SEMNALE DETERMINISTE CU PARAMETRI NECUNOSCUŢI

Student,

Poenariu Dan An I Master PSRT

Scurtă introducere în temă: În problemele de detecţie apar următoarele situaţii: - semnale deterministe cunoscute; - semnale deterministe dar necunoscute; - semnale aleatoare cu densitatea de probabilitate cunoscută; - semnale aleatoare cu densitatea de probabilitate necunoscută.

Semnalul căruia nu i se cunoaşte amplitudinea

1. Testul GLRT 2. Testul bayesian

Testul GLRT

Se cunoaşte ca fiind estimarea MLE pentru amplitudinea A.

Testul GLRT decide că ipoteza este adevărată dacă

A

1H

1

0

ˆ( ; , )

( ; )

p x A H

p x H

Estimarea lui A:

12

2 /2 20

1 1( ; ) exp{ ( [ ] [ ]) }

(2 ) 2

N

Nn

p x A x n As n

Pentru a obţine maximul lui căutăm minimul după A:

( ; )p x A

12

0

( ) ( [ ] [ ])N

n

J A x n As n

1

0

( )2 ( [ ] [ ])( [ ]) 0N

n

dJ Ax n As n s n

dA

1

0

( )2 ( [ ] [ ])( [ ]) 0N

n

dJ Ax n As n s n

dA

1 1

0 01

2 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]ˆ

[ ]

N N

n nN

n

x n s n x n s nA

s n

rezultă estimatorul de maximă plauzibiliate pentru A:

Înlocuim în raportul de plauzibilitate, simplificăm şi logaritmăm:

A

12

20

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]] ln2

N

n

Ax n s n As n

Înlocuim în raportul de plauzibilitate, simplificăm şi logaritmăm:

A

12

20

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]] ln2

N

n

Ax n s n As n

1 1

2 22

0 0

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]]2

N N

n n

A x n s n A s n

Înlocuim în raportul de plauzibilitate, simplificăm şi logaritmăm:

A

12

20

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]] ln2

N

n

Ax n s n As n

1 1

2 22

0 0

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]]2

N N

n n

A x n s n A s n

Dar este energia semnalului util de amplitudine 1.

12

00

[ ]N

n

s n

Înlocuim în raportul de plauzibilitate, simplificăm şi logaritmăm:

A

12

20

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]] ln2

N

n

Ax n s n As n

1 1

2 22

0 0

1 ˆ ˆ[ 2 [ ] [ ] [ ]]2

N N

n n

A x n s n A s n

Dar este energia semnaluluiutil de amplitudine 1.

12

00

[ ]N

n

s n

22 2 0

0 02 2

ˆ1 ˆ ˆ( 2 ) ln2 2

AA A

Interpretarea testului GLRT:

Ipoteza este adevărată dacă:1H2

2

0

2 lnA

2

0

2 lnA

sau

În cazul când numai zgomotul este prezent (ipoteza ) ar trebui ca estimarea să fie aproape nulă deoarece

0HA ˆ{ } 0E A

În cazul în care este prezent şi semnalul util, trebuie să fie diferit de zero.

A

2 12 2 20

000 0

ˆ( ) 1ˆ ( [ ] [ ]) 2 lnN

n

AA x n s n

1

2 2 ,0

0

( ) ( [ ] [ ]) 2 lnN

n

T x x n s n

1,

0

[ ] [ ]N

n

x n s n

Cocluzie:

Detectorul GRLT este un corelator care rezolvă problema semnului necunoscut pentru A fie prin ridicarea la pătrat a răspunsului corelatorului fie prin calculul valorii absolute.

