ELEMENTE DE TEORIA ERORILOR

§1.1 Numere aproximative. Erori

a) Sursele şi clasificarea erorilor. În rezolvarea numerică a unei probleme deosebim - în general - trei feluri de erori:

1) Erori inerente (iniţiale) . Aceste erori provin din: simplificarea modelului fizic pentru a putea fi descris

printr-un model matematic; măsurători iniţiale; calcule anterioare; datele problemei;

2) Erori de metodă (de trunchiere) care se datorează preciziei insuficiente a metodei folosite. Majoritatea

metodelor necesită un număr mare de operaţii aritmetice (adesea un număr infinit!) pentru a ajunge la

soluţia exactă a problemei. Acest fapt necesită trunchieri (renunţarea la o mulţime - eventual infinită - de

operaţii) şi aproximaţii;

3) Erori de rotunjire (de calcul) care apar în datele de intrare, în calculele pe parcurs şi în datele de ieşire.

Astfel, datele de start nu pot fi numere cu o infinitate de cifre deoarece nu putem opera cu acestea. Se

înlătură multe cifre - eventual o infinitate - rotunjind numerele date, prin reţinerea unui număr finit de

cifre. Pe parcursul calculelor numărul cifrelor creşte şi se impune de asemenea rotunjirea. Chiar rezultatul

final se rotunjeşte reţinându - se un număr de cifre corespunzător preciziei dorite.

Eroarea totală se compune din cele trei erori:

Eroarea totală = erori inerente + erori de metodă + erori de rotunjire.

Pentru o anumită metodă numerică de rezolvare a unei probleme, eroarea inerentă şi eroarea metodei constituie

eroarea ireductibilă care nu poate fi influenţată de exactitatea efectuării calculelor.

Exemplul 1.1.1 Să se calculeze volumul corpului format dintr-un cilindru circular drept şi un con circular drept cu înălţimi egale şi având baza

comună, unghiul secţiunii axiale de la vârful conului fiind 2u, iar generatoarea a.

Soluţie.Fie h înălţimea cilindrului, egală cu a conului şi fie R=OB raza bazei conului şi a

cilindrului. Din triunghiul dreptunghic AOB ( AB =a, OA=h, OB=R) deducem R=a sin u,

h=a cos u (cum se vede din figura1.1.1).Avem

V=Vcorp=Vcil.+Vcon=

Aşadar, valoare volumului căutat este:

.

Considerăm datele iniţiale a şi u ca rezultat al unei măsurări. Fie şi rezultatele măsurării, a şi

u. Valoarea volumului cu aceste date se scrie

Eroare inerentă este .

Pentru calculul valorilor funcţiilor trigonometrice folosim sumele parţiale ale seriilor de puteri corespunzătoare şi obţinem

iar eroarea metodei este

Efectuând calculele prin rotunjiri şi înlocuind numărul iraţional printr-unul raţional, rezultă pentru volum valoarea . Eroarea de calcul

este .

Eroarea totală va fi: .

b) Numere aproximative. Fie mulţimea numerelor reale

5

Fig.1.1.1

R={(a1qn+ a2qn-1+ a3qn-2+...+ amqn-m+1+...)},

unde q este baza sistemului de numeraţie, ai cifrele cu 0aiq-1, qN,q2, iar m şi n sunt numere întregi, m1, care

ne arată ordinul de mărime al numerelor din R. Se ştie că orice număr real se poate scrie sub forma unui număr cu o

infinitate de cifre. Practic nu se poate lucra cu astfel de numere. Reducem numărul de cifre şi înlocuim mulţimea R

prin: ={(a1qn+ a2qn-1+ a3qn-2+...+ amqn-m+1)}, R, unde este o mulţime de numere reale cu m cifre.

Practic pentru a trece de la R la , procedăm astfel:

Fie mulţimea de numere reale

={[a1qn+ a2qn-1+ a3qn-2+...+ amqn-m+1]+qn-m(am+1+am+2q-1+am+3q-2+...)]},

Notăm = am+1+am+2q-1+am+3q-2+...

