Elemente de teoria probabilitatilor

Lect. dr. Rodica Ioana Lung

19 Noiembrie 2007

1

Teoria probabilitatilor este un capitol al matematicii aplicate care seocupa cu rezolvarea unor probleme de tip aleator la care aparedrept element important factorul ntamplator . Exista multe domeniidin realitatea nconjuratoare n care se ntalnesc astfel de elementealeatoare, de exemplu n sfera economica, social-politica, n sport, etc.

In acest capitol se formuleaza mai ntai notiunea de evenimentaleator, se introduce o masura a realizarii unui astfel de eveniment(probabilitatea) iar apoi se evidentiaza o serie de aspecte atatcalitative cat si cantitative. Exista mai multe modalitati de a abordateoria probabilitatilor. Noi vom aborda calea clasica, adica aceea carese bazeaza pe teoria multimilor.

2

Camp de evenimente. Camp deprobabilitate

Corp de parti

Notam cu o multime nevida pe care o consideram multime dereferinta si cu P() multimea tuturor submultimilor (partilor) lui .Definitie 0.1 Se numeste corp de parti ale lui orice familie K P() care satisface urmatoarele doua conditii:

a) Pentru orice multime A K are loc relatia CA K, unde cu CAs-a notat complementara lui A, adica CA = \ A.

b) A,B K are loc A B K3

Exemplul 0.2 Multimea P() satisface conditiile a) si b) din definitia0.1, deci se poate spune ca este un corp de parti ale lui .

Exemplul 0.3 Daca = {1, 2, 3, 4, 5, 6} atunci multimea:K = {,, {1, 6}, {2, 3}, {4, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}}este un corp de parti ale lui .

Observatie: Din definitie si din proprietatile operatiilor obisnuite cumultimi se deduc urmatoarele implicatii:

1. Pentru A,B K vom avea si A B K.

2. Pentru A,B K vom avea si A \B K.

3. , K

4

Aceste trei implicatii se pot demonstra imediat folosind definitia 0.1 siproprietatile operatiilor cu multimi.In situatia n care n locul conditiei b) din definitia 0.1 se considera oalta conditie b:

b)(An)nN, An K avem nN

An K.spunem despre multimea K, care se bucura de proprietatile a) si b),ca este un -corp de parti ale lui .

5

Camp de evenimente

Consideram n cele ce urmeaza un experiment aleator, experiment lacare desi se cunosc toate rezultatele posibile, nu se stie sau nu sepoate spune cu certitudine care din acestea va apare (se va realiza).De exemplu, experimentul aruncarea unui zar . Dupa efectuareaexperimentului se obtine un rezultat. Acesta l vom numi proba. Notamcu multimea tuturor probelor:

= spatiul probelor.

Definitie 0.4 Se numeste eveniment asociat unui experiment aleatorn sens clasic orice multime A:

A = {x|x proba care confirma realizarea lui A}adica un eveniment este orice situatie ce se formuleaza n legatura cuexperimentul aleator despre a carei realizare nu se poate spune nimiccu certitudine pana dupa efectuarea experimentului.

6

La orice experiment aleator se pot pune n evidenta trei categorii deevenimente:

- prima categorie este formata din evenimentul sigur (evenimentulcert), notata cu ; orice proba i confirma realizarea;

- a doua categorie este formata din evenimentele aleatoare; uneveniment este aleator daca exista cel putin o proba care-i confirmarealizarea. Din aceasta categorie se desprinde o subcategorie foarteimportanta aceea a evenimentelor elementare, adica evenimentelepentru care exista o proba si numai una care le confirma realizarea

- a treia categorie contine evenimentul imposibil , evenimentul care nuse realizeaza la nici o efectuare a experimentului (nici o proba nu-iconfirma realizarea).

7

Definitie 0.5 Se numeste camp de evenimente asociatexperimentului aleator cu spatiul probelor orice corp de partiK P().

Campul de evenimente se noteza astfel: (,K).

Cand K este un -corp de parti ale lui atunci vom numi perechea(,K) un -camp de evenimente.Exemplul 0.6 Plecand de la exemplul de mai sus la care experimentulaleator este aruncarea zarului avem spatiul probelor care mpreunacu multimea K definita acolo formeaza un camp de evenimente.

Cu evenimentele putem efectua operatii ca si cu multimile. Formularilepentru aceste operatii vor fi date prin intermediul exprimarilor probe,realizari etc. n timp ce din punct de vedere matematic va fi vorba deoperatii obisnuite cu multimi.

8

Fie (,K) un camp de evenimente asociat unui experiment aleator, siA, B (,K) doua evenimente din acest camp. Vom scrie atuncievenimentele:

1. AB evenimentul care consta n realizarea a cel putin unuia dincele doua evenimente (se realizeaza A sau B).

2. AB evenimentul care consta n realizarea ambelor evenimente(se realizeaza A si B).

3. A \B evenimentul care consta n realizarea lui A si nerealizarealui B.

4. A = CA evenimentul contrar lui A care consta n nerealizarea luiA (realizarea lui \ A).

Operatiile cu evenimente satisfac proprietatile obisnuite ale operatiilorcu multimi. Astfel, oricare ar fi A,B,C (,K) avem relatiile:

9

1. A B = B A

2. A (B C) = (A B) C

3. A B = B A

4. A (B C) = (A B) C

5. A (B C) = (A B) (A C) distributivitatea intersectieifata de reuninue

6. A A =

7. A A =

8. A \B = A B10

9. A B = A B

10. A B = A BUltimele doua relatii sunt cunoscute sub numele de relatiile lui deMorgan.

Cu evenimentele se pot stabili de asemenea o serie de relatii, vomaminti aici doua dintre ele: cea de implicare si cea de echivalenta.

1. Daca A,B K spunem ca A implica pe B si scriem A Batunci cand realizarea lui A atrage dupa sine si realizarea lui B.

Proprietati:

reflexivitate: A A

tranzitivitate: A B si B C rezulta si A C11

are loc urmatoarea echivalenta: A B A B = A A B = B

2. Spunem ca evenimentele A,B K sunt echivalente si scriemA = B daca are loc relatia A = B A B si B A.

Proprietati:

reflexivitate: A = A

tranzitivitate: A = B si B = C rezulta si A = C

simetrie: A = B implica B = A.

Avand n vedere definitia relatiei de echivalenta putem observa caincluziunea are si proprietatea de antisimetrie, adica (A B) si (B A) (A = B)

12

Definitie 0.7 Evenimentele A si B sunt incompatibile daca nu sepot realiza deodata, adica nu exista nici o proba care sa confirmerealizarea acestora mpreuna, deci A B = . In caz contrarevenimentele A si B se vor numi compatibile, ele se pot realizadeodata, si exista cel putin o proba care confirma realizarea ambelor:A B 6= .Definitie 0.8 Spunem ca evenimentele A1, A2, . . . , An formeaza unsistem complet de evenimente daca sunt ndeplinite urmatoarele douaconditii:

1. Reuniunea lor este evenimentul sigur, adica A1A2 . . .An =.

2. Sunt doua cate doua incompatibile: Ai Aj = , i 6= jObservatie 0.9 Sistemul complet de evenimente reprezinta o partitiea evenimentului sigur.

