formule
DESCRIPTION
ForMuleTRANSCRIPT
Formule de calcul prescurtat1)2)3)4)5)6)7)8)Medii1)media aritmetic:2)media geometric: 3)media armonic:4)media ptratic:Formule de calculare a sumelor1)2)3)Proprietile modulului1)2)3)4) ; 5) ; Proprietile puterilor1)2)3)4)5)Proprietile radicalilor1)2)3)4)5)6)Schimbarea de ordin a radicalilor
Logaritmi
Proprietile logaritmilor1)2)3)4)5)
Compararea logaritmilor1)2)Metoda induciei matematicefie p(n) ; o propoziie matematicp(n) dac se parcurg urmtorii pai:1.Verificarea c p(n) e adevrat pentru cele mai mici valori ale lui n.2.Presupunem p(k) e adevrat unde neprecizat.3.Demonstrm c i p(k+1) e adevrat.Probleme de numrare1)2)3)4)Elemente de combinatoric1)Permutri:2)Aranjamente:3)Combinri:
Binomul lui Newton1)2)formula termenului general:
3)4)5)Numere complexe
mprirea numerelor complexe
Rdcinile de ordinul n dintr-un numr complex
Forma trigonometric a numerelor complexe
Reprezentarea geometric a unui numr complexUn numr complex se zice n cadranul k dac reprezentarea lui este n acel cadran:1)2)3)4)
Puterile lui i, , , , , , Suma a 4 puteri consecutive ale lui i este 0.Caracterizarea unor chestiuni geometrice cu ajutorul numerelor complexeVector de poziie
Condiia de paralelogram
Distana= modulul unui numr complex Condiia de coliniaritate
Condiia de perpendicularitate
Matrice
Adunarea matricelor
nmulirea matricelor
Determinarea AnCalculm primele cteve puteri (4,5), ghicim o formul pentru Ak pe care o verificm prin metoda induciei.Proprietile determinanilor determinantul unei matrice este egal cu determinantul transpusei acelei matrice dac elementele unei linii sau coloane dintr-o matrice ptratic sunt nule atunci determinantul matricei este nul dac o matrice ptratic are 2 linii sau 2 coloane identice atunci determinantul ei este nulAplicaii ale matricelor n geometrieCondiia de coliniaritate
Aria triunghiului
Inversa unei matrice
Ecuaii matriceale
Rangul unei matrice
rang A=r A admite un minor de ordinul r nenul i toi minorii de ordin mai mare care exist sunt nuli
Sisteme de ecuaii liniareRegula lui Cramer
Sisteme de ecuaii1) determin rang A i minorul principal2) determin minorii caracteristici ( bordnd minorul cu principal cu una din liniile rmase i coloana termenilor liberi )3) gsesc un minor caracteristic sistem incompatibil soluia este mulimea vid ( S= ) STOP4) nu am minori caracteristici nenuli sistem compatibil5) rein numai ecuaiile corespunztoare liniilor minorului principal ecuaii principale6) necunoscutele corespunztoare coloanelor minorului principal sunt necunoscute principale Celelalte necunoscute = necunoscute secundare nu am necunoscute secundare sistem compatibil determinat am necunoscute secundare sistem compatibil nedeterminat ( o infinitate de soluii )7) necunoscutele secundare se noteaz cu litere ale alfabetului grec i se consider parametrii ( ele se trec n membrul drept al ecuaiei la termenul liber )8) sistemul astfel obinut se rezolv cu Regula lui Cramer sau metoda reducerii9) scriem soluiaCompunerea permutrilor
Inversa permutrilorInversa unei permutri se obine inversnd cele 2 linii ale permutrii
Inversiuni
Legi de compoziie interneProprieti
Table unei legi de compoziieEfectund toate compunerile se completeaz tabelul. Dac obinem numai elemente din M avem de afece cu o lege de compoziie intern pe M. Dac avem o linie i o coloan care au aceeai succesiune de elemente din M atunci acea linie sau coloan este elementul neutru. Dac tabla este simetric fa de diagonala principal atunci legea este comutativ.Structuri algebrice
Morfisme de grupuri
Inele i corpuri
Morfisme de inele (corpuri)
Relaiile lui Viete
Dac relaia suplimentar conine suma sau produsul a 2 rdcini se poate utilize scrierea sub urmtoarea form:
Obinem ecuaiile:
Ecuaii biptrate
Ecuaii reciproceEcuaia reciproc nu are soluia 0. Ecuaiile reciproce de grad impar au soluia x1=-1. Pentru ecuaia reciproc de gradul 3 avem soluia -1, celelalte 2 rdcini gsindu-se cu schema lui Horner i fiind rdcinile ctului.
Pentru ec. reciproc de gradul 5 prima soluie e -1, aplic schema lui Horner i obin o ec. reciproc de gradul 4 care se rezolv dup algoritm.
