semnale curs anton

8/14/2019 Semnale Curs Anton

http://slidepdf.com/reader/full/semnale-curs-anton 1/145

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ

Prof. univ. dr. ing. ALEXANDRU Ş ERB Ă NESCU

ISBN (10) 973-640-089-1ISBN (13) 978-973-640-089-6

© 2006 Editura Academiei Tehnice Militare



Corectur ă: ing. Magdalena MAZILU

Tehnoredactare: Camelia COMAN




CUPRINS

CAPITOLUL 1 SEMNALE ÎN TIMP CONTINUU SEMNALE ANALOGICE

1.1 Reprezentarea semnalelor analogice cu ajutorul distribuţiei treaptă unitate

1.2 Reprezentarea semnalelor analogice cu ajutorul distribuţiei Dirac δ(t )

1.3 Spaţiul semnalelor analogice

1.4 Seria Fourier Generalizată (SFG) 1.5 Sistemul de funcţii (semnal) Walsh

1.6 Descompunerea optimală a semnalelor într-o bază ortonormată

1.7 Reprezentarea semnalelor periodice în timp continuu cu ajutorul seriilor Fourier

1.7.1 Forma trigonometrică a dezvoltării în serie Fourier (SFT) 1.7.2 Forma armonică a dezvoltării în serie Fourier (SFA) 1.7.3 Forma complexă a dezvoltării în serie Fourier (SFC)

1.8 Spectrul de frecvenţe al semnalelor periodice

1.9 Banda de frecvenţă ocupată de un semnal periodic

1.10 Puterea medie a unui semnal periodic

1.11 Funcţia de corelaţie a semnalelor analogice periodice

1.12 Produsul de convoluţie a două semnale analogice periodice

1.13 Reprezentarea semnalelor analogice neperiodice cu ajutorul transformării Fourier

1.14 Funcţia densitate spectrală a unor semnale care nu îndeplinesc condiţiile Dirichlet

1.15 Proprietăţile transformatelor Fourier

1.16 Funcţia (sau produsul) de convoluţie a semnalelor analogice neperiodice

1.17 Funcţia de corelaţie a semnalelor analogice neperiodice

1.18 Teorema Wiener-Hincin: Legătura dintre spectrul energetic al semnalelor analogice şi funcţia lor de autocorelaţie

1.19 Transformarea Laplace 1.20 Principalele proprietăţi ale transformării Laplace




CAPITOLUL 2 SEMNALE ALEATOARE

2.1 Semnale şi perturbaţii în sistemele de comunicaţii

2.2 Caracterizarea statistică a unei variabile aleatoare

2.2.1 Momentele unei v.a. 2.2.2 Prima funcţie caracteristică 2.2.3 Exemple de densităţi de probabilitate (ddp) 2.2.4 Funcţie deterministă de o singur ă variabilă aleatoare 2.2.5 Analiza statistică de ordin superior pentru o variabilă aleatoare

2.3 Caracterizarea statistică a unui ansamblu de variabile aleatoare

2.3.1 Teorema limită centrală (sau convergenţa către o lege normală)

2.4 Caracterizarea statistică a unui semnal (sau proces) aleator

2.4.1 Valorile medii statistice pe ansamblul realizărilor unui proces aleator 2.4.2 Valorile medii temporale ale unui proces aleator 2.4.3 Ergodicitatea 2.4.4 Proprietăţi caracteristice proceselor staţionare de ordinul 2 2.4.5 Caracterizarea statistică de ordin superior pentru un proces aleator

ergodic 2.4.6 Spectrele de ordin superior pentru un proces aleator 2.4.7 Funcţiile cumulant de ordin superior pentru procese aleatoare

de medie nulă 2.4.8 Relaţiile lui Wiener-Hincin generalizate

2.4.9 Procese gaussiene 2.5 Tipuri de semnale aleatoare

2.5.1 Semnalul telefonic (vocal) 2.5.2 Semnalul analogic multiplex 2.5.3 Zgomotul de agitaţie termică

CAPITOLUL 3 SEMNALE EŞANTIONATE

3.1 Metode de eşantionare a semnalelor în timp continuu

3.2

Teorema eşantionării WKS

3.3 Eşantionarea în domeniul frecvenţă

3.4 Reconstituirea semnalului în timp continuu din eşantioanele sale

3.4.1 Reconstituirea prin extrapolare 3.4.2 Reconstituirea prin interpolare 3.4.3 Reconstituirea cu ajutorul unui FTJ ideal

3.5 Conversia în timp discret a semnalelor eşantionate




CAPITOLUL 4 SEMNALE MODULATE

4.1 Noţiuni şi definiţii de bază

4.2 Semnale modulate în amplitudine (MA)

4.3 Modulaţia de produs (MA-BLD-PS) 4.4 Semnale MA-BLU (MA-BLU-PS)

4.5 Analiza semnalelor MA-BLU

4.6 Demodularea sincronă şi asincronă

4.7 Caracteristici energetice ale semnalelor MA

4.8 Semnale modulate în frecvenţă MF

4.8.1 Conceptele de frecvenţă şi fază instantanee

4.8.2 Expresia semnalului MF 4.8.3 Transformata Fourier a semnalului MF pentru β mic 4.8.4 Puterea medie a semnalelor MF 4.8.5 Demodularea semnalelor MF

4.9 Semnale modulate în fază MØ (MP)

4.10 Comparaţie între MF, MØ şi MA

4.11 Modulaţia cu semnal modulator digital (numeric)

4.11.1 Modulaţia digitală a amplitudinii. Modulaţie prin deviaţia

amplitudinii. Amplitude-Shift Keying (ASK) 4.11.2 Modulaţia digitală a frecvenţei. Modulaţiei prin deviaţie de frecvenţă Frequency-Shift Keying (FSK)

4.11.3 Modulaţia digitală a fazei. Modulaţie prin deviaţie de fază Phase-Shift Keying (PSK)

4.11.4 Bit/s versus Baud 4.11.5 Multiple PSK – combinaţie ASK-PSK

4.12 Modulaţia impusurilor 4.12.1 Modulaţia impulsurilor în amplitudine (MIA)

4.12.2 Modulaţia impusurilor în poziţie (MIP). Semnalul MIP-Natural (MIPN) 4.12.3 Modulaţia impulsurilor în poziţie (MIP). Semnalul MIP-Uniform (MIPU) 4.12.4 Semnalul MIP generat din semnalul ideal MIP

4.13 Semnale în modulaţia impulsurilor în cod MIC sau PCM

4.13.1 Banda ocupată de semnalele MIC (PCM)

4.14 Semnale modulate delta. Modulaţia delta a impulsurilor (M∆ sau MD)

CAPITOLUL 5 SEMNALE DE BANDĂ LIMITATĂ

5.1 Semnale cu spectru limitat 5.1.1 Semnal ideal de joasă frecvenţă (tip trece jos)




5.1.2 Semnalul ideal de band ă finită

5.2 Semnal analitic

5.2.1 Funcţia densitate spectrală a unui semnal analitic

5.2.2 Funcţia înf ăşur ătoare (reală), fază instantanee şi frecvenţă instantanee

ale unui semnal analitic 5.2.3 Funcţia înf ăşur ătoare complexă

5.3 Transformarea Hilbert

5.3.1 Proprietăţi ale transformatelor Hilbert

5.4 Reprezentarea semnalelor modulate utilizând conceptul de semnal

analitic

5.4.1 Determinarea r ăspunsului circuitelor la semnale modulate prin metoda

circuitului echivalent de joasă frecvenţă

BIBLIOGRAFIE




CAPITOLUL 1

SEMNALE ÎN TIMP CONTINUUSEMNALE ANALOGICE

Modelul matematic al unei clase largi de semnale electrice în timpcontinuu poate fi definit ca o aplicaţie:

: x T M → , astfel încât ( )t T x t M ∀ ∈ → ∈ .

Funcţia semnal analogic (în timp continuu) ( ) x t asociază fiecărui moment

de timp sau, cut T T ∈ ⊆ [ ]1 2,t T I t t ⊆ = ⊂ , o valoare (a semnalului)

( ) din , cu , sau x t M M ⊆ .

Semnalele analogice deterministe sunt perfect caracterizate princunoaşterea sau măsurarea unui număr finit de parametri.

Funcţia semnal exponenţial complex este definită de:

( ) ( )0 0 je t x t C

α + ω= ⋅ ,

unde constanta ( )sauC ∈ , iar0 0

şiα ω ∈ .

Formele particulare ale acestei funcţii semnal sunt:

( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j0e , e , Re e cost t t

x t x t x t α ω ω= = = = t ω

sau

( ) 0 j0Im e sint

x t t ω= = ω .

Modelarea matematică a unei clase extinse de semnale se face cu ajutoruldistribuţiilor.

Distribuţia treaptă unitate, notată cu ( ) ( )sau, uneori, cuu t t σ (tip Heaviside), este definită de (figura 1.1):

t

0

1

( )u t

( )0 , 0

1, 0

t u t

t

<⎧= ⎨

≥⎩

Figura 1.1




1.1 Reprezentarea semnalelor analogice cu ajutoruldistribuţiei treaptă unitate

Fie semnalul cauzal ( ) x t şi aproximarea sa din figura 1.2.

t

0

( ) x t

3 x

2 x

1 x

0 x

Semnal cauzal:

( ) 0, 0 x t t = ∀ <

Δ 2Δ 3Δ 4Δ 5Δ 6Δ

Figura 1.2

Rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1 0 2 1

0 11

2 ...

k k k

x t x u t x x u t x x u t

x u t x x u t k

∞

−=

≈ + − − Δ + − − Δ +

≈ + − − Δ∑

≈

La limită, când

(

1 d

0 , o variabilă curentă pe axa timpului

adică suma se transformă într-o integrală)

k k x x x

k

−⎧

− →⎪⎪⎪Δ → ⇒ Δ → τ⎨⎪⎪ →⎪⎩

∑ ∫

În consecinţă:

( ) ( ) ( ) ( )

( )0

d0 d

d

x x t x u t u t

∞τ

= ⋅ + ⋅ − ττ∫ τ ,

care este integrala lui Duhamel.

Distribuţia impuls – unitate (Dirac) ( ) t

Fie semnalul ( )u t ε din figura 1.3, a cărui funcţie derivată este .( )t εδ




t

0

1

( )u t ε

εt

0

1

ε

( ) ( )d

d

u t t

t

εεδ =

ε

Figura 1.3

Printr-un proces de trecere la limită ( )0ε → se obţine impulsul Dirac ( )t δ ,

aşa cum este ilustrat în figura 1.4.

t

0

1

( )u t ε

εt

0

1

ε

ε

2

ε

( )u t ε′

2

ε

2

ε0

t

( )t δ

Figura 1.4

Rezultă că:

( ) ( )d

dt u

t δ = t ⎡ ⎤⎣ ⎦

sau

( ) ( )du t

+∞

−∞

= δ ξ ξ

∫.

Distribuţia impuls unitate ( )t δ are proprietăţile:

( )

( )

( ) ( )0

0

0 ;

0, 0;

d d

t t

t t t t +

−

+∞

−∞

δ = ∞

δ = ∀ ≠

δ = δ =∫ ∫ 1.




1.2 Reprezentarea semnalelor analogice cu ajutoruldistribuţiei Dirac (t)

Fie semnalul analogic ( ) x t din figura 1.5 şi semnalul aproximant .( )k t η

( ) x t

( )k k x x t =( ) ( )k k k k x u t t u t t η = ⎡ − − − − Δ ⎤⎣ ⎦

0 k t k t + Δ t

Figura 1.5

În principiu, putem aproxima pe ( ) x t , astfel încât:

( ) ( )k

k

x t t

+∞

=−∞

≈ η∑ .

Rezultă că:

( ) ( ) ( )k k

k

u t t u t t x t x

+∞

−∞

− − − − Δ≈ ⋅

Δ∑ Δ .

La limită, pentru( ) ( )

, un punct curent pe axa

d0

(adică suma devine o integrală)

k

k k

t t

x x t x

→ τ⎧⎪Δ → τ⎪

Δ → ⇒ ⎨ = → τ⎪⎪ →⎩Σ ∫

Astfel că:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )d

d dd

u t x t x x t x

+∞ +∞

−∞ −∞

− τ⎡ ⎤⎣ ⎦= τ ⋅ τ = τ ⋅ δ − τ τ = ∗ δτ∫ ∫ t .




Spaţiul liniar metric conţine semnalele ( )i x t cu proprietatea că fiecărei

perechi de semnale ( ) ( ) ,i j x t x t L∈ îi putem ataşa un număr pozitiv, notat cu

( ),i j x xρ , care reprezintă metrica sau distanţa dintre aceste elemente ale

spaţiului L, cu proprietăţile:a) ( ) ( ), ,i j j i x x xρ = ρ x ;

b) ( ), 0i i x xρ = ;

c) ( ) ( ) ( ), , , , ,i j k i j i k k j x x x L x x x x x x∀ ∈ ⇒ ρ < ρ + ρ .

Metrica este calculată ca norma diferenţei semnalelor, adică:

( ) ( ) ( ),i j i j x x x t x t ρ = − .

În teoria semnalelor, noţiunea de metrică precizează: – în ce măsur ă un semnal difer ă de altul; – în ce măsur ă un semnal îl aproximează pe altul.Produsul scalar a două semnale ( ) ( )şii j x t x t este definit de:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, d , dacă ,

d , dacă ,

i j i j i j

i j i j

x t x t x t x t t x t x t

x t x t t x t x t

+∞

−∞

+∞∗

−∞

= ⋅ ∈

= ⋅

∫

∫

∈

Dacă ( ) ( ) ( ), rezultă că:i j x t x t x t = =

( ) ( ) ( ) ( )22, d sau d x x t x t x t t x t t E

+∞ +∞

−∞ −∞

= =∫ ∫ .

Definiţia produsului scalar este însoţită de proprietăţile:a) , 0i j x x ≥ ;

b) , ,i j j i x x x x= ;

c) , , , cui j i j x x x xλ = λ λ ∈ ;

d) ( ), , ,i j k i k j k x x x x x x x+ = + .

Spaţiul liniar al semnalelor unde se defineşte produsul scalar cu proprietăţile de mai sus se numeşte spaţiu Hilbert.

Două semnale ( ) ( )şii j x t x t sunt ortogonale dacă produsul lor scalar şi,

deci, energia lor mutuală sunt nule, adică:

( ) ( ), di j i j

0 x x x t x t t

+∞

−∞

= ⋅ =

∫.




1.4 Seria Fourier generalizată (SFG)Fie un sistem de funcţii ortogonale:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2, ,i t t t ϕ = ϕ ϕ ϕ t ,

astfel încât rezultă că produsul scalar este:,t t I ∀ ∈ ⊆

( ) ( )0, dacă

d,dacă

t

i ji I

i jt t t

K i j

≠⎧ϕ ϕ = ⎨

=⎩∫

unde: ( )i iK t = ϕ .

Sistemul de funcţii ortogonale ( ) i t ϕ formează o bază completă

(sau totală) pentru reprezentarea pe t I a unui semnal ( ) x t , astfel încât ,t t I ∀ ∈

( ) ( )0

i i

i

x t c∞

=

= ϕ∑ t ,

care reprezintă dezvoltarea funcţiei semnal ( ) x t într-o serie Fourier generalizată

(pe bază de funcţii ortogonale ( ) i t ϕ ).

Din egalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

d d

t t t

j i i j i i

i i I I I

d j x t t t c t t t c t t

∞ ∞

= =

⋅ ϕ = ϕ ϕ = ϕ ⋅ ϕ∑ ∑∫ ∫ ∫ t

rezultă metoda de calcul al coeficienţilor :ic

( ) ( ) ( ) ( )1 1

d ,

t

i ii i I

c x t t t x t K K

= ⋅ ϕ = ϕ∫ i t .

Să definim sistemul sau baza de funcţii ortonormate:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 21

, , ,.i i

i

t t t t ⎧ ⎫⎪ ⎪

Ψ = ϕ = Ψ Ψ Ψ⎨ ⎬

ϕ⎪ ⎪⎩ ⎭

..t ,

astfel încât , rezultă că produsul scalar este:t t I ∀ ∈ ⊆

( ) ( )0, dacă

d1, dacă

t

i j

I

i jt t t

i j

≠⎧Ψ Ψ = ⎨

=⎩∫

În acest caz, dezvoltarea funcţiei semnal ( ) x t într-o serie Fourier

generalizată (SFG), pe bază de funcţii ortonormale ( ) i t Ψ , este definită de

relaţiile:




( ) ( )0

i i

i

x t c

∞

=

= Ψ∑ t

t

,

unde:

( ) ( )dt

i i I

c x t t = Ψ∫ .

Energia semnalelor reprezentate prin SFG:

( ) ( )0

i i

i

x t c

∞

=

= Ψ∑ t

este dată de relaţia lui Parseval:

( ) ( ) ( )2 2

0 0 0 0 0d d d

t t t

x i j i j i j i j i

i j i j i I I I

E x t t c c t c c t t t c

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= = = = == = ψ ψ = ψ ⋅ ψ =∑∑ ∑∑ ∑∫ ∫ ∫ .

Pentru (doar) primii N termeni ai dezvoltării rezultă inegalitatea lui Bessel:

( )2 2

0

d

t

N

x i

i I

E x t t c

=

= > ∑∫ .

1.5 Sistemul de funcţii (semnal) Walsh

Acest sistem ortonormat în intervalul I i = [0,1) este descris în figura 1.6.Se demonstrează că:

( ) 1iwal t =

şi că

( ) ( )

1, pentru

, 0, pentrui j

i j

wal t wal t i j

=⎧

= ⎨ ≠⎩ În consecinţă:

( ) ( )0

i i

i

x t c wal

∞

=

= ∑ t

t

,

unde

( ) ( )0

di ic x t wal t

∞

= ∫ .




( ) ( )0 0t wal t Ψ =

1+

0 1

t

1+

( ) ( )1 1t wal t Ψ =

0 1 2 1

t

1−

( ) ( )2 2t wal t Ψ =

t

1 4 1 2 3 4 1

1 4 1 2 3 4 1

( ) ( )3 3t wal t Ψ =

t

0

0

1+

1−

1+

1−

Figura 1.6

1.6 Descompunerea optimală a semnalelor într-o bază ortonormată

Fie aproximaţia finită a semnalului ( ) x t :

( ) ( )0

N

i i

i

x t c

=

= Ψ

∑ t .

Se pune întrebarea: care este alegerea optimă pentru coeficienţii ? ic

„Energia” erorii de aproximare este dată de:

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 !

0

d min

t

N

i i

i I

x t x t x t c t t

=

⎡ ⎤μ = − = − Ψ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ .

Valorile optime ale coeficienţilor rezultă din condiţiile:ic

0, 0,i

i N c

∂μ = =∂.




Cum

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 d

t

i i i j i j

i i j I

x t x t c t c c t ⎡ ⎤⎢ ⎥μ = − Ψ + Ψ Ψ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑∑∫ t ,

iar sistemul ( ) i t Ψ este ortonormat, astfel încât:

( )( ) ( )( )

0, pentru şi 0 1, pentrui j i j

i j i j

c c i j c c i j= ≠ ≠ =∑∑ ∑∑ = ,

rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 d

t

i i i ii I

0 x t x t c t c t t c

∂ ⎡ ⎤− Ψ + Ψ⎣ ⎦∂ ∫ =

0

t

sau

( ) ( ) ( )22 2 d

t

i i

I

c t x t t t ⎡ ⎤Ψ − Ψ =⎣ ⎦∫ ,

care conduce la soluţia:

( ) ( )d

t

i i

I

c x t t = ⋅ Ψ∫ .

Soluţia exactă pentru reprezentarea semnalului x(t ) se obţine pentru, adică: N → ∞

( ) ( )0

lim N

i i N

i

x t c→∞

=

= Ψ∑ t .

1.7 Reprezentarea semnalelor periodice în timpcontinuu cu ajutorul seriilor Fourier

Un semnal analogic periodic, de perioadă T , definit de:

( ) ( ), , x t x t kT k T = + ∈ ∈ ,

poate fi descompus într-o serie Fourier dacă satisface condiţiile lui Dirichet:a) funcţia semnal ( ) x t este de modul integrabilă, adică:

( )0

0

d

t T

t

x t t

+

< ∞∫ ;




b) funcţia semnal ( ) x t are un număr finit de discontinuităţi în intervalul

unei perioade;c) funcţia semnal ( ) x t are un număr finit de maxime şi minime într-o perioadă.

Îndeplinirea acestor condiţii asigur ă convergenţa uniformă a dezvoltării înserie Fourier.

1.7.1 Forma trigonometrică a dezvoltă rii în serie Fourier (SFT)

Pentru setul ortogonal, definit [ )00, 2t t I T ∀ ∈ = = π ω prin:

( ) 0 0 0 01,cos ,sin ,...,cos ,sin ,...i t t t n t nϕ = ω ω ω ω t ,

pentru care: 0 T ϕ = , iar / 2i T ϕ = când ,i ∗∈ se defineşte dezvoltarea în

SFT a semnalului periodic ( ) x t sub forma:

( ) ( ) [ ]00 0

1

cos sin2 n n

n

a x t x t T a n t b n t

∞

=

= + = + ω + ω∑ ,

unde:

( )

( )

( )

0

0

0

2d ;

2cos d , 1, ;

2sin d , 1, .

T

n

T

n

T

a x t t T

a x t n t t n

T

b x t n t t nT

=

= ω

= ω =

∫

∫∫

= ∞

∞

Comentariu:Primul termen al dezvoltării în SFT este asociat cu valoarea medie pe o

perioadă a semnalului, deci cu valoarea sa de c.c.Termenii în sin şi cos, pentru n = 1, definesc componentele de frecvenţă

(unghiular ă) fundamentală . Ceilalţi termeni ai dezvoltării, pentru

, definesc „armonicele” de ordinul „n”, de frecvenţe (unghiulare)

0 2 /T ω = π

2,3,...n = 0nω ,care sunt multipli (întregi) ai frecvenţei fundamentale 0ω .

În cazul semnalelor periodice:

( )

( )

0

0

2lim lim cos 0;

2lim lim sin 0.

nT n n

nT n n

a x t n t T

b x t n t T

→∞ →∞

→∞ →∞

= ω

= ω

∫

∫

→

→

Se face observaţia că scăderea amplitudinilor componentelor armonice cu

ordinul lor este cu atât mai rapidă cu cât semnalul ( ) x t are o variaţie mai lentă.




1.7.2 Forma armonică a dezvoltă rii în serie Fourier (SFA)

Plecând de la identitatea:

( )0 0 0

0 0

cos sin cos

cos cos sin sin

n n n n

n n n

a n t b t A n t

A n t A n t

ω + ω = ω + ϕ =

n= ω ϕ − ω ϕ

nϕ

rezultă:

cos , sinn n n n na A b A= ϕ = − ,

astfel încât:

2 2 00, cu şi 1,2,...,

2n n n

a A a b A n= + = = ∞

şi

( ) 0arctg , cu 0 şi 1,2,...,n n nb a nϕ = − ϕ = = ∞ .

1.7.3 Forma complexă a dezvoltă rii în serie Fourier (SFC)

Pentru setul ortogonal, definit de:

[ ) ( ) 0 j00, 2 : e , cun t

t nt I T t nω∀ ∈ = = π ω ϕ = ∈ ,

pentru care:

0 0 j j 0, dacă, e e d, dacă

n t k t n k

T

k nt T k

ω − ωn

≠⎧ϕ ϕ = ⋅ = ⎨=⎩∫

se defineşte dezvoltarea în SFC sau în serie Fourier exponenţială (SFE) asemnalului periodic ( ) x t :

( ) ( ) 0 je n t n

n

x t x t T c

+∞ω

=−∞

= + = ∑ ,

unde:

( ) 0 j1e dn t

nT

c x t T

− ω= ∫ t .

Cum

( )[ ]

( )[ ] ( )

0 0

j0 0

1cos jsin d

1 2 1cos jsin d j e

2 2

n

n

T

n n n

T

c x t n t n t t T

x t n t n t t a b c

T

θ

= ω − ω =

= ⋅ ω − ω = − =

∫

∫




şi

( ) j1 j e

2n

n n n nc a b c −θ− −= + = ,

rezultă că:2 21 1

,2 2n n n n nc c a b A n

∗−= = + = ∈

şi

00 02

ac A= = ,

iar

( )( )

arctg , ;arctg , .

n n n n

n n n n

b a n

b a n

∗

∗−

θ = − = ϕ ∈θ = + = −ϕ ∈

1.8 Spectrul de frecvenţe al semnalelor periodiceSemnalele periodice, fiind exprimate prin sume discrete de semnale

elementare (de tip sinusoide, cosinusoide sau exponenţiale), vor avea spectrelede amplitudini şi de faze discrete.

Liniile (sau componentele) spectrale asociate fiecărui termen din

dezvoltările în SFT, SFA sau SFC există numai la multipli întregi ai frecvenţeifundamentale 0 02 2 / f T ω = π = π , adică la frecvenţele armonice , cu

.0nω

saun∈

1.9 Banda de frecvenţă ocupată de un semnal periodicTeoretic, banda ocupată de un semnal periodic este infinită! Practic,

deoarece amplitudinile componentelor spectrale descresc cu frecvenţa, pentruordine mari, amplitudinile devin suficient de mici comparativ cu cele de ordin

inferior, astfel încât pot fi neglijate.Putem considera că, practic, un semnal periodic ocupă o bandă limitată la[ ]max 00,n ω .

1.10 Puterea medie a unui semnal periodicFie un semnal periodic ( ) x t reprezentat cu ajutorul SFE

( )( )

0 je n t n

n

x t c ω= ∑ .