13

Camp de probabilitateIn cele ce urmeaza prezentam o masura a sansei de realizarepentru evenimentele unui camp de evenimente. Definitia axiomaticaa probabilitatii este fundamentala n continuare, pe ea urmand sa secontruiasca tot ceea ce urmeaza de acum ncolo.

Definitie 0.10 Consideram un camp de evenimente (,K). Senumeste probabilitate orice aplicatie P : K R care asociazafiecarui eveniment A din K numarul real notat P (A) numitprobabilitatea luiA si care satisface urmatoarele trei axiome (axiomeleprobabilitatii):

1. P (A) 0;2. P () = 1;

3. P (AB) = P (A)+P (B) atunci cand A si B sunt incompatibile(A B = )

14

Notam campul de probabilitate cu (,K, P ) .Observatie 0.11 Daca (,K) este un -camp si axioma 3 senlocuieste cu axioma 3, unde 3 este:

P (

n=1

An) =

n=1

P (An), (An)nN

seria din membrul drept fiind convergenta si An sunt doua cate douaincompatibile, atunci (,K, P ) se numeste -camp de probabilitate.

Axiomele din Definitia 0.10 poarta numele de axiomele luiKolmogorov .

Din definitia axiomatica a probabilitatii se obtine ntr-un caz specialdefinitia clasica a probabilitatii . Presupunem ca (,K, P ) esteastfel ncat multimea este finita (are n elemente) iar evenimentele

15

elementare sunt echiprobabile (au aceeasi probabilitate). Daca notamcu Ei, i = 1, n evenimentele elementare, atunci avem egalitatea:

p = P (E1) = P (E2) = . . . = P (En)

Definitie 0.12 Definitia clasica a probabilitatii. Daca A este uneveniment realizat de un numar de k probe, A = {i1, i2, . . . , ik}atunci conform definitiei clasice a probabilitatii avem

P (A) =k

n

adica raportul dintre numarul cazurilor favorabile realizariievenimentului A si numarul cazurilor posibile:

P (A) =nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile

.

Observatie 0.13 Numai din definitia axiomatica a probabilitatii sifolosind proprietatile operatiilor cu evenimente (cu multimi) se deducurmatoarele proprietati ale probabilitatilor:

16

P1) P () = 0.

P2) P (A) = 1 P (A).

P3) daca A B atunci avem:

P (B \ A) = P (B) P (A)

P (A) P (B) (functia de probabilitate este monotona)

P4) A avem 0 P (A) 1.

P5) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).Demonstratie: P1) Pornind de la egalitatea = si avand nvedere ca = iar P () = 1 putem scrie:P ( ) = P () 3o P () + P () = P () P () = 0

17

P2) Folosindu-ne de relatiile A A = si A A = scriem:P (AA) = P () P (A)+P (A) = P () = 1 P (A) = 1PP3) Avand n vedere ca A B se poate scrie B = A (B \ A) iarevenimentele A si B \A sunt incompatibile (A (B \A) = ) rezultaca putem scrie

P (B) = P (A) + P (B \ A) P (B \ A) = P (B) P (A).iar din

P (B \ A) 0 P (B) P (A) 0 P (A) P (B).P4) Pornim de la implicatiile: A din care folosind P3) rezultaca

0 = P () P (A) P () = 1P5) Avand n vedere ca

A B = A [B \ (A B)]

18

si ca evenimentele A si [B \ (A B)] sunt incompatibile:A [B \ (A B)] =

vom avea:

P (AB) = P (A)+P (B \ (AB)) = P (A)+P (B)P (AB).

Axioma a 3-a din definitia clasica a probabilitatii, precum siproprietatea P5) din Observatia de mai sus se pot generaliza dupacum urmeaza:

Pentru cazul a trei evenimente A, B si C:- Daca sunt doua cate doua incompatibile:

P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C)

19

- Daca nu sunt incompatibile doua cate doua:P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A

P (B C) + P (A B C) Pentru cazul a n evenimente Ai, i = 1, . . . , n:

- Daca evenimentele Ai, i = 1, . . . , n sunt incompatibile douacate doua, adica Ai Aj = , pentru orice i 6= j avem:

P (

ni=1

Ai) =

ni=1

P (Ai)

- Daca evenimentele Ai, i = 1 . . . n nu sunt doua cate douaincompatibile atunci:

P (

ni=1

Ai) =

ni=1

P (Ai)i

Formule fundamentaleAceasta sectiune prezinta niste rezultate / relatii care exprimaprobabilitatea intersectiei de evenimente, formula probabilitatii totale,probabilitatea conditionata si legaturile dintre acestea.

Inegalitatea lui Boole

Dupa cum se stie, probabilitatea reuniunii n caz general se exprima cuajutorul probabilitatilor evenimentelor care se reunesc si a intersectiilorde astfel de evenimente:

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Inegalitatea lui Boole ne va furniza o margine inferioara pentruprobabilitatea intersectiei. Are loc urmatorul rezultat:

21

Teorema 0.14 Fie A1, A2, . . ., An (,K, P ) evenimente dintr-uncamp de probabilitate. Are loc relatia:

P (

ni=1

Ai) ni=1

P (Ai) (n 1) = 1ni=1

(1 P (Ai)).

Demonstratie. Pentru demonstratie vom folosi metoda inductieimatematice n raport cu n, n 2.

Pentru n=2 trebuie sa verificam relatia:

P (A1 A2) P (A1) + P (A2) 1Aceasta inegalitate se mai poate scrie si ca P (A1)+P (A2)P (A1A2) 1 sau P (A1 A2) 1 ceea ce este adevarat.

Presupunem ca n = k si ca are loc inegalitatea:

22

P (

ki=1

Ai) ki=1

P (Ai) (k 1).

Vrem sa aratam ca are loc si:

P (

k+1i=1

Ai) k+1i=1

P (Ai) k

pentru n = k + 1. Pornim cu membrul stang al ultimei inegalitati:

P (

k+1i=1

Ai) = P (

ki=1

Ai Ak+1) P (ki=1

Ai) + P (Ak+1) 1

ki=1

P (Ai) (k 1) 1 =k+1i=1

P (Ai) k

Retinem extremintatile acestui sir de relatii, de unde rezulta cainegalitatea va fi adevarata pentru orice n 2. Cea de a douainegalitate se demonstreaza cu ajutorul evenimentelor contrare.

