1 Ecuatii

1.1 Rezolvarea ecuatiilor de gradul I

Fie ecuatia ax+ b = 0) ax = �b:

a 6= 0

8<: (DA) x = � ba solutie unic¼a

(NU) b 6= 0�(DA) ecuatia are o in�initate de solutii x 2 R(NU) x 2 ?

1.2 Rezolvarea ecuatiilor de gradul II

Fie ecuatia ax2 + bx+ c = 0:

� = b2�4ac

8><>:� > 0) ecuatia are 2 solutii reale si distincte: x1;2 = �b�

p�

2a

� = 0) ecuatia are o singur¼a solutie x1 = x2 = �b2a

� < 0) ecuatia are 2 solutii complexe conjugate x1;2 =�b� i

p��

2a

1.3 Relatiile lui Viete

Fie x1; x2 solutiile ecuatiei ax2 + bx+ c = 0:

Not¼amS = x1 + x2 ) S = � b

aP = x1 � x2 ) P = c

a

iarx21 + x

22 = S

2 � 2px31 + x

32 = S(S

2 � 3p)

1.4 Semnul r¼adacinilor ecuatiiei de gradul II

Fie x1; x2 2 R r¼ad¼acinile ecuatiei ax2 + bx+ c = 0:

Dac�a

P < 0) x1 > 0; x2 < 0

P > 0S < 0) x1 > 0; x2 < 0 si x1 < jx2jS > 0) x1 > 0; x2 < 0 si x1 > jx2j

P = 0) x1 = 0; x2 2 R

2 Functii

2.1 Functia de gradul I

De�nim f : R! R f(x) = ax+ b:

1

Gra�cul este o dreapt¼a.

f(x) = ax+ b

8<: cresc¼atoare dac¼a a > 0descresc¼atoare dac¼a a < 0constant¼a dac¼a a = 0

:

x

y

a>0

x

y

a<0

x

y

a=1

2.2 Semnul functiei de gradul I

x �1 � ba +1

f(x) = ax+ b semn contrar lui a 0 semnul lui a

2.3 Functia de gradul II

De�nim f : R! R f(x) = ax2 + bx+ c:

Gra�cul este o parabol¼a�convex�a; dac¼a a > 0concav�a; dac¼a a < 0

:

În ambele cazuri vârful parabolei V (� b2a ;

��4a ):

Gra�cul poate arat¼a astfel :

x

y

a>0, � > 0

xy

a<0, � > 0

x

y

a>0, � = 0

2

xy

a<0, � = 0

y

x

a>0, � < 0

yx

a < 0; � > 0

2.4 Minimul sau maximul functiei de gradul II

a > 0! f(x) = ax2 + bx+ c admite un minim si fmin = � �4a si se realizeaz¼a

pentru x = � b2a :

a < 0! f(x) = ax2 + bx+ c admite un maxim si fmin = � �4a si se realizeaz¼a

pentru x = � b2a :

2.5 Monotonia functiei de gradul II

Dac¼a a > 0; functia e strict decresc¼atoare pe (�1;� b2a ) si cresc¼atoare pe

(� b2a ;1):

Dac¼a a < 0; functia e strict cresc¼atoare pe (�1;� b2a ) si decresc¼atoare pe

(� b2a ;1):

2.6 Semnul functiei de gradul II

1) � > 0; x1; x2 2 R:

x �1 x1 x2 +1f(x) = ax2 + bx+ c semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

2) � = 0; x1 = x2; x1; x2 2 R:

x �1 x1 = x2 +1f(x) = ax2 + bx+ c semnul lui a 0 semnul lui a

3 Siruri de numere

3.1 Progresii aritmetice. Progresii geometrice.

De�nitie. O functie de�nit¼a pe multimea N� a numerelor naturale nenule cuvalori într-o multime E de numere reale se denumeste sir de elemente alemultimii E.

3

De�nitie. Dou¼a siruri (an)n�1 si (bn)n�1 sunt egale dac¼a ak = bk 8 n 2 N�:

De�nitie. Un sir (an)n�1 este m¼arginit dac¼a 9 �; � 2 R astfel încât � � an �� 8 n � 1:

De�nitie. Un sir (an)n�1 este monoton dac¼a e cresc¼ator (a1 � a2 � ::: � an �an+1) sau descresc¼ator (a1 � a2 � ::: � an � an+1):

De�nitie. Un sir (an)n�1 este strict monoton dac¼a e strict descresc¼ator (a1 <a2 < ::: < an < an+1) sau dac¼a e strict descrescator (a1 > a2 > ::: > an >an+1):

De�nitie. Un sir (an)n�1 e progresie aritmetic¼a dac¼a diferenta oric¼aror doitermeni connsecutivi este constant¼a. a2�a1 = a3�a2 = ::: = an�an�1 = r; Dac¼a a; b; c sunt în progresie aritmetic¼a $ b = a+c

2 :

an= a1+(n� 1)r(formula termenului general al unei progresii aritmetice);

Sn=a1+an2 ;Sn= n a1+

n(n�1)2 r(formula sumei primelor n termeni ai unei progresii aritmetice)

.

Progresiile geometrice sunt siruri de numere reale ce au proprietatea c¼araportul oricaror doi termeni consecutivi este constant si egal cu ratiaprogresiei geometrice: a2

a1= a3

a2= ::: = an

an�1= q:Dac¼a a; b; c sunt în

progresie aritmetic¼a () b =pac:

an= a1qn�1(formula termenului general al unei progresii geometrice);

Sn=a1qn�1q�1 (formula sumei primelor n termeni ai unei progresii geometrice).

4 Ecuatii irationale

a)pf(x) = a ; C:E: f(x) � 0 =) f(x) = a2 ;

b)pf(x) = g(x) ; C:E

�f(x) � 0g(x) � 0 =) f(x) = g2(x) ;

c)pf(x)+

pg(x) =

ph(x) ; C:E

8>><>>:f(x) � 0g(x) � 0h(x) � 0

h(x)� f(x)� g(x) � 0

=)f(x) + 2

pf(x)g(x) + g(x) = h(x)

2pf(x)g(x) = h(x)� f(x)� g(x)

4f(x)g(x) = (h(x)� f(x)� g(x))2 ;

d)

3pf(x) + 3

pg(x) = 3

ph(x)

f(x) + g(x) + 3 3pf(x)g(x)h(x) = h(x)

3 3pf(x)g(x)h(x) = h(x)� f(x)� g(x)

27h(x)f(x)g(x) = (h(x)� f(x)� g(x))3;

4

5 Trigonometrie

M(a; b) ;M(cosx; sinx)

Dac¼a

M(a; b) 2 Cadranul I ) sinx > 0; cosx > 0;M(a; b) 2 Cadranul II ) sinx > 0; cosx < 0;M(a; b) 2 Cadranul III ) sinx < 0; cosx < 0;M(a; b) 2 Cadranul IV ) sinx < 0; cosx > 0;

sin2 x+ cos2 x = 1

sin(a� b) = sin a cos b� cos a sin b

cos(a� b) = cos a cos b� sin a sin b

tg(a� b) = tg a � tg b1�tg a tg b

ctg(a� b) = ctg a ctg b �1ctg a � ctg b

sin(�2 � x) = cosx

cos(�2 � x) = sinx

tg (�2 � x) = ctg x

ctg (�2 � x) = tg x

sin 2x = 2 sinx cosx

cos 2x = cos2 x� sin2 x = 2 cos2 x� 1 = 1� 2 sin2 x:

tg 2x = 2tg x1�tg2x

ctg 2x = ctg2x�12ctg x

sin 3x = 3 sinx� 4 sin3 x

cos 3x = 4 cos3 x� 3 cosx

sin x2 = �q

1�cos x2

cos x2 = �q

1+cos x2

tg x2 = �

q1�cos x1+cos x

tg x2 =

sin x1+cos x

tg x2 =

1�cos xsin x

5

ctg x2 =

1+cosxsin x

ctg x2 =

sin x1�cos x

sinx = tg xp1+tg2x

cosx = 1p1+tg2x

sinx =2tg x

2

1+tg2 x2

cosx =1�tg2 x21+tg2 x2

tg x =2tg x

2

1�tg2 x2

ctg x =1�tg2 x22tg x

2

sinx+ sin y = 2 sin x+y2 cos x�y2

sinx� sin y = 2 sin x�y2 cos x+y2

cosx+ cos y = 2 cos x+y2 cos x�y2

cosx� cos y = 2 sin x+y2 sin x�y2

tg x+ tg y = sin(x+y)cos x cos x

tg x� tg y = sin(x�y)cos x cos x

1 + cosx = 2 cos2 a2

1� cosx = 2 sin2 x2

sinx+ cosx =p2 cos(a� �

4 )

sin a� cos a =p2 sin(a� �

4 )

sinx cosx = sin(x+y)+sin(x�y)2

sinx sin y = cos(x�y)�cos(x+y)2

cosx cos y = cos(x+y)+cos(x�y)2

Produsul scalar a doi vectori nenuli �!u si �!v este �!u �!v = j�!u j j�!v j cos� unde� = (�!u ;�!v ):

Teorema cosinusului. Într-un triunghi oarecare ABC are loc relatia: a2 =b2 + c2 � 2bc cos a unde a; b; c sunt laturile triunghiului.