SCHEMA DETECTORULUI GRLT

1

0

N

n

2( )

,

,

( )T x 1H

0H

[ ]x n

[ ]s n

Determinarea performanţelor de detecţie ale detectorului GRLT

201

0 20 0

(0, )

( ) [ ] [ ]

( , )

N

n

N

x x n s n

N A

în ipoteza

0H

1H

în ipoteza

Pentru probabilitatea alarmei false avem:

, , ,0 0 0

, , ,

2 2 20 0 0

, 2 10

{ ( ) ; } { ( ) ; } { ( ) ; }

0 0 0( ) ((0,5 ) ) 2 ( )

(0,5 )

FA

FA

FA

P P x H P x H P x H

Q Q P Q

Q P

Pentru probabilitatea de detecţie avem:

, , ,1 1 1

, ,0 0

2 20 0

{ ( ) ; } { ( ) ; } { ( ) ; }

( ) ( )

DP P x H P x H P x H

A AQ Q

Avem:2

2 02 2

Ad

1 2 1 2( (0,5 ) ) ( (0,5 ) )D FA FAP Q Q P d Q Q P d

Înlocuim în probabilitatea de detecţie:

Curbele de performanţă ale detectorului GLRT

Testul baesyan Vom considera că amplitudinea necunoscută A este o variabila aleatoare, cu repartiţia normală, şi care este statistic independentă de zgomotul

2( , )A AA N [ ]w n

În ipoteza semnalul util este de forma1H[0]

[1]

[ ]

s

sAs A

s n

Ipotezele sunt:0

1

:

:

H x w

H x As w

În avem conform modelului liniar bayesian şix sA w

H s

A Dacă atunci,condiţia de selecţie a ipotezei este:

(0, )ww N C

1H

1 1 10

2 2 1 2 2 2 12

1'( ) ( ) ( )

21 1

( ) ( )2

T T T Tw w w

T T T T TA u A u A A u

T x x HC H C H x C HC H HC H C x

x ss I s x I ss ss I x

În care A 2A uC I

2

w uC I

Identitatea lui Woodbury

Dacă este o mulţime iar un vector, atunci:NXNA

1NX

1 11 1

1( )

1

TT

T

A AA A

A

Pentru:2uA I

s identitatea lui Woodbury este:

2

2 212 2

22

2

2

2 2 2

1 11

11

1( )

Tu A u

Tu A u

TA u

TA

u TA

I ss II ss I

s I s

ssI

ss

dar 2 2 2 2T

T Tu A u AI ss I ss

matrice simetrică

Avem: 2 2 2 2 1

2 2

[ ] ( )T

T T T T Tu A u A

T

TA

s I ss x x I ss s

x s

ss

2 2 21

2 22 2 2 2 2 2

2 2

( )1 1( )

T T TT A A

u A u T TA A

TA

ss s ss s ss sI ss s I

ss ss

s

ss

Înlocuim în condiţia de selecţie pentru ipoteza 1H

2

2 2 2 2 2

22

2 2 2 2 2

1'( ) '

2

1'( ) ( ) '

2

T T TA AT T

A A

T TA AT T

A A

T x x s x sx sss ss

T x x s x sss ss

Caz particular 1:Semnal determinist cu componentă continuă.

A A 2 0A

2'( ) TA

T x x s

Caz particular 2:Semnal complet necunoscut.

A A finit şi

2

2

( )'( )

2

T

T

x sT x

ss

Statistica detectorului bayesian total neinformat2(0, )AA N Pentru vom determina performanţele

detectorului bayesian, statistica fiind:2 2

2 2 2

( )'( )

2 ( )

TA

TA

x sT x

ss

Am pornit de la ideea că:

2

2 2

(0, )

(0, )

u

Tu A

N Ix

N I ss

; în ipoteza

; în ipoteza

0H

1H

deoarece

1H0H ( )( )T T Txx sA w s A w

2{ } { } { } { } { }T T T T TE xx E ss A E wAs E Asw E ww

2 2

2 2

{ } { } { } { } { }T T Tu

Tu A

ss E A E w E A s E A sE w I

I ss

2

2 2

(0, )

(0, ( ) )

TT

T T TA

N s sx s

N s s s ss s

; în ipoteza

; în ipoteza

0H

1H

{( )( ) } {( )( )}T T T T T T TE x s x s E Ass sw Ass s w

2 2

2 2 2

{ }( ) { }

( )

T T T

T TA

E A ss E sw s w

ss ss

fiind un scalar este egal cuTw s Ts w

la fel şi invers

deci 2{ } { } { }T T T T T T TE w ss w E s ww s s E ww s s

Repartiţia este deci motivată.

