formule matematica
TRANSCRIPT
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 1
TESTAREA NA IONAL 2006
Matematic – Program
Defini ii i formule
Aritmetic i AlgebrMul imi
Mul imi: rela ii (apartenen , egalitate, incluziune); submul ime; opera ii cumul imi (reuniunea, intersec ia, diferen a, produsul cartezian). Mul imifinite, mul imi infinite.
A ∪ B = B ∪ A = { x | x∈ A sau x ∈ B } ReuniuneaA ∩ B = B ∩ A = { x | x∈ A i x ∈ B } Intersec iaA – B = { x | x∈ A i x ∉ B } Diferen aB – A = { x | x∈ B i x ∉ A } Diferen aA ∆ B = B ∆ A = ( A – B ) ∪ ( B – A ) Diferen a simetric( A ∪ B ) – ( A ∩ B ) = A ∆ B
A B
card ( A ) = nr. de elemente din A Cardinalcard ( Φ ) = 0card ( A ∪ B ) ≤ card ( A ) + card ( B )
A x B = { ( x ; y ) | x∈ A i y ∈ B ) Produs carteziancard ( A x B ) = card ( A ) x card ( B )
Dac : A = {1;2} B = {4,5,6}Atunci : A x B = {(1;4),(1;5),(1;6),(2;4),(2;5),(2;6)}card(A x B) = 2.3 = 6
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 2
Dac : A = [1; +∞) B = [2 ; 3]Atunci : A x B = {(x;y) | x∈ [1; +∞) i y ∈ [2 ; 3]}card(A x B) = ∞⋅∞ = ∞
Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n = 2)1n(n +⋅
Sn = Suma nr. naturale
Mul imi de numere : Naturale: NÎntregi : ZRa ionale : Q
Reale : RIra ionale : R-QRela ie : N⊂Z⊂Q⊂R.
N = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... , n , ...Z = ... –n , ... -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ..., n , ...
Q = }0q Z,q,p|qp{ ≠∈
Scrierea numerelor naturale în baza zece, exemplu :n = 4.100 + 7.101 + 0.102 + 2.103 = 2074
Propozi ii adev rate i propozi ii false : (A) , (F).Împ irea cu rest a numerelor naturale. D = I . C + R
Divizibilitatea în N: defini ie, divizor, multiplu;Propriet i ale rela iei de divizibilitate;Criteriile de divizibilitate cu : 2, 5, 3, 9, 10 ;Numere prime au ca divizori doar pe 1 i pe el însu i :1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , …Numere compuse = 2.3 , 17. 23 , 29.32 .57 , ...Numere pare : 0 , 2 , 4 , 6 , ... , 2.k , ..... k ≥ 0Numere impare : 1 , 3 , 5 , 7 , ... , 2.k+1... k ≥ 0Numere prime între ele : Numere cu c.m.m.d.c. = 1Descompunerea unui num r natural în produs de puteri de numere prime :24 = 23 . 3 ; 162 = 2. 34 ; 2500 = 22 . 54 ; ....Cel mai mare divizor comun : Factori comuni la puterea cea mai mic .Cel mai mic multiplu comun : Factori comuni i necomuni la puterea cea mai mare.
y
x1
32
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 3
Divizibilitatea în Z: defini ie, divizor, multiplu.
Frac ie; frac ii subunitare, echiunitare, supraunitare; reprezent riechivalente ale frac iilor;Frac ii ireductibile : Frac ie care nu se mai poate simplifica.Scrierea unui num r ra ional sub form zecimal sau frac ionar .
Reprezentarea pe ax a numerelor reale.Compararea i ordonarea numerelor reale. x dac x>0Valoarea absolut (modul) : | x | = 0 dac x=0 – x dac x< 0Calcule cu modulul unei expresii:1. | ax + b | < c ⇔ – c < ax + b < c ⇔ – b – c < ax < – b + c2. |ax + b | > c ⇔ ax + b > c sau ax + b < – c (reuniune de intervale)Opusul unui num r este num rul cu semn schimbat : 25 cu – 25.