6

Teorema sinusului. Într-un triunghi oarecare raportul dintre lungimea�ec¼arei laturi si sinusul unghiului opus este constant si egal cu lungimeadiametrului cercului circumscris triunghiului: a

sinB =b

sinB =c

sinC = 2R:

Dac¼a not¼am cu p = a+b+c2 =)

sin A2 =q

(p�b)(p�c)bc

cos A2 =q

p(p�a)bc

tgA2 =q

(p�b)(p�c)p(p�a)

Formule pentru aria triunghiului.

S = �ho2 ; S = ac sinB

2 ; S =pp(p� a)(p� b)(p� c); S = abc

4R :

Not¼am cu r raza cercului înscris în triunghi. Atunci r = Sp unde S este

aria trungiului iar p este semiperimetrul.

6 Functia exponential¼a

Fie a > 0; a 6= 1: De�nim f : R ! R+ f(x) = ax se numeste functieexponential¼a

ax � ay = ax+y

ax : ay = ax�y

(ax)y = axy

(ab)x = axby

(ab )x = ax

by

Functia exponential¼a este functie bijectiv¼a.

ax = ay , x = y

ax = bx , x = 0

Monotonia. Dac¼a a 2 (0; 1) f(x) = ax este strict descrescatoare x < y , ax > ay

x > y , ax < ay

.Dac¼a a 2 (0; 1) este strict cresc¼atoare x < y , ax < ay

x > y , ax > ay

7

6.1 Gra�cele:

x

y

a>0

x

y

0< a <1

7 Functia logaritmic¼a

Fie a > 0 a 6= 1 f : R ! (0;1) f(x) = ax este bijectiv¼a adic¼a ecuatiaax; y cu y > 0 si necunoscuta x; are solutie unic¼a. Aceast¼a solutie estex = loga y si se numeste logaritmul în baz¼a a al num¼arului pozitiv y:

Deci x = loga yDef() ax = y ) aloga a = x si loga a = 1:

De�nitie. Fie a > 0; a 6= 1: Functia f : (0;1) ! R f(x) = logax senumeste functie logaritmic¼a de baz¼a a.

Functia logaritmic¼a este invers¼a functiei exponentiale si gra�cul functiei loga-ritmice este simetricul fat¼a de prima bisectoare a gra�cului functiei expo-nentiale.

x

y

a>0

x

y

0< a <1

7.1 Propriet¼ati ale functiei logaritmice:

a) loga1 = 0

b) dac¼a a > 1; f e strict cresc¼atoare adic¼a x < y ) loga x < loga y six > y ) loga x > loga y; iar dac¼a a 2 (0; 1); f e strict descresc¼atoareadic¼a x < y ) loga x > loga y si x > y ) loga x < loga y:

8

c) dac¼a a > 1; f e convev¼a pe (0;1); iar dac¼a a < 0 < 1; functia e concav¼a pe(0;1):

d) f e bijectiv¼a.

e) loga(xy) = loga x+ loga y

f) logaxy = loga x� loga x

g) loga xn = n loga x

h) logampxn = n loga x

m

g) loga x =loga xlogb a

(formula de schimbare a bazei ) în particular loga x =1

logx a

8 x > 0; x 6= 1

8 Ecuatii si inecuatii exponentiale sau logarit-

mice

In rezolvarea ecuatiilor exponentiale ne baz¼am pe injectivitatea functiei expo-nentiale ax = ay ) x = y; a 6= 1:

8.1 Tipurile clasice de ecuatii exponentiale:

a) Ecuatii de tipul af(x) = bb � 0) S = ?b = a� ) f(x) = �b 6= a�; b > 0) f(x) = loga b

:

b) Ecuatii de tipul af(x) = ag(x) ) f(x) = g(x)

c) Ecuatii de tipul �a2f(x) + �af(x) + = 0 care se reduce prin notarea luiaf(x) = t la o ecuatie de gradul doi iar apoi, prin revenirea la notatii, la 2ecuatii de tipul a).

d) Ecuatii de tipul �a2f(x) + �af(x)bf(x) + b2f(x) = 0 care se împarte lab2f(x) si apoi se noteaz¼a (ab )

f(x) cu t devine astfel o ecuatie de gradul doi:�t2 + �t + = 0 cu solutiile t1; t2: Problema revine la rezolvarea a dou¼aecuatii de tipul a) de forma (ab )

f(x) = t:

e) Ecuatii de tipul af(x)+bf(x) = c unde ab = 1: Se noteaz¼a af(x) = t se obtineo ecuatie de gradul al II-lea in t , se rezolv¼a si apoi problema revine larezolvarea a dou¼a ecuatii de tipul a):

9

8.2 Tipuri clasice de ecuatii logaritmice:

a) Ecuatii de tipul logf(x) g(x) = a C.E.f(x) > 0g(x) > 0f(x) 6= 1

: În aceste conditii g(x) =

f(x)a:

b) Ecuatii de tipul loga f(x) = loga g(x) C.E.f(x); g(x) > 0a > 0; a 6= 1 : În aceste

conditii ecuatia devine f(x) = g(x):

c) Ecuatii de tipul logg(x) f(x) = logg(x) h(x) C.E.f(x); g(x) > 0g(x) > 0; g(x) 6= 1 : În

aceste conditii se impune f(x) = h(x):

d) Ecuatii de tipul � log2g(x) f(x) + � logg(x) f(x) + = 0 8 �; �; 2 R

C.E.g(x) > 0; g(x) 6= 1f(x) > 0

: Se noteaz¼a logg(x) f(x) = t si ecuatia dat¼a re-

devine o ecuatie de gradul al II-lea. Revenind la notatie vom avea înfunctie de � 2,1 sau 0 ecuatii de tipul a).

9 Functii trigonometrice inverse.

Dac¼a functia sin : R ! [�1; 1] : Inversa functiei sin numita arcsin : [�1; 1] !���2 ;

�2

�; arcsin y = x , sin x = y pentru x 2

���2 ;

�2

�si y 2 [�1; 1] :

Dac¼a functia cos : R ! [�1; 1] : Inversa functiei cos numita arccos : [�1; 1] ![0; �] ; ar cos y = x , cos x = y pentru x 2

�0; �2

�si y 2 [�1; 1] :

Dac¼a functia tg : R n��2 + k� j k 2 Z

! R inversa functiei tg este arc-

tangent¼a si arctg : R !���2 ;

�2

�; arctg y = x , tg x = y pentru

x 2���2 ;

�2

�; y 2 R:

Dac¼a functia ctg : R n fk� j k 2 Zg ! R inversa functiei ctg este arccotan-gent¼a si arcctg : R ! (0; �) ; arcctg y = x , x = y pentru x 2 (0; �) ;y 2 R:

10 Ecuatii trigonometrice

O ecuatie în care necunoscuta apare ca argument al unei functii trigonometricese numeste ecuatie trigonometric¼a

10

Ecuatia sinx = a; a 2 R are solutii , a 2 [�1; 1]

Dac¼aa = 1 x 2

��2 + 2k� j k 2 Z

a = �1 x 2

�3�2 + 2k� j k 2 Z

jaj < 1 x 2 farcsin a+ 2k� j k 2 Zg [ f� � arcsin a+ 2k� j k 2 Zg

Ecuatia cosx = a; a 2 R are solutii , a 2 [�1; 1]

Dac¼aa = 1 x 2 f2k� j k 2 Zga = �1 x 2 f� + 2k� j k 2 Zg

jaj < 1 x 2 f�ar cosx+ 2k� j k 2 Zg [ far cosx+ 2k� j k 2 Zg

Ecuatia tg x = a are solutia x 2 farctg a+ k� j k 2 Zg :

Ecuatia ctg x = a are solutia x 2 farcctg a+ k� j k 2 Zg :

11 Elemente de combinatoric¼a

De�nitie. Se consider¼a o multime A cu n elemente, n 2 N�:Orice functie in-jectiv¼a f : f1; 2; 3; :::ng ! A se numeste permutare a multimii A. Num¼arultuturor permut¼arilor unei multimi A se noteaz¼a cu Pn si Pn = n!:

De�nitie. Fie A o multime cu n elemente, n 2 N� si �e k 2 N; k � n:Numim aranjamente de n elemente luate câte k, k � 1 ale multimii Aorice submultime ordonat¼a de k elemente.

