siruri si serii de functii.cap ii

Capitolul 2

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

2.1 Şiruri de funcţii

Fie A c M . Considerăm T (A,R) = { / \f: A —> R } mulţimea tuturor funcţiilor definite pe A şi cu valori reale. Cu operaţiile

f + g : x h + f ( x ) + g ( y ) ,

\ f :x\-+ \ f (x ),

unde x G A, A G R, / şi g G J7 (A, R), mulţimea .F(A,R) este înzestrată cu o structură de R-spaţiu vectorial.

Noţiunea de şir poate fi extinsă de la şirurile numerice la şiruri de funcţii.

Definiţia 2.1.1. Şirul ( fn)n>\ C T (A,R) este convergent în punctul xo G A, dacă şirul numeric (f n (xo))n>1 este convergent.

Fie Ac C A mulţimea punctelor în care şirul ( /n)n>i este convergent şi Ad C A mulţimea punctelor în care şirul ( fn)n>i es e divergent. Evident,

Ac D Ad = 0 şi A = Ac U Ad.

Dacă ( /n)n>i C J7 (A, R), A — şi Ac ^ 0 , pe Ac se poate defini o funcţie/ punând / (x) = lim f n (x). Funcţia / se numeşte limita şirului de funcţii ( /n)n>i şi se foloseşte notaţia

f n f ( n - > o o ).

>Exem plul 1 . Fie f n (x) = xn~l , n > 1, xgR . Pentru |x| < 1 avem lim f n (x) = 0;n—>oo

pentru x = 1 şirul este constant şi are limita 1; pentru x = — 1 şirul nu are limită; pentru .x > 1 şirul sau nu are limită sau are limita +oo după cum x < 0 sau x > 0. Deci, A = R, Ac — {x |—1 < x < 1 } şi Aj. = {x \x < —1, x > 1 }. <1

21

Capitolul 2. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

sm ŢIXO Exemplul 2 . Fie f n (x ) = -------- , n > 1, x G R. Cumn

, , , .. Isinnxl 1 ,, _\fn(x)\ = ----------< -,Va: € R,n n

avem lim f n (x ) = 0, A = R, Ac = R şi Ad = 0 . <n—too

Definiţia 2 .1 .2 . Şirul (f n)n>\ C ^ (^ jR ) converge uniform pe Au C A către f dacă

Ve > 0 3iV (e) 6 N a.î. V x € A u, n > N (e) => \fn (x) - f (x)| < e.

Se utilizează notaţiaf n / (n ->■ o o ).

A u

Observaţia 2.1 .3 . i) Din definiţie se vede că N (e) depinde numai de e, de funcţia / §i de mulţimea Au, fiind acelaşi pentru toţi x G Au.

ii) Din definiţie rezultă că pentru orice x G Au şirul ( fn (x ))n>1 are limita / (x), deci Au C Ac.

iii) Pentru x G Ac are loc următoarea proprietate:

Vs > 0 3N ( e , x ) G N a.î. dacă n > N ( e , x ) = > \ f n ( x ) - f ( x ) \ < e .

Deosebirea dintre convergenţa în fiecare punct x din Ac numită şi convergenţă punctuală şi convergenţa uniformă constă tocmai în proprietatea de la (i).

> Exemplul 3. Fie ( fn)n>i cu f n : [-2,3] ->* R,

fn (x) =

Şirul (fn)n>i converge pe [—2,3] către funcţia / : [—2,3] —► R, / (x) = 2.

Pentru e = ^ căutăm cea mai mică valoare posibilă pentru N (e,x), luând succesiv x — —1, x = 0 şi x = 1.

Pentru x = -1 , \f ( -1 ) - f n (-1)| = 2 — ( 2 — - n

f n (—1)| < — este necesar şi suficient să avem — < — , adică n > 10. Decij-U rt iu

N - l ) = 10. Pentru x = 0, |/ (0) - / „ (0)| = 0; deci N = L Pentm

22


x = l, | /(1) - / „ (1)| = 2 + 1 1

—2. Ca |/ (1) — f n (1)| < — este necesarn 10

si suficient să avem < — . Deci N .nz 10 V 10

<

2 nx Pentru x = 0

,1J 4.

t>Exemplul 4. Fie ( /„ )„> ! cu / „ : [0,1] R, / n (a?) = 2 2.-L i- Tt X

avem f n (0) = 0, deci lim f n (0) = 0; pentru x ^ 0 rezultă lim f n (a:) = 0. Deci,n—>oo n—>00

Ac = [0, 1] şi / (x) = 0. Convergenţa nu este uniformă pe [0, 1], deoarece f n ( — ) = 1;W

dacă (/n)n>i ar converge uniform către / ar exista un indice N natural astfel încât pentru orice n > N să aibă loc inegalitatea|/n (x)| < 1 oricare ar fi x £ [0,1]. Deci,

în particular pentru x = —; dar f n ( — ) = 1 şi se obţine o contradicţie. <1n n

Observaţia 2.1.4. în situaţii similare cu cele din exemplul 4, spunem că ( /n)n>i converge simplu către f pe Ac şi notăm

f n - ? f ( n - > oo).-4c

Propoziţia 2.1.5. Orzce £ir uniform convergent pe mulţimea Ac converge simplu pe .4c către aceeaşi limită. (Reciproca nu este adevărată).

Propoziţia 2.1.6. Fie {fn)n> i C A! C Ac c A şi f (x) = lim f n (x).— n—>00Daca an — sup |/n (x) — f (x)\ şi lim an = 0, atunci şirul ( fn)n>i este uniform

xeA' n->°°convergent pe A '.