Dacă , mulţimii R facem să-i corespundă mulţimea

şi spunem că numerele din aproximează numerele corespunzătoare din prin lipsă (numere obţinute prin înlăturarea

cifrelor care urmează după am). Dacă mulţimii R facem să-i corespundă mulţimea

şi spunem că numerele din aproximează numerele din prin adaos (exces). Se observă că numerele din s-au

obţinut din numerele corespunzătoare din prin înlăturarea cifrelor care urmează după cifra am şi adunarea unităţii la

cifra am .

În cazul = q se foloseşte aproximarea prin lipsă sau exces, în funcţie de caracterul constructiv al

calculatorului.

În concluzie, mulţimea pe care se efectuează calculele este . Numerele din prin care înlocuim numerele

corespunzătoare din R se numesc numere aproximative. Prin înlocuirea lui R cu se face o eroare de calcul ( de

rotunjire ). Din cele spuse mai înainte rezultă că eroarea de rotunjire pentru obţinerea unui număr aproximativ nu

depăşeşte din unitatea ordinului ultimei cifre reţinute am (am 0).

Un număr aproximativ real şi pozitiv scris în baza 10 are forma

a=a110n+ a210n-1+ a310n-2+...+am10n-m+1,

unde 0 ai 9, , n Z, ai fiind cifrele numărului a în sistemul zecimal. Cifrele (semnele) unui număr

aproximativ a care se iau în considerare în calcul, se numesc cifre semnificative.

Definiţia 1.1.1. Se numesc cifre semnificative ale unui număr aproximativ a, cifrele nenule precum şi cele

nule care sunt situate între cifre nenule sau care indică ordinele păstrate în calcule (ordinele semnificative).

Exemplul1.1.2. La numărul a=5 -3+0 -4+0 -5+3 -6+0 -7=0,005003000 cifrele semnificative

sunt subliniate. Primele trei cifre sunt nesemnificative, ele indicând doar poziţia virgulei; ultimele două cifre nu sunt

semnificative deoarece a conţine cifre până la ordinul de mărime 10-7.

c) Erori.

Notăm cu a numărul aproximativ din a numărului exact A din R. Se mai spune că a reprezintă valoarea

aproximativă a numărului exact A şi se notează a A.

6

Dacă : a<A spunem că a este o aproximare prin lipsă a lui A;

a>A spunem că a este o aproximare prin exces a lui A.

Definiţia 1.1.2. Dacă a este o valoare aproximativă a numărului A , diferenţa =A-a se numeşte eroare a

numărului aproximativ a, iar se numeşte eroare absolută a numărului aproximativ a.

Cu definiţia modulului, putem scrie A-a= , A=a .

În calculul erorii întâlnim unul din cazurile :

Cazul 1. Se cunosc valorile a şi A. Eroarea se calculează direct, =A-a.

Cazul 2. Se cunoaşte numai aproximaţia a (nu se cunoaşte valoarea exactă A). În acest caz, eroarea nu se

poate calcula. Presupunem că pentru A cunoaştem un minorant m şi un majorant M, m<A<M. Cum a A, putem admite

că m<a<M. Prin adunarea membru cu membru a dublelor inegalităţi m<A<M, -M<-a<-m, se obţine

–(M-m)<A-a<M-m, adică <M-m sau <M-m.

Definiţia 1.1.3. Orice număr din intervalul G=[ , M-m) se numeşte eroare absolută la limită a

numărului aproximativ a.

Din această definiţie rezultă că , de fapt =inf G. Se observă de asemenea că orice număr

mai mare decât o eroare absolută la limită a unui număr a se poate numi şi el eroare absolută la limită a acelui număr.

Ne interesează practic o valoare cât mai mică pentru .

Exemplul 1.1.3. Fie A=e. Ştim că 2,71<e<2,72, m=2,71, M=2,72. Dacă a e=A, avem <M-m=2,72-2,71=0,01. Cu cele spuse

mai înainte, putem lua =0,01. Dacă ţinem seama de 2,718<e<2,72, avem <2,72-2,718=0,002, obţinem o estimare mai bună

=0,002 a erorii absolute la limită .