Num¼arul tuturor aranjamentelor de n elemente luate cîte k se noteaz¼acu Akn si A

kn = n(n� 1):::(n� k + 1) sau Akn = Pn

Pn�k= n!

(n�k)! :

De�nitie. Fie A o multime cu n elemente, n 2 N� si k 2 N; k � n: Nu-mim combinare de n elemente luate cîte k elemente, a multimii A oricesubmultime cu k elemente a multimii A:

Num¼arul tuturor combin¼arilor de n elemente luate cîte k se noteaz¼a cuCkn si C

kn =

Akn

Pk= n!

k!(n�k)! :

Pn = 1 � 2 � ::: � n = n!; Pn = n(n� 1):::(n� k + 1)Pn�k; n! = (n� k)!(n�k + 1):::(n� 1)n; P0 = 0! = 1(conventie)

Pn+1 = (n+ 1)Pn sau (n+ 1)! = n!(n+ 1)

k!k = (k + 1)!� k! 8 0 � k � n1

(k�1)!(k+1) =k

(k+1)! =1k! �

1(k+1)!

Akn = n(n � 1):::(n � k + 1); Akn =PnPn�k

; Akn = (n � k + 1)Ak�1n ; A0n =

1(conventii)

Pn = (n� k)!Akn; Pn = Akn = n!

Ckn = Cn�kn (formula combin¼arilor complementare)

11

Ck+1n = n�kk+1C

kn; C

kn = C

kn�1 +C

k�1n�1 (formula de recurent¼a pentru combin¼ari)

C0n + C1n + :::+ C

nn = 2

n

C0n + C2n + C

4n + ::: = C

1n + C

3n + ::: = 2

n�1

1Xk=0

kCkn = n� 2n�1

11.1 Binomul lui Newton.

(a+ b)n =nXk=0

Cknan�kbk

Tk+1 = Ckna

n�kbk (termenul general de rang k+1al dezvolt¼arii)

12 Numere complexe

Un element z = a+ ib cu a; b 2 R si i2 = �1 se numeste num¼ar complex.a = partea real¼a a lui z si se noteaz¼a Re z

b = partea imaginar¼a a lui z si se noteaz¼a Im z

Adunarea si sc¼aderea numerelor complexe z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2 :

z1 � z2 = (a1 � a2) + i(b1 � b2)

Imultirea a dou¼a numere complexe :

z1 � z2 = (a1a2 � b1b2) + i(a1b2 + a2b1)

Conjugatul unui num¼ar complex z = a+ ib este z = a� ib:

Imp¼artirea a dou¼a numere complexe :z1z2= z1z2

z2z2= (a1+ib1)(a2�ib2)

a22+b22

= a1a2+b1b2a22+b

22

+ i b1a2�a1b2a22+b

22

Egalitatea a dou¼a numere complexe :

z1 = z2 , Re z1 = Re z2 si Im z1 = Im z2

z = 0, Re z = 0; Im z = 0

Puterile num¼arului i :

i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = �1; i4k+3 = �1 8 k 2 N

Modulul unui num¼ar complex :

jzj =pa2 + b2 =

p(Re z)2 + (Im z)2

12

Numere complexe sub form¼a trigonometric¼a

Pentru orice num¼ar complex nenul z; exist¼a un unic � 2 [0; 2�] astfelîncât z = jzj (cos � + i sin �) unde jzj este modulul lui z:Not¼am jzj = r ) z = r(cos � + i sin �)

z1z2 = r1r2(cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2))z1z2= r1

r2(cos(�1 � �2) + i sin(�1 � �2))

zn = rn(cos � + i sin �)

R¼ad¼acinile de ordinul n ale unui num¼ar complex z = r(cos � +i sin �):

zk =npk(cos �+2k�n + i sin �+2k�n ) k 2 f0; 1; :::; n� 1g

13 Polinoame

De�nitie. Fie a1; i = 0; n ; n 2 N; numere complexe. Expresia a0 + a1x +a2x

2 + ::::+ anxn se numeste polinom în form¼a algebric¼a.

a1; i = 0; n se numesc coe�cientii polinomului :

Fie f; g 2 C [x] f = a0 + a1x+ ::::+ anxn

g = b0 + b1x+ :::+ bnxn

f = g , n = m si ak = bk k = 0; n

f + g = a0+ b0+(a1+ b1)x+ :::+(am+ bm)xm+am+1x

m+1+ :::+anxn

(n � m)fg = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ :::+ (a0bk + a1kk�1 + :::+ akb0)x

k + :::+anbmx

n+m

Fie f; g; h 2 C [x](f + g) + h = f + (g + h)

0 + f = f + 0 = f

f � g = f + (�g)f + g = g + f 8 f; g 2 C [x](fg)h = f(gh) 8 f; g; h 2 C [x]1� f = f � 1 8 f 2 C [x]fg = gf 8 f; g 2 C [x]f(g + h) = fg + fh 8 f; g; h 2 C [x]

Teorema împ¼artiri cu rest. Pentru �ecare pereche f; g 2 C [x] cu g 6= 0 ex-

ist¼a si sunt unuce polinoamele q; r 2 C [x] cu propriet¼atiile�f = gq + rgrad r < grad g

:

13

Teorema restului. Dac¼a f 2 C [x] si a 2 C atunci restul împ¼artirii polino-mului f prin polinomul x� a e polinomul constant f(a):De�nitie. Fie f; g 2 C [x] spunem c¼a polinomul nenul g divide polinomulf si not¼am g=f dac¼a exist¼a un polinom h 2 C [x] astfel încât f = gh

Teorema lui Bezout. Fie f 2 C [x] ; f 6= 0: Num¼arul a 2 C e r¼ad¼acin¼a apolinomului f dac¼a si numai dac¼a f se divide cu x� a:

Teorem¼a. Dac¼a f 2 C [x] ; grad f = n � 1 atunci el are n r¼ad¼acini complexe(nu neap¼arat distincte) x1; x2; :::xn: În plus polinomul f se descompune,în C [x] ; în n factori liniari astfel : f = an(x� x1)(x� x2):::(x� xn):

13.1 Relatiile între r¼ad¼aciinile si coe�cienti

Teorem¼a. Fie f = anxn + an�1x

n�1 + ::: + a1x + a0 2 C [x] ; an 6= 0 unpolinom de gradul n: Numerele x1; x2; :::xn sunt r¼ad¼acinile polinomuluidac¼a si numai dac¼a :

x1 + x2 + :::+ xn = �an�1an

x1x2 + x1x3 + :::+ xn�1xn =an�2an

����������������x1x2:::xk + :::+ xn�k+1:::xn = (�1)k an�kan

x1x2:::xn = (�1)n a0an :

Teorem¼a. Fie f un polinom cu coe�cienti reali. Dac¼a z = a + bi; a; b 2 R;b 6= 0; este o r¼ad¼acin¼a complex¼a a polinomului f; atunci z = a � bi estede asemenea, r¼ad¼acin¼a a polinomului f:

Observatie

1) z si z au acelasi ordin de multiplicitate.

) Orice polinom cu coe�cienti reali de grad impar are cel putin o r¼ad¼acin¼areal¼a.

3) Pentru polinoamele cu cel putin un coe�cient din C n R teorema nu estevalabil¼a.

4) Singurele polinoame ireductibile din R [x] sunt cele de gradul întâi si aldoilea cu � < 0:

Teorem¼a. Fie f un polinom cu coe�cienti rationali. Dac¼a z = a +pb;

a; b 2 Q; b > 0;pb 2 Q este o r¼ad¼acin¼a irational¼a a polinomului f atunci

z� = a�pb este, de asemenea, r¼ad¼acin¼a a polinomului f .

14

14 Statistici si probabilit¼ati

Consider¼am un lot de numere x1; x2; :::xn:

M = x1+:::+xnn = 1

n

nXi=1

xi (media)

D =q

(x1�M)2+(x2�M)2+:::+(xn�M)2

n =

vuut 1n

nXi=1

(x1 �M)2 (dispersia)

Fie U multime si E partile multimii U: Elementele lui E se numesc evenimente.P : E ! [0; 1] :

P are urm¼atoarele propriet¼ati:

1) P (?) = 0

2) A � B ) P (A) � P (B)

3) P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)

4) A \B = ?) P (A [B) = P (A) + P (B)

P (A) = num¼arul de cazuri favorabile evenimentuluinum¼arul total de cazuri :

15 Elemente de geometrie analitic¼a

Un reper cartezian x � y în plan determin¼a o împ¼artire a planului în patrucadrane.

I = fM(x; y) jx > 0; y > 0g

II = fM(x; y) jx < 0; y > 0g

III = fM(x; y) jx < 0; y < 0g

IV = fM(x; y) jx > 0; y < 0g

Distanta dintre dou¼a puncteM(x1; y1); N(x2; y2) în plan: MN =p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)

.