> Exemplul 5. Fie ( /n)n> 1 cu f n : [0,1] -> R,

2 nx,

fn {x)

0 < x < —2n

2 — 2nx, < x < —2n n

0, — < x < 1. n

A-iţm / „ A 0 (n —>■ oo), dar / „ 0, deoarece sup |/n (x)| = 1 ^ 0.[O-1! [0,1] x6[0,l]

: Exemplul 6 . Fie A! =î - 1

C A = [0,1] şi ( /„ )n> 1 CU f n (x) = ——

23


Dacă x = 0 avem f n (0) = 0, deci lim f n (0) = 0. Dacă x ± 0 avem lim f n (x) -n—>■ oo n-+ oo

lim ng:- = 1. Decin-> oo 1 + n x

f n - ^ f (n -> o o ) , unde / (x ) = jx = 0 0 < x < 1.

Deoarece pentru orice x E A' avem

nx\fn{x)~ / (x)| =

1 + nx1 2

—------- —y 0, ti —y oo,1 + nx 2 + n

rezultă că/ « ) / ( n - > o o ) .A'

Dar f n f (ti — oo), deoarece pentru orice x G A avemA

I fn (x) ~ / (x)

f 0,< nx - 1

1 + nx 1 + nx

x = 0

, 0 < x < 1

§iSUp |/n (x) f (x)| = 1 ^ 0.xeA

Teorem a 2.1.7. Fie ( /n)n>\ C F (A,R) un şir uniform convergent către f pe A. Dacă funcţiile f n sunt continue în xo £ A , atunci funcţia f este continuă în x$.

> Exem plul 7. Fie ( fn)n>i cu / „ : [0,1] -» M, f n (x) = xn.Evident lim f n (x) = / (x) cu

n—t oo

/<»>- {£ ^ r 1Deoarece funcţia / este discontinuă în x = 1, rezultă că şirul (/n )n>i nu converge

uniform către / pe [0, 1]. <

Teorem a 2 .1 .8 . (Criteriul de convergenţă uniformă al lui Cauchy) Fie( /n)n>i C F (A ,R ). Şirul ( fn)n>i es e uniform convergent pe A dacă şi numai dacă

Ve > 0 37V (e) £ N a.ii V# £ A, Vn > iV (e) şi Vp £ N^ |/n+p 0&) fn ( )| < £•

24


Teorema 2.1.9. Fie ( /n)n>i C I c l fiind un interval, f n funcţii conţin e şi (fn)n>i uniform convergent către f pe I. Atunci pentru orice subinterval [a.P] C I avem

>Exem plul 8 . Fie f n (x ) = xn, i G R, n > 1. Şirul ( /n)n>i nu converge uniform pentru — 1 < x < 1 către

Observaţia 2.1.10. Ipoteza convergenţei uniforme din teorema 2.1.9 este numai o : indiţie suficientă pentru integrarea termen cu termen a şirurilor de funcţii.

Exerciţii

Să se determine mulţimea de convergenţă şi să se calculeze limitele următoarelor şiruri de funcţii:

ieoarece / este o funcţie discontinuă în x = 1. Pe de altă parte

( fn (X) dx = — — şi lim / f n (x) dx = 0 = f (x) dx 'o n + 1 ™ -W 0 J o

1

3. / „ (a;) = naxe nx, x € R, n G N, a 6 R;

4 / „ (x) = (1 + x) ( l + x2) ( l + x4) •••(! + x2") x G R, n G N;X X X

5- / „ (x) = cos - cos 2 • • • cos — , x G R, n G N.

6 . Să se studieze convergenţa şirului


Să se studieze continuitatea funcţiei / = lim f n pentru:n—>00

7. f n (x) = a/1 + x 2n, x G R, n € N;

8- / " (x) = 1l n a + ee")>' a :e R ’ ’t€ N i

9- A W = î i ^ , * e K , » € N ;

10 . fn (x) = + ^2 ^ 2 + • ■ ■ + n2 + x 2 ’ X € R ’ n G N'

Să se studieze uniform convergenţa următoarelor şiruri de funcţii:

1 1 . f n (x) =_ 1

77 P— — 2--------, a:GR*, raGN;n2e x2 + 1

sina:

12. f n (x) = (1 — x)n sinnx, x G [0,1], n G N;

13. fn (x) =

14. f n (x) =

2n sin x2n

x

, x G [—7T, 7r] \ {0}, n e N ;

2ri, x 6 R, n € N;1 + (2 sin x)

71

15. f n (x) — ^ 2 (1 — x ) xk, £ G R, n G N*;

1k= 1

16. / „ (a:) -(n — 1) x, x £ 0,n

1 — x, x G ( —, 1 \n

n G N;

17. f n (x) = nxe nx , x G R, n G N;

18. f n (X) = "\ V5sina;|n + |cosx|n + ( — ] , x G R, n G N.

19. Fie f n G T (E, R), n G N şi e > 0. Să se arate că dacă lim f n = f ■n—too

{x\\fn (x) - f m (x)\ > £ } C

c {x\\fn{x) - f {x)\ > | }u {x | | /m ( x ) - / ( x ) | >

pentru Vn, m G N.

26

atunci


20. Fie f n € T (R, R), n € N. Dacă f n A 0, (n —► oo), atunci să se arate că existăM.un şir (xn)n>0, xn € R Vn € N, astfel încât xn —> 0 şi lim f n (xn) = 0.

— n—too

21. Să se studieze convergenţa şirului

0 < x < bn

fn (x) = < 1 -

X

K ’X - bnCn bn 0, X > Cn,

unde (cn)n>0, Cn G R Vn € N, este un şir descrescător şi convergent către 0.

Să se studieze uniform convergenţa următoarelor şiruri de funcţii:22. f n (a;) = x (1 — x )n, x € [0,1], n € N;

23. f n (x) = -, x £ [1, oo], n e N;(l + x2" )n ’

xn24. fn (z) = — — 2- , x € [0,1), n € N;

n ekx25. f n (x) = x G (_00>°)> n G

k= 1

26. fn (x)

27. fn (x )

Xx 4 + n2

, x G [1, oo), n G N;

nn + x

, x G (0, oo), n G N;

n28. fn (x) = — ■— , x € [1,2], n € N; n + x

29. fn (x) =nx

1 + n + x , x € [0, 1], n € N;

«o f (r\ 2nx x e [0,1], n e N , n l + n2x2’ £ € (1, oo), re € N.

