lucrarea 1 semnale periodice

SCS laborator. Lucrarea nr. 1. – Semnale periodice

Pag: 1 / 12

LUCRAREA DE LABORATOR NR. 1. SEMNALE PERIODICE

1. Obiectul lucrării

Analiza spectrală a semnalelor periodice.

2. Aspecte teoretice

Un semnal periodic x(t), de perioadă T, poate fi dezvoltat în serie Fourier dacă

satisface condiţiile lui Dirichlet. Formulele seriilor Fourier şi relaţiile de calcul ale coeficienţilor sunt prezentate

în tabelul 1. Tabelul 1.

Forma seriei Reprezentare analitică Relaţii pentru coeficienţi Exponenţială (complexă) ∑

∞

−∞=

=k

tjkkceAtx 0)( ω ∫

+−=

Tt

t

tjkkc dtetx

TA

0

0

0)(1 ω

Trigonometrică ∑∞

=

++=1

00 cos)(n

k tkcctx ω

∑∞

=

+1

0sinn

k tks ω

∫+

=Tt

t

dttxT

c0

0

)(10

∫+

=Tt

tk tdtktx

Tc

0

0

0cos)(2 ω

∫+

=Tt

tk tdtktx

Ts

0

0

0sin)(2 ω

Armonică )cos()(1

00 nk

k tkAAtx ϕω∑∞

=

++= 00 cA = 22

kkk scA +=

k

kk c

sarctg−=ϕ

Tπω 2

0= reprezintă frecvenţa unghiulară (pulsaţia) fundamentală, iar f0=1/T este

frecvenţa fundamentală; se mai numeşte şi frecvenţa de repetiţie a semnalului periodic.

Alegerea limitelor de integrare în evaluarea coeficienţilor seriilor Fourier este arbitrară; esenţial este ca integrarea să se facă pe o perioadă (de la –T/2 la T/2, de la zero la T etc.)

Seria Fourier complexă dă o descompunere a semnalului periodic într-o sumă de componente elementare de tip exponenţial tjne 0ω nerealizabile fizic. Utilizarea ei este foarte comodă în problemele de determinare a răspunsului circuitelor la semnale periodice.

Din punct de vedere practic (experimental) interesează seria Fourier armonică. Aceasta descompune semnalul într-o sumă de componente cosinusoidale ale căror


Pag: 2 / 12

frecvenţe sunt multipli ai frecvenţei de repetiţie a semnalului periodic. Aceste componente se mai numesc armonici. Armonica întâi (k=1) se numeşte fundamentală, iar A0 reprezintă componenta continuă a semnalului periodic.

Caracterizarea în domeniul frecvenţă a semnalelor periodice se face prin reprezentarea spectrelor de amplitudini şi faze. În acest scop, fiecărei componente din dezvoltare i se alocă câte un segment de dreaptă (linie spectrală) în cele două spectre, localizat la frecvenţa componentei şi având mărimea segmentului proporţională cu amplitudinea, respectiv faza componentei

Deoarece semnalele periodice sunt reprezentate prin sume discrete de semnale elementare, rezultă că spectrele de amplitudini şi faze vor fi discrete, ca în fig. 1.

Fig. 1.

Teoretic, spectrele semnalelor periodice se întind de la f=0 la f=∞. Practic,

spectrele sunt limitate. Reprezentarea spectrelor de amplitudini (Fig. 1.(a)) pune în evidenţă legea de descreştere a amplitudinilor, permiţându-ne să limităm seria la un termen, de la care începând, amplitudinea componentelor este neglijabilă. Trunchierea seriei la un anumit termen depinde de cerinţele impuse tipului de comunicaţie care utilizează semnalul respectiv. Prin urmare, analiza spectrală a unui semnal ne permite să stabilim lăţimea benzii de frecvenţe efectiv ocupată de acel semnal.

În lucrare se vor măsura spectrele de amplitudini ale semnalelor periodice sinusoidal, dreptunghiular cu diverşi factori de umplere şi triunghiular cu simetrie de rotaţie .

A. Semnalul armonic Expresia analitică a unui semnal armonic este:

( ) ( )ϕω +⋅= tAtx 0cos iar reprezentarea grafică a spectrului de amplitudini este prezentată în figura 2, unde

πω2

1 00 ==

Tf .


Pag: 3 / 12

Fig. 2. Semnalul real obţinut de la generatorul de funcţii utilizat în lucrare nu este perfect sinusoidal, ceea ce implică prezenţa unor componente spectrale diferite de zero pentru frecvenţe multiplii de frecvenţa fundamentală.