Puterea medie a semnalului periodic ( ) x t este definită de:




( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

0

0

2 j

2 j

1 1 1d d e

1e d ,

n t T n

T T T n

n t n n n n

T n n n

P x t t x t x t t x t cT T T

c x t t c c c n

T

− ω∗ ∗

− ω∗ ∗

= = ⋅ =

= = = ∈

∑∫ ∫ ∫

∑ ∑ ∑∫

dt =

Relaţia obţinută poartă denumirea de egalitatea lui Parseval, iar pentrun N < rezultă că:

( )2 21d

N

T n

n N T

P x t t cT

+

=−

= > ∑∫ ,

care este cunoscută ca inegalitatea lui Bessel.

1.11 Funcţia de corelaţie a semnalelor analogiceperiodice

Fie semnalele periodice ( ) ( )1 2şi x t x t şi dezvoltările lor în SFE:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

j1 1 1

j2 2 2 0

e ;

e , cu 2 /

n t n

n

n t n

n

x t x t T c

. x t x t T c T

+∞ω

=−∞

+∞ω

=−∞

= + =

= + = ω = π

∑

∑

Se defineşte funcţia de (cros)corelaţie a semnalelor ( ) ( )1 2şi x t x t :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 1 2 2 11 1

d dT T

r x t x t t x t x t T T

∗ ∗τ = + τ = + τ∫ ∫ t .

Se demonstrează că funcţia ( )12r τ este periodică, adică:

( ) ( )12 12r r T τ = τ + .

În consecinţă, se poate demonstra că:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

0 0

0 0 0

j j12 1 2

j j j2 1 1 2

1e e d

1e e d e

n t nn

T n

n n t nn n n

T n n

r x t c t T

c x t t c c cT

ω ω τ∗

+∞ω τ ω ω τ ω τ∗ ∗

=−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥τ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅ = ⋅ =

∑∫

∑ ∑∫ 0 je ,nn

n

∑

n

unde .1 2n nc c c∗=

Dacă ( ) ( ) ( )1 2 x t x t x t = = , atunci:




( ) ( ) ( ) 02 j1d e n

nT

n

r x t x t t cT

+∞ω τ∗

=−∞

τ = + τ = ∑∫ .

Puterea medie a semnalului periodic ( ) x t este dată de:

( ) ( )2 21

0 dm nT

n

P r x t t cT

+∞

=−∞

= = = ∑∫ .

1.12 Produsul de convoluţie a două semnale analogiceperiodice

Pentru două semnale analogice periodice ( ) ( )1 2şi x t x t se defineşte

produsul lor de convoluţie prin relaţia:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 2 1

1 2

1 1d d

T T T

x t x t

x x t x x t x x t T T

x x t

∗ ∗

⎫∗⎪

∗ = τ − τ τ = τ − τ⎬⎪

⊗ ⎭

∫ ∫ τ .

Se demonstrează că produsul de convoluţie a două semnale periodice (deaceeaşi perioadă) este periodic, adică:

( )( ) ( )( )1 2 1 2 x x t x x t T ⊗ = ⊗ + .

În consecinţă, se poate demonstra că:

( )( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

0

0 0 01 2

j1 2 1 2

j j j2 1

1e d

1e e d e

n t n

T n

n t n n t n t n n n

T n n

x x t x cT

c x c c cT

ω −τ∗

+∞ +∞ω − ω σ ω∗

=−∞ =−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⊗ = τ ⋅ τ =⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅ τ τ = =

∑∫

∑ ∑∫ 0 jen

n

ω∑

unde .1 2n n nc c c= ⋅

1.13 Reprezentarea semnalelor analogice neperiodicecu ajutorul transformării Fourier

Pentru semnalul analogic ( ) x t din figura 1.7 se poate construi un semnal

analogic periodic ( ) x t , alegându-se convenabil perioada T .




( ) x t

( ) x t 0

2T − T − 2T − 0 2T + T 2T

Figura 1.7

Pentru /2t T < , rezultă că ( ) ( ) x t x t = , iar semnalul periodic ( ) x t poate

fi dezvoltat în SFE:

( ) ( ) 0 je n t n

n

x t x t T c

+∞ω

=−∞

= + = ∑ ,

unde:

( ) ( ) ( )0 0

/ 2 / 2 j j

/ 2 / 2

1 1e d e d e d

T T

n t n t n t n

T T

c x t t x t t x t t T T

+ + +∞− ω − ω − ω

− − −∞

= = =∫ ∫ ∫ 0 j

dt

.

Se defineşte funcţia de variabilă continuă:

( ) ( ) ( ) j j e t X X x t +∞ − ω

−∞

ω = ω = ∫ ,

astfel că: ( )01

nc X nT

= ω .

Rezultă că:

( ) ( ) ( )0 0 j j0 0

1 1e e

2n t n t n t

n

n n n

x t c X n X nT

+∞ +∞ +∞ω ω

=−∞ =−∞ =−∞

= = ω = ωπ∑ ∑ ∑ 0 j

0e ω ⋅ ω .

Dacă

( ) ( )

( )0 0 0

0

1 d

şi, în plus,

x t x t

T n n

n

⎧ →⎪⎪

→ ∞ ⇒ ω = ω − − ω → ω⎨⎪

ω → ω →⎪⎩ Σ ∫

În consecinţă:

( ) ( ) j1e d

2t

x t X

+∞ω

−∞

= ω ωπ ∫ .




În concluzie, pentru un semnal neperiodic ( ) x t , analiza şi sinteza

semnalului sunt date de relaţiile:

( ) ( ) ( ) j j e t X TF x t x t dt

+∞− ω

−∞

ω = =

∫;

( ) ( ) ( )1 j1 j j

2t

x t TF X X e d+∞

− ω

−∞

= ω = ωπ ∫ ω

)

,

unde este o funcţie complexă, denumită şi „funcţie de densitate spectrală

complexă” sau spectrul de frecvenţe asociat semnalului

( j X ω

( ) x t :

( ) ( )

( )

( ) ( ) j

j j e cu arg j X X X

Φ ω

ω = ω Φ ω = ω .

ComentariuDacă ( ) 1 2sau x t L L∈ :

( ) ( ) ( ) ( ) jlim lim e d lim cos j sin d 0t X x t t x t t x t t

+∞ +∞ +∞− ω

ω →∞ ω →∞ ω →∞−∞ −∞ −∞

⎡ ⎤⎢ ⎥ω = = ω − ω →⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ t

Condiţii SUFICIENTE pentru existenţa transformatei ( ) j X ω

1) ( ) ( )1, adică d x t L x t t

+∞

−∞

∈ <∫ ∞ .

2) Funcţia ( ) x t să aibă un număr finit de maxime şi minime în orice

interval finit pe .

3) Funcţia ( ) x t să aibă un număr finit de discontinuităţi în orice interval

finit pe .

Dacă ( ) ( ) ( ) je t x t X x t

+∞

− ω

−∞∈ ⇒ ω = ∫ şi, în consecinţă:

( ) ( ) ( ) ( ) je t X x t X

+∞− −ω ∗

−∞

−ω = = ω∫ .

În acest caz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1Re j j j ;

2 21 1

Im j j j ,2 j 2 j

X X X X X

X X X X X

∗

∗

⎡ ⎤ω = ω + − ω = ω + ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ω = ω − − ω = ω − ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦




iar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 j j j Re j Im X X X X X X X ∗ω = ω ⋅ − ω = ω ⋅ ω = ω + ω j .

Se poate ar ăta că:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Re j cos d Re j ;

Im j sin d Im j .

X x t t t X

X x t t t X

+∞

−∞

+∞

−∞

ω = ω = − ω

ω = − ω = − − ω

∫

∫

În plus:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j arg j j

0

0

1 1 j e d j e d

2 2

1 j cos arg j d ,

t X t

e

x t X X

X t X x t x

+∞ +∞ω + ωω

−∞ −∞

∞

= ω ω = ωπ π

⎡ ⎤= ω ω + ω ω = +⎣ ⎦π

∫ ∫

∫ t

ω =

unde:

( ) ( )

( ) ( )

0

00

1Re j cos d ;

1

Im j sin d .

e x t X t

x t X

∞

∞

= ω ωπ

−

= ωπ

∫

∫ t

ω

ω ω

1.14 Funcţia densitate spectrală a unor semnalecare nu îndeplinesc condiţiile Dirichlet

Deşi aceste funcţii nu sunt de modul integrabile (şi nu îndeplinesccondiţiile lui Dirichlet), se poate considera că au o transformată Fourier dacă sefolosesc distribuţiile Dirac.

a) Pentru funcţia semnal ( ) const. x t K = =

( ) ( ) j12 e

2t

x t K K ω= = π δ ω ωπ

d şi rezultă că: ( )2TF

K ⇔ πδ ω ;

K

( ) x t

0 t

Figura 1.8




b) Pentru funcţia semnal ( ) 0 j0

2e , cut

x t T

ω π= ω = ∈ :

( ) ( )0 j j0

1e 2 e

2t t x t d

+∞ω ω

−∞

= = πδ ω − ωπ ∫ ω şi rezultă că: ( )0 j

0e 2t ω ⇔ πδ ω − ω F

.

În consecinţă:

( ) ( )0 0 j j0

1cos e e

2t t

x t t ω − ω= ω = + ,

iar

( ) (0 0 j j0 0

1 1cos e e

2 2t t

TF t TF TF ω − ωω = + = πδ ω − ω + πδ ω + ω )0 .

π

ω0ω0−ω

π

Figura 1.9

Similar, pentru ( ) ( )0 j j0

1sin e e

2jt

x t t ω − ω= ω = − 0t , rezultă că:

( ) ( )( ) ( )( )

0 0 j j

0 0

0 0

1 1

sin e e2j 2j j j

j j

t t

TF t TF TF

ω − ω

0

π π

ω = − = δ ω − ω − δ ω + ω == − πδ ω − ω + π δ ω + ω

jπ

ω0ω

0−ω

j− π

0sin t ωF

Figura 1.10

c) Reprezentarea unui semnal analogic periodic cu ajutorul transformatei FourierSeria Fourier (complexă) pentru un semnal periodic este dată de relaţia:

( ) 0 je n t n

n

x t c

+∞ω

=−∞

= ⋅∑ ,

unde: ( ) 0 j

0

1e d

T

n t nc x t

T

− ω= ⋅

∫ t .




Deoarece (0 j0e 2t

TF ω = πδ ω − ω )

ω

, rezultă că:

( )0 j0e 2n t

n n

n n

TF c c n

+∞ +∞ω

=−∞ =−∞

⎧ ⎫⎪ ⎪⋅ = π δ ω −⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑ ,

adică

( ) ( )02 n

n

TF x t c n

+∞

=−∞

= π δ ω − ω∑

sau

( ) ( )0n

n

TF x t c f nf

+∞

=−∞

= δ −∑ .

Deci transformata Fourier a unui semnal periodic reprezentat princoeficienţii seriei Fourier poate fi interpretată ca un tren de impulsuri Dirac,echidistante pe scara frecvenţelor

nc

0nω , cu arii egale cu 2 ncπ ⋅ .

1.15 Proprietăţile transformatelor FourierTransformatele Fourier sunt definite de relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

not not j

not 1 j

j e

1 j j e

2

D t

D t

X X TF x t x t t

x t TF X X

+∞− ω

−∞+∞− +

−∞

⎧⎪ ω = ω = =⎪⎪⎨⎪

= ω = ω⎪ π⎪⎩

∫

∫

d

dω ω

( ) ( ) j x t X ⇔ ωF

1. Dacă ( ) ( )1 sau 2 x t L L∈ , adică ( ) x t este de modul integrabil, rezultă că:

( ) ( )[ ]lim lim cos jsin d 0 X x t t t t

+∞

ω →∞ ω →∞−∞

ω = ω − ω →∫ .

2. Teorema conjugării

( ) ( )TF

x t X ∗ ∗⇔ −ω .

Demonstraţia rezultă din relaţia de definiţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j e d e dt t X x t t x t t TF x

+∞ +∞− − ω∗ ∗ ∗ − ω

−∞ −∞

− ω = = =

∫ ∫ t

∗ .




3. Teorema liniarităţii

Dacă :( ) ( ) j şii i i x t X ⇔ ω α ∈ F

( ) ( ) ( ) ( ) j

TF

i i i ii i x t X X α ⇔ α∑ ∑ ω

ω

;

de exemplu: .( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 j jTF

x t x t X X α + α ⇔α ω + α

4. Teorema dualităţii sau „simetriei”

( ) ( ) ( ) ( ) j 2TF TF

x t X X t x⇔ ω ⇒ ⇔ π −ω .

Fie două funcţii legate prin transformarea integrală

( ) ( ) ( ) ( ) j j1e d ; e d

2uv uv

f u g v v g v f v

+∞ +∞− −

−∞ −∞

= =π∫ ∫ u

;

dacă: ( ) ( )u

f TF g t v t

= ω⎧⇒ ω =⎨

=⎩; dacă: ( ) ( )

1

2

u t g TF f

v

=⎧⇒ −ω =⎨

= ω⎩t .

5. Teorema schimbării scărilor

( )TF t

x a X aa

⎛ ⎞⇔ ω⎜ ⎟⎝ ⎠

sau

( )1TF

x at X a a

ω⎛ ⎞⇔ ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Demonstraţia rezultă aplicând definiţia TF funcţiei semnalt

xa

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

:

( ) ( ) j j

d d

e d e dt a

t

at a

t a

t t TF x x t x a a X a

a a

+∞ +∞− ω − ω τ

=τ−∞ −∞= τ

= τ

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → τ τ =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ∫ ∫ ω .

6. Teorema deplasării (sau translaţiei) în domeniul timp

( ) ( )0 j0 e jTF

t x t t X − ω− ⇔ ⋅ ω .




Demonstraţia rezultă aplicând definiţia TF funcţiei semnal ( )0 x t t − :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

j j j0 0

d d

e d e d e jt t t

t t t t

t

TF x t t x t t t x X

+∞ +∞− ω τ+ − ω− ω

− =τ−∞ −∞=τ+= τ

− = − → τ τ = ω

∫ ∫.

7. Teorema deplasării (sau translaţiei) în domeniul frecvenţă (teorema modulaţiei)

( ) ( )0 j0e

TF t x t X

ω⋅ ⇔ ω − ω .

Demonstraţia rezultă aplicând definiţia 1TF − funcţiei ( )0 X ω − ω :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

00

0 0

-1 j0 0

d d

j j

1e d

2

1e d e

2

t

t t

TF X X

X x

+∞ϖ

ω−ω =Ω−∞ ω=Ω+ω

ω= Ω

+∞Ω+ ω ω

−∞

ω − ω = ω − ω ω →π

→ Ω Ω = ⋅π

∫

∫ t

AplicaţieSchema unui modulator de produs este dată în figura 1.11

( ) x t

0cos t ω

( ) X ω

( ) ( ) 0cos MA x t x t t = ⋅ ω

( ) MA X ω

Figura 1.11

Rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 j j0

1 1cos e e

2 2t t

MA x t x t t x t x t ω − ω= ⋅ ω = + ,

iar

( ) ( ) ( )0 0

1 1

2 2 MA X X X ω = ω − ω + ω + ω .




1.16 Funcţia (sau produsul) de convoluţie a semnaleloranalogice neperiodice

Pentru două funcţii semnal ( ) ( )şi x t h t , neperiodice, se defineşte funcţia

sau produsul lor de convoluţie prin:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d y t x h t x h t h x t

+∞ +∞

−∞ −∞

= ∗ = τ ⋅ − τ τ = τ ⋅ − τ∫ ∫ τ

⎤⎥ τ =⎥⎦

.

Teorema convoluţiei în domeniul timpDacă

( ) ( ) ( ) ( )şi TF TF

x t X h t H ↔ ω ↔ ω ,atunci

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )TF

y t x h t X H Y = ∗ ↔ ω ⋅ ω = ω .

Demonstraţia rezultă aplicând transformata Fourier funcţiei de convoluţie:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j j

j

d e d e d d

e d .

t t

t

TF x h t x h t t x h t t

x t H X H

+∞ +∞ +∞ +∞− ω − ω

−∞ −∞ −∞ −∞

+∞− ω

−∞

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢∗ = τ − τ τ = τ − τ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤⎢ ⎥= τ ω = ω ⋅ ω⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫∫

Teorema convoluţiei în domeniul frecvenţă Dacă

( ) ( ) ( ) ( )şi TF TF

x t X p t P↔ ω ↔ ω ,

atunci

( ) ( ) ( ) ( )( ) (1

2

TF y t x t p t X P Y = ⋅ ↔ ∗ ω = ω⎡ ⎤⎣ ⎦π

) ,

unde:

( ) ( ) ( )1

d2

Y X P

−∞

ω = λ ⋅ ω − λ λπ ∫ .




1.17 Funcţia de corelaţie a semnalelor analogiceneperiodice

Pentru două funcţii semnal ( ) ( )1 2şi x t x t neperiodice, se defineşte funcţia

de corelaţie mutuală:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 1 2 2 1 1 2d dr x t x t t x t x t t x t x

+∞ +∞∗ ∗

−∞ −∞

τ = + τ = + τ =∫ ∫ , t ∗

t

.

Observaţie importantă: Cu schimbarea de variabilă:

şi d dt t t t t ′ ′ ′+ τ = ⇒ = − τ =

rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 1 2 2 1

2 1 2 1 1 2

d d

d d

t t

r x t x t t x t x t t

, x x t t x x t x t x t

+∞ +∞∗ ∗

′=τ−∞ −∞ τ=

+∞ +∞

−∞ −∞

′ ′τ = + τ → − τ =

= τ τ − = τ − − τ τ = −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

Dacă ( ) ( ) ( )1 2 x t x t x t = = , se defineşte funcţia de autocorelaţie a

semnalului ( ) x t prin:

( ) ( ) ( ) ( )11 dr r x t x t t +∞

−∞

τ = τ = ⋅ + τ∫ .

Pentru , rezultă că:0τ =

( ) ( ) ( ) ( )22

00 d d x xr x t t x t t E r

+∞ +∞

τ≠−∞ −∞

= = = ≤ τ∫ ∫ .

1.18 Teorema Wiener-Hincin: legătura dintre spectrulenergetic al semnalelor analogice şi funcţia lorde autocorelaţie

Să consider ăm un semnal analogic (neperiodic) ( ) x t şi funcţia sa de

autocorelaţie:

( ) ( ) ( )dr x t x t t

+∞

−∞

τ = ⋅ + τ

∫.




Deoarece

( ) ( ) jTF

x t X ↔ ω

şi

( ) ( ) j j eTF

x t X ωτ+ τ ↔ ω ,

rezultă că:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

j j

j j

2 j j

1 j e e d d

2

1 j e e d d

2

1 1 j j e d j e d

2 2

t

t

r x t X t

X x t t

X X X

+∞ +∞ωτ ω

−∞ −∞

+∞ +∞ωτ ω

−∞ −∞

+∞ +∞∗ ωτ ωτ ,

−∞ −∞

⎡ ⎤⎢ ⎥τ = ω ⋅ ω =

π⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= ω ω =

π ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ω ω ω = ω⎣ ⎦π π

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ω

adică funcţia densitate spectrală de energie:

( ) ( )2

j xW X ω = ω

şi funcţia de autocorelaţie a semnalului( )r τ ( ) x t sunt perechi transformate Fourier:

( ) ( ) ( )2

jTF

xr W X τ ↔ ω = ω .

Pentru , se obţine relaţia lui Parseval:0τ =

( ) ( ) ( )2 1

0 d2 x xr x t t E W

+∞ +∞

−∞ −∞

= = =π∫ ∫ dω ω .

1.19 Transformarea LaplacePentru semnalele ( ) x t care nu sunt absolut integrabile, adică ( ) 1 x t L∉ ,

( ) d x t t +∞

−∞

→ ∞∫ ,

se verifică dacă funcţia ( ) ( ) e t f t x t

−σ= ⋅ , cu 0σ > îndeplineşte condiţia:

( ) ( )d e dt f t t x t t

+∞ +∞−σ

−∞ −∞

= ⋅∫ ∫ < ∞ , adică ( ) 1 f t L∈ .

Aplicând funcţiei ( ) f t transformarea Fourier, se obţine:




( ) ( ) ( ) ( ) j je e d e dt t t TF f t x t t x t t

+∞ +∞− σ+ ω−σ − ω

−∞ −∞

= ⋅ =∫ ∫ .

Notând cu js = σ + ω , rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) not

e dst II II TF f t x t t X s TL x t

+∞−

−∞

= = =∫ .

Transformata Fourier inversă este:

( ) ( ) ( ) j1e e

2t t

II f t x t X s d+∞

−σ ω

−∞

= = ⋅π ∫ ω .

Deoarece js = σ + ω, pentru const.σ = , se deduce că

1

d jd d d js s= ω→ ω= ,de unde rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( ) j

j

j

1 1e d e

2 2 jt dst

II II x t X s X s

σ+ ∞+∞σ+ ω

−∞ σ− ∞

= ⋅ ω =π π∫ ∫ s ,

adică

( ) ( ) 1 II x t TL X s−= ,

care este transformarea Laplace inversă bilaterală.Deoarece în tehnică, în general, se folosesc semnale cauzale, care suntnule pentru , se utilizează transformarea Laplace unilaterală:0t <

( ) ( ) ( )not

0

e d D st

I I X s TL x t x t t

∞−= = ⋅∫

şi rezultă:

( ) ( ) ( )1

0

1e d , cu 0

2 j

D st I x t TL X s X s s t

∞−= = ⋅

π ∫ > .

În general se suprimă indicele „ I ”, subînţelegându-se utilizareatransformărilor Laplace unilaterale:

( ) ( ) ( )not

0

e d D st

X s TL x t x t t

∞−= = ⋅∫ ;

( ) ( ) ( )not 1

0

1= e

2 j D dst

x t TL X s X s s

∞− =

π ∫ .




Observaţie: Transformata Laplace reprezintă o dezvoltare a semnalului ( ) x t

într-o serie de oscilaţii de forma:

( ) ( ) ( j j j1e e e e e

2

t t st t X s s A A

j

)σ+ ω ϕ+ωϕ ϕ⎡ ⎤⋅ Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

π⎣ ⎦

∼ ∼ ;

amplitudinea oscilaţiilor poate fi crescătoare, scăzătoare sau constantă cu timpul,după cum .0, 0 sau 0σ < σ > σ =

1.20 Principalele proprietăţi ale transformării LaplacePerechea de funcţii: original ( ) x t şi imaginea sa ( ) ( ) X s TL x t =

respectă următoarele teoreme (sau proprietăţi): liniaritatea

( )( )

( )( )

1 1TL

i i

i i

x t X ⎧ ⎫⎪ ⎪

α ↔ α⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑ s ;

întârzierea în (domeniul) timp

( ) ( )00 e

TL st x t t X s

−− ↔ ;

deplasarea în planul variabilei s

( ) ( )00e

TLs t x t X s⋅ ↔ − s ;

schimbarea de scară

( )1

, 0TL s

x kt X k k k

⎛ ⎞↔ ⋅ ∀⎜ ⎟⎝ ⎠

> ;

derivarea funcţiei semnal

( )( )

( )

1

1

d0

d

n n k TL n n k

nk

x t s X s s x

t

−− +

=

⎡ ⎤↔ −⎣ ⎦∑

;

integrarea funcţiei semnal

( ) ( )0

1d

t TL

x X ss

τ τ↔∫ ;

convoluţia în (domeniul) timp

( )( ) ( ) ( )TL

x h t X s H s∗ ↔ ⋅ ;




convoluţia în (domeniul) frecvenţă

( ) ( ) ( )(1

2 j

TL

) x t p t X P sn

⋅ ↔ ∗ ;

regiunea de convergenţă (notată cu RdC) este domeniul din

planul variabilei js = σ + ω , asociat transformatei Laplace ( ) X s ,în care aceasta este absolut convergentă.

În figura 1.12 sunt reprezentate grafic regiunile de convergenţă pentrucâteva funcţii semnal des întâlnite.

( ) 1t δ =L 1 t σ

jω

RdC( )t δ

σ

jω

RdC1 t

( )u t

σ

jω

RdC0

1t

( )0e t u t

− σ ⋅

( ) 1

t s

δ =L

( ) 0

0

1e t

u t

s

−σ ⋅ =

+ σ

L

σ

jω

RdC0 jω

0 j− ω

( ) 0 2 20

cos s

t u t s

ω ⋅ =+ ω

L 1

t 0cos t ω

1−

1t

1−

0sin t ω

( ) 00 2 2

0

sin t u t s

ωω ⋅ =

+ ωL

0−σ

σ

jω

RdC0

t 0cos t ω

0 j− ω

0 jω

0−σ

( )

0 00 2 2

0 0

e cost st

s

−σ + σω =

+ σ + ωL

Figura 1.12




Trecerea de la transformata Laplace ( ) L X s la transformata Fourier ( ) X ω

se poate realiza numai dacă: – regiunea de convergenţă (RdC) asociată transformatei Laplace

conţine axa a planului s, caz în care: jω

( ) ( ) j

Ls

X X s= ω

ω = ;

– regiunea de convergenţă (RdC) asociată transformatei Laplace estelimitată de axa , iar jω ( ) L X s are doar poli simpli pe axa , caz în

care:

jω

( ) ( ) ( )( )

j L k

sk

X X s a= ω

ω = + πδ ω − ω∑ k ,

unde:

( ) Rezid , jk La X s s= = ω .

Trecerea de la transformata Fourier ( ) X ω la transformata Laplace de ( ) L X s

se face, pentru semnale cauzale, conform relaţiei:

( ) ( ) j

s L X s X ω== ω




CAPITOLUL 2

SEMNALE ALEATOARE

2.1 Semnale şi perturbaţii în sistemele de comunicaţiiUn semnal determinist este definit printr-un număr finit de parametri.

