ss(semnale si sisteme)

8/11/2019 SS(Semnale Si Sisteme)

1/20

Seminarul 1. R spunsul circuitelor la semnale periodice

Breviar teoretic

n cele ce urmeaz vom considera c circuitul cruia vrem s i calculmr spunsul este un sistem strict stabil, prin urmare funcia sa de transfer ( ) H s nu prezint poli dect n semiplanul stng (nui n semiplanul drept ori pe axa imaginar ), dac sistemul este analogic, sau ( ) H z nu prezint poli dect n interiorul cercului unitate (nui n exteriorul acestuia ori pe cerc), dac sistemul este discret.

Vom nota cu:( )h t i func ia pondere a sistemului (r spunsul la impuls al circuitului)( )h n( ) H i ( ) j H e func ia de transfer a circuitului( ) H s i ( ) H z func ia de transfer a circuitului (deseori, pentru evitarea

confuziei cu mrimea definit anterior, vom gsi aceast mrime numit func ie de sistem )

ntre cele trei mrimi se scriu relaiile( ) ( ){ } H h t =F ( ) ( ){ }TFTD j H e h = n

( ) ( ){ } H s h t = L ( ) ( ){ } H z Z h t = Vom nota cu x(t ) semnalul de intrare analogici n continuare transformatele lui

Fourieri Laplace cu ( ) X i respectiv ( ) X s . n cazul unui semnal de intrare discret,vom nota cu x(n) semnalul de intrare transformatele lui Fourieri Z cu ( j ) X e i

respectiv ( ) X z .

1. R spunsul circuitelor la semnale de joas frecven, aperiodice

1.1. Metoda Fourier

O vom folosi de fiecare dat cnd transformata Fourier a semnalului de intrare nuconine distribuii (cum este distribuia Dirac). Menionm c metoda nu este exclusivist din acest punct de vedere, ns n condiiile n care totui transformata Fourier prezint distribuii, este mai comod de utilizat metoda Laplace.

Pentru semnalul de ieire vom scrie( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t h t x t Y H X = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j y n h n x n Y e H e X e j = = iar semnalul de ieire se calculeaz dup formula

( ) ( ) ( ){ }1 y t H X = F ( ) ( ) ( ){ }1TFTD j j y n H e X e =

1


2/20

Observa ie

Un exemplu de semnal analogic a crui transformat Fourier prezint distribuii

este treapta unitate , pentru care( )u t ( ) ( )1

U j

= + .

1.2. Metoda Laplace/Z

Este similar metodei Fourieri se bazeaz pe faptul c ( ) ( ) ( ){ }1 y t H s X s= L ( ) ( ) ( ){ }1 y n Z H z X z =

Pentru inversare, se pot folosi formulele clasice, de exemplu formula Heaviside.( ) ( ){ }Rez , st k

k

y t X s e s=

( ) ( ){ }1Rez ,n k k y m X z z z = unde sk , respectiv z k reprezint polii funciei ( ) st X s e , respectiv ( ) 1n X z z , n carereziduul se poate calcula n funcie de ordinul de multiplicitate al polului,mk

( ){ } ( ) ( ) ( )1

11Rez , lim

1 !k

k

k k

mm st st

k k m s sk

d X s e s X s e s s

m ds

=

( ){ } ( ) ( ) ( )1

1 11

1Rez , lim1 !

k k

k k

mmn n

k k m s sk

d X z z z X z z z z

m dz

=

2. R spunsul circuitelor la semnale periodice

2.1. Metoda armonic

Orice semnal analogic periodic din realitate se poate scrie ca o sum de sinusoide,n fapt o dezvoltare n serie Fourier (trigonometric SFT, armonic SFA sau

exponenial - SFE). Notnd cuT perioadai cu 02T

= , atunci

SFT: ( ) ( )0 01

cos sink k k

0t C C k t S k t

== + +

SFA: ( ) ( )0 01

cosk k k

x t A A k t

== + +

SFE: ( ) 0,0 ,0

jk t nc nc k

k k

x t A A e

=

= + .

