determinate 1X A b , vom numi
soluia generalizat a sistemului compatibil expresia X+=A+b unde A de tip n m este inversa
generalizat a matricii A, definit de relaia AA A A (vezi seciunea 1.1.2 B). n acest caz nu
mai avem AX b dar AX
i b sunt cei mai apropiai n sensul normei euclidiene dup cum arat:
Teorema 1.6
Avem
2
2
1 1
AX minimm n
ij j i
i j
b a x b
pentru X X A b
Demonstraie
Fie 2
1
1 1
F ,...,m n
m ij j i
i j
x x a x b
. Anulm derivatele pariale ale lui 1F ,..., nx x n raport
cu 1,..., nx x (condiie necesar de minim):
1
1 11
1 1
F0
F0
m n
i ij j i
i j
m n
in ij j i
i jn
a a x bx
a a x bx
adic:
1 1
1 1 1
1 1 1
m n m
i ij j i i
i j i
m n m
in ij j im i
i j i
a a x a b
a a x a b
deci matricial:
-
53
(1) T TA A X A b Soluia generalizat X+ = A+b verific condiia de minim (1).
Facem demonstraia n cazul particular rang(A