CAPITOLUL VI

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII. APLICAŢII

Şirurile şi seriile de funcţii reale sunt o generalizare naturală a

şirurilor şi seriilor de numere reale, care permit o definire riguroasă a unor

funcţii elementare de bază şi au multe aplicaţii.

O clasă importantă de serii de funcţii sunt seriile de puteri (numite

şi serii întregi) ale căror sume parţiale sunt polinoame şi din acest motiv,

posedă proprietăţi bune de calcul; de asemenea sunt folosite pentru a defini

în mod riguros unele funcţii elementare de bază. Altă clasă de serii de

funcţii sunt seriile trigonometrice care au aplicaţii în studiul unor procese

periodice din diverse domenii; în particular seriile Fourier sunt intim

legate de reprezentarea semnalelor periodice cu posibilităţi de adaptare la

tehnicile moderne de calcul.

1. Şiruri de funcţii. Serii de funcţii. Criterii de

convergenţă uniformă.

Fie A ⊂ R o mulţime oarecare, A ≠ ∅ şi vom nota prin:

407

( )

( ) ( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }

( )

A A | : A funcţie

A | : A funcţie mărginită pe A

(VI.1) A | : A funcţie continuă pe A

A | : A funcţie mărginită şi continuă pe A

A | : A A = I interval şi derivabilă

f f f

f f f

f f f

f f f

f f f

= →

= →

= →

= →

= →

R R;

R;

R;

R;

R;

notat

F = F ,

M

C

B

D { }pe I Inotat

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

=⎪⎩ D

Avem: ( ) ( ) ( )A AB C F⊆ ⊆ A şi în raport cu operaţiile algebrice de

adunare: f + g (f, g ∈ F (A)) şi înmulţire cu scalari reali: λf (f∈F (A); λ∈R)

aplicate funcţiilor reale de o variabilă reală; cele trei familii (clase) de

funcţii reale: B (A), C (A), F (A) sunt spaţii R – liniare. Dacă A⊂ R este

mulţime compactă, atunci B (A) = C (A); în particular pentru A = I interval

din R, avem D (A) ≠⊂ C (I).

Pentru ∀f∈ M (A) se defineşte norma supremum sau norma

uniformă a lui f, prin:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )A

A

sup , AVI.2.

, sup , , A

M

M

def

x

x

f f x f

d f g f x g x f g f g∈

∈

⎧ = ∀ ∈⎪⎨⎪ = − = − ∀ ∈⎩

şi se verifică, prin calcul direct, axiomele de definiţie:

(N1) ( )0, A şi 0 0 peMf f f f≥ ∀ ∈ = ⇔ = A

(N2) ( ), şi AMf f fλ = λ ∀λ∈ ∈R

(N3) ( ), , AMf g f g f g+ ≤ + ∀ ∈

şi respectiv:

(D1) ( )( , ) 0, , A şi ( , ) 0 pe AMd f g f g d f g f g≥ ∀ ∈ = ⇔ ≡

(D2) ( )( , ) ( , ), , AMd f g d g f f g= ∀ ∈

(D3) ( )( , ) ( , ) ( , ), , , AMd f g d f h d h g f g h≤ + ∀ ∈

Definiţia VI.1.

Se numeşte şir de funcţii reale definite pe A⊂ R, orice funcţie:

( ) ( ): A pentru

A , A ,nn

fn n

f n

x f x f n

→ ∀ ∈⎧⎪⎨

∈ ⎯⎯→ ∈ ∈ ∀ ∈⎪⎩

R N

R NF

408

unde elementele şirului ( )A ,nf n∈ ∀ ∈NF s-au notat prin:

( ) ( )1 sau sau cu n n nnf f f n≥ ∈N .

Definiţia VI.2.

Fie fn: A → R un şir de funcţii reale şi f : A → R o funcţie reală.

1] Şirul fn converge punctual (simplu) la funcţia f pe A, notat pcAnf f⎯⎯→ dacă ( ) ( )nf x f⎯⎯→R x în fiecare punct x ∈ A.

2] Şirul fn converge uniform la funcţia f pe A, notat ucAnf f⎯⎯→ , dacă:

(VI.3.) ∀ε > 0, există nε ∈N (independent de x) a. î. ∀ n ≥nε ⇒

⇒ | fn (x) – f(x)| < ε, ∀x∈A.

3] Şirul (fn) este şir uniform - Cauchy pe A, dacă:

(VI.4.) ∀ε > 0, există nε ∈N (independent de x) a. î. ∀ n ≥nε şi ∀ p ≥ 1⇒

⇒ | fn+p (x) – fn (x)| < ε, ∀x∈A.

Observaţii:

1) Dacă A0 ⊆ A şi , atunci pcAnf ⎯⎯→ f 0pcAnf f⎯⎯→ respectiv dacă:

, atunci: ucAnf ⎯⎯→ f

409

0

ucAnf f⎯⎯→ .

2) Convergenţa uniformă a

şirului (fn) la f pe A se

poate interpreta geometric

astfel: ∀ε > 0 fixat, trasăm

graficele funcţiilor f, f - ε,

f + ε şi atunci există nε ∈N

a. î. graficul funcţiei fn cu

n ≥ nε este situat între graficul lui f - ε şi f + ε ([36]).

fn f

f+ε

f−ε

(b,0)(a,0)

y

x 0

Exemple:

1. ( ) 2sin cu şi

1nxf x x

n= ∈

+R pcnf ⎯⎯→R f cu f(x)= 0, ∀x∈R.

2. ( )2 2

2

1 cu şi 1n

n xf x xn

+= ∈

+R cu f(x)= pcnf ⎯⎯→R f

2x , ∀x∈R.

3. ( )2 1 cu şi

1nxf x xn+

= ∈+

R cu f(x)= 0, ∀x∈R. pcnf ⎯⎯→R f

4. ( ) [ ]2cos cu 0, şi

1nnxf x x

n= ∈ π

+ [ ]pc0,nf fπ⎯⎯⎯→ cu f(x)= 0, ∀x∈[0, π].

Fie fn: A → R, n∈N un şir de funcţii reale şi îi asociem şirul de sume

parţiale:

(VI.5.) Sn: A → R ( ) ( )0

,n

n kk

S x f x x=

= ∈∑ A deci:

Sn(x) = ( ) ( ) ( )0 1 ... ,nf x f x f x x+ + + ∈A.

Definiţia VI.3.

Fie şirul de funcţii reale ( )n nf ∈N definite pe A şi şirul de sume parţiale

asociat prin (VI.5), ( )n nS ∈N .

1] Perechea de şiruri de funcţii reale definite pe A: ( ) ( )( ),n nn nf S∈ ∈N N se numeşte serie de funcţii reale de termen general fn şi cu şirul sumelor

parţiale Sn, notată prin: ( )0 0 0

sau sau sau , An n n nn n n n

f f f f x x∞ ∞

= ≥ ≥

∈∑ ∑ ∑ ∑ .

410

2] Seria de funcţii nn

f∑ este simplu convergentă sau punctual

convergentă pe A cu suma S dacă şi notăm Apc

nS ⎯⎯→ Spc

nn

S f=∑ .

3] Seria de funcţii nn

f∑ este uniform convergentă pe A cu suma S dacă

şi notăm Auc

nS ⎯⎯→ Suc

nn

S f=∑ .

4] Seria de funcţii ( )nn

f x∑ este absolut convergentă pe A dacă seria

( )nn

f x∑ este convergentă în ∀x∈A.

Exemple:

1. ( ) ( )1

0

1 1, 0, şi 1 ...3 1

nnn k n

n nk 1

xf x x x S x x x xx x

+

=

⎡ ⎤= ∈ = = + + + = +⎢ ⎥ − −⎣ ⎦∑ cu

( )10,3

11

pcnS S x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎯⎯⎯→ =

− deci seria de funcţii

0 0

nn

n n

f x≥ ≥

=∑ ∑ este punctual

convergentă pe 10,3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

cu suma ( ) 11

S xx

=−

.

2. ( ) ( ) 10 1, nn nf x f x x += = − x cu n ≥ 1 şi x∈[0, 1].

Seria ( ) ( )11 1

1 1 n nnn n

f x x∞ ∞

+

= =

+ = + −∑ ∑ x are ( ) 11 nnS x x x += − + şi:

[ ] ( )[ ) ( 10,1

1

1 ; 0,1 deci 1+

1; 1pc n n

nn

x xS S x x

x

∞+

=

⎧ − ∈⎪⎯⎯⎯→ = −⎨=⎪⎩

∑ )x este punctual

convergentă pe [0, 1] cu suma ( ) [ )1 ; 0,11; 1

x xS x

x⎧ − ∈⎪= ⎨

=⎪⎩.

411

3. ( )1

1

n n

nx xf xn n

+

= −+

cu n ≥ 1 şi x ∈[-1, 1] avem ( )1

1

n

nxS x xn

+

= −+

şi

. Seria de funcţii [ ] ( )-1,1pc

nS S x⎯⎯⎯→ = x1

1 1

n nx xn n

+∞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ este punctual

convergentă cu suma S(x) = x pe [-1, 1].