2


3/20

Folosind metoda superpoziiei, aplicabil n cazul circuitelor liniare, se poatespune c r spunsul unui sistem la o sum de sinusoide este suma r spunsurilorindividuale.

De asemenea, r spunsul unei circuit liniar la o sinusoid se tie c este{ } ( ) ( ){ }( )0 0 0cos cos argT t H t H = + 0

sau, n cazul unei sinusoide complexe{ } ( )0 00 j t jT e H e t = .

Prin urmare, dac semnalul este descompus n SFA sau SFE (SFT se poate deducesimilar, dar nu se insist asupra lui), atunci r spunsul este de asemenea periodici poatefi scris

SFA: ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )0 0 01

0 cos argk k

y t A H A H k k t H k

== + + 0

SFE: ( ) ( ) ( ) 0,0 , 00

0 jk t nc nc k k k

y t A H A H k e

=

= + .

n mod similar se gndete pentru un semnal discret periodic, de perioad N eantioane, pentru care se prefer scrierea n SFETD

SFETD: ( )2

0

0

jkn N

k k k

x n a a e

=

= +

Cum r spunsurile unui circuit discret la o sinusoid real/complex au expresiiidentice cazului analogic

{ } ( ) ( ){ }( )0 00 0cos cos arg j jT n H e n H e = +

{ } ( )0 0 0n jT e H e e jn =

atunci SFETD pentru semnalul de la ieire, de asemenea periodic, se poate scrie

SFETD: ( ) ( )2 2

00

0

jk jkn j N N k

k k

y n a H e a H e e

=

= +

Dezavantajul metodei armonice este acela c nu ofer informaii despre formasemnalului de ieire pe o perioad. Pentru a putea vizualiza acest lucru, ar fi necesar efectuarea sumei infinite din expresia rezultat. De aceea, aplicm metoda armonic deregul doar atunci cnd seriile Fourier conin puini termeni.

Metod

- se calculeaz coeficienii Anc,k / Ak i k / a k pentru semnalul de intrare n funciede seria Fourier n care se dorete exprimarea

- se calculeaz funcia de transfer la frecvena 0, frecvena fundamental i lafrecvenele armonice

- se scrie dezvoltarea n serie rezultat

3


4/20

2.2. Metoda compact (Weidelich)

Spre diferen de cazul anterior, metoda d o expresie analitic doar pentru o perioad a semnalului de ieire, nu pe tot suportul, ceea ce face posibil reprezentareagrafic.

Principiul este simplu. Semnalul de intrare poate fi scris ca o periodizare a unuisemnal pe suportul[ .)0,T

( ) ( )T k

t x t k

== T

Dezideratul este de a calcula nu att( ) y t , ct ( )T y t , astfel nct

( ) ( )T k

y t y t kT

== .

Pentru aceasta, se aplic metoda Laplace, ns nu direct asupra lui x(t ) (care nu aretransformat Laplace), ci asupra semnalului cauzal

( ) ( )0

T k

t x t k

+

== T .

Acesta are transformata Laplace

( ) ( )1T

sT

X s X s

e+

= .

R spunsul circuitului la acest semnal cauzal este( ) y t + unde

( ) ( ) ( )1T sT

H s X sY s

e+

= .

Privit ns n domeniul timp, ( ) y t + nu este r spunsul cutat. S ne gndim c dac semnalul x(t ) ar ncepe nu de la, ci de la 0, ar aprea un regim tranzitoriu,care tinde s se sting n timp. Cu alte cuvinte, r spunsul ( ) y t + conine i pe y(t ), dari ocomponent de regim tranzitoriu (for at), y f (t ).

( ) ( ) ( ) f y t y t y t + = + Folosind formula de inversiune

( ) ( ) ( )0 pol

Rez ,1

k

T st t k sT

k s

H s X s y t e s

e+

> =

.