31. Să se arate că limita şirului

, , x cos kx ^ _/» (* ) = E * ( F M j ' X € R ’ ” e N

este o funcţie continuă.

32. Să se arate că şirul ( /n)n>0. / i (*) = 1> fn+ 1 (®) = y/x fn (x), x € [0,1], n € N,a) converge către o funcţie continuă / ; b) f n / (n —>> o o ).

[o,i]

27


2.2 Serii de funcţii

Definiţia 2 .2 .1 . Fie ( /n)n>i C .F(j4,R); asociem şirul (sn)n>i C -T1" ( 4, M) numit

şirul sumelor parţiale, definit prin sn(x) = fk{x). Perechea ( { f n)n>i , (sn)n>i)k= 1 v ~ '

se numeşte serie de funcţii de termen general f n şi se notează cu

OOE fn sau £ f n.

n=1 n> 1

Definiţia 2 .2 .2 . Seria ^(/n)n> i , (5n)n>i) este convergentă în punctul x e A dacă şirul (sn(x))n>1 are limită; limita şirului (sn(x))n>1 se numeşte suma seriei în punctul x.

Cu alte cuvinte, seria de funcţii ^ f n este convergentă în punctul x, dacă serian> 1

numerică Yh fn(%) este convergentă.n> 1

Ca şi în cazul şirurilor de funcţii putem considera mulţimea Ac a punctelor x în care seria este convergentă şi mulţimea Ad a punctelor x în care seria este divergentă. Avem A = ACU Ad şi Ac C\ Ad = 0 .

Definiţia 2.2.3. Seria de funcţii fn se numeşte absolut convergentă în punctuln> 1

x dacă seria numerică ^2 \fn(x)\ este convergentă.n> 1

Definiţia 2.2.4. Seria de funcţii fn se numeşte uniform convergentă pe mulţimean> 1

Au C A dacă şirul (sn)n>i este uniform convergent pe Au.

Teorema 2.2.5. (Criteriul lui Cauchy) Seria de funcţii ^ f n este uniform con-n> 1

vergentă pe Au C A dacă şi numai dacăVe > 0 3N(e) G N astfel încât Vx G Au, Vn > N (e) şi \/p e N = >

' \fn+l(%) + * ‘ ‘ + fn+p(%)\ < £

Teorema 2.2 .6 . (Criteriul lui Weierstrass) Fie seria de funcţii, Y2 f n, cun> 1

(/n )n>i CI F (A , R). Presupunem că există o serie numerică &n > 0, con-n>l

vergentă astfel încât pentru orice n > 1 şi orice x G A' C A să aibă loc inegalitatea \fn(%)\ < &n- Atunci Yh fn es e uniform convergentă pe A!.

n> 1

28


Observaţia 2.2.7. In ipotezele teoremei 2.2.6, criteriul comparaţiei arată că ^ f nn> 1

^Te şi absolut convergentă pe A'.

Teorema 2.2.8. (Criteriul de convergenţă uniformă al lui Abel)Fie (<!„)„>! C F (A , M+) şi ( / „ )n>x C F (A,R) astfel încât:

1) an(x) > an+i(x), Vra > 1 şi (an)n> 1 converge uniform pe A! c A către zero;

2) 3M > 0 astfel încât Vra € N şi Mx 6 A' = > fk(x) < -W.fc=l

.4ltinci sena de funcţii J2anfn este uniform convergentă pe A'.n> 1

Teorema 2.2.9. Dacă seria de funcţii fn este uniform convergentă pe A şi f nn> 1

ranl funcţii continue în xo G A , atunci suma seriei este o funcţie continuă în xq.

Teorema 2 .2 .10 . (Integrarea termen cu termen) Fie ( /n)n>i C F ([a ,6], R) m fir de funcţii continue pe intervalul [a, 6] C IR. Z?aca sena de funcţii f n este

n> 1mmfarm convergentă către s pe [a, b\, atunci pentru orice subinterval [a,/3] C [a, b]«PPT7I

/ s(x)dx = z 2 fn(x) dx. Jol «'an > l *

Teorema 2.2.11. (Derivarea termen cu termen) Fie ( /n)n>i C F ([a ,6], R)wi fir de funcţii deriv abile astfel încât f'n, n > 1, sunt continue. Dacă seria defuncţii £ fn converge uniform pe [a, b] către g şi dacă există xo G [a, b] astfel încât

n> 1seria numerică fn(xo) este convergentă, atunci seria ^ f n converge uniform pe

n>1 n >lîs.: către o funcţie derivabilă s cu s' = g. Deci

: Exemplul 1. Fie — sin(2nx), x G [0, a]. Seria este uniform convergentăn> l ^ n

< = termenul general al unei serii geometricesin (2nx)pe O.a] deoarece

xavergente. Pentru x G [0, a] putem scrie

f d f = = £1 — cos (2n:r)

6n<n>l / n > l */u n > l

29


Cum f'n(x) = Q ) cos (2nx), £ / ' converge uniform pentru că |/£(x)| < Q ) .