Dacă parametrii sunt cunoscuţi, putem spune că semnalul determinist nu conţineinformaţie. Un semnal aleator ia valori nedefinite anterior. Semnalele aleatoare

parametrice sunt purtătoare de informaţie.Perturbaţiile sunt semnale aleatoare care nu conţin informaţii utile.Perturbaţiile pot fi: – de natur ă internă, cum este zgomotul de agitaţie termică; – de natur ă externă, datorat, de exemplu, descărcărilor atmosferice sau

radiaţiilor cosmice; – artificiale, cum ar fi: perturbaţiile produse de instalaţii şi echipamentele

de contraacţiune radio.

Într-un sistem de comunicaţii se suprapun: semnalele utile, care conţin

mesajul informaţional, cu semnalele aleatoare nedorite, care sunt perturbaţii.Efectul perturbaţiilor asupra semnalului informaţional (util)( )n t ( )s t

poate fi: – aditiv, caz în care: ( ) ( ) ( )r t s t n t = + ;

– multiplicativ, caz în care: ( ) ( ) ( )r t s t n t = ⋅ .

În sistemele de comunicaţii, perturbaţiile pot fi clasificate drept: – zgomote (ergodice sau neergodice); – diafonii (inteligibile sau neinteligibile);

– distorsiuni (reversibile sau liniare şi ireversibile sau neliniare).Zgomotele sunt acele perturbaţii care nu sunt coerente cu nici unul dintresemnalele transmise. Cele ergodice sunt previzibile în medie, nu în detaliu, iarcele neergodice nu pot fi caracterizate de o singur ă realizare.

Diafoniile sunt perturbaţii care provin din semnalele utile ale altor canale.Diafoniile inteligibile sunt puternic coerente cu semnalele utile ale altor canale,iar cele neinteligibile sunt puţin coerente cu semnalele utile ale altor canale.

Distorsiunile sunt perturbaţii coerente cu semnalul util din canalulinformaţional. Distorsiunile reversibile sunt perturbaţii ce pot fi, teoretic, eliminate,

trecând semnalul printr-un circuit de corecţie de amplitudine sau de fază, celeireversibile sunt perturbaţii provocate de dispozitive sau circuite neliniare.




2.2 Caracterizarea statistică a unei variabi le aleatoareÎn teoria probabilităţilor se întâlneşte noţiunea de variabilă aleatoare

(v.a.), care se refer ă la realizarea unui eveniment, asociat cu o variabilă, ce vaavea o valoare (scalar ă sau vectorială). O variabilă aleatoare reală este o

aplicaţie X a spaţiului evenimentelor în RΩ .Se numeşte funcţie de repartiţie sau de distribuţie a probabilităţii

variabilei aleatoare X o funcţie de o variabilă ( ) X F x , definită prin:

( ) ( )= X F x P X x≤ . (2.1)

Această funcţie are următoarele proprietăţi:a) X F este o funcţie crescătoare, mărginită şi continuă;

b) ( ) ( ) ( )= X X P a X b F b F a≤ ≤ − ;

c) .lim ( )=1, lim ( )=0 X X x xF x F x→∞ →−∞

Densitatea de probabilitate (ddp) caracterizează repartiţia probabilităţii înfuncţie de realizări. Densitatea de probabilitate verifică următoarele proprietăţi:

, (2.2)-

( ) ( ) ( )d x

X X X F x F f u u

∞

− − ∞ = ∫

-

( ) ( )d X X F f u 1u

∞

∞

+ ∞ = =∫ , (2.3)

. (2.4)[ ] ( )d ( ) ( )b

X X

a

P a X b f u u F b F a≤ ≤ = = −∫ X

Ca o consecinţă a continuităţii funcţiei ( ) X f x , inegalităţile în care

intervine variabila aleatoare X pot fi luate, indiferent, în sens strict sau în senslarg. Astfel, se poate scrie că:

. (2.5)[ ]d ( X P x X x x f x x≤ ≤ + = )d

2.2.1 Momentele unei v.a.

Mărimea ( )n E X se numeşte moment de ordinul n al variabilei X , iar

mărimea se numeşte moment centrat de ordinul n al

variabilei X .

( )( n

E X E X ⎡ −⎢⎣ ) ⎤

⎥⎦

x

Prin definiţie, varianţa unei v.a. este momentul centrat de ordinul 2.În cazul unei v.a. continuă, expresia varianţei este:

( )+

2Var ( ) ( ) ( )d X X x E X f x

∞

−∞

= −∫ . (2.6)




Cantitatea Var ( ) X xσ = este o caracteristică a dispersiei unei v.a. X în

jurul valorii sale medii ( ) E X . Mărimea X σ se numeşte „ecartul tip” alvariabilei aleatoare X sau „derivaţia standard”.

În general, se spune că ( ) x E X − este variabila centrată (de ordinul zero)

corespunzătoare lui X .

2.2.2 Prima func ţ ie caracteristică

Se numeşte funcţie caracteristică (sau prima funcţie caracteristică)funcţia:

j( ) e uX X u E Φ = . (2.7)

Această funcţie caracteristică există întotdeauna, pentru orice valoare a

variabilei u. Când X este o v.a. continuă, rezultă că ( ) x uΦ este legată direct detransformata Fourier a lui ( ) X f x , astfel că:

je2

uX X

u E TF

⎡ ⎤= −⎢ ⎥π⎣ ⎦, (2.8)

unde ( )XTF ⋅ este transformata Fourier a funcţiei ( ) X f x .

2.2.3 Exemple de densităţ i de probabilitate (ddp)

În cazul continuu, o variabilă aleatoare X se spune că are o ddp uniformă dacă funcţia ( ) X f x este cunoscută în intervalul [a, b], astfel că:

( )1

,

0, în rest X

a x b f x b a

⎧ ≤ ≤⎪= −⎨

⎪⎩

(2.9)

[ ]2

a b E X

+= este centrul intervalului;

[ ]2( )Var

12

b a X −= ; (2.10)

2 3 X

b a−σ = ; (2.11)

( ) ( )2

j ( )e sin

2

a bu

X

b au

+ −⎛ Φ = ⎜⎝ ⎠

u ⎞⎟ . (2.12)

Variabila aleatoare X este o v.a. continuă, de tip Gauss, dacă:




Deoareced

( ) ( )dY X

x f y f x

y= , iar

0

1arccos x y

A

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, astfel că:

2 20

d 1

d

x

y A y= −

−,

rezultă că:0

2 20

0

1, pentru

2( )

0, pentru

Y

y A

A y f y

y A

⎧ ≤⎪ π −= ⎨⎪ >⎩

2.2.5 Analiza statistică de ordin superior pentru o variabil ă

aleatoare

Între funcţia de densitate de probabilitate şi funcţia caracteristică există relaţia:

( ) ( ) jTF X X f x ←⎯⎯→Φ ω .

Momentele de ordin superior se definesc astfel:

( ) ( )

( )( )

j 0

jd

j

nn n X

X X nm x f x x

+∞

−∞ ω=

∂ Φ ω= =

∂ ω∫

Rezultă că:(1) X m – valoarea medie;(2) X m – valoarea medie pătratică;(3) X m – valoarea medie cubică.

Cumulanţii de ordinul n se definesc conform relaţiei:

( )

( )( )

j 0

ln j

j

n X n

X nc

ω=

∂ Φ ω⎡ ⎤⎣ ⎦=∂ ω

Rezultă că:(1) (1) X X c m= ;

2(2) (2) (1) X X X c m m⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ ;

3(3) (3) (2) (1) (1)3 2 X X X X X c m m m m⎡ ⎤= − + ⎣ ⎦ ;

2 2(4) (4) (2) (3) (1) (2) (1) (1)3 4 12 6 X X X X X X X X

c m m m m m m m⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4.




Dacă variabila aleatoare X este „de medie zero”, atunci:(1) (1) 0 X X c m= = ,

iar(2) (2) X X c m= ;(3) (3) X X c m= ,

însă 2(4) (4) (2)3 X X X c m m⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ .

2.3 Caracterizarea statistică a unui ansamblu

de variabile aleatoareUn ansamblu sau un sistem de variabile aleatoare formează un vector

aleator X cu n dimensiuni, descris de: 1 2, ,..., n X X X =X .

Cunoaşterea funcţiei de distribuţie a vectorului antrenează cunoaştereacelor n variabile aleatoare. În general, reciproca nu este adevărată!

Un caz foarte important este cel al evenimentelor independente.Se spune că n v.a., 1 2, , , n X X X , sunt independente în ansamblul lor dacă:

( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 2, ... ...

n X n X X X n f x x f x f x f x= ⋅ . (2.16)

Ca un caz particular, ne vom limita la studiul vectorilor aleatori cu două dimensiuni, notaţi cu ( X , Y ). Vom presupune că vectorul aleator ( X , Y ) estecontinuu, adică există o funcţie densitate de probabilitate de forma:

( ) ( )2 ,

, XY XY

F x y f x y

x y

∂=

∂ ∂; (2.17)

. (2.18)[ ]d şi d ( , XY P x X x x y Y y y f x y x y≤ ≤ + ≤ ≤ + = )d d

Momentele se definesc prin următoarea relaţie:rsm

( ), d dr s r srs XY m E X Y x y f x y x y

+∞

−∞

= = ∫ ∫ . (2.19)

Cele mai importante momente sunt momentele de ordinul 1, definite de:

10 ( , )d d ( )d XY X m E X x f x y x y xf x x

+∞ +∞

−∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫ , (2.20)

01 ( )dY m E Y yf y y

+∞

−∞= = ∫ . (2.21)




Există, apoi, trei momente necentrate de ordinul doi şi trei momentecentrate:

, (2.22) ( )2 2 220 , d d ( )d XY X m E X x f x y x y x f x

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

= = =∫ ∫ ∫ x

y 2 202 ( )dY m E Y y f y

+∞

−∞

= = ∫ , (2.23)

( )11 , d d XY m E XY xyf x y x y

+∞+∞

−∞−∞

= = ∫ ∫ . (2.24)

Inegalitatea lui Schwarz leagă cele trei momente, astfel încât:

2 2 211 02 20m m m E XY E X E Y ≤ ⇔ ≤ 2 , (2.25)

( ) ( )

11 10 01

11 10 01

'

,

E X m Y m

m m m E XY E X E Y

μ = − − =

= − ⋅ = − (2.26)

în care se numeşte covariaţia lui ( X, Y ).11′μ

Ultimele inegalităţi ne permit astfel să definim coeficientul de corelaţie:

( ) ( )cov ,

, X Y

X Y X Y ρ =

σ σ. (2.27)

Acest coeficient variază între +1 şi –1, precum o funcţie cosinusoidală.

În cazul în care Y este o funcţie afină de X , adică , se poatear ăta că:

= +Y a X b

( )( )

dacă > 0 , , 1

dacă < 0 , , 1

a X Y

a X Y

ρ =⎧⎪⎨ ρ = −⎪⎩

(2.28)

Când , se spune că variabilele aleatoare X şi Y sunt necorelate.

Independenţa este o condiţie suficientă ca două variabile aleatoare să nu fiecorelate, dar nu este o condiţie necesar ă. Astfel, putem avea

( ), X Y ρ 0=

( ) ( ) ( ), E X Y E X E Y = , f ăr ă ca X şi Y să fie independente.




2.3.1 Teorema limită central ă (sau convergen ţ a că tre o lege

normal ă )Dacă avem n variabile aleatoare (complet), k X , discrete sau continue,

independente, de acelaşi tip şi care sunt caracterizate de momentele de ordinul 1şi ordinul 2, se arată că variabila aleatoare:

( )(1

1

k

n

n k

X k

X X n=

= −σ∑ )k E X (2.29)

are o funcţie caracteristică care tinde către funcţia caracteristică a unei v.a.centrate, normale.

Această teoremă ne permite să înţelegem de ce caracterul aleator gaussianeste, fizic, cel mai r ăspândit. De fapt, adesea, o mărimea aleatoare observată estesuma unui număr foarte mare de v.a. slabe, de o legitate oarecare, dar identică.

2.4 Caracterizarea statistică a unui semnal(sau proces) aleator

Un semnal aleator (sau stocastic), notat cu X , este un proces ce sedesf ăşoar ă în timp şi este guvernat, cel puţin în parte, de legi probabilistice.

Modelul matematic al unui semnal aleator poate fi considerat ca oaplicaţie , astfel că fiecărui moment: X →T V 1t ∈T i se poate asocia o

variabilă aleatoare ( )1k x t , cu valori în V. Dacă , semnalul aleator este

definit în timp continuu şi poate lua valori continue sau discrete. Dacă ,semnalul aleator se mai numeşte şi secvenţă (sau serie) aleatoare, putând aveavalori continue sau discrete.

⊂T R

⊂T Z

Un semnal aleator este caracterizat fie prin realizările sale temporale (particulare), notate prin ( ; ) x k t sau ( )k x t , fie prin valorile sale statistice

considerate (de exemplu) la momentul 1t t = pe ansamblul realizărilor, notate

cu ( )1; x k t sau ( )1k x t .

Probabilitatea ca un semnal aleator X să fie mai mic decât o valoare 1 x

(determinată) este notată cu:( ) ( ) 1 1k P X x P x t x< = < 1 . (2.30)

Funcţia (sau legea) de distribuţie (sau repartiţie) a probabilităţii, notată cu ( )1;F x t , este definită de:

( ) ( ) 1 1; k F x t P x t x= < . (2.31)

Funcţia de distribuţie a probabilităţii de ordinul n reprezintă probabilitateaca valorile statistice ale ansamblului realizărilor considerate la momentele de timp

să fie mai mici decât o serie de valori1 2, ,..., nt t t 1 2, ,..., n x x x , adică:

(2.32)( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ; , ,..., , ,..., .n n n k k k n

DF x x x t t t P x t x x t x x t x= < < <) n




momentul centrat de ordinul zero se defineşte prin:

( ) ( ) ( )01 1 1

Dk k 1 x t x t m t = − ; (2.40)

momentul centrat de ordinul unu are definiţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1 1 1 1 1 1; d D

k k k 1; x t x t m t x t m t f x t x∞

−∞

= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ (2.41)

dispersia (sau varianţa) este momentul centrat de ordinul doi, adică:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; d D

x k k t x t m t x t m t f x t x1

∞

−∞

σ = − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ . (2.42)

Pentru două momente de timp 1t t 2≠ , din observaţiile unui semnal aleator,

se pot defini: funcţia de autocorelaţie:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2, , D

x k k ; , d d B t t x t x t x x f x x t t x x

∞

−∞

= = ∫ ; (2.43)

funcţia de autocorelaţie mutuală între două semnale aleatoare:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2, , D xy k k ; , d d B t t x t y t x y f x y t t x y

∞

−∞

= =

∫; (2.44)

funcţia de covariaţie (sau covarianţă):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 1 2 1 2

1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

,

, ; , d d

D

x k k

Dk k

K t t x t m t x t m t

2; x t m t x t m t f x x t t x x

∞ ∞

−∞−∞

= − − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ (2.45)

funcţia de covariaţie mutuală între două semnale aleatoare:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 2 1 2, xy k x k yK t t x t m t y t m t ⎡ ⎤= − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (2.46)

2.4.2 Valorile medii temporale ale unui proces aleator

Aceste valori sunt definite pe o realizare particular ă xk (t ) a procesuluialeator, notată în continuare cu x(t ):

valoarea medie temporală a unui proces staţionar:

( )

( )

( )

( )0

1

lim d

D

k T T

x t x t x t t x t T →∞= = + = t ∫ ; (2.47)




valoarea medie pătratică:

( )

( )

( )2 2 20

1lim d D

T T

x t x t t x t T →∞

= + = ∫ t ; (2.48)

valoarea medie temporală de ordinul n:

( )

( )

( )01

lim d Dn n n

T T

x t x t t x t T →∞

= + = ∫ t

1

. (2.49)

Pentru două momente de timp şi1t 2 1t t T = + , din observaţiile pe osingur ă realizare semnificativă a unui proces aleator staţionar, se pot defini:

funcţia de (auto)corelaţie temporală:

; (2.50)( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 1, lim d

D

x xT T

R t t x t x t x t x t t R→∞= + τ = + τ =∫ τ

τ

funcţia de corelaţie mutuală (între două procese) în timp:

; (2.51)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 1, lim d D xy xy

T T

R t t x t y t x t y t t R→∞

= + τ = + τ =∫ funcţia de covariaţie (sau covarianţă) temporală:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 xC x t x t x t x t τ = − + τ − + τ⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ 1 ⎤⎦ . (2.52)

Semnalele aleatoare staţionare au proprietăţi statistice invariante laschimbarea arbitrar ă a timpului de observaţie.

Staţionaritatea strictă de ordinul 2. Staţionaritatea este o proprietatecare se traduce prin invarianţa unui sistem la translaţia originii timpului (deobservare). Cum o funcţie aleatoare este definită prin proprietăţile sale statistice,staţionaritatea în sens strict se traduce prin egalităţile:

( ) ( )1 2 1 1 1 0 0, , , , , , , , , + , , + X n n X n n f x x x t t f x x t t t t =… … … … . (2.53)

Aceasta se poate traduce prin:( ) ( )1 2 1 1 2 1 1, , , , , , , , , 0, , , X n n X n n f x x x t t f x x t t t t − −=… … … … . (2.54)

În particular,

( ) ( ) ( ), , 0 X X X f x t f x f x= = , care este independentă de timp; (2.55)

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1, , , , , 0, , , , cu X X X f x x t t f x x t t f x x t t − −= = τ τ = . (2.56)

În distribuţia de ordinul 2 a unui proces aleator staţionar intervine doarecartul dintre cele două momente de observaţie.




Staţionaritatea de ordinul 2, denumită şi staţionaritate în sens larg saustaţionaritate slabă, este o staţionaritate definită pentru momentele de ordinul 1şi 2. Ea se traduce prin:

( ) ( ) ( )1 1 10 , E X t m t m m t = = = ∀ ; (2.57)

( ) ( ) ( )1 2 11 2, 1 E X t X t m t t = τ τ = − . (2.58)

Staţionaritatea în sens larg nu implică şi staţionaritatea strictă. Singurele procese aleatoare complet definite prin caracterizarea de ordinul doi suntobligatoriu staţionare în sens strict dacă sunt staţionare în sens larg. Acesta estecazul particular al proceselor gaussiene.

Semnalele ergodice sunt semnale staţionare ale căror valori mediitemporale sunt egale (cu o probabilitate oricât de apropiată de unu) cu valorile

medii statistice corespondente. 2.4.3 Ergodicitatea

Pentru un proces staţionar, ergodicitatea unei valori medii antrenează egalitatea în sens probabilistic a mediilor temporale cu cele calculate peansamblul realizărilor. Cu alte cuvinte, se poate scrie că:

X E X = . (2.59)

Aceasta are o interpretare fizică interesantă. De fapt, pentru a calcula ovaloare medie (statistică) pe ansamblul realizărilor, este posibil să lucr ăm (doar)

pe o singur ă realizare (temporală) oarecare a procesului. Cu alte cuvinte, osingur ă realizare oarecare este reprezentativă pentru întregul proces şi permitecalculul unei valori medii.

Ergodismul ne apropie de legea numerelor mari. De fapt, dacă 1 2, ,..., ,...n x x x este un şir infinit de v.a. independente şi caracterizate de aceeaşi lege, atunci:

1

1lim

n

in

i

i E X X n→∞

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ E X . (2.60)

Media statistică X E X = este înlocuită prin media aritmetică (temporală).Pentru procesele staţionare de ordinul doi sunt interesante, în mod

particular, două ergodicităţi: ergodicitatea speranţei matematice şi ergodicitateacovarianţei, care sunt definite de relaţiile:

0

00

10

1( ) ( , ) d lim ( )d

2

T

X T

T

m E X t xf x t x x t T

+∞

→∞−∞ −

= = = t ∫ ∫ ; (2.61)

; (2.62)( ) ( )11 1 2 1 2 1 2, , , , X m t t x x f x x t t x x

+∞+∞

−∞−∞− τ = − τ∫ ∫ d d




0

00

*

0

1( ) lim ( ) ( )d

2

T

XX T

T

R x t x t t T →∞

−

τ = − τ∫ , (2.63)

în care( ) XX

R τ este funcţia de autocorelaţie a procesului( )

x t . Această funcţie

este un instrument de studiu major al proceselor staţionare şi ergodice de ordinul 2.Proprietăţile ei sunt legate direct de cele ale funcţiei de covarianţă (din care, defapt, provine). Pentru a le exploata, se obişnuieşte în general să „se centreze

procesul”, ceea ce este în mod particular simplu de f ăcut în cazul proceselorstaţionare. În acest caz, este suficient a scoate valoarea medie , care este o

constantă, din1m

( ) x t .

2.4.4 Proprietăţ i caracteristice proceselor sta ţ ionare

de ordinul 2Funcţia de autocorelaţie este maximă în origine:

( ) (0) X X R Rτ ≤ .

Funcţia de autocorelaţie este hermiţiană, adică:* ( ) ( ) X X R R−τ ≤ τ .

În particular, dacă ( ) x t este real, ( ) X R τ este reală şi par ă.

În general, avem:

22lim ( )

X R m E X

τ→∞τ = = , adică, pentru suficient

de mare, variabilele aleatoare

τ

( ) *şi ( X t X t )− τ tind să fie decorelate.

Teorema Wienner – Hincin afirmă că densitatea spectrală de putere ( ) xq ω

a unui semnal aleator staţionar ergodic este transformata Fourier a funcţiei salede autocorelaţie, adică:

( ) ( ) ( ) je d x x xq TF R R

∞− ωτ

−∞

ω = τ = τ τ∫ , (2.64)

iar

( ) ( ) ( )1 1e d

2 x x x R TF q q j∞

− ω

−∞

τ = ω = ω ωπ ∫ τ , (2.65)

unde densitatea spectrală de putere ( ) xq ω , notată uneori cu , este definită

de:( ) xS ω

( )

21

lim jT

D

x k T q X T →∞= ω . (2.66)




2.4.5 Caracterizarea statistică de ordin superior

pentru un proces aleator ergodic

Funcţiile moment de ordin superior pentru un proces aleator ergodic suntdefinite de relaţiile:

( ) xm E x t =

( ) ( ) ( ) τ τ xxm E x t x t = ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) τ ,τ τ τ xxx j k j k m E x t x t x t = ⋅ + ⋅ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , xxxx q r s q r sm E x t x t x t x t τ τ τ = ⋅ + τ ⋅ + τ ⋅ + τ

....

( ) ( ) 20 xxm E x= t – valoarea medie pătratică

( ) ( ) 30 xxxm E x= t – valoarea medie cubică

( ) ( ) 40 xxxxm E x= t

d

– valoarea medie cuadratică

....

2.4.6 Spectrele de ordin superior pentru un proces aleator

Aceste spectre sunt definite de relaţiile:

( ) ( ) ( )1 j2e DTF f xx xx xxm M f m

+∞− π τ

−∞

τ ←⎯⎯→ = τ

∫ τ spectru (de putere)

( ) ( )2, DTF , xxx i j xxx i jm M τ τ ←⎯⎯→ f f bispectru

( ) ( )3, , , , DTF xxxx i j k xxxx i j k m M τ τ τ ←⎯⎯→ f f f

f

trispectru

....deci:

( ) ( ) ( )20 d xx xxm E x t M f

+∞

−∞

= = ∫

( ) ( ) ( )30 , d d xxx xxx i j i jm E x t M f f f f +∞

−∞

= = ∫ ∫

( ) ( ) ( )40 , , d d d xxxx xxxx i j k i j k m E x t M f f f f f f

+∞

−∞

= = ∫ ∫ ∫

.... (auto)Bicoerenţa este definită de:




( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2,

, xxx i j

xxx i j

xx i xx j xx i j

M f f f f

M f M f M f f γ =

+;

(auto)Tricoerenţa este definită de relaţia:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2, ,

, , xxxx i j k

xxxx i j k

xx i xx j xx k xx i j k

M f f f f f f

M f M f M f M f f f γ =

+ +.

2.4.7 Func ţ iile cumulant de ordin superior pentru procese

aleatoare de medie nul ă

Sunt definite de relaţiile:( ) ( ) xx xxc mτ = τ ( ) ( ), , xxx i j xxx i jc mτ τ = τ τ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

τ ,τ ,τ τ ,τ ,τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

xxxx i j k xxxx i j k xx q xx r s

τ xx r xx s q xx s xx q r

c m m m

m m m m

= − ⋅ −

− ⋅ − − ⋅ −

−

f

…

2.4.8 Rela ţ iile lui Wiener-Hincin generalizate

Sunt definite de relaţiile:

( ) ( )1 DTF xx xxc C τ ←⎯⎯→

( ) ( )2, , DTF xxx i j xxx i jc C τ τ ←⎯⎯→ f f

( ) ( )3, , , , DTF xxxx i j k xxxx i j k c C τ τ τ ←⎯⎯→ f f f

...(auto)Bicoerenţa şi (auto)Tricoerenţa definite pentru cumulanţi:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2,

, xxx i j

xxx i j

xx i xx j xx i j

C f f f f

C f C f C f f

γ =

+

;

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2, ,

, , xxxx i j k

xxxx i j k

xx i xx j xx k xx i j k

C f f f f f f

C f C f C f C f f f γ =

+ +.

Analiza statistică de ordin superior pentru mai multe procesealeatoare (ergodice) în timp continuu ( ) ( ), ,... x t y t se realizează cu ajutorul

unor (cross)Funcţii moment de ordin superior, definite de:

( ) ( ) ( ) ( ) , xxy j k j k m E x t x t y t τ τ = ⋅ + τ ⋅ + τ ;




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , xxyz q r s q r sm E x t x t y t z t τ τ τ = ⋅ + τ ⋅ + τ ⋅ + τ

....

