GEODEZIA FIZIC

GEODEZIA FIZIC - Elemente de teoria potenialului 1.1. Noiuni generaleGeodezia este tiina care se ocup cu msurarea i determinarea dimensiunilor i formei Pmntului i cu reprezentarea acestuia.Clasificarea geodeziei:

Geodezia fizic, numit i gravimetrie, este disciplina care studiaz cmpul gravitii i forma Pmntului (H. Moritz, 1980).Geodezia astronomic (astronomia geodezic) studiaz determinarea latitudinii i longitudinii punctelor geodezice i a azimutului direciilor terestre, pe baza msurtorilor efectuate pe stele.Geodezia cu satelii (geodezie cosmic sau geodezia spaial sau geodezie satelitar) studiaz determinarea poziiei punctelor de pe suprafaa fizic a Pmntului prin utilizarea sateliilor artificiali.

Geodezia elipsoidal studiaz metodele de rezolvare a problemelor geodezice pe suprafaa elipsoidului de referin.

Geodezia dinamic se ocup cu studiul deplasrilor scoarei terestre.Geodezia marin se ocup cu msurtori geodezice i gravimetrice pe suprafee i n medii acvatice.

Aa cum se observ n definiie geodezia fizic studiaz cmpul gravitii i forma PmntuluiObiectul de studiu al geodeziei fizice este studiul proprietilor fizice ale cmpului gravific al Pmntului n vederea cunoaterii n detaliu a geoidului.

Cursul trateaz urmtoarele probleme: elemente de teoria potenialului;

suprafee echipoteniale;

sisteme de altitudini;

ondulaiile geoidului i deviaiile verticalei.

1.2. Cmpul gravitii Cmpul gravitii (cmpul gravific) este regiunea din spaiu n care se manifest influena complex a atraciei gravitaionale i a rotaiei Pmntului.

Studiul cmpului gravitii este strns legat de studiul gravific al Pmntului, studiu care are ca obiect corpul fizic ce aproximeaz Pmntul, numit geoid.Corpul cu forma cea mai apropiat de suprafaa fizic a Pmntului este Geoidul pe a crui suprafa se reduc toate msurtorile efectuate pe suprafaa fizic a Pmntului, i apoi de pe suprafaa geoidului acestea se reprezint pe suprafaa elipsoidului terestru.

Totodat suprafaa geoidului este utilizat ca suprafa de referin (suprafa origine) pentru altitudini. Din acest motiv este necesar ca suprafaa geoidului s poat fi determinat cu precizie.

Gravitaia numit i fora de atracie definete suprafeele de nivel i este utilizat pentru determinarea formei suprafeei geoidului.

Un punct material aflat pe suprafaa fizic a Pmntului este supus aciunii unor multiple fore: gravitaia numit i fora de atracie ; fora centrifug ; fore de atracie exercitate de alte corpuri cereti (Soarele, Luna, planetele etc.). Componenta acestor fore ce acioneaz asupra punctului material se numete greutate numit i gravitate care se noteaz cu . Dintre toate aceste fore, fora de atraciei fora centrifug sunt semnificative i sunt cele mai importante, celelalte sunt neglijabile, avnd valoare foarte mic.

Fora de atracie este produs de atracia maselor din interiorul Pmntului i este dat de relaia:

unde: ; (1.1)

unde: M este masa Pmntului;

R este raza medie a Pmntului;

G este o constant numit constanta gravitaional.

Considerm un punct P(x,y,z) de pe suprafaa Pmntului cu masa egal cu unitatea, care este atras de un punct A(a,b,c) cu masa m situat n scoara terestr la distana l. Fora de atracie va fi: (1.2)Componentele acestei fore pe axele sistemului de coordonate sunt:

; ; (1.3)

Extinznd analiza la ntreg Pmntul, prin integrare de volum obinem:

unde: densitatea maselor (1.4)Fora centrifug este produs de viteza de rotaie a Pmntului n jurul axei sale de rotaie i are o valoare constant pe paralel deoarece viteza de rotaie a Pmntului este constant. Valoarea forei centrifuge scade de la ecuator spre poli, devenind nul la poli. Aceast for este dat de relaia:

unde:

(1.5)

unde: r este raza paralelului punctului material;

viteza unghiular a punctului material;

ro component vectorial.