Deoarece Yh fn converge pe [0, a]n> 1

_d_da; ( X ^ ( sin (2U;r))) = (^rsin (2nx)) =1l (1 ) cos (2na;) •

\ n > l y n > l ' n > l ' '

Dacă am considera seria E ~ sin (3nx) pe [0, a] nu am putea aplica teoreman > l 2n

2.2.12, deoarece f „ (x ) = ( ^ ) cos(3nx) şi în x = 0, X /n ( ° ) = X) ( 7: ) (serieW n> 1 n > l W

divergentă).Deci, seria ^ nu converge uniform pe [0,a]. <1

n> 1

Exerciţii

Să se determine mulţimea de convergenţă a următoarelor serii de funcţii:

2 . E 2n V 0 , * € R * ;^ ( n + l ) 5* 2"

3- E ZT3T’ x 6 5 ' ^ (2n + l ) x n ’ ^ G K ’

_ (sm x)n8. ----- ă— 5 x E M, a E M;na

fl.E(=ir( £4y\,6*m 72 \ 1 + )

10 . 2 ln ^ + ° w) ) x e R , a e R + .nx

30


Să se studieze convergenţa absolută a următoarelor serii de funcţii:

13. £ ( - l ) ” <r“ “ nI, x e

Să se studieze convergenţa uniformă a următoarelor serii de funcţii:

1-** E 2 _i_ 2»a;eRiar +

15. E

16. E

(ra + x) (n + 1 + x)

1

, x G R+;

n2 (1 + n2x2) , i G l ;

1 x2n1 7 . ^ — ------- 5 -, i G l ;

^ 2n 1 + x2n

21.

_ ^ , . „ i na sin (nx)23. E ( - l ) 1 _ 9 . V , s € R ;

n 2 + a2

„ (2n — 1)!! / 2x \ n19' - (2r>)!! ( l + x2J ' l S 1

^ sin(nx) n

24. E ( —1)" ancos(nx),

x G R, a G R;

n225. E - ? = (^n + * -n ) , x Gvn!

:,2

26. £ ( , i r ‘ S ’* ^ cos (2n - 1) x,(2n — 1) — ar

x G M, a G

Să se arate că următoarele serii de funcţii sunt convergente, iar sumele lor sunt rnxyli continue:

Z - ^ i\n + 1nx (n — 1) x

+ x n + x , [0, 2];

„ x + n. (—l)n2s . e — 2 t ~ , * gx z + n6

31


Să se arate că următoarele serii de funcţii sunt absolut şi uniform convergente pe R:

29 . aG (0) 1). 30. an sinnx, a 6 (0,1).n

31. Să se arate că seria Y\ — \,0 / -- converge uniform pe domeniul de definiţie alnz + j z (x )

funcţiei / .

32. Să se arate că seria ^ xn (1 — x) nu converge uniform pe [0, 1] .

Se poate aplica seriilor următoare teorema de derivare termen cu termen a seriilor?

33. 5 > r c t g ^ = ; 34 ^ J _ sin^ 35. X > ( z 2 + 1) .ny/n ^ n2 n

36. Se poate aplica seriei V ----- ;— teorema de integrare a seriilor de funcţii pe oricen!

interval finit [a, 6]?

37. Se poate aplica seriei ^ jn -i cos teorema de integrare a seriilor de funcţiir 7 T TT 1

pe intervalul \- i h .4 ’ 3 J '

2.3 Serii de puteri. Serii Taylor

Definiţia 2.3.1. Se numeşte serie de puteri din R o serie de funcţii ^ fn în caren> o

f n e T (R, R), f n (x ) = an { x - x0)n, an £ R, x, x0 e R, n > 0.

Observaţia 2.3.2. Noţiunea de serie de puteri este o generalizare a noţiunii de polinom.

Teorem a 2.3.3. (Abel-Cauchy-H adam ard) Fie R > 0 definit prin:R = 0, dacă şirul /|an| este nemărginit;

1 . .. m ^


Atunci, dacă R > 0 seria de puteri an {x ~ xo)n este absolut convergentăn> 0

pe xo — R ,x o + R ) şi divergentă pe ( —00, xo — R) U ( x q + R, oo).Dacă R > 0, seria de puteri este uniform convergentă pe [xo — r ,x o + r] pentru

mice r cu 0 < r < R.Dacă R = 0 seria de puteri este convergentă doar în x = xo-

Observaţia 2.3.4. i) Din teorema anterioară rezultă că mulţimea de convergenţă i inei serii de puteri este un interval de forma (xo — R ,xo + R) la care se adaugă ewntual punctele xo — R sau xo + R. Numărul R se numeşte raza de convergenţă a seriei de puteri.

ii) Deoarece, nu întotdeauna se calculează uşor lim \/|aJ, se foloseşte criteriuln—>00raportului.

Propoziţia 2.3.5. (Criteriul raportului) Dacă an ^ 0 pentru n > no şi dacăa n+ 1■TTI = l, atunci raza de convergenţă este

( 1R = < l , 1 ^ 0

00, 1 = 0 .

: Exemplul 1 . Seria xn are raza de convergenţă R = 1 deoarece an = 1 pentrun> o

crjoe n şi >/|an| — 1- Pentru x = ±.1 seria este divergentă. <1

E x^ ^— 5— are raza de convergenţă R = 1 deoarece nz

n> 1

lim1

- lim Ifr i + l \

n—>oo n—>oo 'V w /= 1.

Pentru x = ±1 seria este absolut convergentă deoarece

convergentă.n>l

<a;,n—1

n> 1n

are raza de convergenţă i? = 1 deoarece

limn—>• oon-hl = Hm ^ ± 1 = i.

n—>oo u

lastra x = 1 seria este divergentă, iar pentru x = —1 seria este convergentă. <

33


Teorema 2.3.6. Fie anxn o serie de puteri având raza de convergenţă R. Dacă n> o

seria este convergentă în x = ±i?, atunci suma acestei serii este o funcţie continuă în x — =tR.

> Exemplul 4. ^ (—l )n xn are raza de convergenţă R = 1. Pentru x = ± 1 serian>0

este divergentă. Pentru bl < 1, suma seriei este ------ şi funcţia / definită prin1 + x

1 1f (x) = ------- , \x\ < 1, are limită în x = 1; lim/ (x) = - . v ' 1 + x 1 1 v y 2Observaţia 2.3.7. Exemplul 4 arată că l im /(x ) poate să existe fără ca seriax^R

anRn să fie convergentă.