23

Probabilitati conditionate

Definitie 0.15 Fie A un eveniment dintr-un camp de probabilitate careare probabilitatea strict pozitiva A (,K, P ), P (A) > 0. Senumeste probabilitatea evenimentului B (,K, P ) conditionatade evenimentul A, si se noteaza PA(B) sau P (B|A) raportul dintreprobabilitatea intersectiei celor doua evenimente si probabilitateaevenimentului care conditioneaza:

PA(B) =P (A B)P (A)

.

Definitia 0.15 este corecta deoarece sunt ndeplinite cele 3 axiome aleprobabilitatii (Kolmogorov):

1 PA(B) 0 este evidenta avand in vedere definitia.

24

2 PA() = 1 este adevarata deoarece:

PA() =P (A )P (A)

=P (A)

P (A)= 1, unde am folosit A = A

3 PA(B C) = PA(B) + PA(C) pentru B,C cu B C = esteadevarata deoarece:

PA(B C) = P (A (B C))P (A)

=P ((A B) (A C))

P (A)=

=P (A B) + P (A C)

P (A)=P (A B)P (A)

+P (A C)P (A)

= PA(B)+PA(C).

Observatie 0.16 Pe langa campul de probabilitate (,K, P ) de acumncolo se poate vorbi si despre campul de probabilitate conditionata

(,K, PA), : A (,K, P ), P (A) > 0.

25

Probabilitatea conditionata este importanta n cele ce urmeazantrucat ne permite sa exprimam probabilitatile pentru intersectii deevenimente. Intr-adevar, daca A,B (,K, P ) pentru care P (A) >0, P (B) > 0 atunci putem scrie:

P (A B) = P (A) PA(B) = P (B) PB(A).

Generalizare. In cazul mai multor evenimente se pot scrie relatiisimilare:

P (A B C) = P (A) PA(B) PAB(C) P (A1 A2 . . . An) = P (A1) PA1(A2) PA1A2(A3) . . . Pn1

i=1Ai(An)

Observatie 0.17 Exista un caz special foarte important n care, nipoteza independentei, se poate exprima probabilitatatea intersectieimult mai simplu. Avem nevoie de urmatoarea definitie:

26

Definitie 0.18 Spunem ca evenimentele A,B din (,K, P ) suntindependente daca are loc:

P (A B) = P (A) P (B).

Se constata din definitia 0.18 ca independenta celor doua evenimenteduce la egalitatea

PA(B) = P (B)

adica realizarea evenimentului B nu este conditionata de realizareaevenimentului A, sau sansa ca B sa se realizeze nu este n nici un felinfluentata, este independenta, de realizarea lui A.

In consecinta, atunci cand independenta este prezenta vom puteascrie pentru probabilitatea intersectiei reltiile:

P (A B) = P (A) P (B)

27

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

Pentru n evenimente independente:

P (

ni=1

Ai) =

ni=1

P (Ai).

Teorema 0.19 Daca evenimentele A si B sunt independente atunciacelasi lucru se poate spune si despre A si B; A si B; A si B.

Formula probabilitatii totale

Consideram un sistem complet de evenimente A1, . . . , An (,K, P ). Are loc formula probabilitatii totale (FPT):

28

Teorema 0.20 Daca X este un eveniment din (,K, P ) siA1, . . . , An (,K, P )

un sistem complet de evenimente, atunci are loc relatia:

P (X) = P (A1) PA1(X)+P (A2) PA2(X)+ . . .+P (An) PAn(X).

Demonstratie. Utilizand cele doua conditii ale sistemelor completede evenimente si proprietatile operatiilor cu evenimente, putem scrie:

X = X = (ni=1

Ai) X =ni=1

(Ai X)

deci avem:

X =

ni=1

(Ai X).

29

Aplicand probabilitatea, urmeaza ca:

P (X) = P

(ni=1

(Ai X))

=

ni=1

P (AiX) =ni=1

P (Ai)PAi(X)

adica tocmai ceea ce trebuia demonstrat.

Formula lui Bayes

(formula probabilitatii cauzei , formula probabilitatii apriorice) Nesituam n aceleasi ipoteze de la formula probabilitatii totale. Avemun sistem complet de evenimente (Ai)i=1,...,n (,K, P ) si X uneveniment oarecare. Daca n cazul formulei probabilitatii totale amexprimat probabilitatea evenimentului X n functie de probabilitatileevenimentelor din sistemul complet, acum vom exprima PX(Aj) adicaprobabilitatea unui eveniment Aj din sistemul complet conditionata de

30

X , sau probabilitatea evenimentului Aj din cauza caruia s-a realizatevenimentul X .

Are loc urmatorul rezultat:

Teorema 0.21 Formula lui Bayes. In ipotezele date este adevarataformula:

PX(Aj) =P (Aj) PAj(X)

P (X)=

P (Aj) PAj(X)ni=1

P (Ai) PAi(X)

Demonstratie. Consideram egalitatea Aj X = X Aj de underezulta ca P (Aj X) = P (X Aj) sau:

P (Aj) PAj(X) = P (X) PX(Aj)

31

de unde putem exprima pe PX(Aj):

PX(Aj) =P (Aj) PAj(X)

P (X)

Observatie 0.22 Cele trei formule fundamentale se vor utiliza naplicatii concrete de fiecare data cand se pot evidentia evenimentela care ele se refera si evenimentele care apar ndeplinesc cerintele /ipotezele de la aceste formule.Exemplul 0.23 Un sortiment de marfa dintr-o unitate comercialaprovine de la trei fabrici diferite n proportii de 1/3 de la prima fabrica,1/6 de la fabrica a doua si restul de la fabrica a treia. Produsele de lacele trei fabrici satisfac standardele de fabricatie n proportie de 90%,95%, resectiv 92%. Un client ia la ntamplare o bucata din sortimentulde marfa respectiv. Care este probabilitatea ca aceasta sa satisfacastandardele de fabricatie? In cazul n care cumparatorul constataacasa ca produsul este defect, care e probabilitatea ca acesta saprovina de la prima fabrica?

32

Solutie 0.24 Vom nota cu A1, A2, A3 evenimentele ca o bucata dinprodusul respectiv sa provina de la prima, respectiv a doua si a treiafabrica. Atunci nseamna ca probabilitatile acestor evenimente sunt:

P (A1) =1

3,

P (A2) =1

6,

P (A3) = 1 (P (A1) + P (A2)) = 1 (13+

1

6) =

1

2

Deoarece stim din enunt ca produsul respectiv poate proveni doar dela una din cele trei fabrici, nseamna ca putem scrie relatia:

A1 A2 A3 = .De asemenea, avand n vedere ca o bucata nu poate proveni n acelasitimp de la doua fabrici diferite, deducem ca evenimentele A1, A2 si A3sunt incompatibile doua cate doua, adica nu se pot realiza deodata.