Definiţia 1.1.4. Se numeşte eroare relativă a numărului aproximativ a, raportul dintre eroarea absolută

şi modulul numărului A

= sau = ( când nu se cunoaşte A) (1.1.1)

de unde = sau = ( când nu se cunoaşte A) . (1.1.1I)

Definiţia 1.1.5. Se numeşte eroare relativă la limită a unui număr aproximativ a, un număr oarecare cu

proprietatea

. (1.1.2)

Din (1.1.1) şi (1.1.2) rezultă adică , de unde

= , = . (1.1.3)

Cum a A, în locul egalităţilor (1.1.3), când A este necunoscut, putem folosi egalităţile aproximative

= , = . (1.1.3I)

În anumite condiţii putem înlocui (1.1.3I) cu evaluări mai bune. Astfel, dacă a A, A>0 (evident şi a>0), iar <a,

atunci

7

= = ,

unde majorarea s-a realizat prin şi a - A a+ , astfel că

= . (1.1.4)

În aceleaşi ipoteze (A>0, a>0, <a) putem scrie

= A (a+ ) = ,

iar din egalitatea (a+ ) = rezultă prin calcul

= . (1.1.5)

Formula (1.1.4) ne dă eroarea relativă la limită a numărului aproximativ a când cunoaştem eroarea absolută la

limită şi numărul a. Formula (1.1.5) ne dă eroarea absolută la limită în funcţie de a şi .

Observaţia 1.1.1 Eroarea relativă caracterizează mai bine precizia calculelor, măsurătorilor, după cum se vede

din exemplul următor.

Exemplul 1.1.4 La măsurarea a două tije s-au obţinut lungimile aproximative t 1=142,7 cm, t2=14,5 cm cu erorile absolute la limită

= =0,1 cm.

Valorile exacte ale lungimilor celor două tije sunt T1=142,7 cm 0,1cm , T2=14,5 cm 0,1cm. Cu formula (1.1.4)obţinem :

; ;

Din faptul că cele două erori absolute la limită sunt egale s-ar putea trage concluzia că cele două măsurători au aceeaşi precizie. Falsitatea

acestei afirmaţii rezultă din faptul că erorile relative la limită sunt diferite; de aici se vede că măsurarea primei tije are precizie mai

mare.

Definiţia 1.1.6 Se spune că numărul aproximativ

a = a110n+ a210n-1+ a310n-2+...+am10n-m+1

are m cifre exacte (a1, a2, ..., am) dacă

10n-m+1 . (1.1.6)

Exemplul 1.1.5. Fie numărul exact A=257,876. Numărul aproximativ A=257,88 are cinci cifre exacte deoarece = =

= 0,004 < 102-5+1 = =0,005, unde n=2, m=5 şi s-a aplicat (1.1.6). Se observă că numărul a, care este o

aproximare a lui A la cinci cifre exacte, s-a obţinut prin rotunjire, a cincea cifră reţinută a fost mărită cu unitatea întrucât cifra înlăturată a fost 6>

10 ( rotunjire prin adaos).

Observaţia 1.1.2. Numărul a care verifică (1.1.6) se spune că aproximează numărul exact A cu m cifre

exacte în sens strict . În continuare vom folosi această definiţie pentru numărul de cifre exacte, subînţelegând “ în sens

strict ” fără a menţiona acest lucru.

În unele cazuri este comod să spunem că numărul a este o aproximare cu m cifre exacte în sens larg (slab) a

numărului A dacă se verifică

110n-m+1 (1.1.7)

8

(eroarea absolută nu depăşeşte unitatea rangului celei de a “m”-a cifră semnificativă).

Astfel, numărul a=52,67 este o aproximare la patru cifre exacte în sens larg a numărului A=52,6775,

deoarece = = =0,0075<101-4+1=10-2=0,01. Se vede că a=52,67 s-a obţinut din A prin

înlăturarea cifrelor care urmează după cifra a patra.

Numărul a=52,68 este o aproximare cu patru cifre exacte în sens srict a numărului A=52,6775, deoarece

= =0,0025< 101-4+1=0,005, (n=1, m=4). În acest caz a este o rotunjire (la 4 cifre exacte)

prin adaos a lui A.

Teorema 1.1.1. Dacă un număr aproximativ pozitiv

a=a110n + a210n-1+ a310n-2+...+ am10n-m+1

are m cifre exacte (în sens strict) atunci eroarea sa relativă verifică

101-m, (1.1.8)

unde 1 a1 9, a1 fiind prima cifră semnificativă a numărului a, m 1.