Teorem a 2.3.8. (Derivarea term en cu termen) Fie (x — xo)n o serie de Sn> 0

puteri având raza de convergenţă R > 0. Atunci seria nan (x— xo)n_1 (obţinutăn> 1

prin derivare termen cu termen) are aceeaşi rază de convergenţă R.

Teorem a 2.3.9. Fie ^ ^ a n (x — x o)n o serie de puteri având raza de convergenţăn> 0

R > 0; fie f definită pe (xo — R,xo + R) ca sumă a seriei. Atunci f admite în acest interval derivate de orice ordin şi aceste derivate se pot calcula prin derivarea termen cu termen.

j

/ (n) (x0)Observaţia 2.3.10. Din teorema anterioară rezultă că an = ------ ----- pentru oricen!n. Dacă funcţia / definită pe (xo — R ,xo + R) este suma seriei de puteri, putem scrie seria sub forma

£ £ 2 £ sJ ( , - , or.n>0 ” •

E ffo) (xo)------ 1---- (x — X0)n care poate fi asociată oricărei funcţii

n\n> 0

/ care admite în xo derivate de orice ordin, se numeşte seria Taylor a funcţiei f centrată în x q G M.

Pentru xq = 0 se obţine seria MacLaurin

v /(n) (Q)n\

n> 0

34

xn.

Em

O


Definiţia 2.3 .12 . O funcţie care admite derivate de orice ordin într-un interval #,&) se numeşte indefinit derivabilă sau de clasă C°° în (a, b).

Definiţia 2.3.13. Dacăa) / : / —> R este indefinit derivabilă ( / E C°° (/)),b) seria Taylor a funcţiei / centrată în xo E I are raza de convergenţă R > 0,c) suma seriei Taylor definită în (xo — R, xo+R ) coincide în (xo~ R, xo+R ) C /

ca funcţia / ,«unei / se numeşte analitică în punctul xo-

Dacă / este analitică în orice punct xo € / , atunci / se numeşte analitică în I.

Observaţia 2.3.14. Definiţia anterioară caracterizează clasa funcţiilor care se pot aproxima prin serii de puteri.

Definiţia 2.3.15. Fie / : J C R —> R, / E Cn (/). Polinomul Tn (x,xo) (asociat funcţiei / ) definit prin

* numeşte polinom Taylor de gradul n, centrat în xo al funcţiei f .

Teorema 2.3.16. Fie funcţia / : [a, b] —> R, / E C'n+1 [a, 6]. Atunci, pentru orice 24i£(a, 6) avem

Definiţia 2.3.17. Diferenţa f (x) — Tn (x, xo) se notează Rn (x) şi se numeşte restul formă integrală în formula lui Taylor.

Observaţia 2.3.18. Folosind teorema mediei din calculul integral rezultă că

Această formă a restului se numeşte rest sub forma lui Lagrange.

Teorema 2.3.19. F i e f : [a, 6] —>>R; /e C ° ° (a, 6). Dacă există R > 0 şi M >0 astfel mc.it pentru orice x E (xo — R,xo + R) C (a, b) orice n > 0 are loc inegalitatea jf*“ (x)| < M n, atunci f este analitică în xq.

/7-1 ~ J \ i / ' (*o) /_ _ \ , , / (n) (*o)Tn (x, Xo) f (xo) + n. (x Xo) “h * * * “b . (x Xo)1! n\

f (x) - Tn (x, x0) — ~7 [ (x - i)n / ( n+1) (t) dt nlj~„


oExemplul 5. Fie f (x) — ex, x € R; / € C°° (R) şi /<"> (x) — ex, Va: 6 R. Deoarece |/(n) (a;)| — ex < eR pentru |a:| < R, deducem că funcţia / este analitică şi

. . .y / w ( O) , » _ v .2-* n\ A r i n\ ’n >0 n>0

sm s = £ ( - l ) " , a € R ,n> 0

r.2ncosx = ^ ( - i r ?| - , a: € R,

în mod analog, se poate arăta că funcţiile sinx, cosrz, shx şi chx sunt analitice şi

x 2n+ 1 (2n + l ) ! 5

x2n

(2n>! ’ x2n+l

n>0 v 7, X n

d“ = E(2S)i'l€ R - <n>0 V ’

> Exem plul 6 . Fie f (x) = ln (l + x), x G R; f ' ( x ) = ——— şi pentru |x| < 11 + x

obţinem— = l - a: + a:2 — a;3 + ------h ( - l ) n x n + ■ ■ ■1 + x v '

(suma unei progresii geometrice cu raţia —a?, |x| < 1). Seria de puteri obţinută are raza de convergenţă 1 şi conform teoremei 2.2.10 ea poate fi integrată termen cu termen, ceea ce conduce la dezvoltarea

ln (l + i ) - y ^ V i B+1, |x|<l. <J Ş " + 1

> Exem plul 7. (Calculul funcţiei exponenţiale) Pentru a calcula valorile funcţiei ex utilizăm formula lui Taylor

rp /y*2 ry'ft' 1rg% %AJ %Xj *Xj %AJ n / v

e = ÎT + ¥ + ' ' ' + nT + ( n T Î ) !e ’ cS f0’ 1 )-

Deducem că putem calcula aproximativ pe ex calculând valorile polinomului

:a


Eroarea va fi măsurată de restul Rn. Acest rest poate fi mare pentru valori mari ale In x. De aceea, vom scrie orice număr x G R sub forma x = m + q, unde m este unragnăr întreg, iar \q\ < Obţinem ex = em • eq. Deci, pentru a calcula pe ex estez ^i^Srient să calculăm, cu ajutorul formulei lui Taylor, pe e şi pe eq, pentru \q\ < zIVntni calculul lui e avem

l-Rnl < 7 T- rTTe <(n + 1)! (n + 1)!ş. dacă dorim o valoare cu trei zecimale exacte, e suficient să luăm n — 6. Pentru r&jculul lui eq, |g| < - , avem