Panta unei drepte reprezint¼a tangenta unghiului pe care acea dreapt¼a o facecu Ox :

mMN =y2�y1x2�x1 :

Dou¼a drepte d1; d2 sunt paralele d1 k d2 , md1 = md2 :

Dou¼a drepte d1; d2 sunt perpendiculare d1 ? d2 , md1 �md2 = �1:

15

Ecuatia unei drepte ce trece printr+un punct A(x0; y0) si este de panta m estey � y0 = m(x� x0):

Ecuatia unei drepte ce trece prin dou¼a puncte distincte A(x1; y1); B(x2; y2)

este : y�y1y2�y1 =

x�x1x2�x1 sau

������x y 1x1 y1 1x2 y2 1

������ = 0:Ecuatia cartezian¼a general¼a a unei drepte d este ax+ by + c = 0:

Conditia ca trei puncte M(x1; y1); N(x2; y2); P (x3; y3) s¼a �e coliniare este :������x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

������ = 0:Conditia ca trei drepte aix + biy + ci = 0 i = 1; 3 s¼a �e concurente este :������

a1 b1 1a2 b2 1a3 b3 1

������ = 0:Distanta de la un punct A(x0; y0) la o dreapt¼a d : ax + by + c = 0 este :

d(A; h) = jax0+by0+cjpa2+b2

:

Formula ariei unui triunghi de V f Ai(xi; yi) i = 1; 3 este : 12

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

:15.0.1

Distanta dintre dou¼a puncte M1(x1; y1; z1) si M2(x2; y2; z2) din spatiu este :M1M2 =

p(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2 + (z2 � z1)2:

Ecuatia general¼a a planului trigonometric în spatiu este : Ax+By+Cz+D = 0unde A;B;C nu sunt toate nule .

Ecuatia planului ce trece prin punctul (x0; y0; z0) este : A(x � x0) + B(y �y0) + C(z � z0) = 0:

Ecuatia planului ce trece prin trei puncte necoliniare (x1; y1; z1); (x2; y2; z2);

(x3; y3; z3) este :

��������x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

�������� = 0:Conditia de necoliniaritate a trei puncte de cordonate (x1; y1; z1); (x2; y2; z2);

(x3; y3; z3) este :

������x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

������ 6= 0:16

15.1 Ecuatiile dreptei în spatiu.

Ecuatiile parametrice ale dreptei determinat¼a de punctul M0(x0; y0; z0) si vec-

torul director �!v (l:m; n) sunt d :

8<: x = x0 + �ly = y0 + �mz = z0 + �n

� 2 R:

Ecuatiile canonice ale dreptei : x�x0l = y�y0m = z�z0

n :

Ecuatiile canonice ale dreptei d determinat¼a de puncteleM1(x1; y1; z1) siM2(x2; y2; z2)sunt : x�x1

x2�x1 =y�y1y2�y1 =

z�z1z2�z1 x1 6= x2; y1 6= y2; z1 6= z2:

Fie dreptele d1; d2 date prin ecuatiile concentrice: x�x1l1

= y�y1m1

= z�z1n1

six�x2l2

= y�y2m2

= z�z2n2: Unghiul format de dreptele d1 si d2 este dat de

formula : cos = l1l2+m1m2+n1n2�pl21+m

21+n

21�pl22+m

22+n

22

:

Pozitia relativ¼a a unei drepte x�x0l = y�y0

m = z�z0n fat¼a de un plan si P :

Ax+By + Cz +D = 0:

1) Dac¼a Al +Bm+ Cn 6= 0) d \ P = fAg

2) Dac¼a Al +Bm+ Cn = 0 si Ax0 +By0 + Cz0 +D 6= 0) d k P:

3) Dac¼a Al +Bm+ Cn = 0 si Ax0 +By0 + Cz0 +D = 0) d � P:

Unghiul format de o dreapt¼a cu un plan. Fie dreapta d dat¼a de ecuatiile :x�x0l = y�y0

m = z�z0n si planul P de ecuatia Ax + By + Cz +D = 0: Fie

unghiul dintre dreapta d si planul P : sin = jAl+Bm+Cnjpl2m2+n2+

pA2+B2+C2

:

Distanta de la un punct M(x0; y0; z0) la un plan este : d =jAx0+By0+Cz0+Djp

A2+B2+C2:

Fiind date dou¼a plane : A1x + B1y + C1y + D1 = 0 si A2x + B2y + C2y +D2 = 0: Cosinusul unghiului format de cele dou¼a plane are formula :cos = jA1A2+B1B2+C1C2jp

A21+B

21+C

21

pA22+B

22+C

22

:

Dou¼a plane P1 : A1x+B1y+C1y+D1 = 0 si P2 : A2x+B2y+C2y+D2 = 0sunt paralele dac¼a A1

A2= B1

B2= C1

C26= D1

D2:

Aria triunghiului cu vârfului în M1(x1; y1; z1); M2(x2; y2; z2); M3(x3; y3; z3)este : AM1M2M3 =

12

p�21 +�

22 +�

23:

�1 =

������y1 z1 1y2 z2 1y3 z3 1

������ ; �2 =

������x1 z1 1x2 z2 1x3 z3 1

������ ; �3 =

������x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

������ :Volumul tetraedului cu vârfurile M0(x0; y0; z0); M1(x1; y1; z1); M2(x2; y2; z2);

M3(x3; y3; z3) este : V = 16 j

��������x0 y0 z0 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

�������� j:17

Ecuatia arcului cu centrul în punctulM(a; b) si raza r este : (x�a)2�(x�b)2 =

r2: Ecuatiile parometrice sunt :x = r cos�+ ay = r sin�+ b

:

Ecuatia implicit¼a a elipsei este x2

a2 =z2

b2 = 1 a; b > 0 iar ecuatiile parametrice

sunt :x = a cos ty = b sin t

; t 2 [0; 2�) :

Ecuatia parabolei cu axa de simetrie Oy este : x2 = 2py; p 6= 0:

Ecuatia parabolei cu axa de simetrie Ox este : y2 = 2px; p 6= 0:

Ecuatiile parametrice ale parabolei cu axa de simetrieOx sunt :

(x = t2

2p ; p 6= 0y = t

.

Ecuatia hiperbolei : x2

a2 �y2

b2 = 1 a; b > 0:

Ecuatia tangentei la curb¼a în punctul M(x0; y0) este y � y0 = f 0(x0)(x� x0)cu y0 = f(x0):

Ecuatia tangentei la cerc în punctul M(x0; y0) 2 C este (x� a)(x0� a) + (y�b)(y0 � b) = r2 (ecuatia cercului prin dedublare).

Ecuatia tangentei la elips¼a (hiperbol¼a) în punctul M(x0; y0) este yy0 = p(x+x0):

16 Siruri de numere reale

Fie un sir numeric (an)n2N:

Sirul (an)n este cresc¼ator dac¼a an � an+1; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este strict cresc¼ator dac¼a an < an+1; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este decresc¼ator dac¼a an � an+1; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este strict decresc¼ator dac¼a an > an+1; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este m¼arginit superior dac¼a 9 B 2 R astfel încât an � B; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este m¼arginit inferior dac¼a 9 A 2 R astfel încât an � A; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este m¼arginit dac¼a 9 A;B 2 R astfel încât A � an � B; 8 n 2 N:

Sirul (an)n este m¼arginit dac¼a 9 M 2 R astfel încât janj �M; 8 n 2 N:

Sirurile care nu sunt m¼arginite se numesc nem¼arginite.

18

Spunem c¼a sirul (an) tinde la l (covergenta la l) si scriem limn!1

an = l dac¼a

este adev¼arat¼a una din propozitii :

1) Orice vecin¼atate a lui l contine toti termeni sirului exceptând eventual unnum¼ar �nit.

2) 8

3) 8 " > 0; 9 n" 2 N astfel încât, 8 n 2 N; n > n" ) jan � lj < ":

Spunem c¼a sirul (an)N tinde la 1 si scriem limn!1

an =1 dac¼a este adev¼arat¼a

oricare din urm¼atoarele a�rmatii :

1) Orice vecin¼atate a lui 1 contine toti termeni sirului exceptând eventualun num¼ar �nit.

2)

3) 8 M 2 R; 9 nM 2 N astfel încât,8 n 2 N; n > nM ) an > M:

Se numeste sir convergent un sir cu limita �nit¼a. Sirurile care nu sunt conver-gente se numesc divergente.

Orice sir convergent e m¼arginit si monoton si invers orice sir m¼arginit si monotone convergent.

Criteriul clestelui. Fie (an)n; (bn)n; (xn)n siruri de numere reale. Dac¼aan < xn < bn 8 n 2 N si lim

n!1an = lim

n!1bn = x atunci lim

n!1xn = x:

Lema lui Cesaro-Stolz. Fie sirurile (xn)n; (yn)n cu propriet¼atiile :

1) yn > 0; 8n:

2) yn < yn+1; 8n (sirul (yn)n e strict cresc¼ator ):

3) (yn)n e nem¼arginit (superior).

