lucrarea 1 semnale aleatoare

Lucrarea 1

Semnale aleatoare

Dupa cum ınsusi numele lor spune, semnalele aleatoare sunt o combinatie ıntre vari-abile aleatore (ceea ce implica o componenta nerepetitiva) si semnalele pure (caresunt, de obicei, asociate cu o functie de timp).

In aceasta lucrare vom modela matemtic semnalul aleator si vom prezenta mod-urile de descriere a proprietatilor lor. Acestea sunt prezentate direct ın domeniulde baza. Pentru analiza lor spectrala se va face apel la teorema Wiener-Hincin. Infinal se va discuta filtrarea semnalelor aleatoare.

1.1 Caracterizarea semnalelor aleatoare

Un semnal aleator asociaza fiecarei realizari particulare a unui experiment un semnalın timp. Asadar semnalul aleator este o functie de doi parametri: ξ(t, ω). Variabilat indica desfasurarea ın timp, iar variabila ω fixeaza realizarea particulara. Sim-plificand se poate spune ca:

• Pentru o realizare particulara fixata (fixam ω = ωk) semnalul aleator este ofunctie numai de timp : ξ(t, ω) → ξ(t)ω=ωk

. Acesta este un semnal ın timp.Fiecare realizare particulara a unui semnal aleator este un semnal - o functiede timp.

• Pentru un moment de timp fixat t = tk, semnalul aleator este o functie derealizarea particulara: ξ(t, ω) → ξ(ω)t=tk . Aceasta este o variabila aleatoare.La fiecare moment de timp, semnalul aleator este o variabila aleatoare.

Pe scurt, semnalul aleator este un semnal care la orice moment de timp va lua ovaloare imprevizibila. De obicei, se considera ca partea aleatoare (legata de variabilaω) este implicita, iar semnalul se va nota pe scurt cu ξ(t).

In reprezentarea originala1, semnalul aleator poate fi caracterizat din punct devedere statistic sau se poate analiza din punct de vedere al desfasurarii temporale,caz ın care vorbim de o caracterizare temporala a lui.

Caracterizarea statistica a semnalului aleator se poate referi la:

• O variabila aleatoare. Aceasta se obtine daca se fixeaza un moment de timpt = t0. Parametri sunt cei ai unei variabile aleatoare (discutati ın lucrarea 2)cu precizarea ca pot fi diferiti pentru fiecare moment de timp. Mai precis, sedefinesc:

1Vom discuta si despre caracterizarea semnalului ın domeniul spectral

1

LUCRAREA 1. SEMNALE ALEATOARE

– Functia de repartitie de ordinul 1:

Fξ(x, t0) = P (ξ(t0) ≤ x), ∀t0 (1.1)

Functia de repartitie a unui semnal aleator este o functie de doua vari-abile: x si t0. Indiferent de momentul de timp ales, functia de repartitiede o singura variabila va respecta proprietatile unei functii de repartitiea unei variabile aleatoare.

– Densitatea de probabilitate de ordinul 1:

wξ(x, t0) =∂Fξ(x, t0)

∂x, ∀t0 (1.2)

Si aceasta este o functie de doua variabile. In mod similar, la orice mo-ment de timp functia de o variabila obtinuta va respecta proprietatileunei densitati de probabilitate.

– Momentele, atat centrate cat si necentrate, sunt functii de timp. Ne vomrezuma ın a defini momentele des folosite:

∗ Media:

ξ(t0) =

∞∫

−∞

xwξ(x, t0)dx, ∀t0 (1.3)

∗ Media patratica:

ξ2(t0) =

∞∫

−∞

x2wξ(x, t0)dx, ∀t0 (1.4)

∗ Varianta:

σ2ξ (t0) =

∞∫

−∞

(x− ξ(t0)

)2

wξ(x, t0)dx, ∀t0 (1.5)

• Un vector de doua variabile aleatoare (o pereche). Acestea se obtin prin fixarea

a doua momente de timp t = t1 si respectiv t = t2. In acest sens se poate vorbidespre:

– Functia de repartitie de ordinul 2:

Fξ(x1, x2, t1, t2) = P ((ξ(t1) ≤ x1), (ξ(t2) ≤ x2)), ∀t1, t2 (1.6)

– Densitate de probabilitate de ordinul 2:

wξ(x1, x2, t1, t2) =∂Fξ(x1, x2, t1, t2)

∂x1∂x2

,∀t1, t2 (1.7)

– Momente statistice de ordinul 2. In cazul semnalelor aleatoare momentelestatistice sunt functii de doua momente de timp. Cel mai des folosit astfelde moment este momentul necentrat de ordinul (1, 1) - corelatia. Fiindca

2

1.1. Caracterizarea semnalelor aleatoare

cele doua variabile aleatoare provin din cadrul aceluiasi semnal discutamdespre functia de autocorelatie:

Rξ(t1, t2) =

∞∫

−∞

∞∫

−∞

x1x2wξ(x1, x2, t1, t2)dx1dx2 = ξ(t1)ξ(t2),∀t1, t2 (1.8)

Caracterizarea temporala a semnalului aleator descrie parametri tipici ai unui semnalın timp. Se fixeaza realizarea particulara (ω = ωk → ξ(t) = ξk(t)) si se descriesemnalul astfel obtinut prin:

• Functia de repartitie temporala si densitatea de probabilitate temporala. Aces-tea au formule complicate (vezi[1]) si sunt putin folosite.

• Media temporala este un parametru al unei realizari particulare si este definitaca fiind:

ξk(t) = limT→+∞

1

T

∫ T2

−T2

ξk(t)dt (1.9)

• Functia de autocorelatie temporala:

Rkξ (τ) = lim

T→+∞1

T

∫ T2

−T2

ξk(t)ξk(t− τ)dt (1.10)

Din toate categoriile de semnale aleatoare, de interes sunt cele care ısi pastreazaanumite proprietati ın raport cu modificarea unei variabile. Din acest punct devedere, de interes sunt semnalele stationare si cele ergodice.

1.1.1 Stationaritate

Proprietatea de stationaritate se refera, de obicei, la independeta de alegerea originiitimpului sau, cu alte cuvinte la o invarianta la translatie ın timp. Daca ne rezumamla semnalele aleatoare, stationaritatea presupune o pastrare a parametrilor statisticiın raport cu variatia timpului. In functie de cate momente de timp sunt luate ındiscutie (cate variabile aleatoare sunt caracterizate) se poate vorbi de stationaritatede ordinul 1, 2 sau n.

Un semnal este stationar de ordinul n daca densitatea de probabilitate de ordinuln (sau echivalent, functia de repartie) este aceeasi indiferent de alegerea originiitimpului. Matematic, se poate scrie:

wξ(x1, . . . , xn, t1, . . . , tn) = wξ(x1, . . . , xn, t1 + τ, . . . , tn + τ), ∀τ (1.11)

Relatia de mai sus presupune ca odata fixate cele n momente de timp distantadintre ele se va pastra constanta; modificarea originii timpului presupune mutareaıntregului bloc de momente de timp. Asadar un semnal este stationar de ordinul 1daca oricare ar fi momentul de timp fixat regasim aceeasi variabila aleatoare. Unsemnal este stationar de ordinul 2 daca fixand oricare doua momente de timp ladistanta τ regasim mereu aceeasi pereche de variabile aleatoare.

De obicei, despre semnale aleatoare stationare se vorbeste ” ın sens strict” si ”ınsens larg”.

Un semnal aleator este stationar ın sens strict (SSS) daca relatia 1.11 este valabila

3


pentru orice valoare a lui n ∈ N (adica stationaritatea se pastreaza indiferent denumarul de momente de timp considerate). De cele mai multe ori, o asemeneaconditie este prea greu de verificat, asa ca ın practica, se folosesc semnalele stationareın sens larg.