Componentele forei centrifuge pe axele de coordonate:

; ;

Gravitatea (greutatea) este componenta tuturor forelor care acioneaz asupra punctului material i este dat de relaia:

Componentele forei centrifuge pe axele de coordonate:

;

;

1.3. Potenialul gravitiiRegiunea din spaiu n care forele gravitaiei acioneaz se numete cmp gravitaional sau cmp de fore gravific. Pentru descrierea unui astfel de cmp gravitaional se utilizeaz o funcie denumit potenial (notat cu ), care poate fi definit att matematic ct i prin semnificaiile sale fizice. Potenialul unui punct material de pe suprafaa fizic a Pmntului atras de un alt punct material de mas m situat n interiorul scoarei terestre, este dat de relaia:

(1.7)

unde: m este masa punctului material (a zonei de teren) care atrage;

l este distana dintre punctul material atras i punctul material (zona de teren) care atrage;

Dup cum se observ, acest punct material de mas m care atrage punctul material dat, poate fi extins la o zon de suprafa terestr situat n jurul punctului material care atrage.

Potenialul cmpului gravitaional (patenialul de atracie sau potenialul newtonian) se determin pentru un corp solid de volum v cu relaia:

Valoarea funciei potenial (numit potenial de atracie) difer n funcie de distana l dintre cele dou puncte materiale (cel atras i cel care atrage) i funcie de valoarea masei m a punctului (a zonei) care atrage.

Toate punctele care au acelai potenial (aceeai valoare a funciei ) definesc o suprafa numir suprafa de nivel. O astfel de suprafa de nivel este perpendicular tot timpul pe direcia gravitii(pe direcia verticalei).

Potenialul forei centrifuge a unui punct material de coordonate rectangulare (x, y, z) cu masa m=1 care se rotete n jurul axei Z se determin cu relaia:

; viteza unghiular de rotire al punctuluiPotenialul cmpului gravitii va fi dat de relaia:

; - densitatea; vit. ungh. de rotireCalculul potenialului gravitii cu aceast formul este dificil deoarece nu se cunoate precis distribuia densitii maselor n interiorul Pmntului.ntruct fora de atracievariaz n funcie de densitatea i componena mineralogic a rocilor scoarei terestre din zona punctului de mas care atrage, direcia forei de gravitate difer de la punct la punct (fora de gravitate fiind o component a forei centrifuge i a forei de atracie), suprafaa de nivel este o suprafa complex cu multe ondulaii. Pe globul terestru, ns, se pot duce o infinitate de suprafee de nivel, n funcie de valoarea funciei potenial a punctelor ce definesc aceste suprafee de nivel, fiecare suprafa de nivel avnd aceeai valoare a funciei potenial pentru toate punctele ei. Dintre toate aceste suprafee de nivel, de importan deosebit n practic este suprafaa de nivel care coincide cu suprafaa linitit a mrilor i oceanelor, adoptat ca suprafa de nivel zero i utilizat ca origine pentru altitudini.

Suprafeele de nivel definite de valoarea funciei potenial nu sunt paralele ntruct valoarea gravitii crete de la ecuator spre poli i respectiv, distana dintre suprafeele de nivel scade de la ecuator spre poli.

1.4. Potenialul de atracie a unor corpuri simpleCorpurile simple sunt corpuri a cror geometrie este definit i au densitate constant.

Stratul sferic de raze R1 i R2 1. Cnd punctul atras este n exteriorul stratului D>R2

2. Punctul este situat n interiorul stratului

Sfera de raz R1. Punctul atras este situat n afara acesteia, la distana D de centrul sferei

2. Punctul atras este situat n interiorul sferei

3. Punctul atras se afl pe sfera

1.5. Ecuaiile Laplace Poisson

Aceste ecuaii permit o analiz a cmpului gravitaional.

n acest scop se opereaz cu noiunile de operator Laplace (laplacian) i cmp laplacian.

Operatorul Laplace (laplacianul) este un operator diferenial, notat cu sau , de ordinul al doilea n spaiul euclidian n-dimensional, definit ca divergena gradientului i este utilizat n ecuaia Laplace i n ecuaia Poisson.Astfel, laplacianul unei funcii f este suma tuturor derivatelor pariale nemixte de ordinul doi n coordonate carteziene xi:

n spaiul tridimensional acesta are expresia:

Gradientul unui cmp scalar este un cmp vectorial ai crui vectori sunt ndreptai, n fiecare punct, n direcia celei mai mari rate de cretere a cmpului scalar, i al crui modul este cea mai mare rat de schimbare.

n figur: albastru vectori; negru cmpul Cmpul laplacian este cmpul care deriv dintr-un potenial (funcie potenial) a crui laplacian (operator Laplace) este nul.