33

Astfel, putem trage concluzia ca evenimentele {A1, A2, A3} formeazaun sistem complet de evenimente.

Pentru a raspunde la prima ntrebare vom nota cu X evenimentul cabucata aleasa de client sa satisfaca standardele de fabricatie. Neintereseaza probabilitatea de realizare a evenimentului X .

Din enunt stim ca probabilitatile ca un produs provenit de la primafabrica, respectiv a doua si a treia sunt 0.90, 0.95 respectiv 0.92. Deci,daca bucata cumparata ar proveni de la prima fabrica probabilitateaca aceasta sa satisfaca standardele de fabricatie este de 0.90, adicaputem spune ca probabilitatea lui X conditionata de A1 este 0.90:

PA1(X) = 0.90

iar n mod analog putem scrie:

PA2(X) = 0.95, PA3(X) = 0.92.

34

Asadar ne aflam in ipoteza formulei probabilitatii totale care ne permitecalcularea probabilitatii lui X :

P (X) = P (A1) PA1(X) + P (A2) PA2(X) + P (A3) PA3(X)de unde:

P (X) =1

3 0, 90 + 1

6 0, 95 + 1

2 0, 92

P (X) = 0, 91.

La a doua ntrebare ni se cere sa calculam probabilitateaevenimentului A1, n conditiile nerealizarii evenimentului X , adicaprobabilitatea lui A1 conditionata de X , PX(A1). Folosim formula luiBayes si avem:

PX(A1) =P (A1) PA1(X)

P (X)

35

avand n vedere ca P (X) = 1 P (X) si ca PA1(X) = 1 PA1(X)avem:

PX(A1) =P (A1) (1 PA1(X))

1 P (X) ,

PX(A1) =13 (1 0, 90)1 0, 91 ,

PX(A1) = 0, 37.

36

Scheme clasice de probabilitateScheme clasice de probabilitate

O serie de probleme din cadrul probabilitatilor, care desi au enunturiaparent diferite se rezova cu aceeasi metoda. In fond am puteaspune ca ncadram problemele respective ntr-o aceeasi schema.Exista mai multe scheme stranse sub denumirea de scheme clasicede probabilitate. Esential la aceste scheme este sa scriem cumse desfasoara experimentul si sa evidentiem evenimetul a caruiprobabilitate ne intereseaza. Adoptam si noi aici la formulare limbajulfoarte utilizat n care experimentul se refera la extragerea unor biledintr-o urna (sau din mai multe) dupa un anumit procedeu. Tocmai deaceea si schemele vor fi denumite ca schema urnei cu... .

37

Schema urnei cu bile revenite(schema binomiala, schema urneilui Bernoulli)Aceasta schema de probabilitate se aplica n cazul n care se facrepetari independente ale unui experiment si la fiecare repetare seare n vedere aparitia unui eveniment bine precizat. Evenimentulconsiderat se presupune ca apare cu aceeasi probabilitate la fiecarerepetare a experimentului. Se cere calcularea probabilitatii ca din nrepetari ale experimentului evenimentul precizat sa apara de k ori.

Presupunem ca urna U are bile de doua culori (albe si negre).Se cunoaste probabilitatea p ca la o extragere sa iasa o bila alba.Probabilitatea extragerii unei bile negre va fi q = 1 p. Atunci cand

38

se cunoaste continutul urnei - a bile albe si b bile negre, valoarea lui pva fi p = a

a+b.

Experimentul se desfasoara astfel: din urna se extrage pe rand cate obila care dupa examinare revine n urna. Notam cu n numarul total debile extrase (cu revenire). Intrebarea pe care ne-o punem este: careeste probabilitatea ca din cele n bile extrase de k ori sa obtinem o bilaalba.

Rezolvarea acestei probleme se face folosind exprimareaevenimentului considerat cu evenimente corespunzand fiecareiextrageri n parte (ca si reuniune de intersectii de astfel de evenimente)si folosind proprietatile probabilitatilor. Calculam probabilitateaevenimentului Xkn ca din n bile extrase k sa fie de culoare alba,notata cu P (Xkn) folosind formula:

P (Xkn) = Ckn pk qnk.

39

Exemplul 0.25 La o banca s-a constatat ca din 10 credite 9 suntperformante. Daca se acorda 5 credite, care este probabilitatea ca3 din ele sa fie performante?

Solutie 0.26 Aceasta probabilitate se calculeaza cu ajutorul schemeilui Bernoulli cu bila revenita. Probabilitatea ca un credit sa fieperformant este p = 910 iar probabilitatea ca un credit sa fieneperformant este q = 1 p = 1 910 = 110. Aceste probabilitatisunt constante pentru fiecare credit n parte, deci putem sa ne folosimde schema binomiala. Ne intereseaza care este probabilitatea ca dinn = 5 credite, k = 3 credite sa fie performante. Calculam:

P (X35) = C35 p3 q53 = 10

(9

10

)3(

1

10

)2= 0, 07

40

Schema urnei cu bila revenita si cumai multe stari (multinomiala saupolinomiala)Aceasta este o generalizare a schemei binomiale. Se aplica atuncicand la fiecare repetare se urmareste aparitia a s evenimente careformeaza un sistem complet de evenimente. Probabilitatile de aparitiepentru evenimentele considerate nu depind de rangul repetarii decisunt constante. Se doreste calculul probabilitatii ca n n repetariindependente ale experimentului, cele s evenimente sa apara de unnumar precizat de ori dat.

Presupunem ca avem o urna care contine bile de s culori. Se cunoscprobabilitatile de a scoate bile de diversele culori pi, i = 1, s . Dinurna se extrag, pe rand, bile cu ntoarcerea bilei extrase n urna, dupa

41

ce s-a constatat culoarea ei. Se cere sa se calculeze probabilitateaevenimentului Xk1,k2,...,ksn , ca din n bile extrase, k1 sa fie de culoareaintai, k2 bile de culoarea a doua, s.a.m.d ks sa fie de culoarea a s-a.

Folosindu-se un rationament similar ca si n cazul schemei binomialese deduce formula de calcul:

P (Xk1,k2,...,ksn ) =n!

k1!k2! ks! pk11 p

k22 pkss .

Observatie 0.27 Au loc relatiile:

p1 + p2 + + ps = 1deoarece cele s evenimente formeaza un sistem complet, si:

k1 + k2 + ks = ncare este evidenta.

42

Exemplu 0.28 Consideram experimentul aruncarea unui zar si nefixam atentia asupra evenimentelor de a apare: o fata cu un numarpar de puncte, o fata cu un numar prim mai mare ca 2 si fata cu unpunct. Daca se arunca zarul de 10 ori, care este probabilitatea ca de3 ori sa apara o fata cu un numar par de puncte, de 5 ori o fata cu unnumar prim mai mare ca 2 si de doua ori fata cu un punct.

