SESIUNEA DE REFERATE SI COMUNICARISESIUNEA DE REFERATE SI COMUNICARI21 – Mai - 201021 – Mai - 2010

ŞŞiruri in probleme practiceiruri in probleme practice

Realizator: Caltea SimonaRealizator: Caltea SimonaClasa a XI-a Clasa a XI-a

Coordonator: Voin AdrianaCoordonator: Voin AdrianaColegiul Dobrogean ,,Spiru Haret,, – Colegiul Dobrogean ,,Spiru Haret,, –

Tulcea, jud. TulceaTulcea, jud. Tulcea

Scurt istoricScurt istoric

Contribuţii importante la acest capitol a adusmatematicianul francez A. L. Cauchy (1789-1857). A fost primul care a formulat definiţiile noţiunilor fundamentale ale analizei matematice: limită, continuitate, etc., într-un mod specificmatematicii moderne. A. L.

Cauchy

Şcoala matematică germană a fost reprezentată de K. Weierstrass (1815-1897), numit “prinţul” analiştilor pentru acurateţea şi eleganţa cu care a soluţionat unele probleme fundamentale ale analizei matematice.

K. Weierstrass

Noţiuni teoreticeNoţiuni teoretice

Definirea unui şir Definirea unui şir În mod obişnuit, prin În mod obişnuit, prin şir şir de numere realede numere reale se înţelege o se înţelege o

succesiune infinită de numere, distincte sau nu, scrise unul succesiune infinită de numere, distincte sau nu, scrise unul după altul, în care fiecare număr ocupă un loc bine după altul, în care fiecare număr ocupă un loc bine precizat. Exemplu, şirul numerelor naturale: 1, 2, 3, 4, … .precizat. Exemplu, şirul numerelor naturale: 1, 2, 3, 4, … .

Definiţie. Definiţie. Se numeşte şir de numere reale orice funcţie x : N Se numeşte şir de numere reale orice funcţie x : N – Ak → R, unde Ak = {0,1,2,..,k}.– Ak → R, unde Ak = {0,1,2,..,k}.

Exemple de şiruri:Exemple de şiruri:1.1. (an) : a,a,a,... (şir constant – are toţi termenii egali cu a);(an) : a,a,a,... (şir constant – are toţi termenii egali cu a);2.2. (xn): 1,-1,1,-1,1,... (şir alternant);(xn): 1,-1,1,-1,1,... (şir alternant);3.3. (yn): 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... (şirul inverselor numerelor (yn): 1, 1/2, 1/3,..., 1/n,... (şirul inverselor numerelor

naturale nenule);naturale nenule);4.4. (zn): 1, √2, √3, ...,√n,....(şirul rădăcinilor pătrate ale (zn): 1, √2, √3, ...,√n,....(şirul rădăcinilor pătrate ale

numerelor naturale nenule). numerelor naturale nenule).

1)reprezentarea în reperul nOa a şirului (an) : 1, 1, 1)reprezentarea în reperul nOa a şirului (an) : 1, 1, 1,....1,....

2)reprezentarea grafică în reperul nOb a şirului (bn): -2)reprezentarea grafică în reperul nOb a şirului (bn): -1, 1, -1, 1,...1, 1, -1, 1,...

Subşir al unui şirSubşir al unui şirDefiniţie.Definiţie. Se numeşte subşir al şirului x : N → R orice compunere x Se numeşte subşir al şirului x : N → R orice compunere x

о k, a lui x cu un şir strict crescător de numere naturale k : N → о k, a lui x cu un şir strict crescător de numere naturale k : N → NN

Operaţii cu şiruri de numere realeOperaţii cu şiruri de numere realeDefiniţie.Definiţie. Fie (xn), (yn) două şiruri de numere reale. Fie (xn), (yn) două şiruri de numere reale.suma şirurilorsuma şirurilor : (xn + yn) : x1+ y1, x2 + y2, x3 + y3, ..., xn + : (xn + yn) : x1+ y1, x2 + y2, x3 + y3, ..., xn +

yn,...yn,...diferenţa şirurilor diferenţa şirurilor : (xn - yn) : x1- y1, x2 - y2, x3 - y3, ..., xn - : (xn - yn) : x1- y1, x2 - y2, x3 - y3, ..., xn -

