Curs

Curs

Matematica clasa a IX-a Fr1.Mulimi si elemente de logic matematic

a) Mulimea numerelor reale

In acest paragraph vom prezenta principalele mulimi de numere pe care le-ai studiat n anii precedeni, indicnd proprietile algebrice, de ordine i coresponden cu punctele unei drepte.

Prima mulime de numere cunoscute este mulimea numerelor naturale, notat N={0, 1, 2, 3, ,n,}, iar mulimea numerelor naturale fr zero. N*= {1, 2, 3,,n, }

S-a precizat, c nu se poate efectua scderea ntre dou numere naturale obinndu-se de fiecare dat un numr natural. Exemplu 10-15=-5 care nu este numr natural.

Atunci apare necesitatea extinderii acestei mulimi de numere. Apare mulimea numerelor ntergi, notat Z= {-n, ,-3, 2, -1, 0, 1, 2, 3, ,n, }, observndu-se c N(Z.

In aceast mulime nu se poate efectua mprirea de fiecare dat ca s oninem un numr ntreg. Exempu 7:2=3,5(R.

Atunci vom fi condui la ideea extinderii mulimii numerelor ntregi, obinnd mulimea numerelor raionale, notat Q= numite i fracii cu observaia c N(Z(Q, Q conine numerele zecimale finite, periodice simple i periodice compuse.

Dar mai apar i alte numere n calcularea diagonalei unui ptrat de latur 1, unde diagonala este . Calculnd pe

EMBED Equation.3 , , s-a observat c se obin numere zecimale cu un numr infinit de zecimale care nu se repet periodic . Toate aceste numere reunite dau mulimea numerelor reale , notat cu R. Deci: Numrul real este o fracie zecimal, finit sau infinit.

Mulimea numerelor reale mpreun cu operaia de adunare sau nmulire formeaz o structur algebric. Ne referim la perechea (R, +) Proprietile adunrii pe R.

A1. Adunarea este asociativ : (a+b)+c=a+(b+c); (a, b, c (R.

A2. Adunarea este comutativ : a+b=b+c; (a, b, c (R.

A3. Numrul 0 est element neutru pentru adunare : a+0=0+a=a.

A4. Numrul (-a) este simetricul lui a (opusul ) fa de adunare : a+(-a)=(-a)+a=0

Ca exerciiu scriei proprietile nmulirii pe R.

Propietatea care leag cele dou operaii ntre ele se numete : distributivitatea nmulirii n raport cu adunarea

a (b+c)=ab+ ab (()a, b, c (R.

(revedei scoaterea factorului comun)

Referitor la relaia de ordine : Oricare ar fi dou numere reale ntre ele exist una din relaiile mai mare = egal. Sau mai mic sau egal , mai mare sau egal.

Axa real: O dreapt pe care s-a fixat originea.O un sens i o unitate de msur se numete ax

ntre munimerea punctelor de pe ax i mulimea numerelor reale exist o coresponden biunivoc.

Oricrui numr real i corespunde un punct pe ax i reciproc. S-au mai introdus dou simboluri respectiv + i -, care reprezint un numr foarte mare pozitiv iar - reprezint un numr foarte mare n valoare absolut dar cu semnul minus.

Valoarea absolut sau modulul unui numr real.

Valoarea absolut sau modulul lui a este numrul nenegativ =

Exemple :

; ;

Partea ntreag i partea fracionar a unui numr.

Se numete partea ntreag a numrului a, numrul notat [a], ce reprezint cel mai mare ntreg mai mic sau egal cu a. Deci [a] (Z, [a] a[a]+1Partea fracionar a numrului a, notat {a} este egal cu diferena dintre a i partea ntreag a sa [a].

Deci {a}=a-[a]

Exemple:

a) [3,76]=3 {3,76}=3,76-[3,76]=3,76-3=0,76

b) [10]=10; {10}=10-[10]=0;

c) [-3,16]=-4, {3,16}=-3,16-[3,16]=3,16-(-4)=-3,16+4=0,84

De observat c partea fracionar a numrului este pozitiv

b) Propoziie, predicat, cuantificatori, operaii logice elementere.Numim alfabet , o mulime de semne iar enunul este orice succesiune de semne dintr-un alfabet.