4) 9 a = limn

xn+1�xnyn+1�yn :

Atunci (9) limn

xnynsi mai mult lim

n

xnyn= a:

Criteriul lui Cauchy d�Alembert (sau criteriul r¼ad¼acinii).

Lem¼a. Fie sirul (xn) cu propriet¼atile :

1) xn > 0; 8n .

2) (9) limxn = a:

Dac¼a gn este de�nit prin gn = npx1x2:::xn; 8n (sirul medulor geometrice)

atunci (gn)n este convergent si mai mult limngn = lim

nxn = a:

19

Criteriul lui Cauchy d�Alembert (sau criteriul r¼ad¼acinii).

Fie sirul (xn)n cu xn > 0; 8 n 2 N� pentru care exist¼a limn!1

xn+1xn

= a:

Arunci sirul ( npxn) are limit¼a si mai mult lim

n!1npxn = lim

n!1xn+1xn

= a:

16.1 Limite importante.

limn!1

a n� =

8<: 1 dac¼a a > 0; � > 0�1 dac¼a a < 0; � > 00 dac¼a a 2 R; � < 0

:

limn!1

qn =

8>><>>:0 dac¼a q 2 (�1; 1)1 dac¼a q = 11 dac¼a q > 1nu exist¼a dac¼a q � �1

:

Dac¼aP (n) = apn

p + ap�1np�1 + :::+ a0

Q(n) = bqnq + bq�1n

q�1 + :::+ b0atunci lim

n!1= p(n)

Q(n) =

8>><>>:apbqdac¼a p = q

0 dac¼a p < q1 dac¼a p > q si ap � bq > 0�1 dac¼a p > q si ap � bq < 0

:

limu(n)!0

sin u(n)u(n) = 1:

limu(n)!0

tg u(n)u(n) = 1:

limu(n)!0

arcsin u(n)u(n) = 1:

limu(n)!0

arctg u(n)u(n) = 1:

limu(n)!0

ln(1+ u(n))u(n) = 1:

limu(n)!0

au(n)�1u(n) = ln a:

limu(n)!0

(1 + u(n))1

u(n) = e:

În particular dac¼a u(n) = 1n ) lim

u(n)!0(1 + 1

n )n = e:

20

16.2 Operatii cu siruri

Fie (an); (bn) dou¼a siruri cu limit¼a (�nit¼a sau in�nit¼a). Atunci :

limn!1

(an + bn) = limn!1

an + limn!1

bn (caz exceptat 1�1).

limn!1

�an = � limn!1

an:

limn!1

(an � bn) = limn!1

an � limn!1

bn (caz eceptat 1� 0):

limn!1

anbn=

limn!1

an

limn!1

bn(cazuri exceptate 0

0 ;�1�1 ).

17 Limite de functii

17.1 Limite fundamentale de functii

17.2 1. Polinoame.

P (x) = anxn + an�1x

n�1 + :::+ a0; Q(x) = bmxm + bm�1x

m�1 + :::+ b0:

limx!1

P (x) = P (x0); 8 x0 2 R:

limx!1

P (x) = an(�1)n:

limx!1

P (x)Q(x) =

P (x0)Q(x0)

; 8x0 2 R; Q(x0) 6= 0:

17.3 2. Functii rationale.

limx!�1

P (x)Q(x) =

8<:0 dac¼a n < manbmdac¼a n = m

anbm(�1)n�m dac¼a n > m

:

17.4 3. Functia radical.

limx!1

npx = n

px0; x0 2 R+; n 2 N; n � 2:

limx!1

1npx= 1

npx0; x0 2 R�+:

limx!1

npx = +1; lim

x!0x>0

1npx= +1; lim

x!11npx= 0:

limx!�1

2n+1px = �1; lim

x!0x>0

= 12n+1

px= �1; lim

x!�11

2n+1px= 0:

21

17.5 4.Functia exponemtial¼a.

limx!x0

ax = ax0 ; x0 2 R; a > 0; a 6= 1; a 2 R:

limx!+1

ax =1; limx!�1

= ax = 0 dac¼a a > 1; a 2 R:

limx!+1

ax = 0; limx!�1

ax = +1 dac¼a 0 < a < 1; a 2 R:

limx!�1

ex = 0; limx!�1

ex =1; e = 2; 7182:

17.6 5. Functia logarirmic¼a.

limx!x0

loga x = loga x0; x0 > 0; �nit a > 0; a 6= 1; a 2 R:

limx!0x>0

loga x = �1; limx!1

loga x = +1; dac¼a a > 1; a 2 R:

limx!0x>0

loga x = 1; limx!1

loga x = �1; dac¼a 0 < a < 1; a 2 R:

limx!0x>0

lnx = �1; limx!1

lnx = +1:

17.7 6. Functii trigonometrice.

limx!x0

sinx = sinx0; limx!x0

cosx = cosx0; 8 x0 2 R:

limx!x0

tg x = tg x0; x0 =2 �2 + Z�:

limx!x0

ctg x = ctg x0; x0 =2 Z�:

limx!�

2x<�

2

tg x = +1; limx!�

2x>�

2

tg x = �1:

limx!0x>0

ctg x = +1; limx!0x<0

ctg x = �1

limx!x0

arcsinx = arcsinx0; �1 � x0 � 1:

limx!x0

arccosx = arccosx0; �1 � x0 � 1:

limx!x0

arctg x = arctg x0; x0 2 R:

limx!x0

arcctg x = arcctg x0; x0 2 R:

limx!�1

arctg x = ��2 ; lim

x!+1arctg x = �

2 :

limx!�1

arcctg x = �; limx!1

arcctg x = 0:

22

17.8 Alte limite fundamentale :

limx!0

sin xx = 1; lim

x!0

tg xx = 1; lim

x!0= arcsin x

x = 1; limx!0

arctg xx = 1;

limx!�1

(1 + 1x )x = e; lim

y!0(1 + y)

1y = e; lim

x!1(1 + a

x )x = ea 8 a 2 R.

limx!0

loga(1+x)x = loga e; a > 0; a 6= 1

limx!0

ax�1x = ln a; a 2 R; a > 0:

limx!b

ax�abx�b = ab ln a; a 2 R; a > 0:

limx!1

ax

xn =

�0 dac¼a 0 < a < 1; a 2 R1 dac¼a a > 1; a 2 R; n 2 N� .

limx!1

ax � xn = 0; 8 a 2 R; a 2 (0; 1); n 2 N�:

limx!0x>0

xn lnx = 0; n � 1; limx!+1

ln xxn = 0; 8 n 2 N�:

limx!+1

lnp xxa = 0; 8 p 2 N; a > 0:

limx!0

(1+x)��1x = �; 8 � 2 R:

18 Functii continue

Fie E � R o multime, x0 2 E si f : E ! R o functie.

Functia f e continu¼a în punctul x = x0 , f(x0 � 0) = f(x0) = f(x0 + 0):

Punctul x0 se numeste punct de continuitate. Punctul x0 se numeste punctde descontinuitate de prim¼a spet¼a, dac¼a �e discontinu¼a în x0; iar f(x0);f(x0 + 0) exist¼a si sunt �nite.

De�nitie. O functie f : E ! R se numeste continu¼a pe A � R; dac¼a f econtinu¼a în �ecare punct x din A:

19 Functii derivabile

Functii cu derivat¼a într-un punct.

Fie f : E ! R o functie si x0 un punct de acumulare.

Functia f are derivat¼a în x0 dac¼a limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = f 0(x0) exist¼a în R:

23

Fie f : E ! R se numeste derivabil¼a în x0 dac¼a limx!x0

f(x)�f(x0)x�x0 = f 0(x0)

exist¼a si este �nit¼a în R:

Orice functie derivabil¼a într+un punct e continu¼a în acel punct.