2.4.9 Procese gaussieneUn proces aleator se spune că este (de tip) gaussian dacă oricare ar fi

şirul de momente de timp şi oricare ar fi n, variabila aleatoare

n-dimensională este gaussiană.1,..., nt t

( 1( ) ( )n X t X t … )Reamintim că o variabilă aleatoare reală, n-dimensională este gaussiană

dacă densitatea sa de probabilitate este de forma:

( )( ) ( )

( ) (11 / 2 1/ 2

1 1, , exp

22 det

t

n n p x x X M C X M

C

− )⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦π

… , (2.67)

unde:• X desemnează un vector coloană de componente: 1, , n x x… ;• M desemnează vectorul medie de componente:

1 1= ( ) , , = (n nm E X t m E X t … ) ;

• C desemnează matricea de covarianţă de elemente , definite de:ijc

( ) ( ) ij i j i jc E X t X t m m= −

t

. De notat că C este o matrice hermitiană,

astfel încât .

*

=ij jic cProcesele aleatoare gaussiene joacă un rol fundamental în practică. Legea

lui Gauss se introduce în mod natural în numeroase fenomene fizice, care se prezintă macroscopic ca suma unor fenomene fizice decorelate (conformteoremei limită centrală). Un exemplu important îl constituie zgomotul termic.Acest zgomot provine din fluctuaţiile datorate agitaţiei termice a particulelorelementare din toate sistemele fizice (de exemplu, zgomotul termic la borneleunei rezistenţe).

Pe de altă parte, calculul se simplifică dacă se consider ă ipoteza

gaussiană. În particular, sunt stabilite următoarele proprietăţi:a) un proces aleator gaussian este complet definit dacă se cunoscmomentele de ordinul unu şi doi – de fapt, vectorul medie M , ca şi matricea decovarianţă C , care intervin în legea temporală, pot fi calculaţi pentru oricemoment , plecând de la funcţiile şi1, , nt … ( ) X m t ( )1 2, X R t t , rezultând:

( ) ( )( )1 , ,t X X n M m t m t = … ; (2.68)

( ) ( ) ( ),ij X i j i jC R t t m t m t = − ; (2.69)

b) un proces aleator gaussian, staţionar în sens larg, este staţionar şi însens strict, deoarece comportarea sa temporală este complet caracterizată de




primele două momente. Pe de altă parte, toate componentele vectorului mediesunt egale. În fine, matricea de covarianţă va avea o formă particular ă – numită matrice Toeplitz – în care valorile elementelor de pe fiecare paralelă cudiagonala principală sunt egale;

c) decorelarea antrenează independenţa;d) este uşor de ar ătat că toate combinaţiile liniare (finite) de v.a. gaussieneindependente sunt gaussiene. Vom admite proprietatea fundamentală, potrivitcăreia caracterul gaussian se conservă prin orice transformare liniar ă şi, înconsecinţă, şi prin filtrare liniar ă;

e) în modelarea semnalelor aleatoare întâlnim adesea, împreună:caracterul de zgomot alb şi cel gaussian. Insistăm asupra faptului că nu există oimplicare între cele două proprietăţi;

f) în fine, vom enunţa (f ăr ă demonstraţie) un rezultat foarte importantreferitor la v.a. gaussiene. Fie patru variabile aleatoare

1 2 3, , ,

4 X X X X de tip

gaussian, centrate. Rezultă că:

( ) ( ) ( ) 0, , , 1,2,3,4i j k E X X X i j k = ∀ ∈

şi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4

1 4 2 3

E X X X X E X X E X X E X X E X X

E X X E X X

= +

+

+

Procese „albe”Se numeşte zgomot alb un proces aleator ( )n t al cărui spectru de putere

este constant pentru toate frecvenţele. Se deduce, astfel, că funcţia sa deautocorelaţie este:( )nn R τ

( )1 0( ) TF ( ) ( )2nn b

N R

−τ = γ ν = δ τ .

2.5 Tipuri de semnale aleatoare

Semnalul aleator pur este caracterizat prin faptul că valorile salesuccesive sunt absolut independente unele de altele. Semnalul aleator pur estedescris doar de densitatea de probabilitate de ordinul unu.

Semnalele aleatoare staţionare au proprietăţi statistice invariante laschimbarea arbitrar ă a momentului de observaţie.

Semnalele ergodice sunt semnale staţionare, ale căror valori mediitemporale sunt egale (cu o probabilitate oricât de apropiată de unu) cu valorilemedii statistice corespondente. Semnalul ergodic este complet caracterizat de unadin realizările sale, cu condiţia de a fi observat pe un interval suficient de mare.




2.5.1 Semnalul telefonic (vocal)

Semnalul vocal este caracterizat de rezultatul modificării în timp a presiunii aerului, care creează în ureche senzaţia de sunet.

Sistemul auditiv uman poate percepe sunete în banda de frecvenţe

cuprinsă între 30…50 Hz şi 18…20 kHz, cu o dinamică pentru 1000 Hzcuprinsă între şi16 210 W/cm− 410 W/cm2− , adică un raport de , ceea cecorespunde la 120 dB.

1210

Inteligibilitatea unui semnal vocal la recepţie este puţin afectată dacă setransmite doar o bandă de frecvenţe cuprinsă între 300 Hz şi 3400 Hz, cu odinamică de (doar) 20 dB.

Semnalul telefonic v(t ) este un semnal aleator nestaţionar. Principalii săi parametri statistici sunt:

– tensiunea eficace:

2

0

1( )d

t

ef U vt

Δ

=Δ ∫ t t , unde, în mod uzual, 200 mst Δ = ,

– nivelul (dinamic al) semnalului telefonic y, măsurat în unităţi logaritmice:

0 0

10log 20log ef U P y

P U = = , unde 0 1mWP = , iar 0 0,775VU = .

Experimental, se constată că densitatea de probabilitate a nivelului

dinamic al semnalului (aleator) vocal poate fi considerată de tip gaussian(sau lognormală), adică:

( )2

221( ) e

2

y y

f y

−−

σ=σ π

,

unde: y reprezintă valoarea medie a nivelului semnalului telefonic, care arevalori cuprinse între – 18 dBm şi – 8 dBm, iar σ reprezintă deviaţia standard anivelului semnalului telefonic, cu valori cuprinse între 4 dBm şi 8 dBm.

Funcţia de repartiţie a probabilităţii nivelului semnalului telefonic estedefinită de:

( ) ( )

2

21e d

2

y y

t y y

F y P y a t

−σ −

−∞

⎛ ⎞−= < = = Ψ ⎜ ⎟

σσ π ⎝ ⎠∫ .

Nivelul de vârf al semnalului telefonic este definit ca nivelul care esteatins sau depăşit cu o foarte mică probabilitate. De exemplu, dacă consider ăm:

9 y = − dBm şi dBm, atunci probabilitatea ca semnalul telefonic să depăşească

o anumită valoare a este:

4σ =




( )9

1 14

a y aP y a

⎛ ⎞− +⎛ ⎞> = − Ψ = − Ψ⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

Pentru , rezultă că nivelul de vârf a al semnalului telefonic

este mai mic sau egal cu a = 0,22 dB, ceea ce corespunde la o putere deaproximativ 1mW.

( ) 1 %P y a> =

Distribuţia puterilor semnalului telefonic este de tip normal-logaritmic şide aceea puterea medie a semnalului telefonic difer ă de valoarea medie anivelului său, astfel că: 2 2

medie 0,115 14 0,115 5 11,1 dBmP y= + σ = − + ⋅ = − .Pentru un „raport de activitate” de 0,25 în ora de ocupare, nivelul puterii

medii pe termen lung a semnalului vocal se reduce cu 6 dB şi devine:

medie 11,1 6 17,1 dBP = − − = − , ceea ce corespunde la o putere medie de încărcare

pe un canal telefonic de .20 WμPuterea medie a tonurilor de semnalizare se consider ă de 10 , ceea cecorespunde la un nivel de încărcare suplimentar datorat tonurilor de semnalizarede – 20 dBm.

Wμ

UIT consider ă pentru nivelul de putere de încărcare corespunzător unei căitelefonice valoarea de – 15 dBm, ceea ce corespunde la o putere medie de încărcarede 3 , din care pentru semnalul vocal şi 12 Wμ 22 Mμ 0 Wμ pentru semnalizări.

2.5.2 Semnalul analogic multiplexAcest semnal este alcătuit prin multiplexarea în frecvenţă a N canaletelefonice. În consecinţă, puterea medie a N canale va fi NPc, iar nivelulcorespunzător acestei puteri va fi de:

10log 10log 10log 15 10log N c cn NP P N = = + = − + N

f

, în [dBm].

2.5.3 Zgomotul de agita ţ ie termică

Studiul zgomotului de agitaţie termică a unei rezistenţe se poate face pe baza unuia dintre circuitele echivalente din figura 2.1, unde: ,

iar

2 4ef U kTR= Δ2 4ef I kTG f = Δ , cu notaţiile: 23 o1,38 10 J/ K k −= ⋅ , constanta lui Boltzman;

T – temperatura, în [ ]; R = 1/G, valoarea rezistenţei, în [K ]Ω ; 2 1 f f f Δ = −

este banda de frecvenţe în care se măsoar ă tensiunea.




Figura 2.1

Puterea maximă pe care o debitează generatorul echivalent al uneirezistenţe de zgomot într-o rezistenţă (nezgomotoasă) de valoare R este de:

2

max

4

ef U P kT f

R

= = Δ .

Rezultă că puterea maximă într-o bandă f Δ = 1Hz este de:

23 21maxmax 1,37 10 290 K 4 10 W/Hz

P p kT

f

− −= = = ⋅ ⋅ = ⋅Δ

.

Nivelul acestei puteri va fi de:

max

2118

3

4 1010log 10log4 10 174

10 pn

−−⋅

= = ⋅ = − dBm/Hz.

Într-o bandă telefonică de B = 4 kHz, nivelul puterii zgomotului rezultă de:

4kHz174 10log 174 36 138 pn B= − + = − + = − dBm.




CAPITOLUL 3

SEMNALE EŞ ANTIONATE

Eşantionarea este o metodă de prelucrare a semnalelor în timp continuu,dar şi a celor în timp discret. Funcţia de eşantionare poate fi modelată matematiccu ajutorul unui operator parametric L, nestaţionar, liniar, care depinde de unsemnal sau o mărime de comandă ( )e t .

( ) x t ( ) y t

( )e t

L

Figura 3.1

Dacă la intrarea sistemului de eşantionare din figura 3.1, caracterizat de

operatorul L, se aplică un semnal ( ) x t , semnalul de la ieşire poate fisemnalul exprimat prin relaţia: ( ) y t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), d y t x t e t h t x

+∞

−∞

= = − τ ⋅∫L τ τ , (3.1)

unde: reprezintă r ăspunsul la impulsul unitate al sistemului, care va

depinde de semnalul de comandă

( )h t

( )e t .

Complementara funcţiei de eşantionare o constituie funcţia de reconstruire

a semnalului (în timp continuu sau discret) din eşantioanele sale.În continuare, ne vom ocupa exclusiv de eşantionarea şi reconstruirea

semnalelor în timp continuu.

3.1 Metode de eşantionare a semnalelor în timpcontinuu

În figura 3.2 sunt prezentate comparativ trei metode de eşantionare a unuisemnal în timp continuu ( ) x t .




2

τ−

2

τ+

( ) x t

t ( )T t δ

)a

0

( )e x t

T 2T 3T 4T 5T t nT =

t nT =T 2T 3T 4T 5T

2

τ− T 2T 3T 4T 5T t nT =

0 T 2T 3T 4T 5T t nT =

0 T 2T 3T 4T 5T t nT =

1( ) f h t

( )eu x t

( )eu x t

2

τ+

τ

( ) p t 0

1

)b

)c

)d

)e

) f

)g

Figura 3.2




Sistemul care realizează un semnal eşantionat ideal (figura 3.2 c) poatefi modelat printr-un multiplicator, ca în figura 3.3.

( ) x t ( ) ( )T

x t t ⋅ δ

( )T t δ

Figura 3.3

Expresia în domeniul timp a semnalului eşantionat ideal este ( )e x t :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e T

n n

x t x t t x t t nT x nT t nT

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= ⋅ δ = ⋅ δ − = ⋅ δ −∑ ∑ . (3.2)

Aplicând teorema convoluţiei, se obţine transformata Fourier ( )e X ω a

semnalului eşantionat ideal:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

1 2 1 2

e e T T

e e

k k

X TF x t TF x t t X

X k X T T

∞ ∞

=−∞ =−∞

ω = = ⋅ δ = ω ⊗ Δ ω =π

π= ω ⊗ δ ω − Ω = ω − Ωπ ∑ ∑ k

(3.3)

unde s-a notat cu ( ) ( ) , 2 2T T e eTF t F T Δ ω = δ Ω = π = π / , iar 2 f ω = π .

Relaţia (3.3) este echivalentă cu:

. (3.4)( ) ( )e e

k

X f F X f kF

∞

=−∞

= ∑ e−

În figura 3.4 a s-a reprezentat spectrul ( ) X ω al semnalului ( ) x t

considerat de bandă limitată. Conform relaţiei (3.4), în figura 3.4 b estereprezentat spectrul al semnalului eşantionat ideal, care este o repetare

periodică (ponderată cu ) a spectrului semnalului neeşantionat, lamultiplii ai frecvenţei (unghiulare) de eşantionare:

( )e X ω

1/eF = T

ek Ω 2 2 /e eF T Ω = π = π .




( ) X ω

1

M −ω ω( )e X ω

1 T

3 e− Ω 2 e− Ω e−ΩeΩ M −ω M ω 2 eΩ 3 eΩ ω

ω

ω

3 e− Ω 2 e− Ω e−Ω 2 eΩ 3 eΩeΩ

( )eu X ω

1e M Ω − ω e M Ω + ω

1

2 eΩ 3 eΩeΩ3 e− Ω 2 e− Ω e−Ω M −ω M ω

M ω

( )en X ω

)a

)b

)c

)d

Figura 3.4

Sistemul care realizează un semnal eşantionat natural (figura 3.2 e) poate fi modelat ca în figura 3.5.

( ) x t ( ) ( )T x t p t ⋅

( )T t δ

( ) f h t

( ) p t

Figura 3.5




Rezultă că expresia în domeniul timp a semnalului eşantionat natural este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )en T f x t x t p t x t t h t ⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ δ ⊗⎣ ⎦ , (3.5)

iar transformata Fourier a acestui semnal va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

12

1 2sinc

2 2

sinc ,2

en en f T

ee

k

ee

k

X TF x t X TF t h t

k X k

T

k X k

T

∞

=−∞

∞

=−∞

ω = = ω ⊗ δ ⊗ =π

Ω τπ= ω ⊗ δ ω − Ω ⋅ τ ⋅ =

π

Ω ττ= ω − Ω

∑

∑

(3.6)

unde s-a notat cusin

2sinc2

2

e

e

e

k

k k

Ω τ

Ω τ = Ω τ .

Spectrul ( )en X ω al semnalului eşantionat natural este reprezentat în

figura 3.4 c şi reprezintă, conform relaţiei (3.6), o repetare periodică la multipliia spectrului semnalului neeşantionatek Ω ( ) X ω cu un factor de pondere dat de

relaţia: ( )/ sinc 2eT k τ ⋅ Ω τ . De remarcat că acest factor de pondere nu depinde

de frecvenţa curentă , astfel încât nu va introduce o distorsiune de frecvenţă a

spectrului fiecărei repetări periodice din compunerea spectrului

ω

( )en X ω .Semnalul eşantionat uniform sau cu menţinerea1, reprezentat în

figura 3.2 f , poate fi considerat că s-a obţinut la ieşirea sistemului din figura 3.6.

( ) x t ( ) ( ) ( )T f x t t h t ⎡ ⋅ δ ⎤ ⊗⎣ ⎦

( )T t δ

( ) ( )T x t t ⋅δ

( ) f h t ( )e x t

Figura 3.6

În acest caz, expresia în domeniul timp a semnalului eşantionat uniform este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eu T f f

n

x t x t t h t x t t nT h

∞

=−∞

⎡ ⎤= ⋅ δ ⊗ = ⋅ δ − ⊗⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ t

. (3.7)

1 În literatur ă, acest tip de eşantionare este întâlnit şi sub denumirea de eşantionare cu memorare(uneori pentru cazul particular ).T τ =




Transformata Fourier ( )eu X ω a semnalului eşantionat uniform are

expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2sinc

2 2

sinc2

eu eu f T

e

k

e

k

X TF x t TF h t TF x t t

X k T

X k T

∞

=−∞

∞

=−∞

ω = = ⋅ ⋅ δ =

⎡ ⎤ωτ π= τ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⊗ δ ω − Ω =⎢ ⎥π ⎢ ⎥⎣ ⎦

τ ωτ= ⋅ ω − Ω

∑

∑

(3.8)

Spectrul ( )eu X ω al semnalului eşantionat uniform este reprezentat în

figura 3.4 d şi reprezintă, conform relaţiei (3.8), o repetare periodică, la multiplii ek Ω ,

a spectrului al semnalului neeşantionat, cu un factor de pondere dat derelaţia: ( ) X ω( )/ sinc / 2T τ ⋅ ωτ . În acest caz, factorul de pondere depinde într-o

manier ă continuă de frecvenţa curentă ω , astfel încât, aşa cum se observă şi pefigura 3.4 d, va introduce o distorsiune liniar ă a spectrului fiecărei repetări

periodice a lui din compunerea lui( ) X ω ( )eu X ω .

O situaţie intermediar ă între eşantionarea naturală şi eşantionareauniformă o constituie eşantionarea cu mediere. În acest caz, amplitudineafiecărui impuls dreptunghiular al semnalului eşantionat ( )eu x t corespunde

valorii medii a semnalului analogic, măsurată pe un interval de timp de durată τ .Modelul unui sistem de eşantionare de acest tip este reprezentat în figura 3.7 şiconţine, în plus, faţă de modelul sistemului de eşantionare uniformă (sau cumenţinere), un circuit de mediere, al cărui r ăspuns la impulsul unitate este

( ) ( )1 fl f h t h t −= τ ⋅ .

( ) x t

( )T t δ

( ) f h t ( )e x t μ( )1 f h t

Figura 3.7

Expresia în domeniul timp a semnalului eşantionat cu mediere este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )e fl T f x t x t h t t hμ ⎡ ⎤= ⊗ ⋅ δ ⊗⎣ ⎦ t . (3.9)

Transformata Fourier( )e

X μ

ω a semnalului eşantionat cu mediere va

avea expresia:




( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

1 2sinc sinc

2 2

sinc sinc .2 2

e e fl T f

e

k

ee

k

X TF x t TF x t h t t TF h t

X k T

k X k

T

μ μ

∞

=−∞

∞

=−∞

⎡ ⎤ω = ⊗ ⋅ δ ⋅ =⎣ ⎦

⎧ ⎫

2

ωτ π ωτ⎪ ⎪⎡ ⎤= ω ⋅ ⊗ δ ω − Ω τ ⋅⎨ ⎬⎢ ⎥π ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

ω − Ωτ ωτ= ⋅ ⋅ ω − Ω

∑

∑

= (3.10)

3.2 Teorema eşantionării WKS

Analizând spectrele semnalelor eşantionate din figura 3.4 b, c, d, rezultă că fiecare este o repetare periodică, la multiplii ek Ω , a spectrului al

semnalului neeşantionat, astfel încât suportul (de definiţie) pe axa frecvenţelor a

acestuia va determina existenţa sau inexistenţa unui „efect de pliere” alrepetărilor periodice din spectrul semnalului eşantionat.

( ) X ω

Problema care se pune este în ce condiţii semnalul eşantionat ( )e x t

conţine întreaga informaţie a semnalului (în timp continuu) ( ) x t , astfel încât

poate conduce la reconstituirea semnalului original ( ) x t . O primă observaţie

este că în procesul de eşantionare forma funcţiei spectrale a semnalului

original nu contează, însă suportul acesteia pe axa frecvenţelor trebuie să fiefinit, de exemplu:

( ) X ω

( ) 0 X ω = , pentru M ω > ω . În aceste condiţii, teorema

eşantionării WKS1 precizează că un semnal de bandă limitată ( )2 M M f ω = π

este univoc determinat (şi poate fi reconstituit) din eşantioanele sale, consideratela momente discrete de timp echidistante t nT = , cu n ∈ , dacă: ( )1 2 M T f ≤

sau, cu alte cuvinte, dacă se alege o frecvenţă de eşantionare astfel încât1 2e M F T f = ≥ .

În cazul particular, în care semnalul în timp continuu ( ) x t are un spectru

de „tip trece jos”, adică banda finită de frecvenţe ocupată este cuprinsă întrefrecvenţele: şi

M M

f f − + , demonstraţia teoremei WKS este următoarea:

Fie:

( ) ( ) j2maxe d , unde

B

ft

B

x t X f f B f

+π

−

= ∫ =

. (3.11)

1 În literatur ă [3] – [5] se face observaţia că această teoremă a apărut în literatura tehnico-ştiinţifică

în diferite forme, motiv pentru care uneori se enunţă diferite teoreme ale eşantionării. Astăzi,teorema eşantionării este cunoscută şi sub denumirea de teorema WKS, după iniţialelenumelor fondatorilor ei: Whittaker, Kotelnicov şi Shannon.




3.3 Eşantionarea în domeniul frecvenţă Ţinând cont de dualitatea dintre domeniul timp şi domeniul frecvenţă

pentru semnalele în timp continuu, se poate formula şi demonstra teoremaeşantionării în domeniul frecvenţă. Să consider ăm operaţia de eşantionare ideală

în frecvenţă realizată de sistemul din figura 3.8.

( ) X ω

( )Δ ω

( ) ( )0e X Ωω ⋅ Δ ω

Figura 3.8

Prelucrarea prin eşantionare în domeniul frecvenţă şi corespondenţaacestuia în domeniul timp sunt ilustrate în figura 3.9.

În figura 3.9 a s-a reprezentat spectrul ( ) X ω al unui semnal ( ) x t

presupus limitat în timp, adică cu valori ( ) 0, dacă M x t t T = > .

Spectrul semnalului eşantionat ( )e X ω din figura 3.9 c rezultă din relaţia:

( ) ( ) ( )e X X T ω = ω ⋅ Δ ω , (3.15)

astfel încât:

( ) ( ) ( )e T x t x t t = ⊗ δ , (3.16)

unde:

( ) ( ) 1

0 0

1T T

k

t TF t k

∞−

=−∞

⎛ ⎞2πδ = Δ ω = δ −⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠

∑ . (3.17)

Ţinând cont de (3.17), relaţia (3.16) devine:

( )0 0

1e

k x t x t k

∞

=−∞

⎛ ⎞2π= −⎜ ⎟Ω Ω⎝ ⎠∑ . (3.18)

Relaţia (3.18) arată că semnalul eşantionat ( )e x t poate fi considerat ca o

repetare periodică ponderată a semnalului ( ) x t la multiplii0

2k

πΩ

, aşa cum este

ilustrat în figura 3.9 c.Folosind o filtrare temporală ideală, cu funcţia ( )w t – prezentată în

figura 3.9 d –, se poate obţine forma semnalului ( ) x t din ( )e x t . Relaţiile care

evidenţiază această prelucrare sunt:




( ) ( ) ( )e x t x t w t = ⋅ , (3.19)

unde:

( )

0

0

,

0,

t

w t t

0⎧Ω ≤ π Ω⎪

= ⎨ > π Ω⎪⎩ (3.20)

04− Ω 03− Ω 02− Ω 0−Ω 0 0Ω 02Ω 03Ω 04Ω 05Ω

( )e X ω

( )Δ ω

( ) X ω

04− Ω 03− Ω 02− Ω 0−Ω 0Ω 02Ω 03Ω 04Ω 05Ω0

ω

ω

ω

t

( ) x t

M T − M T +

( )e x t

t 0

0

2π−

Ω 0

2πΩ

0

π−

Ω 0

πΩ

0 t

t M T − M T +

( ) ( ) ( )e x t x t w t = ⋅

( )w t

0Ω

)a

)b

)c

)d

)e

Figura 3.9

Din relaţia (3.19) rezultă că:

( ) ( ) ( )1

2 e X X W ω = ω ⊗ ωπ , (3.21)




unde:

, (3.22)( ) ( ) ( )0e

k

X X k

∞

=−∞

ω = Ω ⋅ δ ω − Ω∑ 0k

iar

( )0

2 sincW ω

ω = π πΩ

, (3.23)

astfel că:

( ) ( ) (00

sinck

X X k

∞

=−∞

πω = Ω ⋅ ω − Ω

Ω∑ )0k . (3.24)

Relaţia (3.24) este duală relaţiei (3.14).

3.4 Reconstituirea semnalului în timp continuudin eşantioanele sale Necesitatea condiţiilor cuprinse în teorema de eşantionare WKS este

evidentă din analiza reprezentărilor spectrale din figura 3.4 b, c, d. Suficienţa lor poate fi demonstrată de posibilitatea reconstruirii semnalului original dineşantioanele sale.

Reconstituirea unui semnal în timp continuu ( ) x t din eşantioanele sale

( ) x kt implică, în fapt, determinarea tuturor valorilor intermediare între două

eşantioane succesive. În general, semnalul reconstituit ( ) x t

este o aproximare asemnalului ( ) x t , rezultând o distorsiune ( ) ( ) ( )d t x t x t = − .

Sistemul de reconstituire, care determină valorile semnalului din pasul deeşantionare imediat următor eşantionului de abscisă , plecând de la valoareaacestui eşantion şi de la m eşantioane anterioare, este un extrapolator deordinul m.

kT

Dacă valorile reconstituite sunt determinate cu ajutorul a ( )1m + eşantioane,

dintre care unele posterioare abscisei kT , sistemul de reconstrucţie este uninterpolator de ordinul m.