Solutie 0.29 Avem p1 = 12, p2 =13 si p3 =

16, k1 = 3, k2 = 5 si

k3 = 2. Aplicam formula si avem:

P (X3,5,210 ) =10!

3!5!2!

(1

2

)3(1

3

)5(1

6

)2= 0.036.

43

Schema urnei cu bile nereveniteIntr-o urna U se afla bile de doua culori: bile albe si bile negre. Notamcu a numarul de bile albe si b numarul de bile negre. Din urna seextrage pe rand cate o bila, n total extragandu-se n bile. Dupa fiecareextragere bila extrasa ramane afara.

Observatie 0.30 A extrage pe rand bilele fara revenire nseamnaacelasi lucru, din punct de vedere probabilistic, cu a extrage toatebilele deodata.

Ne intereseaza ca din n bile extrase, de k ori sa apara bila alba side l ori sa apara bila neagra: k + l = n. Notam acest eveniment cuX

k,la,b si ne intereseaza probabilitatea realizarii lui. Formula de calcul a

acestei probabilitati este:

P (Xk,la,b) =Cka C lbCna+b

.

44

Exemplu 0.31 Intr-o grupa sunt 20 de studente si 15 studenti. Lantamplare se constituie o echipa care va participa la un training,formata din 10 studenti. Care este probabilitatea ca n aceasta echipasa fie 6 studente?

Solutie 0.32 Avem: a = 20, b = 15, n = 10, k = 6 si l = 4.Probabilitatea cautata este:

P (X6,420,15) =C620 C415C1035

= 0.28.

Generalizarea se face extinzand numarul de culori (de stari). Astfelconsideram ca urna U contine bile de s culori: a1, a2, . . . , as. Din urnase extrag fara revenire n bile. Probabilitatea evenimentului sa avem unnumar de ki bile extrase de culoarea ai, i = 1, s, unde

k1 + k2 + ... + ks = n

45

este

P (Xk1,k2,...,ksa1,a2,...,as ) =Ck1a1 Ck2a2 ... Cksas

Cna1+a2+...+as.

46

Schema urnelor lui Poisson

Fie U1, U2, ..., Un , n urne care contin fiecare bile de 2 culori. Secunosc probabilitatile de a extrage o bila alba, respectiv neagra dinfiecare urna:

p1, q1; p2, q2; ...; pn, qn.

Din fiecare urna se extrage cate o bila. In total se extrag n bile.Probabilitatea evenimentului Xkn ca din cele n bile extrase bila albasa apara de k ori este:

P (Xkn) =

1i1

Exemplu 0.34 Dintr-o serie de curs cu 3 grupe se constituie o echipaformata cu cate un reprezentant din fiecare grupa. Cunoscandprobabilitatile ca din fiecare grupa sa fie aleasa la ntamplare ostudenta, anume p1 = 0.52, p2 = 0.64 si p3 = 0.55 sa se determineprobabilitatea ca n echipa constituita sa fie 2 studente.

Solutie 0.35 Cu datele din enunt formam produsul:

(0.52t + 0.48)(0.64t + 0.36)(0.55t + 0.45)

de unde vom extrage coeficientul termenului t2 :

P (X35) = 0.52 0.64 0.45+0.52 0.55 0.36+0.64 0.55 0.48 = 0.42.

48

Schema lui Pascal (schemageometrica)Modelul probabilistic al acestei scheme se realizeaza printr-o urnacare contine bile de doua culori: albe si negre. Se extrag bile dinurna, una cate una, cu ntoarcerea bilei extrase n urna, dupa ce s-a constat culoarea ei. Vom spune ca avem succes cand se obtineo bila de culoare alba, respectiv insucces cand se obtine o bila deculoare neagra. Probabilitatea succesului la o extragere este p iar ainsuccesului este q = 1 p. Calculam probabilitatea evenimentuluiXkn ca la aparitia celui de al n-lea succes, sa se fi obtinut k insuccesecu formula:

P (Xkn) = Ckn+k1 pn qk.

Exemplu 0.36 Se cunoaste ca un tragator nimereste tinta cuprobabilitatea 0.7. Care este probabilitatea evenimentului ca primanimerire a tintei sa se realizeze dupa 4 ratari.

49

Solutie 0.37 Avem n = 1, k = 4, p = 0.7 si q = 0.3 . Probabilitateacautata este:

P (X41) = C44 (0.7)1 (0.3)4 = 0.005.

50

Variabile aleatoareDefinitii

Pana acum evenimentele au fost studiate mai ntai din punct de vederecalitativ iar o data cu introducerea probabilitatilor si din punct devedere cantitativ. Studiul se extinde prin considerarea unei notiuni noi,aceea de variabila aleatoare, variabila care va juca un rol similar nteoria probabilitatilor ca si variabila din cadrul analizei matematice saudin cealalta parte a matematicii.

In cazul variabilelor aleatoare valorile vor fi luate dintr-o anumitamultime nu n mod cert ci numai cu o anumita probabilitate. Ca notatiepentru variabila aleatoare se utilizeaza de obicei literele mari sau potfi utilizate si literele grecesti: , ....

Consideram un camp de probabilitate (,K, P )51

Definitie 0.38 Se numeste variabila aleatoare reala orice aplicatie

X : Raplicatie care asociaza fiecarei probe un numar real X () ,

7 X ()astfel ncat

X1 (, x) K x R.

Aici, prin X1 (, x) am notat evenimentul identificat cu multimeaprobelor astfel ncat X () < x :

X1 (, x) = {, , X () < x} .

52

Observatie 0.39 In cele ce urmeaza vom avea n vedere douacategorii de variabile aleatoare si anume:

- variabile aleatoare de tip discret

- variabile aleatoare de tip continuu

Variabilele aleatoare de tip discret sunt variabile aleatoare pentrucare multimea valorilor (codomeniul lui X) este o multime finita saunumarabila de forma

M = {xi |xi R}iI , I N.

Variabila aleatoare de tip continuu este variabila aleatoare a caruicodomeniul M este un interval M = [a, b] R nchis sau nu.

53

Exemplu 0.40 Notam cu X variabila aleatoare care reprezinta sumapunctelor obtinute la aruncarea a doua zaruri. Atunci

M = {2, 3, 4, 5, 6, ..., 11, 12} .Exemplu 0.41 Fie = {1, 2, 3}; K = {, {1}, {2, 3},},M = {x1, x2} R, x1 < x2.

Aratam ca X : M, X(1) = x1, X(2) = x2, X(3) = x2 esteo variabila aleatoare.

X1((, x)) = pentru orice x x1;

X1((, x)) = {1} pentru orice x1 < x x2;

X1((, x)) = {2, 3} pentru orice x > x2.