Teotem¼a. Fie f; g : E ! R dou¼a functii derivabile în x0 2 E \ E0 si � 2 Run num¼ar dat. Atunci functiile f � g; �f; fg; fg (g(x0) 6= 0) si f

g(dac¼a fg

are sens) sunt derivabile în x0 si avem :

i) (f � g)0(x0) = f 0(x0)� g0(x0)

ii) (�f)0(x0) = �f 0(x0)

iii) (fg)0(x0) = f 0(x0)g (x0) + f(x0)g 0(x0)

iv) ( fg )0 (x0) =

f 0(x0)g (x0)�f(x0)g 0(x0)g2(x0)

:

v) (fg)0(x0) = (gfg�1f1)(x0) + (fg ln f)(x0):

19.1 Derivata functiei compuse a dou¼a functii.Fie f : F ! R, g : E ! F dou¼a functii. Dac¼a g este derivabil¼a în x0 2 E\E 0

si f în g(x0) 2 F \ F 0 atunci f � g e derivabil¼a în x0 2 E si avem :(f � g)0(x0) = f 0(g(x0)) � g0(x0):

19.2 Derivata functiei inverse unei functii date.

Fie f : I ! J; I; J intervale, o functie continu¼a si bijectiv¼a si f�1 : J ! Iinversa ei. Dac¼a f e derivabil¼a în x0 2 I si f 0(x0) 6= 0; atunci f�1 ederivabil¼a în y0 = f(x0) 2 J si avem (f�1)0(y0) =

1f 0(x0)

:

24

19.3 Tabloul de derivare al functiilor elementare.

Functia Derivata Denumirea de derivabilitatec (constant¼a) 0 R

x 1 Rxn nxn�1 cel putin (0;1)xr rxr�1 (0;1)px 1

2px

(0;1)lnx 1

x Rex ex

ax; a > 0; a 6= 1 ax ln a Rsinx cosx Rcosx � sinx Rtg x 1

cos2 x cosx 6= 0ctg x 1

sin2 xsinx 6= 0

arcsinx 1p1+x2

(-1,1)arccosx � 1p

1+x2(-1,1)

arctg x 11+x2 R

arcctg x � 11+x2 R

19.4 Tabloul de derivare al functiilor compuse.

Functia Derivata Denumirea de derivabilitateu

un; n � 1 întreg nun�1u0

ur rur�1u0 (u > 0)pu u0

2pu

(u > 0)

lnu u0

u (u > 0)eu eu � u0

au; a > 0; a 6= 1 au � u0 � ln asinu cosu � u0cosu � sinu � u0tg u 1

cos2 u � u0 (cosu 6= 0)

ctg u � 1sin2 u

u0 (sinu 6= 0)arcsinu 1p

1�u2u0 (u2 < 1)

arccosu � 11+u2 (u2 < 1)

arctg u u0

1+u2

arcctg u � u0

1+u2

19.5 Propriet¼atii ale functiilor derivabile

Teorema lui Fermat. Fie f : I ! R o functie derivat¼a pe I. În orice punctde extrem local (maxim sau minim) derivata lui f este nul¼a.

Teorema lui Rolle. Fie f : I ! R si a; b 2 I cu a < b: Dac¼a :

25

1) f e cntinu¼a pe intervalul [a; b] ;

2) f e derivabil¼a pe intervalul deschis (a; b) ;

3) f(a) = f(b):

Atunci exist¼a cel putin un punct c 2 [a; b] astfel încât f 0(c) = 0:

Teorema lui Lagrange. Fie f : I ! R si a; b 2 I cu a < b: Dac¼a :

1) f e cntinu¼a pe intervalul [a; b] ;

2) f e derivabil¼a pe intervalul deschis (a; b) :

Atunci exist¼a cel putin un punct c 2 [a; b] astfel încât f 0(c) = f(b)�f(a)b�a

Teorema lui Cauchy. Fie f; g : I ! R dou¼a functii si a; b 2 I cu a; b:Dac¼a :

1) f; g continue pe intervalul inchis [a; b] :

2) f; g derivabile pe intervalul deschis (a; b) :

3) g0(x) 6= 0; 8x 2 (a; b)

Atunci g(a) 6= g(b) si exist¼a cel putin un punct c 2 [a; b] astfel încât f(b)�f(a)g(b)�g(a) =f 0(c)g �(c) :

20 Derivate de ordin superior

Formula lui Leibuiz. Fie f; g : I ! R dau¼a functii de n ori derivabil¼a pe I:Atunci fg este de n ori derivabil¼a pe I: Atunci fg este de n ori derivabil¼ape I si avem relatia

(fg)(n)(x) = f (n)(x)g(x) + C1n f(n�1)(x) + ::: + Cn�1n f 0(x)g(n�1)(x) +

Cnn f(x)g(n)(x); 8 x 2 I:

Câteva derivate de ordinul n :

1. (sinx)(n) = sin(x+ n�2 ); 8 x 2 R; n 2 N:

2. (cosx)(n) = cos(x+ n�2 ); 8 x 2 R; n 2 N:

3. ( 1x )(n) = (�1)n � n!

xn+1 ; 8 x 2 R�; n 2 N:

4.�

1x�a

�(n)= (�1)n�n!

(x�a)n+1 :

5. (aex)(n) = aex; 8 a 2 R; x 2 R; n 2 N:

6. (xm) (n) = Anm xm�n; 8 x 2 R; 1 � n � m:

7. (ax)(n) = ax(ln a)n; a > 0; x 2 R; n 2 N:

26

Formula lui Taylor. Dac¼a f este o functie de n ori derivabil¼a într-o vecin¼atatea punctului x0 si f (n) continu¼a în x0; atunci are loc formula aproximativ¼a:

f(x) ' f(x0) + f 0(x0)1! (x� x0) + f 0(x0)

2! (x� x0)2 + :::+ f(n)(x0)n! pentru orice

x 2 V; în care eroarea absolut¼a j�(x)j satisface conditia limx!x0

j�(x)j(x�x0)m = 0:

Regulile lui L�Hospital.

1. Fie f; g : [a; b] ! R si x0 2 [a; b] : Presupunem satisf¼acute urm¼atoareleconditii :

a) f si g derivabile pe [a; b] n fx0g si continue în x0;

b) f(x0) = 0; g(x0) = 0;

c) g0(x) nu se anuleaz¼a într-o vecin¼atate V a lui x0 (8x 2 V n fx0g);

d) exist¼a limx!x0

f 0(x)g0(x) = � ({n R);

In aceste conditii, exist¼a limx!x0

f(x)g(x) = �:

2. Fie f; g : (a;1]! R; a > 0: Presupunem c¼a :

a) f si g derivabile pe [a; b] ;

b) limx!1

f(x) = limx!1

g(x) = l unde l = 0; 1 sau �1;

c) g0(x) 6= 0 pentru orice x su�cient de mare (x � A; A � a);

d) exist¼a limx!1

f 0(x)g0(x) = � ({n R);

Atunci exist¼a limx!1

f(x)g(x) = �:

21 Asimptotele functiilor reale

21.1 Asimptote orizontale

Fie f : E ! R cu E � R multimii, o functie real¼a si x0 2 R:

De�nitii : Dreapta y = y0 este asimptot¼a orizontal¼a a lui f dac¼a limx!x0

f(x) =

�1:

27

21.2 Asimptote oblice

Fie f : E ! R o functie real¼a cu E � R:

De�nitii : Dreapta y = mx + n este asimptot¼a oblic¼a la +1 sau �1 afunctiei f dac¼a :

limx!�1

[f(x)� (mx+ n)] = 0;

m = limx!�1

f(x)x 2 R;

n = limx!�1

[f(x)�mx] 2 R:

22 Reprezentarea gra�c¼a a functiilor

Etape de parcurs :

1. Stabilirea domeniului �max de de�nitie al functiei.

2. Semnul functiei si eventualele simetrii ale gra�cului.

3. Limite la cap¼at, continuitatea functiilor, asimptote.

4. Derivata Iii:

5. Studiul deriv¼arii a II.

6. Tablou de variet¼ati.

7. Trasarea gra�cului.

23 Primitive

De�nitii. Fie J un interval � R si f : J ! R: Spunem c¼a f admite primitiv¼ape J dac¼a exist¼a o functie f : J ! R astfel încât :

1) F este derivabil¼a pe J ;

2) F 0(x) = f(x), 8x 2 J ;

Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integral¼a nede�nit¼a a functieif si se noteaz¼a cu simbolul

Rf(x)dx:

Teorem¼a. Fie f; g : J ! R functii care admit primitivele si � 2 R; � 6= 0;atunci functiile f + g; admit deasemenea primitive si au loc relatiile :

28

a)R[f(x) + g(x)] dx =

Rf (x)dx+

Rg(x)dx ;

b)R�f(x)dx = �

Rf(x)dx ;

c)Rf(x)dx =

Rf(x)dx+ c ;