Zi

l-^l — on+1 <2n+1 (n + 1)! 2n (n + 1)!p iacă dorim o valoare cu trei zecimale exacte este suficient să luăm n = 4. De cszmplu, pentru valoarea lui ^/e cu cinci zecimale exacte luăm n = 6 şi obţinem

^ = 1 + î ^ + ^ 2 + ” ‘ + ^ 6 =1,648719. <: Exemplul 8 . Pentru a calcula

2ex - 2 - 2x - x2lim------------- :-----------x->o x — sin x

Sttipniim funcţiile ex şi sinx cu dezvoltările lor în serie şi obţinem

1 + n + l r + " ' ) - 2 - 2* - * 2lim— -—-— : «— —=--------------------------- —x-»o ( x x

x ~ [ x ~ 3f + 5 f - 2x^ 2x^ 2_ 2x

= lim liT + Ţ + ' = l imf + 4 ! + " = 2. <x—>-0 X X x—>0 1 x+ 3 ! _ 5!

f 1/ 2 ! — cosxr Exemplul 9. Pentru a calcula integrala definită / ------ ---- dx cu patru zeci-J o

ie exacte, înlocuim funcţia cos x cu dezvoltrea sa în serie şi obţinemx2 rjA x6

r * 2i I ^ dx = / 1/2l - 1 + ¥ - 4f + 6r ~ " - da; =J® x J o X

- /./O 2! 4! + 6! " ' J dX 2!2 4!3 • 23 + 6!5 • 25 ° ’ 2483'

37


Exerciţii

Să se determine raza şi mulţimea de convergenţă a următoarelor serii de puteri, unde

1 V 1 rr n ' ~.2n+l’ 1X- £ ( - ! ) "

2 . £ ( - i ) n*n;_ „ I n n „

3. V i l : ,2 ' - .. Tn

y.n

T2n+17. E(-i)n

x 2n- 1

n54. E (—i )n_1 1 3 - E ^ n;

5. E n ^ ; 14. E f( '2 ± iy xy ;

^ n ! ’ i c y ' n ~ x n.(n + 1) ’

(2n + l ) ! ’ 16. E « (_1)"^n;

8* E (—1)” 77TT7) 1 \ ^(2n)!’ 17. ( cos

10 ' E < S ;

Să se studieze uniform convergenţa următoarelor serii de puteri:

qnTl qnTl

20 . 22. E ( - i ) " - 1^ ;

i x^n21. E (-1)"" — ; 23> £ ^2n _ rc2n+2)

38


Să se calculeze raza de convergenţă, mulţimea de convergenţă şi suma următoare ;r serii de puteri:

28. £ ( - l ) n+1 *25. 2 > V * ; n(n + l ) ’

26. £ n 3xn; 29. £ ( 2 + ( - ! ) " ) * " ;~.4n 2n

2T- E tttt; 30. e(2n )!’ ' 2n (2n + 2) '

: . ' • nxn o serie de puteri având raza de convergenţă R > 0 şi suma / pe— H. R). Presupunem că există un şir (yp)p>0 de puncte distincte, convergent către

aera. astfel încât f (yp) = 0, \/p G N. In acest caz, să se arate că an = 0, V n G N.

Să se dezvolte în serie Taylor în vecinătatea lui zero (cu precizarea mulţimilor 3-r convergenţă) următoarele funcţii:

ÎI. / x) = (1 + x )a , a G K; 35. / (x) = arctg x;

n . / i x ) = _!,,)■>. n e N ' 36. / (z) = In (x + V I + X2) ;

x e R \ { l } ; 37. / (x) = sin2 x;rx

J4 . / <x) = arcsinx; 38. f (x) = / e“ * dt.Jo

Sâ se dezvolte în serii de puteri (cu precizarea mulţimilor de convergenţă) easâîoarele funcţii:

* • - ' J ,= x » - t e + 3 ' 4 0 . / ( * ) = - L _ * £ 1;

x € R\{1,3}; 41. / ( ;r) = ^2-V / + i ’ a :€ E -

Să. se calculeze cu cinci zecimale exacte ~^=.

Aplicând dezvoltarea în serie, să se calculeze cu patru zecimale exacte cosx.

Si se calculeze ^/l, 1 cu patru zecimale exacte.

39


45. Să se calculeze In 1,04 cu patru zecimale exacte.

46. Catetele unui triunghi dreptunghic sunt egale cu 1 şi respectiv 5 cm. Să se calculeze unghiul ascuţit, opus celei mai mici catete a triunghiului, în radiani cu trei zecimale.

Să se calculeze limitele următoare, folosind dezvoltările în serii de puteri:

,. x — sinx _ ex sin# — x (1 + x)47. hm------ ---- ; 51. hm-------------- â:—» 0 X £->0 X6_ş2 k

AO e 2 — cosx 52. lim (1 + sinx)*;48. hm----------------- ; x->oxô x4

X2 - 2chx + 2 5 3 . Iim . ln x49. lim--------- --------- ; “ “ 6 nx ’

x->0 c4 cos

1 - ^ ( 1 + ® ) - _ ( 2, / , . 150. lim------ ------------- ; 54. lim x - x ^ l n 1 + -

xÔ X

55. Să se determine a G l astfel încât limita

x-*0 V \ X

In (1 + xsinx) — x2 cosx hm -z-»o x°

să fie finită şi nenulă.

Să se calculeze:

fJ or0’1 (1 -f- Xs)

56. / ------------- dx cu trei zecimale exactex

f° ’2smx57. / ------ ax cu patru zecimale exacteJ o x

[° 'l c58. / ---------d.c cu trei zecimale exacte.r u ,iex _ x

Jo x ‘

Folosind dezvoltările în serii de puteri, să se demonstreze inegalităţile următoare:

59. ex > — — , x > 0;1 + x

60. ex > 1 + (1 + x) In (1 + x ) , x > 0.