Polii funciei sunt datorai fie polilor funciei de transfer H ( s), aflai n semiplanul

stng, fie polilor2

jk T

care anuleaz numitorul. Regimul tranzitoriu se datoreaz exclusiv polilor din semiplanul stng. De aceea contribuia acestora trebuie sczut din

.( ) y t +

Rezult

( ) [ ) ( ) [ )( ) ( )

( )0, 0,

poliiRez ,

1T st

k t T t T sT H s

H s X st y t e

e+

s =

.

4


5/20

sau, innd cont c ( ) [ ) ( ) ( ){ }10, T t T y t H s X s+ = L ,

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )

1

poliiRez ,

1T st

T T sT H s

H s X sk t H s X s ee

s

= L .

Fr a intra n detalii, raionamentul fiind similar, r spunsul unui sistem discret laun semnal periodic, exprimat pe o perioad, este

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( )

1 1

poliiRez ,

1 N n

N N N H z

H z X z k y n Z H z X z z z z

= .

Problema 1

Se consider circuitul din figur , avnd funcia pondereh(t ).

a) Calculai funcia sistemului H ( s), calculai i reprezentai funcia pondereh(t ) ifuncia de transfer H ( ).

b) Calculai analitici reprezentai r spunsul circuitului la semnalele

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 4 5, , , cos , cos6t t

x t t x t u t x t u t u t t x t x t u

= = = = + =

( ) ( )

t

6 42

cos x t x t t

= , ( ) ( )7 3 2k 1 x t x t k

== t

nF

Observaie: Semnalele menionate sunt tensiunii se msoar n [V].Date numerice: ,t 10 , 100 R C = = 1=1s.

Rezolvare

a) Funcia sistemului este

( ) ( )( )

( )( )

11 1

1 1 1C

C

Y s Z s sC H s X s Z s R sRC s

R sC

= = = = =+ + +

+

.

undenot

RC = este constanta de timp a circuitului.

Funcia pondere este

5


6/20

( ) ( ){ } ( )1 1 1 1 11t

h t H s e u t s

= = = +

L L .

Cu datele numerice, 1 s = i funcia pondere este reprezentat mai jos:

( ) ( ) s j H H s == dac domeniul de convergen al lui H ( s) conine axaimaginar s=j . Dar pentru un semnal cauzal (cum este funcia pondere), domeniul deconvergen este un semiplan drept care include axa imaginar . Deci

( ) 1

1 H

j

=

+

Caracteristica amplitudine frecven este

( )( )21

1 H

=

+

Iar caracteristica faz-frecven este( ) ( )arctg = .

Este uneori mai util din punct de vedere al vizualizrii s reprezentm acestecaracteristici n frecven, nu n pulsaie.

( )( )

2

1

1 2 H f

f

=+

( ) ( )arctg 2 f f =

6


7/20

Se remarc din prima din cele dou figuri, alura de filtru trece-jos (caracteristicade faz nu conine vreo informaie despre acest lucru). Frecvena de tiere se definete de

regul ca fiind frecvena unde caracteristica scade la12

( aproximativ 0.707) din

valoarea de la frecvene joase. n cazul nostru se poate remarca faptul c

( ) 1 12

H

= =

deci filtrul are frecvena de tiere la1

2t f

= .

n figur este pus n eviden aceast frecven, la 159.2kHz.

b) Pentru calculul r spunsurilor, avem relaia de convoluie

( ) ( ) ( ) y t x t h t =

n cazul semnalelor mai complicate, se prefer calculul n domeniul s ( ) ( ) ( )Y s H s X s=

i

( ) ( ) ( ){ }1 y t H s X s= L .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1* * y t h t x t h t t h t = = = Observm c pentru un impuls Dirac, r spunsul este chiar funcia pondere, deci

cel reprezentat n prima figur . De altfel, funcia pondere se mai numete din acest motivr spuns la impuls pentru c reprezint ieirea unui SLIT la un impuls Dirac.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2* * y t h t x t h t u t = =