Notăm:2 2 2 2 20 1 0; ( )T T

As s s s

Şi avem:

20

21

(0, )

(0, )T Nx s

N

; în ipoteza

; în ipoteza

0H

1H

Ipoteza este dacă: 1H "Tx s adevărată

pentru care probabilitatea alarmei false este:

0 0{ ", } 2 { ", }T TFAP P x s H P x s H

0

"2 ( )Q

10" (0,5 )FAQ P

1 1{ "; } 2 { "; }T TDP P x s H P x s H

1

"2 ( )Q

21 10

2 2 21

2 ( (0,5 )) 2 ( (0,5 ))( )

T

D FA FAT TA

s sP Q Q P Q Q P

s s s s

Pragul se determină cu impusă "FAP

Detectarea unui semnal cu momentul de început necunoscut

Radarul este un exemplu concludent în acest sens:

-se emite un impuls de sondare

-se recepţionează o reflectare de pe ţintă

-se poate calcula distanţa până la ţintă determinând momentul de început al semnalului recepţionat

În acest sens considerăm următoarea problemă de detecţie:

0 : [ ] [ ]H x n w n

1 0: [ ] [ ] [ ]H x n s n n w n

; 0,1,..., 1n N

; 0,1,..., 1n N

În care este un semnal determinist cunoscut,cu durata M, deci care nu este identic nul pentru

Întârzierea este momentul de sosire al semnalului

[ ]s n

0,1,..., 1n M

0n

Se doreşte să se estimeze , pe lângă prezenţa semnalului

0n

0[ ]s n n

Intervalul de observare trebuie să includă întreg semnalul chiar şi pentru cea mai mare întârziere posibilă.

Pentru detectarea prezenţei semnalului vom apela la un test GLRT

0 1

0

ˆ( ; , )

( ; )

p x n H

p x H

este o estimare MLE pentru :0n 0n 0 1( ; , )p x n H

0 01 12 2

0 1 02 22 20 0

1 1 1 1( ; , ) exp{ [ ]} exp{ ( [ ] [ ]) }

2 22 2

n n M

n n

p x n H x n x n s n n

interval în care este prezent numai zgomot

interval în care este prezent şi semnalul util

0

12

22

1 1exp{ ( [ ]) }

22

N

n n M

x n

interval în care este prezent numai zgomotul

12

0 220

1 1( ; ) exp{ [ ]}

22

N

n

p x H x n

Observăm că numai cel de-al doilea factor depinde de 0n

0 0 0

0 0 0

1 1 12 2

0 02 2 2

1 1 1( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ]

2 2

n M n M n M

n n n n n n

x n s n n x n x n s n n

0

0

12

02

1[ ]

2

n M

n n

s n n

Dacă primul şi al treilea termen sunt constante ce nu depind de deci:

0max 1 1n M N 0n

0

0

1

0 0( ) [ ] [ ]n M

n n

J n x n s n n

Soluţia este chiar MLE, 0n

Avem 0 0max0 ;n N M n N M

Substituim în raportul de plauzibilitate:

0

0

ˆ 120 1

0 02ˆ0

( ; , ) 1ˆ ˆexp{ ( 2 [ ] [ ] [ ])}

( ; ) 2

n M

n n

p x n Hx n s n n s n n

p x H

logaritmăm0 0

0 0

ˆ ˆ1 12

0 02 2ˆ ˆ

1 1ˆ ˆ[ ] [ ] [ ] ln

2

n M n M

n n n n

x n s n n s n n

dar0 0

0 0

ˆ ˆ1 12 2

0ˆ ˆ

ˆ[ ] [ ]n M n M

n n n n

s n n s m

,energia semnalului

Ipoteza este adevărată dacă:1H0

0

ˆ 12

0ˆ

ˆ( ) [ ] [ ] ln '2

n M

n n

T x x n s n n

Testul GLRT implementează o corelaţie între datele

şi semnalul deplasat cu , şi compară maximul acestei corelaţii cu un prag al testului