Observaţii:

1. Din definiţia VI.2., pcAnf f⎯⎯→ se exprimă prin inegalităţi, astfel:

(VI.6.) Pentru fiecare x ∈ A, ∀ε > 0, există nε(x) a. î. ∀ n ≥ nε (x)⇒

⇒|fn(x) – f(x)| < ε.

2. Convergenţa punctuală şi respectiv convergenţa uniformă a unei serii de

funcţii, revine la a studia tipul de convergenţă al şirului de sume parţiale

conform definiţiei VI.3. Pentru studiul convergenţei unei serii de funcţii se

vor putea folosi toate teoremele relative la convergenţa şirurilor de funcţii;

vom indica numai un criteriu de comparaţie (criteriul lui Weierstrass)

specific pentru serii de funcţii.

Teorema VI.1.

Fie f, fn∈ F (A) (n∈N) şi dacă ucAnf f⎯⎯→ atunci pcAnf f⎯⎯→ . Reciproca

în general, nu este adevărată.

Demonstraţia este directă deoarece (VI.3) adevărată implică

(VI.6), dar nu şi invers.

Teorema VI.2.

Fie f, fn∈ F (A) (n∈N) atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

412

(i) ucAnf f⎯⎯→ ; (ii) ( ) ( )A

lim sup 0nn xf x f x

→∞ ∈

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦;

(iii) lim 0nn f f ∞→∞ − = (iv) există αn > 0 (n∈N) şi αn 0 a. î.

|f

⎯⎯→R

n(x) – f (x)| ≤ αn, ∀x∈A şi ∀n∈N (criteriul majorării prin αn ∈ ). *+R

(ivv) există gn ∈ F (A) cu gn Auc⎯⎯→ 0 a. î. |fn(x) – f (x)| ≤ |gn(x)| ∀x∈A şi

∀n∈N (criteriul majorării prin şiruri (gn) uniform convergente la

pe A). 0g =

Demonstraţie: (i)⇒ (ii) Avem: ucAnf f⎯⎯→ def

⇔∀ε>0, ∃ nε ≥ 1 a. î.

|fn(x) – f(x)| ≤ ε, ∀x∈A şi ∀ n ≥ nε ⇔ ∀ε>0, ∃ nε ≥ 1 a. î. ∀ n ≥ nε avem

( ) ( )A

sup nx

f x f x∈

− ≤ ε ⇔ există ( ) ( )A

lim sup 0nn xf x f x

→∞ ∈

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦. În mod

direct, folosind definiţia normei || ⋅ ||∞, rezultă echivalenţele: (ii)⇔(iii) şi

(iv)⇔(ivv). Pentru a arăta (iii)⇔(iv) notăm αn = n nf f− cu n ≥ 1 şi

atunci li = m nn→∞α lim 0n nn f f→∞ − = . Implicaţia (iv)⇒(iii) rezultă din faptul că

nf f− ≤ αn, ∀ n ≥ 1 şi αn 0 implică ⎯⎯→R lim 0n nn f f→∞ − = .

(ivv)⇒ (iv) Notăm αn = ng ∞ , n ≥ 1 şi avem αn 0, deci

|f

⎯⎯→R

n(x) – f(x)| ≤ αn, ∀x∈A şi n≥1.

Teorema VI.3.

Fie fn∈ F (A), n≥1 un şir de funcţii reale, atunci următoarele

afirmaţii sunt echivalente:

1) şir uniform - Cauchy. ( ) 1n nf ≥

2) ( ) ( )A

lim sup 0n mn xmf x f x

→∞ ∈→∞

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

413

3) lim 0n mnm

f f∞→∞

→∞

− =

Demonstraţie:

1) ⇒ 2) ( ) uniform - Cauchy 1n nf ≥def

⇔∀ε>0, ∃ nε∈N* a. î. ∀n, m≥ nε ⇒

( ) ( )A

sup n mx

f x f x∈

− ≤ ε ⇔ ( ) ( )A

lim sup 0n mn xmf x f x

→∞ ∈→∞

⎡ ⎤− =⎢⎣ ⎦⎥. În mod analog,

folosind definiţia normei || ⋅ ||∞, se arată 2) ⇔ 3) şi deci 1) ⇔ 3).

Teorema VI.4. (Teorema lui Cauchy pentru şiruri)

Fie fn∈ F (A), pentru n≥1 şi f∈F (A), atunci: ucAnf f⎯⎯→ ⇔ (fn) este şir

uniform - Cauchy pe A (şir uniform - fundamantal pe A).

Demonstraţie: Dacă ucAnf f⎯⎯→ ⇒ ( ) 1n nf ≥ şir uniform - Cauchy

pe A. Fie ε>0 fixat şi cum ucAnf f⎯⎯→ , ∃ nε∈N a. î. |fn(x) – f(x)| ≤ 2ε ,

∀x∈A şi ∀n ≥ nε , deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2n p n n p n

f x f x f x f x f x f x+ +ε ε

− ≤ − + − ≤ + = ε , ∀n ≥ nε ,

∀ p ≥1 şi ∀x∈A. ( ) 1n nf ≥ uniform - Cauchy pe A.

Dacă ( ) uniform – Cauchy pe A ⇒ f1n nf ≥ n uniform convergent pe A.

Fie ε>0 fixat şi cum fn uniform - Cauchy există nε∈N cu nε ≥ 1 a. î.

∀ n, m ≥ nε avem: |fn(x) – fm(x)| ≤ ε, ∀x∈A. Pentru x∈A fixat, şirul

numeric ( )( ) 1n nf x ≥ este şir Cauchy de numere reale şi deci converge în R,

notăm cu f limita sa: (*) ( ) ( )lim ,nnf x f x→∞ x= ∈ A fixat şi pcAnf f⎯⎯→ cu

f : A → R. În inegalitatea |fn(x) – fm(x)| ≤ ε, ∀x∈A şi ∀ n, m ≥ nε trecem la

limită pentru m → ∞ şi n fixat, deci avem:

414

( ) ( ) ( ) ( )lim ,n m nm f x f x f x f x→∞ − = − ≤ ε x∀ ∈A şi ∀ n ≥ nε, deci

ucAnf f⎯⎯→ după (*).

Consecinţa VI.1.

Fie fn∈ F (A), n≥1. Şirul de funcţii reale (fn) este uniform convergent pe

A, dacă şi numai dacă, (fn) este şir uniform - Cauchy pe A.

Demonstraţia este directă din teorema lui Cauchy pentru

convergenţa uniformă a şirurilor de funcţi reale (teorema VI.4).

Teorema VI.5. (Teorema lui Cauchy pentru serii)

Fie fn∈ F (A), pentru n∈N, A ⊆ R şi seria de funcţii 0

nn

f≥∑ . Seria de

funcţii 0

nn

f∞

=∑ este uniform convergentă pe A, dacă şi numai dacă:

(VI.7.) ∀ε>0, ∃nε∈N (independent de x) a. î. ∀n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒

⇒| fn + 1(x)+ + ... + fn + p(x)| < ε, ∀x∈A.

Demonstraţie: 0

nn

f∞

=∑ este uniform convergentă pe A

este uniform convergent pe A

def

⇔

( ) ( )0

n

n kk

S x f x=

= ∑Teorema VI.4⇔ ( ) 0n nS ≥ este şir

fundamental - Cauchy pe A def

⇔ ∀ε > 0, ∃ nε ∈N (independent de x) a. î.

∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒ ( ) ( ) ,n p nS x S x x+ A− < ε ∀ ∈ ⇔ ∀ε >0, ∃ nε ∈N a. î.

∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒ | fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤ ε, ∀x∈A ⇔ (VI.7).

415

Consecinţa VI.2.

Fie fn∈ F (A), pentru n∈N şi 0

nn

f∞

=∑ . Dacă seria

0nf

∞

∑ este uniform

convergentă pe A, atunci şi seria 0

nn

f∞

=∑ este uniform convergentă pe A.

Demonstraţie: După teorema Cauchy pentru serii, (teorema VI.5.)

aplicată seriei 0

nf∞

∑ rezultă: ∀ε > 0, ∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p∈N⇒

| fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤ | fn + 1(x)| + ...+| fn + p(x)| < ε, ∀x∈A ⇔ 0

nn

f∞

=∑ este

uniform convergentă pe A.

Teorema VI.6. (Criteriul lui Weierstrass)

Fie fn∈ F (A), n ≥1 şi seria de funcţii 0

nn

f∞

=∑ . Dacă există o serie numerică

cu termeni pozitivi 0

na∞

∑ convergentă ( )0,na n> ∈N astfel încât:

( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N , atunci seria de funcţii 0

nn

f∞

=∑ este absolut şi

uniform convergentă pe A.

Demonstraţie: Seria 0

na∞

∑ ( an> 0) convergentă T.Cauchy

⇔ ∀ε>0∃

nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p∈N ⇒ an + 1 + ... + an + p < ε. Aplicăm seriei 0

nn

f∞

=∑

teorema lui Cauchy pentru serii folosind şi ipotezele din enunţ, avem:

∀ε > 0, ∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1⇒ | fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤

≤ | fn + 1(x)| +...+ | fn + p(x)| ≤ an + 1 + ... + an + p < ε, ∀x∈A ⇔ 0

nn

f∞

=∑ este

416

absolut convergentă (0

nf∞

∑ convergentă pe A) şi uniform convergentă pe

A (după teorema VI.5).