40


2-4 Serii Fourier

pfcrgniţia 2.4.1. Se numeşte serie trigonometrică orice serie de funcţii de forma

Prcpoanţia 2.4.2. Dacă f este suma unei serii trigonometrice uniform convergente pt "—t t . atunci

1 rezervaţia 2.4.3. Propoziţia 2.4.2 sugerează să asociem fiecărei funcţii integrabile :<r ~—t o serie trigonometrică având coeficienţii daţi de formulele precedente, nu- 'iffir fmrn 'Jele lui Euler-Fourier. Seria trigonometrică asociată funcţiei / se numeşte asnm Ftmrier a lui / , iar an şi bn se numesc coeficienţii Fourier ai lui / .

Ll :*:c:inuare vom stabili anumite condiţii care asigură convergenţa seriei Fourier t im ; şi vom evidenţia legătura între suma seriei şi funcţia / căreia i se asociază.

p -:c* :x :p a 2.4.4. (Egalitatea lui Parseval) Dacă f este suma unei serii trigo- nmu&nce uniform convergente pe [—7r,7r]? atunci

-ao + ^ [an cos (nx) + bn sin (nx)], ao, an, bn G M, Mn > 1.n> 1

n> 1pe 9L

I feopMp hil 1 . Fie / : [—7r, 7r] —► R, / (x) = |x|. Avem:


Deci an — 0 dacă n — 2p şi an = ----- —------dacă n = 2p + 1. Iar_4_7r(2 p + 1Y

i rbn = — f (x) sin (nx) dx = 0. ^ J — 7T

Seria Fourier asociată lui / este

7r 4 1 . \— > --------------cos (2p + 1) x.2 î' S S ( 2? + l )2

Conform propoziţiei 2.4.5 seria este absolut şi uniform convergentă pe

l>Exemplul 2 . Fie / : [—7r, 7r] —>• R, / (a;) = ar2. Avem:

1 r 2 j 2 tt2ao = - x dx = — ;TT^-Tr 31 /»7r 2 f n

an = — x 2 cos (nx) dx — — x 2 cos (nx) da:71* J —7T ^ JO

= cos (n7r). nz

1 4Deci an — — dacă n = 2p şi an = --------------o dacă n = 2p + 1. Iar

P2 (2p + l )2

1bn = — I x2 sin (nx) dx = 0.

^ */ — 7T

Seria Fourier asociată lui / este

P>1 ^

Definiţia 2.4.6. Fie / : [a, 6] —> M. Spunem că / este continuă pe porţiuni pe [a, b] dacă există punctele x i , x2, . . . ,xn E [a,6] astfel încât a = xq < x\ < x<i < • • • <xn_i < xn = 6, / este continuă pe fiecare interval (xfc,x*;+i) pentru k = 0, n — li lim / (x) = / (xfc + 0) există pentru orice & = 0, n — 1 şi lim / (x) = / (x& — 0)

X ) X «2/ ) tZ)X>Xfc X<Xkexistă pentru orice fc = 1, n.

Nicio condiţie nu este impusă funcţiei / în punctele xo, x i , . . . , xn. Pentrii k = 1, n — 1, / prezintă în x o discontinuitate de prima speţă.

42


Teorema 2.4.7. (Inegalitatea lui Bessel) Dacă f : [—7r, 7r] —> R este continuă jch continuă pe porţiuni şi an, bn sunt coeficienţii Fourier ai lui f , atunci seria y * | + b„) es£e convergentă şi

\al + '5 2 (an + bl ) < [ f 2 (X) dx. n >l

Consecinţa 2.4.8. Z)aca / : [—7r,7r] —> R continuă sau continuă pe porţiuni, gtm ă coeficienţii Fourier ai lui f au proprietatea

lim an — 0, lim bnn—► oo n-+oo

0.

1

2 Exemplul 3. Seria trigonometrică

- + [cos (nx) + sin (nx)]

joase § seria Fourier asociată unei funcţii / : [—7r, 7r] —> R continue sau continue pf :nrnmi. deoarece an = bn = 1 şi an ^ 0, bn 0 (n -> oo). <1

: Exemplul 4. Seria trigonometrică

5 + En> 1

cos (nx) ^ sin (nx)y/n y/n

fi îeria Fourier asociată unei funcţii continue pe porţiuni [—7T, 7r], deoarece ss = — = şi cum a2 + b = —, seria ^ (a2 + 62) este divergentă. <1

n >l

2.4.9. Fie f : [—7r, 7r] —> R astfel încât f (—n) = f (n), iar / ' este con- pg porftunt. Seria Fourier asociată lui f este absolut şi uniform convergentă

2.4.10. Dacă / : [—7r,7r] —* R es£e continuă pe porţiuni şi derivabilă pe msâerml ie continuitate şi dacă f', prelungită cu valoarea zero în punctele de

te de lui f , este continuă pe porţiuni pe [—7T, n\, atunci seria Fourier

i s / converge în orice punct x G R către - [ / (x + 0) + f (x — 0)].z4.11. Dacă f : [—7r,7r] —)* R es£e continuă, f (—tt) = f (n ) , iar

r —► II este continuă pe porţiuni, atunci seria Fourier asociată lui f este şi suma ei este chiar f .

43


> Exem plul 5. Deoarece funcţia / din exemplul 1 îndeplineşte condiţiile din consecinţa 2.4.11, seria Fourier are ca sumă pe / . Avem

i / x2dx = y + En>0

167P2 (2n + 1)2 >

de unde rezultă

n> 0 (2 n + 1)"

t>Exemplul 6 . Deoarece funcţia / din exemplul 2 îndeplineşte condiţiile din consecinţa 2.4.11, seria Fourier are ca sumă pe / . Avem

de unde rezultă

1 Z"77 4 1 47r2 v 16

7T2 190 " n4

U 7TL2 ,?r.