Laplacianul cmpului gravitaional (cmpului forei de atracie)n cazul n care punctul atras este exterior maselor surs (care atrag) potenialul de atracie este dat de relaia:

Derivatele pariale de ordinul doi n funcie de coordonatele rectangulare ale punctului atras (x, y, z) i ale centrului maselor surs (a, b, c) sunt:

Aplicnd operatorul Laplace (nsumnd derivatele pariale de ordinal doi) obinem ecuaia Laplace:

este ecuaia LaplaceEcuaia Laplace de mai sus arat c pentru un punct exterior maselor surs, cmpul gravitaional este laplacian (suma derivatelor lui pariale de ordinul doi este nul).Soluiile ecuaiei Laplace se numesc funcii armonice i potenialul gravitaional este o funcie armonic n exteriorul maselor surs.n cazul n care punctul atras este situat n interiorul maselor surs care atrag, potenialul de atracie (al cmpului gravitaional) este dat de relaia:

;

unde: R raza sferei maselor surs;

r distana dintre punctul atras i centrul maselor surs.

Aplicnd operatorul Laplace (facnd suma derivatelor pariale de ordinul doi) obinem ecuaia Poisson.

; ;

este ecuaia PoissonRezult c potenialul gravitaional nu este o funcie armonic n interiorul maselor surs (cmpul gravitaional nu este un laplacian).Laplacianul cmpului gravitii Cmpul gravitii este spaiul n care se manifest fora de gravitate (rezultanta forelor de atracie i centrifuge).

Laplacianul forei centrifuge se determin din relaia potenialului forei centrifuge, efectund derivatele pariale de ordinul doi ale acestuia.

Derivatele pariale vorfi: ; ;

este laplacianul forei centrifugeLaplacianul cmpului gravitii, n punctele exterioare maselor surs:

Laplacianul cmpului gravitii, n punctele interioare maselor sur:

Din aceste relaii rezult: cmpul gravitii nu este laplacian i nu este o funcie armonic.

1.6. Formule integraleFormule integrale Green OstrogradskiFormulele Green Ostrogradski permit transformarea triplei integrale difereniale pe volum a funciei potenial ntr-o dubl integral pe suprafaa ce delimiteaz masele surs care atrag .

unde , , sunt proieciile pe axele de coordonate a versorului n al normalei exterioare suprafeei .Exprimnd expresia integralei de suprafa n funcie de divergena i gradientul potenialului i a expresiei integralei de volun prin laplacianul funciei potenial, obinem ecuaia Green Ostrogradski.

Formulele integrale Green

Formulele integrale Green sunt denumite teoreme sau identiti.

Ele se deduc din ecuaia Green Ostrogradski obinnd, considernd dou funcii potenial U i V de coordonate x, y, z continue, mpreun cu derivatele lor de ordinul I i II, n domeniul v:

Prima identitate Green (prima teorem):

A doua identitate Green:

A treia identitate Green:

Aceasta ine cont de discontinuitile din masa surs care atrage.1.7. Definirea problemelor limit ale teoriei potenialului

Problemele limit ale teoriei potenialului gravitaional constau n determinarea unor funcii armonice V ca soluii ale ecuaiei Laplace, care n mod suplimentar, trebuie s ndeplineasc anumite condiii n domeniul D.Prima problem limit a teoriei potenialului (problema Dirichlet)Const n determinarea unei funcii potenial V care n afara suprafeei s capete o valoare cunoscut f(,).Se cunoate . Se caut potenialul esterior Ve al PmntuluiA doua problem limit a teoriei potenialului (problema Neuman)

Const n determinarea unei funcii armonice V, cunoscnd derivatele acesteia pe suprafaa , dup normala la aceast suprafa.Se cunosc . Se caut potenialul esterior Ve al PmntuluiA treia problem limit a teoriei potenialului

Const n gsirea funciei armonice V, n cazul n care se cunoate pe suprafaa combinaia liniar: .

Se cunosc combinaii ntre potenialul gravitaional i derivatele lui pariale pe suprafaa Pmntului:. Se caut potenialul esterior Ve al Pmntului.Drept limit a maselor surs care atrag se ia o suprafa nchis, iar domeniul n D n care se rezolv problema limit se consider fie ca exteriorul suprafeei , fie interiorul suprafeei .

Aceste 3 probleme limit au importan deosebit n multe domenii ca geodezia fizic, hidrodinamic etc.