Cu ajutorul a ( valori ale eşantioanelor putem determina coeficienţiiunui polinom de ordinul m care constituie o aproximare a semnalului reconstruit.De exemplu, dacă cele

)1m +

( )1m + eşantioane cunoscute sunt: ( ) ( ),..., x n m T x nT −⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

polinomul aproximant pentru ( )0 x t t − poate fi determinat cu ajutorul

polinoamelor Lagrange:

( ) ( ) (0 ,0

m

m i

i

) x t rT t x i n m T q t n r m T

=

− − = + − ⋅ − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣∑ ⎦ , (3.25)

unde:




( )e x t ( ) ( )

0 E h t

( ) ( )0

E H ω( )e X ω

( ) E x t

( ) E X ω

( ) x t

( ) X ωFTJ

Figura 3.11

La ieşirea extrapolatorului de ordinul zero se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0

E e E E

k

E

k

x t x t h t x kT t kT h t

x kT h t kT

∞

=−∞

∞

=−∞

= ∗ = ⋅ δ − ∗

= ⋅ −

∑

∑

=

(3.28)

Modulul spectrului semnalului de la ieşirea extrapolatorului de ordinulzero va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 sinc

2 E e e E

T X X H T X

ωω = ω ⋅ ω = ⋅ ω ⋅ . (3.29)

Reprezentarea grafică a modulului spectrului semnalului reconstituit prinextrapolare de ordinul zero, comparativ cu cel al semnalului eşantionat, este dată în figura 3.12.

( ) E H

T

ω

( )e X ω1 T

1

2 e− Ω eΩ M − ω M ω eΩ 2 eΩ 3 eΩ

( )e X ω

ω

2 e− Ω eΩ M − ω

0 M ω eΩ 2 eΩ ω

Figura 3.12




3.4.2 Reconstituirea prin interpolare

Interpolatorul de ordinul unu corespunde cazului 1r = şi , adică uneiinterpolări liniare. Semnalul reconstituit de la ieşirea din interpolatorul de

ordinul 1, reprezentat în figura 3.13 c, poate fi considerat că s-a obţinut printrecerea semnalului eşantionat

1m =

( )e x t printr-un sistem cu funcţia pondere ( ) ( )1

I h t

de tip triunghiular, ca în figura 3.13 b. Acest sistem va avea funcţia de transfer:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 1 sinc2 I I

T H TF h t T

ω⎡ ⎤ω = = ⎢ ⎥⎣ ⎦. (3.30)

La ieşirea interpolatorului de ordinul unu se obţine semnalul reconstruit:

( ) ( ) ( ) ( )1

I e I x t x t h t = ∗ .

Modulul spectrului semnalului reconstruit va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 sinc2e e I I

T X X H T X

ω⎡ ⎤ω = ω ⋅ ω = ω ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦. (3.31)

( ) ( )1

I h t

t

)a

0

1

0 T + 2T 3T 4T 5T 6T t

( )e x t

0 T 2T 3T 4T 5T 6T t

)b

)c

( ) I x t

T +

T −

T −

Figura 3.13




3.4.3 Reconstituirea cu ajutorul unui FTJ ideal

Acest mod de reconstituire corespunde cazului unei interpolări ideale. Îndomeniul frecvenţă, trecerea spectrului semnalului eşantionat printr-un

FTJ ideal este descrisă de relaţia:( )e X ω

( ) ( ) ( )e FTJ X X H ω = ω ⋅ ω , (3.32)

unde:

( ), pentru

0, pentru

M

FTJ

M

T H

⎧ ω < ω⎪ω = ⎨

ω > ω⎪⎩ (3.33)

Se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )00

1 1e en

n n

X T X n T X T X T T =

=

⎡ ⎤ω ⋅ = ω − Ω ⋅ = ω ⋅ =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ω . (3.34)

În domeniul timp, operaţia de reconstituire prin trecerea semnaluluieşantionat ( )e x t printr-un FTJ ideal este descrisă de relaţia de convoluţie:

( ) ( ) ( )e FTJ x t x t h t = ⊗ , (3.35)

unde:

( ) ( ) sincFTJ FTJ M h t TF H = ω = t ω . (3.36)

Rezultă că:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

sinc

sinc

M

k

M

k

x t x kT t kT

x kT t kT

∞

=−∞

∞

=−∞

= ⋅ δ − ⊗ ω

= ⋅ ω −⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

∑

t =

(3.37)

Ilustrarea procesului de reconstituire a semnalului ( ) x t prin interpolare

ideală de bandă limitată, realizat de un FTJ ideal, conform relaţiei (3.37), este prezentată în figura 3.14.




2T − T − 0 T 2T 3T 4T 5T T

( ) ( ) ( )sinc M

k

x t x kT t kT

+∞

=−∞

= ⎡ω − ⎤⎣ ⎦∑

( )0 sinc M x t ω

Figura 3.14

În figura 3.15 este prezentată o comparaţie între efectele de filtrare asupraspectrului semnalului eşantionat, realizate de extrapolatorul de ordinul zero,interpolatorul de ordinul unu şi de către un FTJ ideal.

idealFTJ H

1 T

1

2 e− Ω e−Ω M −ω M ω eΩ 2 eΩ 3 eΩ ω

( )1interpolator I H

( )0extrapolator E H

Figura 3.15

3.5 Conversia în timp discret a semnalelor eşantionate

Să consider ăm sistemul din figura 3.16, la intrarea căruia se aplică unsemnal în timp continuu ( ) x t .

CONVERTEŞTE

un TREN de

IMPULSURI

într-o

SECVENŢĂ în

timp discret

( ) x t

( )e x t

( )T t δ

[ ] ( ) x n x nT =

Figura 3.16




După multiplicarea semnalului ( ) x t cu semnalul ( )T t δ , se obţine un

semnal eşantionat ideal ( )e x t , a cărui expresie în domeniul timp este:

( ) ( ) ( )en

x t x nT t

∞

=−∞

= δ

∑ nT −

)ek

. (3.38)

Transformata Fourier a semnalului eşantionat ideal este:

( ) ( ,e

k

X X

∞

=−∞

ω = ω − ω∑ (3.39)

unde am notat cu frecvenţa (unghiular ă) de eşantionare.2 /e T ω = π

Reprezentările în domeniul timp şi frecvenţă ale semnalului ( ) x t şi ale

celui eşantionat, pentru , sunt date în figurile 3.17 a şi 3.17 b.1T T =În figura 3.16, semnalul eşantionat ( )e x t este aplicat unui bloc funcţional

care converteşte trenul de impulsuri (care reprezintă semnalul eşantionat) într-unsemnal de tip secvenţă, discret în timp [ ] x n , astfel încât:

[ ] ( )e x n x nT = . (3.40)

Efectul acestei conversii poate fi interpretat ca o normare a scării timpuluişi este ilustrat pentru două cazuri particulare în figurile 3.17 b÷e.

Să interpretăm acest efect în domeniul frecvenţă. Spectrul semnaluluieşantionat are expresia:( )e X ω

, (3.41)( ) ( ) je nT e

n

X x nT

∞− ω

=−∞

ω = ⋅∑

iar spectrul unui semnal secvenţă ( ) X Ω are expresia:

( ) [ ] je n

n

X x n

∞− Ω

=−∞

Ω = ⋅∑ . (3.42)

Cum [ ] ( ) x n x nT = , rezultă că relaţia (3.42) poate fi scrisă sub forma:

( ) ( ) je n

n

X x nT

∞− Ω

=−∞

Ω = ⋅∑ . (3.43)

Comparând relaţiile (3.43) şi (3.41), putem găsi legătura dintre expresiilespectrelor semnalului în timp discret şi a celui eşantionat:

( ) e

X X T

Ω⎛ Ω = ⎜⎝ ⎠

⎞

⎟. (3.44)




( ) x t

0 t

( )e x t

0 T 2T 3T 4T

[ ] x n

0 1 2 3 4

0

( )e x t

T 2T 3T 4T 5T t nt =

( ) X ω

0 ω M −ω M ω

( )e X ω

1

1

T

ω

1

2T

π−1

2T

π

( ) X Ω

0 Ω2− π M −Ω M Ω

0

2π

( )e X ω

0 ω

2

2

T

π−

2

1

T

2

2

T

π

[ ] x n

n0 1 2 3 4 5

2 12T T T = =

( ) X Ω

0 Ω M Ω

2

1

T

M −Ω2− π 2π

1T T =

)a

)b

)c

)d

)e

Figura 3. 17

Din relaţia (3.44) se constată că ( ) X Ω este o replică normată în frecvenţă

a funcţiei spectrale , având frecvenţa de repetiţie , care este

caracteristică oricărei transformate în timp discret. Spectrul semnalului în

( )e X ω 2π




timp discret [ ] x n este o repetare periodică a spectrului semnalului în timp

continuu ( ) x t , urmată de o normare liniar ă în frecvenţă, definită de /T Ω .

Repetarea periodică în frecvenţă este o consecinţă a eşantionării cu frecvenţa periodică ( )T t δ . Normarea liniar ă poate fi considerată ca o consecinţă a

normării în timp introdusă cu ocazia conversiei trenului de impulsuri ( )e x t în

secvenţa în timp discret [ ] x n . Din proprietatea scalării în timp a transformatei

Fourier, rezultă că modificarea timpului cu 1 va introduce o normare înfrecvenţă cu T , astfel că relaţia

/T

T Ω = ω este consecinţa faptului că, trecând de la( )e x t la [ ] x n , axa timpului este normată prin 1 . În consecinţă:/T

1 TF

t t T T

→ ⇔Ω → ω . (3.47)

Transformarea unui semnal în timp continuu ( ) x t într-un semnal în timpdiscret [ ] x n este ilustrată de sistemul din figura 3.16. În sistemele numerice,

semnalele în timp discret sunt reprezentate în formă numerică, astfel încâtcircuitul utilizat pentru realizarea conversiei unui semnal continuu direct în unulnumeric este convertorul analog-numeric (CAN).




Tipur i de modulaţie după natura purtătoarei:a) modulaţie cu purtătoare armonică:

( ) ( ) ( ) 0 0 j

0 0 0

cos Re e

t

MA MF M ML MExponen ţ ială

p t A t AΩ +∅

∅

= Ω + ∅ =

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

b) modulaţie cu purtătoare în impulsuri:

( ) 0 j0 0sinc e2

n t

n

A n p t

T

+∞Ω

=−∞

τ Ω τ= ∑ .

Prin modificarea parametrilor semnalului purtător în impulsuri se obţin:

modulaţia impulsurilor în amplitudine (MIA), în durată (MID) sau în poziţie (MIP).Tipur i de modulaţie după (natura) semnalului modulator:

– semnal modulator analogic (MA, MF, M∅); – semnal modulator cuantizat sau discretizat (ASK, FSK, PSK etc.).

4.2 Semnale modulate în amplitudine (MA)

În cazul MA, caracteristicile semnalului ( ) x t sunt transferate amplitudinii

semnalului purtător ( ) p t printr-o operaţie liniar ă de tipul:

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

MA

MA

A A k x t A t

A A k x t A t

→ + ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦

→ ⋅ ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦

Pentru o purtătoare armonică:

( ) ( )0 0cos p t A t 0= Ω + ∅ ,

expresia semnalului MA este:

( ) ( ) ( )0 0cos MA x t A x t t = + ⋅ Ω + ∅⎡ ⎤⎣ ⎦ 0 .

a) Dacă ( ) ( )0 0cos x t a t = ω + 0ϕ , adică ( ) x t este un semnal monotonal,

rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) (

( ) ( )

0 0 0 0 0 0

00 0 0 0

0

0 0 0 0

cos cos

1 cos cos

1 cos cos

MA x t A a t t

a A t t

A

A m t t

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅ =⎣ ⎦

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅⎣ ⎦

)0

0

=

unde: 00

am A= se numeşte grad sau indice de modulaţie.




Reprezentarea grafică a semnalului modulat ( ) MA x t este dată în figura 4.2.

t

0mA

m A−

0 A−

M A−

M A

0 A

m A

( ) MA x t

Figura 4.2

Din figura 4.2 rezultă că:

[ ]

[ ]0 0

00

1, unde 1

1

M M m

M mm

A A m A A am m

A A A A A m

⎫= + −⎪→ = = ≤⎬

+= − ⎪⎭.

În practică: .50 % 60 %m≤ ≤Expresia semnalului MA în domeniul timp este:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( )

)

( )

( )

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0

1 cos cos

cos cos cos

cos cos2

cos2

MA x t A m t t

A t mA t t

mA A t t

mAt

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅ =⎣ ⎦

= Ω + ∅ + Ω + ∅ ω + ϕ =

⎡ ⎤= Ω + ∅ + Ω − ω + ∅ − ϕ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ Ω + ω + ∅ + ϕ⎣ ⎦

Spectrul de amplitudine al semnalului MA–BLD este prezentat în figura 4.3.

Spectrul de amplitudini

0

2

mA 0 0

2 2

mA a=

0 A

( )0 0Ω − ω 0Ω ( )0 0Ω + ω ω

Figura 4.3




Transformata Fourier a semnalului MA este:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

0 0 0 0 0

200 0 0 0 0

0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0 0 0

cos cos cos

2

2

MA MA X TF x t TF A t mA t t

mA A

A

mA

ω = = Ω + Ω ⋅ ω =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π δ ω+ Ω + δ ω− Ω + ⋅ π δ ω+ Ω + δ ω− Ω ∗

⎣ ⎦ ⎣ ⎦π⎡ ⎤ ⎡ ⎤∗ δ ω+ ω + δ ω− ω = π δ ω+ Ω + δ ω− Ω +⎣ ⎦ ⎣ ⎦π

⎡ ⎤+ δ ω+ ω + Ω + δ ω+ ω − Ω + δ ω− ω + Ω + δ ω− ω − Ω⎣ ⎦)

Reprezentarea grafică a spectrului semnalului MA, corespunzătortransformării sale Fourier, este prezentată în figura 4.4.

0

2

mAπ 0

2

mAπ0 Aπ

0 0− Ω − ω 0−Ω

0

2

mAπ 0

2

mAπ0 Aπ

0Ω ω0 0− Ω + ω 0 0 0Ω − ω 0 0Ω + ω

( ) MA X ω

Figura 4.4

b) Dacă ( ) ( )1

cos

n

k k

k

x t a t =

k = ω + ϕ∑ , adică ( ) x t este un semnal politonal,

atunci expresia semnalului MA în domeniul timp este:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 0 01

0 0 01

00 0 0 0 0

1

00 0

1

cos cos

1 cos cos

cos cos2

cos2

n

MA k k k

k

n

k k k

k

nk

k k

k

nk

k k

k

x t A a t t

A m t t

m A A t t

m At

=

=

=

=

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + ω + ϕ Ω + ∅ =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= Ω + ∅ + Ω − ω + ∅ − ϕ +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ Ω + ω + ∅ + ϕ⎣ ⎦

∑

∑

∑

∑

În condiţiile în care:

0 k Ω > > ω şi [ ]1, 1,k m k n≤ ∀ ∈ ,

rezultă spectrul de amplitudini al semnalului MA–BLD din figura 4.5




0 1ω 2ω nω

Spectrul de amplitudine al semnalului modulator

ω

0 ω0 nΩ − ω 0Ω

0 1Ω − ω 0 1Ω + ω

0 nΩ + ω

2 MA n B = ω

0 A

Spectrul de amplitudine al semnalului MA

Figura 4.5

c) Dacă ( ) x t este un semnal neperiodic, dar limitat la o frecvenţă M ω ,

rezultă expresia în domeniul timp al semnalului MA:

( ) ( ) ( )0 0 0 0

cos cos cos MA 0

x t A x t A t x t t = + ⋅ Ω = Ω + ⋅ Ω⎡ ⎤⎣ ⎦

şi spectrul său în domeniul frecvenţă:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

cos cos

1cos

21

2

MA MA X TF x t TF A t x t t

A X TF

A X

ω = = ω + ⋅ Ω =

⎡ ⎤= π δ ω − Ω + δ ω + Ω + ω ∗ Ω =⎣ ⎦ π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π δ ω − Ω + δ ω + Ω + ω ∗ δ ω − Ω + δ ω + Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦)0

t

adică:

( ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 01

2 MA X A X X ω = π δ ω − Ω + δ ω + Ω + ω − Ω + ω + Ω )0⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Reprezentarea grafică a spectrului de frecvenţă este dată în

figura 4.6.( ) MA X ω




( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

cos cos

cos cos

= cos cos

2 2

MA x t a t A t

a A t t

a A a At t

= ω + ϕ ⋅ Ω + ∅ =

= Ω + ∅ ω + ϕ =

⎡ ⎤ ⎡Ω + ω + ∅ + ϕ + Ω − ω + ∅ − ϕ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

iar spectrul de amplitudini corespunzător acestei expresii este cel din figura 4.8.

Spectrul de amplitudini0 0

2

a A

0 0Ω − ω 0 0Ω + ω0Ω ω

Figura 4.8

Dacă ( ) ( ) X TF xω = t , rezultă expresia spectrului semnalului MA–PS:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

0 0

0 00 0 0

cos

2 2

MA MA X TF x t TF A t x t

A A X X

ω = = Ω ⋅ =

⎡ ⎤ ⎡= ω ∗ π δ ω − Ω + δ ω + Ω = ω − Ω + ω + Ω⎣ ⎦ ⎣π )0 X ⎤⎦

Corespunzător acestei expresii, în figura 4.9 este reprezentat spectrul unuisemnal de tip MA–PS pentru un semnal informaţional oarecare, de bandă limitată la ω M .

( ) ( ) X TF x t ω =

M −ω M ω ω0

1

2

( ) MA X ω

0 ω0 M − Ω − ω 0 M − Ω + ω0−Ω 0 M Ω − ω 0Ω0 M Ω + ω

1

Figura 4.9




4.4 Semnale MA-BLU (MA-BLU-PS)

Obţinerea semnalului MA-BLU-PS este ilustrată de sistemul din figura 4.10.

( ) p t

( ) x t

( ) X ω

( )P ω

( )FTB H ω( ) ( ) X Pω ω

( ) ( ) ( ) MA BLU FTB x t h x t p t − = ⎡ ⋅ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )FTB H X Pω ⋅ ⎡ ω ω ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) MA x t x t p t = ⋅

Figura 4.10

Rezultă prelucr ările în domeniul frecvenţă prezentate în figura 4.11.

( ) X ω

M −ω M ω ω0

MA X

0 ω0 M − Ω − ω 0 M −Ω + ω0−Ω 0 M Ω − ω 0Ω 0 M Ω + ω

1

FTB H

0 ω0 M − Ω − ω 0−Ω 0Ω 0 M Ω + ω

( ) MA BLU X − ω

0 ω0 M − Ω − ω 0−Ω 0Ω 0 M Ω + ω

Figura 4.11




4.5 Analiza semnalelor MA-BLU

Din expresia generală a unui semnal de tip MA-BLD (cu semnalmodulator monotonal) vom reţine doar primii doi termeni:

( ) ( )

( )

00 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0

cos cos2

+ cos2

MA BLD

mA x A t t

mAt

− ⎡ ⎤= Ω + ∅ + Ω + ω + ∅ + ϕ +⎣ ⎦

⎡ ⎤Ω − ω + ∅ − ϕ⎣ ⎦

Rezultă expresia în domeniul timp a unui semnal de tip MA-BLU:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

00 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0 0

00 0 0 0

0 0 0 0 0

00 0 0 0

cos cos2

cos cos cos2

sin sin2

1 cos cos2

sin sin2

MA BLU

mA x A t t

mA A t t t

mAt t

m A t t

mAt t

− ⎡ ⎤= Ω + ∅ + Ω + ω + ∅ + ϕ =⎣ ⎦

= Ω + ∅ + Ω + ∅ ⋅ ω + ϕ −

− Ω + ∅ ⋅ ω + ϕ =

⎡ ⎤= + ω + ϕ ⋅ Ω + ∅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

− ω + ϕ ⋅ Ω + ∅

Semnalul MA-BLU conţine două componente în cuadratur ă.Pentru cazul 0 0∅ = , din identificarea relaţiei de mai sus cu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 0cos cos cos sin sina t t t a t t t a t t t ⋅ Ω + ϕ = ⋅ Ω ϕ − Ω ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ )0 ,

rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0

cos 1 cos2

sin sin2

ma t t A t

mAa t t t

⎧0

⎡ ⎤⋅ ϕ = + ω + ϕ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨

⎪ ⋅ ϕ = ω + ϕ⎪⎩

de unde:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

2 22 2

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

1 cos sin 1 cos2 4 4

sin2arctg

1 cos2

m m ma t A t t A m t

mt

t m

t

⎧ ⎡ ⎤⎪ = + ω + ϕ + ω + ϕ = + + ω + ϕ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎪⎨ ω + ϕ⎪

ϕ =⎪

⎪ + ω + ϕ⎩

0




Pentru 1m <<( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0

1 cos2

arctg sin sin

2 2

ma t A t

m mt t

⎧ ⎡ ⎤≈ + ω + ϕ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨

⎡ ⎤⎪ϕ ≈ ω + ϕ ω + ϕ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

t

În acest caz ( ):1m <<

( ) ( ) ( )0 0 0 0 01 cos cos sin2 2 MA BLU

m m x t A t t t −

⎡ ⎤ ⎡+ ω + ϕ Ω + ω + ϕ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ 0

⎤⎥⎦

,

adică semnalul MA-BLU conţine atât o modulaţie de amplitudine, cât şi una de fază!

4.6 Demodularea sincronă şi asincronă

Schema generală a unui sistem de comunicaţie cu MA este cea din

figura 4.12.

LINIE

Emisie Recep ie

( )0 0cos t Ω + φ( )0 0cos t Ω + ∅

( ) E x t ( ) x t ( ) y t ( ) R x t

Figura 4.12

La emisie:( ) ( ) ( )0 0cos E x t x t t = ⋅ Ω + ∅ .

La recepţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 00 0

0 0 0 0 0

cos coscos

dacă

1 1cos cos 2

2 2

R

R E

x t t t y t x t t

x t x t

x t t x t

⇒ Ω + ∅ ⋅ Ω + θ= ⋅ Ω + θ

≡

= ∅ −θ + Ω + ∅ + θ ⋅

=

Se disting două cazuri:a) demodulare sincronă pentru ( )0 0 0cos 1∅ = θ ⇒ ∅ − θ = , în care caz:

( ) ( ) ( )0 01 1

cos 2 22 2

y t x t t x t = + Ω + ∅ ⋅ ( )

0

;

b) demodulare asincronă pentru cazul 0∅ ≠ θ , dar

0 0 2

π∅ − θ ≠ ,

căci pentru ( )0 0 2 y t π∅ − θ = ⇒ nu conţine semnal informaţional în joasă frecvenţă.




În domeniul frecvenţă (pentru cazul demodulării sincrone) rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

1cos cos

21

=

2 21

41 1

2 22 4

R R MA MA X TF x t TF x t t X TF t

X X

X X X X

X X X

ω = = ⋅ Ω = ω ∗ Ω =π

π⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ω + Ω + ω − Ω ∗ δ ω − Ω + δ ω + Ω =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

π⎡ ⎤= ω − Ω + Ω + ω + Ω + Ω + ω − Ω − Ω + ω + Ω − Ω =⎣ ⎦

⎡ ⎤= ω + ω + Ω + ω − Ω⎣ ⎦

Observaţie: Componentele spectrale ( )02 X ω − Ω şi ( )02 X ω + Ω se pot

elimina printr-un FTJ .Procesul modulării şi demodulării (sincrone), pentru cazul unui semnal

MA-BLU-PS, este ilustrat în figura 4.13.

Modulare

Demodulare

0,3 3,4 12 [ ]kHz

[ ]kHz

f

f

[ ]kHz

f

[ ]kHz

f

[ ]kHz

f

24,3 27,4

f

[ ]kHz

0,3 3,4

0,3 3,4

MOD FTB DEM FTJ

8,6 11,712,3

15,4

12,3 15,4

12

FTJ a

Figura 4.13




4.7 Caracteristici energetice ale semnalelor MA

În cazul unui semnal MA monotonal

( ) ( ) ( ) ( ) MA P BLI BLS x t x t x t x t = + + ,

unde:( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

00 0 0 0

00 0 0 0

cos ;

cos ;2

cos .2

p

BLI

BLS

x t A t

mA x t t

mA x t t

= Ω + ∅

⎡ ⎤= Ω − ω + ∅ − ϕ⎣ ⎦

⎡ ⎤= Ω + ω + ∅ + ϕ⎣ ⎦

Puterea instantanee dezvoltată de un semnal MA de tip tensiune, într-o

rezistenţă de 1Ω, va fi:( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 MA p BLI BLS p BLI p BLS BLI BLS p t x t x t x t x t x x x x x x= = + + + + +

Puterea medie a semnalului MA va fi:

( ) ( )2 2 2 20 0 0

0

1lim d

2 8 8

T

p BLI BLS T

2 A m A m A p t p t t x x P

T →∞= = + + = + +∫ .

Deoarece 0 p BLI p BLS BLI BLS x x x x x x= = = , rezultă că:

1) 2

11

2 2 BLI BLS

m p

P P m

P =+ = = ;

adică puterea în componentele laterale este 50 % din puterea purtătoarei;2) raportul dintre puterea utilă conţinută în componentele laterale şi

puterea totală este:

2!

2max, dacă 1, când 33%

2util BLI BLS

total

P P P mm

P P m

+η = = = = = η =

+.