Num rul invers al num rului n este n1 : 25 cu 25
1
Parte întreag , parte frac ionar : [x] ∈ Z, {x} > 0 ∀ x ∈ R
[x] = x – {x}
Exemple :[2,64] = 2 = 2,64 – 0,64 > 0[– 2,64] = – 3 = (–2,64) – (1–0,64) < 0
{2,64} = 0,64 >0{– 2,64} = ( 1 – 0,64) = 0,36 >0
Rotunjirea i aproximarea unui num r real :
2,1542 ≈ 2,1543,5729 ≈ 3,573π ≈ 3,1415926 ≈ 3,14
2 ≈ 1,413 ≈ 1,73
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 4
Intervale în R: defini ie, reprezentare pe ax . Mul imea R are putereacontinuului : oric rui num r real îi corespunde un punct pe dreapta x`x ioric rui punct de pe dreapta x`x îi corespunde un num r real .Opera ii cu numere reale: adunarea, sc derea, înmul irea, ridicarea la puterecu exponent num r întreg:
am . an = am+n
am : an = am-n
(am)p = amp
a-n = 1 : an = a0 : an = a0-n =(am . bn)p = amp . bnp
cina p trat a unui num r natural p trat perfect:|x|x 2 =
Extragerea r cinii p trate dintr-un num r ra ional pozitiv; algoritmul deextragere a r cinii p trate; scrierea unui num r real pozitiv ca radical din
tratul s u. Ordinea efectu rii opera iilor i folosirea parantezelor.Factorul comun: 24412432)13(323232 12242434 ===+=+
Reguli de calcul cu radicali : abba = ,ba
ba
= cu b≠0
Introducerea factorilor sub radical: baba 2=
Scoaterea factorilor de sub radical: bcbcacba 2525134 =
Radicali suprapu i – formula de calcul:
2ca
2caba −
±+
=± cu bac 2 −=
Ra ionalizarea numitorului de forma )ba(;)ba( ± cu NZ ∈∈ ba *, .Media aritmetic i media aritmetic ponderat :
3zyxm a
++= unde p1 , p2 , p3 = ponderi
na1
321
321p ppp
zpypxpm
++++
=
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 5
Media geometric a dou numere reale pozitive se mai nume te i mediepropor ional :
abmg = ⇔ bm
ma g
g
=
Rapoarte i propor ii
Raport : Câtul neefectuat al dou numere : ba
Propor ie : Egalitatea a dou rapoarte : dc
ba
=
Proprietatea fundamental a propor iilor : ad = bc
Propor ii derivate: Cu aceea i termeni Cu termeni schimba i
Aflarea unui termen necunoscut dintr-o propor ie: dc
bx
= => dbcx =
ir de rapoarte egale : kdcbzyx
dz
cy
bx
=++++
===
x = bk y = ck z = dk
rimi direct propor ionale:
rimi invers propor ionale:
Regula de trei simpl :
m............................................an.............................................x_________________________
Dac : m,a i n,x sunt m rimi direct propor ionale => mna x
xa
nm
=⇒=
dz
cy
bx
==
d1z
c1y
b1x
==
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 6
Dac : m,a i n,x sunt m rimi invers propor ionale => amn x
x1a
n1m
=⇒=
Procente: Afla i 12% dintr-un num r real : 140 :
140................................100% x..................................12%
__________________________
Aflarea unui num r ra ional y, când cunoa tem c 15% din el este 12:
y..................................100%12....................................15%_________________________
Aflarea raportului procentual. Dac num rul n=150, cât la sut reprezintnum rul m=60 din num rul n ?
150…………………….100% 60……………………..x%
________________________
Rezolvarea problemelor în care intervin procente.
Calculul probabilit ii de realizare a unui eveniment utilizând raportul:num rul cazurilor favorabile = m / num rul cazurilor posibile = n.
8,16%100%1680
100%12%140x ==
⋅=
8015
1200%15
%10012y ==⋅
=
%40150
%6000150
%10060%x ==⋅
=
1nmp0 <=<
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 7
Calcul algebric
Calculul cu numere reprezentate prin litere: adunarea, sc derea, înmul irea,împ irea, ridicarea la putere cu exponent num r întreg.Formule de calcul prescurtat: ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2
( a + b )( a – b ) = a2 – b2
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
Descompunerea în factori: metoda factorului comun; utilizarea formulelorde calcul prescurtat; gruparea termenilor :Suma i diferen a de cuburi : a3 + b3 = ( a + b )(a2 ab + b2) a3 b3 = ( a b )(a2 + ab + b2)
Binomul la puterea a treia : ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a b )3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere:
)4x2x()3x()x(E
-2 x0)4x2x()2x()(C.)4x2x()2x(
)3x()2x(8x
6x5x)x(E
2
223
2
+−+
=
⇒≠⇒≠+−⋅+∃+−⋅+
+⋅+=
+++
=
Rezolvarea ecua iei : x2 + 5x + 6 = 0 a=1; b=5; c=6;∆ = b2 – 4ac∆ = 52 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1
3 x2 x2
152
15a2
bx 212,1 −=−=⇒±−
=±−
=∆±−
=
ax2 + bx + c ≡ a.(x – x1).(x – x2)
x2 + 5x + 6 ≡ 1.[x – (–2)].[x – (–3)] = (x+2)(x+3)
Simplificare. Opera ii cu rapoarte (adunare, sc dere, înmul ire, împ ire,ridicare la putere cu exponent num r întreg).