7


8/20


9/20

( ) ( ) ( )3 2 2 y t y t y t t 1= .Observaia anterioar este consecin imediat faptului c sistemul este liniari

invariant n timp.Cu alte cuvinte

( ) ( ) ( )1

2 11 1

t t t

y t e u t e u t

= t Pentru

( )30s 0t y t < =

[ ) ( )1 30, 1t

t t y t e

=

[ ) ( )1 1 1

1 3, 1 1t t t t t t t

t t y t e e e e e e1t

= = =

Vom reprezenta r spunsul pentru trei valori ale constantei de timp. Deoarece

( )1

3 1 1t

y t e = , odat cu varierea lui , va variai amplitudinea vrfului funciei. Pentru

a le putea reprezenta pe acelai grafic, normm reprezentrile la valoarea1

1t

e

iatunci, funcia normat i va atinge de fiecare dat maximul n 1.

Remarcm din nou apariia regimului tranzitoriu, cauzat de ncrcareacondensatorului.

n cazul n care 1t


10/20

lsat s treac. Aceeai observaie rezult i din inspectarea graficului pentru10 (curba

roie). Semnalul rezultat tinde, cu att mai mult cu ct constanta de timp este mai mic,spre semnalul de intrare.

n cazul n care1t >> , putem aproxima

( )1

1 H s

s s

1

= +

i filtrul se comport

ca un integrator ideal, deoarece o nmulire cu 1/ s este echivalent cu o integrare ndomeniul timp. Din figur , pe intervalul de interes, se observ c la o valoare mare aconstantei de timp, semnalul variaz aproximativ liniar. Deseori, se spune c un astfel decircuit este un integrator.

Pentru semnalul x4(t ), vom aplica metoda armonic. n acest caz, r spunsul unuiSLIT la un semnal ( )0 0cos A t + este ( ) ( ){ }( )0 0 0 0cos arg A H t H + + .

n cazul nostru

( )41 1 1 1

cos arg cos cos6 6 42 2t t

y t H H 12t

= + + = + = .

Pentru al cincilea semnal, folosim de asemenea metoda transformatei Laplace.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

5 5 00 0 0

0 00 0

1 1cos2 2

1 1 1 1 1 12 2 2 2

j t j t st st st st

s j t s j t

X s x t e dt t e dt e e dt e e dt

e dt e dt s j s j

+

= = = +

= + = + +

=

Nu este necesar o scriere compact a semnalului, totui, vom face acest lucru, pentru a reaminti expresia transformatei Laplace a unui semnal armonic cauzal (esenialdiferit de semnalul armonic pe care l studiem de obicei, care dureaz de la la ).

( )5 2 20

s X s

s =

+

Evident

( )( ) ( )

5

0 0

1 1 1 11 12 2

Y s s s j s s j

= + + + +

.

Lum separat cei doi termeni

( ) ( ) ( )

10

0 0

1 1Rez , Rez ,1 1 1

st st e e j

s s j s s j s s j 0

= + + + + + +

L

.

10


11/20

( )( ) ( )01

0 00

1 1 11 11

t j t e u t e u t

j j s s j

= + +

L

( )( ) ( )01

0 00

1 1 11 11

t j t e u t e u t

j j s s j

= + ++

L

Atunci

( ) ( )0 050 0 0 0

1 1 1 1 11 1 1 12

t t j t j t y t e e e e u t

j j j j

= + + +

Grupnd doi cte doi termenii( ) ( )5 0

202

1 1 1cos sin1

t

o y t t t e u t

= + +

0

Dup prelucr ri, se ajunge la relaia

( )( )

( )( ) ( )( )

( )5 0 0 2200

1 1cos arctg11

t

t t u t

=

++e u t .