De exemplu, pentru , rezultă 50%m = 11%η = .Semnale MA în practică:a) semnale MA cu purtătoare şi ambele benzi laterale, obţinute ca în

figura 4.14

( )0 1 A s t ⎡ + ⎤⎣ ⎦ 2 MA BLs −

( ) p t

Figura 4.14




avantaje: refacerea simplă, la recepţie, a semnalului prin simplă detecţie. dezavantaje: ocupă o bandă largă de frecvenţe şi necesită o putere mare

la emisie;

b) semnale MA cu purtătoare suprimată, obţinute ca în figura 4.15:

( )0 A s t MA PS s −

( ) p t

Figura 4.15

avantaje – o putere mai mică la emisie;

dezavantaje – ocupă o bandă largă de frecvenţe şi este necesar ă oreconstituire a purtătoarei la recepţie;

c) semnale MA cu bandă laterală suprimată, obţinute ca în figura 4.16:

( )s t MA BLU s −

( ) p t

Figura 4.16

avantaje – bandă minim ocupată şi reducerea puterii transmise; dezavantaje – necesită refacerea sincronă a purtătoarei la recepţie.

4.8 Semnale modulate în frecvenţă MF

4.8.1 Conceptele de frecven ţă şi fază instantanee

Fie un semnal purtător armonic:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 j j0 0 0 0 0cos Re e Re et t

p t A t A AΩ +∅ ∅= Ω + ∅ = = .

Faza instantanee ( )t ∅ a acestui semnal este dată de relaţia:

( ) 0 0t t ∅ = Ω + ∅ .

Frecvenţa instantanee a semnalului este dată de viteza de variaţie a fazeiinstantanee, adică:

( ) ( )d

d

t t t

∅Ω = .




În cazul semnalului purtător armonic, frecvenţa instantanee este oconstantă:

( )0 0d

d t

t Ω = Ω + ∅ = Ω0 .

Faza instantanee corespunzătoare unei frecvenţe instantanee va fi:

( ) ( )0

dt

t ∅ = Ω ξ ξ∫ .

În figura 4.17 sunt prezentate două semnale purtătoare şi, corespunzător,frecvenţele lor instantanee.

t 0

( ) p t

t 0

0Ω

( )t Ω

t 0

( ) p t

t 0

1Ω

( )t Ω

1Ω 2Ω 1Ω

2Ω

T T 1t 2t

Figura 4.17

În cazul modulaţiei exponenţiale, proprietăţile semnalului sunt transferatefuncţiei de fază instantanee, care intervine la exponent în expresia purtătoarei.

În tabelul 4.1 sunt prezentate comparativ modalităţile prin caresemnalul informaţional ( ) x t va modifica frecvenţa instantanee ( )t Ω , în cazul MF,

şi faza ( )t ∅ instantanee, în cazul MØ.

Rezultă că: MP cu ( ) x t este identică cu MF cu( )d

d

x t

t .




Tabelul 4.1

În cazul MF În cazul MØ (MP)

( ) ( )

( )0 0

d

d MF

t t k x t t

∅Ω → Ω = = Ω + ( ) ( )0 0 MPt t k x t ∅ = Ω + ∅ + ⋅

( ) ( ) ( )0

0 0

d dt t

MF t t k ∅ = Ω ξ ξ = Ω + ξ∫ ∫ x ξ ( ) ( ) ( )

0d d

d d MP

t xt k

t t

∅Ω = = Ω + ⋅

t

4.8.2 Expresia semnalului MF

Semnalul informaţional care conţine mesajul este:

( ) 0 0cos x t a t = ω .

Semnalul purtător are expresia:

( ) ( ) ( )0 0 0 0cos cos p t A t A t = Ω + ∅ = ∅⎡ ⎤⎣ ⎦ .

În procesul de modulaţie de frecvenţă se realizează:

( ) ( )0 0 0 0 cos MF MF t k x t k aΩ → Ω = Ω + ⋅ = Ω + ⋅ ω0t .

Atunci când variază între 0 şi0t ω 2π , frecvenţa instantanee ( )t Ω

variază în limitele:

0 0 0 0; ; MF MF k a k aΩ − Ω Ω + 0 .

În consecinţă poate fi interpretat ca o deviaţie de frecvenţă, motiv pentru care notăm:

0 MF k a

not0 = MF k a⋅ ΔΩ .

Rezultă că:

( ) 0 0cost t Ω = Ω + ΔΩ ω .

Faza instantanee a semnalului MF este dată de expresia:

( ) ( )0

0 0 0 0 0 000 00

cos d sin sint

t t t ∅ ≡

ΔΩ ΔΩ∅ = Ω + ΔΩ ω ξ ξ = Ω + ω + ∅ = Ω + ω

ω ω∫ 0t t ,

unde:

0

ΔΩ= β

ω

– indice de modulaţie; MF – variaţia relativă de frecvenţă.




În domeniul timp, semnalul MF are expresia:

( ) [ ]

( ) ( )

0 0 0

0 0 0 0 0 0

cos sin

cos cos sin sin sin sin

MF x t A t t

A t t A t

= Ω + β ω =

= Ω β ⋅ ω − Ω β ⋅ ω t

Pentru indici de modulaţie mici, adică pentru micβ = , rezultă aproximările:

[ ]

[ ]0

0 0

cos sin 1

sin sin sin

t

t t

⎧ β ⋅ ω⎪⎨

β ⋅ ω β ω⎪⎩

astfel că, pentru β = mic, în domeniul timp, expresia semnalului MF este:

( )

( ) ( )

0 0 0 0 0

0 00 0 0 0

cos sin sin

cos cos cos2 2

MF x t A t A t t

A A A t t

Ω − β Ω ⋅ ω =

β β= Ω − Ω − ω + Ω + ω

t

În acest caz, spectrul de amplitudine al semnalului MF este cel dinfigura 4.18.

0 0Ω − ω

0 0Ω + ω0Ω ω

0

2

A β

0 A0

2

A β

Spectrul de amplitudini al semnaluluiMF (cu β mic)

Figura 4.18

4.8.3 Transformata Fourier a semnalului MF pentru mic

În acest caz rezultă că:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

0 0 0 0 0

200 0 0 0 0

0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0 0 0

cos sin sin

2

2

MF MF X TF x t TF A t A t t

A A

A

A

ω = = Ω − β Ω ⋅ ω =

β⎡ ⎤ ⎡ ⎤= π δ ω + Ω + δ ω − Ω + π δ ω + ω − δ ω − ω ∗⎣ ⎦ ⎣ ⎦π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∗ δ ω + Ω − δ ω − Ω = π δ ω + Ω + δ ω − Ω +⎣ ⎦ ⎣ ⎦βπ

⎡ ⎤+ δ ω + Ω + ω − δ ω + Ω − ω − δ ω − Ω + ω + δ ω − Ω − ω⎣ ⎦)




Corespunzător relaţiei de mai sus, în figura 4.19 se prezintă spectrul(Fourier) al unui semnal MF cu indice de modulaţie mic.

0 0− Ω − ω

0 0− Ω + ω

0−Ω ω

0 Aπ

0

0 0Ω − ω

0Ω 0 0Ω + ω

0 Aπ0

2

A βπ

0

2

A βπ−

( ) ( ) MF MF X TF x t ω =

Figura 4.19

În general:

( ) ( ) ( )

0 0

0 0

j sin0 0 0 0

j j sin0

cos sin Re e

Re e e

t t MF

t t

x t A t t A

A

Ω +β ω

Ω β ω

= Ω + β ω = =

= ⋅

Dar cum ( ) j sin je e x kxk

k

J

+∞β

=−∞

= β∑ , rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 00 0 j j j0 0

0 0 0

Re e e Re e

cos

k t t k t MF k k

k k

k

k

x t A J A J

A J k t

+∞ +∞Ω + ωΩ ω

=−∞ =−∞

+∞

=−∞

⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪= ⋅ β = β⎨ ⎬ ⎨

⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩

= β ⋅ Ω + ω

∑ ∑

∑

⎫⎪=⎬

⎪⎭

unde: ( )k J β sunt funcţiile Bessel de speţa I, de ordin k şi argument β şi au

proprietăţile:

( ) ( ) ( )1 k

k k J J − β = − β , adică:, pentru par

, pentru impar k k

k k

J J k

J J k

−

−

= =⎧⎨

= − =⎩

iar pentru rezultă că:1β <<

( ) ( ) ( )0 1 11; ;2 2

J J J −β β

β β β − şi ( ) 0, pentru 2k J k β = ≥ .

În figura 4.20 este reprezentată variaţia unor funcţii Bessel de speţa I înraport cu argumentul lor.




1

0, 5

1 2, 4

0J

1J

2J

5,55 10 15

β

( )k J β

Figura 4.20

Corespunzător expresiei ( ) ( )0 0( ) cos MF k

k

0 x t A J k

+∞

=−∞

= β ⋅ Ω +∑ t ω , în

figura 4.21 se prezintă spectrul de amplitudini al unui semnal MF pentru unindice de modulaţie β , oarecare.

Spectrul deamplitudini

0 0Ω − ω

0Ω 0 0Ω + ω 0 02Ω + ω 0 03Ω + ω

0 3 A J −

0 2 A J −

0 0 A J 0 1 A J

0 2 A J 0 3 A J

0 03Ω − ω

0 1 A J −−

( )0 k A J β

0 02Ω − ω

ω0 3 A J

Figura 4.21

Banda de frecven ţă teoretic ocupat ă de ( ) MF x t este infinit ă.

Banda de frecven ţă efectiv ocupat ă depinde de β . De exemplu, pentru, rezultă că:1β <<

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 00 0 0 0 0 0

cos cos cos

A cos cos cos

2 2

MF x t A J t A J t A J t

A At t t

= β Ω − β Ω − ω + β Ω + ω

β βΩ − Ω − ω + Ω + ω




Pentru β mic, banda efectiv ocupată este 02 MF B = ω .

Pentru alte valori ale lui β , banda efectiv ocupată este 02 MF B N = ω , unde N reprezintă numărul de componente spectrale luate în considerare.

Punând condiţia ca banda efectivă să conţină 99 % din puterea totală a

semnalului MF, rezultă că N poate fi determinat din ecuaţia:

( )2 0,99 N

k

k N

J

+

=−

β =∑ .

Rezultă soluţia:

1 N + β + β (sau chiar 1 N ≈ + β sau N ≈ β ).

Pentru β (foarte) mare, 0 0

0

2 2 2 MF N B ΔΩ

≈ β ⇒ = βω = ω = ΔΩ

ω

.

Adică, în acest caz, banda efectiv ocupată de semnalul MF nu depinde defrecvenţa mesajului!

4.8.4 Puterea medie a semnalelor MF

Putem calcula că:

( ) ( )2 2

2 20 0

0

1

1lim d

2 2

T

m MF k T

k

A AP x t t J

T

+∞

→∞=−∞

=

= = ⋅ ∑∫

β =

(deoarece funcţiile Bessel formează un sistem ortonormal), adică puterea mediea semnalului MF este constantă, independentă de β şi este egală cu puterea

purtătoarei.În procesul modulaţiei, în care β variază, apare un „schimb de puteri”

între componenta şi componentele laterale, astfel ca puterea totală să fieconstantă.

0 J

4.8.5 Demodularea semnalelor MF

În cazul modulaţiei cu salt (sau cu deviaţie de frecvenţă) procesulmodulaţiei şi demodulaţiei unui semnal de tip FSK este cel ilustrat înfigura 4.22.

În cazul demodulării indirecte, semnalul MF este transformat, mai întâi,într-un semnal care are şi o modulaţie de amplitudine, în ritmul modulaţiei defrecvenţă, urmând, apoi, o detecţie de înf ăşur ătoare, aşa cum se prezintă înfigura 4.23.




FSK x

mesaj

t

t

1 f 2 f 1 f

FSK x2 f

1 f

2 f

1 f

f

Figura 4.22

MF x

t

f

Demodîn f ăş.

( )t

0F

Figura 4.23

Fie sistemul de demodulare din figura 4.24:

MF x ( )t d

d DK t

− ( ) D x t Detector

MA

( ) M x t ( )0 x t

Figura 4.24




Semnalul derivat ( ) D x t are expresia:

( ) ( )

( ) ( )0 0 0

dsin d

d

t

MF D D D

x t x t K K A x t t x

t −∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = Ω + Δω Ω + Δω θ θ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ .

După detectorul MA rezultă semnalul:

( ) ( )0 0 M MA D x t K K A x t = ⋅ ⋅ Ω + Δω⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

iar după eliminarea componentei de c.c. rezultă:

( ) ( ) ( )0 0 MA D x t K K A x t x t = ⋅ ⋅ ⋅ Δω ⋅ ∼ .

4.9 Semnale modulate în fază MØ (MP)

Fie o purtătoare armonică:( ) ( ) ( ) ( ) j

0 0 0 0 0cos cos Re e t p t A t A t A

∅= Ω + ∅ = ∅ = .

În cazul modulaţiei de fază (MØ), semnalul modulator ( ) x t acţionează

direct asupra fazei instantanee ( )t ∅ a purtătoarei:

( ) ( )0

0 00

MPt t k x t ∅ =

∅ = Ω + ∅ + ⋅ ;

dacă ( ) 0

sin0

x t a= ω t , iar 1 MP

k = şi0

0φ = , rezultă:

( ) 0 0 0 0sin sint t a t t 0t ∅ = Ω + ω = Ω + Δϕ ω ,

astfel că expresia în domeniul timp a semnalului MP este:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0cos sin cos sin M 0 x t A t t A t t ∅ = Ω + Δϕ ω = Ω + α ω ,

unde: – indice de modula ţ ie de fază sau devia ţ ie de fază care nu depinde

de frecven ţ a purt ătoare .Δ ϕ = α

0ΩÎn consecinţă:

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0cos cos sin sin sin sin M x t A t t t t ∅ = Ω ⋅ α ⋅ ω − Ω ⋅ α ⋅ ω⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Pentru indici de modulaţie mici ( )0,5α < , rezultă aproximările:

( )

( )

0

0 0

cos sin 1

sin sin sin

t

t t

α ω⎧⎪⎨

α ω α ω⎪⎩

astfel că:( )

( ) ( )

0 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0

cos sin sin

cos cos cos2 2

M x t A t A t t

A A A t t

∅ Ω − α Ω ω =

α α= Ω − Ω − ω + Ω + ω

t




În general, pentru oarecare:α

( ) ( ) ( )0 0cos M k

k

0 x t A J k

+∞

∅=−∞

= α ⋅ Ω + ω t ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ .

Toate observaţiile privind spectrul de amplitudini şi banda efectiv ocupată r ămân valabile şi pentru MØ, ca în cazul MF. De exemplu, pentru , rezultă

, iar pentru , rezultă 1α

02 B ω 1α 02 B αω , adică, în acest caz, banda efectivocupată depinde de frecvenţa mesajului.

Iată o comparaţie între MF şi MP privind banda ocupată:

0 00

0 0 0

: 2 2 2 2

: 2 2

0 MF B a

M B a

ΔΩβω = ⋅ ⋅ ω = ΔΩ =

ω

∅ αω = ω

dar β este o deviaţie de frecvenţă relativă 0

⎛ ⎞ΔΩ⎜ ⎟ω⎝ ⎠

, iar aα = Δϕ = este o deviaţie

de fază neraportată!

În cazul MF, banda ocupată nu depinde de frecvenţa mesajului. Încazul MØ, banda ocupată depinde de frecvenţa mesajului. De exemplu,modulaţia de fază a unui semnal de bandă cuprins între ( ),m M f f necesită

pentru m f o bandă mai mică a canalului de transmisie, pe când pentru M f

necesită o bandă mai mare a canalului, care va fi obligatoriu alocată, r ămânândneutilizată pentru frecvenţele mici din spectrul transmis.

Concluzie MØ: componentele de frecvenţă joasă utilizează incomplet banda de frecvenţe alocată pentru transmisia componentelor de frecvenţă înaltă.

4.10 Comparaţie între MF, MØ şi MA

Prelucrarea semnalelor prin modulaţie are ca scop şi îmbunătăţirearaportului semnal pe zgomot sau mărirea protecţiei mesajului la perturbaţii.

Plecând de la teorema lui Shannon:

[ ]2log 1 b/sS

C B Z

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

unde: C este capacitatea, în biţi/secundă, a unui canal de transmisie, egală cucantitatea maximă de informaţie ce poate fi transmisă pe unitatea de timp pecanal; B – lăţimea de bandă a canalului; Z – puterea medie a zgomotului.

Se poate, deci, obţine aceeaşi capacitate de transmisie micşorând banda B şi mărind raportul S / Z , sau mărind banda de transmisie B, în condiţiile în careraportul S / Z scade.




Emiţătoarele MF şi MØ pot fi de putere mai mică decât emiţătoarele MA,în schimb au o bandă transmisă mai mare.

Semnalele MF şi MØ sunt mai bine protejate la zgomot decâtsemnalele MA, căci zgomotul are, în general, variaţii importante în amplitudine

şi nu ale fazei instantanee.La MØ, frecvenţele inferioare ale mesajului ocupă prin modulaţie benzide frecvenţă mai mici decât cele ocupate de frecvenţele superioare, în timp ce laMF toate componentele mesajului ocupă prin modulare aceeaşi bandă defrecvenţe. În consecinţă MØ ofer ă o protecţie mai slabă contra perturbaţiilor.

4.11 Modulaţia cu semnal modulator dig ital (numeric)

În acest caz, stările distincte ale semnalului modulat sunt reprezentate devalori discrete ale amplitudinii, frecvenţei sau fazei unui semnal purtător şi sunt

determinate de un semnal modulator care poate fi: binar, ternar sau multinivel.4.11.1 Modula ţ ia digitală a amplitudinii. Modula ţ ie

prin devia ţ ia amplitudinii Amplitude-Shift Keying (ASK)

Schema de realizare a semnalului ASK este prezentată în figura 4.25.

0cos t Ω

FILTRU( ) H ω ( ) ASK x t

( )h t

( ) x t

Figura 4.25

Conform schemei de prelucrare din figura 4.25, expresia semnalului( ) ASK x t în domeniul timp este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0

cos cos d

cos cos d sin sin d

ASK x t x t t h t h x t t

t h x t t h x t

+∞

−∞

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ Ω ∗ = τ − τ ⋅ Ω − τ τ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= Ω τ ⋅ − τ Ω τ τ + Ω τ − τ Ω τ τ

∫

∫ ∫ 0

Notând: ( ) ( )1 0cosh t h t t = Ω ; ( ) ( )2 0sinh t h t t = Ω , se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2cos sin ASK 0 x t x t h t t x t h t = ∗ Ω + ∗ Ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ t .

Relaţia de mai sus sugerează schema bloc de obţinere a semnalului

( ) ASK x t , prezentată în figura 4.26.




0cos t Ω

( ) x t

90

+

∼

0sin t Ω

( )1h t

( )2h t

( ) ASK x t

Figura 4.26

Expresia spectrului de frecvenţe al semnalului ASK este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0 0

0 0

cos

cos

1

21

.2

ASK ASK X TF x t TF x t t h t

H TF x t t

H X

H X X

ω = = ⋅ Ω ∗ =⎡ ⎤⎣ ⎦

= ω ⋅ ⋅ Ω =

⎡ ⎤= ω ⋅ ω ∗ π δ ω − Ω + δ ω + Ω =⎣ ⎦π

⎡ ⎤= ω ω + Ω + ω − Ω⎣ ⎦

Forma spectrului va depinde de alegerea funcţiei ( ) H ω .

Semnale ASK-BLD

În acest caz, se va alege ( ) 1, H ω = ∀ω∈ , ceea ce este echivalent cu

.( ) ( )h t t = δ

Semnalul ASK-BLD are expresia în domeniul timp:( ) ( ) ( ) ( )0 0cos cos ASK BLD x t x t t t x t t − = ⋅ Ω ∗ δ = ⋅ Ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

iar transformata sa Fourier va fi:

( ) ( ) (0 01

2 ASK BLD X X X − ω = ω + Ω + ω − Ω )⎡ ⎤⎣ ⎦ .

În figura 4.27 este ilustrat spectrul unui semnal ASK-BLD, pentru unsemnal modulator de joasă frecvenţă şi bandă limitată.




( ) X ω

1

0 M −ω M +ω ω

ASK BLD X −

1 2

00−Ω 0+Ω ω0 M Ω − ω 0 M Ω + ω0 M −Ω + ω0 M − Ω − ω

Figura 4.27

Semnale ASK-BLUÎn acest caz, pentru prelucrarea unui semnal de tip BLD într-unul de

tip BLU, se alege unul dintre filtrele din figura 4.28.

1( )FTS H ω

0−Ω 0+Ω ω

( )FTJ H ω

0

00−Ω 0+Ω ω

1

Figura 4.28

Pentru reţinerea benzii laterale superioare vom alege un FTS, caracterizatde funcţia de transfer ( )FTS H ω . R ăspunsul la impulsul unitate al FTS este:

( ) ( ) ( )

( ) ( )0

0

j j

j 0

1 1e d 1 e d

2 2

sin1 1e d ,

2

t t FTS FTS FTJ

t

h t H H

t t t

t

+∞ +∞ω ω

−∞ −∞

+Ωω

−Ω

= ω ⋅ ω = − ω⎡ ⎤⎣ ⎦π π

Ω= δ − ω = δ − ⋅

π π

∫ ∫

∫

ω =

astfel că:




( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 0

0 00

0 0

cos

cos sin1cos d

1 1ˆcos sin ,

2 2

BLU FTS x t h t x t t

x t x t t

t

x t t x t t

+∞

−∞

= ⊗ ⋅ Ω =⎡ ⎤⎣ ⎦

τ ⋅ Ω τ Ω − τ⎡ ⎤⎣ ⎦= ⋅ Ω − τπ − τ

= ⋅ Ω − ⋅ Ω

∫ =

unde:

( ) ( ) ( )1

ˆ d x

x t TH x t t

+∞

−∞

τ= = τ

π − τ∫ .

Pentru reţinerea benzii laterale inferioare se alge FTJ H . Rezultă:

( ) ( ) ( )2 0 0

1 1 ˆcos sin2 2 BLU x t x t t x t = Ω + ⋅ t Ω .

R ăspunsurile în frecvenţă pentru cele două cazuri BLU sunt date înfigura 4.29.

( )1 BLU X ω

0−Ω 0+Ω0

( )2 BLU X ω

0−Ω 0+Ω0

ω

ω

Figura 4.29

Semnalul ( )ˆ x t poate fi reprezentat ca rezultat al prelucr ării dinfigura 4.30; astfel, putem nota:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ d x

x t x t x t h t t

+∞

−∞

τ→ = ⊗ = τ

− τ∫ .

( )1

h t t

=π

( ) x t ( ) ( ) ( )ˆ x t x t h t =

Figura 4.30




Funcţia de transfer a sistemului din figura 4.30 este:

( ) ( ) ( ) j j

j, pentru 01

j e d e d 0, pentru 0

j, pentru 0

t t H TF h t h t t t t

+∞ +∞− ω − ω

−∞ −∞

− ω >⎧⎪

ω = = ⋅ = = ω =⎨π ⎪

+ ω <⎩

∫ ∫

astfel că:

( )

1, pentru 0

j 0, pentru

1, pentru 0

H 0

ω >⎧⎪

ω = ω =⎨⎪ ω <⎩

adică ( ) j H ω corespunde unui FTT, denumit şi transformator Hilbert.

Comentariu: Un FTT ideal, cu r ăspunsul la impulsul unitate ( )

1

h t t = π ,necesar pentru obţinerea semnalelor modulate digital în amplitudine tip BLU nueste fizic realizabil. În cazul utilizării unor filtre fizic realizabile, semnalele ( ) x t

trebuie să aibă componente spectrale reduse în jurul originii.

4.11.2 Modula ţ ia digitală a frecven ţ ei. Modula ţ ie prin devia ţ iede frecven ţă Frequency-Shift Keying (FSK)

În cazul modulaţiei tip FSK, modificarea frecvenţei purtătoarei se

face conform relaţiei:

0Ω

( )0 0 nt aΩ → Ω = Ω + ΔΩ ,

unde: corespunde unei secvenţe modulatoarena na . De exemplu, pentru o

secvenţă binar ă:

( )0 0 1

0 0 2

1, cu probabilitatea :

1, cu probabilitatea 1 :n

pa

p

+ Ω ⇒ Ω⎧⎪= ⎨

− − Ω ⇒ Ω −⎪⎩

+ ΔΩ = Ω

ΔΩ = Ω

Forma generală a semnalului FSK în domeniul timp este:

( ) ( )0 0 0cos cosFSK n n x t A a t A= Ω + ΔΩ + ∅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∅ ,

unde: corespunde unei secvenţen∅ n∅ , pentru et nT = . Secvenţa n∅ poate

fi continuă sau discontinuă. Pentru un semnal FSK cu fază continuă, arevalorile:

n∅

( )

( )

( ) (

0

0 1 0

0 1 0 2 0

0 orice valoare ;

;

2 .

e e

e e

t

t T a T

t T a T a T

= ⇒ ∅

= ⇒ ∅ + ΔΩ + Ω

= ⇒ ∅ + ΔΩ + Ω + ΔΩ + Ω ) e




În cazul binar, ilustrat în figura 4.31, condiţia de continuitate a fazeirezultă din relaţiile ce urmează:

( )11 2

2

cos condiţia de continuitate este: cos cos 2

cos e e

t nT nT

t

Ω ⎫Ω = Ω − ν⎬

Ω ⎭π ,

de unde:

2 12

2enT

πΩ − Ω = ΔΩ = ν .

1+

t

enT ( )1 en T +

1−

( )1 en T −

t

Figura 4.31

2Dar , iar dacă , rezultă că: 1,2,3,...

2me m

F kn k

T f m

π ΔΩ Δω = ν = = = =

ω

De exemplu, dacă 1 1200 HzF = , iar 600 Hzm f = , se va alege, astfel că:1 600 HzmF f Δ = = 2 1 2 2400F F F Hz= + Δ = .