Un semnal este stationar ın sens larg (SSL) daca relatia 1.11 este valabila celputin pentru n = 1 si n = 2. Adica:

ξ(t)− SSL ⇔{

wξ(x, t) = wξ(x, t + τ) = wξ(x, 0) = wξ(x)wξ(x1, x2, t1, t2) = wξ(x1, x2, t1 + τ, t2 + τ) = wξ(x1, x2, t1 − t2)

Stationaritatea ın sens larg presupune ca modelul statistic al semnalului la unmoment de timp sa fie acelasi indiferent de momentul de timp ales, iar cel al perechiide momente de timp sa depinda numai de ecartul ıntre cele doua momente consider-ate. Si aceste conditii sunt considerate, de multe ori, ca fiind prea complicat de ver-ificat ın practica. Se obisnuieste sa se considere un semnal aleator ca fiind stationarın sens larg daca media sa nu depinde de timp si functia sa de autocorelatie depindenumai de diferenta ıntre momentele de timp alese:

ξ(t)− SSL ⇔{

ξ(t) = ξ(t + τ) = ξRξ(t1, t2) = Rξ(t1 − t2) = Rξ(τ), τ = t1 − t2

(1.12)

1.1.2 Ergodicitatea

Daca stationaritatea se refera la variatia parametrilor statistici ın raport cu timpul,ergodicitatea se refera la variatia ın raport cu realizarea particulara.

Prima conditie ca un semnal aleator sa fie ergodic este ca el sa fie stationar.In acest caz, un semnal este ergodic daca marimile temporale sunt egale cu celestatistice echivalente oricare ar fi realizarea particulara considerata. Se poate vorbiın sens mai restrans si anume de ergodicitatea unui singur parametru. De exemplu,un semnal este ergodic ın sensul mediei daca media temporala a oricarei realizariparticulare este egala cu media statistica.

Proprietatea de ergodicitate este de mare importanta ın practica. Daca un sem-nal este ergodic atunci o singura realizare particulara este suficienta pentru a de-termina proprietatile lui statistice. Daca un semnal nu este ergodic atunci suntnecesare foarte multe realizari particulare. Studiul lor presupune, de multe ori cos-turi ridicate.

In practica, daca sunt diponibile putine realizari particulare, semnalul este pre-supus a fi ergodic si acele cateva realizari sunt considerate suficiente pentru a car-acteriza semnalul aleator.

1.2 Teorema Wiener-Hincin

Dupa cum am mai amintit, o abordare des utilizata ın analiza semnalelor este ceaspectrala. Din nefericire un semnal aleator stationar este de energie infinita 2 si, deci,nu are transformata Fourier. Un rezultat important pe aceasta directie este dat deteorema Wiener-Hincin. Dar ınainte de a discuta aceasta teorema sa prezentam pro-prietatile a doua functii importante: functia de autocorelatie si densitatea spectralade putere a unui semnal aleator stationar in sens larg.

2Limitarea energiei unui semnal presupune, de cele mai multe ori, ca el tinde asimptotic catre0 odata cu |t| → ∞. Asemenea ipoteza nu este permisa de stationaritate: ar ınsemna, de exemplu,ca exista dispersii diferite ın jurul originii respectiv catre infint.

4

1.2. Teorema Wiener-Hincin

1.2.1 Functia de autocorelatie

Functia de autocorelatie a unui semnal stationar ın sens larg, ξ(t) este definita cafiind:

Rξ(τ) = ξ(t)ξ(t + τ),∀t ∈ R (1.13)

Proprietatile functiei de autocorelatie a unui semnal aleator stationar ın sens largsunt:

• Este maxima ın origine:Rξ(0) ≥ |Rξ(τ)|,∀τ (1.14)

• Este para:Rξ(τ) = Rξ(−τ),∀τ ≥ 0 (1.15)

• Valoarea ın zero este media patratica a semnalului:

Rξ(0) = ξ(t)ξ(t) = ξ2 (1.16)