Observaţii:

1. O serie de funcţii 0

nn

f∞

=∑ pentru care există o serie numerică cu termeni

pozitivi convergentă 0

na∞

∑ astfel încât ( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N se

numeşte serie normal convergentă pe A.

Teorema VI.7.

Fie fn∈ F (A), pentru n ≥0 şi seria de funcţii 0

nn

f∞

=∑ , atunci au loc

următoarele afirmaţii:

I) 0

nn

f≥∑ uniform convergentă pe A ⇒

0n

n

f∞

=∑ punctual (simplu)

convergentă pe A.

II) 0

nn

f≥∑ normal convergentă pe A ⇒

0n

n

f≥∑ absolut convergentă pe A ⇒

0n

nf

∞

=∑ punctual (simplu) convergentă pe A.

III) 0

nn

f≥∑ normal convergentă pe A ⇔

0n

n

f≥∑ normal convergentă pe A

⇔ ( )A0

sup nxn

f x∈≥

⎛⎜⎝ ⎠∑

⎞⎟ convergentă.

417

Demonstraţia afirmaţiilor I), II) şi III) este directă folosind

definiţiile tipurilor de convergenţă respective şi teorema Cauchy pentru

serii de funcţii ([36], [40], [41]).

Observaţii:

1. Reciprocele implicaţiilor I) şi II) din teorema VI.7. în general nu sunt

adevărate.

2. Dacă 0

nf∞

∑ este uniform convergentă (respectiv normal convergentă)

pe A atunci şirul de funcţii ( ) ( )A

A 0, A cu limuc

n nnf f x f x f

→∞⎯⎯→ ≡ ∀ ∈ = x .

3. Dacă şirul A

ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ nu rezultă obligatoriu că seria de funcţii

0nf

∞

∑ este convergentă pe A.

Teorema VI.8.

Fie fn∈ F (A), n ≥1 şi seria de funcţii 0

nf∞

∑ . Dacă 0

nf∞

∑ este normal

convergentă pe A, atunci seria este uniform convergentă pe A. Reciproca

nu este în general adevărată.

Demonstraţie: 0

nf∞

∑ normal convergentă există

convergentă cu a

Teorema VI.6⇒

0na

∞

∑

n > 0 a. î. ( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N . Fie ∀ε > 0 şi

convergentă ∃ n0

na∞

∑T.Cauchy

⇒ ε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1, avem < ε

şi atunci rezultă:

1

n p

kk n

a+

= +∑

( ) ( )1 1

n p n p

k kk n k n

f x f x+ +

= + = +

≤∑ ∑ ≤1

n p

kk n

a+

= +

∑ < ε pentru ∀x∈A şi

418

∀n≥nε iar ∀p ≥ 1 ⇒ ( )0

nf x∞

∑ este uniform convergentă pe A (după

teorema VI.5).

Observaţii:

1. Convergenţa unei serii de funcţii se poate testa, conform definiţiei, cu

ajutorul şirului de sume parţiale care este un şir de funcţii. De asemenea, se

poate folosi criteriul Weierstrass pentru normal convergenţa unei serii de

funcţii şi teorema care precizează relaţiile dintre diferite tipuri de

convergenţă pentru serii de funcţii (teorema VI.7.) .

Exemple:

I. Şiruri de funcţii

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

pc

0,1. , şi lim

2 , 0

0 şi cum sup2

nx

n nn

n nx

xnf x e x f x f xx

nnf x f f x f x

−

→∞

∈

⎧ ∈= ∈ = = ⇒⎨π ∞ =⎩

⇒ ⎯⎯→ = − = → +∞⇒π

**

*

RR

RR

f

nu converge uniform pe R* la f. Şirul de funcţii (fn) apare în teoria

ondulatorie a luminii în studiul unor probleme din fizică.

2. ( ) [ ] ( ) ( ) [ )0, 0,1 cu 0,1 şi lim1, 1

nn nn

xf x x x f x f x

x→∞⎧ ∈⎪= ∈ = = ⎨

=⎪⎩⇒

⇒ [ ]pc0,1nf f⎯⎯⎯→ .

Pentru ( ) ( )1 11 , 0,1 avem 1n

n n1

nx x f xn n⎛ ⎞= − ∈ = − ⎯⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

R fe

nu este

uniform convergent pe [0, 1] la f. În mod echivalent, avem:

419

[ ]( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

[ )( )

[ )

0,1 0,1

0,1 0,1

sup max sup ; 1 1

max sup ;0 sup 1 lim 1 0

nu converge uniform la

n n n nx x

n nn nnx x

f f f x f x f x f x f f

x x f f f

f

∈ ∈

→∞∈ ∈

⎡ ⎤− = − = − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= = = ⇒ − = ≠ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

3. ( ) ( ) ( ) ( )3

1,3 3 , 1, şi 0pc

n nxf x x f f x

x n − ∞= ∈ − ∞ ⎯⎯⎯→ =

+.

Pentru ( ) ( ) ( ) 11, avem 2n n

x n f n f n= ∈ − ∞ − = şi deci ( ) ( )nf n f n− nu

este mai mică decât ∀ε >0 ⇒ fn nu converge uniform la f pe (-1, ∞).

4. ( ) [ )arctg , 0,nf x x nx x= ∈ ∞ aplicăm criteriul Cauchy de la şiruri pentru uniforma convergenţă:

( ) ( ) ( )

[ ) ( ) [ )

( ) ( ) [ )

2

2 2

arctg arctg arctg1 ( )

1arctg pentru ( ) ( ) ( )

1 1, 1 şi 0, este uniform convergent pe 0, .

lim , 0,2

n p n

n

nn

pxf x f x x n p x x nx xn p nx

px px px xn p nx n p nx n p n n

p x f

xf x f x x

+

ε

→∞

⎛ ⎞− = + − = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎛ ⎞

< < = < < ε ∀⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎡ ⎤= + ∀ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇒ ∞⎢ ⎥ε⎣ ⎦

π= = ∀ ∈ ∞ [ ]

n n

<

≥ =

; tg Arctg Arctg 1

⎛ ⎞α ±βα ± β =⎜ ⎟+ αβ⎝ ⎠

5. ( ) ( ) ( )2sin cu şi lim 0, pcn nn

nxnf x x f x f x x fn →∞

= ∈ = = ∀ ∈ ⇒ ⎯⎯→RR R f

( ) ( ) 2 21 1 şi cum cu 0 ucn n nf x f x f fn n

− ≤ α = ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→R R .

6. ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]3 4

43

1 cu 0,1 şi lim , 0,11n nn

n xf x x f x f x x xn →∞

+= ∈ = = ∈

+⇒

420

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ]

44

0,1 3 3

30,1

1 1 ,1 1

1 1 şi 0,1

pcn n

ucn

xf f x f x f x n nn n

x f f

ε

−⇒ ⎯⎯⎯→ = ⇒ − = ≤ < ε ∀ ≥ =

+ +

⎡ ⎤− ε= + ∀ ∈ ⇒ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥ε⎣ ⎦

2. Serii de funcţii

1. ( )31

cos cos, şi nnx nxx f x

n n

∞

∈ =∑ R 3 satisface ( ) 31 ,nf x n

≤

31

1 şi iar x nn

∞

∀ ∈ ∀ ∈ ∑R N convergentă ⇒1

nf∞

∑ uniform convergentă pe

R după criteriul Weierstrass ⇒ 1

nf∞

∑ normal convergentă pe R.

2. ( )0

1 cu 0, şi 1 ... ...3

n nnf x x x x x x

∞⎡ ⎤= ∈ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ n cu:

( ) ( ) ( )1 1

10,3

1 1 1, lim1 1 1 1

n npc

n nn

x xS x S x S x S Sx x x x

+ +

⎡ ⎤→∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦

−= = + = = ⇒ ⎯⎯⎯→

− − − − n.

Avem ( ) ( )1

1

11 3

n

n n

xS x S xx

+

+− = <

pentru ∀x∈[a, b] şi seria 1

1an

∞

∑ convergentă pentru a > 1 ⇒ 1

1xn

∞

∑ normal

convergentă pe ∀[a, b] ⊂ (1, ∞).

4. Seria de funcţii:

( )

( )( )

( )

3

33 3

1 3

cos3cos3 cos 6 cos3 3 3... ... cu cu 2 şi 0,

1 3 3 3 cos31

nnxf x

x x nx n n xn xf x

⎧ =⎪ π−⎪ ⎡ ⎤+ + + + ≥ ∀ ∈⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎪ =⎪⎩

2

este uniform şi absolut convergentă pe 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ după criteriul Weierstrass:

( )( ) ( )3cos3 13 3 3 3n

nxf x

n n= ≤

− − 3 iar seria numerică

( )33 31 1 1... ... 1 3 3 3n+ + + +

−

este convergentă.