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 8
)3x)(3x(5x
)3x)(3x(2)3x(
)3x)(3x(2
)3x(1
9x2
)3x(1
2 +−+
=+−
++=
+−+
−=
−+
−
Diferen e de puteri :
x2 – 1 = ( x – 1 )( x + 1 )x3 – 1 = ( x – 1 )( x2 + x + 1 )x4 – 1 = ( x – 1 )( x3 + x2 + x + 1 )…………………………………..xn – 1 = ( x – 1 )( xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1 )
Deci suma S = xn-1 + xn-2 + xn-3 + … + x + 1 se poate calcula =>
Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + bx = 0(c = 0)2x2 + 6x = 0 => 2x.(x + 3) = 0 => x1 = 0 x2 = – 3
–x2 + 4x = 0 => –x.(x – 4) = 0 => x1 = 0 x2 = 4
Rezolvarea ecua iei de gradul doi, forma incomplet : ax2 + c = 0(b = 0)3x2 + 5 = 0 => Suma a dou numere pozitive este pozitiv oricare ar fi x real, deci ecua ia 3x2 + 5 = 0 nu are r cini reale
–x2 + 5 = 0 => –x2 = –5 => x2 = 5 5x 2,1 ±=
–x2 + 5 = )5x)(5x( −+−
Sau :
4x2 – 25 = 0 => (2x+5)(2x–5) = 0 => 25 x
25x 21 =
−=
–x2 + 4 = 4 – x2 = ( 2 – x)( 2 + x)
)33x2)(
33x2()
31x2)(
31x2(
31x2 2 +−=+−=−⋅
1x1xS
n
−−
=
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 9
Func iiSistem de axe ortogonale: xx` ⊥ yy` i xx` ∩ yy` = {O}, O(0 ; 0)Reprezentarea punctelor în plan: A(1 ; 2) A∈ Cadran I B(–3 ; 5) B∈ Cadran II C(–7 ; –2) C∈ Cadran III D(8 ; –9) D∈ Cadran IVRezolvarea unor probleme de geometrie plan pornind de la reprezentareapunctelor într-un sistem de axe ortogonale.
No iunea de func ie; func ii de tipul ( ) ,baxxf,A:f +=→ R unde R∈ba, i Amul ime finit sau R=A ;Reprezentarea grafic a acestor func ii. Aflarea mul imii valorilor uneifunc ii de tipul ,)( baxxf,A:f +=→ R
Exemplu 1:f(x) = 2x 6 f(x) : R → RGf ∩ xx` y = 0 2x – 6 = 0 => A(3 ; 0)Gf ∩ yy` x = 0 y = –6 => B(0 ; –6)Trasez dreapta (d) prin cele dou puncte A, Bunde (d) = Gf ( graficul func iei f(x) )
Exemplu 2:R∈ba, i A mul ime finit .
f(x) = –3x + 9 f(x) : [–1 ; 2] → Rf(-1) = –3(–1) + 9 = 3 + 9 = 12 => A(–1 ; 12)f(2) = –3(2) + 9 = –6 + 9 = 3 => B(2 ; 3)Gf ∩ xx` y = 0 –3x + 9 = 0 => x = 3 ∉ [–1 ; 2]
Exemplu 3:g(x) = | x 2 | g(x) : R → R
x 2 dac x 2 > 0 x∈(2 ; +∞)g(x) = 0 dac x 2 = 0 x = 2 (x 2) dac x 2 < 0 x∈ ∞ ; 2)
Se reprezint grafic g(x) pe intervalele specificate mai sus.