Exemple:

1) 1+9=10; 2) 38; 3) ; 4) x+13; 5) x2+y2=z2, x,y,z, (ZSe numete propoziie un enun care ntr-un context dat este fie adevrat fie fals. Notm propoziiile cu litere mici : p, q, r, sau cu litere mici indexate: p1, p2, p3, .Valoarea de adevr a unei propoziii este proprietatea acestuia de a fi adevrat sau fals. Se noteaz:V(p)= Se numete predicat un enun care conine una sau mai mai multe variabile, crora atribuindu-le valori obinem propoziii adevrate sau false.

Exemple

x+13; x(R; p(x):x+13 p(x,y): x se divide cu y

Cuantificatorul existenial (x)p(x) (citim exista x pentru care are loc p(x). Ex: p(x) x+5=16 x=11 (RCuantificatorul universal ()p(x) (citim oricare ar fi x are loc p(x). Ex: p(x) x2+1>0, x(R

Operaii logice elementare1. Negaia Negaia unei propoziii p este propoziia non p care este adevrat cnd p este fals i este fals cnd p este adevratValoarea de adevr.

p

10

01

2. Conjuncia propoziiilor Conjuncia propoziiilor p, q este propoziia pq (citim p i q) care este adevrat dac i numai dac p i q sunt adevrate i fals n celelalte cazuri.3. Disjuncia propoziiilor Disjuncia propoziiilor p i q este propoziia pq (citim p sau q) care este adevrat dac i numai dac cel puin una este adevrat i fals n caz contrar.4. Implicaia propoziiilor Implicaia propoziiilor p, q n aceast ordine este propoziia pq (p implic q sau dac p atunci q) care este fals dac i numai dac p este adevrat i q fals.5. Echivalena propoziiilor. Echivalena propoziiilor p, q este propoziia notat pq (p echivalent cu q sau p dac i numai dac q).Exerciii:1. Artai c dac n(N, atunci este natural.2. S se arate c dac a este numar par, atunci

3. Calculai i i comparai aceste numere n cazurile 1) x=6, y=11; 2) x=-10, y=-36; 3) x=3.3 , y=2.64. Calculai i i comparai aceste numere n cazurile 1) x=4,6, y=9,5; 2) x=2,4, y=3,3;5. S se arate c numrul nu este raional6. Se consider predicatele p1(x) x+1>0, x(R i p2(x): x-20 , x(R. S se determine valorile lui x pentru care 1) p1(x) este adevrat , 2) p2(x) este adevrat 3) p1(x) p2(x) este adevrat 4) p1(x) p2(x) este adevratFuncii

2. iruri.

n limbajul uzual prin ir nelegem o mulime de numere aranjate ntr-o anumit ordine. Elementele unui ir se numesc termenii irului.

Exemple de iruri:

1) (an)n1 ; 1, 2, 3, ,n, 2)

Definiie : Se numete ir de numere reale orice funcie x:N\AR, unde A este o submulime finit a lui N.

Moduri de a defini un ir: - printr-o regul de calcul

Ex: irul: (an)n1 cu an= termenul a3== ... prin mai multe reguli de calcul

Ex: irul: (an)n1 cu termenul general an=

printr-o relaie de recuren

Ex: (an)n0 cu a0=-1, an+1=an+3; n0

Exemple de iruri Progresia aritmeticDefiniie: Un ir (an)n1 pentru care fiecare termen al su, ncepnd cu al doilea , se obine din precedentul prin adugarea aceluiai termen r se numete progresie aritmetic. Nunrul r se numete raia progresiei.