• Daca semnalul nu este periodic atunci valoarea la +∞ este patratul medieisemnalului:

Rξ(+∞) = ξ(t)ξ(t +∞) = ξ2

(1.17)

• Daca semnalul aleator este periodic de perioada T , atunci si functia sa deautocorelatie este periodica de perioada T :

Daca ξ(t) = ξ(t + T ),∀t ⇒ Rξ(τ) = Rξ(τ + T ), ∀τ (1.18)

1.2.2 Densitatea spectrala de putere

Dupa cum am amintit, un semnal aleator SSL nu are transformata Fourier. Totusise poate da o masura a spectrului semnalului. Pentru a o construi sunt necesariurmatori pasi:

• Se considera o realizare particulara a semnaluilui ξ(t): ξk(t). Aceasta estedefinita pe un suport nelimitat, si are, ın consecinta, energie infinita.

• Se truncheaza realizarea particulara la un interval de lungime T din juruloriginii:

ξTk (t) =

{ξk(t) , pentru− T

2≤ x ≥ T

20 , ın rest

• Aceasta trunchere este de energie finita (fiind de suport finit), deci are trans-formata Fourier:

XTk (ω) = F [

ξTk (t)

]

• Se defineste densitatea spectrala de putere a semnalului ξ(t) ca fiind:

qξ(ω) = limT→ +∞

|XTk (ω)|2T

(1.19)

unde medierea de la numarator este dupa toate realizarile particulare ale sem-nalului aleator.

5


Proprietatile densitatii spectrale de putere sunt:

• Este o functie ce ia numai valori reale si pozitive (este raportul dintre modululunei functii si un numar real, pozitiv);

• Puterea semnalului este:

P =1

2π

∞∫

−∞

qξ(ω)dω

Teorema Wiener-Hincin afirma ca transformata Fourier a functiei de autocorelatiea unui semnal aleator stationar ın sens larg este densitatea spectrala de putere:

F [Rξ(τ)] = qξ(ω) (1.20)

Este necesar de facut o observatie: ipoteza de stationaritate a semnalului este nece-sara ın primul rand pentru a putea scrie functia de autocorelatie ın acesta formacompacta (de o singura variabila).

Folosind rezultatul acestei teoreme, putem calcula o marime spectrala care sacaracterizeze un semnal aleator. Mai mult, se pot determina anumiti parametri airaspunsului unui filtru cand la intrare i se prezinta un semnal aleator de functiede autocorelatie cunoscuta. In fapt aceste rezultate vor fi prezentate pe scurt ınsectiunea urmatoare.

1.3 Trecerea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare

Un sistem este liniar daca respecta principiul superpozitiei: ”cand la intrare seprezinta o suma ponderata de semnale, iesirea va consta ıntr-o suma (cu aceleasiponderi) ale raspunsurilor fiecarui semnal considerat independent”.

Un filtru este caracterizat de functia pondere h(t) ın domeniul timp si de functiade transfer H(w) (transformata Fourier a functiei pondere) ın domeniul frecventa.Daca la intrarea unui asemenea filtru se prezinta semnalul aleator ξ(t), iar la iesireva rezulta semnalul η(t), (vezi figura ?? ), relatia ıntre ele este:

η(t) = ξ(t)⊗ h(t)

sau, echivalent ın frecventa:

F [η(t)] = Y (ω) = X(ω)H(ω), unde F [ξ(t)] = X(ω)

Pentru semnale aleatore se poate determna relatia (vezi [?]):

qη(ω) = |H(ω)|2qξ(ω) (1.21)

6

1.4. Desfasurarea lucrarii

1.4 Desfasurarea lucrarii

1. Semnale conditionat deterministe. In realitate exista putine cazuri de sem-nale perfect aleatoare si ın care numarul realizarilor particulare diferite sa fieinfinit. In orice caz acestea sunt dificil de manipulat ın medii de test cumeste Matlab-ul. Mai interesant este studiul asa-numitelor semnale conditionatdeterministe. Aceste sunt semnale parametrice ın care un paramteru este orealizare particulara a unei variabile aleatoare.Fie semnalul x(t) = A sin(ωt), unde A este realizarea particulara a unei vari-abilea aleatore Gaussiene de medie 0 si dispersie 1. Sa se reprezinte 20 derealizari particulare ale acestui semnal ın intervalul [−5π, 5π]. Sa se calculezemedia si dispersia la toate momentele de timp considerate si sa se reprez-inte grafic. Sa se calculeze functia de autocorelatie. Sa se decida asuprastationaritatii semnalului.