5. Fie ( ) ( ) [ ]sin 1 sin cu , şi 11n

n x nxf x xn n+

n= − ∈ −π π+

≥ atunci seria de

funcţii ( )1

nf x∞

∑ are ( ) ( )sin 1

sin1n

n xS x x

n+

= −+

cu:

[ ] ( ), sinpc

nS S x−π π⎯⎯⎯→ = − x . Avem:

( ) ( ) ( ) ( )sin 1sin 1 1sin sin

1 1n nn xn x

S x S x x xn n

++− = − + = ≤ =

+ + 1nα

+ cu

şi [ ],0, deci uc

n nS S−π πα ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→R ( )

1nf x

∞

∑ uniform convergentă pe [-π, π]

cu suma S(x) = - sin x, avem: ( )1

sinuc

nx f x∞

− =∑ .

6. ( ) ( )( )

21

21

1n

n n

xf xx

+= −+

cu x∈R şi seria de funcţii ( )( )

21

21

11

nn

x

x

∞+−

+∑

căreia îi aplicăm criteriul (teorema VI.5.) Cauchy pentru serii de funcţii: 422

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

1 2 1 22 2 2

2 2 2

1 3 12 22 2 2

44

2 4 22 2 2 2 2

... ...1 1 1

1 11 1 ... 11 11 1 1

1 1 1 1... 11 1 1 1 1

n n n p n n n p

n n n p

n n n p n p

x x xf x f x f xx x x

x x xx xx x x

xxx x x x x

+ + + + + +

+ + + −

+ + + +

+ + + = + + + =+ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +

⎡ ⎤ ⎛⎜ ⎟⎢ ⎥≤ + + + = −⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + + +⎣ ⎦ ⎝

2

11 x

≤+

⎞⋅⎠

( ) ( ) ( )2 2 2 2

12 2 22

1 11 1 1 11

n

x x x xx n x x n nx

+

+⋅ ≤ ≤ ≤ = < ε

+ + + ++

pentru 1

1 1 şi nn n x f∞

ε

⎡ − ε ⎤∀ ≥ = + ∀ ∈ ⇒⎢ ⎥ε⎣ ⎦

∑R este uniform convergentă

pe R.

7. 2 21

sin ,nx xn x

∞

∈+∑ R şi avem:

( ) 2 2 2 2 2 2 2 21

sinsin 1 1 1, cu n nnxnxf x a x

n x n x n x n n

∞

= = ≤ ≤ = ∀ ∈+ + + ∑R

convergentă Crt.Weierstrass

1nf

∞

⇒ ∑ normal convergentă pe R ⇒ 1

nf∞

∑ uniform

convergentă pe R.

Teorema VI.9. (Criteriul Abel – Dirichlet pentru serii)

Fie date şirurile de funcţii reale ( ), Fn nf g ∈ A , n ≥1. Dacă au loc

afirmaţiile:

(i) şi seria ucA 0nf f⎯⎯→ = 11

n nf f∞

−−∑ uniform convergentă pe A.

(ii) şirul 1

n

nk

S=

= kg∑ egal mărginit pe A, adică

423

( )sup{ | A; 1}nM S x x n= ∈ ≥ < +∞ , atunci seria de funcţii ( ) ( )1

n nf x g x∞

∑

este uniform convergentă pe A.

Demonstraţie: Testăm convergenţa uniformă a seriei 1

n nf g∞

∑ cu

teorema lui Cauchy, folosind ipotezele scrise cu inegalităţi:

( ) ( ) ( )

( )

uc1 1A 0 0, a.î.

, A3

def

n

n

i f f N n N

f x xM

⎯⎯→ = ⇔∀ε > ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε ⇒

ε≤ ∀ ∈

N 1.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

T.Cauchy

2 1 21

2 11

uniform convergentă pe A 0, a.î.

, A şi 13

n n

n p

k kk

i f f N

n N f x f x x pM

∞

−

+

−=

− ⇔ ∀ε >

ε∀ ≥ ε ⇒ − ≤ ∀ ∈ ∀ ≥

∑

∑

N ∃ ε ∈.

Din (i1), (i2) şi (ii) după teorema lui Cauchy pentru serii, avem:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

T.Cauchy

1 21

3 3 3

, A şi max{ , }, 1

n p

k kk n

n p

k k k n n n p n pk n

n p

k k n n pk n

n n

f x g x

f x f x S x f x S x f x S x

M f x f x f x f x MM M M

x n n N N p f g

+

=

+

+ − + +=

+

+ +=

∞

ε

≤

≤ − + + ≤

⎛ ⎞ ε ε ε⎛ ⎞≤ − + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= ε ∀ ∈ ≥ = ε ε ∀ ≥ ⇒

∑

∑

∑

∑

=

uniform convergentă pe A.

Consecinţa VI.3.

Fie date şirurile de funcţii reale ( ), Fn nf g ∈ A , n ≥1. Dacă sunt îndeplinite

condiţiile:

(i°) (fn) şir monoton descrescător în ∀x∈A şi ucA 0nf f⎯⎯→ =

424

425

kg (ii°) (Sn) cu 1

n

nk

S=

= ∑ este egal mărginit pe A (∃ M >0 a. î. |Sn(x)| ≤ M,

∀x∈A şi ∀ n ≥1) atunci seria de funcţii 1

n nf g∞

∑ este uniform convergentă.

Demonstraţie:

Şirul de funcţii Tn(x) = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11

n

k k nk

f x f x f x f x+=

− = −∑ + este uniform

convergent pe A: ( )uc 1AnT f⎯⎯→ x şi atunci seria de funcţii 11

n nf f∞

+−∑

este uniform convergentă peA tocmai (i) din teorema VI.9. Cum (ii) ≡ (ii°)

şi (i) adevărată, după teorema VI.9, seria de funcţii 1

n nf g∞

∑ este uniform

convergentă pe A.

Consecinţa VI.4.

Fie ( ) ( )A , AM Fn nf g∈ ∈ şi seriile 11 1

,n n nf f∞ ∞

+− g∑ ∑ uniform

convergente pe A, atunci seria 1

n nf g∞

∑ este uniform convergentă pe A.

Demonstraţie: 11

n nf f∞

+−∑ este uniform convergentă pe A ⇒

( 11

n n )f f∞

+−∑ este uniform convergentă pe A ⇒ şirul de funcţii

( ) ( ) ( )(1

1 11

n

n kk

)kx f x f f x−

+=

σ = + −∑ este uniform convergent pe A cu limita

( ) ( )lim , Annx x x→∞σ = σ ∈ . Cum ( )AMnf ∈ pentru n ≥ 1 ⇒

pentru n ≥1 şi atunci

( )AMnσ ∈

( )AMσ∈ , 1 1

ucA

1n

n n n Mε∞

⎛ ⎞⎧σ ⎯⎯→σ⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟σ ≤ σ−σ + σ < + σ ≤⎪⎩⎝ ⎠

.

Notăm uc 1 1A şi 0 iar , 1n n n n n n nh f h h h h f f n+ += −σ ⎯⎯→ = − = − ∀ ≥ ⇒

11

n nh h∞

+−∑ este uniform convergentă pe A. În aceste condiţii, seria

este uniform convergentă pe A şi cum 1

n nh g∞

∑ , 1n n n n nh g f g g n= −σ ∀ ≥

iar seria este uniform convergentă (1

ng∞

σ∑ ( )AMσ∈ şi 1

ng∞

∑ uniform

convergentă pe A)⇒ 1

n nf g∞

∑ este uniform convergentă pe A

( , 1n n n n nf g h g g n= +σ ∀ ≥ ).

Consecinţa VI.5.

Fie ( ) ( )A , AM Fn nf g∈ ∈ . Dacă au loc afirmaţiile:

I) este şir monoton şi uniform convergent; ( ) 1n nf ≥

II) este uniform convergentă, atunci seria 1

ng∞

∑1

n nf g∞

∑ este uniform

convergentă pe A.

Demonstraţie: Presupunem (fn) monoton crescător şi ucAnf f⎯⎯→

atunci ( ) ( ) uc1 1 A1

n

k k nk

1f x f x f f f f+=

− = − ⎯⎯→ −∑ ⇒ 11

n nf f∞

+−∑ este

uniform convergentă pe A şi folosind consecinţa VI.4., rezultă 1

n nf g∞

∑

uniform convergentă pe A.

426

Teorema VI.10. (Criteriul lui Leibniz pentru serii de funcţii)

Fie , n ≥ 1, dacă au loc condiţiile: ( )AFnf ∈

(v) ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ ; (vv) seria 11

n nf f∞

+−∑ este uniform convergentă pe

A, atunci ( ) 11

1 n nf∞

+−∑ este uniform convergentă pe A.

Demonstraţia este directă din criteriul Abel – Dirichlet cu (fn) care

satisface (v) şi (vv) echivalentă cu (i) şi ( ) 11 nng+= − care satisface (ii).

Observaţii:

1. În criteriul Dirichlet şi cele trei consecinţe ale sale se poate înlocui unul

dintre şirurile (fn) şi (gn) prin şiruri numerice.

2. Dacă fn∈C (A) cu A⊂ R mulţime compactă, 1, 1n nf f n+≤ ∀ ≥ şi

pcA 0nf f⎯⎯→ ≡ atunci

ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ (Teorema lui Dini).

2. Proprietăţi ale şirurilor şi seriilor de funcţii uniform

convergente

Vom prezenta unele "proprietăţi de permanenţă (transfer)" de la

termeni la funcţia limită a unui şir de funcţii reale, ca: continuitate,

derivabilitate, integrabilitate etc. Convergenţa uniformă a şirului de funcţii

este o condiţie suficientă pentru valabilitatea proprietăţilor de transfer.