Formula termenului general. Dac irul este 0 progresie aritmetic cu primul termen a1 i raia r atunci n1Observaie: Orice termen al unei progresii aritmetice ncepnd cu al doilea este medie aritmetic ntre precedentul i succesorul su.

an=

Suma primilor n termerni ai unei progresii aritmetice

(an)n1 este Sn=

Exerciii: Se d progresia aritmetic (an)n1. Determinai n fiecare din cazuri , elementele cerute:1) a1=3; r=2. Calculai a15 i S152) a1=-2; a25=22. Calculai r i S15

3) Dac a1+a2=42 i a10+a3=21 Calculai a1 i r

Soluia pentru Ex.1) a15=a1+(15-1)*r=31 S15=

Progresie geometric. irul (bn)n1 cu b10, pentru care fiecare termen al su ncepnd cu al doilea, se obine din precedentul prin nmulirea cu acelai numr q0 se numete progresie geometric. Numrul q se numete raie.Formula termenului general bn=

Observaie ntr-o progresie geometric, orice termen ncepnd cu al doilea este media geometric ntre precedentul i succesorul su.

Suma unei progresii geometrice:

Exemple: Se d progresia geometric (bn)n1 cu raia qDeterminai n fiecare din cazuri, elementele cerute 1) q=4, n=8, b8=49152. Calculai b1 i S8

2) , q=4 Calculai b103) , q=-, Calculai b14) Calcula q>0.Test de evaluare:

1. S se determine numerele reale n progresie geometric a, b, c dac suma lor este 26, iar numerele a+1, b+6, c+3 sunt n progresie aritmetic.

2. S se gseasc suma primilor douzeci de termeni ai unei progresii aritmetice dac

3. S se gseasc primul termen a1 i raia r a unei progresii aritmetice dac :

4. S se rezolve ecuaia 5+13+21+...+x=5885. Dac (bn)n1 este o progresie geometric cu Calculai b1 i q.

Produsul cartezian

Considerm dou mulimi nevide A i B. Se numete produsul cartezian al mulimii A cu mulimea B , luate n aceast ordine, mulimea perechilor avnd prima component din A i a doua component din B.

Notaie: Produsul cartezian al mulimii A cu muimea B se noteaz : , Observaie : produsul cartezian nu este comutativ, adic AxBBxAExemplu: Fie A = i B=

EMBED Equation.3

Definiia funciei Fie A i B dou mulimi nevide . Spunem c am definit o funcie pe mulimea A cu valori n B dac printr-un procedeu oarecare facem ca fiecare element s-i corespund un singur element . Se noteaz (se citete , f definit pe A cu valori n BA = domeniul de definiie

B = codomeniul sau mulimea din care funcia ia valori

x = variabila independent ia o numim variabil dependent

Dac A i B sunt submulimi ale lui R funcia este o funcie numeric sau funcie real de variabil real.Graficul unei funcii este mulimea :

Funcia de gradul I

Funcia , se numete funcie afin. Dac 0 atunci f se numete funcie de gradul I cu coeficieni a i b.Graficul funciei de gradul nti este o dreapt.

Ecuaia dreptei este: y=ax+b, 0Dreapta AB taie axa Ox i face cu aceasta un unghi =tg este panta dreptei AB

Monotonia funciei de gradul I

Spunem c funcia este strict cresctoare dac x10 funcia este strict cresctoarex-

+

-

+

Spunem c funcia este strict descresctoare dac x10f. are un minim.Vmin Xmin=-; Ymin=-; Vmin

c) Tabel de valori

x-

-4-102+

0

-9

-8

0

d) Graficul trasarea lui . De reinut axa de simetrie este

S se traseze graficul urmtoarelor funcii:

;

Funciei de gradul doi I se ataeaz ecuaia de gradul II Cu rdcinile (distincte sau nu)Relaiile lui Viete (relaiile ntre rdcini i coeficieni)

, S= suma rdcinilor

, P=produsul rdcinilor

Se demonstreaz c i ;

Exemplu : S se determine parametrul m dac ntre rdcinile ecuaiei

exist relaia Se ataeaz sistemul:

nlocuim n a treia ecuaie i obinem 8m2-m+11=0, care nu are rdcini realeSemnul funciei de gradul doi f(x)=,