Rezolvare: Un calcul teoretic (vezi [?]) arata ca media semnalului este con-stanta:

x(t) = A sin(ωt) = 0,∀tMedia patratica este:

x2(t) = A2 sin2(ωt) = sin2(ωt),∀tFunctia de autocorelatie este:

Rx(t, t + τ) =x(t), x(t + τ) = A2 sin(ωt) sin(ω(t + τ))

=1

2cos(ωτ)− 1

2cos(ωτ + 2ωt),∀t

Acest rezultat indica nestationaritatea semnalului.Secventa Matlab care implementeaza cerinta acestui exercitiu, poate fi:

close all;clear;N=20;%numarul de realizarit=-5*pi:0.5:5*pi;w=1;%pulsatiafigure;%reprezentam fiecare realizare particulara pe linia unei matricefor i=1:N

x(i,:)=randn(1,1)*sin(w*t);plot(t,x(i,:));hold on;

end%media si dispersia la un moment de timp se calculeaza%pe coloanele matricei de date. De ce?m=mean(x,1); s=std(x,0,1); figure;subplot(1,2,1);plot(t,m);title(´media´);axis([-5*pi,5*pi,-1,1]);subplot(1,2,2);plot(t,s);title(´dispersia´)%functia de autocorelatiek1=0;k2=0; lg=length(t);for k1=1:lg;

for k2=1:lgR(k1,k2)=mean(x(:,k1).*x(:,k2));

7


endendfigure;surf(t,t,R);colormap(gray(256));title(´functia de autocorelatie´);

Rezultatul grafic al acestei secvente poate fi vazut ın figura 1.1. In modnatural, rulari consecutive ale codului vor duce la rezultate diferite; sursadiferentelor constand ın valorile diferite ale realizarilor particulare. Se poateobserva ca, desi teoretic media este 0, practic ea va avea valori nenule. Acestfapt se datoreaza setului de realizari particulare ale densitatie probabilitateGaussiana, care la randul lor nu are media 0. Daca se creste numarul derealizari particulare se va observa o apropiere de axa absciselor.

−20 −10 0 10 20−2

−1

0

1

2semnalul aleator

−10 0 10−1

−0.5

0

0.5

1media

−20 −10 0 10 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1dispersia

−200

20

−20

0

20−1

0

1

functia de autocorelatie

Figura 1.1: Semnalul conditionat determinist x(t) = A sin(ω0t), media, dispersia sifunctia sa de autocorelatie

2. Aceeasi cerinta ca si ın cazul problemei precedente, dar pentru semnalul x(t) =x(t) = A sin(ω0t + P ), unde A si ω0 sunt constante, iar P este o realizare par-ticulara a unei variabile aleatoare uniforme ın [−π, π].

Rezolvare: Teoretic, media semnalului este:

x(t) =

∫ π

−π

1

2πA sin(ω0t + z)dz = 0,∀t

media patratica este:

x2(t) =

∫ π

−π

A2

2πsin2(ω0t + z) =

A2

4π+

A2

2πcos(2ω0t + 2z)

∣∣∣∣+π

−π

=A2

4π,∀t

iar functia de autocorelatie este:

Rx(t1, t2) =x(t1)x(t2) =

∫ π

−π

A2

2πsin(ω0t1 + z) sin(ω0t2 + z)dz =

=A2

2πcos(ω0(t1 − t2)) +

A2

2πcos(ω0(t1 + t2) + 2z)