B. Semnalul triunghiular Analiza spectrală teoretică şi experimentală a semnalului periodic triunghiular

cu simetrie de rotaţie, având frecvenţa de repetiţie f0=200 kHz (Fig. 3a). Seria Fourier a lui x(t) este:

tnnEtkkcEtx

nk0

022

10

2 )12cos()12(

8cos2

sin2)( ωπ

ωπ+

+== ∑∑

∞

=

∞

=

(1)

Reprezentarea grafică a spectrului de amplitudini asociată semnalului din figura 3 a) este dată în figura 3b), iar spectrul de amplitudini normat la amplitudinea fundamentalei se găseşte în figura 3c). Puterea semnalului triunghiular cu simetrie de rotaţie se poate calcula pe baza datelor experimentale conform relaţiei:

∑=

=Mk

k

ke

AP

1

2

2 (2)

Se compară puterea obţinută, pentru semnalul triunghiular, folosind datele experimentale şi puterea pe fundamentală P1, cu cea care foloseşte reprezentarea în domeniul timp a semnalului, conform relaţiei:

2

)(

22

3)(1

efT

XEdttxT

P === ∫ (3)

unde efX este valoarea efectivă a semnalului analizat.


Pag: 4 / 12

x(t) E T−

43T

− 2T

− 4T

− 0 4T

2T

43T

T t

-E

a)

b)

c)

Figura 3.


Pag: 5 / 12

C. Semnalul dreptunghiular (fig. 4) Semnalul fiind par, amplitudinile sk din seria trigonometrică sunt nule şi deci

Ak=|ck|.

Fig. 4. Din punct de vedere al spectrului de amplitudini nu reprezintă importanţă

paritatea semnalului, ştiut fiind faptul că o deplasare pe axa timpului atrage după sine doar modificarea fazelor ϕk nu şi a amplitudinilor Ak.

Utilizând relaţiile din tabelul 1 se găseşte:

∫∫−−

===2/

2/

2/

2/0 )sin(2cos2 τ

τ

τ

τ

τππ

ωT

kEk

EtdtkET

cA kk (4)

pentru: k∈[1, ∞) şi A0 = c0 = E·τ/T Expresia lui Ak dată de relaţia (2) mai poate fi scrisă şi sub forma:

)(sin2)sin(

2T

kcT

E

Tk

Tk

TEAk

ππτττ

τπτ== , (5)

care pune în evidenţă faptul că amplitudinile armonicilor semnalului descresc după o

înfăşurătoare de forma x

xcx sinsin = . De asemenea, se remarcă proporţionalitatea

lor cu amplitudinea E a semnalului periodic dreptunghiular, precum şi raportul τ/T denumit factor de umplere.

Armonicile pentru care este îndeplinită condiţia ττπ pT

k = , (adică τTpk = ), p

fiind un număr întreg au amplitudinile nule. De pildă, pentru τ/T = 1/2 şi τ/T = 1/10 vor fi nule armonicile pare (k = 2p), respectiv armonicile de ordin k = 10p.

În Fig. 5. sunt reprezentate spectrele de amplitudini ale semnalului x(t) din fig. 4, menţinând perioada T constantă, iar lăţimea τ a impulsului fiind T/2, respectiv T/10.


Pag: 6 / 12

Fig. 5.

Spectrele de amplitudini normate se obţin prin raportarea (normarea) amplitudinilor Ak la valoarea amplitudinii fundamentale A1.

T

Tk

kAAk

τπ

τπ

sin

sin1

1

⋅= (6)

Acest raport pune în evidenţă descreşterea amplitudinilor armonicelor comparativ cu fundamentala.

Astfel pentru τ/T = ½ relaţia (3) devine

2sin

2sin

1

1 π

πk

kAAk ⋅= =

⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−

parkpentru

imparkpentruk

,;;0

;;;1 (7)

reprezentarea grafică a spectrului de amplitudini normat, în acest caz, este dată în figura 6.

Fig. 6.


Pag: 7 / 12

3. Desfăşurarea lucrării

Fig. 7. A) Se realizează montajul din figura 7. La efectuarea măsurătorilor citirea lor şi interpretarea valorilor măsurate, se va

ţine cont că: Vrms este valoarea efectiva a tensiunii exprimata în volţi (rms=root mean

square). În cazul aparatelor folosite în lucrare, dBm este unitatea de măsură pentru

tensiunea exprimată în decibeli având ca tensiune de referinţă, tensiunea corespunzătoare unei puteri de 1mW pe o rezistenţă de 50 Ω. Astfel pentru P = 1 mW şi R = 50 Ω se obţine valoarea efectivă a tensiunii de referinţă:

VPRUU refr 2236,05010

23

, =⋅=== − .