4.11.3 Modula ţ ia digitală a fazei. Modula ţ ie prin devia ţ iede fază Phase-Shift Keying (PSK)

În cazul modulaţiei tip PSK, modificarea fazei se face conform relaţiei:

( ) [ ]0

0 0 00

, cu 0,2

n n

n n

a

t t a t ∅ =

Δϕ=ϕ

∅ = Ω + ∅ + Δϕ = Ω + ϕ ϕ ∈ πn ,

unde corespunde unei secvenţe modulatoare discretena na . De exemplu,

pentru o secvenţă binar ă,

( )

( ) ( )0

0

1, cu probabilitatea :

1, cu probabilitatea 1 :n

p t t a

p t t

+ ∅ ⇒ Ω + Δϕ⎧⎪= ⎨

− − ∅ ⇒ Ω −⎪⎩ Δϕ

Forma generală a semnalului PSK în domeniul timp este:




( ) ( )0 0 0 0 0 0

0 0

cos cos cos sin sin

cos sin ,PSK n n n

n n

x t A t A t A t

a t b t

= Ω + ϕ = ϕ Ω − ϕ Ω

= ⋅ Ω + Ω

=

unde:

0

0

cos ;sin .

n n

n n

a A

b A= ϕ= − ϕ

Expresia semnalului PSK corespunde unui semnal modulat digital înamplitudine cu două benzi laterale. Semnalele PSK au caracteristici similare cu

cele ale semnalelor ASK. De exemplu, dacă 2n

π⎧ ⎫ϕ = ±⎨ ⎬⎩ ⎭

, rezultă:

0

0 0

cos 0;2

sin ,2

n

n

a A

b A A

π⎛ ⎞= ± =⎜ ⎟⎝ ⎠

π⎛ ⎞= − ± =⎜ ⎟⎝ ⎠

∓

astfel că, în cazul unui semnal modulator binar cu valori 1± , se obţine:

0 0sinPSK x A t = Ω∓ .

Acest rezultat este ilustrat în figura 4.32.

1+

1−0 eT 2 eT 3 eT

t

t

PSK x

Figura 4.32

Condiţia de continuitate a fazei este:

0

1 112 2 2

e

T T

F

T

= ν = ν = ν

şi este ilustrată în figura 4.33.




t 2T

T

0 A

0

A−

Figura 4.33

Dacă

0

1

2eT F

≠ ν ⋅ , rezultă o discontinuitate a fazei instantanee a semnalului

modulat.Dacă notăm cu B f frecvenţa de repetiţie a biţilor:

1 B

e

f T

= (Bit-rate), în [b/s].

Condiţia de continuitate a fazei va fi:

0 1 3 5, 1, , 2, , 3,...

2 2 2 2 B

F

f

ν= =

De exemplu, avizul V26 recomandă pentru 1,2 kb/s B f = o frecvenţă

03

1,8 kHz2 BF f = .

4.11.4 Bit/s versus Baud

Prelucrarea datelor numerice în semnale analogice se realizează de un

modem (vezi şi figura 4.34).

MODEMDate numerice Semnale analogice

1011011

Figura 4.34

Debitul binar [b/s] reprezintă numărul de biţi transferaţi în fiecaresecundă, adică viteza (rata) de transmisie a datelor ( ) DV .




4.11.5 Multiple PSK – combina ţ ie ASK-PSK

Single PSK0100110111000100...

( )2log 2 2400 Baud 2400 b/s DV = ⋅ =

N = 2 stări

Figura 4.37

Dibit PSK0100110111000100...

( )2log 4 2400 Baud 4800 b/s DV = ⋅ =

180 0

90

270

N = 4 stări

Figura 4.38

Tr iple-bit PSK0100110111000100...

( )2log 8 2400Baud 7200 b/s DV = ⋅ =

180 0

90

270

45135

225 315

N = 8 stări

Figura 4.39




( ) x t

0 T 2T t = nT

1

( )T t δ

0 T 2T t = nT

0 A

( ) f h t

2− τ 0 2+ τ

τ

T 2T t

0 A

( ) p t

2− τ 0 2+ τ

τ

T 2T t

( ) MIAN x t

0 T 2T t

( ) MIAU x t

0 T 2T t

3T 4T 5T 6T

3T 4T 5T 6T

3T 4T 5T 6T

3T 4T 5T 6T

3T

3T

4T

4T

5T

5T

6T

6T

Figura 4.42

Exemplu: MIAN – cu semnal modulator monotonal




Dacă ( ) 0 0cos x t a t = ω ,

iar

( )0 0 0

01

2 sinc cos2n

A A n

p t nT T

∞

=

τ τ Ω τ

= + Ω∑ t

şi

( ) [ ]00 0 0 0 0 0 0

0

cos 1 cos 1 cos A A

a0 A A t A k a t A k t A m t

A

⎡ ⎤→ = + ω = + ω = + ω⎢ ⎥

⎣ ⎦,

rezultă:

( ) [ ]

( )

( ) ( )

00 0 0

1

0 0 0 00 0

1

0 0 0 00 0

1

00 0 0 0

1 cos 2 sinc cos2

cos 2 1 cos sinc cos2

cos 2 sinc cos2

sinc cos cos2 2

MIAN

n

n

n

n x t A m t n t

T T

A A A nm t m t n

T T T

A A A nm t n t

T T T

nmn t n t

∞

=

∞

=

∞

=

⎡ ⎤Ω ττ τ= + ω ⋅ + Ω =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

τ τ τ Ω τ0t

⎡ ⎤= + ω + + ω ⋅ Ω =⎢ ⎥⎣ ⎦

τ τ τ Ω τ⎧= + ω + Ω +⎨

⎩

Ω τ⎡ ⎤+ Ω − ω + Ω + ω⎣

∑

∑

∑⎫⎬⎦⎭

adică semnalul MIAN conţine: o componentă continuă, o componentă defrecvenţă a semnalului informaţional şi o infinitate de „componente laterale”,

de frecvenţe , ale căror amplitudini scad continuu cu ponderea0ω

0nΩ ± ω0

0sinc2

nΩ τ, aşa cum se poate remarca din figura 4.43.

0 0ω 0Ω

0 0Ω − ω 0 0Ω + ω

02Ω

0−ω 0+ω

03Ω

0−ω 0+ω

04Ω ω

0mA

T

τ

1

2mA 1

2mA

2

2

mA 2

2

mA

1 A

2 A

3 A

4 A

0 A

T

τ

Spectrul de amplitudini al semn. MIAN

Figura 4.43




Comentar iu pr ivind modulaţia impulsur ilor de tip natur al sau uniform

Pe durata oricărui impuls al semnalului purtător p(t ), adică:

,2 2t nT nT

σ σ⎡ ⎤

∀ ∈ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ,

diferenţa dintre modulaţia de tip „natural” sau „uniform” a unui parametru a purtătoarei poate fi remarcată comparativ în tabelul 4.2.

Tabelul 4.2

MIAN( ) ( )0 0 A A A t A k x t → = +

MIAU( ) ( ) ( )0 0 ct.t nT A A A t A nT A k x nT =→ = = + =

MIPN

( )n pt nT k x t → + n

MIPU

( ) ct.n pt nT k x nT → + =

MIDN( ) ( ) Dt k xτ → τ = τ + t

MIDU

( ) ( ) ( ) ct. Dt nT

t nT k x nT =

τ → τ = τ = τ + =

4.12.2 Modula ţ ia impulsurilor în pozi ţ ie (MIP). Semnalul

MIP-Natural (MIPN)

În figura 4.44 este reprezentat un mod de construcţie a unui semnal MIPN.Sunt reprezentate succesiv:

- un semnal x(t ) de joasă frecvenţă, precum şi un semnal periodic, tipdinte de fer ăstr ău;

- un semnal delta periodic ideal cu perioada T ;- un semnal d(t ) cu valori ( )t δ poziţionate în momentele de timp

determinate de intersecţiile semnalului x(t ) cu semnalul dinte defer ăstr ău;

-

r ăspunsul pondere al unui circuit de formare;( ) f h t - semnalul ( ) MIPN x t rezultat din trecerea semnalului d(t ) prin circuitul

de formare caracterizat de ;( ) f h t

- semnalul purtătoare p(t ), care este reprezentat pentru a fi comparat(în poziţie) cu semnalul ( ) MIPN x t .




T 2T

3T 4T

5T

3T 2T T 4T 5T

2T T

4T

5T

0

( ) x t

0

( )T t δ

t

3T

t

t

0

( )d t

5t 4t 3t 2t

1 pΔ 2 pΔ 3 pΔ 4 pΔ

0 A

0 A

0 A

t

( )1T p t = − Δ( ) f h t

5t 4t 3t 2t 1t 0t

5T 4T 3T 2T T 0

( ) p t

( ) MIDN X t

t

t τ

2τ

02− τ 2τ

2− τ

Figura 4.44

Caracter izar ea semnalului MIP-Natural (MIPN)Semnalul MIPN se obţine modificând poziţia fiecărui impuls al

semnalului ( ) p t în ritmul mesajului ( ) x t , adică:

( ) ( ) [ ]0 0 0sin sin MIPN p p M x t p t k x t p t k a t p t p t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + ω = + Δ ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .




Cum:

( ) 0 j0 0sinc e2

n t

n

A n p t

T

+∞Ω

=−∞

τ Ω τ= ∑ ,

rezultă că:

( ) ( )0 0 j sin0 0sinc e2

M n t p t MIPN

n

A n x t

T

+∞Ω +Δ ω

=−∞

τ Ω τ= ∑ .

Dar

( )0 0 j sin j0e e M n p t k

k

k

J n p

+∞Ω Δ ω ω

=−∞

= Ω Δ∑ 0t ,

astfel că:

( ) ( ) ( )0 0 j0 00sinc e

2n k

MIPN k

n k

A n x t J n p

T

+∞ +∞Ω + ω

=−∞ =−∞

τ Ω τ= Ω Δ∑ ∑ t .

Deoarece:

( ) ( )0 0 j0 0e 2n k t

TF n k Ω + ω = πδ ω − Ω − ω ,

rezultă că spectrul (Fourier) de frecvenţe ( ) MIPN X ω al semnalului ( ) MIPN x t este:

( ) ( )

( ) (0 00 02 sinc

2

MIPN MIPN

k

n k

X TF x t

A n J n p n k

T

+∞ +∞

=−∞ =−∞

ω = =

τ Ω τ= π Ω Δ δ ω − Ω − ω∑ ∑ )0 .

Reprezentarea grafică a acestui spectru este dată în figura 4.45.

0n = 1n = 0sinc

2

Ω τ02

sinc

2

Ω τ2n =0k =1k = 2k = 0k =1k = −

2k = −1k =2k =

0k =1k = −

2k = −2k =

1k =

0Ω0+ω0−ω

0ω ω

MIPN X

0Ω0+ω0−ω

Figura 4.45




- un semnal delta periodic ideal cu perioada T ;- un semnal d(t ) cu valori ( )t δ poziţionate, pentru fiecare perioadă nT ,

în momentele de timp ale semnalul dinte de fer ăstr ău cu amplitudiniegale cu valorile semnalului x(t ) la momentele de eşantionare t ;nT =

- r ăspunsul pondere al unui circuit de formare;( ) f h t - semnalul ( ) MIPU x t rezultat din trecerea semnalului d(t ) prin circuitul

de formare caracterizat de ;( ) f h t

- semnalul purtătoare p(t ), care este reprezentat pentru a fi comparat(în poziţie) cu semnalul ( ) MIPU x t .

Caracterizarea semnalului MIP-uniform (MIPU)Fiecare impuls variază în poziţie cu n pΔ în ritmul mesajului:

( ) 0 0sin x t a t = ω ,astfel că:

( ) 0 0 0sin sinn p M p p nT k a nT p nΔ = Δ = ω = Δ ω T ;

0 0 0sin sinn p M t nT k a nT nT p nT = − ω = − Δ ω .

Semnalul ( )d t rezultat are expresia:

( ) ( )0d s

M n

t t nT p

+∞

=−∞

= δ − + Δ ω

∑in nT ,

care are funcţia densitate spectrală:

( ) ( ) ( )

( )0 0

j0

j sin j sin j

d sin e d

e e e M M

t M

n

nT p nT p nT nT

n n

D TF t t nT p nT t

+∞ +∞− ω

=−∞−∞

+∞ +∞ω −Δ ω + ωΔ ω− ω

=−∞ =−∞

ω = = δ − + Δ ω ⋅ =

= = ⋅

∑∫

∑ ∑

Deoarece

( ) j sin je ea b k k

k

J a

+∞+

=−∞

= ∑ b ,

rezultă că:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

j j

j

e e

e

k nT nT k M

n k

k nT k M

n k

D J p

J p

+∞ +∞ω− ω

=−∞ =−∞

+∞ +∞− ω− ω

=−∞ =−∞

ω = ωΔ ⋅ =

= ωΔ ⋅

∑ ∑

∑ ∑




3T 2T T

4T 0

( ) x t

0

( )T t δ

t

t

t

0

( )d t

t

( )T t δ − τ

t

τ 3T 2T 4T T

T 2T 3T 4T

0

0

( ) MID x t

Figura 4.48

Relaţiile care definesc obţinerea spectrului semnalului ( ) MID x t sunt:

( ) ( ) ( )d T g t t t = − δ − τ

( ) ( ) ( )

( ) j1e 2l e

el

T

lT

G D TF t

+∞− ω τ

=−∞πδ ω− ω

ω = ω − δ − τ

∑

( ) ( )

( ) 0, 0 j MIDG

G X

ω = ω=

ωω =

ω




Semnalul MID-Natural. Modificarea duratei τ a impulsurilor în ritmulmesajului informaţional poate fi descrisă de

( ) ( )( ) 0 0

0 0sin

sin D D x t a t

t k x t k a= ω

τ → τ = τ + ⋅ = τ + ω t .

Deoarece:

( ) 0 0 0 0 0 00 0

1 1

12 sinc cos 2 sin cos

2 2n n

A A n A A n p t n t n t

T T T n

∞ ∞

= =

τ τ Ω τ Ω⎛ ⎞= + Ω = τ + ⋅ τ Ω⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∑ ∑ ,

rezultă că:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

0 0 00

1

0 0 0 0 00

1

0 00

2 1sin cos

2

1sin

2 2

+sin2 2

MIDN D D

n

D D

n

D

A A n x t k x t k x t n

T n

A A A n nk x t n t k x t

T T n

n nn t k x t

t

∞

=

∞

=

Ω⎡ ⎤= τ + + τ + ⋅ Ω =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥π ⎣ ⎦

τ ⎧ Ω τ Ω⎡ ⎤= + + Ω + +⎨ +⎢ ⎥π ⎣ ⎦⎩

Ω τ Ω ⎫⎡ ⎤Ω − − ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎭

∑

∑

adică semnalul MIDN conţine, în afara unei componente continue, o componentă a semnalului informaţional de bază şi o infinitate de componente cu purtătoarearmonică şi modulate în fază, a căror amplitudine descreşte cu n.

Caracterizarea semnalului MID-Uniform. Strategia modificării durateiunui impuls pentru obţinerea unui semnal de tip MID-Uniform este ilustrată înfigura 4.49.

0 A

( )t τ

1nt nT 2nt ( )1n T +( )1n T − ( )1n T +

t

Figura 4.49

Rezultă că:

( ) ( ) (

( )

min max1 0 1 1

2 0

1 sin ; 1 , iar 1

1 sin

N i n i n i

n i

t nT T m nT t nT T m t nT T m

t nT T m nT

⎧ = − + ω = − + = − −⎪⎨

= + + ω⎪⎩

)




În consecinţă:

( ) ( ) ( )0 1 2 MIDU n n

n

x t A u t t u t t

+∞

=−∞

= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦∑ .

Spectrul semnalului ( ) MIDU x t este dat de relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

0 0

0 0

0 1 2

j j0

j 1 sin j 1 sin0

j j j sin j sin0

e e j

e e j

e e e e j

n n

i i

i ii i

MIDU MID n n

n

t t

n

nT T m nT nT T m nT

n

nT T nT T T m nT T m nT

n

X TF x t TF A u t t u t t

A

A

A

+∞

=−∞

+∞− ω − ω

=−∞

+∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ω − + ω − ω + + ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=−∞

− ω − − ω ++ ω ω − ω ω

=−∞

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ω = = − − − =⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

= − =ω

= −ω

= ⋅ − ⋅ω

∑

∑

∑+∞

∑

=

e

Deoarece:

( )

( ) ( )

j sin j

j sin j

e e

e 1

a b kbk

k

k a b kbk

k

J a

J a

+∞+

=−∞

+∞−

=−∞

⎧=⎪

⎪⎨⎪ = −⎪⎩

∑

∑

rezultă că:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

j0

j

e j

1 e

i

i

nT T k nT

MIDU k i

n k

nT T k nT k

k i

A X J T m

J T m

+∞ +∞⎡ ⎤− ω − − ω⎣ ⎦

=−∞ =−∞

⎡ ⎤− ω − − ω⎣ ⎦

ω = ωω

− − ω

∑ ∑ −

sau

( ) ( ) ( ) ( j j00 02 e 1 e

ji i

k T T MIDU k i

n k

A X J T m

+∞ +∞ω − ω

=−∞ =−∞

⎡ ⎤ )n k ⎡ ⎤ω = π − − ω ⋅ δ ω − Ω + ω⎣ ⎦⎣ ⎦ω ∑ ∑

În figura 4.50 este reprezentat spectrul de frecvenţe al unui semnal( ) MIDU x t .




0n = 1n =

2n =0k =

1k = 2k =

0k =

1k = −2k = − 1k =2k =

0k =1k = − 1k =

ω

3k =3k = −3k =

MIDU X

0+ω02Ω

0−ω0+ω0Ω

0−ω0ω

0

2k = −2k =

Figura 4.50

4.13 Semnale în modulaţia impulsurilor în cod MICsau PCM

MIC reprezintă o prelucrare suplimentar ă a semnalelor MIA prin:a) cuantizarea valorilor amplitudinilor;

b) codarea valorilor cuantizate.

Aceste etape sunt prezentate în figura 4.51. În figura 4.52 se prezintă tipulde codare (cuantizare) uniformă.

Observaţii: – Eşantionarea nu pierde informaţie. – Cuantizarea conduce la pierderea informaţiei!

În cazul codării MIC, pentru semnalul telefonic se folosesc: frecvenţa maximă a benzii telefonice: 4 kHz; frecvenţa de eşantionare: 2 8 k M f Hz= ;

rezultă: 1 1 8000 125 seT f = = = μ ; pentru cuantizare se folosesc 256 de trepte, dintre care 128 pentru

valori pozitive, iar 128 pentru valori negative ale semnalului vocal; sunt necesare 7 simboluri binare ( )72 128= , la care se va adăuga încă

un simbol pentru indicarea semnalului.

Dacă în intervalul dorim să multiplexăm 32 căi, rezultă:125 sT = μ

32 125 s 32 3,9 sn T τ = = μ = μ .

Durata unui simbol (din cele opt necesare pentru codare) este de:

3,9 488 ns8

τ = = .




( ) x t

0t

Δ

0

t

0

t

( ) x t

0

t

( ) MIC X t

0

t

2Δ3Δ

CUANTIZARE

4+

3+2+

1+ 1+

1000 1100 1011 1010 1001 1001

CODARE

+ + + + +1

EŞANTIONARE

Format numeric serial

Figura 4.51




+ sus

– jos

D Q M y Δ

( ) x t

( ) M x t Δ

+

cont

TACT

−

Figura 4.54

Dacă semnalul de la intrare ( ) x t este mai mare decât semnalul

generatorului treaptă, comparatorul va iniţia un impuls pozitiv, for ţândgeneratorul treaptă să salte cu un pas. Altfel, va iniţia un impuls negativ.

În figura 4.55 este ilustrat efectul depăşirii de pantă a unui semnal ( ) M x t Δ .

( ) x t

t

M x Δ

Figura 4.55

Valoarea lui ∆ se alege în funcţie de panta de variaţie a semnalului ( ) x t ,

astfel ca:

( )

max

d

d

x t

t T

Δ

≤ .

Neîndeplinirea acestei condiţii conduce la „depăşirea de pantă”.




CAPITOLUL 5

SEMNALE DE BANDĂ LIMITATĂ

Un semnal electric, modelat prin funcţia de timp ( ) : x t → , poate fi

reprezentat (dacă ) prin funcţia transformată Fourier ,

definită astfel:1( ) L x t ∈ ( ) : X ω →

( ) ( ) ( ) je d ,t X TF x t x t t .

+∞− ω

−∞

ω = = ∀ω∈

∫ (5.1)

Funcţia ( ) X ω se mai numeşte funcţia spectrală sau spectrul (în frecvenţă)

al semnalului ( ) x t . Cunoscând funcţia spectrală ( ) X ω asociată unui semnal, se

poate determina funcţia de timp ( ) x t , care modelează semnalul, cu ajutorul

transformatei Fourier inverse, definite prin:

( ) ( ) ( )1 j1. . e d , .

2t x t TF X v p X t

+∞−

−∞

= ω = ω ω ∀π ∫

ω ∈ (5.2)

Vom scrie pe scurt că funcţiile ( ) x t şi ( ) X ω sunt perechi transformate

Fourier şi vom nota acest lucru astfel:

( ) ( )TF

x t X ⇔ ω . (5.3)

Conform relaţiei (5.1), pentru semnale ( ) 1 x t L∈ , rezultă o funcţie

spectrală ( ) X ω definită , care ocupă, teoretic, o bandă de frecvenţe

infinită. În aplicaţiile tehnice vom utiliza semnale care ocupă o bandă limitată şicare sunt cauzale. Ne vom ocupa în continuare cu studiul efectului limitării

benzii ocupate de un semnal asupra proprietăţilor semnalului.

∀ω∈

5.1 Semnale cu spectru limitat

5.1.1 Semnal ideal de joasă frecven ţă (tip trece jos)

Fie un semnal cu funcţia densitate spectrală reală şi limitată în frecvenţă ca în figura 5.1.

Modelul matematic al semnalului cu spectrul din figura 5.1 este definit,conform relaţiei (5.2), de funcţia:




( ) j0 0 0sine d sinc

2

M

M

t M M M M

M

X X X t x t t

t

+ωω

−ω

ω ωω= ω = ⋅ =

π π ω π∫ ω . (5.4)

( ) X ω

0 X

ω

M +ω M −ω 0

Figura 5.1

Reprezentarea grafică a semnalului ( ) x t , definit de relaţia (5.4), este dată în figura 5.2. Aşa cum rezultă din figura 5.2, semnalul cu spectrul limitat are ovariaţie continuă, cu o desf ăşurare infinită în timp (neutilizabile practic întehnică).

0 M X ωπ

( ) x t

2− π −π π 2π M t ω

0

Figura 5.2

Dacă mai adăugăm funcţiei densitate spectrală, reprezentată în figura 5.1,şi o fază liniar ă, rezultă funcţia densitate spectrală complexă ( ) X ω , limitată în

frecvenţă, definită prin:

( ) 0 j0

0,

e ,

0,

M

t M M

M

X X − ω

ω < ω⎧⎪

ω = − ω ≤ ω ≤ ω⎨⎪ ω > ω⎩

(5.5)

Funcţiei densitate spectrală, definită de relaţia (5.5), îi corespunde funcţiasemnal:

( ) (00sinc M

M

X ) x t t t

ω= ω

π

− . (5.6)




Semnalul ( ) x t , caracterizat de relaţia (5.6), este reprezentat în figura 5.3.

0 M X ω

π

( ) x t

0 2t − π 0t − π 0t + π 0 2t + π

M t ω0t

Figura 5.3

5.1.2 Semnalul ideal de band ă finit ă Să consider ăm un semnal al cărui spectru ocupă o bandă finită în jurul

unei frecvenţe , aşa cum este reprezentat în figura 5.4.0ω

( ) X ω2Δω

ω0−ω + Δω0−ω −Δω 0−ω

2Δω

0 X

0 0ω − Δ ω 0ω + Δω0ω

Figura 5.4

Semnalul ( ) x t , caracterizat de funcţia densitate spectrală din figura 5.4,

este dat de relaţia:

( ) ( )0 00 0

2 2sincos sinc cos

X X t x t t

t

Δω ΔωΔω⋅= ⋅ ⋅ ω = Δω ⋅

π Δω⋅ π t t ω (5.7)

şi este reprezentat în figura 5.5.Exemplele prezentate până acum au scos în evidenţă câteva concluzii:- unui spectru limitat în frecvenţă îi corespunde o variaţie nelimitată în

timp;- funcţia densitate spectrală ( ) X ω a unui semnal este o mărime

complexă. Dacă ea corespunde unui semnal real ( ) x t , atunci modulul

funcţiei densitate spectrală este o funcţie par ă, iar argumentul funcţieidensitate spectrală este o funcţie impar ă în raport cu variabila . De

notat că, în acest caz, atât

ω

( ) j X ω cât şi ( ) arg j X ω sunt definite şi pentru frecvenţe pozitive şi negative.




πΔω

( ) x t

0cos t ω

( )sinc t Δω

t

π−

Δω

02 X Δωπ

0

Figura 5.5

5.2 Semnal analit ic

Să calculăm transformata Fourier a unui semnal exponenţial complex,definit de:

( ) 0 je t x t A

ω= . (5.8)

Rezultă:

( ) (0 j

0e 2

t

X TF A A

ω

ω = = π δ ω − ω ) . (5.9)Funcţia densitate spectrală ( ) X ω a unui semnal exponenţial complex este

definită, conform relaţiei (5.9), doar pentru 0ω = ω şi nu are componente şi îndomeniul frecvenţelor negative (vezi figura 5.6).