23.0.1 Tabel de integrale nede�nite

f : R! Rf(x) = xn

Rxndx = xn+1

n+1 + b

f : J ! R; J � (0;1)f(x) = xa; a 2 R n f�1g

Rxadx = xa+1

a+1 + b

f : R! Rf(x) = ax; a 2 R�+ n f1g

Raxdx = ax

ln a + b

f : J ! R; J � R�f(x) = 1

x

R1xdx = ln jxj+ b

f : J ! R; J � R n f�a; agf(x) = 1

x2�a2 ; a 6= 0R

1x2�a2 dx =

12a ln

���x�ax+a

���+ bf : R! Rf(x) = 1

x2+a2 ; a 6= 0R

1x2+a2 dx =

1aarctg

xa + b

f : R! Rf(x) = sinx

Rsinx dx = � cosx+ b

f : R! Rf(x) = cosx

Rcosx dx = sinx+ b

f : J ! R; J � R n�(2k + 1) �2 j k 2 Z

f(x) = 1

cos2 x

R1

cos2 xdx = tg x+ b

f : J ! R; J � R n fk� j k 2 Zgf(x) = 1

sin2 x

R1

sin2 xdx = �ctg x+ b

f : J ! R; J � R n�(2k + 1) �2 j k 2 Z

f(x) = 1

tg x

Rtg x dx = � ln jcosxj+ b

f : J ! R; J � R n fk� j k 2 Zgf(x) = 1

ctg x

Rctg x dx = ln jsinxj+ b

f : R! Rf(x) = 1p

x2+a2; a 6= 0

R1p

x2+a2dx = ln(x+

px2 + a2) + b

f : J ! R a > 0�J � (�1;�a) sauJ � (a;1)

f(x) = 1px2�a2

R1p

x2�a2 dx = ln��x+px2 + a2��+ b

f : J ! R; J � (�a; a); a > 0f(x) = 1p

a2�x2

R1p

a2�x2 dx = arcsinxa + b

Teorem¼a. Formula de integrare prin p¼arti. Dac¼a f; g : J ! R functii deriv-abile cu derivate continue atunci functiile fg; f 0g si fg0 admit primitivesi multimile lor de primitive si multimile lor de primitive sunt legat prinrelatia :Rf(x)g0(x)dx = fg �

Rf 0(x)g(x)dx:

29

Prima metod¼a de schimbare de variabil¼a.

Teorem¼a. Fie F; J intervale din R si I '�! Jf�! R functii cu propriet¼atile :

a) ' derivabil¼a pe I ;

b) f admite primitive (�e F o primitiv¼a a sa).

Atunci functia (f � ') '0admite primitive, iar functia F � ' este o primitiv¼a alui (f � ') '0; adic¼a :Rf('(t)) � '0(t)dt = F � '+ b

Tabel de integrale nede�nite. ' : I ! R derivabil¼a cu derivat¼a continu¼a.

1)R'n(x) '0(x) dx = 'n+1(x)

n+1 + b; n 2 N:

2)R'a(x) '0(x) dx = 'a+1(x)

a+1 + b; a 2 R n f�1g ; '(I) � (0;1):

3)Ra'(x) '0(x) dx = a'(x)

ln a + b; a 2 R+ n f�1g :

4)R '0(x)

'(x) dx = ln j'(x)j+ b; '(x) 6= 0; 8 x 2 I:

5)R '0(x)

'2(x)�a2 dx =12a ln

���'(x)�a'(x)+a

���+ b; '(x) 6= �a; 8 x 2 I; a 6= 0:6)R '0(x)'2(x)+a2 dx =

1aarctg

'(x)a + b:

7)Rsin'(x) '0(x) dx = � cos'(x) + b:

8)Rcos'(x) '0(x) dx = sin'(x) + b:

9)R '0(x)cos2 '(x)dx = tg '(x) + b; '(x) =2

�(2k + 1) �2 j k 2 Z

; 8 x 2 I:

10)R '0(x)sin2 '(x)

dx = �ctg '(x) + c; '(x) =2 fk� j k 2 Zg ;8x 2 I:

11)Rtg '(x) '0(x)dx = � ln jcos'(x)j + b; '(x) =2

�(2k + 1) �2 j k 2 Z

; 8

x 2 I:

12)Rctg '(x) '0(x)dx = ln jsin'(x)j+ b; '(x) =2 fk� j k 2 Zg ;8x 2 I:

13)R '0(x)dxp

'2(x)+a2= ln

h'(x) +

p'2(x) + a2

i+ b; a 6= 0:

14)R '0(x)dxp

'2(x)�a2= ln

���'(x) +p'2(x)� a2���+b; a > 0� '(I) � (�1;�a) sau'(I) � (a;1) :

15)R '0(x)p

a2�'2(x)dx = arcsin '(x)a + b; a > 0; '(I) � (�a; a):

30

23.1 Primitivele functiilor rationale.

De�nitie. O functie f : E ! R(E �ind interval) se numeste rational¼a dac¼af(x) = P (x)

Q(x)unde P;Q sunt polinoame cu coe�cienti reali si Q(x) 6= 0; 8x 2 R: O functie rational¼a se numeste simpl¼a dac¼a are una sin formele :

1) f(x) = A(x�a)n ; n 2 N

�; x 6= a:

2) f(x) = Bx+c(ax2+bx+c)n ; n 2 N; b

2 � 4ac < 0.

Teorem¼a. Orice functie rational¼a poate � repretentat¼a sub forma unei sume�nite de functii rationale simple, adic¼a dac¼a f : E ! R este o functierational¼a f(x) = P (x)

Q(x) ; Q(x) 6= 0; 8 x 2 E unde P si Q sunt polinoameprime între ele si dac¼a Q se descompune în factori primi sub forma :Q(x) = (x � a1)�1 � (x � a2)�2 � ::: �(x � ap)�p(x2 + b1x + c1)�1 � ::: �(x2 + bpx + cp)

�p ; unde b2i � 4ci < 0; 8 i = 1; r ; atunci f(x) = L(x) +PPk=1

hA1k

x�ak +A2k

(x�ak)2+ :::+

A�kk

(x�ak)�k

i+

rPk=1

hB1kx+C

1k

x2+bkx+ck+ :::+

B�rk x+C�r

k

(x2+bkx+ck)�r

iunde L este un polinom cu coe�cientii reali, iar ak; bk; ck; Aik; B

ik; C

ik sunt

numere reale si b2k � 4Ck < 0.

23.2 Primitivele functiilor exponentiale

Integralele nede�nite de formaRf(ex) dx se calculeaz¼a cu ajutorul schimb¼arii

de variabil¼a : ex = t) x = ln t) dx = 1t dt)

R(ex)dx =

Rf(ln t) 1t dt:

23.3 Primitivele functiilor logaritmice.

Integralele de formaRf(lnx)dx se calculeaz¼a cu ajutorul schimb¼arii de vari-

abil¼a :

lnx = t) x = et; dx = etdt)Rf(lnx)dx =

Rf(t) � et dt:

23.4 Primitivele functiilor trigonometriceRf(sinx; cosx)dx

1) Dac¼a f(� sinx; cosx) = �f(sinx; cosx) se face substitutia cosx = t) x =arccos t) dx = � 1p

1�t2 dt:

=)Rf(sinx; cosx) dx =

Rf(p1� t2; t) �

�� 1p

1�t2

�dt:

2) Dac¼a f(sinx;� cosx) = �f(sinx; cosx) se face substitutia sinx = t) x =arcsin) dx = 1p

1�t2 dt:

=)Rf(sinx; cosx) dx =

Rf(t;

p1� t2) � 1p

1�t2 dt:

31

3) Dac¼a f(� sinx;� cosx) = f(sinx; cosx) se face substitutia tg x = 1) x =arctg t) dx = 1

1+t2 dt:

=)Rf(sinx; cosx) dx =

Rf( tp

1+t2; 1p

1+t2) 1p

1+t2dt:

4) În toate celelalte cazuri se face substitutia tg x2 = t )x2 = arctg t ) x =

2arctg t) dx = 21+t2 dt:

=)Rf(sinx; cosx) dx =

Rf( 2

1+t2 ;1�t21+t2 ) �

21+t2 dt:

23.5 Formula lui Leibniz-Newton

Teorem¼a. Fie f : [a; b]! R o functie integral¼a care admite primitive pe [a; b] :Atnci pentru orice primitiv¼a F a lui f are loc egalitatea :R b

af(x)dx = F (b)� F (a):

23.6 Propriet¼atii ale functiilor integrale.

1)R ba�f(x)dx = �

R baf(x)dx:

2)R ba[f(x) + g(x)] dx =

R baf(x)dx+

R bag(x)dx:

3)R baf(x)dx+

R cbf(x)dx�

R cbf(x)dx:

4)R baf(x)dx = f(�)(b� a) unde a < � < b:

5) Dac¼a f : [a; b]! R este o functie integrabil¼a pozitiv¼a, f(x) � 0 8 x 2 [a; b]atunci :R b

af(x)dx � 0:

6) Dac¼a f; g : [a; b] ! R sunt functii integrabile astfel încât f(x) � g(x); 8x 2 [a; b] ; atunci :R b

af(x)dx �

R bag(x)dx:

7) Dac¼a f : [a; b]! R este integrabil¼a si m � f(x) �M; 8 x 2 [a; b] ; atunci :

m(b� a) �R baf(x)dx �M(b� a):

8) Teorema de existent¼a a primitivelor unei functii continu¼a f : [a; b] ! Rfunctia F : [a; b] ! R de�nit¼a prin F (x) def=

R xaf(t)dt; 8 x 2 [a; b] este o

primitiv¼a a lui f care se anuleaz¼a în punctul a.

