Elemente de teoria probabilitatilor

Teoria probabilitatilor are doua concepte fundamentale:evenimentul si probabilitatea. Ele pot fi introduse in moduri diferite, in raport cu cele doua tratari ale teoriei probabilitatilor: tratatarea clasica (intuitiva) si tratarea axiomatica. Tratarea intuitiva se realizeaza in cadrul oferit de o experienta aleatoare (experienta in care intervine intamplarea). In tratarea axiomatica, evenimentele vor fi multimi, iar probabilitatea va fi o functie ce indeplineste doua axiome. Din punct de vedere istoric, tratarea intuitiva a precedat tratarea axiomatica: ideile celei dintai au condus la organizarea celei de-a doua ca teorie deductiva (cu axiome si teoreme deduse prin rationamente deductive).A. TRATAREA CLASICA (intuitiva)

Se considera o experienta aleatoare cu un numar finit de rezultate posibile (numite si probe). In urma unei efectuari a experientei se obtine una din probe. Exemplu:Aruncarea unui zar este o experienta aleatoare in care multimea probelor este = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.In legatura cu aruncarea unui zar pot aparea situatii ca:

(a) obtinerea unui numar par

(b) obtinerea unui numar mai mare sau egal cu 2

(c) obtinerea unui numar cuprins intre 10 si 10

(d) obtinerea numarului 100

Observam ca

(a) obtinerea unui numar par este precizata prin multimea:

{2, 4, 6}= multimea probelor in care s-a obtinut un numar par

(b) obtinerea unui numar mai mare sau egal cu 2 este precizata prin multimea {2, 3, 4, 5, 6}

(c) obtinerea unui numar cuprins intre -10 si 10 este precizata de multimea {1, 2, 3, 4, 5, 6} a tuturor probelor

(d) obtinerea numarului 100 nu apare in nici o proba: ea va fi precizata de multimea vida .

Situatiile de tipul (a)- (d) , asociate aruncarii cu zarul, se vor numi evenimente.

Un eveniment este precizat de multimea probelor in care el este realizat.

Rezulta urmatorul principiu de identificare:

Un eveniment se identifica cu multimea probelor in care el este realizat.

Evenimentele realizate intr-o sigura proba se numesc evenimente elementare; celelalte se numesc evenimente compuse.

In cazul aruncarii cu zarul:

- Evenimentele elementare sunt {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

- Evenimentele de la (a) si (b) sunt compuse

- In cazul (c) avem evenimentul sigur: el se va identifica cu multimea a tuturor probelor.

- In cazul (d) este vorba de evenimentul imposibil: el nu este realizat in nici o proba.

Din analiza realizata pe exemplul de mai sus extragem urmatoarea schema de contructie a multimii evenimentelor asociata unei experiente aleatoare:

Consideram o experienta aleatoare in care multimea rezultatelor posibile ( a probelor) este = {,...,n 1 }. Evenimentele elementare vor fi { },..., { } 1 n .

Un eveniment oarecare A va fi o submultime a lui :

{ ,..., }i1 ik A Aceasta inseamna ca evenimentul A este realizat in probele { },..., { }i1 ik ; in restul probelor, A nu este realizat.

In concluzie, multimea evenimentelor asociate experientei aleatoare este multimea () a partilor lui .

In acelasi cadru intuitiv, sa introducem operatiile cu evenimente.

Fie A, B doua evenimente asociate unei experiente aleatoare.Atunci definim:

- reuniunea AB : evenimentul ce consta in realizarea a cel putin unuia din evenimentele A si B.

Evenimentul AB se mai citeste A sau B.

- intersectia AB : evenimentul ce consta in realizarea atat a lui A cat si a lui B.

Evenimentul AB se mai citeste A si B

-diferenta A- B: evenimentul ce consta in realizarea lui A si nerealizarea lui B.

- evenimentul opus (contrar) A : evenimentul ce se realizeaza atunci cand A nu se realizeaza.

Evenimentele A si B se numesc incompatibile daca realizarea lor simultana este imposibila: AB=Definitiile operatiilor cu evenimente (prezentate mai sus) au fost formulate in cadrul tratarii intuitive a probabilitatilor.

Vom enunta un al doilea principiu de identificare:

Operatiile cu evenimente sunt identificate cu operatiile cu multimi.