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 10
Determinarea unei func ii de tipul ( ) baxxff +=→ ,: RR , unde R∈ba, , alrei grafic con ine dou puncte:
Fie A(1 ; 2) i B(2 ; -3). Se cere f(x) = ax + b al c rei grafic trece prinpunctele men ionate:f(1) = 2 = a.(1) + bf(2) = –3 = a.(2) + bSe rezolv sistemul de ecua ii a + b = 2 2a + b = 3=> a = 5 b = 7=> f(x) = 5x + 7
Exerci ii de investigare a coliniarit ii unor puncte cunoscând coordonateleacestora.Intersec iile graficului unei func ii liniare cu axele de coordonate.Intersec ia graficelor a dou func ii liniare:Fie f(x) = 3x 9 g(x) = x 5Se cere punctul de intersec ie al celor dou grafice Gf ∩ Gg =>Se rezolv sistemul de ecua ii :
y = 3x 9y = x 5 3x – 9 = –x – 5 4x = 4 x = 1, y = –6,
deci M(1 ; –6) = Gf ∩ GgDrepte perpendiculare : Gf ⊥ Gg cu f(x) = ax + b g(x) = cx + d ⇔
⇔
Exemplu : fie f(x) = 4x + 5 Atunci orice func ie
cu d orice num r real, are graficul, o dreapt perpendicular pe graficulfunc iei f(x).
Drepte paralele în planul xOy: Gf || Gg ⇔ dac coeficien ii lui x suntegali. Exemplu : f(x) = 3x+8 g(x) = 3x+11 Gf || Gg h(x) = 4x+7 k(x) = 4x 1 Gh || Gk
dx41)x(g +
−=
a1c −=
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 11
Ecua ii i inecua iiRezolvarea în R a ecua iilor de forma RR ∈∈=+ babax *,,0 .Ecua ii echivalente.Rezolvarea în R a ecua iilor de forma 002 ≠∈=++ acbacbxax ,,,, R .Dac a≠0 b≠0 c≠0 se rezolv forma complet a ecua iei de gradul II :Calculez ∆ = b2 4acDac ∆ ≥ 0 atunci calculez r cinile x1 i x2 astfel :i trinomul (ax2 + bx + c) se mai poate scrie astfel :
ax2 + bx + c = a.(x x1)(x x2) , form factorizat .
Rezolvarea în R x R a sistemelor de ecua ii de forma:
=+=+
222
111
cybxacybxa
, R∈212121 ccbbaa ,,,,, . Condi ie a1b2 a2b1 ≠ 0
-metoda reducerii, metoda substitu iei i metoda grafic de rezolvare.
Rezolvarea în R a inecua iilor de forma ( )>≥<≤+ ,,0bax , RR ∈∈ ba *, .x > a ⇔ x∈( a ; +∞)x ≥ a ⇔ x∈[ a ; +∞)x < a ⇔ x∈( ∞ ; a)x ≤ a ⇔ x∈( ∞ ; a]
Inegalitatea mediilor
Inecua ii simultane ( )>≥<≤+ ,,0bax 4.x – 2 > 0 x ∈ ( 2 ; +∞) 2.x + 6 > 0 x ∈ ( ∞ ; 3) ⇒ x∈(2 ; +∞) ∩ ( ∞ ; 3) = (2 ; 3) ;
Probleme cu caracter aplicativ care se rezolv cu ecua ii, inecua iii al sistemelor de ecua ii. Aplica ii în geometrie plan i în spa iu.
Utilizarea metodei algebric pentru rezolvarea unei probleme :
timp. tundedeplasare)deviteza(tsv
lucru);deviteza(normat
Lucrarencurgere);deviteza(debitt
Volq
==
==
a2
bababab0 ≤+
≤⋅≤⇒≤≤
a2bx 2,1
∆±−=
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 12
GEOMETRIE
surare i m suri (lungime, unghi, arie, volum):- transform ri (inclusiv 1dm3 = 1 litru).