Formulele generale se particularireaz pentru suprafaa terestr: funcia V este potenial gravitaional terestru, care este o funcie armonic n exteriorul maselor surs;

domeniul D este suprafaa Pmntului;

1.8. Funcii armonice sfericeFunciile armonice sferice sunt soluii ale ecuaiei Laplace, exprimat n coordonate sferice.

Legtura ntre coordonatele rectangulare (x, y, z) i coordonatele sferice (r, , L) ale unui punct P este dat de relaiile:

sau

Ecuaia Laplace n coordonate sferice este:

Soluiile generalizate ale ecuaiei Laplace exprimat n coordonate sferice, sunt:

Pentru funcii armonice n interiorul sferei:

Pentru funcii armonice n exteriorul sferei

unde: a, b coeficieni armonici;

n ordinul funciei armonice

m constant arbitrar1.9. Dezvoltarea potenialului gravitii n coordonate sferice i rectangularePotenialul de atracie al globului terestru, n cazul unui punct exterior P(x, y, z) este dat de relaia:

Pentru calculul integralei din formula potenialului terestru, se scrie funcia 1/l din formul n forma:

Apoi se dezvolt aceast funcie n polinoame Legendre, se nlocuiesc n formula potenialului terestru i se obine dup dezvoltri relaia:

Dup rezolvarea integralelor se obine formula potenialului gravitii n coordonate sferice:

unde: ; ; sunt momentele de inerie n raport cu axele sistemului spaial cartezian.Formula potenialului gravitii n coordonate rectangulare este:

Analiznd relaia potenialului gravitii n coordonate sferice rezult:1 primul termen rprezint potenialul de atracie a unui corp simplu (a unei sfere format din straturi concentrice omogene, punctul atras fiind situat la distana r fa de centrul sferei);2 termenul doi introduce abaterile care intervin n potenialul gravitii datorit turtirii la poli a globului terestru (arat c Pmntul are forma unui elipsoid de rotaie);

3 termenul al treilea introduce abaterile formei Pmntului de la forma unui elipsoid de rotaie, n funcie de longitudinea L;4 penultimul termen este potenialul perturbator (notat de regul cu T) exprim faptul c este dificil de a se da un rspuns categoric i definitiv privind forma Pmntului. Din dezvoltarea fr limite a acestui termen pot rezulta infinite rspunsuri referitoare la forma Pmntului;

5 ultimulo termen este potenialul forei centrifuge cauzat de micarea de rotaie a Pmntului.Potenialul gravitii va avea 2 componente: potenialul normal i potenialul perturbator.

potenialul normal

potenialul perturbator

Acceleraia gravitiiAcceleraia gravitii (notat ) este egal cu derivata normal a potenialului normal U.

EMBED Photoshop.Image.7 \s

EMBED MSPhotoEd.3

PAGE 12

_1391775679.unknown

_1391789632.unknown

_1391793725.unknown

_1391796271.unknown

_1392904838.unknown

_1392906310.unknown

_1392963881.unknown

_1392963910.unknown

_1392963567.unknown

_1392906740.unknown

_1392905902.unknown

_1392906294.unknown

_1392904873.unknown

_1392905051.unknown

_1391804412.unknown

_1392903254.unknown

_1392903685.unknown

_1392902989.unknown

_1391797440.unknown

_1391794870.unknown

_1391795192.unknown

_1391793984.unknown

_1391791787.unknown

_1391791977.unknown

_1391792476.unknown

_1391791840.unknown

_1391791707.unknown

_1391791739.unknown

_1391791658.unknown

_1391777907.unknown

_1391786679.unknown

_1391788967.unknown

_1391788982.unknown

_1391789621.unknown

_1391787033.unknown

_1391785485.unknown

_1391786182.unknown

_1391784660.unknown

_1391777027.unknown

_1391777193.unknown

_1391777493.unknown

_1391777848.unknown

_1391777078.unknown

_1391777131.unknown

_1391775731.unknown

_1391775752.unknown

_1391775727.unknown

_1391714372.unknown

_1391765595.unknown

_1391769237.unknown

_1391774008.unknown

_1391775580.unknown

_1391775591.unknown

_1391775627.unknown

_1391774917.unknown

_1391772955.unknown

_1391773290.unknown

_1391772298.bin

_1391768728.unknown

_1391769070.unknown

_1391765835.unknown

_1391767004.psd

_1391715289.unknown

_1391719281.unknown

_1391719895.unknown

_1391720167.unknown

_1391720028.unknown

_1391719598.unknown

_1391718953.unknown

_1391715040.unknown

_1391715241.unknown

_1391714732.unknown

_1391712607.unknown

_1391713784.unknown

_1391714184.unknown

_1391714335.unknown

_1391713901.unknown

_1391713515.unknown

_1391713557.unknown

_1391712826.unknown

_1058820018.unknown

_1391712570.unknown

_1391712582.unknown

_1058821111.unknown

_1391712153.unknown

_1058820498.unknown

_1058817126.unknown

_1058817438.unknown

_1058817053.unknown