Semnalul este format din doi termeni. Primul este exact r spunsul la un semnalarmonic pe frecvena respectiv, cauzal. Vom spune c acesta este termenul liber

(componenta de regim permanent). Practic, acesta ar fi r spunsul sistemului la semnalulde intrare, dac ignor m timpul de ncrcare a condensatorului (C s-ar ncrcainstantaneu). Al doilea termen este un termen for at (apar innd regimului tranzitoriu)care se stinge pe msur ce timpul crete i care apare din cauza discontinuitii dinsemnalul de intrare (trecerea dint =0s de la 0V la semnalul armonic), la care circuitul nu poate r spunde instantaneu.

Pentru datele din problem, semnalul de la ieire este reprezentat mai jos.

11


12/20

ntr-adevr semnalul tinde ctre componenta sa permanent (adic o sinusoid pe

pulsaia 1/ i care, conform punctului anterior, are amplitudinea1 0.7072 ). ns, n

prima parte, se poate remarca un regim tranzitoriu, n care semnalul este diferit de unularmonic.

Pentru semnalul y6(t ) este util s folosim metoda armonic. pentru aceasta trebuiens n prealabil s scriem semnalul de intrare ca o sum de sinusoide. ntr-adevr,

( )62 1 1 3cos cos cos cos

6 2 6 2t t

x t t 6

t = + = + +

Folosind metoda armonic

( )61 1 1 1 3 3 3cos arg cos arg2 6 2 6

t t y t H H H H

= + + + +

( ) ( )61 1 3cos cos arctg 3

12 62 2 2 10t t

y t

= + +

Reprezentarea grafic este irelevant n acest caz.

Pentru semnalul folosim metoda compact. Calculm deci semnalul de

ieire doar pe o perioad 2t ( )7 y t

1, folosind informaia c ( ) [ ) ( )17 30,2t t x t x = t , iar

( ) ( ) ( ){ }1

3 11 st e

X s u t u t t s

= =L .

Atunci

( ) [ ) ( ) ( ){ } ( ) ( )

( )1 1

317 30,2 2

poliiRez ,

1 st

k t t st H s

H s X st H s X s

e

e s =

L

12


13/20

( ) [ ) ( ) ( )( )1

1 17 30,2 21 1Rez ,

1 1

st st

t t st

e y t y t e

s s e

= +

Calculm pe rnd

( ) ( )1

111

12

1 1 1Rez ,1 11 1

t st st st

t st s st

ee e

s e s s e e

1 e

=

= = + + +

( ) [ ) ( )1 17 30,21

1

t

t t t y t y t ee

= ++

.

n concluzie

[ ) ( )11 7

10, 1 11

t

t t t y t ee

= +

[ ) ( )1

11 71, 1

1

t t

t t t y t e ee

= + +

Problema 2

Se consider schema din figur

n care 1 ,42

r

= = .

a) Scriei ecuaiile cu diferene finite;

b)

Calculai funcia de transfer H ( z );c) Precizai dac sistemul esteliniar , stabil , cauzal i invariant n timp ;d) Calculai i reprezentai funcia pondere a sistemului,h[n];e) Calculai i reprezentai r spunsul sistemului la semnalele

13


14/20

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

1

2

23 cos sin2 4

x n n

x n u n

n n x n

4

==

= +

[ ] ( )4 1 n x n =

[ ] ( ) ( )5 3 3k

n n n

== = k

Not: Blocurile z -1 sunt registre de ntrziere cu un tact (un ceas de eantionare).

Rezolvare

a) Pe schem verificm c

[ ] [ ] [ ] [ ]22 cos 1 2 y n x n r y n r y n = +

b) Aplicnd transformata Z relaiei de mai sus

( ) ( ) ( ) ( )1 2 22 cosY z X z r z Y z r z Y z = +

S-a folosit teorema ntrzierii pentru un semnal cauzal:[ ]{ } ( )k Z v n k z V z = .Funcia de transfer este

( ) ( )

( )1 2

1

1 2 cos

Y z H z 2

X z r z r z = =

+.

c) Cercetnd ecuaia cu diferene finitei notnd cu [ ]{ }T x n r spunsul sistemului lasemnalul x[n], observm c

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ) H z X z X z H z X z H z X z Y z Y z + = + = + deci[ ] [ ]{ } [ ] [ ]1 1 2 2 1 1 2 2T x n x n y n y n + = + i sistemul esteliniar

[ ] [ ] [ ] [ ]22 cos 1 2 y n k x n k r y n k r y n k = + i deci r spunsul sistemului la

[ ] x n k este [ ]{ } [ ]T x n k y n k = i sistemul esteinvariant n timp .