> Exem plul 7. Fie / : [—7r, 7r] —» R definită prin

/(*) = 2 Vi11, 16 H’-d

Considerăm funcţia / prelungită prin periodicitate cu perioada 2n, cu valorile 2 [ / + 0) + / — 0)] în punctele de discontinuitate Xj. Avem ao = 1, an = 0

2 (—l )p+1pentru n = 2p şi an = — -------— pentru n = 2p + 1; 6n = 0 pentru orice n > 1.2p + 1

Obţinem seria trigonometrică

~ , 1 2 ( cosx cos(Sx) cos(5x)= ------rJ + ~ r 2Pentru x = 0, cum / (0) = 0, deducem

, x G

, 1 1 11 _ 3 + 5 “ 7 + '

44

TT4'


n - i

n-

vaţia 2.4.12. Dacă / : [—7r,7r] -» R este o funcţie pară ( / ( —x) — f (x)

/ 7T

/ (x) sin (nx)dx = 0. Deci, seria Fourier-7r

. lui / are forma următoareac2 n > l

/ : r—tt7 7r] -* R este o funcţie impară ( / (—x) = —f ( x ) pentru orice x) şi/ 7r/ (x) cos (nx)dx = 0. Deci, seria Fourier asociată lui / are

-7T

următoare ^ bn sin (nx) .n > l

; este o funcţie pară, atunci

2 / ’7ran = — f (x) cos (nx) dx.

/ este o funcţie impară, atunci

2 f nbn = — / / (x) sin (nx) dx.

n J o:• b R este integrabilă pe [a, 6], considerăm g: [—7T, 7r] —>■ R definită

:ile= o

1.

9{y) = f

Fourier asociată lui g este

a + b ^ (b — a)y2n

n >l

seria Fourier asociată lui / este

»>1 b — aT17T \ / n7T

an cos ţ ------ (2x — a — b) + bn sin I ------ (2x — a — b)

an = 7— [ f 0*0 C( b - a j a2-------------- f b

bn = 7----- / / 0*0 Si d Ja

nn b — a nn

b — a

45

b — a

(2x — a — b)

(2x — a — b)

dx;

dx.


> Exemplul 8. Fie / : [—1,1} —>■ BL / (x ) = x . Deoarece / este o funcţie impară,

2/an = 0,Vn > 0 şi bn = — (—l)n+1, Vn > 1.

n tt

Atunci~ . 21 ^ ( - l ) n+1 . mrxf (x) = — > -— -sin—p - , x 6 R.J v ’ tt ^ n l

n> 1

> Exemplul 9. Fie / : [—/,/] —> R, / (x) = x2. Deoarece / este o funcţie pară,

2/2 4Z2 ( - l ) n6n = 0, a0 = — şi an = -----rT ~ > Vn - 1-3 TT TI

\n' ri7TXAtunci

~ v l2 4cl2 (“ l )7 TtVlX'

n>l

Exerciţii

Să se determine dezvoltările în serie Fourier de funcţii 27r-periodice definite p<o perioadă prin:

1. f (x) = x, x E (0,27r]; 3. / (x) = |sinx|, x G (0, 27t];

x € ( —7T,0] 4 - / ( ® ) = e*, * € ( - * , * ] ;

x G [0 ,7 r ] ; 5. f (x ) — ex , x €. (0,2tt],

6 . Fie / funcţia 27r-periodică definită pe (—7r,7r] prin

/o*or tt- x ,\ 7T + X,

X € [0, 7r]X € ( —7T, 0] .

Să se afle dezvoltarea acestei funcţii în serie Fourier şi să se calculeze

E — -J (Onr> _Ln>0 (2 n + l ) 4

46


Să se dezvolte în serie Fourier următoarele funcţii:

- / x ) = X3, X € [—71-, 71-];

* , _ / ~ h> X e [-n,™]- x) 1 h, x <E (0 , tt] ;

* ri =

.* .r) =

- 2 x , X G [—7T,0] 3rc, x G [0,7r ] ;

—X , X G [—7T, 0] 0, x G [0 ,7r] .

li* Să se dezvolte în serie Fourier funcţia dată pe intervalul [0, 7r] prin expresia f jp z = 7r — 2x prelungind-o pe [—7r, 0]:

a în mod par; b) în mod impar.<

1EL Să se dezvolte în serie Fourier funcţia dată pe intervalul [0, n] prin expresiaI f x = x2 prelungind-o în mod impar pe [—7r, 0].

E&* Fie / funcţia de perioadă 2, definită prin

Pe f 5 ’ 1 = 0n / \ cos 7rx, a; G (0,1)

/ ( * ) = < i ~ 2 » ;r = 1

0, x € (1, 2).

i i se determine seria Fourier a lui / şi să se arate că aceasta converge către / (x ) y-in-ii orice x.

14. Fie / o funcţie T-periodică; să se scrie pentru această funcţie inegalitatea lui Btesel şi egalitatea lui Parseval.

|lSw Se consideră / o funcţie 27r-periodică. Spunem că / este impar-simetrică dacă j# r ~ tt) = —/ (x). Să se demonstreze că d2P ( / ) = &2p ( / ) = 0.

M l Dacă seria (|an| + |6n|) este convergentă, atunci există o funcţie continuă şin> 1

pr-periodică / astfel încât an = an ( / ) şi bn = bn ( / ) . Ce se poate spune dacă seria y P (|an| + |6n|) este convergentă?

47


17. Să se arate că se poate găsi un şir de numere (an)n> 1 astfel încât seria

sin x + ^ an sin (2n + l ) xn> 1

să aibă o sumă constantă pentru x G (0, 7r). Să se determine an şi suma seriei. Si se calculeze V ----------- 2 .

n> 1 (2 n + 1) '

48

siruri si serii de functii.cap ii

Documents