427

Teoremele de transfer pentru serii de funcţii 0

nf∞

∑ se vor aplica

direct şirului de sume parţiale 0

n

nS = kf∑ şi sunt valabile în condiţiile

demonstrate pentru şiruri de funcţii reale.

Teorema VI.11. (Transfer de mărginire)

Dacă ( )AMnf ∈ pentru n ≥ 1 şi ucAnf f⎯⎯→ atunci şi ( )AMf ∈

1sup nn

f f∞ ∞

≥≤ .

Demonstraţie: Aplicăm definiţia convergenţei ucAnf f⎯⎯→ : pentru

ε = 1 există n 1 ∈ N a. i. ∀ n ≥ n 1 ⇒ ( ) ( ) 1,nf x f x x− < ∀ ∈A, deci

11,nf f n− ≤ ∀ ≥ n . În aceste condiţii, avem:

( )1

Asup ,n n nx

f f x f f f M∞ ∞ ∞∈= ≤ − + ≤ < ∞ unde:

{ }1 11sup ,..., ,1n nM f f f∞ ∞ ∞= + . Teorema VI.12. (Transfer de trecere la limită)

Fie A⊆ R şi x 0 ∈R punct de acumulare pentru A. Dacă şirul de funcţii

satisface proprietăţile: ( )AFnf ∈

1) (fn) uniform convergent pe A;

2) există şirul ( )0

lim , 1n nx xy f x n→= ≥ , atunci şirul (yn) este convergent şi are

loc relaţia:

(VI.8.) ( ) ( )0 0

lim lim lim limn nx x n n x xf x f→ →∞ →∞ → x⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Demonstraţie: Fie ε > 0 şi ( )AFf ∈ a. î. ucAnf f⎯⎯→ . Şirul (fn)

uniform convergent pe A este şir uniform - Cauchy (după teorema lui

428

Cauchy) şi pentru ε > 0, există nε∈N a. î. ∀ n, m ≥ nε ⇒

( ) ( ) ( ) ( )0

, A limn m n m n mx xf x f x x y y f x f x→− < ε ∀ ∈ ⇒ − = − ≤ ε

y

∀n, m ≥ nε

⇒ (yn) este un şir Cauchy de numere reale, deci (yn) este convergent şi

notăm . Avem: lim nny →∞=

( ) ( ) ( ) ( )

{ } () ( )

0

uc1 2 1 A

2 2

,3 3 3

max ( ), ( ) şi A ( ) din

şi ( ) din lim

n n n n

n

n x x

y f x y y y f x f x f x

n n n n x n f f

n n y y y f x

ε

→

ε ε ε− ≤ − + − + − ≤ + +

∀ ≥ = ε ε ∀ ∈ ε ⎯⎯→

= ε ⎯⎯→ ⇒ =R

şi are loc relaţia (VI.8).

Teorema VI.13. (Transfer de continuitate)

Dacă ( )ACnf ∈ pentru n ∈ N şi ucAnf f⎯⎯→ cu ( )AFf ∈ , atunci

. ( )ACf ∈

Demonstraţie: Pentru ∀x0∈A au loc două situaţii distincte.

Dacă x0∈A este punct izolat al lui A atunci f este continuă în x0.

Dacă x0 este punct de acumulare al lui A, atunci pentru ∀ n ≥ 1 avem:

( ) ( ) ( )( )0

0lim , ACn n nx x f x f x f→ = ∈ şi folosind (VI.8) din teorema VI.12,

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0lim lim lim lim lim limn n nn n x x x x n x xf x f x f x f x f→∞ →∞ → → →∞ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

x ⇒

f continuă în ∀ x0∈ A ⇒ ( )ACf ∈ .

Consecinţa VI.6.

Dacă pentri n ≥ 1 şi ( )ABnf ∈ ucAnf f⎯⎯→ atunci ( )ABf ∈ .

Demonstraţia rezultă direct aplicând teoremele de transfer

mărginire şi transfer continuitate, deja demonstrate.

429

Teorema VI.14. (Transfer de derivabilitate)

Fie I ⊆ R interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R, n ≥ 1 un şir de

funcţii reale derivabile cu proprietăţile:

1. există a ∈ I a. î. şirul (fn(a)) este convergent în R.

2. există g : I → R a. î. ucInf g′ ⎯⎯→ , atunci există:

ucI: a. î. nf I f→ ⎯⎯→R f şi f este derivabilă pe I cu f ' = g, adică:

(VI.9.) ( ) ( )lim lim ,n nn nf x f x→∞ →∞′⎡ ⎤ ′ x= ∀ ∈⎣ ⎦ I.

Demonstraţie: Fie ε > 0 şi cum ucAnf g′ ⎯⎯→ , atunci (fn') este şir

uniform - Cauchy, deci există nε ∈ N* a. î. ∀n, m ≥ nε ⇒

( ) ( )I

, sup ,n mx

If x f x x a x∈

ε ⎛ ⎞′ ′− < α = − ∀⎜ ⎟α ⎝ ⎠∈ de unde rezultă şirul de

inegalităţi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

I I

1

sup sup , I

şi , este un şir uniform - Cauchy pe I.

între şi după teorema Lagrange aplicată lui

n n m m n m n m

n m x n mx x

n n n

x n m

x

f x f a f x f a f f x f f a

x a f f c x a f f x x

n m n f f a

c x a f f

c a

∈ ∈

ε ≥

− − − = − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ε′ ′= − − ≤ − − ≤ α = ε ∀ ∈α

∀ ≥ ⇒ −⎡ ⎤⎣ ⎦

−

= +

( ) ,0 1x a⎛ ⎞⎧⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟θ − < θ

Fie ∀x0∈I fixat şi funcţia ajutătoare ( ) ( ) ( )0 00

, I {n nnf x f x

g x x xx x−

= ∈−

}−

pentru care, avem:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (

( )( )

00

0

,

după teorema Lagrange aplicată lui cu între şi

,0 1

n m n mn m n m x

n m x

x

f f x f f xg x g x f f c

x x)

f f c x a

c a x a

− − − ′− = = −−

⎛ ⎞−⎧⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟= + θ − < θ 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀n, m ≥ nε ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0V

sup , V -{ } cu V = ,n m n mt

g x g x f t f t x x x r x r∈

′ ′− ≤ − ≤ ε ∀ ∈ − +

( ) 1n ng ≥⇒ şir uniform - Cauchy pe V – {x0}. Avem:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

00

0

lim lim n nnx x x xf x f x

g x f xx x→ →− ′=− n

= pentru ∀ n ≥ 1 şi obţinem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

00 0

0

lim lim lim lim lim limn n nx x n n x x x x nf x f x

g x g x f x g xx x→ →∞ →∞ → → →∞−⎡ ⎤⎡ ⎤ ′= ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

=

⇒ f este derivabilă în x0∈I cu ( ) ( )0 0f x g x′ = şi cum x0 este arbitrar în I

⇒ f este derivabilă pe I cu ( ) ( ) , If x g x x′ = ∀ ∈ .

Observaţii:

1. Condiţiile 1 şi 2 din teorema VI.14 preciează în care caz, avem:

( )lim limnn n nf f→∞ →∞′ ′= şi această teoremă se numeşte "Teorema de derivare

termen cu termen a unui şir de funcţii reale".

2. Convergenţa uniformă ucInf f⎯⎯→ cu nf funcţii reale derivabile nu

implică convergenţa uniformă a şirului derivatelor ( )nf ′ şi nici chiar simpla convergenţă.

431

Exemplu: ( ) sin cu 0,2n

nxf x xn

π⎛= ∈⎜⎝ ⎠

⎞⎟ şi

uc

0,2

0nf fπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎯⎯⎯→ = are

şirul derivatelor ( ) cosnf x′ = nx care este divergent în orice punct

0,2

x π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

.

3. Condiţiile 1 şi 2 din teorema VI.14 asupra transferului de derivabilitate

sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziilor din enunţul teoremei.

Teorema VI.15. (Transferul proprietăţii "a admite primitive")

Fie I ⊂ R interval, nf : I → R (n ≥1) un şir de funcţii reale care admit

primitive şi f : I → R. Dacă I este interval mărginit şi ucInf f⎯⎯→ , atunci f

admite primitive pe I.

Demonstraţie: Fie Fn I → R (n ≥1) un şir de funcţii derivabile cu

F'n = nf (x), ∀x∈I. Înlocuim pentru n≥ 1, fiecare Fn cu Fn - Fn(x0) unde

x0∈I fixat şi se poate presupune Fn(x0) = 0, n ≥1. Şirul ( ) 1Fn n≥ este un şir de

funcţii derivabile a. î. şirul ( )( )0 1Fn nx ≥ este convergent şi ucIFn f′ ⎯⎯→ . Atunci după teorema VI.14 există o funcţie F: I → R derivabilă şi cu

proprietatea F' = f ⇒ f este o funcţie care admite primitive pe I.