Această tensiune este utilizabilă când între generator şi analizorul de spectru este o adaptare perfectă. Altfel pentru măsurătorile în domeniul frecvenţă folosind analizorul, tensiunea de referinţă se determină, aplicând de la generatorul de funcţii un semnal sinusoidal pe frecvenţa de 200 kHz, a cărui amplitudine este reglată astfel încât amplitudinea componentei spectrale a fundamentalei pe analizorul de spectru să fie 0 dBm. După aceea semnalul sinusoidal, de la generatorul de funcţii, se vizualizează cu osciloscopul. Valoarea de vârf a tensiunii de referinţă măsurate Ur,m va fi amplitudinea de vârf E0 a semnalului sinusoidal împărţită la 2. Aceasta se întâmplă deoarece generatorul de funcţii şi analizorul de spectru folosite au o impedanţă de intrare de 50 Ω , mult mai mică decât impedanţa de intrare de 1 MΩ a osciloscopului. Ca urmare tensiunea de referinţă efectivă măsurată va fi:

222.0

,,mr

efmrUE

U == (8)

Considerând o tensiune U, nivelul ei în dB este: [ ]dB

UUn

r

lg20=


Pag: 8 / 12

unde Ur este o tensiune de referinţă. B) Analiza spectrală teoretică şi experimentală a semnalului periodic dreptunghiular cu factor de umplere τ/T = 1/2

Se reglează 0f =200 kHz, τ/T=1/2 şi amplitudinea E a semnalului dreptunghiular astfel încât nivelul fundamentalei măsurat cu analizorul de spectru să fie 0 dB. Pentru a nu avea erori de reglaj se setează nivelul de referinţă la 10 dBm – butonul REF LVL. Pentru măsurarea armonicilor se modifică frecvenţa centrală a analizorului (butonul „ CENTER” şi se citeşte valoarea indicată în dBm de unul dintre cei doi markeri. Rezultatele teoretice şi experimentale se trec în tabelul 2.

Tabelul 2

k 1 2 3 4 5 6………….19 20

fk(MHz) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2………..3,8 4

teoretic

k

AA

1

)(1

dBAA

teoretic

k

)(exp1

dBAA

mentaleri

k

−

erimental

k

AA

exp1

În tabelul 2 avem:

k – ordinul armonicii,

teoretic

k

AA

1

- rezultă din relaţia (7)

dbnkkr

kk

teoretic

k nnnUA

AA

dBAA

0111

1lg20lg20)(

==−===

se măsoară experimental

)(exp1

dBAA

mentaleri

k

− - se calculează din nivelele armonicilor citite experimental

dBn

nnn

erimental

kkk

AA

0

2020

exp11

1

1010=

−

==

C) Se realizează analiza spectrală teoretică şi experimentală a aceluiaşi semnal

periodic dreptunghiular cu 0f =200 kHz, dar cu τ/T = 1/4 completându-se tabele similare cu tabelul 2 (atenţie la reglajul corect al lui E).


Pag: 9 / 12

D) Se trasează spectrele de amplitudini teoretice şi experimentale teoretic

k

AA

1

şi

erimental

k

AA

exp1

în funcţie de frecvenţă. Pentru un acelaşi coeficient de umplere spectrele

se trasează pe acelaşi grafic; valoarea teoretică printr-un segment, pe care cu altă culoare se adaugă punctul corespunzător valorii experimentale.

E) Se determină benzile de frecvenţă ocupate de către semnalele periodice

dreptunghiulare. Se consideră că intră în banda de frecvenţă toate componentele spectrale care au amplitudini mai mari de 1% din amplitudinea fundamentalei, adică 0,01 A1.

F) Se determină puterile disipate de către semnalele periodice dreptunghiulare

pe o rezistenţă de 1Ω , pe baza spectrelor de amplitudini măsurate (din tabelul 2). Se foloseşte relaţia:

∑=

+=Mk

k

ke

AAP

1

220 2

unde e

kefmr

kkef A

AU

AA

1,,2⋅== (vezi relaţia (8)).

Se compară puterea obţinută folosind date experimentale şi puterea pe fundamentală P1, cu cea care foloseşte reprezentarea în domeniul timp a semnalului, conform relaţiei:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=== ∫

0Apentru ,

Apentru ,)(1

02

222

0

2

)(

2

TE

TE

TE

TE

dttxT

PT

ττ

ττ

.