Demonstraţie Întrucât, prin ipoteză, a are m cifre exacte, se verifică (1.1.6) adică

= 10n-m+1

de unde, - 10n-m+1 A-a 10n-m+1 sau A-a - 10n-m+1

Aşadar,

A a- 10n-m+1 >a110n - 10n-m+1 = (2a1-101-m) = (a1+a1-101-m) a1, deoarece a1-101-m 0.

Ţinând seama de (1.1.1) precum şi de 10n-m+1, =A a1,

se obţine

= = 101-m

şi (1.1.8) este dovedită.

Observaţia 1.1.3 Cum membrul drept al inegalităţii (1.1.8) este mai mare decât a putem lua:

(1.1.9)

se arată că

(1.1.10)

Într-adevăr, pentru , termenul 101-m din inegalitatea obţinută în demonstraţia teoremei 1.1.1

se poate neglija astfel că

9

Apoi,

Observaţia 1.1.4 În inegalităţile (1.1.6) şi (1.1.8) şi pot fi înlocuite cu şi dacă numai

acestea sunt cunoscute.

Exemplul 1.1.6 Să aflăm numărul de cifre exacte pentru a=32,3856 ştiind că .

Cu definiţia 1.1.6, avem n=1, m necunoscut

( )

întrucât numărul a are 4 cifre exacte putem scrie a=32,39.

Ştiind că m=4 arătăm că se verifică (1.1.8). Într-adevăr luând

(A necunoscut)

obţinem inegalitatea

.

§1.2 Operaţii cu numere aproximative

a) Eroarea unei sume

Teorema1.2.1 Eroarea absolută a unei sume algebrice de numere aproximative nu depăşeşte suma erorilor

absolute ale acestor numere.

Demonstraţie Fie Xi valorile exacte, xi numerele aproximative şi erorile absolute, . Notând

şi ţinând seama că avem

care se scrie sub forma

sau

de unde cu , rezultă

(1.2.1)

şi teorema este demonstrată.

Cum din (1.2.1) rezultă

(1.2.2)

Egalitatea (1.2.2) ne spune că eroarea absolută la limită a sumei algebrice de numere aproximative este egală

cu suma erorilor absolute la limită ale acestor numere.

10

Teorema 1.2.2 Dacă termenii unei sume de numere aproximative au acelaşi semn, atunci eroarea relativă la

limită a sumei nu depăşeşte eroarea relativă la limită maximă a termenilor ei.

Demonstraţie Cu notaţiile din teorema 1.2.1, ţinând seama că Xi, , au acelaşi semn, iar

putem scrie succesiv, folosind şi (1.2.2),

astfel că

. (1.2.3)

Observaţia 1.2.1 Din (1.2.2) rezultă că eroarea absolută la limită a sumei nu poate fi sensibil inferioară erorii

absolute la limită a termenului cu eroarea absolută la limită maximă. Din această cauză ceilalţi termeni (cu eroarea

absolută la limită mai mică) nu aduc o contribuţie esenţială la precizia sumei. De aceea, pentru adunarea unor numere

cu erori absolute diferite: se lasă neschimbate numerele cu eroarea absolută maximă; se rotunjesc celelalte numere

păstrând 1-2 cifre în plus faţă de primele; se însumează numerele obţinute şi apoi se rotunjeşte rezultatul la numărul de

cifre ale numărului cu eroarea absolută la limită maximă.

Exemplul 1.2.1 Să se afle suma numerelor aproximative 256,4; 32,34; 0,084; - 0,0676; 0,00068 ştiind că cifrele lor sunt exacte.

Soluţie. Numerele date având cifrele exacte s-au obţinut prin rotunjire astfel că eroarea absolută la limită este, pentru fiecare număr, jumătate din

unitatea ordinului de mărime a ultimei cifre păstrate. Astfel, pentru primul număr, ultima cifră 4 are ordinul de mărime 10 -1.

Eroarea absolută la limită a primului număr este . Procedând analog erorile absolute la limită ale numerelor

de însumat sunt: 0,05; 0,005; 0,0005;0,00005;0,000005. Suma erorilor absolute la limită este 1=0,055555=0,0556. Rotunjim numerele păstrând o

cifră zecimală în plus în raport cu primul număr, care are eroarea absolută la limită maximă şi însumăm numerele obţinute

s=256,4+32,34+0,08-0,07+0,00=288,75.