54

Definitie 0.42 Daca X este o variabila aleatoare de tip discret atuncinumim functie de probabilitate si o notam cu fX : M Rfunctia care asociaza fiecarui xi 7 fX (xi) = P ({X = xi}) unde{X = xi} reprezinta evenimentul ca variabila aleatoare discreta X iavaloarea xi.

Observatie 0.43 Atunci cand nu e pericol de confuzie indicele Xde la functia f se va omite si vom nota f (xi) cu pi , unde pireprezinta probabilitatea evenimentului ca variabila X sa ia valoareaxi. Se constata fara greutate ca sistemul de evenimente {X = xi}iIeste un sistem complet de evenimente si atunci vor fi ndeplinitentodeauna urmatoarele doua conditii:{

iIpi = 1

pi 0, i I

55

Astfel variabilei aleatoare de tip discret X i se asociaza un tabel(tablou) de repartitie (distributie) de forma:

X :

(xipi

)iI

sau detaliat X :(x1 x2 ... xn ...p1 p2 ... pn ...

).

Se vede ca repartitia (distributia) contine pe prima linie valorile pecare variabila aleatoare le ia, de obicei scrise o singura data si nordine crescatoare, iar pe linia a doua sunt trecute probabilitatile cucare variabila aleatoare X ia valoarea corespunzatoare (pi).Exemplu 0.44 Revenim la primul exemplu din aceasta sectiune sicerem n plus sa construim distributia acestei variabile aleatoare:

X =

(2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

).

56

Operatii cu variabile aleatoare de tipdiscretOperatii cu variabile aleatoare de tip discret

Ca si cu variabilele obisnuite si cu variabilele aleatoare se pot faceoperatii. Pentru fiecare noua variabila obtinuta dupa efectuareaoperatiilor trebuie sa cunoastem tabloul de repartitie:

1. Adunarea unei variabile aleatoare X cu un numar constant: C+X

C +X :

(C + xipi

)iI

57

2. Inmultirea unei variabile cu o constanta

C X :

(C xipi

)iI

3. Ridicarea la putere. Fie k N

Xk :

(xkipi

)iI

cand au sens xki se poate lua k Z sau chiar k R.

4. Suma a doua variabile aleatoare X,Y : X + Y

X :

(xipi

)iI

, Y :

(yiqi

)iI

= X + Y :(xi + yjPij

)iI, jJ

58

undePij = P [{X = xi} {Y = yj}]

Caz particular: Atunci cand X si Y sunt independente

{X = xi} si {Y = yj} (i, j) I Jvor fi tot independente deci Pij este produsul:

Pij = pi qj.

4. Produsul a doua variabile aleatoare

X Y :

(xiyjPij

)iI, jJ

Pij = P [{X = xi} {Y = yj}]

59

Exemplu 0.45 Se considera variabilele aleatoare de distributii

X :

( 1 0 20.3 0.5 0.2

)Y :

( 2 10.4 0.6

)Presupunem ca acestea sunt independente. Sa se efectuezeurmatoarele operatii: 2X, 3 + Y, X4, X + Y, X Y, X

Y.

2X :

( 2 0 40.3 0.5 0.2

);

3 + Y :

(1 40.4 0.6

);

X4 :

(0 1 160.5 0.3 0.2

);

X + Y :

( 3 0 2 1 0 30.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12

)60

X + Y :

( 3 2 0 1 30.12 0.2 0.26 0.3 0.12

);

Y 1 :( 12 1

0.4 0.6

);

XY

= X Y 1 :(

(1) (12) = 12 (1) 1 = 1 0 0 1 20.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12

)

XY

:

( 1 0 12 20.26 0.5 0.12 0.12

)

61

Functia de repartitieStudiul variabilelor aleatoare se poate considera si prin intermediulunei noi functii asociate variabilei aleatoare. Aceasta functienumita uneori functie ,,cumulativa a probabilitatilor are o serie deproprietati foarte usor de exploatat.mai ales cand e vorba de a evaluaprobabilitatile unor evenimente construite cu variabile aleatoare.

Fie X o variabila aleatoare discreta.

Definitie 0.46 Se numeste functie de repartitie asociata lui X si senoteaza cu FX : R [0, 1] , functia care asociaza x 7 FX (x) ,definita prin:

FXdef= P ({X < x}) .

Observatie 0.47 Atunci cand nu exista pericolul de confuzie se varenunta la indicele X si la acoladele din membrul drept:

F (x) = P (X < x) .

62

Exemplu 0.48 Sa construim functia de repartitie pentru variabilaaleatoare X din exemplul 0.45.

Studiem fiecare caz n parte:

x 1 = F (x) = P (X < x) = P () = 01 < x 0 = F (x) = P (X < x) = P (x = 1) = 0.30 < x 2 = F (x) = P (X < x) = P ({x = 1} {x = 0}) == 0.3 + 0.5 = 0.8

x > 2 = F (x) = P (X < x) = 1deci putem scrie:

= F (x) =

0, x 10.3, 1 < x 00.8, 0 < x 21, x > 2

.

63

Proprietati ale functiei de repartitie: Folosind doar definitia siproprietati ale probabilitatilor se deduc urmatoarele proprietati alefunctiei de repartitie:

1. 0 F (x) 1.

2. F () = limxF (x) = 0.

3. F (+) = limx+F (x) = 1.

3. F crescatoare: x, x Rx < x = F (x) F ( x) .

4. F este continua la stanga x R,F (x) = F (x 0) = lim

x0x

5. x, x R , cu x < x :

P (x X < x) = F (x) F (x) .

Demonstratie. Proprietatea. 5:

Pornim de la evenimentul: X < x :

X < x = (x X < x) (X < x) =

F (x) = P (X < x) = P ((X < x) (x X < x)) == P (x X < x) + P (X < x) = P (x X < x) + F (x)= P (x X < x) = F (x) F (x)

65

Observatie 0.49 Plecand de la proprietatea 5 se demonstreaza casunt adevarate relatiile:

P (x X x) = F (x) F (x) + P (X = x) ;P (x < X < x) = F (x) F (x) P (X = x) ;P (x < X x) = F (x) F (x) + P (X = x) P (X = x) .

66

Variabile de tip continuu

In aplicatii variabilele aleatoare de tip discret nu sunt ntotdeaunasuficiente. Intr-adevar exista probleme care sunt descrise de variabilealeatoare care nu sunt discrete.

Exemplu 0.50 Greutatea unui produs e reprezentata printr-o variabilaaleatoare care ia orice valoare dintr-un anumit interval. Este nevoie sase aiba n vedere o variabila aleatoare de tip continuu.