yn,...yn,...produsul dintre produsul dintre o constantă α Є R şi şirul (xn) este şirul notat o constantă α Є R şi şirul (xn) este şirul notat ((αα xn): xn): αα x1, x1, αα x2, x2, αα x3, ..., x3, ..., αα xn, ... xn, ...4)4) produsul şirurilor produsul şirurilor : (xn yn) : x1y1, x2y2, x3y3, ..., xnyn,...: (xn yn) : x1y1, x2y2, x3y3, ..., xnyn,...5) 5) câtul şirurilor câtul şirurilor (xn), (yn) , yn ≠ 0, (xn), (yn) , yn ≠ 0, n este şirul notat n este şirul notat (xn/ yn) : x1/y1, x2/y2, x3/y3, ..., xn/yn,...(xn/ yn) : x1/y1, x2/y2, x3/y3, ..., xn/yn,...

Şiruri care au limită. Şiruri Şiruri care au limită. Şiruri convergenteconvergente

1) Exemple de 1) Exemple de şşiruri care au limitiruri care au limităă

Să analizăm şSă analizăm şirul (xn)n≥1, cu termenul general xn=1/n, n≥1, irul (xn)n≥1, cu termenul general xn=1/n, n≥1, din punctdin punct

de vedere al valorii termenilor lui,pozide vedere al valorii termenilor lui,poziţţionionâând acend aceşşti termeni ti termeni îîn n reperulreperul

xOy sau pe axa realxOy sau pe axa realăă..

CCalalculăm câtiva termeni ai acestui şir şi avem:culăm câtiva termeni ai acestui şir şi avem:x1=1, x2=½, x3=1/3,x4=1/4,…x1=1, x2=½, x3=1/3,x4=1/4,… Observăm că termenii şirului “se apropie” de valoarea zero. Observăm că termenii şirului “se apropie” de valoarea zero.

Cu cât Cu cât rangul n al termenului este mai mare cu atât termenul xn este rangul n al termenului este mai mare cu atât termenul xn este

mai mai apropiat de zero. Putem face ca termenii să fie cât mai apropiat de zero. Putem face ca termenii să fie cât mai

apropiaţi de apropiaţi de zero dacă rangul lor este suficient de mare. Constatăm că zero dacă rangul lor este suficient de mare. Constatăm că

termenii se termenii se apropie de zero din dreapta. Spunem că şirul (xn) este apropie de zero din dreapta. Spunem că şirul (xn) este

descrescător descrescător spre zerospre zero..

2. Fie acum şirul (yn) cu termenul general yn=-1/n , n≥1.2. Fie acum şirul (yn) cu termenul general yn=-1/n , n≥1.

Dispunând termenii şirului pe axa reală după valoarea pe care Dispunând termenii şirului pe axa reală după valoarea pe care o are o are

fiecare termen constatăm că aceştia “se înghesuie” spre zero fiecare termen constatăm că aceştia “se înghesuie” spre zero din din

stânga. Spunem că şirul este strict crescător spre zero.stânga. Spunem că şirul este strict crescător spre zero.

Criteriu de existenţă a limitei unui şir cu Criteriu de existenţă a limitei unui şir cu εε

Şirul (xn) are limita +Şirul (xn) are limita + dacă şi numai dacă dacă şi numai dacă pentru orice număr pozitiv pentru orice număr pozitiv εε se poate găsi un rang se poate găsi un rang nnεε, astfel încât pentru orice n≥n, astfel încât pentru orice n≥nεε să avem: xn> să avem: xn>εε..

(xn→(xn→) ) ( (εε>0, >0, n nε ε ЄЄ N* astfel încat N* astfel încat n≥nn≥nεε, xn> , xn> εε)) Şirul (xn) are limita - Şirul (xn) are limita - dacă şi numai dacă pentru dacă şi numai dacă pentru

orice orice număr pozitiv număr pozitiv εε se poate găsi un rang n se poate găsi un rang nεε, astfel încât , astfel încât pentru orice n≥npentru orice n≥nεε să avem xn<- să avem xn<-εε..