2 Aπ

0

( ) 0 je t X A

ωω =F

( )02 Aπ δ ω − ω

0ωω

Figura 5.6

Un semnal cosinusoidal, real, poate fi reprezentat prin suma a două semnale exponenţiale complex conjugate, conform relaţiei:

0 j0cos e e

2 2

t A A A t 0 j t − ωω = + ω . (5.10)




Astfel, transformata Fourier a semnalului cosinusoidal (real) este:

( ) ( )0 0cosTF A t A Aω = π δ ω + ω + π δ ω − ω0 . (5.11)

Relaţia (5.11) este ilustrată în figura 5.7.

( ) 0cos X Aω = ωF

Aπ

t

ω

0+ω0−ω 0

Figura 5.7

În general, pentru un semnal real ( ) x t , rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )0

j j

0

1 1 1e d e d e d

2 2 2t t x t X X X

+∞ ∞ω ω

−∞ −∞

= ω ω = ω ω + ωπ π π∫ ∫ ∫ j t ω ω . (5.12)

Relaţia (5.12) ne permite să interpretăm descompunerea semnalului real

( ) x t în două semnale: ( ) x t − şi ( ) x t + , complex conjugate: ( ) ( ) x t x t ∗

+ −= , care

vor avea transformatele Fourier definite doar pentru frecvenţele negative,

respectiv pentru frecvenţele pozitive.Să notăm cu funcţia semnal analitic ataşată semnalului real( ) x z t ( ) x t şi

care este definită de:

( ) ( ) j

0

1e dt

x z t X

∞ω= ω

π ∫ ω . (5.13)

Cu substituţia , prima integrală din relaţia (5.12) devine:ξ = −ω

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

j j j

0

1 1 1e d e d = e d2 2 2

t t t x X X X 1

2 z t

∞

ω − ξ − ξ

−∞ +∞

ω ω = − −ξ ξ −ξ ξ =π π π∫ ∫ ∫ ∗ .(5.14)

Ţinând cont de (5.13) şi (5.14), relaţia (5.12) devine:

( ) ( ) ( )1

2 x x x t z t z t ∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦ . (5.15)

Rezultă că relaţia dintre semnalul real ( ) x t şi semnalul analitic ( ) x z t ,

asociat lui, este:

( ) ( ) Re x x t z= t . (5.16)




Să notăm partea imaginar ă a semnalului analitic complex cu( ) x z t ( )ˆ x t ,

adică:

( ) ( ) ˆ Im x x t z= t . (5.17)

Rezultă că:( ) ( ) ( )ˆ j x z t x t x t = + . (5.18)

Corespunzător relaţiei (5.18), în reprezentarea polar ă din figura 5.8, proiecţia semnalului complex ( ) x z t , reprezentat printr-un vector, pe axa reală,

corespunde semnalului real ( ) x t .

x z

Im

Re

( )ˆ x t

( ) x t 0

Figura 5.8

Să determinăm semnalul analitic asociat semnalului real de joasă

frecvenţă, definit de funcţia densitate spectrală din figura 5.1. În acest caz,rezultă că:

( ) x z t

j j0 0

0

( ) e d e 1 ( ) j ( ) j

M

M t

x

X X z t x t x t

t

ωωω ⎡ ⎤= ω = − = +⎣ ⎦π π∫ , (5.19)

unde:

( ) 0 sin M M

M

X t x t

t

ω ω= ⋅

π ω, (5.20)

( ) ( )2

0 sin 2ˆ

2 M M

M

t X x t

t

ωω= ⋅

π ω. (5.21)

Reprezentarea grafică a păr ţii reale ( ) x t şi a păr ţii imaginare ( )ˆ x t a

semnalului analitic , definit de relaţia (5.19), este dată în figura 5.9.( ) x z t




1 ( ) x t

2− π −π π 2π

M t ω

( ) 0 M X x t

ω⎛ ⎞⎜ ⎟π⎝ ⎠

( )ˆ x t 0,80,60,40,4

Figura 5.9

5.2.1 Func ţ ia densitate spectrală a unui semnal analitic

Corespunzător relaţiei (5.2), funcţia densitate spectrală a

semnalului analitic este definită de relaţia:

( ) x Z ω

( ) x z t

( ) ( ) j1e d

2t

x x z t Z

+∞ω

−∞

= ω ⋅ ωπ ∫ . (5.22)

Dar, conform relaţiei (5.13), de definiţie a semnalului analitic, rezultă că:

( ) ( ) ( ) j

0 0

1 1e d 2 e d

2t t

x z t X X

∞ ∞ω= ω ⋅ ω = ω ⋅

π π∫ ∫ jω ω . (5.23)

Relaţiile (5.22) şi (5.23) conduc la:

( ) ( )2 ,

0, 0 x

X Z

0⎧ ω ∀ω >ω = ⎨

∀ω <⎩ (5.24)

Dacă notăm cu ( )ˆ X ω funcţia densitate spectrală a semnalului conjugat ( ) x t , rezultă, conform proprietăţii de liniaritate a transformării Fourier, că:

( ) ( )( ) ( ) ˆ j xTF z t TF x t TF x t = + , (5.25)

adică

( ) ( ) ( )ˆ j x Z t X X = ω + ω . (5.26)




Relaţiile (5.26) şi (5.27) conduc la:

( ) ( ) ( )

( )

( )

, 0ˆ j sgn 0, 0

, 0

X

X X

X

ω ∀ω >⎧⎪

ω = ω ⋅ ω = ω =⎨

⎪− ω ∀ω <⎩

(5.27)

adică:

( ) ( ) ( )

( )

( )

j ,ˆ jsgn 0, 0

j ,

X

X X

X

0

0

− ω ∀ω >⎧⎪

ω = − ω ⋅ ω = ω =⎨⎪ ω ∀ω <⎩

(5.28)

Relaţiile (5.24)÷(5.28) permit interpretarea grafică a legăturii dintre

spectrele semnalelor ( ) ( )ˆ, x t x t şi ( ) x z t , care este dată în figura 5.10.

( ) X ω

( ) ( ) ( )ˆ jX Z X ω = ω + ω

M −ω M +ω0 ω

ω M −ω

1

1

2

M +ω

1

1−

M ω ω

0

0

( )ˆ jX ω

Figura 5.10

Relaţia de legătur ă (5.28), dintre funcţiile spectrale ( )ˆ X ω şi ( ) X ω , poate

fi rescrisă sub forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

j ,ˆ jsgn 0, 0

j ,

X

X X H X

X

0

0

− ω ω >⎧⎪

ω = − ω ⋅ ω = ω ⋅ ω = ω =⎨⎪+ ω ω <⎩

(5.29)

unde s-a notat cu ( ) H ω funcţia:




( ) ( ) j, 0

0, 0

j, 0

H TF h t

− ω >⎧⎪

ω = = ω =⎨⎪+ ω <⎩

(5.30)

Relaţiile (5.29) şi (5.30) permit interpretarea legăturii dintre partea reală şicea imaginar ă a semnalului analitic cu ajutorul produsului de convoluţie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

ˆ d x

x t x t h t x t t t

+∞

−∞

τ= ∗ = ∗ = τ

π π − τ∫ , (5.31)

unde, conform relaţiei (5.30):

( ) ( ) 1 1h t TF H

t

−= ω =

π

. (5.32)

Conform relaţiei (5.31), semnalul ( )ˆ x t rezultă ca r ăspuns al unui sistem

caracterizat de funcţia pondere ( )h t sau de funcţia de transfer ( ) H s , la intrarea

căruia s-a aplicat semnalul ( ) x t , aşa cum este ilustrat în figura 5.11.

( ) x t ( )

1h t

t =

π

( ) ( ) ( )ˆ x t x t h t =

Figura 5.11

Sistemul din figura 5.11, definit de funcţia de transfer ( ) H ω , este un

filtru trece tot, cu proprietăţile:

( )

1, 0

0, 0

1 0

H

ω >⎧⎪

ω = ω⎨⎪

=

ω <⎩

(5.33 a)

( ) /2, 0

arg 0, 0

/2, 0

H

−π ω >⎧⎪

ω = ⎨⎪

ω =

+π ω <⎩

(5.33 b)

Acesta se numeşte şi filtru ideal de cuadratur ă, deoarece introduce undefazaj de ( )/ 2−π pentru şi un defazaj constant de0ω > ( )/ 2+π pentru .0ω <




Exemplu. Semnalul cosinusoidal ( ) 0cos x t A t = ω are funcţia densitate

spectrală ( ) ( ) ( )0 X Aω = π δ ω + ω + δ ω − ω⎡⎣ 0 ⎤⎦ . Corespunzător relaţiei (5.28)

rezultă că: ( ) ( ) ( ) ( )0ˆ / 2 X A jω = π δ ω + ω − δ ω − ω⎡⎣ 0 ⎤⎦ . Conform transformării

Fourier inverse rezultă că:( ) ( ) 1

0ˆˆ sin . x t TF X A

−= ω = t ω

În acest caz, semnalul analitic ( ) x z t , asociat semnalului real

( ) 0cos x t A= ω t , va fi:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 j0 0ˆ j cos jsin e t

x z t x t x t A t t A ω= + = ω + ω = .

Exemplu: Fie un semnal real ( ) x t , de tip impuls dreptunghiular, de

durată şi amplitudine A, ca cel din figura 5.12 a.0t

( ) x t ( )ˆ x t

0 2t − 0

0 2t t t 0 2t − 00 2t

A

)a )b

Figura 5.12

Conform relaţiei (5.31), rezultă că:

( )

0

0

2

0

02

21

ˆ d ln 2

t

t

t t A A

x t t t −

−

= τ =π − τ π +∫ t .

Reprezentarea grafică a semnalului ( )ˆ x t este dată în figura 5.12 b.

5.2.2 Func ţ ia înf ăşur ătoare (reală), fază instantanee

şi frecven ţă instantanee ale unui semnal analitic

Deoarece semnalul analitic ( ) x z t , ataşat unui semnal real ( ) x t , este o

funcţie complexă, rezultă că o putem reprezenta în formă carteziană şi polar ă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jˆ j t x x z t x t x t U t ψ= + = ⋅ e . (5.34)




Se definesc astfel: funcţia înf ăşurătoare (sau anvelopă) a unui semnal analitic:

( ) ( ) ( ) ( )2 2ˆ D x xU t z t x t x t = = + ; (5.35)

funcţia fază instantanee:

( ) ( ) ( )

( )

ˆarg arctg D

x x

x t t z t

x t ψ = = ; (5.36)

funcţia frecvenţă instantanee:

( ) ( ) ( )

( )

ˆd darctg

d d x x

x t t t

t t x t

⎡ ⎤ω = ψ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦. (5.37)

Exemplu. Pentru semnalul ( ) ( )0cos x t A t 0= ω + ϕ se obţine:

( ) ( )0 0ˆ sin x t A t = ω + ϕ şi ( ) ( )0 0 je t x z t A

ω +ϕ= .

În consecinţă funcţia sa înf ăşur ătoare va fi: ( ) xU t A= , faza instantanee:

, iar frecvenţa instantanee:( ) 0 x t t ψ = ω + 0ϕ ( ) 0 x t ω = ω .

Exemplu: Fie semnalul ideal de bandă limitată ( ) x t , cu funcţia densitate

spectrală ( ) X ω din figura 5.13.

0 X

( ) X ω

0 1ω 2ω ω

Figura 5.13

Semnalul analitic ( ) x z t , ataşat semnalului ( ) x t , rezultă conform

relaţiei (5.13):

( ) ( ) (2

1

j0 02 1 2 1e d sin sin j cos cost

x

X X ) z t t t

t

ω ω

ω= ω = ω − ω − ω −t t ω⎡ ⎤⎣ ⎦π π∫ .

Funcţia înf ăşur ătoare a semnalului analitic ( ) x z t este:




( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 202 1 2 1

2 1

0 2 1 0 2 1 2 1

2 1

sin sin cos cos

sin2

sinc 22

x

X U t t t t t

t

t X X

t t

= ω − ω + ω − ω =π

ω − ωω − ω ω − ω ω − ω⎛ ⎞

= = ⋅ ⎜ ⎟ω − ωπ π ⎝ ⎠

Rezultă frecvenţa instantanee a semnalului ( ) x z t , corespunzător unui

semnal de bandă limitată:

( ) ( )2 1 1 2

2 1

cos cosdarctg

d sin sin x

t t t

t t t

− ω − ω⎡ ⎤

2

ω + ωω = =⎢ ⎥ω − ω⎣ ⎦

,

adică frecvenţa instantanee a semnalului de bandă limitată este independentă detimp şi este egală cu centrul benzii spectrului ocupat.

5.2.3 Func ţ ia înf ăşur ătoare complexă

Fie un semnal analitic ( ) ( ) ( )ˆ x z t x t x t = + şi o pulsaţie oarecare . Se

defineşte funcţia înf ăşur ătoare (sau anvelopă) complexă a unui semnal real0ω

( ) x t

prin expresia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 j je j Dt t

xr t r t a t b t z t α e− ω= = + = . (5.38)

Rezultă că:

( ) ( ) ( )2 2r t a t b t = + ; (5.39)

( ) ( ) 0 xt t α = ψ − ω t , (5.40)

astfel că:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ˆcos cos sina t r t t x t t x t t 0= α = ω + ω⎡ ⎤⎣ ⎦ ; (5.41)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0ˆsin cos sinb t r t t x t t x t t = α = ω −⎡ ⎤⎣ ⎦ 0ω (5.42)

sau

( ) ( ) ( ) ( )0 j0Re e cost

x t r t r t t ω= ⋅ = ω + α t ⎡ ⎤⎣ ⎦ (5.43)

şi( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0ˆ sin cos sin 0 x t r t t t b t t a t = ω + α = ⋅ ω +⎡ ⎤⎣ ⎦ t ω .

Funcţiile ( )a t şi ( )b t se numesc, respectiv, componentele în fază şi

cuadratur ă ale semnalului ( ) x t .




5.3 Transformarea Hilbert

Funcţia densitate spectrală ( )ˆ X ω a semnalului conjugat ( )ˆ x t este dată de

relaţia:

( ) ( ) ( )ˆ jsgn X ω = − ω ⋅ ω X , (5.44)care poate fi interpretată ca produsul a două funcţii, ( ) X ω şi ( ) jsgn− ω , cărora

le corespund, în domeniul timp, funcţiile transformate ( ) x t , respectiv ( ) f t .

Scriind că:

( ) ( )0

jsgn lim jsgn e D −ε ω

ε→⎡ ⎤− ω = − ω⎣ ⎦

, (5.45)

rezultă că:

( ) ( ) ( )0 0

j j

0

j jlim e d e d

2 2t t

f t t

ε+ ω ε+ ω

ε→−∞ −∞

⎡ ⎤⎢ ⎥

1= ω − ω =

π π⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ π

(5.46)

Relaţiile (5.45)÷(5.47) ne permit să scriem că:

( ) ( ) ( )

( )not1 1ˆ d

x x t x t TH x t

t t

+∞

−∞

τ= ∗ = τ =

π π − τ∫ . (5.47)

Ţinând cont de relaţia:

( ) ( ) ( )ˆ jsgn X X ω = ω ⋅ ω , (5.48)

rezultă, în mod similar, că:

( ) ( ) ( )

( )not 1ˆ1 1ˆ ˆd

x x t x t TH x t

t t

+∞−

−∞

τ= − ∗ = τ =

π π τ −∫ . (5.49)

Relaţiile (5.48) şi (5.50) definesc transformarea Hilbert şi arată că semnalul ( )ˆ x t este transformata Hilbert directă a semnalului ( ) x t , iar, conform

relaţiei (5.50), semnalul ( ) x t poate fi considerat că este transformata Hilbert

inversă a semnalului ( )ˆ x t .

Observaţie: În expresiile transformatelor Hilbert (5.48) şi (5.50), datorită discontinuităţii funcţiei ( )1 t τ − pentru t τ = , calculul integralelor trebuie

considerat în sensul valorii principale. De exemplu:

( ) ( ) ( )

0

1ˆ lim d d

t

t

x x x t

t t

−ξ ∞

ξ→ −∞ +ε

⎡ ⎤τ τ⎢ ⎥= τ +

π − τ − τ τ

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫. (5.50)




Transformata Hilber t a produsului a două funcţii

Fie ( ) x t şi ( ) p t două semnale de bandă limitată, cu spectrele ( ) X ω şi

( )P ω , care nu se suprapun, iar spectrul ( ) X ω este inferior (pe scara frecvenţelor ω)

spectrului ( )P ω . Rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )ˆTH x t p t x t p t ⋅ = ⋅ . (5.59)

Concluzii pr actice

Unei funcţii densitate spectrală cauzală, definită de:

( ) ( ) ( )( )

0, 0

, 0 Z X u

X

∀ω <⎧ω = ω ⋅ ω = ⎨

ω ∀ω >⎩ (5.60)

îi corespunde un semnal complex:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆRe jIm j x x x z t z t z t x t x t = + = + .

Funcţiile ( ) x t şi ( )ˆ x t , care sunt păr ţile reală şi respectiv imaginar ă ale

semnalului analitic , cu densitatea spectrală cauzală, nu sunt independente,

ci sunt legate prin intermediul transformării Hilbert, adică:( ) x z t

( ) ( ) ˆ x t TH x t = (5.61)

şi

( ) ( ) 1ˆ ˆ x t TH x t −= . (5.62)

Fie un semnal real, cauzal, definit de:

( ) ( )( )

0, 0

, 0

t x t u t

x t t

∀ <⎧⋅ = ⎨

∀ >⎩ (5.63)

Funcţia densitate spectrală a unui semnal real, cauzal este:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j

0 0 0

j e d cos d j sin

ˆRe j jIm j j

t X x t t x t t t x t t t

X X X X

d∞ ∞ ∞

− ωω = ⋅ = ω − ω =

= ω + ω = ω + ω

∫ ∫ ∫ (5.64)

Păr ţile reală şi imaginar ă ale funcţiei densitate spectrală ale unui semnalcauzal (în timp) nu sunt independente, ci sunt perechi transformate Hilbert.

De exemplu, dacă ( ) x t este un semnal cauzal, cu o variaţie în timp oarecare,

ca în figura 5.14 a, putem considera, formal, descompunerea acestui semnalîntr-o componentă par ă ( ) p x t şi una impar ă ( )i x t , ca în figurile 5.14 b şi c,

astfel încât:

( ) ( ) ( ) p i x t x t x t = + .




( ) x t

( ) p x t

( )i x t

0

0

1

t

)a

)b

)c

t

t

1 2

1 2

1 2−

Figura 5.14

5.4 Reprezentarea semnalelor modulate uti lizândconceptul de semnal analitic

Fie expresia generală a unui semnal modulat:

( ) ( ) ( )0cos M x t A t t t = ⋅ Ω + ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ , (5.65)

care poate fi exprimată sub forma:

( ) ( ) ( ) 0 j jRe e e Ret M M x t A t z

Ωϕ= ⋅ = t , (5.66)

unde ( ) M z t este semnalul analitic complex, cu anvelopa complexă:

, care poate fi interpretată ca partea de joasă frecvenţă a

semnalului modulat. Rezultă că:( ) ( ) ( ) je t

U t A t ϕ=

( ) ( ) ( ) ( ) 0 j0 0cos j sin e t

M z t U t t U t t U t Ω= Ω + Ω = ⋅ . (5.67)




Fie

( ) ( )TF U t U = ω (5.68)

şi

( ) ( ) ( ) (0 j0e t

M M z TF z t TF U t U Ωω = = ⋅ = ω − Ω ) . (5.69)

Relaţiile (5.69) şi (5.70) permit următoarele concluzii: – un semnal modulat ( ) M x t poate fi caracterizat de un semnal analitic

( ) M z t , care are anvelopa complexă ( )U t ;

– spectrul semnalului modulat este determinat prin translaţia pe axafrecvenţelor a spectrului de joasă frecvenţă a anvelopei complexe,

aşa cum este prezentat în figura 5.15.

( )U ω ( )0U ω − Ω1 1

0 0 M −ω M ω

0 M Ω − ω0Ω

0 M Ω + ω

ω ω

Figura 5.15

5.4.1 Determinarea r ăspunsului circuitelor la semnale

modulate prin metoda circuitului echivalent de joasă

frecven ţă

Ne propunem să determinăm r ăspunsul ( ) M y t al unui circuit caracterizat

de funcţia de transfer ( ) j H ω , la un semnal modulat ( ) M x t . Semnal modulat de

la intrarea circuitului din figura 5.16 poate fi reprezentat printr-un semnal

analitic complex ( ) ( ) 0 je t M z t U t

Ω= , astfel încât:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 j0Re Re e cost

M M x t z t U t A t t Ω= = ⋅ = ⋅ Ω + t ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦

. (5.70)

Semnalul analitic ( ) M y t de la ieşirea circuitului are funcţia densitate

spectrală ( ) ( )0 j j H U ⎡ω ⋅ ω − Ω⎣ ⎤⎦ , astfel încât:

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0 j1 1

0 0 j j j e j j jt

M y t TF H U TF H U Ω− −

= ω ⋅ ω− Ω = ⋅ ω+ Ω ⋅ ω .(5.71)




( ) ( ) 0 je t M z t U t

Ω=

( ) ( )0 j M Z U ⎡ ⎤ω = ω − Ω⎣ ⎦ ( ) ( )0 j j H U ⎡ ⎤ω ⋅ ω − Ω⎣ ⎦

( ) M y t

( ) j H ω

( )U t

( ) jU ω ( ) ( )0 j j H U ⎡ ⎤ω + Ω ⋅ ω⎣ ⎦

( )0 j H ⎡ ⎤ω + Ω⎣ ⎦

( ) JF

Figura 5.16

Relaţia (5.71) conduce la următoarea concluzie: pentru a determina

r ăspunsul ( ) M y t al unui circuit caracterizat de funcţia de transfer ( ) j H ω la unsemnal modulat ( ) M x t , aplicat la intrarea sa, se procedează astfel: mai întâi se

determină r ăspunsul unui circuit echivalent în joasă frecvenţă, caracterizat defuncţia de transfer , la semnalul (de joasă frecvenţă) anvelopă

, obţinându-se r ăspunsul dat de

( 0 j j H ω + Ω )

( )U t ( ) ( ) 10 j j jTF H U

− ω + Ω ⋅ ω . R ăspunsul

circuitului dat se determină apoi cu relaţia (5.71).




BIBLIOGRAFIE

[1] BAHER H. – Analog Digital Signal Processing, John Wiley & Sons, New

York, 1984

[2] CARTIANU GH., CONSTANTIN I., STANOMIR D. – Semnale, circuite

şi sisteme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

[3] CONSTANTIN I. – Semnale şi r ăspunsul circuitelor , Editura Bren,

Bucureşti, 1999

[4] COULON F. – Théorie et traitement des signaux, Editura Giorgi,

Lausanne, 1984

[5] DEMETER ŞT. – Analiza şi sinteza circuitelor electronice, EdituraAcademiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1988

[6] DEMETER ŞT. – Analiza şi sinteza semnalelor de radioloca ţ ie, Editura

Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1992

[7] ISAR A., NĂFORNIŢĂ I. – Reprezent ări Timp-Frecven ţă, Editura

Politehnica, Timişoara, 1988

[8] MATEESCU AD. ş.a. – Semnale şi sisteme, Editura Teora, Bucureşti,2001

[9] MATEESCU AD. – Circuite corectoare, Editura Tehnică, Bucureşti, 1971

[10] MATEESCU AD., STANOMIR (coordonatori) – Probleme de analiza şisinteza circuitelor , Editura Tehnică, Bucureşti, 1971

[11] MATEESCU AD. ş.a. – Semnale, circuite şi sisteme. Probleme, Editura

Militar ă, Bucureşti, 1998

[12] NICOLAU ED. (coordonator) – Radiotehnica, vol. I, II şi III, EdituraTehnică, Bucureşti, 1978 – 1980

[13] OPPENHEIM A.V., WILLSKY A.S. – Signal and Systems, Prentice Hall, New York, 1993

[14] SAAL R. – Handbuch zum Filternentwurf , AEG Telefunken, 1979

[15] SĂVESCU M., PETRESCU T., CIOCHINĂ S. – Semnale, circuite şi

sisteme. Probleme, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981[16] SĂVESCU M., CONSTANTIN I., PETRESCU T. – Metode de aproximare

în analiza circuitelor electronice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1982

[17] SĂVESCU M. – Metode în analiza circuitelor electronice, Editura

Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1985

[18] STANOMIR D., STĂ NĂŞILĂ O. – Teoria matematică a semnalelor ,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1980

[19] STANOMIR D. – Semnale analogice şi transformările lor , Editura

Athena, Bucureşti, 1995

[20] STANOMIR D. – Semnale şi sisteme analogice, Editura Politehnica Press,Bucureşti, 2002




[21] ŞERBĂ NESCU AL. – Complemente de analiza şi sinteza circuitelor ,Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1985

[22] ŞERBĂ NESCU AL. – Complemente de sinteza circuitelor , Editura

Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1984

[23] ŞERBĂ NESCU AL., ANTON L., ALEXANDRESCU G. – Semnale,circuite şi sisteme. Culegere de probleme, vol. I, II şi III, Editura Academiei

Tehnice Militare, Bucureşti, 1993 – 1994

[24] ŞTEFĂ NESCU S. – Filtre electrice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1967

[25] ŞTEFĂ NESCU S. – Filtre, Editura Tehnică, Bucureşti, 1987[26] ŞTEFĂ NESCU S. – Filtre de înalt ă frecven ţă şi circuite corectoare,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1989[27] TEMES G., MITRA S.K. – Modern Filter Theory and Design, John

Wiley, New York, 1973

[28] ULBRICH E., PILOTY – Über den ntwurf von Allpassen, A.E.U., Band 14,nr. 10, oct., 1960

[29] WAI-KAI CHEN – Theory and Design of Broad Band Matching Networks, Pergamon Press, New York, 1976

semnale curs anton

Documents