32

23.7 Aplicatii ale integralelor cu probleme practice

Not¼am �f =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; 0 � y � f(x)

si se numeste subgra�cul

functiei f. Aceast¼a multime are o arie si aria sa este :

aria(�f ) =R baf(x)dx:

Dac¼a f; g : [a; b]! R sunt functii continue astfel încât f(x) � g(x); 8 x 2 [a; b]atunci multimea :

�f;g =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; f(x) � y � g(x)

cuprins¼a între gra�cele functi-

ilor f; g si dreptele paralele la Oy care intersecteaz¼a axa Ox în punctele asi b are arie si aria sa este :

aria(�f;g) =R ba[g(x)� f(x)] dx

Fie f : [a; b] ! R+ o functie continu¼a si pozitiv¼a pe [a; b] : Prin rotireasuprafetelor în jurul axei Ox ia nastere un corp de rotatii. Volumul cor-pului de rotatie obtinut :

V = �R baf 2(x)dx .

Dac¼a f : [a; b] ! R+ este o functie derivabil¼a cu derivat¼a continu¼a pe (a; b)

astfel încât fq1 + (f 0)

2 are limite �nite în punctele a si b atunci suprafatade rotatie determinat¼a de f are arie si :

A(f) = 2�R baf(x)

p1 + (f 0(x))2dx:

Dac¼a functia f : [a; b]! R este derivabil¼a, cu derivat¼a continu¼a, atunci gra�culs¼au are lungime �nit¼a si

l(f) =R ba

p1 + (f 0(x))2dx:

24 Elemente de algebr¼a matematic¼a

24.1 Matrice

Se numeste matrice cu m lini si n coloane un tablou bidimensional de forma :

A =

0BB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n�� �� �� ��am1 am2 ::: amn

1CCA :Multimea tuturor matricelor cu elemente într-un corp k se noteaz¼a Mm;n(k):

Dac¼a m = n matricea e p¼atratic¼a.

33

Dac¼a matricea A = (aij) si B = (bij) 2 Mm;n(k) ) C = A + B ) C = (Cij)unde (Cij) 2Mm;n(k) si Cij = aij + bij ; 8 i = 1;m ; j = 1; n :

Propriet¼atiile adun¼arii matricelor 8 A;B;C 2Mm;n avem :

1) A+B = B +A ;

2) (A+B) + C = A+ (B + C) ;

3) A+ 0 = 0 +A ;

4) A+ (�A) = (�A) +A ;

24.2 Îmultirea matricelor cu un scalar.

Fie A = (aij) 2 Mm;n; � 2 k matricea B = (bij) 2 Mm;n si B = �A dac¼abij = �aij 8 i = 1; n , j = 1; n:

Îmultirea matricelor

FieA = (aij) 2Mm;n

B = (bij) 2Mm;n:Matricea C = (cij) 2 Mm;n se numeste produsul

matricelor A si B, C = AB dac¼a : cij =nPk=1

aikbkj , 8 i = 1; n , j = 1; n .

Propriet¼atiile îmultirii matricelor :

1)A � In = In �A = A:

2)A � 0 = 0 �A = 0:

3) (AB) � C = A � (BC):

4) � � (AB) = (�A) �B = A � (�B):

5) (A+B)C = AC +BC:

6)C(A+B) = CA+ CB:

24.3 Transpusa unei matrici

Fie A = (aij) 2 Mm;n: Matricea tA se numeste lrauspusa matricea A dac¼a

tA = (aij)i = 1; nj = 1; n

: Ea se obtine din matricea A prin schimbarea linilor

cu coloanele si a coloanelor cu linile.

tA =

0BB@a11 a21 ::: am1a12 a22 ::: am2�� �� �� ��a1n a2n ::: amn

1CCA :

34

24.4 Matricea adjunt¼a a unei matric :

Se numeste adjuncta unei matricei A = (aij) 2 Mm;n si se noteaz¼a cu A�

matricea : A� =

0BB@A11 A21 ::: Am1A12 A22 ::: Am2�� �� �� ��A1n A2n ::: Amn

1CCA :unde Aij este complementul algebric al lui aij determinantul ce rezult¼a elim-

inând linia si coloana pe care se a�¼a elementul aji:

O matrice se numeste nedegenerat¼a, dac¼a detA 6= 0:

24.5 Matrice inversabile.

Matricea A 2 Mn admite o invers¼a A�1 2 Mn , detA 6= 0: în plus A�1 =A�

detA :

Propriet¼ati. (A�1)�1 = A ; (AB)�1 = B�1A�1.

24.6 Rangul unei matrice.

Fie matricea A 2 Mm;n: Se numeste minor al unei matrice de ordinul k de-terminantul format din k2 elemente date (p¼astrând ordinea elementelor).Matricea A are rangul r; dac¼a A are un minor nenul de ordinul r; iar totiminorii lui A de ordin mai mare ca r, dac¼a exist¼a, sunt mili. Se scriu rangA = r:

24.7 Ecuatii matricialeAX = B ) x = A�1BXA = B ) X = BA�1

AXB = C ) X = A�1CB�1

24.8 Determinanti

Fie matricea A =�a11 a12a21 a22

�:

Num¼arul � = a11a22 � a12a21 se numeste determinantul matricei A saudeterminant de ordin al doilea si se noteaz¼a cu detA:Deci detA = a11a22�a12a21:

Fie matricea A =

0@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1A :

35

Num¼arul obtinut astfel a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 � a31a22a13 �a32a23a11 � a12a21a31 se numeste determinantul de ordinul al treilea saudetA:

Pentru o matrice de ordinul n se dezvolt¼a determinantul dup¼a elementele uneilinii "i" astfel :

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + :::+ a1nAin

sau dup¼a elementele coloanei "j" astfel :

detA = a1jA1j + a2jA2j + ::+ anjAnj :

unde Aij = (�1)i+jMij ; Mij =minor alelementului aij ; determinant de or-dinul n� 1 ce se obtine din A prin eliminarea liniei "i" si a coloanei "j".

24.9 Propriet¼atiile determinantilor.

1) det(AB) = detA � detB:

2) Dac¼a toate elementele unei coloane sau ale unei linii dintr-o matrice suntegale cu 0, atunci determinantul e zero.

3) Dac¼a elementele a dou¼a linii sau ale unei coloane sunt egale sau proportion-ate, atunci determinantul este zero.

4) Dac¼a schimb¼am între ele dou¼a linii sau dou¼a coloane ale unei matrice A;obtinând o nou¼a matrice A0 atunci detA0 = �detA:

5) Dac¼a într-o matrice A îmultim o linie sau o coloan¼a cu un num¼ar a, obtinândo nou¼a matrice A0; atunci

detA0 = adetA:

6) Orice matrice si transpusa ei tA au acelasi determinant, dettA = detA:

7) Dac¼a într+o matrice A o coloan¼a sau o line este o combinatie liniar¼a acelorlalte coloane sau linii, atunci detA = 0:

8) Dac¼a într-o matrice A toate elementele unei linii sau ale unei coloane suntsume de câte doi termeni atunci detA se poate scrie ca suma a doi deter-minantii.

24.10 Sistemul de n ecuatii cu n necunoscute.nPk=1

aikxk = bi

D =

0BB@a11 a12 ::: a1na21 a22 ::: a2n�� �� �� ��an1 an2 ::: ann

1CCA :36

Di se obtine din D prin înlocuirea elementelor din coloana i cu termenii liberi.

Dac¼a D 6= 0)sistemul are o solutie unic¼a dat¼a de regula lui Cramer: xi = Di

D ;i = 1; n:

Dac¼a D = 0)Se calculeaz¼a rangul matricei.

Teorema lui Rouche-Fontene. O conditie necesar¼a si su�cient¼a ca sistemuls¼a aib¼a solutii este ca toti determinantii lui caracteristici s¼a �e nuli.

Din matricea A = (aik) a coe�cientilor necunoscutelor se extrage un determi-nant nenul de ordin maxim p; notat �p; si numit determinant principalsi se construiesc determinantii caracteristici, Dc; c = p + 1; p + 2; :::mprin bondarea determinantului principal orizontal, jos, cu coe�cientii ne-cunoscutelor principale din ecuatiile r¼amase, care nu au intrat în formareadeterminantului principal, si "vertical" în dreapta, cu termenii liberi core-spunz¼atori.

Dac¼a � = 0 si cel putin un determinant caracteristic este diferit de zero, atuncisistemul nu are solutii.

Dac¼a � = 0 si toti determinantii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul estecompatibil dar nedeterminat. Se rezolv¼a cele p ecuatii principale si se obsinnecunoscutele principale x1; x2::xp în functie de xp+1; ::xn: Sistemul are o"nedeterminare" de ordin n�p; în sensul c¼a necunoscutele xp+1; xp+2:::xnr¼amân arbelare.

37