(xn→-(xn→-) ) ( (εε>0, >0, n nε ε ЄЄ N* astfel încât N* astfel încât n≥nn≥nεε, xn<-, xn<-εε))

ProprietăţiProprietăţi

1)Dacă un şir are limită, aceasta este unică.1)Dacă un şir are limită, aceasta este unică.2)Prin scimbarea ordinii termenilor unui şir care are limită se obţine un 2)Prin scimbarea ordinii termenilor unui şir care are limită se obţine un şir care are aceeaşi limită cu şirul dat.şir care are aceeaşi limită cu şirul dat.3)Prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un 3)Prin adăugarea sau înlăturarea unui număr finit de termeni dintr-un şir care are limită se obţine un alt şir dar cu aceeaşi limită.şir care are limită se obţine un alt şir dar cu aceeaşi limită.4)Dacă şirul xn → x Є R şi xn ≥ 0, 4)Dacă şirul xn → x Є R şi xn ≥ 0, n, atunci şi limita sa este pozitivă n, atunci şi limita sa este pozitivă (x ≥ 0).(x ≥ 0). Limita unui şir convergent având termenii pozitivi este pozitivă.Limita unui şir convergent având termenii pozitivi este pozitivă.5)Dacă şirul xn → x Є R şi x > 0, atunci există un rang no Є N* astfel 5)Dacă şirul xn → x Є R şi x > 0, atunci există un rang no Є N* astfel încât încât n n ≥ no, ≥ no, xn >0.xn >0.6)Dacă xn → x, (xn) strict crescător, atunci xn < x, 6)Dacă xn → x, (xn) strict crescător, atunci xn < x, n.n.Limita unui şir strict crescător este mai mare decât termeniiLimita unui şir strict crescător este mai mare decât termeniiDacă xn → x, (xn) strict descrescător, atunci xn > x, Dacă xn → x, (xn) strict descrescător, atunci xn > x, n.n.Limita unui şir strict descrescător este mai mică decât termenii şirului.Limita unui şir strict descrescător este mai mică decât termenii şirului.7) Dacă xn → x Є R, atunci |xn| → |x|.7) Dacă xn → x Є R, atunci |xn| → |x|.Avem lim |xn| = |lim xn| = |x| , limita modulului este egală cu modulul Avem lim |xn| = |lim xn| = |x| , limita modulului este egală cu modulul limitei.limitei.

Noţiunea de convergenţăNoţiunea de convergenţă

Dacă observăm că termenii şirului Dacă observăm că termenii şirului (an)n(an)n00 se apropie din ce în ce se apropie din ce în ce mai mai

mult de numărul mult de numărul a a (se “îngrămădesc”), pe măsură ce n creşte, vom (se “îngrămădesc”), pe măsură ce n creşte, vom avea o viziune intuitivă asupra convergenţei şirului. Vom spune că avea o viziune intuitivă asupra convergenţei şirului. Vom spune că anana (an tinde, converge către a), a fiind limita şirului. a (an tinde, converge către a), a fiind limita şirului. Definiţie. Definiţie. Şirul Şirul (an)n(an)n00 este convergent către a sau are limita este convergent către a sau are limita a a

dacă dacă orice vecinătate a lui orice vecinătate a lui aa (interval deschis care-l conţine pe (interval deschis care-l conţine pe aa) conţine ) conţine toţi termenii şirului, exceptând (eventual) un număr finit de toţi termenii şirului, exceptând (eventual) un număr finit de

termeni. termeni. Sau: Sau: Definiţie. Definiţie. Şirul Şirul (an)n(an)n00 este convergent către este convergent către aa (are limita (are limita a)a)

dacădacă , , nn (un rang depinzând de (un rang depinzând de ), astfel încât ), astfel încât n n n n, să , să

avem avem ananaa . .

Şiruri convergente la zero.Şiruri convergente la zero.1)Dacă şirul (xn) de numere strict pozitive este strict crescător 1)Dacă şirul (xn) de numere strict pozitive este strict crescător

şi şi nemărginit, atunci 1/xn → 0.nemărginit, atunci 1/xn → 0.2)Dacă şirul (xn), xn > 0, xn → 0, atunci lim 1/ xn= ∞.2)Dacă şirul (xn), xn > 0, xn → 0, atunci lim 1/ xn= ∞.Dacă şirul (xn), xn < 0, xn → 0, atunci lim 1/ xn = -∞.Dacă şirul (xn), xn < 0, xn → 0, atunci lim 1/ xn = -∞.Convenţie de scriere: 1/0+ = ∞ ; 1/0- = -∞.Convenţie de scriere: 1/0+ = ∞ ; 1/0- = -∞.3)Fie şirul (xn), xn ≥ 0, 3)Fie şirul (xn), xn ≥ 0, n, pentru care există şirul (αn) cu xn n, pentru care există şirul (αn) cu xn

≤ αn, ≤ αn, n si αn → 0. atunci xn →0. n si αn → 0. atunci xn →0.