Se determină rapoartele si 1

PP

PPe . Amplitudinea E se măsoară cu osciloscopul şi

este dată de relaţia:

2

oEE =

unde oE este amplitudinea de vârf a semnalului dreptunghiular măsurată cu osciloscopul. Aceasta se întâmplă deoarece generatorul de funcţii şi analizorul de spectru folosite au o impedanţă de intrare de 50 Ω , mult mai mică decât impedanţa de intrare de 1 MΩ a osciloscopului, cu care măsor amplitudinea de vârf a semnalului dreptunghiular.

G) Se reglează 0f =200 kHz şi amplitudinea E a semnalului triunghiular astfel încât nivelul fundamentalei să fie 0 dB. Pentru semnalul triunghiular se măsoară toate componentele spectrale care au amplitudini mai mari decât 0,01A1 şi se determină banda de frecvenţă ocupată în aceste condiţii de către semnalul triunghiular. Rezultatele teoretice şi experimentale se trec într-un tabel similar cu tabelul 2.


Pag: 10 / 12

Pentru semnalul triunghiular se reprezintă grafic spectrele de amplitudini teoretice şi

experimentale e

k

t

k

AA

AA

11

si în funcţie de frecvenţă pe aceleaşi axe de coordonate.

H) Se găseşte puterea semnalului triunghiular calculată pe baza

componentelor măsurate:

∑=

=Mk

k

ke

AP1

2

2

unde e

kefmr

kkef A

AU

AA

1,,2⋅== (vezi relaţia (8)).

Se compară Pe cu puterea P calculată folosind relaţia (3). Se determină rapoartele

PP1e si

PP , unde P1 este puterea componentei pe frecvenţa fundamentală.

I) Se aplică la intrarea analizorului de spectru un semnal sinusoidal, produs de

generatorul de funcţii, având frecvenţa f0=200 kHz şi nivelul fundamentalei n1=0 dB. Se măsoară nivelele nk, 2≤k≤10 şi se calculează factorul de distorsiuni

∑−

=++

=k

nnk

AAA

10

1

23

22

1

10......

δ

Se repetă măsurătorile pentru un semnal sinusoidal, produs de generatorul de funcţii, având frecvenţa f0=200 kHz şi nivelul fundamentalei n1=15 dB. J) Se repetă punctele G) şi H) pentru un semnal triunghiular cu 0f =10 kHz, de data aceasta pentru măsurătorile în domeniul frecvenţă folosindu-se osciloscopul TDS 1001.

Pentru măsurătorile în domeniul frecvenţă folosind osciloscopul, tensiunea de referinţă se determină, aplicând de la generatorul de funcţii un semnal sinusoidal pe frecvenţa de 10 kHz, a cărui amplitudine este reglată astfel încât amplitudinea componentei spectrale a fundamentalei, vizualizată pe osciloscop, folosit ca analizor de spectru, la frecvenţa de 10 kHz, să fie 0 dBm. Valoarea de vârf a tensiunii de referinţă Ur va fi amplitudinea de vârf a semnalului sinusoidal astfel obţinut.

Instrucţiuni pentru folosirea aparatelor: a) Generatorul de functii GFG 3015

1) Fixarea frecvenţei (200 kHz) - se apasă FREQ - se introduce valoarea 200, apoi se apasă tasta de confirmare corespunzatoare (“kHz/Vrms”). 2) Selectarea tipului de functie generata


Pag: 11 / 12

- se apasă repetat tasta FUNC pana la aprinderea (pe ecran) a simbolului corespunzator functiei dorite, care va fi generata automat (semnal triunghiular /sinusoidal /dreptunghiular). 3) Fixarea amplitudinii E, astfel încât A1=0 dB - se apasa AMPL - se introduce valoarea dorită, apoi se apasă tasta de confirmare corespunzătoare (“Hz/Vpp”). Tastele , pot fi folosite pentru a schimba digitul valorii de intrare. Se poate folosi butonul rotativ pentru creşterea sau descreşterea acelui digit, astfel încât să obţinem A1=0 dB, pe analizorul de spectru. 4) reglarea factorului de umplere - se apasă butonul “DUTY”, se introduce valoarea dorită şi se apasă butonul “DEG/%” b) Analizorul de spectru GSP810 1) Fixarea frecvenţei centrale (de lucru) - se tastează CENTER - se introduce valoarea frecvenţei centrale în MHz (0,200 MHz) - se validează cu ENTER 2) Se fixează valoarea frecvenţă pe diviziune (SPAN) - se tastează SPAN - se foloseşte reglajul “spinner” pentru a se selecta valoarea de 5 kHz/div 3) Fixarea rezoluţiei benzii de frecvenţă (RBW) - se tastează RBW - folosindu-se reglajul “spinner” se introduce valoarea 3 KHz 4) Afişarea MARKERILOR - se apasă tasta MKR pentru a afişa MARKERII pe ecran - se selectează primul MARKER automat - se selectează cu sageţile de langă “SPINNER” cifra ce urmează a fi modificată

din numărul care indică frecvenţa MARKERULUI - cifra selectată se modifică cu ajutorul reglajului “SPINNER” - trecerea de la un MARKER la altul se face cu tasta ENTER