∣∣∣∣+π

−π

=A2

2πcos(ω0τ),∀t1, t2

8


Aceste rezultate implica stationaritatea ın sens larg a procesului aleator. Inpractica se vor constata mici diferente (vezi figura 1.2): media si dispersiavor tinde catre constanta ın momentul ın care numarul de realizari particularecreste. Faptul ca functia de autocorelatie depinde numai de diferenta ıntremomentele de timp considerate este vizibil ın valorile constant egale aflate pedrepte paralele cu prima bisectoare: de-a lungul acestor drepte sunt puncteleaflate la un ecart constant ın timp. O sectiune ın suprafata determinata defunctia de autocorelatie permite obtinerea lui Rξ(τ).

−20 −10 0 10 20−1

−0.5

0

0.5

1semnalul aleator

−10 0 10−1

−0.5

0

0.5

1media

−10 0 10−1

−0.5

0

0.5

1dispersia

−200

20

−20

0

20−1

0

1

functia de autocorelatie

Figura 1.2: Semnalul conditionat determinst x(t) = A sin(ω0t+P ), media, dispersiasi functia sa de autocorelatie

Secventa de cod care permite aceste calcule este, ın mare masura, similara cucea de la exercitiul 1. Diferentele constau ın generarea semnalului aleator:

A=1;P=2*pi*(rand(1,N)-0.5);for i=1:N

x(i,:)=A*sin(w*t+P(i));end

Pentru a obtine o sectiune dea lungul celei de-a doua bisectoare ın suprafatadeterminata de functia de autocorelatie putem proceda astfel:

for k=1:lg;r(k)=R(k,lg-k+1);

end

3. Densitatea spectrala de putere. Vom considera exemplul precedent. Teoreticdensitatea spectrala de putere este:

F [RX(τ)] =A2

2δ(ω − ω0) +

A2

2δ(ω + ω0)

9


Rezolvare: Pentru a calcula direct (pe baza formulei 1.19) se poate procedaastfel:

X=abs(fft(x,[],2));q1=abs(mean(X.*X)/(10*pi));

Teorema Winer Hincin ne asigura ca densitatea spectrala de putere este trans-formata Fourier a functiei de autocorelatie. Adica, aceasta se poate calcula sica:

Q2=abs(fft(r));

0 10 20 30 40 50 60 700

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50 60 700

5

10

15

20

Figura 1.3: Densiatatea spectrala de putere a unu semnal stationar ın sens larg

Cele doua rezultate sunt afisate grafic in figura 1.3. Prima observatie estelegata de similaritatea intre rezultatul obtinut si cel teoretic; forma este aceiasi;difera pozitionare celor doua impulsuri ”Dirac”; cauza costa in esantionareacu pasi diferiti efectuata ın cazul calcului lui r(k) si respectiv x(t).Tema: Sa se repete experimentul pentru exemplul prezentat la exercitiul 1(ın cazul semnalului nestationar).

4. Trecerea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare. Filtrarea zgomotului. Seva considera semnalul x(t) = A sin(ω0t) unde A si ωo sunt doua constante.Acestuia i se adauga un zgomot alb3. provenind dintr-o variabila aleatoareGaussiana de medie µ = 0 si dispersie σ2 = 1. Acest filtru se va filtra cuun filtru trece-jos ideal cu frecventa de taiere ωt = 1.1ω0. Sa se reprezintesemnalul initial precum si semnalul rezultat la iesirea filtrului.