Putem scrie s=288,7, eliminând cifra reţinută în plus faţă de primul termen. La rotunjirea termenilor sumei s-a făcut eroarea absolută

. Eroarea de rotunjire la rezultatul final este 3=0,05. Astfel

eroarea totală este =1+2+3=0,0556+0,0023+0,05=0,1079 sau . Atunci , adică . De fapt

S=288,75708, adică . (În calculul lui 2 s-a scris cu plus ce s-a omis de la termenul respectiv - rotunjire prin lipsă - şi cu

minus ce s-a adăugat la termenul respectiv - rotunjire prin adaos -).

b) Eroarea unui produs

Teorema1.2.3 Eroarea relativă a unui produs de numere aproximative diferite de zero nu depăşeşte suma

erorilor relative ale acestor numere.

Demonstraţie Fie p=x1 x2… xn produsul a n numere aproximative nenule. Cum produsul poate avea semnul +

sau - putem presupune că toate numerele sunt pozitive. Atunci lnp=lnx1+lnx2+…+lnxn. Eroarea

. Aşadar putem scrie egalitatea aproximativă:

(1.2.4)

Cu (1.2.4) avem , iar . Cu acestea, egalitatea dlnp=dlnx1+ dlnx2+…+dlnxn se scrie

11

şi cu relaţia (1.1.1) obţinem în final

. (1.2.5)

Dar astfel că . Aşadar,

(1.2.6)

Egalitatea (1.2.6) ne spune că eroarea relativă la limită a produsului este egală cu suma erorilor relative la limită a

factorilor.

Observaţia 1.2.2 Dacă se înmulţeşte un număr aproximativ x cu un număr exact k, eroarea relativă la limită a

produsului nu se schimbă, în timp ce eroarea absolută la limită este de ori mai mare.

Într-adevăr, dacă p=kx atunci cu (1.2.6) avem deoarece , k fiind număr exact. Pe

de altă parte

Observaţia 1.2.3 Din (1.2.6) se vede că eroarea relativă la limită a produsului nu poate fi semnificativ mai

mică decât eroarea relativă la limită a factorului cu cea mai mică precizie. De aceea, la efectuarea unui produs:

rotunjim factorii, lăsându-le 1-2 cifre în plus faţă de factorul cu cea mai mică precizie; după înmulţire păstrăm atâtea

cifre semnificative câte cifre exacte are factorul mai puţin precis.

Pentru a calcula numărul de cifre exacte al unui produs de factori (10) p=x1x2…x, vom presupune că

fiecare factor are cel puţin m cifre exacte (m2). Fie a1,a2,…a primele cifre semnificative a scrierii în baza 10 a celor

factori.

Factorii produsului se scriu:

(1.2.7)Cu formula (1.1.10) putem scrie

.

(1.2.8)

Scriem produsul sub forma Folosind (1.2.6) şi apoi (1.2.8) obţinem:

(1.2.9)

unde am făcut majorarea

(valoarea lui 10 este atinsă numai pentru ai=1, =10 ). (1.2.10)

Apoi,

unde am făcut majorările 1+110 şi (1.2.9). Aşadar,

(1.2.11)Ultima inegalitate şi (1.1.6) ne spune că, chiar în cazul extrem (ai=1, , =10), produsul are m-2 cifre exacte.

12

c) Eroarea unui cât

Teorema 1.2.4 Eroarea relativă a unui cât nu depăşeşte suma erorilor relative ale dempărţitului şi

împărţitorului.

Demonstraţie Fie câtul , x1, x2 numere aproximative pozitive. Avem lnq=lnx1-lnx2 , respectiv

dlnq= dlnx1-dlnx2. Folosind (1.2.4) avem egalitatea de unde, cu proprietatea modulului obţinem

inegalitatea

,

care cu (1.1.1) se scrie

(1.2.12)

Cum din (1.2.12) deducem şi astfel obţinem egalitatea

(1.2.13)

care ne arată că eroarea relativă la limită a câtului este egală cu suma erorilor relative la limită ale dempărţitului şi

împărţitorului.