Pentru a vedea dac sistemul este cauzal, avem de verificat una dintre urmtoarelecondiii echivalente:- [ ] 0, 0h n n= < ;- Dac [ ] x n este cauzal, atunci [ ] y n este cauzal;

14


15/20

- Ieirea nu anticipeaz intrarea;

Nu este suficient s inspectm funcia de transfer pentru a determina dac sistemul este sau nu cauzal, deoarece unei aceleiai transformate Z i pot corespunde,dup domeniul de convergen, att un semnal cauzal (i domeniul de convergen este

exteriorul unui cerc), cti unul anticauzal (domeniul de convergen este interiorul unuicerc). Din ecuaia cu diferene finite, dari din schem, remarcm c semnalul de intrareeste ntrziat, iar ieirea nu anticipeaz intrarea, deoarece nu depinde de valori viitoareale semnalului de intrare ( [ ] [ ]1 , 2 ,... x n x n+ + ). Deci sistemul estecauzal .

Condiia de stabilitate pentru un sistem discret impune ca toi polii sistemului s se afle n interiorul cercului unitate: 1k z < . Aadar, pentru a verifica stabilitateasistemului, trebuie n prealabil s calculm polii funciei de transfer. Pentru aceastascriem H ( z ) ca un raport de dou polinoame n variabila z .

( )2

2 2

2 cos

z H z

z r z r =

+.

Polii sistemului vor fi r dcinile polinomului de la numitor, deci ale ecuaiei2 22 cos 0 z r z r + = .

R dcinile sunt2

1,2' ' cos cos 1 cos sin

' jb z r r jr

are

= = = = .

1,21 12

z r = = < , deci sistemul este stabil .

d) Calculm

[ ] ( ) 112n

C h n H z z dz

j =

Sistemul este cauzal, deci[ ] 0, 0h n n= < , iar domeniul de convergen este atunciexteriorul unui cerc, n aa fel nct s nu avem n interiorul su singulariti. Acestdomeniu este evident exteriorul cercului z r = (vom presupune de acum ncolor pozitiv), deoarece acesta este exteriorul unui cerc, iar n interiorul su nu exist poli.

ConturulC este inclus n acest domeniui poate fi ales de pild cercul unitate.Folosind teorema reziduurilor:

[ ] ( ){ }( )( )

11

pol pol1 1

Rez , Rez ,k k

k k

nn

k k j jk k

z z z z

z h n H z z z z

z re z re

+

<

.

Domeniul de convergen rezultat pentru ( )2Y z este intersecia celor dou domenii de convergen, adic { } { } { }1 1 z z z z r z z > > = > (r este subunitar).

16


17/20

Folosind teorema reziduurilor, funcia de integrat este

( )( )( )( )

2

1

n

j j

z F z

z z re z re

+

=

Pentru , avem 4 poli: 1,2n jre , re i , dar numai primii 3 se afl n

interiorul cercului unitate.( ){ } ( )( ) 2

1 1Rez ,11 2 cos1 1 j j

F z r r re re

= = +

( ){ } ( )( )( )221 1Rez ,

2 sin 11

j nn j

j j j j

r e F z re

jr rere re re

++

= =

( ){ } ( )( )( )221 1Rez ,

2 sin 11

j nn j

j j j j

r e F z re

jr rere re re

++

= =

Suma celor 3, dup calcule este

[ ] ( ) ( )( )1

2 21

1 sin 1 sin 21 2 cos sin

nr y n r n nr r

+

= + + + + Evident, [ ]2 0, 2 y n n= < .

i n cazul sistemelor discrete, cai n cazul celor analogice, remarcm un regimtranzitoriu, pn la stabilizarea r spunsului.