În dreptul markerului este afişată atenuarea (în dBm) corespunzătoare frecvenţei pe care este fixat markerul respectiv.

c) Osciloscopul digital TDS 1001. Pentru vizualizarea semnalului x(t) pe canalul 1 se procedează astfel: - se conectează semnalul la mufa BNC corespunzătoare canalului 1 (CH 1) - se apasă tasta CH1, semnalul fiind conectat la acest canal - din butonul de reglaj VOLTS/DIV (amplitudine) se potriveşte imaginea semnalului vizualizat astfel ca aceasta să ocupe cât mai mult posibil din ecranul osciloscopului. Cu cât imaginea este mai mare pe ecran, cu atât citirea se poate face mai precis.


Pag: 12 / 12

- poziţionarea (deplasarea) semnalului pe verticală se poate face cu ajutorul butonului „POSITION ” - din butonul de reglaj SEC/DIV (perioada bazei de timp) se modifică numărul de perioade ale semnalului x(t) vizualizate pe ecran. Pentru o vizualizare corectă se încadrează 1÷2 perioade din semnal. - poziţionarea (deplasarea) semnalului pe orizontală se poate face cu ajutorul butonului „POSITION ” - pentru a măsura şi/sau compara amplitudini se pot utiliza 2 cursoare care se activează din butonul „CURSOR” - pentru axa ordonatelor se activează butoanele „Type Voltage” şi „Source CH1” situate în dreapta ecranului pe primele două poziţii. Deplasarea cursoarelor se face din butoanele „POSITION ” . - pentru axa timp se activează „Type Time” şi „Source CH1” situate în dreapta ecranului pe primele două poziţii. Deplasarea cursoarelor se face din butoanele „POSITION ” . - valorile asociate celor două cursoare se citesc în dreapta ecranului. - pentru vizualizarea semnalului x(t) în domeniul frecvenţă se activează butonul „MATH MENU”. Din butonul „SEC/DIV” se face poziţionarea pe axa frecvenţelor. Pentru activarea cursoarelor se apasă butonul „CURSOR”. Pentru axa amplitudinilor se activează primele două butoane din dreapta ecranului „Type Magnitude”şi „Source MATH”. Pentru axa frecvenţelor se activează primele două butoane din dreapta ecranului „Type Frequency” şi „Source MATH”. Deplasarea cursoarelor se face din butoanele „POSITION ” , iar valorile asociate lor se citesc în dreapta ecranului.

4. Întrebări

a) Care este componenta continuă a semnalelor analizate la punctul B şi C ? b) De ce nu se poate obţine o extincţie (suprimare) perfectă a armonicilor pare

pentru τ/T = 1/2 ? c) Două semnale periodice dreptunghiulare au aceeaşi perioadă T şi

coeficienţii de umplere complementari: τ1/T + τ2/T = 1. Care este relaţia dintre amplitudinile Ak ale celor două semnale

5. Aplicaţii

a) Se reglează parametrii unui semnal periodic dreptunghiular astfel încât T = 50 μs, τ/T = 1/3, A = Ur. Să se calculeze amplitudinile Ak, k = 0.

b) La măsurarea unui semnal sinusoidal s-au găsit următoarele nivele ale armonicilor: n1 = -3dB, n2 = -43dB, n3 = -49dB, n4 = -63dB. Să se calculeze amplitudinea fundamentalei (în mV)m şi factorul de distorsiuni.

c) La analiza spectrală a unui semnal periodic dreptunghiular s-a constatat că armonica a II-a are cu 25dB mai puţin decât fundamentala. Ce coeficient de umplere are semnalul analizat? Care va fi diferenţa în dB între nivelul fundamentalei şi nivelul armonicii a III-a pentru acest semnal?

d) Semnalul de la punctul a) este aplicat la intrarea unui FTJ ideal cu frecvenţa de tăiere ft = 45kHz. Să se reprezinte grafic semnalul obţinut la ieşire.

lucrarea 1 semnale periodice

Documents