1. Punctul, dreapta, planul, semiplanul, semidreapta, segmentul dedreapt , unghiul- Pozi ii relative, clasificare;- Paralelism i perpendicularitate în plan i în spa iu;- Axioma paralelelor : Printr-un punct exterior unei drepte se poate
duce o singur paralel la acea dreapt .- Unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau
suplementare.- Unghiul a dou drepte în spa iu se ob ine ducând o paralel la una din
drepte printr-un punct situat pe cealalt dreapt .- Dreptele perpendiculare au m sura unghiului dintre ele de 90°.- Dreapta perpendicular pe un plan : O dreapt este perpendicular pe
un plan dac este perpendicular pe dou drepte concurente din plan.- O dreapt este || cu un plan dac este || cu o dreapt con inut în plan.- Distan a de la un punct la un plan : Este lungimea segmentului de
dreapt , coborât din acel punct perpendicular pe plan.- Plane paralele; distan a dintre dou plane paralele;- Teorema celor trei perpendiculare T3P : Fie o dreapt d i planul α
a.î. d⊥α, d∩α=A, d1⊂α, d2 ⊂α, A∈d1, d1∩d2=B, d1⊥d2,Atunci oricare ar fi M∈d, segmentul MB⊥d2.
- Distan a de la un punct la o dreapt este lungimea segmentului dedreapt , coborât din acel punct perpendicular pe dreapta dat .
- Proiec ia ortogonal a unui punct, segment sau a unei drepte pe unplan;
- Unghiul unei drepte cu un plan este unghiul dintre dreapt i proiec iaei în acel plan.
- Lungimea proiec iei unui segment : Lp = L.cosϕ, unde L = lungimeasegmentului i ϕ este unghiul dintre segmentul de dreapt i plan.
- Unghi diedru: Este unghiul dintre dou plane. Este determinat de doudrepte, situate fiecare în câte un plan i perpendiculare în acela i punctM, pe dreapta de intersec ie dintre cele dou plane.
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 13
- Unghiul plan corespunz tor unui unghi diedru; m sura unghiului adou plane este m sura unghiului ascu it format de cele dou plane.
- Plane perpendiculare : α⊥β ⇔ m sura unghiului diedru este 90°.- Simetria fa de o dreapt în plan, simetria fa de un punct în plan;
2. Triunghiul- Perimetrul i aria : P∆ABC = a + b + c ; A = ; A = r . p ;
2hBazaA;
R4abcA ⋅
== unde 2Pp = r = raza cercului înscris ;
R = raza cercului circumscris ∆ ABC, a = BC, b = CA, c = AB. A = )cp)(bp)(ap(p −−− formula lui Heron- Suma m surilor unghiurilor unui triunghi este de 180°.- Unghi exterior unui triunghi are ca m sur suma unghiurilor neadiacente lui.- Linii importante în triunghi i concuren a lor:
In imea este perpendiculara coborât dintr-un vârf al ∆ ABC pe latura opus . In imile sunt concurente în punctul H, numit ortocentru.
Bisectoarea unui unghi al ∆ ABC este segmentul de dreapt ce împarte unghiul în dou p i congruente. Bisectoarele sunt con- curente în punctul I, centrul cercului înscris în ∆ ABC.
Mediana este segmentul de dreapt ce une te un vârf al ∆ ABC cu mijlocul laturii opuse. Medianele sunt concurente în G, numit centrul de greutate al ∆ ABC. Punctul G este situat la o treime de baz i dou treimi de vârf, distan e m surate pe fiecare median .
Mediatoarea este perpendiculara ridicat pe mijlocul unei laturi al ∆ ABC. Mediatoarele sunt concurente în punctul O, centrul cecului circumscris ∆ ABC.- Linia mijlocie în triunghi une te mijloacele a dou laturi i este
paralelel cu a treia latur . Are lungimea egal cu jum tate dinlatura a treia a ∆ ABC.