1) Dac atunci i semnul este dat de tabelulx-

+

Semn a0Semn contrar lui a0Semnul lui a

2) Daca , atunci i semnul este dat n tabelulx-

+

Semn lui a0Semnul lui a

3) Dac atunci , semnulx-

+

Peste tot semnul lui a

Aplicaii: Rezolvare de inecuaii:a)

Rezolvm b) atam ecuaia o rezovm

x-

-20+

-

0-0+

Rezolvarea sistemelor simetrice de forma

Atunci ecuaia n sum i produs este

Exemple:

EMBED Equation.3 atunci care dau tocmai soluia sistemului (2, 5) i (5, 2)Rezolvarea sistemelor formate dintr-o ecuaie de gradul I i o ecuaie de gradul 2 sau intersecia dintre o dreapt i o parabol , de forma

Exemplu:

S se rezolve sistemele: 1) 2) 3)

Test de evaluare:1. S se determine funcia dac punctele A(4,0), B(2,0), C(5,12) aparin graficului funciei.2. S se determine parametrul m nct ntre rdcinile x1 i x2 ale ecuaiei s existe relaia

3. S se rezolve inecuaia:

4. S se determine semnul expresiei :

5. Rezolvai sistemul simetric:

6. Reprezentai grafic funcia:

Capitolul: Vectori n plann geometrie , fizic, tiine tehnice sunt ntlnite mrimi scalare i mrimi vectoriale.

O mrime este scalar , dac pentru determinarea ei este suficient s indicm un singur numr. Ex.: lungimea unui segment, aria unei suprafee, temperatura etc.

O mrime este vectorial dac este determinat de urmtoarele trei elemente: mrime direcie i sens.

Se numete direcia dreptei d mulimea format din dreapta d i toate dreptele paralele cu d

Pe dreapta d am fixat punctele A i B (AB). Punctele A i B pot fi parcurse de la A la B iar sensul opus de la B la A

Definiia vectoruluiO pereche ordonat se numete segment orientat sau vector legat (de A) i se noteaz , unde A este originea iar B extremitatea vectorului.

Vectorul legat , se numete vector nul. AB,

Se numete modulul sau lungimea (sau norma) vectorului , sau lungimea segmentului i se noteaz

Vectorul de lungimea 1 se numete vector unitate sau versor.

Versorul axei se noteaz cu , iar versorul axei se noteaz cu . Doi vectori legai i sunt egali dac A=C ( originile coincid) i B=D( extremitile coincid)

Un vector este liber dac punctul de aplicaie poate fi luat arbitrar n plan, deci vectorul liber este mulimea vectorilor legai care au aceeai direcie, acelai sens i acelai modul.Doi vectori sunt echipoleni dac au aceeai direcie, acelai sens i acelai modul se scrie .

Operaii cu vectori.Adunarea vectorilor

a) Regula paralelogramului

SHAPE \* MERGEFORMAT

Fiind vectori liberi putem alege originea n . Din O ducem un vector echipolent cu i din O vector

EMBED Equation.3 echipolent cu apoi completm paralelogramul. Diagonala mare reprezint vectorul sum

b) Regula triunghiului

SHAPE \* MERGEFORMAT

alegem . Din O ducem un vector echipolent cu notat , din extremitatea lui ducem un vector echipolent cu , , apoi unim O cu C i obinem vectorul sum

Pentru oricare trei puncte A, B, C din plan

2. Scderea vectorilor.

Vectorul diferen se construiete unind extremitatea vectorului scztor cu extremitatea vectorului desczut

O alt metod a paralelogramului. Diferena reprezint tocmai diagonala mic .3. nmulirea unui vector cu un scalar.

Fie Produsul dintre este vectorul notat i are:

-acelai sens cu , dac i sens contrar lui , dac

-aceeai direcie cu

-modulul egal cu produsul dintre i modulul vectorului adic

Doi vectori liberi sunt coliniari dac au aceeai direcie.

Doi vectori nenuli sunt coliniari dac i numai dac astfel nct .