Teorema VI.16. (Transfer de integrabilitate)

Fie [ ]: ,nf a b →R (n ≥1) un şir de funcţii reale integrabile pe [ şi ],a b

[ ]uc,n a bf f⎯⎯⎯→ , atunci funcţia limită f este integrabilă pe[ ],a b şi avem:

(VI.10) ( ) ( ) ( )lim limb b b

n nn na a a

f x dx f x dx f x dx→∞ →∞

⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

432

Demonstraţie: Funcţiile fn integrabile pe [ ],a b sunt în mod

necesar mărginite pe [ ],a b . După teorema lui Lebesgue pentru fiecare n ≥1

există An ⊂ [ de măsura Lebesgue nulă (A],a b n mulţimi neglijabile) a. î. fn

este continuă pe [ ],a b - An, adică fn continue a. p.t. pe [ ],a b . Notăm

şi A mulţime neglijabilă şi pentru fiecare n ≥ 1 funcţiile f1

nn

A A≥

=U n sunt

continue pe [ - A. Şirul uniform convergent de funcţii continue f]

]

,a b n pe

- A are limita f funcţie continue pe [ ,a b [ ],a b - A, adică f continuă a. p.t.

pe [ şi după teorema Lebesgue f integrabilă pe ],a b [ ],a b , deci f mărginită.

Avem: [ ]uc, 0, 1 a. î. pentru n na bf f n f f b a

n nε ε∞ε

⎯⎯⎯→ ⇔∀ε > ∃ ≥ − ≤ ∀ ≥−

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

n na a a

f x dx f x dx f x f x dx b a f f∞n

− ≤ − ≤ − −∫ ∫ ∫ ≤ ε

pentru ( ) ( )lim ( ) limb b b

n nn na a a

n n f x dx f x dx f x dxε →∞ →∞⎡ ⎤∀ ≥ ⇒ = = ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ tocmai

(VI.10).

Consecinţa VI.7.

Dacă [ ]( ,Cn )f a b∈ pentru n ≥ 1 şi [ ]uc,n a bf f⎯⎯⎯→ , atunci [ ]( ),Cf a b∈ şi

are loc relaţia (VI.10).

Observaţii.

1. Dacă [ ]pc,n a bf f⎯⎯⎯→ nu este adevărată teorema de transfer de

integrabilitate (teorema VI.16).

Exemplu: ( ) [ ]2 , 0,nxnf x nxe x−= ∈ 1 şi . Avem: [ ]pc0,1 0nf f⎯⎯⎯→ =

433

( ) ( )211

00

1 1 12 2

nx nnf x dx e e

− −= − = −∫ şi:

( ) ( ) ( )1 1

0 0

1 1lim lim 1 ,2 2

nn nn n

f x dx e f x dx−→∞ →∞

= − = ≠∫ ∫

[ ]11 10,1 şi 1nn nx f en n

−⎛ ⎞⎛ ⎞= ∈ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

2. Teorema VI.16 se numeşte "Teorema de trecere la limită sub

integrală" pentru integrala Riemann.

3. Consecinta teoremei precedente se numeşte "Teorema de integrare

termen cu termen a unui şir de funcţii".

Teorema VI.17. (Transfer de trecere la limită pentru serii de

funcţii)

Fie x0∈ R punct de acumulare pentru A⊂ R şi ( ) ( )A , 1Fnf n∈ ≥ un şir de

funcţii reale care au limită finită în x0. Dacă seria de funcţii 1

nf∞

∑ este

uniform convergentă cu suma f, atunci seria numerică ( )( )01

lim nx x f x∞

→∑ este

convergentă şi are suma ( )0

limx x

f x→

, adică are loc relaţia:

(VI.11.) ( ) ( )( ) ( )0 01 1

lim lim limn nx x x x x xn n 0f x f x

∞ ∞

→ →= =

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ f x→ .

Demonstraţie: Se aplică teorema de transfer de trecere la limită

şirului sumelor parţiale şi în ipotezele teoremei există

limita , adică

( ) ( )1

n

n kk

S x f x=

= ∑

( )0

lim nx x S x→ ( ) ( )0 0ucA

1

lim lim ;n

n k nx x x xk

S x f x S S→ →

=

= ⎯⎯→∑ .

434

Seriile ( )1

nf x∞

∑ şi ( )( )01

lim nx x f x∞

→∑ serie numerică, sunt convergente şi se

obţine relaţia (VI.11). Teorema VI.17 precizează în ce condiţii are loc

relaţia (VI.11) de intervertire a trecerii la limită cu sumarea prin serie.

Teorema VI.18. (Teorema Weierstrass pentru transfer de

continuitate)

Fie ( ) ( )A , 1Fnf n∈ ≥ şi seria de funcţii 1

nf∞

∑ cu suma ( )AFf ∈ . Dacă

fiecare funcţie fn cu n ≥ 1 este continuă pe A şi seria de funcţii 1

nf∞

∑ este

uniformă convergentă cu suma f (în particular normal convergentă), atunci

suma sa f este funcţie continuă pe A.

Demonstraţie: Şirul de funcţii este uniform

convergent la f pe A şi S

( ) ( )1

n

n kk

S x f x=

= ∑

n sunt funcţii continue pe A, deci f este continuă de

A. Dacă 1

nf∞

∑ este normal convergentă pe A, atunci 1

nf∞

∑ este uniform

convergentă şi se aplică raţionamentul precedent.

Teorema VI.19. (Transfer de mărginire)

Fie ( ) ( )A , 1Mnf ∈ n ≥ şi dacă 1

nf∞

∑ este uniform convergentă (în

particular normal convergentă) cu suma f, atunci ( )AMf ∈ .

Demonstraţia este imediată, aplicând teorema de transfer de

mărginire a şirului de sume parţiale (Sn).

435

Consecinţa VI.7.

Dacă ( ) ( )A , 1Bnf n∈ ≥ şi seria de funcţii 1

nf∞

∑ este uniform convergentă

(în particular normal convergentă) cu suma f, atunci ( )ABf ∈ .

Demonstraţie: Din teoremele de transfer de continuitate şi transfer

de mărginire, rezultă că suma seriei de funcţii ( ) ( ) (A AM C =Bf ∈ ∩ )A .

Teorema VI.20 (Transfer de integrabilitate)

Fie [ ]( ,Fn )f a b∈ cu fn funcţii integrabile pentru n ≥ 1 şi seria de funcţii

1nf

∞

∑ uniform convergentă cu suma f, atunci f este funcţie integrabilă şi

are loc relaţia:

(VI.12) ( ) ( ) ( )1 1

b b b

n nn na a a

f x dx f x dx f x dx∞ ∞

= =

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫

Demonstraţie: Fie , după

ipotezele teoremei (S

( ) ( )( )1

A,n

n kk

S x f x x n=

= ∀ ∈ ∈∑ *N

n) este un şir uniform convergent pe [ ],a b de funcţii

integrabile: , atunci f este integrabilă şi avem: [ ]uc,n a bS ⎯⎯⎯→ f

b

ka

( ) ( )0 1

lim limb b n

nx x n ka a

f x dx S x dx f dx→ →∞

=

= = ∑∫ ∫ ∫ ⇒ seria numerică ( )1

b

na

f x dx∞

∑∫

este convergentă cu suma f şi se obţine (VI.12).

Teorema VI.20. se numeşte "Teorema de integrare temen cu

termen a unei serii de funcţii".

Teorema VI.21. (Transfer de derivabilitate)

Fie I ⊂ R interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R (n ≥ 1) un şir de

funcţii reale derivabile pe I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

436

1°. Există a ∈ I a. î. seria numerică ( )1

nn

f a≥∑ este convergentă;

2°. Seria ( )1

nf x∞

′∑ este uniform convergentă pe I cu suma g,

atunci există o funcţie f: I → R derivabilă a. î. f ' = g pe I, iar seria de

funcţii ( )1

nf x∞

∑ este uniform convergentă pe I cu suma f.

Demonstraţie: Fie , după ipoteza 1°. şirul

numeric

( ) ( )1

n

n kk

S x f x=

= ∑

( )( ) 1n nS a ≥ este convergent în R; din 2°. avem ,

aplicând teorema de transfer de derivabilitate pentru şiruri de funcţii (1° şi

2° sunt adevărate), rezultă că există f : I → R derivabila a. î.

ucInS g′ ⎯⎯→

f g′ ≡ pe I şi

seria 1

nf∞

∑ este uniform convergentă cu suma f pe I.

Consecinţa VI.8.

Fie I ⊂ R un interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R (n ≥ 1) un şir de

funcţii reale derivabile pe I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1. 1

nf∞

∑ este punctual convergentă cu suma f pe I;

2. 1

nf∞

′∑ este uniform convergentă cu suma g pe I,

atunci seria 1

nf∞

∑ este uniform convergentă pe I şi suma sa f este funcţie

derivabila cu f g′ ≡ pe I.

Demonstraţia este directă din teorema de transfer de derivabilitate

pentru serii de funcţii (teorema VI.21).

437

Teorema VI.22. (Transferul proprietăţii "a admite primitive")

Fie I ⊂ R un interval mărginit şi ( ) ( )I , 1Fnf n∈ ≥ . Dacă funcţiile fn

pentru fiecare n ≥ 1 admit primitive pe I şi seria 1

nf∞

∑ este uniform

convergentă pe intervalul mărginit I, atunci suma sa f admite primitive pe I.