Fie x1 şi x2 două numere aproximative pozitive, având fiecare cel puţin m cifre exacte (m2) şi fie a1 şi a2

primele lor cifre semnificative, iar . Cu (1.1.10) şi (1.2.13) putem scrie

unde . (1.2.14)

Apoi (1.1.3I) pentru ne dă, cu majorările şi (1.2.14),

(1.2.15)

Dacă:

10 a1 2 şi a 2 2 , avem , de unde cu (1.1.6) rezultă că q are cel puţin m-1

cifre exacte;

20 a1=1 sau a2=1, avem şi majorarea , iar , de unde cu (1.1.6) rezultă

că q are cel puţin m-2 cifre exacte.

d) Eroarea unei puteri

Fie u=xm, x>0, x1, mN, m2. Logaritmând lnu=mlnx şi luând dlnu=mdlnx cu relaţia (1.2.4) avem

13

, respectiv (1.2.16)

Aşadar, eroarea relativă (la limită) a puterii a "m"-a a unui număr aproximativ x este de m ori mai mare decât

eroarea relativă (la limită) a numărului x.

e) Eroarea unui radical.

Fie , x>0, x1, mN, m2ko. Prin ridicarea la puterea m obţinem x=um şi cu (1.2.16) avem de unde

, respectiv, . (1.2.17)

Aşadar, eroarea relativă (la limită) a rădăcinii de ordinul m a numărului aproximativ x este de m ori mai mică decât

eroarea relativă (la limită) a numărului x.

Observaţia 1.2.4 Proprietăţile privind erorile produsului, câtului, puterii, radicalului s-au dedus pentru erorile

relative. Evident, erorile absolute corespunzătoare se calculează cu formulele (1.1.1 I), (1.1.3I) sau (1.1.5).

Exemplul 1.2.2 Se dau numerele aproximative x1=12,3 şi x2=1,2564 având toate cifrele exacte. Să se calculeze p= x1 x2 şi şi să

se precizeze numărul de cifre exacte ale numerelor p şi q.

Soluţie. Numerele date având toate cifrele exacte, erorile absolute la limită au valori egale cu jumătate din unitatea ordinului de mărime al

ultimei cifre:

. Erorile relative la limită ale

celor două numere sunt (vezi(1.1.3I)):

Cu formulele (1.2.6) şi (1.2.13) avem .

Pentru calculul produsului p ţinem seama de observaţia 1.2.3 în baza căreia x 1 rămâne neschimbat (are precizia mai mică), iar pe x2 îl

rotunjim la 4 cifre, x2=1,256. Avem p=15,448 şi reţinem numărul de cifre al lui x1, p=15,4. Avem

. Utilizăm acum definiţia 1.1.6:

Aşadar, p are m=2 cifre exacte, cifrele 1 şi 5. A treia cifră este nesigură. În baza aceleiaşi observaţii produsul trebuie să aibă cel puţin o

cifră exactă ( cu două cifre mai puţin decât numărul x1).

Pentru q obţinem valoarea 9,79 dar este posibil ca q să aibă doar o cifră exactă deoarece ambele numere x 1 şi x2 au prima cifră

semnificativă egală cu 1 (vezi finele părţii c) a acestui paragraf). Pentru a preciza numărul de cifre exacte pentru q, calculăm şi aplicăm

definiţia 1.1.6:

.

Deci q are primele două cifre exacte, a treia cifră nefiind sigură.

§1.3 Formula generală a erorii

a) Problema directă a teoriei erorilor.

Calculul erorii se poate îngloba în problema determinării erorii unei funcţii diferenţiabile reale de mai multe

variabile reale, când se cunosc erorile acestor variabile.

Fie funcţia f :DR , DR n , diferenţiabilă pe D. Se presupun cunoscute erorile ale variabilelor

independente xi deci şi erorile absolute ale acestora.

14

Eroarea absolută a funcţiei f în punctul (x1,x2, …xn) este

adică

.

(1.3.1)

Membrul drept al inegalităţii (1.3.1) se majorează prin înlocuirea lui prin şi notând această

majorare cu obţinem eroarea absolută la limită a funcţiei f

.

(1.3.2) Împărţind ambii membri ai inegalităţii (1.3.1) prin avem

,

astfel că eroarea relativă a funcţiei f verifică

,

(1.3.3)

iar eroarea relativă la limită a funcţiei f este dată de egalitatea

.