Fie A, B, C trei puncte , ele sunt coliniare aa nct

Problem rezolvat:

Fie M mijlocul laturii a triunghiului ABC. S se determine punctele E i F astfel nct ~ i ~

Ducem prin A paralela d la BC iar prin M paralele la AB i AC, care taie pe d n E i respectiv F

Patrulaterele BMEA i MCAF sunt paralelograme . Atunci ~ i ~ (adic echipolent cu i echipolent cu , deci cu aceeai direcie , sens i modul) Mai multe ~ avem , deci A este mijlocul segmentului .Coliniaritate, concuren, paralelism

Vectorul de poziie al unui punct.

n planul fixm un punct O , i M un punct din plan, atunci vectorul l numim vectorul de poziie al punctului M, notat

atunci

Condiia de coliniaritate a trei puncte.

Fie , , vectorii de poziie ai punctelor A, B, M n raport cu O.

Punctele A, B, M sunt coliniare dac

Condiia de concuren a trei segmente

Fie segmentele s artm c un punct (de concuren) le mparte n acelai raport, adic vectorii lor de poziie au aceeai exprimare.

Aplicaii: Demonstrai vectorial urmtoarele teoreme: teorema lui Thales, teorema bisectoarei, teorema lui Menelau i teorema lui Ceva. Demonstraiile sunt n manualul de clasa a IX-a de professor Mircea Gonga , ediia 2006.3. Elemente de trigonometrieConsiderm n plan un sistem de coordonate, determinat de reperul O, A, B. Cercul C, de centru O i raz 1 conine punctele:

A(1, 0); B(0, 1);

Lungimea acestui cerc este 2

Reperul O, A, B determin cadranele

I, II, III, IV respectiv

EMBED Equation.3 ; ;

, ; ;

Unitatea de msur pentru unghiuri mai este i radianul. Unghiul care subntinde un arc de cerc egal cu raza se numete radian.1 cerc la centru ntreg are 2radiani

Definiie: Cercul C de centru O, de raz 1 pe care s-a fixat un sens pozitiv (invers acelor de ceasornic) se numete cerc trigonometric.

Funcia trigonometric sinus

Funcia se numete funcia sinus. O studiem pe un cerc ntreg .Funcia se numete funcia cosinus. O studiem pe un cerc ntreg .

Observm c valoarea maxim este 1 i valoarea minim este -1.

Att funcia sin ct i funcia cos sunt periodice i au o perioad 2, valorile lor se repet dup un cerc ntreg.

Funcia sin este o funcie impar, adic

Funcia cos este o funcie par, adic

Funcia tangent

O studiem , aceast funcie nu este definit n .Este impar i are perioada

Funcia cotangent

O studiem , Deci

n cercul trigonometric construim unghiul , atunci n dup definiiile din clasa a VII-a avem:

EMBED Equation.3 n acest triunghi se aplic Teorema lui Pitagora

EMBED Equation.3 formula fundamental a trigonometriei (forma trigonometric a teoremei lui Pitagora)

Semnele funciilor trigonometrice n cadrane

Funcia / CadranulIIIIIIIV

sin++--

cos+--+

+-+-

+-+-

Reducerea la primul cadranDac avem:

cos t- cos x- cos xcos x

sin tsin x- sin x- sin x

Exemple: 1)

2)

3)

Din formula fundamental se deduc o serie de formule:1.

2.

3.

4.

5.

Oricare ar fi numerele reale a i b avem formule:

Dac a=b=x atunci obinem formulele:

Tem: S se arate c au loc egalitile:1)

2)

3)

EMBED Equation.3 4)

Formele pentru transformarea sumelor n produse

Formulele sunt date fr demonstraii

Tem: S se transforme n produs:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5)

Aplicaii ale trigonometriei n geometria plan.