4) dacă xn → 0, yn → 0 şi α Є R* atunci :4) dacă xn → 0, yn → 0 şi α Є R* atunci :xn+ yn → 0xn+ yn → 0α xn → 0α xn → 0xnyn → 0xnyn → 05)Produsul dintre un şir mărginit şi un şir convergent la zero 5)Produsul dintre un şir mărginit şi un şir convergent la zero

este un şir este un şir convergent la zero.convergent la zero.6) xn → 0 6) xn → 0 | xn| → 0. | xn| → 0.

Operaţii cu şiruri care au limităOperaţii cu şiruri care au limită

Fie (xn), (yn) două şiruri care au limitele (finite- şiruri Fie (xn), (yn) două şiruri care au limitele (finite- şiruri convergente sau convergente sau

infinite- şiruri divergente) x şi respectiv y. cu aceste şiruri am infinite- şiruri divergente) x şi respectiv y. cu aceste şiruri am construit construit

şirurile :şirurile :1) 1) Sumă (xn + yn)= (xn) + (yn), Sumă (xn + yn)= (xn) + (yn), n; n;

2) Produs (2) Produs (xnyn)xnyn)=(=( xn) xn) ((yn)yn), , n; n;

3) 3) ÎÎnmulţirea cu scalari (nmulţirea cu scalari (α α xn)xn)==αα((xn)xn), , n, n, α α ЄЄ R; R;

4) Cât (4) Cât (xnxn/ / yn)yn)=(=( xn) xn)/(y/(yn)n), , ynyn ≠ 0, ≠ 0, n, etc.n, etc.

Limita şirurilor monotoneLimita şirurilor monotone

1.Limita şirurilor monotone nemărginite1.Limita şirurilor monotone nemărginite

1) Orice şir crescător şi nemărginit superior are 1) Orice şir crescător şi nemărginit superior are limita ∞ .limita ∞ .

Demonstraţie : Demonstraţie : fie (xn) un şir crescător, nemărginit superior. fie (xn) un şir crescător, nemărginit superior. Pentru Pentru

e > 0, arbitrar există xm > ε . Cum şirul este crescător pentru e > 0, arbitrar există xm > ε . Cum şirul este crescător pentru n ≥ m n ≥ m

avem xn ≥ xm > ε , ceea ce arată că xn → ∞avem xn ≥ xm > ε , ceea ce arată că xn → ∞

2) Orice şir descrescător şi nemărginit inferior are limita -∞ .2) Orice şir descrescător şi nemărginit inferior are limita -∞ .

2. Limita şirurilor monotone mărginite2. Limita şirurilor monotone mărginite

Am văzut că orice şir convergent este mărginit. Reciproca nu Am văzut că orice şir convergent este mărginit. Reciproca nu

este valabilă.este valabilă.

Orice şir monoton mărginit este convergent.Orice şir monoton mărginit este convergent.

Orice şir (xn) crescător şi mărginit superior este convergent şi Orice şir (xn) crescător şi mărginit superior este convergent şi

în plus lim xn=sup{ xn| n Є N } (marginea superioară a în plus lim xn=sup{ xn| n Є N } (marginea superioară a

mulţimii termenilor şirului).mulţimii termenilor şirului).

Orice şir (xn) descrescător şi mărginit inferior este convergent Orice şir (xn) descrescător şi mărginit inferior este convergent

şi în plus lim xn = inf { xn | n Є N} (marginea inferioară aşi în plus lim xn = inf { xn | n Є N} (marginea inferioară a

multimii termenilor şirului).multimii termenilor şirului).

Proprietăţi ale şirurilor convergente:Proprietăţi ale şirurilor convergente: limita modulului este egală cu modulul limitei;limita modulului este egală cu modulul limitei; limita sumei (diferenţei, produsului, câtului – dacă există) limita sumei (diferenţei, produsului, câtului – dacă există)

este egală cu suma (diferenţa, produsul, câtul) limitelor;este egală cu suma (diferenţa, produsul, câtul) limitelor; constanta iese în faţa limitei; constanta iese în faţa limitei; limita radicalului este egală cu radicalul limitei;limita radicalului este egală cu radicalul limitei; limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului, adică limita unei puteri se distribuie bazei şi exponentului, adică

lim(xy) = (limx)limy;lim(xy) = (limx)limy; limita logaritmului este egală cu logaritmul limitei; etc.limita logaritmului este egală cu logaritmul limitei; etc.