Prin cele doua principii de identificare, se trece la modelul ansamblist al teoriei probabilitatilor, in care:- un eveniment este identificat cu multimea probelor in care el se realizeaza

- operatiile cu evenimente sunt operatii cu multimi.

Vom defini acum notiunea de probabilitate clasica (in cadrul tratarii intuitive), data de Laplace.

Consideram o experienta aleatoare in care evenimentele elementare sunt egal posibile (au aceeasi sansa de realizare).

Definitie. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile.

unde:

k= numarul cazurilor favorabile

n= numarul cazurilor posibile

Observatie: Aruncarea cu zarul este o experienta aleatoare in care rezultatele sunt egal posibile.

.

B. TRATAREA AXIOMATICA

1. Camp de probabilitate

In sectiunea precedenta atat evenimentul cat si probabilitatea au fost definite intr-un cadru intuitiv, legat de o experienta aleatoare. Evenimentele au fost identificate cu multimi, iar probabilitatea a fost definita ca raportul dintre numarul cazurilor favorabile si numarul cazurilor posibile. Acesta a fost punctul de plecare in tratarea axiomatica a probabilitatilor. Tratarea axiomatica a probabilitatilor are mai multe motivatii. Prima motivatie este de ordin metodologic si tine de organizarea stiintelor in teorii deductive. O teorie deductiva porneste de la niste axiome (stabilite pe baza cunostintelor capatate prin experienta) ; din axiome sunt demonstrate teoremele ( propozitiile care sunt adevarate in teoria respectiva). Tratarea stiintelor ca teorii deductive permite folosirea metodelor matematice in dezvoltarea teoriei. O alta motivatie tine de generalitatea tipului de tratare. Tratarea clasica a probabilitatilor nu cuprinde cazul in care multimea rezultatelor unei experiente este infinita (de ex. , atunci cand multimea rezultatelor este un interval real).

Def. Fie , K () . K se numeste corp de multimi daca:

AK A K

A,BK ABK

Consecinta: Fie K un corp de multimi. Atunci

A,BK AB, ABK .

Def. Camp de evenimente: o pereche (, K), cu K corp de multimi.

Interpretare:

=multimea rezultatelor unei experiente aleatoare,

K= multimea evenimentelor asociate unei experiente aleatoare

Observatie. In cazul experientelor cu un numar finit de rezultate multimea evenimentelor era chiar multimea partilor () , fiind multimea probelor. Daca multimea rezultatelor experientei este infinita atunci constructia multimii evenimentelor este mai complicata si nu se mai obtine () , ci numai o parte a sa (un corp de multimi).

Def. Fie (, K) un camp de evenimente. O probabilitate pe (, K) este o functie

P : K Rce satisface:

(A1) P(AB) P(A) P(B) , daca AB (A, B=incompatibile)

(A2) P()=1

Def. (, K, P) = camp de probabilitate daca (, K) este camp de evenimente si P este probabilitate.

Observatie. Campul de probabilitate este notiunea ce determina contextul in care este dezvoltata orice tema de teoria probabilitatilor.

Proprietatile probabilitatii:

1) P()=0

2) P(A) 1P(A)

3) P(AB) P(A) P(AB)

4) Daca B A rezulta P(AB) P(A) P(B) .

5) Daca B A rezulta P(B)P(A).

6) 0P(A)1

7) P(AB) P(A) P(B) P(AB)

B ( se impune conditia P(B)0 )

Obs. Probabilitatea conditionata este o probabilitate.

Def. A, B sunt evenimente independente daca P(AB) P(A) P(B)vPropozitie Sunt echivalente:

1) A, B sunt independente

2) P(A|B)=P(A)

3) P(B|A)=P(B)

2.Variabile aleatoare

Fie (, K, P) un camp de probabilitate. Se numeste variabila aleatoare o functie

X :R cu proprietatea {| X() a}K,aR

Conventii de scriere: {X a} {| X() a}

{a X b} {| a X() b}

{X a} {| X() a}

X () =valoare a v.a. X

X=v.a. discreta daca multimea valorilor sale este cel mult numarabila (finita sau

numarabila)

X=v.a. continua daca multimea valorilor sale este un interval sau o reuniune finita de

intervale

Fie X o v.a. discreta cu valorile n x ,..., x 1 . Tabloul sau de repartitie (pe scurt, repartitia sa)

este:

Functia de repartitie a v.a. X (oarecare) este o functie F : RRdata de

F(x) P(X x),xR.