Dacă pragul testului este depăşit de valoarea maximă a statisticii, semnalul util se consideră prezent iar valoarea

, pentru care se obţine maximul statisticii, este MLE a timpului de sosire

[ ]x n

[ ]s n0n 0[ ]s n n

'

0n

0

0

1n M

n n

,

,

( )T x 1H

0H

[ ]x n

0[ ]s n n

Max. după

0n

Implementarea detectorului GLRT

Dintre cele sume, alege valoarea cea mai mare şi reţine

1N M

0n

Performanţele detectorului sun destul de greu de determinat. Este necesar să determinăm densitatea de probabilitate pentru 1N M

Vom apela la teorema lui Rayleigh1

2*

1

2

1 1[ ] [ ] ( ) ( ) , ( , )

2 2n

x n y n X f Y f df f

unde şi [ ] ( )Fx n X f [ ] ( )Fy n Y f

020[ ] [ ] ( ) ( ) j fnFy n s n n Y f S f e

Vom ţine seama de faptul că este definit pe şi este definit pe

[ ]s n

0[ ]s n n{0,1,..., 1}M 0 0 0{ , 1,..., }n n n M

0

0

0

11 2

2*0

1

2

[ ] [ ] ( ) ( )n M

j fn

n n

x n s n n X f S f e df

Înlocuim în statistica testului

0

0

1

22*

[0, } 1

2

( ) { ( ) ( ) }max j fn

n N M

T x X f S f e df

În mod real nu se ştie nici momentul în care soseşte ecoul şi nici amplitudinea acestuia A.

Problema de detecţie:

0 : [ ] [ ]H x n w n

1 0: [ ] [ ] [ ]H x n As n n w n

0,1,..., 1n N

0,1,..., 1n N

zgomotul este de tip WGN

Testul GLRT decide că este ipoteza adevărată, adică există un ecou recepţionat dacă:

1H

0 1

0

( ; , , )( )

( ; )G

p x A n HL x

p x H

sau

00 1

0

max ( ; , , )( )

( ; )n

G

p x A n HL x

p x H

Am stabilit anterior că testul GLRT pentru amplitudine duce la :

0

12 2

0 12

0

ˆ [ ]ˆ( ; , 0, )

ln( ; ) 2

M

n n

A s np x A n H

p x H

2

022

A

În cazul de faţă:0

0

12 2

0 20 1 0

2 20

ˆ [ ]ˆ( ; , , )

ln( ; ) 2 2

n M

n n

A s n np x A n H A

p x H

Estimarea pentru amplitudine este:

0 0

0 0

0

0

1 1

0 0

12 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]ˆ

[ ]

n M n M

n n n n

n M

n n

x n s n n x n s n n

A

s n n

În concluzie, testul GLRT decide că există semnal ecou dacă:

0

202

[0, }

ˆ( ) { }

2maxGn N M

AL x

0

0

0

12

0

2[0, } 0

( [ ] [ ])

{ } ln2max

n M

n n

n N M

x n s n n

0

0

112 2

0 00

[ ] [ ]n MN

n n n

s n s n n

Procedura de detecţie: Se determină raportul

Se compară valoarea maximă a raportului cu un prag al testului. Dacă pragul testului este depăşit de valoarea maximă a testului atunci se consideră adevărată ipoteza adică avem semnal de ecou

Se determină o estimare MLE a amplitudinii semnalului de ecou recepţionat

0

0

12

0

20

( [ ] [ ])

2

n M

n n

x n s n n

0

0

ˆ 1

0ˆ

0

ˆ[ ] [ ]ˆ

n M

n n

x n s n n

A

1H