Definitie 0.51 Variabila aleatoare reala X este de tip continuu dacafunctia sa de repartitie F este data printr-o relatie de forma:

F (x) =

x

f (t) dt

f fiind o functie integrabila pe orice interval de forma (, x), x R.

67

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare de tip continuu sebucura de aceleasi proprietati ca si n cazul variabilelor aleatoare detip discret precum si de proprietati specifice.

Observatie 0.52 Din definitia de mai sus si avand n vedereproprietatile integralelor avem:

f (x) = F d(x) = limx0x>0

F (x +x) F (x)x

.

Definitie 0.53 Functia f se numeste functie densitate de probabilitatea variabilei aleatoare de tip continuu, functie care are proprietatisimilare cu acelea ale functiei de probabilitate din cazul discret.

Teorema 0.54 Daca F este functie de repartitie a unei variabilealeatoare continue atunci densitatea de probabilitate f are

68

urmatoarele proprietati:

1.f (x) 0, ()x R

2.

f (t)dt = 1 .

Observatie 0.55 Dupa cum n cazul variabilei aleatoare discreteaveam o asa zisa repartitie, adica un tablou cu doua linii, pe prima liniefiind trecute valorile variabilei iar pe a doua functia de probabilitate, totasa si la variabilele aleatoare de tip continuu vom considera o asazisa repartitie sau distribuitie. Astfel, pentru o variabila aleatoare detip continuu care ia valori doar dintr-un interval [a, b] repartitia va avea

69

forma:

X :

(x

f (x)

)xR

f (x) 0 ()x R

f (t)dt = 1.

70

Distributii clasice ale variabileloraleatoareDistributii clasice ale variabilelor aleatoare

Tipurile de distributii clasice se asociaza schemelor clasice deprobabilitate.

Distributii de variabile aleatoare discrete: a) Distributia binomiala(corespunzatoare schemei urnei cu bila revenita):

X :

(k

Cknpkqnk

)k=0,n

, p + q = 1, p, q > 0.

71

b) Distributia hipergeometrica (corespunzatoare schemei urnei cu bilanerevenita):

X :

(k

Cka CnkbCna+b

)k=0,n

.

c) Distributia lui Poisson (se obtine printr-un proces de trecere la limitadin distributia binomiala - n , np = (const.))

X :

(k

k

k!e

)k=0,1,...

d) Distributia lui Pascal (corespunzatoare schemei lui Pascal):X :

(k

Ckn+k1 pn qk)k=0,1,...

, p + q = 1, p, q > 0

Caz particular, pentru n = 1 avem distributia geometrica:

X :

(k

p qk)k=0,1,...

, p + q = 1, p, q > 0.

72

Distributii de variabile aleatoare continue: a)Distributia uniforma:

X :

(x1

ba

)x[a,b]

.

b) Distributia normala este cea mai des utilizata:

X :

(x

12pie(xm)2

22

)x(,)

, ,m R, > 0.

In legatura cu aceasta distributie amintim urmatorul rezultat (IntegralaEuler-Poisson-Gauss):

et2

2 dt =2pi.

73

Caracteristici numerice alevariabilelor aleatoareStudiul variabilei aleatoare atat de tip discret cat si de tip continuuse extinde prin introducerea unor caracteristici numerice cu ajutorulcarora se dau informatii suplimentare despre ele. Aceste caracteristicise mpart n mai multe categorii:

de grupare - care evidentiaza niste numere n jurul carora segrupeaza valorile variabilelor,

de mprastiere (de departare) care dau informatii asupra graduluide departare a valorilor variabilelor fata de o caracteristica degrupare principala,

privind forma distributiei: simetrie, asimetrie, boltire, turtire, etc.

74

Caracteristici de grupareCaracteristici de grupare

Sunt niste numere care se determina pornind de la variabila aleatoareconsiderata, numere n jurul carora se grupeaza toate valorilevariabilei aleatoare.

Valoarea medie:

Definitie 0.56 Se numeste valoarea medie a variabilei aleatoare X sise noteaza M (X) numarul calculabil prin una din relatiile:

M (X) =iI

xipi ; -daca X este variabila aleatoare discreta

M (X) =

+

xf (x) dx.; daca X este variabila aleatoare continua

75

Exemplu 0.57 X :( 2 1 2

0.4 0.3 0.3

)=

M (X) = 0.8 + 0.3 + 0.6 = 0, 1

Exemplu 0.58 X :(

xf (x)

)xR

unde f (x) ={

3x2 x [0, 1]0 n rest

M (X) =

+

xf (x) dx =

10

x 3x2dx = 3x4

4

10 =

3

4

Propozitie 0.59 Valoarea medie are cateva proprietati. Astfel daca Xsi Y sunt variabile aleatoare, c o constanta, avem:

1. M (cX) = cM (X) .

2. M (C) = c unde C :(c1

).

76

3. M (X + Y ) = M (X) +M (Y ) .

4. M (X Y ) = M (X) M (Y ) , daca X,Y - independente

5. Xmin M (X) Xmax unde Xmin, Xmax sunt valorile minime simaxime pe care le poate lua X si

a M (X) b unde X este o variabila aleatoare continua, iar [a, b]e intervalul pentru care fX (x) 6= 0.

Valoarea medie este considerata cea mai importanta dintrecaracteristicile de grupare.

77

Valoarea modala (moda)

Definitie 0.60 Se numeste valoarea modala a variabilei aleatoare Xnumarul notat cu M (X) care este valoarea variabilei X cu ceamai mare probabilitate (valoarea cea mai probabila) pentru variabilaaleatoare discreta respectiv argumentul pentru care f are valoaremaxima n cazul variabilelor de tip continuu.

Exemplu 0.61 Pentru variabila aleatoare prezentata n exemplul 0.57avem: M (X) = 2.Exemplu 0.62 Fie X din exemplul 0.58. Avem M (X) = 1.

78

Valoarea mediana

Definitie 0.63 Se numeste valoare mediana a variabilei aleatoare Xnumarul Me (X) care mparte repartitia n doua parti egale, adica enumarul pentru care P (X < Me (X)) = P (X Me (X))Observatie 0.64 In cazul cand se utilizeaza functia de repartitie dindefinitia 0.46 se deduce ca F (Me (X)) = 12, adica valoarea medie esolutia inecuatiilor

F (Me (X)) 12

si F (Me (X)) 12.

Exemplu 0.65 In cazul variabilei X din exemplul 0.58 avem:

F (x) =

0 x 0 x0 3t

2dt x (0, 1]1 x > 1

= F (x) =

0 x 0x3 x (0, 1]1 x > 1

= F (x) = 12

adica x3 =1

2= x = 1

32= Me (X) .