Demonstraţie: Fie x0∈I fixat şi Fn: I → R (n ≥ 1) o primitvă

pentru fn pentru n ≥ 1 pe I; aplicăm teorema de transfer a proprietăţii "a

admite primitive" şirului de funcţii ( )( )0 1F Fn n nx ≥− şi obţinem afirmaţia din teoremă.

Observaţii

1. Teorema VI.21 de transfer de derivabilitate pentru serii de funcţii

precizează în ce condiţii are loc relaţia:

(VI.13) ( ) ( )1 1

n nn n

f x f∞ ∞

= =

′⎡ ⎤ x′=⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ .

2. Din acest motiv această teoremă VI.21 se numeşte "Teorema de

derivare termen cu termen a unei serii de funcţii".

3. Vom demonstra un rezultat fundamental "Teorema lui Weierstrass"

care precizează în ce condiţii o funcţie continuă poate fi aproximată

uniform prin şiruri de polinoame algebrice.

Teorema VI.23. (Teorema Stone - Weierstrass)

Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ ],a b ⊂R, atunci există un şir

de polinoame cu coeficienţi reali Pn uniform convergent la f pe [ ] , adică:

,a b

438

(VI.14) ( )[ ]

( ),

limuc

na b nf x P

→∞= x sau (VI.14')

[ ]( ) ( )

,lim sup 0nn x a b

P x f x→∞ ∈

⎡ ⎤− =⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Demonstraţie: Metoda I este directă.

Considerăm = [0,1] şi f (0) = f (1) = 0 şi f nulă în afara intervalului

. Fără a restrânge generalitatea, în locul lui f considerăm funcţia:

[ ,a b]

][ ,a b

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )

0 1 0 ,

0 1 0

g x f x f x f f x

g g

⎧ = − − − ∈⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨

= =⎪⎩

0,1

şi definim polinoamele ( ) ( ) (21 , 1,2,.nn nQ x C x n= − = ).. pentru care

coeficienţii Cn se determină prin egalitatea ( )1

1

1nQ x dx−

=∫ .

( )( )( )

( )

21

20 0

1sin 2 cos 1; cos cu , 2

2 1 !!; 2

2 !! 2şi

2 !!; 2 1

2 1 !!

nn n

n n n

n

nx t C tdt I tdt I I nn

kn k

kI

kn k

k

ππ

+−

⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⇒ = = = ≥⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟−⎧ π

⋅ =⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪= ⎨⎜ ⎟

⎪⎜ ⎟= +⎪⎜ ⎟+⎩⎝ ⎠

∫ ∫

Se demonstrează că pentru orice ∀δ > 0, şirul de funcţii ( ) 1n nQ ≥ este

uniform convergent pe [δ, 1]. Se consideră şirul de polinoame

cu x∈[0, 1] şi se arată că P( ) ( ) ( )1

1nP x f x t Q t dt

−

= +∫ n n este de grad n.

Avem –1 ≤ x+t ≤ 1, dar f este nulă în afara intervalulu [0,1], deci integrala

pentru Pn se va studia pentru 0 ≤ x + t≤ 1 ⇔ - x ≤ t ≤ 1 - x. Notăm x + t =

=u şi avem şi P( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

0

x

n n nx

P x f x t Q t dt f u Q u x du−

−

= + = −∫ ∫ n este

439

un polinom de grad n în x. Se arată direct că ( ) 1n nP ≥ este uniform

convergent către f pe [0,1]; se poate trece de la [ ],a b la [0,1] prin

substituţia de clasă C1: x atb a−

=−

([36], [41]).

Metoda II este numită metoda lui S. Bernstein.

Propoziţia VI.1. (Lemă ajutătoare)

Pentru ∀x∈ R şi ∀n∈ N au loc relaţiile:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0

2 2

0

2

0

1 )1 1 2 ) 1

3 ) 1 1

4 ) 1 1

n nn k n kk k k k

n nk k

nn kk k

nk

nn kk k

nk

C x x nx kC x x

nx n n x k C x x

nx x nx k C x x

− −

= =

−

=

−

=

= − = −

+ − = −

− = − −

∑ ∑

∑

∑

o o

o

o

Demonstraţie: Din relaţia binomială ( )0

nn k k n k

nk

x y C x y −=

+ =∑ (I)

care are loc pentru ∀x, y∈R, pentru y = 1 – x se obţine (1°). Derivăm

relaţia (I) în raport cu x, apoi o înmulţim cu x şi obţinem:

( ) 10

nn k k n k

nk

nx x y kC x y− −=

+ =∑ (II) pentru y = 1 – x din (II) se obţine (2°).

Derivăm (II) în raport cu x, apoi o înmulţim cu x şi obţinem:

( ) ( ) ( )1 22 20

1n

n n k k n kn

k

nx x y n n x x y k C x y− − −=

+ + − + =∑ (III); pentru y = 1 – x

din (III) rezultă (3°). Înmulţim relaţia (1°) cu n2x2, relaţia (2°) cu (-2nx) şi

relaţia (3°) cu 1, prin adunare se obţine:

440

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

0

0

2 2

0

1 1 1

2 1 2

3 1 1

nn kk k

nk

nn kk k

nk

nn kk k

nk

C x x n x

nx kC x x nx

nx n n x k C x x

−

=

−

=

−

=

= − ⋅

= − ⋅ −

+ − = − ⋅

∑

∑

∑

o

o

o 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

0

22 2

0

2

0

2 ( 1) 2 1

1 3 1

1

nn kk k

nk

nn kk k

nk

nn kk k

nk

n x n x nx n n x n x knx k C x x

nx n x nx k C x x nx x

nx k C x x

−

=

−

=

−

=

− + + − = − + −

⇒ − = − − ⇒ − =

= − −

∑

∑

∑

o

Propoziţia VI.2. (Teorema lui S. Bernstein)

Fie f : [0,1]→ R o funcţie continuă şi un şir de funcţii polinomiale

dat prin:

( ) 1Bn n≥

(VI.15) ( ) ( ) [ ]0

1 , 0,1n

n kk kn n

k

kx f C x x xn

−

=

⎛ ⎞= − ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

n

B ,

atunci ( este uniform convergent la f (deci B)Bn [ ]uc0,1 f⎯⎯⎯→

4

).

Demonstraţie: Din propoziţia VI.1. pentru ∀x∈R, avem:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

2

0

1 1 1

1 1

nn kk k

nk

nn kk k

nk

C x x

nx x nx k C x x

−

=

−

=

= −

− = − −

∑

∑

o

o

Funcţia f continuă pe compactul [0, 1] ⊂ R este uniform continuă, deci

(5°) ∀ε>0, ∃ δ(ε) > 0 a. î. ∀x,x'∈[0, 1] cu |x – x'| < δ ⇒

( ) ( )2

f x f x ε′− < , (ε > 0 fixat).

441

Pentru x ∈ [0,1] considerăm ( ) ( )0

1n

n kk kn n

k

A x C x x −=

= −∑ şi din expresia lui

An, avem pentru k xn− ≥ δ :

( ) ( ) ( )2 4

2 20

1 11 1n

n kk kn n

k

k2A x x C x x nxn n

−

=

⎛ ⎞≤ − − =⎜ ⎟δ δ⎝ ⎠∑ x− .

Cum pentru ∀x∈[0,1], avem 0 ≤ x(1- x)≤ 14

, rezulta că:

(6°) ( ) 2 21

4nA x

n≤

δ.

Din (1°) se obţine inegalitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0

0

7 1

1

n nn k n kk k k k

n n nk k

nn kk k

nk

kf x x f x C x x f C x xn

kf x f C x xn

− −

= =

−

=

⎛ ⎞ 1= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞≤ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

o - B ≤

Din (1°) şi (5°) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

8 12 2

n nn k n kk k k k

n nk kk xn

kf x f C x x C x xn

− −

= =

−

Demonstraţia teoremei Stone – Weierstrass (Teorema VI.23)

Fie din teorma Bernstein asociate funcţiei: F(t) =f [a + t(b-a)] cu

t∈[0,1] şi . Considerăm

( ) 1Bn n≥

[ ]uc0,1Bn F⎯⎯⎯→ ( ) Bn n

x aP xb a−⎛= ⎜

⎞⎟−⎝ ⎠

cu x∈[ şi

avem:

],a b

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

, 0,1sup sup Fn n

x a b tf x P x t

∈ ∈− = t - B deci:

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )

, 0,1lim sup lim sup F 0t - Bn nn nx a b

f x P x x→+∞ →+∞∈

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = =⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣⎥⎦

]

,

deoarece , deci . [ ]uc0,1Bn F⎯⎯⎯→ [ ]

uc,n a bP f⎯⎯⎯→

Consecinţa VI.9.

Fie f : [ → R cu f ∈ C,a b p([ ],a b ) (p ≥ 1, fixat), atunci există un şir de

polinoame cu coeficienţi reali ( ) 1n nP ≥ a. î.:

(VI.16) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ),

lim sup 0i inn x a bP x f x

→+∞ ∈

⎡ ⎤− =⎢

⎣ ⎦⎥ pentru i = 1, 2, ..., p.