- Triunghiul isoscel i triunghiul echilateral – propriet i;- Criteriile de congruen a triunghiurilor : LUL, ULU, LLL.- Triunghiul dreptunghic – Teorema în imii: Lungimea în imii AD este medie geometric (propor ional ), între lungimile segmentelor determinate de ea pe ipotenuz : h2 = BD.DC
2Csinab
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 14
Teorema catetei : Lungimea unei catete AB, este medie geometric (propor ional ) între lungimile iptenuzei i proiec ia ei pe ipote- nuz : AB2 = BD.BC Teorema lui Pitagora i reciproca ei : BC2 = AB2 + AC2
AB2 = BC2 AC2
- Trigonometrie : sinx, cosx, tgx, ctgx; Triunghiul dr. ABC.Fie ∆ ABC cu m(∠A) = α = 90° atunci m(∠B)+ m(∠C)= 90°m(∠B)=β i m(∠C)= δ ⇒
bcctg
cb tg
accos
absin ==== ββββ
sin2β + cos2β = 1 (β + δ) = 90°
ββ
ctg1tg = tg(90° β) = ctgβ
sin(90° β) = cosβ cos(90° β) = sinβ
α 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 021
22
23 1
cosα 123
22
21 0
tgα 033 1 3 +∞
ctgα +∞ 3 133 0
Formule de calcul :ββ
ββ
ββ
α
ββββ
sincos
tg1ctg
cossin tg
sin1coscos1sin 22
===
−=−=
Teorema sinusurilor : (∆ ABC scalen)
R2Csin
cBsin
bAsin
a=== unde R = raza cerc circumscris
Teorema cosinusurilor : (∆ ABC scalen) a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cosA
A
B C
bc
aβ
α
δ
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 15
Teorema bisectoarei : Fie ∆ ABC scalen i AD bisectoarea ∠A,
Atunci exist egalitatea : CADC
BADB
=
- Teorema lui Thales i reciproca ei : O paralel la o latur a unui∆ ABC determin pe celelalte dou laturi segmente propor ionale.
Reciproca: Dac : NCAN
MBAM
= Atunci MN || BC
- Teorema fundamental a asem rii : Dac dou triunghiuri ABCi MNP sunt asemenea atunci triunghiurile au laturile propor ionalei unghiurile corespunz toare congruente :
PMCA
NPBC
MNAB
==
- Triunghiuri asemenea – criteriile de asem nare a triunghiurilor :dou triunghiuri sunt asemenea dac :
• au câte dou unghiuri congruente (I)• câte un unghi congruent i laturile ce formeaz acest unghi
sunt propor ionale (II)• au toate laturile propor ionale (III)
3. Patrulaterul convex- Paralelogramul : P = 2. (AB + CD)
A = AB.h 2sinBDACAABCD
α⋅⋅= , unde α este m sura unghiului
dintre diagonalele paralelogramului AC i BD i h este în imea.Paralelogramul – propriet i referitoare la laturi, unghiuri, diagonale:AB || CD, BC || DA, AB = CD, AD = BC, m(∠D)+m(∠A)=180°, Deoarece: sinα = sin(180° α) = sinβ
A∆AOD = 2sinDOAO α⋅⋅
⇒
A∆AOD = A∆AOB = A∆BOC = A∆COD
A
B C
M N
A B
CD
Oα
β=180°-αh
W
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 16
2sinBDACAABCD
α⋅⋅= , Diagonalele se înjum esc, m(∠D)=m(∠B)
m(∠A)=m(∠C)
- Dreptunghiul : P = 2. (AB + CD), A=AB.BC.
- Rombul : P = 2. (AB + CD), 2BDACA ⋅
= , AC ⊥ BD (diagonale).
- tratul : P = 4.L, A = L2, AC ⊥ BD (diagonale).
- Trapezul : P = AB + BC + CD + DA, hLA M ⋅= , 2bBLM
+=
LM = MN = linie mijlocie
ABCDABCD2
bBBb2RT
2ABCD
2bBPQ
+⋅⋅
=+
=
−=
−=
Lungimea segmentului RT este medie armonic între B i b. Trapeze particulare:
Isoscel: AC = BD , m(∠A)=m(∠B), m(∠C)=m(∠D) Dreptunghic : m(∠A)=m(∠C) = 90°
- Suma m surilor unghiurilor unui patrulater convex = 360°
4. Cercul- Centru O, raz R, diametru AB=CD,
LC = 2.π.R AC = π.R2
- Unghiul la centru : ϕ = m(GB) unde ϕ=m(∠GOB) i GB = arc
- LGB = o
o
180nR ⋅⋅π reprezint lungimea arcului de no.
- Sector de cerc = Suprafa a GOB => AGOB = o
o
360nR 2 ⋅⋅π
- Coarde i arce în cerc (la arce congruente corespund coardecongruente i reciproc);
- Proprietatea diametrului perpendicular pe o coard : Împarte coardaîn dou p i congruente.
A B
D C
M N
O
P Q
R T
C
BA
D
O
GR
ϕ
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 17
- Propr. arcelor cuprinse între dou coarde paralele: sunt congruente.- Proprietatea coardelor egal dep rtate de centru: sunt congruente.- sura unghiului înscris în cerc este egal cu m sura arcului cuprins între raze ( vezi mai sus unghiul ϕ )
- Pozi iile relative ale unei drepte fa de un cerc :- Exterioar cercului : nu intersecteaz cercul.