Operaţii cu Operaţii cu

+∞ + a = +∞ +∞ + a = +∞ a Є R a Є R +∞ - a = +∞ +∞ - a = +∞ a Є R a Є R -∞ + a = -∞ -∞ + a = -∞ a Є R a Є R -∞ - a = -∞ -∞ - a = -∞ a Є R a Є R +∞ + ∞ = +∞+∞ + ∞ = +∞ -∞ + (-∞) = -∞-∞ + (-∞) = -∞ ∞ ∞ - ∞ nu are sens- ∞ nu are sens ∞∞ ∞∞ = ∞= ∞ -∞∞ = +∞-∞∞ = +∞ ∞∞(-∞) = -∞(-∞) = -∞ ∞∞a = ∞ daca a > 0a = ∞ daca a > 0 = -∞ daca a < 0= -∞ daca a < 0 -∞a = ∞ daca a<0-∞a = ∞ daca a<0 = -∞ daca a>0= -∞ daca a>0 ∞∞0 nu are sens0 nu are sens

∞∞/a = ∞ daca a > 0/a = ∞ daca a > 0

= -∞ daca a<0 = -∞ daca a<0 -∞/a = ∞ daca a<0 -∞/a = ∞ daca a<0

= -∞ daca a>0 = -∞ daca a>0 a/a/∞ = 0∞ = 0 ∞∞//∞ nu are sens ∞ nu are sens 0/0 nu are sens0/0 nu are sens

AplicaţieAplicaţieŞirul (xn) definit prin x1=2; xn=xn-1/2 + ¾, n≥2 este:Şirul (xn) definit prin x1=2; xn=xn-1/2 + ¾, n≥2 este:a)Convergent cu limita ¾;a)Convergent cu limita ¾;b)Convergent cu limita 2;b)Convergent cu limita 2;c)Convergent cu limita 3/2;c)Convergent cu limita 3/2;d)Nici un răspuns nu este correctd)Nici un răspuns nu este correctRezolvare:Rezolvare:Se arată prin inductie că xn este strict descrescător:Se arată prin inductie că xn este strict descrescător:P(n): xn>xn+1; P(n): xn>xn+1; n≥1 n≥1P(1):x1>x2P(1):x1>x2 2>2/2 +3/4=7/4 (adevărat) 2>2/2 +3/4=7/4 (adevărat)P(n)=> P(n+1): P(n+1): xn+1>xn+2P(n)=> P(n+1): P(n+1): xn+1>xn+2 ½xn+ ¾>1/3 ½xn+ ¾>1/3

xn+1+3/4xn+1+3/4xn>xn+1 adevărat => xn strict descrescător se xn>xn+1 adevărat => xn strict descrescător se demonstrează prin inducţie că xn>3/2 (demonstrează prin inducţie că xn>3/2 ()≥1:)≥1:

Q(n): xn>3/2, (Q(n): xn>3/2, () n≥1) n≥1Q(1): x1>3/2 Q(1): x1>3/2 2>3/2 adevărat 2>3/2 adevăratQ(n)=> Q(n+1)Q(n)=> Q(n+1)Q(n+1): xn+1>3/2Q(n+1): xn+1>3/2 1/2xn+3/4>3/2 1/2xn+3/4>3/21/2xn>3/41/2xn>3/4

Se trece la limită în relaţia de recurenţă:xn monoton şi mărginit => xn convergentFie lim xn=e Xn=xn-1 /2 + ¾ => lim xn= lim xn-1 /2+3/4 şi cum Lim xn= lim xn-1=e => e= e/2+3/4=>e/2=3/4=> e=3/2Paradoxul lui Zenon.(matematician şi filozof antic grec, 490-430 î.Hr.). Ahile şi broasca ţestoasă.Se povesteşte că Ahile cel iute de picior; aflându-se pe tărâmul umbrelor, a fost provocat la întrecere de o broască ţestoasă. Broasca a plecat în cursă cu un avantaj Δ. Ahile a parcurs distanţa Δ în timpul t1 , timp în care broasca a mai avansat înca Δ/2; Ahile a parcurs distanţa Δ/2 în timpul t2 = t1/2, dar în acest timp broasca s-a mai deplasat încă Δ/4. Se pare că Ahile nu va întrece niciodată broasca ţestoasă pentru că, de fiecare dată, până când Ahile va ajunge în poziţia în care s-a aflat broasca, aceasta deja a mai avansat puţin.Să analizăm cu instrumentele analizei matematice acest paradox.