Demonstraţie: Din f ∈ Cp([ ],a b ) ⇒ f(p) este o funcţie continuă pe

şi după teorema Stone – Weierstrass există un şir de funcţii

polinomiale P

[ ,a b]

n:[ ],a b → R cu coeficienţi reali a. î. ( ) [ ]( )uc

,p p

n a bP f⎯⎯⎯→ . După

teorema de transfer a proprietăţii "a admite primitive" pentru şiruri de

funcţii rezultă că, există un şir de constante reale ( )11n n

C≥

cu proprietatea

că: ( ) [ ]uc10,1n nP x dx C f ′+ ⎯⎯⎯→∫ ; se aplică această proprietate în continuare

de (p-1) ori şi se obţine rezultatul din enunţ.

Observaţie:

1. Teorema lui S. Bernstein se poate generaliza în sensul afirmaţiei din

consecinţa VI.9., deci:

443

444

fDacă f : [0, 1] → R este o funcţie de clasă C[ ]uc,n a bP ⎯⎯⎯→

p (p∈N fixat) şi

este un şir de polinoame Bernstein dat prin (VI.14) atunci Bn( )

[ ]( )uc

0,1Bi

nif⎯⎯⎯→ , i = 1, 2, ..., p.

Exemple:

1. ( )0,

2

sin cu 0, şi 1, avem : 02

ucn n

nxf x x n f fn π⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

π⎛ ⎞= ∈ ≥ ⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟⎝ ⎠

dar ( ) cosnf x′ = nx este şir divergent.

( ) ( )( );

2. : 1 cu 1 , ,;

pcn n n

x x nf n f f f f x x x

n x n

⎧ ≤⎪→ ≥ = ⇒ ⎯⎯→ = = ∀ ∈⎨>⎪⎩

RRR R R

şi fn nu este uniform convergentă pe R. Funcţia limită f este marginită pe

R, deşi nf sunt nemărginite.

3. ( ) ( ) ( ) ( )1

2,2 2

1 arctg , , 0 şi 1

nucn

n n n n

xf x x n f f f xn x

−

−′= ∈ ⎯⎯⎯→ ≡ =

+N

cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0; 1

lim cu , 2,21 ; 12

nn

xf x g x f x g x x

x→∞

≠⎧⎪′ ′= = ≠ ∈ −⎨

=⎪⎩

; şirul ( )nf ′

nu este uniform convergent.

4. [ ]3 4

3

1( ) , 0,1 1n

n xf x xn

+= ∈

+avem 4ucnf f x⎯⎯⎯→ =[0,1] şi

[ ]

3 3'

0,1 3

4( )1

ucn

n xf xn

= ⎯⎯⎯→+

[ ]3 ' 3( ) 4 şi ( ) ( ) 4 , 0,1g x x f x g x x x= = = ∀ ∈ .

5. ( ) [ ] [ ] ( )2

uc0,2

sin cu 0, avem : 01n n

nxf x x f f xn π

= ∈ π ⎯⎯⎯→ =+

şi există

( ) sin 21n

nf xn

′ =+

x care nu este convergent pe [0, π]. Pentru 0 2x π= avem

( )01 3 4 1 4 3: ,0, ,0,..., , 0, ,0,...2 2 4 2 4 4n

n nf xn n+ +′ − −+ +

şir divergent în R.

6. Seria de funcţii:

( )33 3cos3 cos 6 cos3... ...

1 3 3 3x x nx

n+ + + +

− este uniform convergentă pe 0,

2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

după criteriul Weiertrass:

( ) 132 21 13 3 3

nn

an

∞ ∞

=

+ = +−

∑ a∑ este convergentă; | fn | ≤ an. Seria derivatelor:

( )33 33 6 3sin 3 sin 6 ... sin 3 ... 1 3 3 3

nx x nxn

− − − −−

+ este convergentă pe 0,2π⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

după criteriul Weierstrass. ( )33

3 6 3... ... 1 3 3 3

nn

+ + + +−

este convergentă şi

( )( )1 3

3, 1 cu 3, ,3 3

n n nnf x b n b b n

n′ ≤ ≥ = = ≥

−2 şi avem uc

0,1 2nf f

∞

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

⎯⎯⎯→∑ cu

f derivabilă, iar ( )( )32

3 1sin 3 sin 3 , 0,1 9 1n

nf x x nx xn

∞

=

π2

⎡ ⎤′ = − − ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦−∑ .

7. ( ) [ ]2 , 0,nxnf x nxe x−= ∈ 1 cu . [ ]pc0,1 0nf f⎯⎯⎯→ =

[ ]11 10,1 şi 1nn nx f en n

−⎛ ⎞⎛ ⎞= ∈ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Avem:

( ) ( )2 211 1

00 0

1 1 12 2

nx nx nnf x dx nxe dx e e

− −= − = −∫ ∫ − şi:

( ) ( ) ( )1 1

0 0

1 1lim lim 1 02 2

nn nn n

f x dx e f x dx−→∞ →∞

= − = ≠ =∫ ∫ .

8. este punctual convergentă pe [0, 1] şi nu este

uniform convergentă. Avem:

( 2 1 21

n n n n

n

x x x x∞

− −

=

− − +∑ )2

( ) ( ) ( )2 şi 0 1 0n nn nS x x x S Sn= − = = , iar

445

pentru x∈(0, 1) avem: ( ) ( ) ( )0 limnn nnS x x S x f x→∞ 0< < ⇒ = = , ∀x∈[0, 1]

şi [ ] [ ]0,11 1 10,1 cu

4 42 2pc

n n nn nS f x S

⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯→ = ∈ = ⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

R 1 . Avem:

( ) ( ) ( )1 1 1

2 1 2 2

0 0 0

1 10 şi 1 2 1

n n n nnf x dx f x dx x x x x dx n n

− −= = − − + = − −+ +∫ ∫ ∫

1 12 1n n

− +−

şi seria ( )1

1 10

1 1 1 11 2 1 2 1n n

f xn n n n

∞ ∞

=

⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠∑ ∑∫ este

convergentă cu suma egală cu zero pe [ ]0,1x∀ ∈ . Seria punctual convergentă verifică teorema de integrare termen cu termen a unei serii de

funcţii:

( ) (1 1

2 1 2 2 2 1 2 2

1 10 0

n n n n n n n n

n n)x x x x dx x x x x dx

∞ ∞− − − −

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤− − + = − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .

9. ( )22 2 21( 1)

1 1 1nx n xn x n x

∞ ⎡ ⎤−−⎢

+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⎥

≡

cu x ∈ [0, 1] are termeni fn funcţii continue

pe [0, 1] şi continuă. Seria nu este uniform

convergentă

( )pc[0,1]1

cu 0nf f f x∞

⎯⎯⎯→∑

( ) [ ]pc[0,1]2 21 1 10, 0,1 ,

1 2n n nnxS x f x Sn x n n

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→ = = ∈ = ⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠R 1

2.

10. Să se determine şirul ( ) 1Bn n≥ de polinoame Bernstein pentru

( ) [ ] cu 0,1f x x x= ∈ . Avem:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

11 1 1Bn n n

n k n k n kk k k k k kn n n n

k k k

k kx f C x x C x x kC x xn n n

− −

= = =

⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ − =uc

[0,1]

1 şi nnx x fn= = ⎯⎯⎯→B .

446

11. Să se determine şirul ( ) 1Bn n≥ de polinoame Bernstein pentru

( ) [ ]2 cu 0,1f x x x= ∈ . Avem:

( ) ( ) ( )220 0

11 1Bn n

n k n kk k k kn n n

k k

kx f C x x k C x xn n

− −

= =

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ =

( ) uc2 2 [0,1]21 -1 11 = + şi Bn

nnx n n x x x fn n n

⎡ ⎤= + − ⎯⎯⎯→⎣ ⎦ .

12. Fie ( ) ( ) 1 şi cu şi 1nf x x g x x x nn= = + ∈R ≥

2f

. Să se arate că:

uc pc2 şi n ng f g⎯⎯→ ⎯⎯→R R . Avem:

( ) ( )

( ) ( )

( )

uc

22 2 2

2 2

2

pc2 2

10 cu

21 2 1 10

pentru 1

n n

n

n

n nf x g x g f

n x

xxf x g x x xn n n n n

x xn n x g f

ε

ε

∀ ≥⎧< − = < ε ⇒ ⎯⎯→⎨∀ ∈⎩

⎛ ⎞< − = − + = − ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤+ + ε⎢ ⎥∀ ≥ = + ⇒ ⎯⎯→⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎣ ⎦

R

R

R

< ε

13. 1

cos , cu şi > 0nx xn

∞

α ∈ α∑ R . Avem: cos 1( ) ,n

nxf x x

n nα α= ≤ ∀ ∈R .

Pentru α >1 seria 1 1

1nan

∞ ∞

α =∑ ∑ este convergentă şi atunci 1

cos nxn

∞

α∑ este

uniform şi absolut convergentă (normal convergentă) pe R pentru α >1.

Din cosnnxf

nα= funcţii continue pe R şi ( )

1

ucnf x

∞

⎯⎯→∑ R f pentru α > 1

rezultă că suma f este o funcţie continuă pe R şi avem:

1 10 0

cos 1 sin ( )x xnt nxdt f t dt

n n n

∞ ∞

α α

⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ .

447