- Tangent cecului : intersecteaz cercul într-un singur punct în care raza i tangenta la cerc sunt ⊥. - Secant cercului : intersecteaz cercul în dou puncte .
- Cercul înscris într-un triunghi are centrul la intersec ia bisectoarelorunghiurilor triunghiului, notat I i raza r egal cu :
trulsemiperime2
cbap,AriaAundep
Ar ABCABC =
++=∆== ∆
∆
- Cercul circumscris unui triunghi are centrul la intersec ia media-toarelor, notat O, i raza R egal cu :
ABCLaturilecb,a,,AriaAundeA4
cbaR ∆=∆=⋅
⋅⋅= ∆
∆
Lungimea cercului = LC = 2.π.R- Aria discului = AC = π.R2 ( Aria cercului )
- Calculul elementelor în poligoane regulate: triunghi echilateral, p trat,hexagon regulat (Latur , Apotem , Perimetru, Arie, tiind raza: R).
L a P A
∆ ABC 3R ⋅2R
3R3 ⋅⋅4
3R3 2 ⋅⋅
Patrat 2R ⋅2
2R ⋅2R4 ⋅⋅ 2R2 ⋅
Hexagon R2
3R ⋅ 6.R2
3R3 2 ⋅⋅
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 18
5. Corpuri geometrice
Poliedre:
• Prisma dreapt cu baza triunghi echilateral, dreptunghi, p tratsau hexagon regulat;
• Cubul;• Piramida regulat (baza triunghi echilateral, p trat sau hexagon
regulat).• Trunchiul de piramid regulat (baza triunghi echilateral, p trat
sau hexagon reg.). Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume.
- reprezentarea lor prin desen;- elementele lor (vârfuri, muchii, fe e laterale, baze, diagonale, în imi);- desf ur ri;- sec iuni paralele cu baza;- aria lateral , aria total , volumul.
Prisma AL = Pbazei. h
AT = AL + 2Abazei V = Abazei
. h d = 222 hlL ++ ( lungimea diagonalei paralelipipedului dr.)
Cubul AL = 4.a.a = 4.a2 ( latura cubului se noteaz a ) AT = 6.a2
V = a3
d = 3aa3 2 ⋅=⋅ ( lungimea diagonalei cubului )
Piramida regulat AL = piramideiapotemaaunde2
aPp
pbazei =⋅
AT = AL + Abazei
V = bazeiA3h
⋅
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 19
Trunchiul de piramid regulat AL = 2a)PP( .trbB ⋅+
AT = AL + AB + Ab
V = )AAAA(3
hbBbB
.tr ⋅++⋅
(aB – ab)2 + htr.2 = atr.
2
Corpuri rotunde:
• Cilindrul circular drept,• Conul circular drept,• Trunchiul de con circular drept
Raport de asem nare liniar k, k2 pt. arii, k3 pt. volume• Sfera.
- reprezentarea lor prin desen;- elementele lor (raze, generatoare, baze, în imi);- desf ur ri;- sec iuni paralele cu baza;- sec iuni axiale;- aria lateral , aria total , volumul.
Cilindrul circular drept AL = 2.π.R.G AT = 2.π.R.G + 2π.R2 = 2.π.R(G+R) V = Abazei
. h = π.R2.h
Conul circular drept AL = π.R.G AT = π.R.G + π.R2 = π.R(G+R)
V =2R
3h
⋅⋅π
o
o
o
o
o
o
360n
GRsinGR
360nGAR2
180nGL
2
sectarc ==⋅⋅=⋅⋅
=⋅⋅=⋅⋅
= αππ
ππ
MATEMATIC – Programa pentru testarea na ional 2006 20
Trunchiul de con circular drept AL = π.(R+r).G AT = π.(R+r).G + π.(R2+r2)
V = )rRrR(3h 22 ⋅++⋅⋅π
(R – r)2 + h2 = G2
Raport de asem nare liniar k, k2 pentru arii, k3 pentru volume.
Sfera AS = 4.π.R2
VS = 3R4 3⋅⋅π
OP = OV = OE = ON = OS = R
P = punct curent de pe sfer .
OK !
Succes la Examen ! 01.05.2006
P
N
EV
S
O