79

Momente de ordin superior

In aceeasi categorie de caracteristici de grupare figureaza asa ziselemomente de ordin superior. In unele aplicatii este nevoie sa seutilizeze puterile naturale ale unei variabile aleatoare X2, X3, ..., Xk,valori pentru care caracteristicile de grupare principale joaca unrol important. Astfel introducem momentele de ordin superior nurmatoarea definitie:

Definitie 0.66 Se numeste moment de ordin k al variabilei aleatoareX si se noteaza k.numarul:

k = M(Xk).

Observatie 0.67 Se observa ca 1 = M (X) ; 0 = 1.

Observatie 0.68 Cele mai des utilizate n aplicatii sunt: 2, 3, 4.

80

Exemplu 0.69 Fie X :( 2 1 2

0.4 0.3 0.3

). Avem:

2 = M(X2)= (2)2 0.4 + 120.3 + 220.3 = 1.6 + 0.3 + 1.2 = 3.1

3 = M(X3)= (8) 0.4 + 0.3 + 8 0.3 = 3.2 + 0.3 + 2.4 = 5.9

4 = M(X4)= 16 0.4 + 0.3 + 16 0.3 = 6.4 + 0.3 + 4.8 = 11.5

Exemplu 0.70 Pentru X :(

x3x2

)x[0,1]

avem:

2 =

10

x23x2dx =3

5;

3 =

10

x33x2dx =1

2;

4 =

10

x43x2dx =3

7.

81

Caracteristici de mprastiere (saude departare)Caracteristici de mprastiere (sau de departare)

Dupa ce au fost analizate principalele caracteristici de grupare vomevidentia cat de departate sunt valorile variabilei fata de o valoare degrupare. Intr-adevar, valoarea medie da informatii asupra numaruluin jurul caruia se grupeaza valoarile variabilei, dar acestea nu sunt deajuns. De exemplu n cazul variabilelor aleatoare care pot fi diferitedar sa aiba aceeasi valoare medie.

Exemplu 0.71 Fie variabilele X1 :( 1 1

12

12

)si X2 :( 100 100

12

12

).

82

Avem:M (X1) = M (X2) = 0.

cu toate ca valorile lor difera semnificativ.

Exista mai multe caracteristici de mprastiere. Cele mai des utilizatesunt urmatoarele:

- dispersia (varianta)

- abaterea medie patratica

- momente centrate de ordin superior

83

Dispersia

Dispersia este cea mai importanta caracteristica de mprastiere.

Definitie 0.72 Se numeste dispersia variabilei aleatoare X numarulnotat D (X) definit ca valoare medie a patratului variabilei aleatoareabatere [X M (X)], adica numarul:

D (X) = M[(X M (X))2

].

Observatie 0.73 Avem:

D (X) =iI

(xi M (X))2 pi X variabila aleatoare discreta

D (X) =

(xM (X))2 f (x) dx X variabila aleatoare continua.

Propozitie 0.74 Se demonstreaza ca dispersia are urmatoareleproprietati:

84

1. D (X) 0.

2. D (cX) = c2D (X) .

3. D (c) = 0.

4. D (X Y ) =D (X) +D (Y ) ; daca X, Y - independente.

5. D (X) = M(X2) (M (X))2 = 2 21 .

Exemplu 0.75 Pentru X :( 2 1 2

0.4 0.3 0.3

)(exemplul 0.57) avem

M (X) = 0.1.

D (X) = (2 0.1)2 0.4 + (1 0.1)2 0.3 + (2 0.1)2 0.3 = 3. 09.

Sau D (X) = 2 21 = 3.1 0.01 = 3. 09.85

Exemplu 0.76 In cazul variabilei aleatoare continue din exemplul 0.58avem:

D (X) = 10

(x 34

)23x2dx = 3

10 (x

4 32x3 + 916x2)dx = 380

Sau D(X) = 2 21 = 35 916 = 380.Exemplu 0.77 Pentru X1 din exemplul 0.71 avem:

D (X1) = (1 0)2 12+ (1 0)2 1

2= 1,

iar pentru X2 din acelasi exemplu vom avea:

D (X2) = (100 0)2 12+ (100 0)2 1

2= 2

1002

2= 10000.

86

Abaterea medie patratica

Definitie 0.78 Se numeste abatere medie patratica a variabileialeatoare X si se noteaza (X) numarul dat prin relatia

(X) =D (X).

Observatie 0.79 Abaterea medie patratica a fost introdusa pentru caunitatile de masura ale acesteia sunt exact aceleasi cu unitatile demasura ale valorilor variabilei aleatoare.

Momente centrate de ordin superior

Pentru k N se introduc ca o extensie a dispersiei momentelecentrate de ordin superior prin definitia 0.80.

87

Definitie 0.80 Se numeste moment centrat de ordinil k al variabileialeatoare X si se noteaza k valoarea medie a puterii k a variabileiabatere

k = M[(X M (X))k

].

Observatie 0.81 1 = 0; 2 = D (X) .Cele mai des utilizate sunt3, 4.

Are loc urmatorul rezultat:

Teorema 0.82 Intre momentele centrate de ordin superior k simomentele de ordin superior k exista relatia de legatura:

k =

ki=0

C ik (1)i ki (1)i .

88

In particular avem:

2 = 2 21 ;3 = 3 321 + 231 ;4 = 4 431 + 6221 341 .

Demonstratie. Demonstratia se face folosind definitia 0.80 amomentului centrat de ordin superior, formula binomului lui Newtonpentru (X M (X))k si proprietatile valorii medii.

89

Cazul distributiilor clasice

Prezentam n continuare valoarea medie si dispersia n cazulvariabilelor aleatoare care urmeaza distributii clasice.

:

Distributia M(X) D(X)Binomiala np npqHipergeometrica n a

a+b na

a+bb

a+ba+bna+b1

Poisson Pascal (Geometrica) 1

pqp2

Uniforma a+b2(ba)212

Normala m 2

.

90

Cmp de evenimente. Cmp de probabilitateCorp de parti

Cmp de evenimenteCmp de probabilitateFormule fundamentaleInegalitatea lui BooleProbabilitati conditionateFormula probabilitatii totaleFormula lui Bayes

Scheme clasice de probabilitateSchema urnei cu bile revenite (schema binomiala, schema urnei lui Bernoulli)Schema urnei cu bila revenita si cu mai multe stari (multinomiala sau polinomiala)Schema urnei cu bile nereveniteSchema urnelor lui PoissonSchema lui Pascal (schema geometrica)Variabile aleatoareDefinitii

Operatii cu variabile aleatoare de tip discret Functia de repartitieVariabile de tip continuu

Distributii clasice ale variabilelor aleatoareCaracteristici numerice

Caracteristici de grupareValoarea medie:Valoarea modala (moda)Valoarea medianaMomente de ordin superior

Caracteristici de mprastiere (sau de departare)DispersiaAbaterea medie patraticaMomente centrate de ordin superiorCazul distributiilor clasice