Construim şirul :

Ştim acum că

deci Ahile ajunge broasca si o intrece dupa timpul 2 t1. Daca vom deci Ahile ajunge broasca si o intrece dupa timpul 2 t1. Daca vom aduna insa cantitatile din ce in ce mai mici (infinitezimale)aduna insa cantitatile din ce in ce mai mici (infinitezimale)

vom fi ocupati toata viata si tot nu vom ajunge sa adunam o vom fi ocupati toata viata si tot nu vom ajunge sa adunam o infinitate infinitate

de termeni.de termeni.De fapt nu este important daca Ahile a intrecut sau nu broasca De fapt nu este important daca Ahile a intrecut sau nu broasca

testoasa si cum s-a miscat el in taramul lui Hades. Este testoasa si cum s-a miscat el in taramul lui Hades. Este important ca, timp de mii de ani, oamenii au framantat aceste important ca, timp de mii de ani, oamenii au framantat aceste idei care i-au condus catre mai buna intelegere a lumii.idei care i-au condus catre mai buna intelegere a lumii.

Aproximarea prin siruri a numarului √2.Aproximarea prin siruri a numarului √2. Numarul √2 Numarul √2 reprezinta lungimea laturii unui patrat de arie 2; ideea reprezinta lungimea laturii unui patrat de arie 2; ideea metodei este de a construi un sir de dreptunghiuri de arie 2 metodei este de a construi un sir de dreptunghiuri de arie 2 care „tind” catre acest patrat. Concret, se porneste de la un care „tind” catre acest patrat. Concret, se porneste de la un dreptunghi de arie 2 (si anume cel cu lungimea 2si latimea dreptunghi de arie 2 (si anume cel cu lungimea 2si latimea l) care se transforma progresiv, modificandu-i dimensiunile, l) care se transforma progresiv, modificandu-i dimensiunile, apropiindu-l de un patrat dar pastrandu-i aria egala cu 2. apropiindu-l de un patrat dar pastrandu-i aria egala cu 2. Sirurile „lungimilor”, respectiv „latimilor”, vor converge la Sirurile „lungimilor”, respectiv „latimilor”, vor converge la √2, oferind o incadrare a lui √2 intre numere rationale mult √2, oferind o incadrare a lui √2 intre numere rationale mult mai buna decat aproximarile prin lipsa, respectiv prin mai buna decat aproximarile prin lipsa, respectiv prin adaos.adaos.

Fie OA1C1B1 dreptunghiul cu OA1 = a1 = 1, OB1 = b1 = 2. Fie OA1C1B1 dreptunghiul cu OA1 = a1 = 1, OB1 = b1 = 2. Construim dreptunghiul OA2C2B2 cu OA2 = a2, OB2 = b2. Construim dreptunghiul OA2C2B2 cu OA2 = a2, OB2 = b2. Avem Avem

a1b1=a2b2=2. Alegem decia1b1=a2b2=2. Alegem deci

Pentru a gasi o aproximare buna a lui √2, vom defini sirurile Pentru a gasi o aproximare buna a lui √2, vom defini sirurile

(an)nЄN si (bn)nЄN cu :(an)nЄN si (bn)nЄN cu :

Vom arata prin inductie ca : a1 < a2 < ... < an < bn < ... < Vom arata prin inductie ca : a1 < a2 < ... < an < bn < ... < b2 < b1. Am vazut deja ca a1 < a2 < b2 < b1 . b2 < b1. Am vazut deja ca a1 < a2 < b2 < b1 . Presupunem, conform ipotezei de indutie, ca an-1 < bn-1. Presupunem, conform ipotezei de indutie, ca an-1 < bn-1. Pentru inceput vom arata ca an < bn .Pentru inceput vom arata ca an < bn .

Este usor de vazut ca bn < bn-1 si, ca urmare, an > an-1 .

Vom arata ca (bn – an )→ 0. Avem bn – an < bn-1 – an-1/2 < ... < b1 – a1/ 2ⁿ ‾ ¹ = 1/2ⁿ ‾ ¹. Rezulta

Pentru a controla viteza de convergenta a sirurilor (a)n , (b)n , presupunem ca

Aceasta relatie arata ca numarul de zecimale exacte este cel putin dublu la fiecare pas.