Pentru al treilea semnal vom face apel la metoda armonic. nainte de aceasta,vom scrie semnalul ca o sum de semnale armonice.

[ ] 231cos sin cos 1 cos

2 4 4 2 2 2n n n n

x n2

= + = +

+

Sau

17


18/20

[ ]31 1 1 1 1cos cos cos cos cos2 2 4 2 4 2 2 2 4 2

n n x n n n

= + + + = +

+

R spunsul la un semnal ( )0 0cos A n + este

( ) ( ){ }(0 0 0cos arg j A H e n H e + + )0 j , iar n cazul nostru, deoarece sistemul esteliniar

[ ] ( ) ( ){ }2 23 1 1cos arg cos arg2 2 4 2 j j j jn y n H e H e H e n H e

= + + + +

Mai inem cont c ( ) ( ) j j z e H e H z == dac domeniul de convergen includecercul unitate. Cum n cazul nostru, condiia este ndeplinit, sistemul fiind de altfelstabil, avem

( ) 2 22

1 111 2 cos 12

j j j

j j H e

r e r e e e

= =

+ +.

nlocuim2

22 2

1 1111 22

j

j j H e

je e

= = + +

.

n form modul-faz arctg22 2

5 j

j H e e

=

.

De asemenea

( ) 21 1

1 312

j

j j H e

e e

= =

+

[ ]315 cos arctg2 cos

2 12n

y n n2

= +

+

.

Al patrulea semnal de intrare poate fi scris[ ] ( )4 1

n jnn e = = .Folosindi pentru acesta metoda armonic, obinem

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 21 1 5n n j

z y n H e H z

== = = 1 n .

Pentru al cincilea semnal, folosim metoda compact, innd cont c [ ] [ ]5 0,2n x n = = n , a crui transformat Z este 1.

( ) ( ){ } ( )( )

1 15 0,2

poliiRez ,

1n

k N n H z

H z n Z H z z

z

= z =

18


19/20

( ) ( ) ( )( )

15 0,2

poliiRez ,

1n

k N n H z

H z n h n z

z

= z =

.

( )( ) ( )( )

( )( )

21 1

polii

21

1Rez , Rez ,1 1

1Rez ,1

n nk N N j j

H z

n j N j j

H z z z z z re

z z z re z re

z z re

z z re z re

j = +

( )( )

( )

( )

2 211 1

polii

2 211

1Rez ,1 1

11

j j nn n

k N N jN j j H z

j j nn

N jN j j

H z r e z z r e

z r e re re

r er e

r e re re

= +

( )

( )

( ) ( )2 2

1 11

polii

Rez ,

1 2 sin 1 1

n j j j n j nn

k N N jN N

H z

H z r e e z z e e

z j r e r e

jN

=

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 12 21

polii

1 1Rez ,

1 2 sin 1 1

j n j n j N jN j N jN nn

k N N jN N jN H z

e r e e e r e e H z r z z

z j r e r e

=

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 11

polii

1 1Rez ,

1 2 sin 1 1

j n j n N jN N jN nn

k N N jN N jN H z

r e e r e e H z r z z

z j r e r e

+ +

=

( )( )

( ) ( )( )

12

poliisin 1 sin 1Rez ,

1 sin 1 2 cos

N nn

k N N H z

H z n r N nr z z z r N N r

+ + + = +

nlocuind valorile numerice, precumi 0,2n = , rezult valorile finale.

Problema 3 (tem )

Se d sistemul compus din figur

19


20/20

( )h t ( )2 x t

( )2h t

pentru care setiu

( ) ( ) ( )1h t u t u t = ( ) ( ) ( )2h t t t = +

a) S se calculeze astfel nct sistemul echivalent s aib r spunsul la impuls( )3h t

( ) [ )

[ )[ )

0, 02, 0,

1, ,20, 2 ,

t

t h t

t

t

ss(semnale si sisteme)

Documents