1. Teorema sinusurilor

In orice triunghi ABC are loc relaia:

(1)

R=raza cercului circumscris

2. Teorema cosinusuluiIn orice triunghi ABC au loc relaiile:

Din aceste formule deducem uor

; ;

Formulele de calcul a ariei unui triunghi:(1) (aria= baza ori nlimea mprit la 2)(2)

(3) Formula lui Heron: n orice triunghi ABC aria S are formula (semiperimetrul)n orice triunghi ABC, raza r a cercului nscris se exprim prin : iar raza cercului circumscris R se exprim prin formula:

Demonstraiile se gsesc n manualul de clasa a IX-a Matematic informatic

Teste recapitulative

Testul 1

a) Se d progresia aritmetic de raie r, n care cunoatem Calculai .b) Se d progresia geometric de raie q, n care cunoatem , q=4. Calculai .c) S se determine parametrul real m nct ntre rdcinile ecuaiei s existe relaia:

d) S se verifice identitatea:

e) Se d triunghiul ABC n care AC=5, AB=3, S se determine BC, aria , raza cercului nscris i raza cercului circumscris triunghiului ABC

Testul 2

a) S se demonstreze c ntr-un triunghi dreptunghic ABCavem egalitile: 1) 2)

3)

b) S se demonstreze identitatea: ,c) S se rezove sistemul de inecuaii:

d) S se rezolve ecuaia: 5+13+21+...+x=588;

e) S se determine funcia cnd se cunoate a=1 i vrful parabolei V(3, 1)Testul 3

a) S se rezolve sistemele: a) ; b)

b) Rezolvai inecuaia:

c) n triunghiul ABC se dau b=3, c=5 i s se afle a; aria , raza cercului nscris r, i raza cercului circumscris R

d) Fie , iar M, N, P mijloacele laturilor . S se arate c

e) S se arate c

Testul 4

a) S se arate c: ;

b) S se arate c dac numerele a, b, c sunt n progresie aritmetic atunci numerele sunt de asemenea n progresie aritmetic.c) Fr a rezolva ecuaia : s se calculeze (x1 i x2 fiind rdcinile ecuaiei)

d) S se arate c n triunghiul dreptunghic ABC are loc egaslitatea :

e) S se arate c , dac a=41, b=28, c=15, atunci triunghiul ABC este obtuzunghic.TEST 1

1. Rezolvai ecuaiile:

a)

b)

2.Calculai media geometic a numerelor:

i

3.Fie progresia aritmetica (an) cu ratia r, definita prin anumite elemente date. . Sa se calculeza r si

TEST 2

1. Fie un triunghi ABC i , , mijloacele laturilor BC, CA, AB i punctul G centrul de greutate al triunghiului ABC .

a) Realizati un desen corespunzator .

b) Completai: ; .

c) Artai c : si

.

d) Artai c : si .

2. Sa se rezolve ecuatia:

3+ 5+ 7+ ..+ x= 120

3. Fie progresia aritmetica (an) cu ratia r, definita prin anumite elemente date.

. Sa se calculeze S

TEST 3

1. Se d funcia , (3p)

a) Determinai astfel nct punctul

b) Fie A, B punctele de intersecie ale graficului funciei f cu axele Ox, Oy. Determinai astfel nct triunghiul OAB s fie isoscel.

c) Pentru determinai punctele de pe grafic care au abscisa egal cu jumtate din ordonat.

2. S se calculeze sin 75cos 15TEST 4

1.Se considera multimile: A= { x/ xsi B= { x/ x

a). Scrieti A si B ca intervale.

b). Calculati: A.

2.a)Pentru progresia aritmetica (a) , a= 5 3n, calculati primii 3 termeni.

b)Pentru progresia aritmetica (a), cu a=3 si r =5, scrieti primii 3 termeni.

c)Gasiti primii trei termini ai progresiei aritmetice cu termenii:

a, a, a, 2, 6,10,.

d) Gasiti si S daca a= 55 si a= 5.

TEST 5

1. Se d ecuaia:

a) Pentru , s se scrie relaiile lui Vite i s se calculeze valoarea expresiei:

b) S se determine m, n tiind c soluiile ecuaiei sunt:

c) Determinai m, n tiind c i

2.tiind c a() i sina = , s se calculeze cosa i tga;

3.S se rezolve inecuaia 2x2 3x +1