Generalizare. Pentru calculul lui √p, p > 0, se studiaza sirurile :

Şiruri în probleme practiceJocurile de societate şi şirurile. Se expediază câte o scrisoare (care conţine o listă cu cinci nume de persoane) la cinci persoane, care trebuie să trimită 1 € la numele din topul listei şi apoi să ştergă acea persoană. Fiecare dintre aceste cinci persoane care au primit scrisoarea îşi adaugă numele lor la baza listei şi trimit scrisoarea astfel completată la cinci prieteni. Presupunând că nimeni nu rupe lanţul, câţi euro au primit cei cinci de pe scrisoarea de la inceputul jocului? jocul poate fi gândit ca fiind organizat pe nivele. Nivelul 1 corespunde trimiterii listei iniţiale la primele cinci persoane. Deci, prima persoană de pe listă va primi în total 5 €. Nivelul 2 înseamna trimiterea de liste de catre cele cinci persoane, care au primit liste la nivelul 1, la câte alte cinci. În total apar în joc la acest nivel 5*5=25 de persoane. Deci, a doua persoană de pe lista iniţială va primi 25 €. A treia persoană va primi 5*5*5=125 €, a patra 5*5*5*5=625, iar a cincea 3125 €

Medicina şi şirurile.Medicina şi şirurile.

Cantitatea unui antibiotic în sânge este dată de formula Cantitatea unui antibiotic în sânge este dată de formula

unde c este cantitatea de antibiotic în miligrame, n este numărul de doze, t este timpul între doze, iar k este o constantă care precizează cât de repede sângele metabolizează antibioticul. Presupunem că o doză de antibiotic creşte nivelul sângelui cu 0,5 mg/l. Dacă antibioticul este dat la 4 ore şi k = -0,867 , să se determine concentraţia de antibiotic înainte de a cincea doza.Avem de calculat elementul

Găsim ≈ 0,516 mg.

Tenisul, probabilităţile şi şirurile. Într-un ghem de tenis de câmp la scorul 40-40, un jucător

are nevoie, pentru adjudecarea ghemului, de doua puncte consecutive (avantajul şi

apoi câştigă ghemul). Se demonstrează că probabilitatea de a câştiga

ghemul este limita şirului (pn), unde:

unde p este probabilitatea ca jucătorul să câştige un punct. De unde p este probabilitatea ca jucătorul să câştige un punct. De exemplu, pentru p = 0,55 obţinem exemplu, pentru p = 0,55 obţinem

Rata inflaţiei. Când un economist calculează rata inflaţiei pentru obiecte de uz casnic, alimente, motorină sau sănătate el calculează dobânda compusă cu care creşte preţul acelui obiect, aliment, motorină etc. De exemplu, dacă litrul de motorină este de 0,85 € şi se estimează o rată a inflaţiei de 4,3% anuală la motorină, atunci peste trei ani valoarea unui litru se calculează astfel:

1) după un an:1) după un an:

2) după 2 ani:2) după 2 ani:

3) după 3 ani:3) după 3 ani:

În general, am văzut că dacă p este preţul la momentul actual, iar d este inflaţia anuala (sau dobânda la depozite), atunci după n ani valoarea este dată de

1)Aria unui cerc (lungimea cercului). Se defineşte ca limita ariilor (perimetrelor) poligoanelor cu n laturi înscrise şi circumscrise cercului.

Când n → ∞ şi lungimile laturilor tind la zero, atunci poligoanele tind

să coincidă cu cercul. Ariile (perimetrele) poligoanelor In (înscrise) şi

Cn (circumscrise) tind la o limită comuna A (perimetrul P), care

reprezintă aria (perimetrul) cercului.Dacă A( I ), P( I ) este aria şi

respectiv perimetrul (suma lungimilor laturilor) poligonului I , atunci

În mod similar se defineşte aria şi lungimea unei figuri convexe.

Bibliografie Bibliografie -Matematica – manual pentru clasa a XI-a -Matematica – manual pentru clasa a XI-a

editura MATHPRESSeditura MATHPRESS -Matematica – manual pentru clasa a XI-a -Matematica – manual pentru clasa a XI-a

editura SIGMAeditura SIGMA - - www.didactic.rowww.didactic.ro - - www.matepe.netwww.matepe.net - - www.e-scoala.rowww.e-scoala.ro - - www.matematic.rowww.matematic.ro - - www.mateonline.netwww.mateonline.net