3Zgomotul alb este un semnal aleator total decorelat. Oricare doua moemente de timp diferiteam considera, variabilele aleatoare cospunzatoare acestor momente sunt independente. Functiasa de autocorelatie este un impuls Dirac plasat ın origine, iar densitatea spectrala de putere esteconstanta

10


Rezolvare:

close all;A=2; w0=5;t=-5:0.05:5;x=A*sin(w0*t);n=randn(1,length(t));xn=x+n; figure;plot(t,x,´.´);hold on;plot(t,xn,´k´);XN=fft(xn);figure; plot(abs(XN));FTB=zeros(size(XN)); FTB(6:12)=1;hold on; plot(FTB);XF=XN.*FTB; xf=real(ifft(XF));figure(1);hold on;plot(t,xf,´*K´)

Semnalul original, semnalul zgomotos precum si semnalul filtrat pot fi vazuteın figura 1.4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura 1.4: Filtrarea zgomotului

5. Filtru adaptat la semnal. Se poate arata (??) ca cel mai bun mod de a eliminazgomotul este filtrul adaptat la semnal. Pentru problema precedenta, sa seimplementeze filtrul adaptat la semnalul x(t) si sa se vizualizeze rezultatulfiltrarii.

11


1.5 Exercitii si teme propuse

1. Ce este un semnal aleator? Dati exemple?

2. Ce presupune notiunea de stationaritate? Dar cea de erogodicitate?

3. Dati exemplu de un semnal care sa aiba media independenta de timp si functiade autocorelatie dependenta doar de ecartul ıntre momentele considerate, darsa nu aiba densitatea de probabilitate de ordinul 1 independenta de momentulde timp ales?

4. Cum se poate verifica practic ipoteza de ergodicitate a mediei?

5. Ce legatura este ıntre transformata Fourier a unui semnal aleator SSL si den-sitatea sa spectrala de putere?

6. Care dintre urmatoarele functii pot fi functii de autocorelatie a unui semnalaleator?

(a) Rξ(τ) = 5;

(b) Rξ(τ) = sin(τ);

(c) Rξ(τ) = cos(τ);

(d) Rξ(τ) = 5, pentru τ ∈ [−5, 5] ;

(e) Rξ(τ) = 11+τ2 ;

(f) Rξ(τ) = 11+τ3 ;

(g) Rξ(τ) = 1|τ | ;

(h) Rξ(τ) = 1τ;

7. Care dintre urmatoarele functii pot fi densitati spectrale de putere ale unuisemnal aleator SSL?

(a) qξ(ω) = 2;

(b) qξ(ω) = sin(ω);

(c) qξ(ω) = 2 + cos(ω); ;

(d) qξ(ω) = 11+ω2 ;

(e) qξ(ω) = 11+ω3 ;

(f) qξ(ω) = 1|ω| ;

(g) qξ(ω = 1ω;

8. Semnalul x(t) = cos(t) este afectat de zgomot alb, aditiv provenind dintr-odistributie Gaussiana. Propuneti o metoda care sa reduca puterea zgomotului.Se pune aceaesı problema cu cerinta suplimentara operatii ca toate apoeratiileefectuate sa fie in spatiul de baza (timpul).

9. Semnalul x(t) = cos(t) este afectat de zgomot alb, aditiv provenind dintr-odistributie Gaussiana. Cum se poate proceda pentru a determina media sidispersia zgomotului, avand la dispozitie numai semnalul zgomotos?

12

1.5. Exercitii si teme propuse

10. Fie un semnal zgomots. Zgomotul este dependent de semnal (este mare candzgomotul este mare s.a.m.d). Un mod simplu ın care se obtine un asemeneafenomen este de a ne imagina zgomotului multiplicativ:

ξ(t) = n(t)x(t)

, unde x este semnalul original, iar n zgomotul multiplicativ. Pentru acest caz(al zgomotului multiplicativ), sa se propuna o metoda de reducere a puteriizgomotului. Un posibil exemplu de zgomot dependent de semnal se poatevedea ın figura 1.5.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 1.5: Semnalul cos(t) afectat de zgomot multiplicativ provenind dintr-odistributie Gaussiana de medie 0 si dispersie 1

13


14

Bibliografie

[1] Adriana Vlad, Marin Ferecatu, Mihai Mitrea ”Teoria transmisiunii informatiei-ındrumar de laborator”

15

lucrarea 1 semnale aleatoare

Documents