(1.3.4)

Relaţiile (1.3.1)-(1.3.4) rezolvă problema directă a teoriei erorilor care constă în "determinarea erorii absolute

sau relative (la limită) într-un punct al unei funcţii reale de mai multe variabile reale când se cunosc erorile absolute (la

limită) ale variabilelor independente ale funcţiei în acel punct".

Observaţia 1.3.1. Cu formula erorii (1.3.1) putem evalua eroarea unei sume algebrice de numere

aproximative. Notând f=f(x1,x2,…,xn)= x1+x2+…+xn obţinem

ceea ce ştiam din §1.2 că eroarea absolută a unei sume de numere aproximative este majorată de suma erorilor absolute

ale acelor numere.

Observaţia 1.3.2 Pentru a deduce proprietatea privind eroarea relativă a unui produs de n numere

aproximative strict pozitive xi, , considerăm funcţia f=f(x1,x2,…,xn)= x1x2… xi…xn, logaritmăm

lnf= lnx1+lnx2+…+lnxI+… lnxn şi aplicăm (1.3.3)

.

Am obţinut astfel rezultatul cunoscut "eroarea relativă a produsului este majorată de suma erorilor relative ale factorilor

produsului".

b) Problema inversă a teoriei erorilor.

15

Această problemă se enunţă astfel: să se afle erorile absolute admisibile (adică la limită) ale variabilelor

independente ale unei funcţii reale astfel încât eroarea absolută la limită a acelei funcţii într-un punct dat să nu

depăşească o valoare dată.

Din punct de vedere matematic această problemă este nedeterminată deoarece eroarea absolută la limită dată

se poate obţine folosind o mulţime de combinaţii privind valorile erorilor absolute la limită . Rezultă că

problema pusă se poate rezolva numai dacă se impun condiţii suplimentare. Mai des întâlnite sunt următoarele condiţii

suplimentare:

10 Principiul egalităţii efectelor, prin care se presupune că cele n diferenţiale parţiale au aceeaşi

contribuţie la formarea erorii absolute la limită, adică

.

(1.3.5)

Folosind (1.3.2) avem

,

de unde

f=f(x1,x2,…,xn).

(1.3.6)

20 Erorile absolute la limită ale variabilelor xi au aceeaşi valoare

. (1.3.7)

Cu aceste condiţii suplimentare egalitatea (1.3.2) ne dă

unde

.

(1.3.8)

3 0 Erorile relative la limită ale variabilelor xi au toate aceeaşi valoare

(1.3.9)

Folosind formula de calcul (1.1.3I) a erorii relative la limită, egalităţile (1.3.9) se scriu

.

Cu formula (1.3.2) obţinem:

16

şi

.

(1.3.10)

Exemplul 1.3.1 Să se afle eroarea absolută la limită şi eroarea relativă la limită precum şi numărul de cifre exacte pentru

, ştiind că x1=1,04; x2=0,9807; x3=1,324056 au toate cifrele exacte.

Soluţie Întrucât xi, au toate cifrele exacte, erorile absolute la limită sunt:

Aplicăm formula (1.3.2) pentru calculul lui :

(1.3.11)

Găsim

Înlocuind în (1.3.11) şi efectuând calculele găsim . Cu formula (1.1.3I) avem

Pentru a preciza numărul de cifre exacte pentru f(x1,x2,x3)=1,893750609 folosim definiţia 1.1.6:

Exemplul 1.3.2 Să se afle erorile absolute la limită ale variabilelor independente care fac posibil calculul valorii funcţiei

cu patru cifre semnificative exacte, dacă x1=0,9542; x2=1,24506; x3=-0,873049 sunt numere

aproximative cu toate cifrele exacte.

Soluţie Avem

Apoi,

.

17

Pentru calculul valorilor folosim principiul egalităţii efectelor. Atunci, cu formula (1.3.6) pentru n=3 şi

, găsim

.

Determinăm acum numărul de cifre (semnificative) exacte pentru x i astfel încât să obţinem f cu 4 cifre exacte. Folosim în acest scop

definiţia 1.1.6:

.

Aşadar, luăm x1=0,954; x2=1,245; x1= -0,8730 şi obţinem :

cu 4 cifre exacte.

18