Ecuaii binome
Vectori1) Spunem c doi vectori au aceeai direcie dac dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.2) 2 vectori care au aceeai direcie se zic coliniari.3) Fie 2 vectori care au aceeai direcie. Spunem c ei au acelai sens dac se verific unul dintre cazurile:- au aceeai dreapt suport- determin pe aceasta acelai sens- au dreptele suport paralele i sunt situai n acelai semiplan determinat de dreapta care trece prin originile lor4) 2 vectori care au aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime se zic echipoleni. Mulimea tuturor vectorilor echipoleni cu un vector dat se numete vector liber.Produsul scalar al vectorilor
Proprietile nmulirii vectorilor cu scalari4) Vector de poziie
Coordonatele vectorului determinat de 2 puncte
Condiia de coliniaritate a 2 vectori
Distana dintre 2 puncte
Mijlocul unui segment
Centrul de greutate
Condiia de paralelogram
Condiia de coliniaritate a 3 puncte
Dreapta
Panta unei drepte este tangenta unghiului format de dreapta cu direcia pozitiv a axei OX msurat de la OX la dreapt n sens trigonometric.
Ecuaia dreptei determinat de 2 puncte
Condiia de paralelism a 2 drepte
Condiia de perpendicularitate a 2 drepte
Unghiul format de 2 drepte
Intersecia a dou drepteUn punct se afl pe o dreapt coordonatele sale verific ecuaia dreptei.Dac un punct se afl la intersecia a 2 drepte verific ambele ecuaii ale dreptelor.Distana de la un punct la o dreapt
Aria triunghiului1)2)3)4)5)Formulele lui Neper
Funcii trigonometrice1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)17)18)19)20)21)22)23)24)25)26)27)28)29)30)31)Valorile funciilor trigonometrice
10
0-1
1/-10
10-1/
-10
01
1/-10
10-1/
Semnul funciilor trigonometrice pe cadrane
++--
+--+
+-+-
+-+-
Teorema sinusului
Teorema cosinusului
Teorema medianei
Teorema bisectoarei
Ecuaii trigonometrice fundamentale1)2)3)4)Ecuaii omogene n sin x i cos x
Ecuaia liniar n sin x i cos x
Cercul
Elipsa
Hiperbola
Parabolaecuaia parabolei raportat la axa ei de simetrie i la tangenta prin vrf
Intersecia a 2 curbe ( drepte,conice ) un punct se afl pe o curb coordonatele punctului verific ecuaia curbei ; coordonatele sale sunt soluie a sistemului format de ecuaiile curbelor fcnd o substituie ajungem de obicei la o ecuaie de gradul II
La cerc C(C,R) i dreapta d:
Funcia de gradul I
Semnul funciei de gradul I
Funcia de gradul II
Forma canonic a funciei de gradul II
Semnul funciei de gradul II
Relaiile lui Viete
Imaginea funciei de gradul II
Reprezentarea grafic a funciei de gradul II
Operaii cu funcii
Compunerea funciilor
Funcii injective, surjective, bijective, inversabile
Funcii monotoneFuncia de gradul I
Funcia de gradul II
Progresia aritmetic
Progresia geometric
Limite remarcabile
Funcii continueStudiul continuitii unei funcii se face doar n punctele n care se schimb formula funciei.Dac x0 D i f nu e continu n x0 vom spune c x0 e punct de discontinuitate pentru f.Vom spune c x0 e punct de discontinuitate de spea I dac exist limite laterale finite n x0.Vom spune c x0 e punct de discontinuitate de spea II n restul cazurilor.
Proprietatea lui Darboux
Teorema lui WeierstrassO funcie continu pe un interval este mrginit i i atinge efectiv marginile.
Funcii derivabile
Dac f e derivabil n x0 atunci f este i continu n x0. Reciproca nu e adevrata. Exist funcii continue care nu sunt derivabile.
Tabel cu derivateFuncia elementarDerivataFuncia compusDerivata
Operaii cu funcii derivate
Clasificarea punctelor n care o funcie e continu dar nu e derivabil
Teorema lui Fermat
Teorema lui Lagrange
Consecine ale Teoremei lui Lagrange
Teorema lui Rolle
irul lui Rollef ndeplinete condiiile teoremei lui Rolle ntre 2 rdcini ale funciei exist cel puin o rdcin a derivatei
Regula lui lHospital
Rolul derivatei a II-a n studiul funciilor
AsimptoteAsimptote verticale
Asimptote orizontale
Asimptote oblice
Reprezentarea grafic a funciilor reale1) - stabilirea domeniului funciei- determinarea interseciei graficului cu axele Ox i Oy- calculm limitele fc. la punctele de frontier ale domeniului de def. i unde se modific formula analitic- determinarea asimptotelor i studiul continuitii2)studiul funciei cu ajutorul derivatei I- calculm derivata I, stabilim derivabilitatea- rezolvm ecuaia f (x)=0, stabilesc semnul derivatei, studiez monotonia i eventualele puncte de extrem3)studiul funciei cu ajutorul derivatei II- calculm derivata II, rezolvm ecuaia f(x)=0, stabilesc semnul derivatei II, stabilesc intervalele de convexitate4)ntocmirea tabelului de variaie cu x, f, f i f5) trasarea graficului ntr-un sistem de coordonate- se ncepe cu reprezentarea asimptotelor, se trec pe grafic toate punctele din tabel- se unesc puntele innd cont de ce ne sugereaz tabelulTabel cu integrale
Funcii primitivabile
Formula de integrare prin pri
Funcii integrabile
Proprietile integralei definite1)Proprietatea de liniaritate
2)Proprietatea de aditivitate
3)Proprietatea de pozitivitate
4)Monotonia integralei definite
5)Proprietatea de mrginire
Aria subgraficului funciei
Volumul corpului de rotaie